DETERMINISTIČKI KAOSDETERMINISTIČKI KAOS

Riječ “kaos” potječe iz grčkog jezika Riječ “kaos” potječe iz grčkog jezika a znači nešto nepredvidivo, a znači nešto nepredvidivo, neopisivo, posve slučajno i zato neopisivo, posve slučajno i zato neupotrebljivo.neupotrebljivo.

Determinističko-predvidljivoDeterminističko-predvidljivo

Determinizam-težnja znanstvenika Determinizam-težnja znanstvenika da pojave objasne egzaktnim i da pojave objasne egzaktnim i rješivim jednadžbama.rješivim jednadžbama.

Znanstvenici mogu pomoću Znanstvenici mogu pomoću poznavanja jednadžba gibanja i poznavanja jednadžba gibanja i početne uvjete predvidjeti ponašanje početne uvjete predvidjeti ponašanje sustava u budućnosti, a razvojem sustava u budućnosti, a razvojem elektronike znanstvenisi su se elektronike znanstvenisi su se ponadali da će jednostavno rješiti sve ponadali da će jednostavno rješiti sve probleme koje su dotada izbjegavali probleme koje su dotada izbjegavali zbog prevelikog opsega proračuna, zbog prevelikog opsega proračuna, no pokazalo se kako i relativno no pokazalo se kako i relativno jednostavni sustavi nisu jednostavni sustavi nisu deterministički i pokazuju deterministički i pokazuju nepredvidljivostnepredvidljivost

TAKO JE OTKRIVEN TAKO JE OTKRIVEN DETERMINISTIČKI KAOSDETERMINISTIČKI KAOS!!!!

Suvremeno proučavanje Suvremeno proučavanje determinističkog kaosa počelo je determinističkog kaosa počelo je šezdesetih godina dvadesetog šezdesetih godina dvadesetog stoljeća,kad je zapaženo da stoljeća,kad je zapaženo da jednostavne determinističke jednostavne determinističke matematičke jednadžbe mogu imati matematičke jednadžbe mogu imati predvidliva i predvidliva i nepredvidlivanepredvidliva rješenja rješenja

U prošlosti su znanstvenici pokušavali U prošlosti su znanstvenici pokušavali pronaći jedinstvenu jednadžbu koja bi pronaći jedinstvenu jednadžbu koja bi opisivala ustroj svijeta. Od njih se opisivala ustroj svijeta. Od njih se izdvojio PIERRE SIMMON DE LAPLACE - izdvojio PIERRE SIMMON DE LAPLACE - smatrao je da bi poznavanjem položaja smatrao je da bi poznavanjem položaja i brzina svih čestica u svemiru, te svih i brzina svih čestica u svemiru, te svih sila među njima, bilo moguće sila među njima, bilo moguće predvidjeti sva buduća zbivanja tako i predvidjeti sva buduća zbivanja tako i deterministička.deterministička.

- smatrao je da je ljudska - smatrao je da je ljudska sudbina potpuno određena fizikalnim sudbina potpuno određena fizikalnim zakonima i načelu pretkazivanjazakonima i načelu pretkazivanja

HENRY POINCARHENRY POINCARÉÉ- na osnovi - na osnovi istraživanja nebeskih tijela izrazio istraživanja nebeskih tijela izrazio prvu ozbiljnu sumnju u Laplaceov prvu ozbiljnu sumnju u Laplaceov determinizam - Henry govori o determinizam - Henry govori o početnim uvjetima, tj. on naslućuje da početnim uvjetima, tj. on naslućuje da nelinearni učinci u jednadžbama nelinearni učinci u jednadžbama gibanja, skupa s činjenicom da svako gibanja, skupa s činjenicom da svako mjerenje početnog uvjeta uvijek ima mjerenje početnog uvjeta uvijek ima ograničenu točnost, mogu voditi do ograničenu točnost, mogu voditi do sloma determinizma. Nezamjetljivo sloma determinizma. Nezamjetljivo mali početni uzroci mogli bi snažno mali početni uzroci mogli bi snažno utjecati na buduća zbivanja.utjecati na buduća zbivanja.

