Upload
armine
View
857
Download
207
Embed Size (px)
DESCRIPTION
DETERMINAN MATRIKS. Determinan Matriks Sub Pokok Bahasan Determinan Matriks Determinan dengan Ekspansi Kofaktor Sifat Determinan. Aplikasi penggunaan determinan. Beberapa Aplikasi Determinan Solusi SPL Optimasi Model Ekonomi dan lain-lain. Definisi Determinan Matriks - PowerPoint PPT Presentation
Citation preview
DETERMINAN MATRIKS
Aljabar Linear 2
Determinan Matriks
Sub Pokok BahasanDeterminan MatriksDeterminan dengan Ekspansi KofaktorSifat Determinan
Aplikasi penggunaan determinan
• Beberapa Aplikasi Determinan– Solusi SPL– Optimasi– Model Ekonomi – dan lain-lain
Aljabar Linear 4
Definisi Determinan Matriks
Hasil kali elementer A hasilkali n buah unsur A tanpa ada pengambilan unsur dari baris/kolom yang sama.Contoh :
Ada 6 (3!) hasil kali elementer dari matriks A, yaitu:a11 a22 a33, a11 a23 a32 , a12 a21 a33 ,
a12 a23 a31 , a13 a21 a32 , a13 a22 a31
nnnn
n
n
aaa
aaaaaa
A
11
21111
11111
333231
232221
131211
aaaaaaaaa
A
Aljabar Linear 5
Hasil kali elementer bertandaa11 a22 a33
– a11 a23 a32
– a12 a21 a33
a12 a23 a31
a13 a21 a32
– a13 a22 a31
Jadi, Misalkan Anxn maka determinan dari matriks A didefinisikan sebagai jumlah dari semua hasil kali elementer bertanda matriks tersebut.
Notasi : Det(A) atau |A|
Perhatikan…Tanda (+/-) muncul sesuai hasil
klasifikasi permutasi indeks kolom, yaitu : jika genap + (positif) jika ganjil - (negatif)
Aljabar Linear 6
Contoh : Tentukan Determinan matriks
Jawab :Menurut definisi :Det(A3x3) = a11 a22 a33 – a11 a23 a32 – a12 a21 a33 +
a12 a23 a31 + a13 a21 a32 – a13 a22 a31
atau
333231
232221
131211
aaaaaaaaa
A
2331
2221
1211
333231
232221
131211
aaaaaa
aaaaaaaaa
A
Aljabar Linear 7
Contoh :Tentukan determinan matriks
Jawab :
122011123
B
122011123
det
B
)1)(1)(2()2)(0)(3()2)(1)(1()2)(1)(1()2)(0)(2()1)(1)(3(
202203
1
221123
Aljabar Linear 8
bcaddcba
A
det)det(
Syarat suatu matrik mempunyai determinan: matrik bujursangkarLambang determinan matrik A adalah det(A) atau A
Dengan menggunakan determinan matrik 2x2 ini, akan didefinisikan determinan matrik yang berordo yang lebih besar
Aljabar Linier 9
332112322311312213322113312312332211
333231
232221
131211
)det( aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa
A
det(A)= )()1()()1()()1( 3122322131
133123332121
123223332211
11 aaaaaaaaaaaaaaa
det(A)=3231
22213113
3331
23212112
3332
23221111 )1()1()1(
aaaa
aaaaa
aaaaa
a
det(A)= )()1()()1()()1( 3112321132
233113331122
223213331212
21 aaaaaaaaaaaaaaa
det(A)= 3231
12113223
3331
13112222
3332
13121221 )1()1()1(
aaaa
aaaaa
aaaaa
a
Dari kenyataan di atas dapat dirumuskan berikut:
22/04/23 08:56 MA-1223 Aljabar Linear 10
Determinan dengan ekspansi kofaktorMisalkan
Beberapa definisi yang perlu diketahui :• Mij disebut Minor- ij yaitu determinan matriks A
dengan menghilangkan baris ke_i dan kolom ke-j matriks A.Contoh :
nnnn
n
n
aaa
aaaaaa
A
...:::
......
