Diagonalizao de Matriz A definio de Diagonalizao um processo
dado para transformar uma matriz ou operador diagonalizvel em uma
matriz diagonal. E dizemos quando uma matriz quadrada A
diagonalizvel quando ela semelhante a uma matriz diagonal. Ou seja
vamos supor que a matriz A=(aij)nxn seja diagonalizvel, ou seja,
existam matrizes nxn, P=[ V1 V2...Vn ] e D= , tais que A = PDP-1 .
Assim multiplica-se direita por P ambos os membros AP= PDP-1 P (P-1
x P) = a matriz identidade e a matriz identidade o elemento neutro
do produto da matriz assim vamos ter AP=PD. Substitudo P pelas
colunas e D pela matriz obtemos A [ V1 V2 ... Vn ] = [ V1 V2 ... Vn
] . Teremos a matriz = [AV1 AV2 ... AVn ] = [1V1 2V2 ... nVn ].
Desta forma chegamos a seguinte definio; Seja A uma matriz n x n.
Uma escalar chamado autovalor e um vetor no nulo V n chamado
autovetor de A se AV= V . Provamos que se uma matriz A=(aij)nxn
diagonalizvel, ou seja, se existem matrizes n x n P=[ V1 V2...Vn ]
e D= , tais que A = PDP-1, ento as colunas de P, Vj, so autovetores
L.I. associados aos autovalores j, que so os elementos da diagonal
de D.Como a matriz identidade In o elemento neutro do produto de
matrizes ento V = InV e assim a equao AV= V AV= InV subtraindo
ambos os membro da equao obtemos que AV - InV= nulo (A- In)V= vetor
nulo, assim determinamos que V uma soluo no trivial do sistema
homogneo cuja a matriz (A - In) , ela uma matriz quadrada, e um
sistema homogneo com matriz quadrada tem soluo no trivial, se
somente si o determinante desta matriz igual a 0. Assim um
autovalor de A se o det(A - tIn)=0. E para cada autovalor de j, os
autovetores associados a j so vetores X no nulos solues do sistema
(A - jIn) X= Vetor nulo. Para determinar condies para a matriz A
seja diagonalizvel, ou seja A uma matriz n x n. Se V1,..., Vn so
autovetores L.I Associados a 1,..., n, respectivamente, ento P=[ V1
V2...Vn ] e D=, so tais que A=PDP-1. Apenas os autovetores precisa
ser distintos.Para provar tal resultados observa-se que os vetores
[ V1 V2...Vn ] so associados a 1,..., n.Determinamos [AV1 ... AVn ]
= [1V1 2V2 ... nVn ] A [ V1 ...Vn] = [ V1 ... Vn ] , multiplica-se
direita por P-1 ambos os membros provamos que AP=PD: APP-1=PDP-1 A=
PDP-1.Outro resultado que podemos utilizar que se tenho autovetores
V1(1), Vn1(1), L.I. associados a 1,..., V1(j), so autovetores L.I
associados a j, com 1,..., k distintos, ento temos que { V1(1),...
Vn1(1),..., V1(k),..., Vnk(k), um conjunto L.I, assim ao juntarmos
autovetores L.I associados a autovalores distintos, eles continuaro
L.I. Exemplos para saber se a matriz diagonalizvel.Exemplo 1. A =,
matriz 3x3. Vamos calcular os autovalores Det(A-tI3)= det=
(-1)(2+2) (-1-t) det==(-1-t)[(-3-y)(3-t)+8]= -(1+t)(t2-1)=0 t=-1 ou
t= 1. Logo os autovalores de A so 1= -2 e 2 = 1. Agora vamos
determinar os autovetores associados aos autovalores. Os
autovetores de A so 1 = -1 e 2 =1. Para 1 =-1 (A- 1I3)X =
nuloResolvendo (A- 1I3)X = nulo . A soluo geral que o conjunto dos
autovetores associados a 1 = -1 acrescentado o vetor nulo o
conjunto dos vetores da forma (,,) = (0,1,0) + (1,0,1) para , .
Logo V1=(1,0,1) e V2=(0,1,0) so autovetores linearmente
independentes associados a 1 = -1. Os autovetores de A so 1 = -1 e
2 =1. Para 2 =1 (A- 2I3)X = nulo . A soluo geral do sistema que o
conjunto dos autovetores associados a 2 = 1 acrescentado o vetor
nulo o conjunto dos vetores (, , 2) = (1,1,2), . Logo W =(1,1,2) um
autovetor associado a 2 = 1.Conclumos que temos dois autovetores
L.I associados ao autovalor -1 mais um auto vetorW= (1,1,2) L.I. ao
juntar os vetores teremos matriz linearmente independente. Assim, a
matriz A diagonalizvel em n e as matrizes P= e D= so tais que
A=PDP-1.Diagonalizao de Matriz Simtricas Simtrica- Aplicao na
identificao de cnicosCnicos ou Cnicas um conjunto de pontos do
plano cujas as coordenadas x e y em relao base cannica satisfazem a
equao: ax2+by2+2cxy+dx+ey+f= 0 sendo equao quadrtica, onde
a,b,c,d,e,f com a,b e c no simultaneamente nulos. A equao de uma
cnica na posio padro possui o termo em xy (termo cruzado). A
presena do termo cruzado na equao indica que cnica saiu da posio
padro devido a uma rotao. Observa-se que a equao de uma cnica na
posio padro, simultaneamente, os termos x2 e x ou os termos y2 e y.
Se um desses casoso ocorrer e se a equao no apresentar o termo
cruzado, significa que a cnica saiu da posio padro devido a uma
translao. y y y 0 x 0 x 0 x Parbola aps uma Hiprbole aps uma Elipse
aps uma rotao rotao translao e uma translao
Para identificar a cnica no-degenerada cujo grfico no est na
posio padro e cuja equao no tem o termo cruzado, mas tem um termo
em x2 e um termo em x, ou um termo em y2 e um termo em y,
realiza-se uma translao de eixos de modo que o grfico da equao
resultante fique na posio padro em relao ao novo sistema de
coordenadas.
Devemos colocar a equao na forma padro, neste caso: .
2x2+ 4x = 4y 6 2(x2+ 2x) = 4y 6 2(x2+ 2x + 1) = 4y 6 + 2 (x +
1)2 = 2
(y 1) que a equao de uma parbola na forma padro. Fazendo x + 1 =
x e y 1 = y , obtemos a equao reduzida da parbola de vrtice em O(
-1 , 1). Transladando o sistema de coordenadas xOy para xOy , de
origem em O( -1 , 1) teremos a parbola na posio padro em relao ao
sistema xOy (vrtice na origem e eixo de simetria em y) .Para
identificar a cnica no-degenerada cujo grfico no est na posio padro
e cuja equao apresenta o termo cruzado, realiza-se uma rotao ou
mudana de sistema de coordenadas, atravs de mudana de base, da
cannica para uma base de vetores prprios ortonormais. Para eliminar
o termo xy da equao usa-se os seguintes passos:Passo 1. Escrever a
equao da cnica ax2 + by2 + 2cxy + dx + ey + f =o na forma
matricial.
(1) onde
Passo 2. Calcular os valores e vetores prprios de A, construir
uma matriz P que diagonaliza A ortogonalmente e a matriz diagonal D
correspondente.
Passo 3. Mudana da base da cannica C para a base dos vetores
prprios unitrios P. Como . Substituir na equao (1) vC por P.vP . Se
, podemos escrever : Substituindo na equao (1), vem:. Como Pt .A. P
= D, a equao assume a forma ou Que a equao do cnica em relao do
sistema xy. Onde os eixos x e y foram determinados,
respectivamente, pelos vetores prprios ortonormais u1 e u2 da base
P, escolhida dentre oito possveis. Classificao das cnicas quanto
aos valores prprios
Parbola:
Hiprbole: < 0
Elipse: > 0Para encontrar a equao reduzida da cnica de equao
ax2 + by2 + 2cxy + dx + ey + f =o, devemos: I- Eliminar o termo em
xy, caso exista, atravs de uma mudana de base.II- Realizar uma
translao de eixos, caso a equao obtida em (1) apresente os temos x2
e x ou y2 Exemplos: Determine as equaes reduzidas.a) x2 + 2xy + y2
- 8x + 4 = 0 b) 4x2 - 3y2 + 24xy - 156 = 0
c) 5x2+5y2- 6xy +10x - 22y +42 = 0 a) Hiprbole, a = b = 1 b)
Parbola, p = 2 e F(1,0) c) Elipse, a = 2 e b = 1