JOHANN VON NEUMANJOHANN VON NEUMAN - slijedi Laplaceova stajališta- slijedi Laplaceova stajališta - otac prvih kompjutora- otac prvih kompjutora - preko njega kompjutor postupno- preko njega kompjutor postupno preuzima važno mjesto u teoriji kaosapreuzima važno mjesto u teoriji kaosaEDWARD LORENZ- postavio EDWARD LORENZ- postavio

pojednostavljen kompjutorski model pojednostavljen kompjutorski model klime, njegov model svodio se na tri klime, njegov model svodio se na tri međusobno povezane diferencijalne međusobno povezane diferencijalne jednadžbe, koje je rješavao jednim od jednadžbe, koje je rješavao jednim od kompjutora iz pionirske faze informatikekompjutora iz pionirske faze informatike

On je na svojem jednostavnom On je na svojem jednostavnom nelinearnom modelu klime otkrio da nelinearnom modelu klime otkrio da postoji režim u kojemu izvanredno postoji režim u kojemu izvanredno mali uzrok može imati izvanredno mali uzrok može imati izvanredno velike posljedice – LEPTIROV UČINAK velike posljedice – LEPTIROV UČINAK (širenje leptirovih krila na jednom (širenje leptirovih krila na jednom mjestu može imati učinak na pojavu mjestu može imati učinak na pojavu orkanskog vjetra na drugom mjestu orkanskog vjetra na drugom mjestu udaljenom tisućama kilometara)udaljenom tisućama kilometara)

PokusPokus Dokazivanje da su početni uvjeti veoma važniDokazivanje da su početni uvjeti veoma važni

Jednostavno njihalo se sastoji od niti na koju je Jednostavno njihalo se sastoji od niti na koju je ovješena željezna kuglica koja se može njihati ovješena željezna kuglica koja se može njihati iznad 3 magnetića postavljena u vrhove iznad 3 magnetića postavljena u vrhove jednakostraničnog trokuta.Kada pustimo jednakostraničnog trokuta.Kada pustimo kuglicu, putanja će biti nepredvidljiva i ona će kuglicu, putanja će biti nepredvidljiva i ona će se zaustaviti kod jednog od magneta.Ali kada se zaustaviti kod jednog od magneta.Ali kada kuglicu drugi puta pustimo, putanja će se kuglicu drugi puta pustimo, putanja će se razlikovati od prijašnje, pa je tako i sam kraj razlikovati od prijašnje, pa je tako i sam kraj upitan.upitan.

Ekstremna osjetljivost na početne uvjete Ekstremna osjetljivost na početne uvjete - kaotični sustav ima izvanredno veliku - kaotični sustav ima izvanredno veliku

osjetljivost i na najmanju razliku u osjetljivost i na najmanju razliku u početnom uvjetupočetnom uvjetu

Kaotičan sustav- sustav u kojem gotovo Kaotičan sustav- sustav u kojem gotovo jednaki početni uvjeti nakon nekog jednaki početni uvjeti nakon nekog vremena mogu dovesti do potpuno vremena mogu dovesti do potpuno različitih ishodarazličitih ishoda

DVA UZROKA SLOMA DVA UZROKA SLOMA DETERMINIZMA U KAOTIČNOM DETERMINIZMA U KAOTIČNOM

REŽIMUREŽIMU1. Pomoću mjernih uređaja utvrđuje se 1. Pomoću mjernih uređaja utvrđuje se

početno stanje sustava koji se istražuje.početno stanje sustava koji se istražuje. Pritom svako mjerenje nužno ima Pritom svako mjerenje nužno ima određenu pogrešku!određenu pogrešku! Zato je, u načelu nemoguće znati točnu Zato je, u načelu nemoguće znati točnu vrijednost početnog stanja.vrijednost početnog stanja.

2. preciznost kojom kompjutor računa 2. preciznost kojom kompjutor računa uvijek će biti konačna, iako će se uvijek će biti konačna, iako će se tijekom vremena povećavatitijekom vremena povećavati

POSLJEDICA tih dvaju čimbenika jest to POSLJEDICA tih dvaju čimbenika jest to dada su brojčani rezultati izračunatoga su brojčani rezultati izračunatoga kaotičnog rješenja jednadžbe gibanja kaotičnog rješenja jednadžbe gibanja već nakon nekog malog broja prvih već nakon nekog malog broja prvih iteranada potpuno nepouzdani, pa iteranada potpuno nepouzdani, pa se se tada ne mogu ni na koji način tada ne mogu ni na koji način pretkazati daljnja zbivanja!pretkazati daljnja zbivanja!

