14
DETERMINANTEN Die Determinante einer (n × n)-Matrix kann folgendermaßen berechnet werden: n =1: det (a 11 )= a 11 n =2: det a 11 a 12 a 21 a 22 = a 11 a 22 - a 12 a 21 n =3: det a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 = a 11 a 22 a 33 + a 21 a 32 a 13 + a 31 a 12 a 23 - -a 13 a 22 a 31 - a 21 a 12 a 33 - a 11 a 32 a 23 Allgemein (für jedes n gültig): det A = n k=1 a ik (-1) i+k det A ik i ist ein beliebiger Zeilenindex A ik . . . Matrix, die entsteht, wenn in der Matrix A die i-te Zeile und die k -te Spalte gestrichen werden. – Typeset by Foil T E X 56

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DETERMINANTEN

Die Determinante einer (n× n)-Matrix kann folgendermaßen berechnet werden:

n = 1 : det (a11) = a11

n = 2 : det(

a11 a12

a21 a22

)= a11a22 − a12a21

n = 3 : det

a11 a12 a13

a21 a22 a23

a31 a32 a33

= a11a22a33 + a21a32a13 + a31a12a23−−a13a22a31 − a21a12a33 − a11a32a23

Allgemein (für jedes n gültig):

det A =n∑

k=1

aik(−1)i+k det Aik i ist ein beliebiger Zeilenindex

Aik. . . Matrix, die entsteht, wenn in der Matrix A die i-te Zeile und die k-te Spaltegestrichen werden.

– Typeset by FoilTEX – 56

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Geometrische Interpretation der Determinante einer2× 2-Matrix

T1 =

T2 =

T3 =

T =

T . . . der Flächeninhalt des von den Vektoren(ab

)und

(cd

)aufgespannten Parallelo-

gramms

– Typeset by FoilTEX – 57

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Determinanten von 3x3 Matrizen (Regel von Sarrus)

Die Determinante von A =

a11 a12 a13

a21 a22 a23

a31 a32 a33

ist definiert als

det(A) = a11a22a33+a21a32a13+a31a12a23−a13a22a31−a21a12a33−a11a32a23 .

∣∣∣∣∣∣2 2 −14 0 20 6 −3

∣∣∣∣∣∣ =

– Typeset by FoilTEX – 58

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Eigenschaften von Determinanten

– Typeset by FoilTEX – 59

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Geometrische Demonstration der Eigenschaft C

Wenn alle Elemente in einer einzelnen Zeile (oder Spalte) von A mit ei-ner Zahl α multipliziert werden, wird die Determinante mit α multipliziert.

– Typeset by FoilTEX – 60

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Geometrische Demonstration der Eigenschaft F

Der Wert der Determinante von A bleibt unverändert, wenn das Vielfache einerZeile (oder einer Spalte) zu einer anderen Zeile (oder Spalte) von A addiert wird.

– Typeset by FoilTEX – 61

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Determinanten von (n× n)-Matrizen (Entwicklungssatzvon Laplace)

Entwicklung nach einer Zeile:

det A =n∑

k=1

aik(−1)i+k det Aik i ist ein beliebiger Zeilenindex

Entwicklung nach einer Spalte:

det A =n∑̀=1

a`j(−1)`+j det A`j j ist ein beliebiger Spaltenindex

Aik. . . Matrix, die entsteht, wenn in der Matrix A die i-te Zeile und die k-te Spaltegestrichen werden.

Der Ausdruck (−1)i+j detAij wird auch als Co-Factor Cij bezeichnet:

Cij := (−1)i+j · det Aij

– Typeset by FoilTEX – 62

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Entwicklungssatz mit Co-Faktoren

Unter Verwendung von Co-Faktoren vereinfachen sich die Formeln des Entwicklungssat-zes zu:

det A =n∑

k=1

aikCik = ai1Ci1 + ai2Ci2 + · · ·+ ainCin

bzw.

det A =n∑̀=1

a`jC`j = a1jC1j + a2jC2j + · · ·+ anjCnj

Sei A =

a11 a12 . . . a1na21 a22 . . . a2n...an1 an2 . . . ann

, dann ist der Co-Faktor Cij von A gegeben

durch:

– Typeset by FoilTEX – 63

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Ein Beispiel:

det

2 −1 0 0 10 2 0 0 −3

−1 2 1 0 02 1 6 3 10 2 1 0 1

=

– Typeset by FoilTEX – 64

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Determinanten von Dreiecksmatrizen

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣1 1 2 4 20 5 1 3 10 0 3 0 30 0 0 4 20 0 0 0 6

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣=

Allgemein gilt:

Ist A = (aij)n×n (a) eine obere oder (b) eine untere Dreiecksmatrix oder (c) eineDiagonalmatrix, dann ist die Determinante das Produkt der Diagonalelemente:

det(A) = a11× . . .×ann

– Typeset by FoilTEX – 65

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Berechnung der Determinante unter Nutzung des Satzesfür Dreiecksmatrizen

Eine beliebige (n × n)-Matrix kann unter Verwendung der Operationen, welche beimGauss-Algorithmus verwendet werden, zu einer Dreiecksmatrix umgeformt werden. Dabeiwird der Wert der Determinante dieser Matrix verändert:

Eigenschaften von Determinanten C,D,F (S. 59)

Diese Veränderungen müssen am Ende bei der Berechnung der Determinante berück-sichtigt werden.

– Typeset by FoilTEX – 66

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Ein Beispiel2 −1 2 1 0

−6 3 −7 −2 1−2 1 1 1 1

1 2 0 1 42 1 2 2 3

2 −1 2 1 00 0 −1 1 10 0 3 2 10 5 −2 1 80 2 0 1 3

2 −1 2 1 00 2 0 1 30 0 3 2 10 5 −2 1 80 0 −1 1 1

2 −1 2 1 00 2 0 1 30 0 3 2 10 0 −4 −3 10 0 −1 1 1

2 −1 2 1 00 2 0 1 30 0 3 2 10 0 0 −1 70 0 0 5 4

2 −1 2 1 00 2 0 1 30 0 3 2 10 0 0 −1 70 0 0 0 39

– Typeset by FoilTEX – 67

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Determinanten von Blockmatrizen

M =

A B

C D

=

a11 . . . . . . a1m b1,1 . . . b1n... ... ... ...... ... ... ...... ... ... ...

am1 . . . . . . amm bm1 . . . bmn

c1,1 . . . . . . c1m d11 . . . d1,n... ... ... ...

cn1 . . . . . . cnm dn,1 . . . dn,n

,

A . . .m×mB . . . m× nC . . . n×mD . . . n× n

Gilt B = 0 oder C = 0, dann ist det(M) = det(A) det(D).

Also: det

A 0

C D

= det

A B

0 D

= det(A) det(D).

– Typeset by FoilTEX – 68

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... und noch ein Determinanten-Beispiel

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

7 −3 −1 523 0 0

0 −2 41 −1004 0 0

0 0 3 −123 0 0

0 0 0 −1 0 0

−75 798 164 24 −5 −1

64 46 −92 −2345 7 3

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣=

– Typeset by FoilTEX – 69