1.1 Determinantul unei matrice patratice de ordin cel mult trei

1.2 Aplicatii ale determinantilor in geometrie

Determinantul unei matrice patratice de ordin cel mult trei

In acest paragraf vom prezenta cum fiecarei matrice patratice de ordin cel mult trei I se poate asocia dupa anumite reguli un numar real numit determinant.

Determinantul de ordin 2Definitie. Fie matricea matricea patratica de ordinul doi

Se numeste determinantul de ordin doi sau determinantul matricei A de ordinul doi

Determinantul de ordinul 3Prin analogie cu introducerea determinantului de ordinul doi , determinantul de ordin trei va fi definit strans legat de rezolvarea unui sistem de trei ecuatii de gradul intai cu trei necunoscute. Scopul introducerii ecestiua este de a gasi o metoda mai usoara de rezolvare a unui astfel de sistem.

Definitie.Fie matricea partatica de ordinul trei

Se numeste teterminantul de ordinul 3 sau determinantul matricei

Reguli de calcul pentru determinantul de ordinul 3 Analizand definitia determinantului de ordinul trei se observa ca valoarea sa este data de suma a sase termeni, dintre care tei au semnul plus, iar trei au semnul minus.Pt un calcul mai usor, bazat pe un sport logic, se poate folosi una din urmatoarele reguliA.Regula lui SARRUSPentru calculul determinantului de ordinul trei al matricei prin regula lui Sarrus se procedeaza astfel se copiaza linia intai si a doua sub determinat (sau sub matrice); se insumeaza produsele terminilor situati pe diagonala principala respectiv pe paralelele la aceasta; se scad produsele termenilor situati pe diagonala secundara cat si produsele termenilor situati pe paralelele la aceasta

B.Regula TRIUNGHIULUI Analizand termenii precedenti de semnul + ai determinantului de ordinul trei se observa ca termenul este produsul termenilo de pe diagonala principala, iar termenii , sunt produsele elementelor considerate ca varfuri ale triunghiurilor avand fiecare o latura paralela cu diagonala principala.

Termenii precedati de semnul -sunt care este produsul elementelor diagonalei secundare si ,respectiv ,care sunt produsul elementelor cosiderate ca varfuri de triunghiuri avand o latura paralela cu duiagonala secundara.

Exemple Exemplu. S se calculeze prin cele dou metode de mai sus determinantul :. Regula lui Sarrus. Regula triunghiului

Regula de obtinere a termenilor determinantuluio de ordinul 3 prin acest procedeu se numaste regula triunghiului.C. Regula minorilor Fie o matrice patratica de ordinul DEFINITII Se numeste minorul elementului determinantul de ordinul care se obtine din determinantul matricei suprimand linia si coloana si se noteaza . Numarul se numeste complementul algebric al elementului

TEOREMA (Regula minorilor sau dezvoltarea determinantului dupa elementele unei linii sau coloane). Fie un determinant de ordinul trei.

Valoarea determinantului este egala cu suma produselor elementelor unei linii(sau coloane) cu compelementii algebrici corespuzatori

Proprietati ale determinantilorIn calculul determinantilor sau in unele probleme care cuprind determinanti sunt utile unele proprietati speciale care conduc la rezultate mai usor de obtinut.Proprietatea 1. Daca intr-un determinant toate elementele unei linii sau unei coloane sunt nule, atunci determinantul este nulProprietatea 2. Daca un determinant are doua linii sau doua coloane identice, atunci valoarea determinantului este zeroProprietatea 3. Daca elementele a doua coloane ale unui determinant sunt proportionale, atunci determinantul este nul

Proprietatea 4. Daca o linie sau o coloana a unui determinant este o combinatie liniara de celelate linii sau coloane, atunci determinantul este nul.Proprietatea 5. Daca toate elementele unei linii sau coloane a unui determinant sunt inmultite cu un numar ,atunci valoarea determinantului se multiplica cu .Proprietatea 6. Determinantul unei matrice patratice coincide cu determinantul matricei transpuse.

Proprietatea 7. Daca intr-un determinant se permuta intre ele doua linii sau doua coloane, atunci determinantul obtinut este opusul determinantului initialProprietatea 8. daca intr-un derterminant se aduna la elementele unei linii sau coloane elementele altei linii, respectiv coloane, inmultite eventual cu un acelas numar, atunci valoarea determinantului nu se schimbaProprietatea 9. daca atunciProprietatea 10. Intr-un determinant suma produselor dintre elementele unei linii(coloane) si complementii algebrici ai elementelor corespunzatoare de pe alta linie (coloana)este nula

Teorema

Ecuatia dreptei determinata de doua puncte ditincteSa consideram planul raportat la reperul cartezian Si doua puncte distincte din plan.

Ecuatia generala a dreptei in plan:

Ecuatia determinata de punctele

Sa consideram in planul punctele distincte

Punctele A,B,C sunt coliniare daca sunt situate pe o dreapta. Pt a exprima coliniaritatea pct cu ajutorul coordonatelor se va scrie ecuatia dreptei A,B sub forma de determinant:

si apoi se va pune conditia ca

punctul sa apartina dreptei AB,

Coliniaritatea a trei puncte in planadica coordonatele punctului C sa verifice ecuatia dreptei AB

Se obtine relatia .Asadar punctele

sunt trei puncte

coliniare daca se verifica egalitatea =,(2)

Aria unei suprafete triunghiulareAria triunghiului este data de formula urmatoare:

Aria unui poligon convex

Distanta de la un punct la o dreapta

EXERCITII!

EXERCITII!

Exercitii!

La acest referat au lucrat Pana Florina si Pana Florin impreuna cu Bouros Elena, Rebegea Dumitru si Lunca Vanessa

Sef de echipa:PANA FLORINA