UNIVERSITATEA "POLITEHNICA" DIN BUCUREŞTI CATEDRA DE FIZICĂ

LABORATORUL DE OPTICĂ

BN - 120 B

DETERMINAREA LUNGIMII DE UNDĂ A RADIAŢIEI CVASIMONOCROMATICE CU AJUTORUL

BIPRISMEI FRESNEL

2004 - 2005

1

DETERMINAREA LUNGIMII DE UNDĂ A RADIAŢIEI

CVASIMONOCROMATICE CU AJUTORUL BIPRISMEI FRESNEL

1. Scopul lucrării: studiul interferenţei luminii, determinarea lungimii de undă a unei

radiaţii cvasimonocromatice.

2. Teoria lucrării Biprisma Fresnel (BPF) este un dispozitiv interferenţial alcătuit din două prisme optice identice, cu unghiuri diedre mici, ce sunt lipite la bază între ele.

Cele două imagini virtuale ale sursei S, S1 şi S2, ce se obţin ca urmare a refracţiei undelor emise de susa S prin cele două prisme (Fig. 1) reprezintă surse coerente. Undele coerente provenite de la cele două surse virtuale S1 şi S2 produc fenomenul de interferenţă, obţinându- se un sistem de franje nelocalizate care sunt studiate într-un plan Π , normal pe axa SO a sistemului optic.

S

S1

S2

��

BPF

O

ba

d

A

�

M

Fig. 1 Schema experimentală pentru observarea fenomenului de interferenţă cu BPF

Condiţia de observabilitate a fenomenului de interferenţă este determinată de existenţa unei distanţe spaţiale =d S1S2 cât mai mici, ceea ce asigură obţinerea unui grad de coerenţă ridicat al undelor (emise de S1 şi S2) ce se suprapun în regiunea haşurată. Această condiţie se realizează dacă unghiul A al fiecărei prisme este foarte mic (<1°) .

Relaţia dintre interfranja i (distanţa dintre două maxime sau minime consecutive) şi lungimea de undă λ a radiaţiei utilizate, se poate deduce într-un mod analog celui din cazul dispozitivului Young (vezi anexa 1)

,dLi

=λ (1)

unde baL += (2)

2

este distanţa dintre planul Σ al surselor coerente şi planul de observaţie Π , iar d este distanţa dintre cele două surse coerente. Datorită faptului că A este foarte mic, unghiul de deviaţie δ al razelor de lumină este (vezi anexa 2): ( )An 1−=δ (3) unde n este indicele de refracţie al materialului din care este făcută prisma. De asemenea, presupunând că sursele S, S1 şi S2 sunt coliniare, din triunghiul S1SM rezultă, ţinând cont de relaţia (3):

( ) .12

Anaad−=δ≈ (4)

Folosind relaţiile (1), (2) şi (4), se obţine expresia lungimii de undă:

( ) .12baAain

+−

=λ (5)

3. Montajul experimental Montajul experimental cuprinde, pe lângă becul electric O alimentat la reţea (220V),

următoarele dispozitive fixate pe suporţi care pot culisa pe bancul optic BO (Fig. 2): 1) un ecran opac în care este practicată o fantă S, avînd deschiderea reglabilă cu ajutorul şurubului E, care constituie sursa obiect; 2) biprisma Fresnel BPF, caracterizată de mărimea 0186,0)1(2 =− An , care se poate roti faţă de un ax orizontal, cu ajutorul şurubului B1 şi poate fi translatată pe o direcţie perpendiculară pe axa BO, cu ajutorul şurubului B2; 3) dispozitivul pentru observarea şi măsurarea interfranjei, compus dintr-un filtru monocromatic F, o lupă L, un fir reticular, precum şi un şurub micrometric de care este ataşat solidar tamburul gradat T. Deplasarea firului reticular se citeşte pe rigla gradată R şi pe tamburul T.

BO

BPFS

E

B1

B2

LF

RT

O

Fig. 2 Montajul experimental

4. Modul de lucru Se aşează suportul cu fanta S la o distanţă de aproximativ 5 cm de bec, având grijă ca filamentul becului să fie în dreptul fantei, paralel cu aceasta. Biprisma şi lupa se aduc în apropierea fantei. Se conectează becul la reţea. Prin deplasarea biprismei pe direcţie orizontală (cu ajutorul şurubului B2) sau prin rotire (cu ajutorul şurubului B1) se obţine poziţia în care fasciculul provenit de fanta S cade pe muchia biprismei.

