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Prof. Juliano J. Scremin
Teoria das Estruturas - Aula 06
Diagramas de Estado de Pórticos
com Barras Inclinadas, Escoras e Tirantes
• Barras Inclinadas
• Pórticos Compostos
• Exemplo de Modelagem Estrutural
1
Aula 06 - Seção 01:
Barras Inclinadas
2
Barras Inclinadas: - Sistema de Eixos Inclinados
• A ideia fundamental por trás da determinação dos esforços internos
em barras inclinadas é a adoção de um sistema de eixos alinhado
como eixo da barra inclinada e consequentemente, a
decomposição das forças atuantes segundo este sistema.
• Observações :
– As componentes perpendiculares ao eixo longitudinal da
barra inclinada causarão esforços cortantes na barra;
– As componentes paralelas ao eixo longitudinal da barra
inclinada causarão esforços axiais na barra;
3
Carregamento Distribuído Horizontal (1)
• Cargas acidentais são normalmente aplicadas como cargas distribuídas
horizontais com atuação no sentido gravitacional;
• Para cargas assim, calcula-se uma resultante R = q.LH para o
carregamento e a partir disto decompõe-se todas as forças e reações
envolvidas segundo as direções Perpendicular (Corte) e Paralela (Axial)
ao eixo longitudinal da barra; 4
Carregamento Distribuído Horizontal (2)
• Após a decomposição, a resultante R dá origem as componentes R.cosα
(perpendicular ao eixo) e R.senα (paralelo ao eixo) que podem ser
divididas pelo comprimento longitudinal da barra compondo cargas
distribuídas;
5
Carregamento Distribuído Horizontal (3)
6
Diagrama de
Esforços
Cortantes (V)
Carregamento Distribuído Horizontal (4)
7
Diagrama de
Esforços
Axiais (N)
Carregamento Distribuído Horizontal (5)
8
Diagrama de
Momentos
Fletores (M)
Carregamento Distribuído ao Longo da Barra Inclinada
• Cargas distribuídas ao longo da barra inclinada como o caso das cargas de peso próprio, são calculadas de modo semelhante ao já apresentado, porém, com a ressalva de que a resultante R = q.L é então calculada com o comprimento longitudinal da viga e não com a distância horizontal LH.
• O resto do procedimento é igual ao aplicado para as cargas distribuídas horizontais.
9
Rotação de Sistema de Eixos (1)
10
F
Componentes do Vetor F
no sistema cartesiano (x,y) :
𝐹𝑥 = 4𝐹𝑦 = 3
Rotação de Sistema de Eixos (2)
11
F
Adoção de um sistema
de eixos rotacionado
de um ângulo cuja
tangente é 2/5;
Rotação de Sistema de Eixos (3)
12
F
O vetor F continuará sendo
o mesmo de antes, porém,
suas coordenadas no novo
sistema de eixos não serão
as mesmas.
Rotação de Sistema de Eixos (4)
13
F
Chamaremos de Fx e Fy as
componentes do vetor F
no sistema (x;y).
Por sua vez chamaremos de
Fx’ e Fy’ as componentes no
sistema rotacionado (x’;y’).
Fy
Fy
Fy’ Fx’
Rotação de Sistema de Eixos (5)
14
Para representar o vetor F
no sistema de eixos (x’;y’)
faz-se necessária a projeção
de cada uma das componentes
do sistema original no sistema
rotacionado:Fy cosα
Fx senα
Fx cosα
Fy senα
Fy
Fy
𝐹𝑥′ = 𝐹𝑥 𝑐𝑜𝑠𝛼 + 𝐹𝑦 𝑠𝑒𝑛𝛼
𝐹𝑦′ = −𝐹𝑥 𝑠𝑒𝑛𝛼 + 𝐹𝑦 𝑐𝑜𝑠𝛼
Rotação de Sistema de Eixos (6)
15
Matricialmente, a representação
das coordenadas do vetor no
sistema de eixos rotacionado
pode ser escrita como:
Fy’ Fx’𝐹𝑥′𝐹𝑦′
=𝑐𝑜𝑠𝛼 𝑠𝑒𝑛𝛼−𝑠𝑒𝑛𝛼 𝑐𝑜𝑠𝛼
𝐹𝑥𝐹𝑦
Carregamento Horizontal em Barra Inclinada
16
𝑅𝑒𝑠 = 𝑞 . 𝐿𝐻 𝑐𝑜𝑠𝛼 =𝐿𝐻𝐿
𝑠𝑒𝑛𝛼 =𝐿𝑉𝐿
𝑞𝑝𝑒𝑟𝑝 =𝑅𝑒𝑠 . 𝑐𝑜𝑠𝛼
𝐿=𝑞 . 𝐿𝐻 . 𝐿𝐻
𝐿 . 𝐿
𝑞𝑝𝑎𝑟𝑎 =𝑅𝑒𝑠 . 𝑠𝑒𝑛𝛼
𝐿=𝑞 . 𝐿𝐻 . 𝐿𝑉
𝐿 . 𝐿