21
22221
11211
2 1 0 1 2 1 0 1 2
A 11 0
2 1 maka 13 M
Aljabar Linear 11
• Cij Matrik dinamakan kofaktor - ij yaitu (-1)i+j Mij
Contoh :
maka
= (– 1)3 .2 = – 2
2 1 0 1
1 1221
C
2 1 0 1 2 1 0 1 2
A
Aljabar Linear 12
Secara umum, cara menghitung determinan dengan ekspansi kofaktor :
• Menghitung det (A) dengan ekspansi kofaktor sepanjang baris ke-i
det (A) = ai1 Ci1 + ai2 Ci2 + . . . + ain Cin
• Menghitung det (A) dengan ekspansi kofaktor sepanjang kolom ke-j
det (A) = a1j C1j + a2j C2j + . . . + anj Cnj
Contoh 6 :Hitunglah Det(A) dengan ekspansi kofaktor :
2 1 0 1 2 1
0 1 2 A
Aljabar Linear 13
Jawab :Misalkan, kita akan menghitung det (A) dengan ekspansi kofaktor sepanjang baris ke-3
= a31 C31 + a32 C32 + a33 C33
= 0 – 2 + 6 = 4
3
133)det(
jjjcaA
23)1(10 1 1 0 2 33)1(2
2 1 1 2
2 1 0 1 2 1
0 1 2 A
Aljabar Linear 14
Menghitung det (A) dengan ekspansi kofaktor sepanjang kolom ke-3
= a13 C13 + a23 C23 + a33 C33
= 0 – 2 + 6 = 4
3
133)det(
iii caA
32)1(10 1 0 1 2 33)1(2
2 1 1 2
2 1 0 1 2 1
0 1 2 A
Aljabar Linear 15
Misal, diketahui matriks kofaktor dari A :
Maka matriks Adjoin dari A adalah :
1- 1 1 2- 1 2 2 1- 1-
C
1- 2- 2 1 1 1- 1 2 1-
)( TCAadj
• Invers Matriks dengan menggunakan Adjoin
• Maka, tentukan invers dari matiks A sebelumnya!
Aljabar Linear 17
Latihan1. Tentukan determinan matriks dengan
determinan/cramer dan ekspansi kofaktor
dan
2. Diketahui :
dan
Tunjukan bahwa : det (A) det (B) = det (AB)
211121112
P
144010023
Q
200043012
A
105217311
B
Aljabar Linear 18
3. Diketahui :
Tentukan k jika det (D) = 294. Diketahui matriks
Jika B = A-1 dan At merupakan transpos dari A. Tentukan nilai
43101
51
k
kD
543012001
A
BA
BAx
tdet
5det2det 2
Aljaar Linear 19
Sifat-sifat determinan
1. det(AB)=det(A)det(B)2. det(AT)=det(A)3. Jika A matrik diagonal, maka det(A)=a11a22...ann
{perkalian dari semua entri pada diagonal utama}4. Jika A matrik segitiga, maka det(A)=a11a22...ann
{perkalian dari semua entri pada diagonal utama}5. Jika Anxn, maka det(kA)=kndet(A)6. det(A-1)=1/det(A)7. Jika A memuat baris nol atau kolom nol, maka
det(A)=0
Aljabar Linear 20
Sifat-sifat determinan
8. Terhadap operasi baris elementer, determinan mempunyai sifat, sebagai berikut:
a. Jika A’ diperoleh dari A dengan cara mengalikan satu baris dari A dengan konstanta k0, maka det(A’)=k det(A)
b. Jika A’ diperoleh dari A dengan cara menukar dua baris, maka det(A’) = - det(A)
c. Jika A’ diperoleh dari A dengan cara menjumlahkan kelipatan satu baris dengan baris yang lain, maka det(A’)=det(A)
9. Jika A memuat dua baris yang saling berkelipatan atau dua kolom yang saling berkelipatan, maka det(A)=0