7/25/2019 Deux Ell Carr
1/3
Sangaku : Deux cercles gaux dans un triangle.
G.Huvent21 dcembre 2009
2c
c= 10 rCe sangaku est dat de 1844, expos dans la prfecture de
Miyagi, la tablette nexiste plus [1]. Etant donnes deux
ellipsesisomtriques et inscrites dans un carr de cot 2c comme
indiqu sur la figure. On construit les quatre cercles
osculateurs
aux sommets principaux des ellipses. On suppose que ces cercles
sont galement tangents extrieurement lautre ellipse. Sirest le
rayon commun des cercles, montrer que
c=
10r
Pour rsoudre ce problme, on se place dans un repre othonorm dont
laxe des ordonnes et un axe principal pour une desellipses.
O CB
P
Q
H
Arb
E1
1
7/25/2019 Deux Ell Carr
2/3
Sia et b sont les demi grands axes et demi petits axes des
ellipses, on sait (voir [2]) que
OC2 =
a2 b2
b2 r2
b2
Mais, les conditions de tangences donnent galement
OC= b + r
De plus, les cercles tant osculateurs, il vient
r= b2
a
En posant x= b
a, on obtient
r = bx, OC= b (1 + x) =OC2 =b2 (1 + x)2
et OC2 =
a2 b2
b2
b2 b2x2
=b2
1
x2 1
1 x2
do (puisque x > 0).
1x2
1
1 x2
= (1 + x)2 (x 1)2 (x + 1)
2
x2 = (1 + x)2 = (x 1)2 =x2 = x= 1
2
On en dduit que
r= b
2
Il reste calculer la longueur du ct du carr en fonction deb. On
note E1 lellipse dont laxe principal est laxe des ordonnesetE2
lautre ellipse. Le lecteur savant remarquera que lon peut mener
lellipseE1 deux tangentes perpendiculaires desquatre sommets du
carr. Ces sommets sont donc sur le cercle orthoptique, ou de Monge,
de E1 . Ce cercle ayant pour rayonR=
a2 + b2, la diagonale du carr a pour demi-longueur
a2 + b2 =
2c= c=
5
2b car a = 2b
doc=
10r
Si lon ne connat pas ce rsultat, on peut chercher les tangentes
E1 ayant pour pente 1. Lquation deE1 estx2
a2 +
y2
b2 =1
La tangente en P = (x0 , y0)E1 a pour quationxx0
a2 +
yy0
b2 =1
sa pente est donc p= b2
a2x0
y0lorsquey0=0. On a
p= 1 x0 =
a2y0
b2
Puisque P E1, cela donnex20
a2 +
y20
b2 =y20
a2 + b2
b4 =1 = y0 =
b2a2 + b2
et x0 = a2a2 + b2
Par symtrie par rapport y = x (change de x et de y, puisque
lquation deE2 est y2
a2 +
x2
b2 = 1), les coordoones de Q
sont (y0 , x0) et le milieu H du segment [P, Q] , projection
orthogonale de O sur la tangente commune aux deux ellipses etct du
carr a pour coodonnes
H:
a2 + b2
2 ,
a2 + b2
2
Le calcul de c = OH est alors immdiat.
2