3

Se deplasează lupa perpendicular pe axa bancului, rotind de tamburul T, pentru ca fasciculul care a trecut prin biprismă să intre în câmpul vizual al lupei. Urmărirea fasciculului luminos se face cu uşurinţă prin prinderea lui pe o foaie de hârtie albă, fanta având în acest caz o lăţime de aproximativ 1 mm. Privind prin lupă se închide treptat fanta (cu ajutorul şurubului E) până când apar franjele de interferenţă.

Se poate realiza un contrast bun al franjelor prin manevrarea concomitentă a şurubului E de închidere a fantei S şi a surubului B1 care roteşte biprisma aducând muchia acesteia paralelă cu fanta. Pentru a îmbunătăţi precizia determinărilor, se măreşte interfranja îndepărtând treptat lupa de biprismă, fără a pierde însă franjele din câmpul vizual, astfel încât

8070 −=b cm. Se fixează suporţii pe banc cu ajutorul şuruburilor de la baza lor. Rotind de tamburul T, se suprapune firul reticular peste o franjă luminoasă şi se citesc indicaţiile de pe rigleta R (r1) şi de pe tamburul gradat T (t1). Rotind apoi tamburul, se deplasează firul reticular peste un numår întreg N de franje luminoase (de la 4 până la 10) şi se citesc din nou indicaţiile de pe rigletă (r2) şi de pe tambur (t2).

Se recomandă să se facă =mn 10 măsurători ale interfranjei, la valori fixe ale distanţelor a şi b . Distanţele a şi b se măsoară pe bancul optic, între reperele fixate pe suporţi. Pentru a evita erorile induse de pasul mort al tamburului este necesar ca, la fiecare măsurătoare, tamburul să fie rotit în acelaşi sens.

Apoi, păstrând consta = , se măreşte distanţa b cu încă 10 cm şi se efectuează încă un set de 10 măsurători ale interfranjei. Datele experimentale se completează într-un tabel de tipul tabelului 1.

Tabel 1. Date experimentale pentru lucrarea “Biprisma Fresnel”

a (mm)

b (mm)

1r (div)

1t (div)

1x (mm)

N 2r (div)

2t (div)

2x (mm)

12 xx − (mm)

i (mm)

λ (nm)

5. Prelucrarea datelor experimentale

Poziţiile, în diviziuni, ale franjelor luate in considerare la fiecare masurare, se exprimă în mm folosind relaţia

2,12,12,1 01.05.0 trx ⋅+⋅= (mm) Diferenţa ( 12 xx − ) dintre poziţiile acestor franje reprezintă lungimea iN ⋅ . Valoarea

interfranjei se obţine făcând raportul dintre lungimea iN ⋅ şi valoarea numărului N . Pentru fiecare valoare a interfranjei se calculează lungimea de undă cu ajutorul relaţiei (5), în care se înlocuiesc valorile constantei ( ) 0186,012 =− An şi ale distanţelor a şi b , considerate şi ele constante.

Se obţin astfel câte 10 valori ale lungimii de undă pentru fiecare distanţă b fixată. Se calculează, în fiecare din cele două cazuri, valoarea medie a lungimii de undă λ şi abaterea standard λσ după relaţiile

4

m

n

kk

n

m

∑=λ

=λ 1 (6)

( )

( )11

2

−

λ−λ

=σ∑=

λmm

n

kk

nn

m

(7)

unde mn reprezintă numărul de măsurători ale interfranjei. Rezultatul final se va da sub forma λσ+λ=λ (9)

6. Întrebări

1. În ce constă fenomenul de interferenţă şi care sunt condiţiile de obţinere a fenomenului? 2. Definiţi undele coerente şi precizaţi tipurile de coerenţă. Care din aceste cazuri este valabil

în condiţiile experimentale ale lucrării? 3. Demonstraţi că valoarea minimă a unghiului de deviaţie mδ se atinge atunci când razele de

lumină trec prin prismă simetric, unghiul de incidenţă pe prima suprafaţă a prismei fiind egal cu unghiul de refracţie prin cea de-a doua suprafaţă (vezi anexa 2, fig. A2(a)).

4. Care este efectul creşterii distanţei b asupra interfranjei şi asupra preciziei rezultatului final?

5. Analizaţi oportunitatea/neoportunitatea efectuării unui calcul de propagare a erorilor în condiţiile experimentale ale lucrării.

5

Anexe

Anexa 1- Interferenţa a două unde coerente

În figura A1 sunt reprezentate cele două surse virtuale, aflate în planul Σ şi planul de observare Π , dispus perpendicular pe axa SO a sistemului optic.

Cercul cu centrul în P , avînd raza PS2, intersectează PS1 în B. Dacă distanţa L de la planul Σ la planul Π este mare în comparaţie cu distanţa d dintre fante , arcul S2B poate fi considerat o dreaptă ce formează unghiuri drepte cu PS şi PS1. Atunci triunghiul BS1S2 este un triunghi dreptunghic, asemenea cu POS , iar distanţa S1B este egalå cu θsind .

Propagarea facându-se în aer, această distanţă reprezintă diferenţă de drum optic dintre undele provenite de la cele două surse virtuale, ( )21 rrnaer − . Prin interferenţa celor două unde, în punctul P se obţine un maxim de intensitate dacă este îndeplinită condiţia

λ=θ md sin unde ...3,2,1,0=m (A1)

S1

S2

�

�

O

L

d

B

P

y

� �

r1

r2

S

Fig. A1

Franja centrală luminoasă din punctul O corespunde unei diferenţe de drum nule, adică sin θ = 0. Distanţa my dintre franja de ordinul zero şi punctul P aflat în centrul celei de-a m - a franje este: mm Ly θ= tg (A2)

Deoarece pentru toate valorile lui m unghiul θ este foarte mic, mm θ≈θ sintg şi rezultă:

d

mLLy mmλ

=θ= sin . (A3)

Ştiind că interfranja este distanţa dintre două maxime (sau minime) consecutive rezultă că

dLyyi mm

λ=−= +1 . (A4)

6

Anexa 2 - Unghiul de deviaţie minimă

Se consideră o rază de lumină incidentă sub un unghi i pe una din feţele unei prisme

optice (o piesă optică dintr-un mediu transparent limitat de doi dioptri plani care formează între ei un anumit unghi numit unghiul prismei), ca în figura A2 (a). Fie n indicele de refracţie al prismei, A unghiul prismei şi considerăm că mediul în care este plasată prisma este aerul. Se defineşte unghiul de deviaţie δ ca fiind unghiul dintre direcţia razei incidente pe prismă şi direcţia razei emergente.

i� m

r

r’=i

� �

A/2

i �A

(a) (b)

i

n

ri’

r’ i’=r

Fig. A2

Valoarea minimă a unghiului de deviaţie mδ se atinge atunci când razele de lumină trec prin prismă simetric, unghiul de incidenţă pe prima suprafaţă a prismei i fiind egal cu unghiul de refracţie prin cea de-a doua suprafaţă 'r (Fig. A2 (b)).

Acest unghi de deviatie minima este legat de unghiul prismei si de indicele de refractie prin relatia:

( )[ ]

2/sin2/sin

AA

n mδ+= (A5)

Pentru a deduce relaţia (A5) se observă din figura A2 (b) că:

2

' Air == (unghiuri cu laturile respectiv perpendiculare) (A6)

2/1 mδ=δ (pe fiecare suprafaţă se produce o jumătate din deviaţia totală) (A7)

222

' 1mm AArri

δ+=

δ+=δ+== (A8)

rni sinsin = (legea refracţiei) (A9) Înlocuind în (A9) relaţiile (A6) şi (A7) se obţine

2

sin2

sin AnA m =

δ+, (A10)

care este chiar relaţia (A5). Dacă unghiul prismei este mic, unghiul de deviaţie minimă este şi el mic, astfel încât

22sin mm AA δ+

≈δ+

şi 22

sin AA≈ . (A11)

Se obţine astfel :

A

An mδ+= sau ( )Anm 1−=δ (A12)