Click here to load reader

DETERMINANTEN - · PDF fileDeterminanten von 3x3 Matrizen (Regel von Sarrus) Die Determinante von A = a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 ist definiert als det(A) = a

  • View
    213

  • Download
    0

Embed Size (px)

Text of DETERMINANTEN - · PDF fileDeterminanten von 3x3 Matrizen (Regel von Sarrus) Die Determinante...

  • DETERMINANTEN

    Die Determinante einer (n× n)-Matrix kann folgendermaßen berechnet werden:

    n = 1 : det (a11) = a11

    n = 2 : det (

    a11 a12 a21 a22

    ) = a11a22 − a12a21

    n = 3 : det

     a11 a12 a13a21 a22 a23 a31 a32 a33

     = a11a22a33 + a21a32a13 + a31a12a23− −a13a22a31 − a21a12a33 − a11a32a23

    Allgemein (für jedes n gültig):

    det A = n∑

    k=1

    aik(−1)i+k det Aik i ist ein beliebiger Zeilenindex

    Aik. . . Matrix, die entsteht, wenn in der Matrix A die i-te Zeile und die k-te Spalte gestrichen werden.

    – Typeset by FoilTEX – 56

  • Geometrische Interpretation der Determinante einer 2× 2-Matrix

    T1 =

    T2 =

    T3 =

    T =

    T . . . der Flächeninhalt des von den Vektoren ( a b

    ) und

    ( c d

    ) aufgespannten Parallelo-

    gramms

    – Typeset by FoilTEX – 57

  • Determinanten von 3x3 Matrizen (Regel von Sarrus)

    Die Determinante von A =

     a11 a12 a13a21 a22 a23 a31 a32 a33

     ist definiert als det(A) = a11a22a33+a21a32a13+a31a12a23−a13a22a31−a21a12a33−a11a32a23 .

    ∣∣∣∣∣∣ 2 2 −1 4 0 2 0 6 −3

    ∣∣∣∣∣∣ =

    – Typeset by FoilTEX – 58

  • Eigenschaften von Determinanten

    – Typeset by FoilTEX – 59

  • Geometrische Demonstration der Eigenschaft C

    Wenn alle Elemente in einer einzelnen Zeile (oder Spalte) von A mit ei- ner Zahl α multipliziert werden, wird die Determinante mit α multipliziert.

    – Typeset by FoilTEX – 60

  • Geometrische Demonstration der Eigenschaft F

    Der Wert der Determinante von A bleibt unverändert, wenn das Vielfache einer Zeile (oder einer Spalte) zu einer anderen Zeile (oder Spalte) von A addiert wird.

    – Typeset by FoilTEX – 61

  • Determinanten von (n× n)-Matrizen (Entwicklungssatz von Laplace)

    Entwicklung nach einer Zeile:

    det A = n∑

    k=1

    aik(−1)i+k det Aik i ist ein beliebiger Zeilenindex

    Entwicklung nach einer Spalte:

    det A = n∑̀ =1

    a`j(−1)`+j det A`j j ist ein beliebiger Spaltenindex

    Aik. . . Matrix, die entsteht, wenn in der Matrix A die i-te Zeile und die k-te Spalte gestrichen werden.

    Der Ausdruck (−1)i+j detAij wird auch als Co-Factor Cij bezeichnet:

    Cij := (−1)i+j · det Aij

    – Typeset by FoilTEX – 62

  • Entwicklungssatz mit Co-Faktoren

    Unter Verwendung von Co-Faktoren vereinfachen sich die Formeln des Entwicklungssat- zes zu:

    det A = n∑

    k=1

    aikCik = ai1Ci1 + ai2Ci2 + · · ·+ ainCin

    bzw.

    det A = n∑̀ =1

    a`jC`j = a1jC1j + a2jC2j + · · ·+ anjCnj

    Sei A =

     a11 a12 . . . a1na21 a22 . . . a2n... an1 an2 . . . ann

    , dann ist der Co-Faktor Cij von A gegeben durch:

    – Typeset by FoilTEX – 63

  • Ein Beispiel:

    det

     2 −1 0 0 1 0 2 0 0 −3

    −1 2 1 0 0 2 1 6 3 1 0 2 1 0 1

     =

    – Typeset by FoilTEX – 64

  • Determinanten von Dreiecksmatrizen

    ∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣ 1 1 2 4 2 0 5 1 3 1 0 0 3 0 3 0 0 0 4 2 0 0 0 0 6

    ∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣ =

    Allgemein gilt:

    Ist A = (aij)n×n (a) eine obere oder (b) eine untere Dreiecksmatrix oder (c) eine Diagonalmatrix, dann ist die Determinante das Produkt der Diagonalelemente:

    det(A) = a11× . . .×ann

    – Typeset by FoilTEX – 65

  • Berechnung der Determinante unter Nutzung des Satzes für Dreiecksmatrizen

    Eine beliebige (n × n)-Matrix kann unter Verwendung der Operationen, welche beim Gauss-Algorithmus verwendet werden, zu einer Dreiecksmatrix umgeformt werden. Dabei wird der Wert der Determinante dieser Matrix verändert:

    Eigenschaften von Determinanten C,D,F (S. 59)

    Diese Veränderungen müssen am Ende bei der Berechnung der Determinante berück- sichtigt werden.

    – Typeset by FoilTEX – 66

  • Ein Beispiel 2 −1 2 1 0

    −6 3 −7 −2 1 −2 1 1 1 1

    1 2 0 1 4 2 1 2 2 3

     

    2 −1 2 1 0 0 0 −1 1 1 0 0 3 2 1 0 5 −2 1 8 0 2 0 1 3

     

    2 −1 2 1 0 0 2 0 1 3 0 0 3 2 1 0 5 −2 1 8 0 0 −1 1 1

     

    2 −1 2 1 0 0 2 0 1 3 0 0 3 2 1 0 0 −4 −3 1 0 0 −1 1 1

     

    2 −1 2 1 0 0 2 0 1 3 0 0 3 2 1 0 0 0 −1 7 0 0 0 5 4

     

    2 −1 2 1 0 0 2 0 1 3 0 0 3 2 1 0 0 0 −1 7 0 0 0 0 39

    

    – Typeset by FoilTEX – 67

  • Determinanten von Blockmatrizen

    M =

     A B

    C D

     =

    

    a11 . . . . . . a1m b1,1 . . . b1n ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...

    am1 . . . . . . amm bm1 . . . bmn c1,1 . . . . . . c1m d11 . . . d1,n

    ... ... ... ... cn1 . . . . . . cnm dn,1 . . . dn,n

     ,

    A . . .m×m B . . . m× n C . . . n×m D . . . n× n

    Gilt B = 0 oder C = 0, dann ist det(M) = det(A) det(D).

    Also: det

     A 0 C D

     = det  A B

    0 D

     = det(A) det(D). – Typeset by FoilTEX – 68

  • ... und noch ein Determinanten-Beispiel

    ∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

    7 −3 −1 523 0 0 0 −2 41 −1004 0 0 0 0 3 −123 0 0 0 0 0 −1 0 0

    −75 798 164 24 −5 −1 64 46 −92 −2345 7 3

    ∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣ =

    – Typeset by FoilTEX – 69