𝑞𝑝𝑒𝑟𝑝 = 𝑞 . 𝑐𝑜𝑠2𝛼
𝑞𝑝𝑎𝑟𝑎 = 𝑞 . 𝑐𝑜𝑠𝛼 . 𝑠𝑒𝑛𝛼
Carregamento Vertical em Barra Inclinada
17
𝑅𝑒𝑠 = 𝑞 . 𝐿𝑉 𝑐𝑜𝑠𝛼 =𝐿𝐻𝐿
𝑠𝑒𝑛𝛼 =𝐿𝑉𝐿
𝑞𝑝𝑒𝑟𝑝 =𝑅𝑒𝑠 . 𝑠𝑒𝑛𝛼
𝐿=𝑞 . 𝐿𝑉 . 𝐿𝑉𝐿 . 𝐿
𝑞𝑝𝑎𝑟𝑎 =𝑅𝑒𝑠 . 𝑐𝑜𝑠𝛼
𝐿=𝑞 . 𝐿𝑉 . 𝐿𝐻
𝐿 . 𝐿
𝑞𝑝𝑒𝑟𝑝 = 𝑞 . 𝑠𝑒𝑛2𝛼
𝑞𝑝𝑎𝑟𝑎 = 𝑞 . 𝑐𝑜𝑠𝛼 . 𝑠𝑒𝑛𝛼
Carregamento de Peso Próprio
18
𝑅𝑒𝑠 = 𝑞 . 𝐿 𝑐𝑜𝑠𝛼 =𝐿𝐻𝐿
𝑠𝑒𝑛𝛼 =𝐿𝑉𝐿
𝑞𝑝𝑒𝑟𝑝 =𝑅𝑒𝑠 . 𝑐𝑜𝑠𝛼
𝐿=𝑞 . 𝐿 . 𝐿𝐻𝐿 . 𝐿
𝑞𝑝𝑎𝑟𝑎 =𝑅𝑒𝑠 . 𝑠𝑒𝑛𝛼
𝐿=𝑞 . 𝐿 . 𝐿𝑉𝐿 . 𝐿
𝑞𝑝𝑒𝑟𝑝 = 𝑞 . 𝑐𝑜𝑠𝛼
𝑞𝑝𝑎𝑟𝑎 = 𝑞 . 𝑠𝑒𝑛𝛼
Aula 6 - Seção 02:
Pórticos Compostos
19
Pórticos Compostos (1)
• Pórtico composto é a associação de pórticos simples, ou seja,
pórticos sem estabilidade própria apoiados sobre pórticos com
estabilidade própria.
20
Pórticos Compostos (2)
• A decomposição permite um melhor entendimento do
comportamento da estrutura, além de permitir dividir a sua
solução na resolução de várias subestruturas simples.
• A decomposição não é obrigatória, sendo possível portanto
resolver pórticos simples e ou compostos pelos mesmos métodos já
apresentados anteriormente.
• Via de regra, as decomposições são feitas nas rótulas substituindo
as mesmas por apoios tipo 1 ou tipo 2, dependendo do
carregamento aplicado.
21
Exemplos de Decomposição (1)
22
Exemplos de Decomposição (2)
23
Exemplos de Decomposição (3)
24
Exemplos de Decomposição (4)
25
Vigas Bi-Apoiadas Básicas
26
Vigas Engastadas Básicas
27
Aula 6 - Seção 03:
Exemplo de Modelagem Estrutural
28
Concepção de um Modelo Estrutural (1)
29
Concepção de um Modelo Estrutural (2)
30
Concepção de um Modelo Estrutural (3)
31
Concepção de um Modelo Estrutural (4)
32
FIM
33
Exercício 6.1
34
• Para o pórtico abaixo, determinar:
a) A reações de apoio ;
b) O diagrama de esforços cortantes do trecho ACF;
c) O diagrama de esforços normais (axiais) de toda a estrutura;
Exercício 6.2
35
• A escada abaixo será feita em concreto armado ( ϒ = 25 kN/m³ ) e possui
uma espessura média de 20 cm.
Componha um modelo estrutural aplicando como carregamento apenas o
peso próprio da estrutura e trace os diagramas de momento fletor, esforço
cortante e esfoço axial.
Exercício 6.3
36
• Para o pórtico abaixo trace os diagramas de esforços cortantes e esforços
axiais (normais) para o trecho DEFG:
Exercício 6.4
37
• Trace o diagrama de esforços axiais para todo o pórtico abaixo.
Exercício 6.5
38
• Para o pórtico abaixo trace:
a) O diagrama de esforços cortantes para as barras CD e BE;
b) O diagrama de esforços axiais para as barras AB e BE;
c) O diagrama de momentos fletores para a barra CD.
Exercício 6.6
39
• Para o pórtico abaixo, determinar:
a) A reações de apoio (VA, HA, VB);
b) O esforço normal na barra AB (escora ou tirante);
c) O diagrama de esforços cortantes da estrutura;
d) O diagrama de esforços normais da estrutura;
Exercício 6.7
40
• Traçar os diagramas de esforço cortante e esforço normal para os trechos
BC e DE do pórtico abaixo:
Exercício 6.8
41
• Traçar os diagramas de momento fletor, esforço cortante e esforço normal
para o pórtico abaixo:
Exercício 6.9
42
• Traçar os diagramas de momento fletor, esforço cortante e esforço normal
para o pórtico abaixo:
Exercício 6.10
43
• Traçar o diagrama de momentos fletores para o pórtico abaixo.
Exercício 6.11
44
• Traçar os diagramas de momento fletor, esforço cortante e esforço normal
para o pórtico abaixo:
Exercício 6.12
45
• Traçar os diagramas de momento fletor, esforço cortante e esforço normal
para o pórtico abaixo: