20
DETERMINAN MATRIKS

DETERMINAN MATRIKS

  • Upload
    armine

  • View
    857

  • Download
    207

Embed Size (px)

DESCRIPTION

DETERMINAN MATRIKS. Determinan Matriks Sub Pokok Bahasan Determinan Matriks Determinan dengan Ekspansi Kofaktor Sifat Determinan. Aplikasi penggunaan determinan. Beberapa Aplikasi Determinan Solusi SPL Optimasi Model Ekonomi dan lain-lain. Definisi Determinan Matriks - PowerPoint PPT Presentation

Citation preview

Page 1: DETERMINAN MATRIKS

DETERMINAN MATRIKS

Page 2: DETERMINAN MATRIKS

Aljabar Linear 2

Determinan Matriks

Sub Pokok BahasanDeterminan MatriksDeterminan dengan Ekspansi KofaktorSifat Determinan

Page 3: DETERMINAN MATRIKS

Aplikasi penggunaan determinan

• Beberapa Aplikasi Determinan– Solusi SPL– Optimasi– Model Ekonomi – dan lain-lain

Page 4: DETERMINAN MATRIKS

Aljabar Linear 4

Definisi Determinan Matriks

Hasil kali elementer A hasilkali n buah unsur A tanpa ada pengambilan unsur dari baris/kolom yang sama.Contoh :

Ada 6 (3!) hasil kali elementer dari matriks A, yaitu:a11 a22 a33, a11 a23 a32 , a12 a21 a33 ,

a12 a23 a31 , a13 a21 a32 , a13 a22 a31

nnnn

n

n

aaa

aaaaaa

A

11

21111

11111

333231

232221

131211

aaaaaaaaa

A

Page 5: DETERMINAN MATRIKS

Aljabar Linear 5

Hasil kali elementer bertandaa11 a22 a33

– a11 a23 a32

– a12 a21 a33

a12 a23 a31

a13 a21 a32

– a13 a22 a31

Jadi, Misalkan Anxn maka determinan dari matriks A didefinisikan sebagai jumlah dari semua hasil kali elementer bertanda matriks tersebut.

Notasi : Det(A) atau |A|

Perhatikan…Tanda (+/-) muncul sesuai hasil

klasifikasi permutasi indeks kolom, yaitu : jika genap + (positif) jika ganjil - (negatif)

Page 6: DETERMINAN MATRIKS

Aljabar Linear 6

Contoh : Tentukan Determinan matriks

Jawab :Menurut definisi :Det(A3x3) = a11 a22 a33 – a11 a23 a32 – a12 a21 a33 +

a12 a23 a31 + a13 a21 a32 – a13 a22 a31

atau

333231

232221

131211

aaaaaaaaa

A

2331

2221

1211

333231

232221

131211

aaaaaa

aaaaaaaaa

A

Page 7: DETERMINAN MATRIKS

Aljabar Linear 7

Contoh :Tentukan determinan matriks

Jawab :

122011123

B

122011123

det

B

)1)(1)(2()2)(0)(3()2)(1)(1()2)(1)(1()2)(0)(2()1)(1)(3(

202203

1

221123

Page 8: DETERMINAN MATRIKS

Aljabar Linear 8

bcaddcba

A

det)det(

Syarat suatu matrik mempunyai determinan: matrik bujursangkarLambang determinan matrik A adalah det(A) atau A

Dengan menggunakan determinan matrik 2x2 ini, akan didefinisikan determinan matrik yang berordo yang lebih besar

Page 9: DETERMINAN MATRIKS

Aljabar Linier 9

332112322311312213322113312312332211

333231

232221

131211

)det( aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa

A

det(A)= )()1()()1()()1( 3122322131

133123332121

123223332211

11 aaaaaaaaaaaaaaa

det(A)=3231

22213113

3331

23212112

3332

23221111 )1()1()1(

aaaa

aaaaa

aaaaa

a

det(A)= )()1()()1()()1( 3112321132

233113331122

223213331212

21 aaaaaaaaaaaaaaa

det(A)= 3231

12113223

3331

13112222

3332

13121221 )1()1()1(

aaaa

aaaaa

aaaaa

a

Dari kenyataan di atas dapat dirumuskan berikut:

Page 10: DETERMINAN MATRIKS

22/04/23 08:56 MA-1223 Aljabar Linear 10

Determinan dengan ekspansi kofaktorMisalkan

Beberapa definisi yang perlu diketahui :• Mij disebut Minor- ij yaitu determinan matriks A

dengan menghilangkan baris ke_i dan kolom ke-j matriks A.Contoh :

nnnn

n

n

aaa

aaaaaa

A

...:::

......

