CENTRE DES TECHNIQUES SPATIALES. CYCLE : INGENIEUR 3ème

ANNEE. DEVOIR SURVEILLE N° 2 DE MATHEMATIQUES. DUREE : 2H30.

ARZEW, LE 16/03/2015

Exercice N°1 :

Soit le système linéaire :

1

2

3

6 1 1 12

2 4 0 0

1 2 6 6

x

x

x

1- Approcher la solution avec la méthode de Jacobi avec 3 itérations à partir

de (0) 2 2 2t

x .

2- Approcher la solution avec la méthode de Gauss-Seidel avec 3 itérations à

partir de (0) 2 2 2t

x .

3- Résoudre le système par la méthode d’élimination de Gauss.

4- Factoriser la matrice (LU) et résoudre le système linéaire.

Exercice N°2 : Ecrire les méthodes de Gauss, Jacobi et Gauss-Seidel pour les systèmes suivants :

10 11 2 10 12 et

2 10 12 10 11

a b a b

a b a b

1- Pour chacun de ces méthodes et systèmes, on illustrera les résultats théoriques de convergence/non-convergence.

2- Calculer les 3 premiers itérés en prenant comme point de départ le vecteur

(0) 0 0tx

Exercice N°3 : On suppose que le nombre réel 0 est assez petit pour que l’ordinateur arrondisse 1 en 1 et 1 (1 ) en1 , ( est plus petit que l’erreur machine

« relative »). Simuler la résolution par l’ordinateur des deux systèmes suivants :

1 2 0 et

2 0 1

a b a b

a b a b

On appliquera pour cela la méthode de décomposition LU de Gauss des deux matrices associées à ces systèmes. On fournira également la solution exacte de ces systèmes.

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