Fazni prostor i fazni portretFazni prostor i fazni portretDinamički sustav-Dinamički sustav- - stanje mu se mijenja tijekom vremena- stanje mu se mijenja tijekom vremena - svaki ima tijela u međudjelovanju- svaki ima tijela u međudjelovanju 2 čimbenika:2 čimbenika: - jednadžba gibanja- jednadžba gibanja - varijable (veličine koje se- varijable (veličine koje se tijekom vremena mijenjaju)tijekom vremena mijenjaju)

Parametri sustava - veličine koje su Parametri sustava - veličine koje su tijekom vremena stalne i koje su tijekom vremena stalne i koje su karakteristike sustavakarakteristike sustava

Primjer: v - brzina tijela koje titra(kao Primjer: v - brzina tijela koje titra(kao naša kuglica na nit)naša kuglica na nit) v=? v=? r(t) i r(t +r(t) i r(t +ΔΔt) i t) i ΔΔt imamo, ako su t imamo, ako su

r(t) i r(t +r(t) i r(t +ΔΔt) dva uzastopna položaja, t) dva uzastopna položaja, a a ΔΔt vremenski intervalt vremenski interval

Brzinu tijela koje titra izračunat Brzinu tijela koje titra izračunat ćemo:ćemo:

t)t(r)tt(r

v

FAZNI PROSTOR-prostor u FAZNI PROSTOR-prostor u kojem prikazujemo ovisnost kojem prikazujemo ovisnost pomaka r i količine gibanja pomaka r i količine gibanja tijela ptijela p

Količina gibanja tijela p jednaka Količina gibanja tijela p jednaka je umnošku mase m i brzine je umnošku mase m i brzine tijela v:tijela v:

p= mvp= mvU svakom trenutku t stanje U svakom trenutku t stanje

promatranog sustava određeno promatranog sustava određeno je parom brojeva je parom brojeva {{r(t), p(t)r(t), p(t)}}

Ako to želimo grafički prikazati Ako to želimo grafički prikazati točka r ide na apcisu a p na točka r ide na apcisu a p na ordinatuordinatu

Fazna točka - točka koja prikazuje Fazna točka - točka koja prikazuje stanje sustava u jednom trenutkustanje sustava u jednom trenutku

Fazni portret - skup faznih točakaFazni portret - skup faznih točaka Jednodimenzionalno gibanje - gibanje Jednodimenzionalno gibanje - gibanje

pri kojem se položaj tijela može pri kojem se položaj tijela može prikazati jednom koordinatomprikazati jednom koordinatom

Fazna ravnina - ravnina u kojoj se Fazna ravnina - ravnina u kojoj se gibaju fazne točkegibaju fazne točke

Vremenski portret - prikaz ovisnosti Vremenski portret - prikaz ovisnosti brzine/elongacije titrajnog sustava o brzine/elongacije titrajnog sustava o vremenu vremenu tt

Idealizirani titrajni sustavIdealizirani titrajni sustavU slučaju idealiziranog titrajnog sustava U slučaju idealiziranog titrajnog sustava

harmonijskog oscilatora položaj harmonijskog oscilatora položaj yy i brzina i brzina titranja titranja vv predočeni su jednadžbama: predočeni su jednadžbama: (početna faza neka je jednaka nuli)(početna faza neka je jednaka nuli)

y=yy=y00sinsinωωt v=yt v=y00ωωcoscosωωttPa je količina gibanja p=mv kuglice mase Pa je količina gibanja p=mv kuglice mase

koja titra jednaka:koja titra jednaka: p=myp=my00ωωcoscosωωtt

Kad ovješena kuglica maseKad ovješena kuglica mase mm započinje započinje gibanje njena količina gibanja gibanje njena količina gibanja p=mvp=mv jednaka jednaka je nuli. Pomak je nuli. Pomak yy se sve više smanjuje po se sve više smanjuje po apsolutnoj vrijednosti, dok raste brzina apsolutnoj vrijednosti, dok raste brzina vv ovješene mase, pa time i njezina količina ovješene mase, pa time i njezina količina gibanja.gibanja.

U ravnotežnom položaju količina gibanja je U ravnotežnom položaju količina gibanja je maksimalna, dok je pomak maksimalna, dok je pomak y=0y=0. Za . Za jednostavno njihalo sve što moramo znati su jednostavno njihalo sve što moramo znati su položaj i brzina (tj.količina gibanja).Točke položaj i brzina (tj.količina gibanja).Točke prate stazu(elipsu).prate stazu(elipsu).

Primjer :Primjer :

Atraktor/privlačnikAtraktor/privlačnik- krivulja po kojoj se - krivulja po kojoj se giba fazna točkagiba fazna točka - za različite početne uvjete, dobivamo - za različite početne uvjete, dobivamo

različite različite atraktore, niz elipsiatraktore, niz elipsi - može biti i točka:- može biti i točka:Npr. za njihalo koje trenjem stalno gubi Npr. za njihalo koje trenjem stalno gubi

energiju, sve staze se spiralno kreću prema energiju, sve staze se spiralno kreću prema unutra, dakle, prema točki koja predstavlja unutra, dakle, prema točki koja predstavlja stabilno stanje(ravnotežni položaj) koje je, stabilno stanje(ravnotežni položaj) koje je, naposljetku, kad se sva energija utroši, naposljetku, kad se sva energija utroši, stanje mirovanja.stanje mirovanja.

Amplitude i brzine postaju sve manje i manje i Amplitude i brzine postaju sve manje i manje i njegovo njihanje prestane.njegovo njihanje prestane.

DETERMINISTIČKO GIBANJE SVEMIRSKOG DETERMINISTIČKO GIBANJE SVEMIRSKOG BRODABRODA

- kada smo učili Newtonovu jednadžbu - kada smo učili Newtonovu jednadžbu gibanja- gibanje svemirskog broda bilo je gibanja- gibanje svemirskog broda bilo je pod utjecajem zadanih sila raketnih pod utjecajem zadanih sila raketnih motora. To gibanje opisano je kao gibanje motora. To gibanje opisano je kao gibanje materijalne točke pod utjecajem određenih materijalne točke pod utjecajem određenih sila. Newtonovu jednadžba rješava se sila. Newtonovu jednadžba rješava se pomoću kompjutora i tako računa putanju pomoću kompjutora i tako računa putanju svemirskog broda. To je primjer svemirskog broda. To je primjer determinističkog gibanja; uz poznate sile determinističkog gibanja; uz poznate sile koje djeluju tijekom leta i uz poznati koje djeluju tijekom leta i uz poznati početni položaj i brzinu svemirskog broda, početni položaj i brzinu svemirskog broda, daljnje gibanje potpuno je određeno. To je daljnje gibanje potpuno je određeno. To je tipični primjer determinističkog gibanja tipični primjer determinističkog gibanja koje se može proračunati i pretkazatikoje se može proračunati i pretkazati

Rad srca i deterministički Rad srca i deterministički kaoskaos

Srce djeluje kao električni sustav u kojemu Srce djeluje kao električni sustav u kojemu iz izvora napona periodički,s određenom iz izvora napona periodički,s određenom frekvencijom, izlazi impuls električnog frekvencijom, izlazi impuls električnog napona i prolazi srcem izazivajući njegovo napona i prolazi srcem izazivajući njegovo stezanje, tako da srce pumpa krv. No, srce stezanje, tako da srce pumpa krv. No, srce djeluje kao nelinearni sustav i zbog toga djeluje kao nelinearni sustav i zbog toga može doći do promjena električnog može doći do promjena električnog impulsa. Smatra se da se kao rezultat impulsa. Smatra se da se kao rezultat mogu pojaviti aritmije, koje mogu voditi u mogu pojaviti aritmije, koje mogu voditi u kaotični režim, što može izazvati pojavu kaotični režim, što može izazvati pojavu srčanog aresta.srčanog aresta.

Počeli su prvi pokušaji primjene teorije Počeli su prvi pokušaji primjene teorije kaosa u kardiologiji – istražuje se kaosa u kardiologiji – istražuje se mogućnost primjene teorije kaosa kako bi mogućnost primjene teorije kaosa kako bi se izbjegao opasan prijelaz srca u kaotični se izbjegao opasan prijelaz srca u kaotični režim. Dosad je otkriveno da srce može ući režim. Dosad je otkriveno da srce može ući u kaos te da se takva pojava može izazvati u kaos te da se takva pojava može izazvati vanjskim električnim djelovanjem. Pritom vanjskim električnim djelovanjem. Pritom se nastoji spriječiti ulazak u kaotično se nastoji spriječiti ulazak u kaotično stanje, primjenom vrlo slabih ali precizno stanje, primjenom vrlo slabih ali precizno odmjerenih vanjskih električnih impulsa.odmjerenih vanjskih električnih impulsa.

Dokazano je da bi se, uz mali zahvat što Dokazano je da bi se, uz mali zahvat što izaziva malu promjenu kontrolnog izaziva malu promjenu kontrolnog parametra, mogao potaknuti takav parametra, mogao potaknuti takav privremeni bijeg iz kaosa nakon kojeg bi se privremeni bijeg iz kaosa nakon kojeg bi se izvršio prijelaz u normalno stanjeizvršio prijelaz u normalno stanje

““kontrola kaosa”- unutar svakog područja kontrola kaosa”- unutar svakog područja kaosa u bifurkacijskom dijagramu uvijek se kaosa u bifurkacijskom dijagramu uvijek se nalaze uski, nestabilni periodični prozori, nalaze uski, nestabilni periodični prozori, koji se malim, pozorno doziranim vanjskim koji se malim, pozorno doziranim vanjskim djelovanjem mogu stabilizirati tako da djelovanjem mogu stabilizirati tako da sustav može uskočiti u njih.sustav može uskočiti u njih.

KAOS NIJE UVIJEK NEŠTO OPASNO I KAOS NIJE UVIJEK NEŠTO OPASNO I NEPOŽELJNONEPOŽELJNO

Kaos u ljudskom organizmu može biti i Kaos u ljudskom organizmu može biti i koristan. Znanstvenici smatraju da je u koristan. Znanstvenici smatraju da je u biološkim procesima potrebna razina kaosa, biološkim procesima potrebna razina kaosa, jer zahvaljujući njemu organizam može jer zahvaljujući njemu organizam može prilagodljivije i učinkovitije reagirati na prilagodljivije i učinkovitije reagirati na zdravstvene poremećaje.zdravstvene poremećaje.

npr. u radu mozga: kaos ima ključnu ulogu npr. u radu mozga: kaos ima ključnu ulogu za tijek mislenog procesa, nadalje, utvrđeno za tijek mislenog procesa, nadalje, utvrđeno je da shizofreniju prati smanjivanje razine je da shizofreniju prati smanjivanje razine kaosa u nervnim procesima. kaosa u nervnim procesima.

Fiziološki procesi u režimu kaosa pospješuju Fiziološki procesi u režimu kaosa pospješuju djelovanje imunološkog sustava.djelovanje imunološkog sustava.

Kada se neki sustav nađe u režimu Kada se neki sustav nađe u režimu determinističkoga kaosa, daljnja determinističkoga kaosa, daljnja zbivanja su zbivanja su neizračunljivaneizračunljiva.Dakle,daljnji tijek .Dakle,daljnji tijek događanja tada postaje u načelu događanja tada postaje u načelu napredvidljiv- tada prestaje vrijediti napredvidljiv- tada prestaje vrijediti klasični znanstveni determinizam.I klasični znanstveni determinizam.I tako će to biti zauvijek, bez obzira na tako će to biti zauvijek, bez obzira na to koliko znanost napredovala!to koliko znanost napredovala!

ZAKLJUČAKZAKLJUČAK

CITATI ZA KRAJCITATI ZA KRAJ““The sciences mainly make models. The sciences mainly make models.

By a model is meant a mathematical By a model is meant a mathematical construct which describe observed construct which describe observed phenomena” JOHANN VON NEUMANNphenomena” JOHANN VON NEUMANN

( Znanost većinom stvara modele. ( Znanost većinom stvara modele. Modelom se smatra matematička Modelom se smatra matematička postavka koja opisuje promatrane postavka koja opisuje promatrane pojave.) pojave.)

““Chaos has revolutionized the way in Chaos has revolutionized the way in which we scientists should be thinking which we scientists should be thinking about the world” – MICHEL BARANGERabout the world” – MICHEL BARANGER

( Kaos je potpuno izmijenio način na koji ( Kaos je potpuno izmijenio način na koji bismo mi znanstvenici trebali misliti o bismo mi znanstvenici trebali misliti o svijetu.)svijetu.)

““Ich sage euch: ihr habt Chaos in euch”Ich sage euch: ihr habt Chaos in euch” (Kažem Vam, kaos je u vama.) (Kažem Vam, kaos je u vama.) FRIEDRICH NIETZSCEFRIEDRICH NIETZSCE