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Diagrammi polari, di Nyquist e di Nichols
2
Definizione (1/2)
Il diagramma di Nichols (DdNic) di una fdt consiste nella rappresentazione grafica di sul piano cartesiano
),0(per ,e)(M)j(G)s(G )(jjs
∞∈ωω=ω= ωϕω=
dBgradiM⊗ϕ
3
Definizione (2/2)
Nel DdNic la variabile indipendente ω diventa la coordinata curvilinea (un punto sul piano ϕ⊗M per ciascun valore di ω) Per ovvi motivi i valori dell’ascissa possono essere limitati (ma non è obbligatorio) tra −180° e +180° oppure tra 0° e +360° oppure tra −360° e 0°; nel prosieguo si opterà preferibilmente per l’intervallo −360°÷ 0°
4
Esempio (1/2)
)4s)(2s(s)1s(10)s(G 2 ++
+=
-360 -315 -270 -225 -180 -135 -90 -45 0 -100
-50
0
50
100
Fase ( ° )
Mod
ulo
(dB
)
5
Esempio in Matlab
6
Lettura di mG sul DdNic
Il margine di guadagno può essere letto anche sul diagramma di Nichols di Ga(jω), osservando che il punto A corrisponde all’intersezione del diagramma con l’asse verticale a fase -180o
ωπ
ni,a = 0
∞→R
A0
1/mG
-270 -225 -180 -135 -90 -120
-100
-80
-60
-40
-20
0
20
40 Nichols Chart
Open-Loop Phase (deg)
Ope
n-Lo
op G
ain
(dB)
mG,dB
7
Lettura di mϕ sul DdNic
Il margine di fase può essere letto anche sul diagramma di Nichols di Ga(jω), osservando che il punto C corrisponde all’intersezione del diagramma con l’asse orizzontale a 0 dB
-270 -225 -180 -135 -90 -120
-100
-80
-60
-40
-20
0
20
40 Nichols Chart
Open-Loop Phase (deg)
Ope
n-Lo
op G
ain
(dB)
mϕ
ni,a = 0
∞→R
0
R 1=
C
mϕ
ωc
Margini di stabilità
9
La carta di Nichols (1/2)
I luoghi a M (modulo) costante e a N (fase) costante possono essere tracciati anche sul piano di Nichols: il loro insieme costituisce la carta di Nichols
0 90 180 270 360 -20
-10
0
10
20
30
40
6 dB
3 dB
1 dB
0.5 dB
0.25 dB
0 dB
-1 dB
-3 dB
-6 dB
-12 dB
-20 dB
Generata in Matlab con il comando: ngrid(‘new’)
10
La carta di Nichols (2/2)
Sovrapponendo alla carta di Nichols il diagramma di Nichols della funzione d’anello Ga(jω), è possibile ricavare il valore di modulo e fase di Wy(jω) per ogni ω Sono di particolare interesse i luoghi a modulo costante, poiché permettono di trovare un legame fra Mr e mϕ e fra Mr e mG
11
I luoghi a M costante sul piano di Nichols
-360 -345 -330 -315 -300 -285 -270 -255 -240 -225 -210 -195 -180 -165 -150 -135 -120 -105 -90 -75 -60 -45 -30 -15 0 -25
-20
-15
-10
-5
0
5
10
15
20
M = -3dB M = 3dB M = 0
12
Legame fra Mr e mϕ (1/3)
-360 -345 -330 -315 -300 -285 -270 -255 -240 -225 -210 -195 -180 -165 -150 -135 -120 -105 -90 -75 -60 -45 -30 -15 0 -25
-20
-15
-10
-5
0
5
10
15
20
Ga
M < Mr,lim DdNic di Ga esterno alla curva Mr,lim ⇒
1 dB 2 dB
3 dB
2 dB < Mr < 3 dB
Mr,lim
13
Legame fra Mr e mϕ (2/3)
-360 -345 -330 -315 -300 -285 -270 -255 -240 -225 -210 -195 -180 -165 -150 -135 -120 -105 -90 -75 -60 -45 -30 -15 0 -25
-20
-15
-10
-5
0
5
10
15
20
Ga
M < Mr,lim mϕ > mϕ,lim ⇒
mϕ,lim
mϕ
Mr,lim
14
Legame fra Mr e mϕ (3/3)
La condizione che il diagramma di Nichols di Ga(jω) risulti esterno alla curva M = Mr,lim è necessaria e sufficiente a garantire Mr < Mr,lim La condizione mϕ > mϕ,lim (ove mϕ,lim è il margine di fase letto in corrispondenza della curva M = Mr,lim) è necessaria ma non sufficiente per garantire Mr < Mr,lim Se il DdNic di Ga (jω) interseca la curva M = Mr,lim a pulsazioni inferiori alla ωc (alla quale viene letto mϕ), la Wy(jω) presenta Mr > Mr,lim anche quando mϕ > mϕ,lim
15
