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Deuxième devoir surveillé Méthodes Numériques, Propagation des Erreurs, Méthode de Newton Raphson
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CENTRE DES TECHNIQUES SPATIALES. CYCLE : INGENIEUR 3ème
ANNEE. EXAMEN N° 1 DE MATHEMATIQUES. DUREE : 1H30.
ARZEW, LE 24/11/2014 Exercice N°1 :
On cherche à évaluer l’intégrale : 1
0 10
n
n
xI dx
x
n
1- Calculer l’intégrale nI par récurrence.
2- Calculer à trois (03) décimales près les termes 0 1 2 3, , ,I I I I .
3- Montrer que : 110n nI I ,
4- Monter que : 1
10
10( 1)( 2)n nI I
n n
, et en déduire le remède en
inversant le coefficient d’amplification de l’erreur
Exercice N°2 :
Soit la fonction Er Er définie par 2
0
2x
tEr( x ) e dt
0x .
a) Encadrer Er par deux entiers consécutifs.
b) Calculer le développement de Taylor de la fonction xx e se limitant aux six (06)
premiers termes. c) En déduire le développement de Taylor de la fonction Er . d) Donner une approximation de Er (3) en calculant les 10 premiers termes de la série. En déduire que pour 3x on a un phénomène de compensation dans le calcul de la somme des premiers termes de la série. Exercice N°3 : On considère l’équation : ( ) ² 0f x x A ……… (1)
1- Montrer que la méthode de Newton appliquée à l’équation (1) et la méthode des approximation successives accélérée appliquée à la résolution de l’équation équivalente : ( )X f X X , conduisent au même algorithme :
1 0
1 n=0,1,....;
2n n
n
Ax x x
x
donné.
2- Monter que cette suite converge quadratiquement vers A
(L’ordre de convergence k d’une méthode est tel que : ( 1)'( ) "( ) .... ( ) 0k et
( )( ) 0k où est solution de
l’équation ( )x x ).
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