21

22221

11211

2 1 0 1 2 1 0 1 2

A 11 0

2 1 maka 13 M

Page 11: DETERMINAN MATRIKS

Aljabar Linear 11

• Cij Matrik dinamakan kofaktor - ij yaitu (-1)i+j Mij

Contoh :

maka

= (– 1)3 .2 = – 2

2 1 0 1

1 1221

C

2 1 0 1 2 1 0 1 2

A

Page 12: DETERMINAN MATRIKS

Aljabar Linear 12

Secara umum, cara menghitung determinan dengan ekspansi kofaktor :

• Menghitung det (A) dengan ekspansi kofaktor sepanjang baris ke-i

det (A) = ai1 Ci1 + ai2 Ci2 + . . . + ain Cin

• Menghitung det (A) dengan ekspansi kofaktor sepanjang kolom ke-j

det (A) = a1j C1j + a2j C2j + . . . + anj Cnj

Contoh 6 :Hitunglah Det(A) dengan ekspansi kofaktor :

2 1 0 1 2 1

0 1 2 A

Page 13: DETERMINAN MATRIKS

Aljabar Linear 13

Jawab :Misalkan, kita akan menghitung det (A) dengan ekspansi kofaktor sepanjang baris ke-3

= a31 C31 + a32 C32 + a33 C33

= 0 – 2 + 6 = 4

3

133)det(

jjjcaA

23)1(10 1 1 0 2 33)1(2

2 1 1 2

2 1 0 1 2 1

0 1 2 A

Page 14: DETERMINAN MATRIKS

Aljabar Linear 14

Menghitung det (A) dengan ekspansi kofaktor sepanjang kolom ke-3

= a13 C13 + a23 C23 + a33 C33

= 0 – 2 + 6 = 4

3

133)det(

iii caA

32)1(10 1 0 1 2 33)1(2

2 1 1 2

2 1 0 1 2 1

0 1 2 A

Page 15: DETERMINAN MATRIKS

Aljabar Linear 15

Misal, diketahui matriks kofaktor dari A :

Maka matriks Adjoin dari A adalah :

1- 1 1 2- 1 2 2 1- 1-

C

1- 2- 2 1 1 1- 1 2 1-

)( TCAadj

Page 16: DETERMINAN MATRIKS

• Invers Matriks dengan menggunakan Adjoin

• Maka, tentukan invers dari matiks A sebelumnya!

Page 17: DETERMINAN MATRIKS

Aljabar Linear 17

Latihan1. Tentukan determinan matriks dengan

determinan/cramer dan ekspansi kofaktor

dan

2. Diketahui :

dan

Tunjukan bahwa : det (A) det (B) = det (AB)

211121112

P

144010023

Q

200043012

A

105217311

B

Page 18: DETERMINAN MATRIKS

Aljabar Linear 18

3. Diketahui :

Tentukan k jika det (D) = 294. Diketahui matriks

Jika B = A-1 dan At merupakan transpos dari A. Tentukan nilai

43101

51

k

kD

543012001

A

BA

BAx

tdet

5det2det 2

Page 19: DETERMINAN MATRIKS

Aljaar Linear 19

Sifat-sifat determinan

1. det(AB)=det(A)det(B)2. det(AT)=det(A)3. Jika A matrik diagonal, maka det(A)=a11a22...ann

{perkalian dari semua entri pada diagonal utama}4. Jika A matrik segitiga, maka det(A)=a11a22...ann

{perkalian dari semua entri pada diagonal utama}5. Jika Anxn, maka det(kA)=kndet(A)6. det(A-1)=1/det(A)7. Jika A memuat baris nol atau kolom nol, maka

det(A)=0

Page 20: DETERMINAN MATRIKS

Aljabar Linear 20

Sifat-sifat determinan

8. Terhadap operasi baris elementer, determinan mempunyai sifat, sebagai berikut:

a. Jika A’ diperoleh dari A dengan cara mengalikan satu baris dari A dengan konstanta k0, maka det(A’)=k det(A)

b. Jika A’ diperoleh dari A dengan cara menukar dua baris, maka det(A’) = - det(A)

c. Jika A’ diperoleh dari A dengan cara menjumlahkan kelipatan satu baris dengan baris yang lain, maka det(A’)=det(A)

9. Jika A memuat dua baris yang saling berkelipatan atau dua kolom yang saling berkelipatan, maka det(A)=0