Deterministic Random Walks Tobias Friedrich Max-Planck-Institut für Informatik Saarbrücken Friedrich-Schiller-Universität Jena

Deterministic Random Walks

Tobias Friedrich

Max-Planck-Institut für Informatik Saarbrücken

Friedrich-Schiller-Universität Jena

Tobias Friedrich

Random Walk vs. Propp Machine

Ein-Knoten-Diskrepanz

Aggregating Model

Übersicht

= Theorie

= Praxis/Anwendung

Tobias Friedrich

RandomWalk auf Z2

Tobias Friedrich

Zusätzlich Zeiger an jeder Position:

Propp Machine

Tobias Friedrich

Propp Machine

Tobias Friedrich

Propp Machine Detailansicht:

1.

2.

3.

4.

(";! ;#;Ã )Kreisförmige Rotor Sequence

(";! ;#;(";! ;(";

Tobias Friedrich

Propp Machine Detailansicht:

1.

2.

4.

3.

(";! ;Ã ;#)(";(";! ;(";! ;Ã ;Nicht-Kreisförmige Rotor Sequence

Tobias Friedrich

Fragestellung

Wie gut beschreibt die Propp Machine einen Random Walk?

Tobias Friedrich

Voraussetzung 1 Anfangskonfiguration hat Chips nur auf einer Parität

Tobias Friedrich

(1,0)

(0,1)

(0,-1)

(0,0)(-1,0)

Angepaßtes Koordinatensystem

Voraussetzung 2

Tobias Friedrich

(1,1)(-1,1)

(-1,-1) (1,-1)

(0,0)

Angepaßtes Koordinatensystem

Voraussetzung 2

Tobias Friedrich

Für feste Anfangskonfiguration

Notation

rw(x;t) := erwartete Anzahl Chips an Position xnach t zufÄalligen Schritten

pr opp(x;t) := Anzahl Chips an Position xnach t Propp Schritten

[ Rechnung siehe Tafel ]

H (x;t) := WSK, dass Chip von x in t zufÄalligenSchritten am Ursprung ankommt

Weitere Notation

Tobias Friedrich

Bekannte Ergebnisse

Cooper und Spencer [1]:

Cooper, Spencer, Doerr, Tardos [2]:

maxx2Zd

maxt¸ 0

¡pr opp(x;t) ¡ rw(x;t)

¢· cd

maxx2Z1

maxt¸ 0

¡pr opp(x;t) ¡ rw(x;t)

¢¼2:29

[1] Joshua Cooper, Joel Spencer: “Simulating a random walk with constant error.”Zu erscheinen in “Combinatorics, Probability and Computing”

[2] Joshua Cooper, Benjamin Doerr, Joel Spencer, Gábor Tardos: “Deterministic random walks on the integers”.Zu erscheinen in “European Journal of Combinatorics”

Tobias Friedrich

Unser Ergebnis

maxx2Z2

maxt¸ 0

jpr opp(x;t) ¡ rw(x;t)j Auf dem zwei-dimensionalen Gitter Z2

¼

(7:83 fÄur kreisfÄormige Rotor Sequences

7:28 fÄur nicht-kreisfÄormige R.S.

Tobias Friedrich

Intuition

Propp Machine

Wir wollen pr opp(0;t) ¡ rw(0;t) maximieren

Tobias Friedrich

Intuition

14141414

14141414

14141414

14141414

14

12

14

14

12

14

12

12

Random WalkPropp Machine

Das ergibt pr opp(0;2) ¡ rw(0;2) = 4¡ 1= 3.

Tobias Friedrich

Ein einfaches Beispiel

pr opp(0;t) ¡ rw(0;t)¼6:68.

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Ein besseres Beispiel

pr opp(0;t) ¡ rw(0;t)¼7:77.

fÄur (%;& ;. ;- )

nur erlaubt falls - und. in Rotor Sequenceaufeinanderfolgend sind

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pr opp(0;t) ¡ rw(0;t)¼7:22.

Ein besseres BeispielfÄur (%;- ;& ;. )

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Obere Schranke

Satz: Diskrepanz kann nach oben abgeschätzt werden durch die Summe der worst-case Beiträge aller Positionen:

jpr opp(0;t) ¡ rw(0;t)j ·X

x2Z2

con(x)

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Pfeil = Chip in diese Richtung geschickt zu bestimmter Zeit

Pfeillänge = Beitrag dieses Chips

Roter Pfeil = negativer Beitrag

Worst-case fÄur (%;- ;. ;& )

Tobias Friedrich

Worst-case KonfigurationenKreisfÄormige Rotor Sequence

(%;- ; . ;& )Nicht-kreisfÄormige Rotor Seq.

(%;- ;& ;. )

Tobias Friedrich

103 ¢con(x)

BeitrÄage verschiedener xKreisfÄormige Rotor Sequence

(%;- ; . ;& )Nicht-kreisfÄormige Rotor Seq.

(%;- ;& ;. )

Tobias Friedrich

Beweise

Berechne

X

kxk1 >800

con(x) · 0:16

ObereSchranke

X

kxk1 · 800

con(x) ¼

(7:83 fÄur kreisfÄormige R.S.

7:28 for nicht-kreisfÄormige R.S.

Tobias Friedrich

Untere Schranke

Untere Schranke = obere Schranke !!

Worst-case Konfigurationen sind konstruierbar

Arrow-forcing Theorem:FÄur jedes ar r : (x;t) ! f%;& ;. ; - g gibtes eine Anfangskon̄ guration, so da¼dasresultierende Spiel gerade Zeiger ar r (x;t) hat.

Tobias Friedrich

Zusammenfassung Theorieteil

Ergebnisse für die 2D Propp Machine:

Diskrepanz 7.83/7.28 für kreisförmige/nicht-kreisförmige Rotor Sequences (scharf!)

Erster Beweis, daß die Reihenfolge in der die Nachbarn bedient werden überhaupt einen Einfluß hat

Genaue Charakterisierung der Worst-cases

Tobias Friedrich

Offene Fragen

Welche Graphen haben „Propp-Eigenschaft“?

Was ist mit durchschnittlicher Diskrepanz? Was passiert auf Intervallen von Zeit/Ort? ...

Tobias Friedrich

Aggregating Model

Diffusion Limited Aggregation:

Beschreibt Schneeflocken, Korallen, Blitze, Kristalle, Nebel, Rauch, …

Tobias Friedrich

Aggregating Model

Random Walk von 100 Chips:

Tobias Friedrich

Aggregating Model


Tobias Friedrich

Aggregating Model


Tobias Friedrich

Aggregating Random Walk

Differenz Inkreis/Umkreisradius mit hoher Wahrscheinlichkeit O(n1/3)

Experimentell anscheinend O(log n)

Tobias Friedrich

Aggregating Propp Machine

Tobias Friedrich


Konvergiert gegen Kreis Experimentell anscheinend konstant(!!)

Tobias Friedrich


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Danke!

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0.92

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1.61

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