Un esempio (1/3) 2
2 2
2(s 5)(s 12) (1 0.07s)F(s) ; C(s) 100
s(s 4)(s 7.2s 16) (1 0.0175s)+ + +
= =+ + + +
-100
-80
-60
-40
-20
0
20
40
60
80
100
Mag
nitu
de (
dB)
10 -1 10 0 10 1 10 2 10 3 10 4 -180
-135
-90
Pha
se (d
eg)
Frequency (rad/sec)
Si vorrebbe ottenere in catena chiusa: Mr < 2 dB
DdB della fdt d’anello:
Ga(s) = C(s)F(s) om 64ϕ ≅
16
Un esempio (2/3) 2
2 2
2(s 5)(s 12) (1 0.07s)F(s) ; C(s) 100
s(s 4)(s 7.2s 16) (1 0.0175s)+ + +
= =+ + + +
Nonostante ciò, il DdNic di Ga(jω) interseca la curva M = 2 dB
-360 -315 -270 -225 -180 -135 -90 -45 0 -20
-15
-10
-5
0
5
10
15
20
Open-Loop Phase (deg)
Ope
n-Lo
op G
ain
(dB
)
2 dB
mϕ soddisfa la condizione necessaria per avere Mr < 2 dB:
mϕ > 48o
mϕ,lim = 48o
mϕ
Ga
17
Un esempio (3/3) 2
2 2
2(s 5)(s 12) (1 0.07s)F(s) ; C(s) 100
s(s 4)(s 7.2s 16) (1 0.0175s)+ + +
= =+ + + +
Il picco di risonanza della fdt in catena chiusa è superiore a 2 dB
10 0 10 1 10 2 10 3 10 4 -180
-135
-90
-45
0
Pha
se (d
eg)
-80
-70
-60
-50
-40
-30
-20
-10
0
10
Mag
nitu
de (d
B)
Bode Diagram
Frequency (rad/sec)
Mr = 2.23 dB
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Legame fra Mr e mG (1/4)
-360 -345 -330 -315 -300 -285 -270 -255 -240 -225 -210 -195 -180 -165 -150 -135 -120 -105 -90 -75 -60 -45 -30 -15 0 -25
-20
-15
-10
-5
0
5
10
15
20
Ga
M < Mr,lim DdNic di Ga esterno alla curva Mr,lim ⇒
Mr,lim
19
Legame fra Mr e mG (2/4)
-360 -345 -330 -315 -300 -285 -270 -255 -240 -225 -210 -195 -180 -165 -150 -135 -120 -105 -90 -75 -60 -45 -30 -15 0 -25
-20
-15
-10
-5
0
5
10
15
20
Mr,lim
Ga
M < Mr,lim mG > mG,lim ⇒
mG,lim
mG
20
Legame fra Mr e mG (3/4)
La condizione mG > mG,lim (ove mG,lim è il margine di guadagno letto in corrispondenza della curva M = Mr,lim) è necessaria ma non sufficiente per garantire Mr < Mr,lim Se il DdNic di Ga (jω) interseca la curva M = Mr,lim a pulsazioni inferiori alla ωπ (alla quale viene letto mG), la Wy(jω) presenta Mr > Mr,lim anche quando mG > mG,lim
21
Legame fra Mr e mG (4/4)
Poiché mG,lim risulta contenuto anche per piccoli valori di Mr,lim, il soddisfacimento di mG > mG,lim risulta spesso insufficiente a garantire Mr < Mr,lim Nell’esempio precedente il margine di guadagno era infinito e quindi superiore a qualunque mG,lim considerato, indipendentemente dall’effettivo picco di risonanza N.B.: Nella pratica dinamiche di alta frequenza trascurate nel modello e vincoli tecnologici impediscono al margine di guadagno di essere infinito
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Relazioni numeriche fra margini e Mr
I legami fra picco di risonanza e margini di stabilità ricavati dalla carta di Nichols possono essere espressi numericamente come:
( ) ( )( ) ( )
2r,lim r,lim
,lim G,lim2r,limr,lim
o,lim r,lim dBgradi
G,lim r,limdB dB
4M 1 Mm arctan , m
M 12M 1
m 60 5 M
m 6 0.4 M
ϕ
ϕ
− = = +−
≅ −
≅ −
Approssimazioni valide per
0dB < Mr,lim<6dB
con mϕ,lim in rad, Mr,lim e mG,lim in unità naturali
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Osservazioni conclusive
La condizione Mr < Mr,lim, se rispettata, garantisce una buona robustezza della stabilità, con soddisfacenti margini di fase e di guadagno (rispettivamente pari almeno a mϕ,lim e mG,lim) Le condizioni mϕ > mϕ,lim e mG > mG,lim non garantiscono con assoluta certezza che il picco di risonanza risulti inferiore a Mr,lim, anche se il suo valore è comunque contenuto in presenza di buoni margini di stabilità