Deterministic Dynamic Programming

  • View
    215

  • Download
    0

Embed Size (px)

DESCRIPTION

riset operasi

Text of Deterministic Dynamic Programming

DETERMINISTIC DYNAMIC PROGRAMMING

DETERMINISTIC DYNAMIC PROGRAMMINGProgram Studi StatistikaUniversitas BrawijayaDynamic programming problems adalah masalah multi tahap(multistage) dimana keputusan dibuat secara berurutan (in sequence) Beberapa aplikasi dari dynamic programming antara lain:Network Resource allocationInventory control,

2Network problemUntuk menemukan shortest (longest) path yang menghubungkan dua titik dalam networkContoh:Joe tinggal di new York dan akan pergi ke LA. Dia berencana menginap di rumah temannya dalam perjalanan tersebut. Joe punya teman di Columbus, Nashville, Louisville, Kansas, Omaha, Dallas, San Antonio, dan Denver. Joe tahu setelah satu hari perjalanan dia akan mencapai Columbus, Nashville atau Louisville. Setelah perjalanan 2 hari akan mencapai Kansas, Omaha, atau Dallas. Setelah 3 hari perjalanan akan mencapai Denver atau San Antonio. Setelah 4 hari akan mencapai LA. Untuk meminimalkan jarak, kemana Joe harus menginap setiap malam dalam perjalanannya ?network 680 1050 580 610 550 790 790 1030 900 760 540

660 700 940 1350 770 510 790

830 270

Stage 1 Stage 2 Stage 3 Stage 4 Stage 5New York1Nashville3Columbus2Louisville4Kansas5Omaha6Dallas7LA10Denver8San Antonio9The recursionIde bekerja secara backward adalah kita mulai menyelesaikan masalah dari yang paling sederhana untuk menyelesaikan masalah yang kompleks.Jadi kita mulai dari kota yang hanya membutuhkan perjalanan satu hari ke LA yaitu kota Denver dan San Antonio (kota pada stage 4)Kemudian kita gunakan informasi dari stage 4 untuk menemukan jarak terpendek dari kota pada stage 3 ( yang membutuhkan 2 hari) ke LADemikian seterusnya sampai kita menemukan shortest path dari kota New York ke LA

SolusiTentukan Cij = jarak kota i ke kota jTentukan Ft(i) = panjang shortest path dari kota i ke kota LA dimana kota i adalah kota pada stage tTentukan shortest path ke LA dari setiap kota di setiap stage mulai dari stage akhirStage 4 computationKarena hanya ada satu path dari kota pada stage 4 ke LA maka kita dapat langsung menentukan Jarak terpendek dari kota Denver ke kota LA adalahF4(8) = 1030Dari kota San Antonio ke LA adalahF4(9) = 1390Stage 3 computationTerdapat tiga kota pada stage 3 yaitu kota Kansas, Omaha dan DallasDari kota Kansas terdapat 2 path menuju kota LA yaitu Path 1. Kansas Denver kemudian mengambil shortest path dari Denver ke LAPath 2. Kansas San Antonio kemudian mengambil shortest path dari San Antonio ke LAStage 2 computationPada stage 2 terdapat 3 kota yaitu Columbus, Nashville, dan LouisvilleTerdapat 3 path dari Coulumbus ke LA yaituPath 1. Columbus Kansas kemudain mengambil shortest path dari KansasPath 2. Columbus Omaha kemudian mengambil shortest path dari OmahaPath 3. Columbus Dallas kemudian mengambil shortest path dari Dallas

Stage 1 computationDari kota 1(New York) terdapat 3 Path ke kota LA yaituPath 1. New York Columbus kemudian mengikuti shortest path dari ColumbusPath 2. new York Nashville kemudian mengikuti shortest pat dari NashvillePath 3. New York Louisville kemudian mengikuti shortest path dari Louisville Karakteristik aplikasi Dynamic Programming Karakteristik 1Problem dapat dibagi menjadi beberapa stage dan dibutuhkan sebuah keputusan pada setiap stage.Karakteristik 2Setiap stage memiliki beberapa state.state, adalah informasi yang dibutuhkan pada setiap stage untuk membuat keputusan optimal.Karakteristik 3Keputusan yang dipilih pada setiap stage menggambarkan bagaimana state pada stage sekarang ditransformasi ke state pada stage berikutnya.16 Karakteristik 4Diberikan state sekarang, keputusan optimal untuk setiap stage yang tersisa harus tidak tergantung pada state yang dicapai sebelumnya atau keputusan yang diambil sebelumnya.Ide ini dikenal sebagai the principle of optimality.Karakteristik 5Jika state untuk suatu problem telah diklasifikasikan ke T stage, harus terdapat rekursi yang menghubungkan biaya atau reward yang didapat selama stage t, t+1, ., T terhadap biaya atau reward yang didapat dari stages t+1, t+2, . T. 17Production And Inventory ProblemDynamic programming dapat digunakan untuk menyelesaikan masalah inventory dengan karakteristik berikut: Waktu dibagi menjadi beberapa periode. Periode sekarang adalah periode 1, berikutnya periode 2 dan terakhir adalah periode T. Pada awal periode 1, permintaan selama setiap periode diketahui. Pada awal setiap periode, perusahaan harus menentukan berapa banyak unit yang harus diproduksi. Kapasitas produksi selama setiap periode terbatas. 18 Permintaan pada setiap periode harus dipenuhi tepat waktu dari inventory ataau produksi sekarang. Selama setiap periode dimana dilakukan produksi maka akan timbul fixed cost dan variabel cost. Perusahaan memiliki kapasitas penyimpanan yang terbatas. Hal ini mencerminkan batas pada end-of-period inventory. Holding cost per unit timbul pada setiap periods ending inventory.Tujuan perusahaan adalah menentukan jadwal produksi untuk meminimumkan total cost dari pemenuhan permintaan tepat waktu untuk periode 1,2, ., T.19 Pada model ini, posisi inventory perusahaan direview pada akhir setiap periode dan kemudian keputusan produksi dibuat. Model seperti ini dinamakan periodic review model. Model ini berlawanan dengan the continuous review model dimana perusahaan mengetahui posisi inventory setiap saat dan memesan order atau memulai produksi setiap saat. 2021PRODUCTION AND INVENTORY PROBLEMSMJ berencana memproduksi 15 mobil selama 5 bulan yaitu bulan Mei, Juni, Juli, Agustus dan September.22Maximum level produksi adalah 3 untuk Juli, dan 4 untuk setiap bulan yang lain.Kapasitas penyimpanan adalah 2 mobil dengan holding cost adalah $2,500 per bulan ($3,000 untuk Mei).

Fixed costs (untuk asuransi dan lain lain) hanya terjadi jika mobil benar benar diproduksi

Data23Membuat jadwal produksi yang meminimumkan total costTUJUAN DARI MJ24Stage variable j: Bulan ke - j.

State variable Xj: Banyaknya mobil di inventory pada awal bulan ke - j

Decision variable Dj: Jumlah produksi untuk bulan ke jMJ - Definisi25Production costs PCj(Dj) dalam bulan j proporsional dengan jumlah mobil yang diproduksiPCj(Dj) = PjDjHolding (storage) costs HCj(Dj) dalam bulan ke j dibayarkan untuk mobil yang tidak terjual di akhir bulan ke j.Untuk bulan j =1: HC1(D1) = 3000(X1 + D1 - C1)= 3000D1 9000Untuk bulan j = 2, 3, 4, 5: HCj(Dj ) =2500(Xj+Dj - Cj)Stage cost function:Fixed costs FCj(Dj) terjadi jika dalam bulan ke j terdapat produksi mobil. SehinggaFCj(Dj) = Sjjika Dj > 0FCj(0) = 0jika Dj = 0MJ - DefinisiAsumsi: X1 = 0 dan C1 = 326The optimal value function Fj(Xj) dalam bulan j adalah minimum total cost yang terjadi dari bulan ke j sampai 5( September), jika terdapat Xj mobil pada inventory di awal bulan ke-j Boundary conditions F5(X5):F5(0) = 2,000 + 23,000(4) = $94,000;D5 = 4F5(1) = 2,000 + 23,000(3) = $71,000;D5 = 3F5(2) = 2,000 + 23,000(2) = $48,000;D5 = 2

Optimal solution F1(0) adalah minimum total cost dari bulan Mei sampai September jika tidak ada inventory awalMJ - Definisi27Fj(Xj) = Min{FCj(Dj) + PCj(Dj) + HCj(Dj) + Fj+1(Xj +Dj - Cj)},

Dj feasible hanya jika memenuhi kondisi berikut :Dj + Xj Cj ; D3 3 for July; Dj 4 for j = 1, 2, 4, 5; Dj + Xj - Cj 2;Dj 0

Pada semua Dj yang feasible.The Recursion28Recursive Calculations Stage 4: AugustX4Possible D4X4 + D4 C4 FC4 PC4 HC4 F5(X4+D4C4) Total OptimalProductionUnits Stored Cost Value0Infeasible Infeasible Infeasible1 40352094149.0F4=149 D4=42 413522.571128.5F4=128.530339094136.0D4=4 BulanFixed Production Holding Permintaan Kap Produksi Kap invjCosts Sj ($) Costs Pj ($) Cost s Hc ($) CjAugust3000 13,0002,500 54 229X3Possible D3X3 + D3 C3 FC3 PC3 HC3 F4(X3+D3C3) Total OptimalProductionUnits Stored Cost Value0214182.5149173.5F3=164.5324275.0128.5164.5D3=3111492.5149164.5F3=155.5 224185128.5155.5D3=2201002.5149151.5F3=146.5 12495128.5146.5D3=1Recursive Calculations Stage 3: JulyBulanFixed ProductionHolding Permintaan Kap Produksi Kap invjCosts Sj ($) Costs Pj ($)Cost s Hc ($) CjJuly4000 9,000 2,500 1 3 2Recursive Calculations Stage 2: JuniX2Possible D2X2 + D2 C2Units StoredFC2PC2HC2F3(X2+D2C2)TotalCostOptimal Value023401233332486402.55164.5155.5146.5199.5209218.5F2 = 199.5D2 = 2112301233316324802.55164.5155.5146.5183.5193202.5F2 = 183.5D2 = 1

20120120330163202.55164.5155.5146.5164.5177186.5F2 =164.5D2 = 0

BulanFixed ProductionHolding Permintaan Kap Produksi Kap inv jCosts Sj ($) Costs Pj ($)Cost HCj CjJune3000 16,000 2,500 24 2Recursive Calculations Stage 1: MeiBulan Fixed ProductionHolding Permintaan Kap Produksi Kap invj Costs Sj ($) Costs Pj ($)Cost s Hc ($) CjMay 2000 21,000 $3,000 3 4 2

X1Possible D1X1 + D1 C1Units StoredFC1PC1HC1F2(X1+D1C1)TotalCostOptimal Value0340122638403199.5183.5264.5272.5F1= 264.5D1 = 3solusi

Jadwal Produksi MJ yang meminimumkan total costBulan May : 3 MobilBulan Juni : 2 MobilBulan Juli: 3 Mobil Bulan Agustus: 4 MobilBulan September : 3 Mobi