Dialnet-LaCartografiaYLasProyeccionesCartograficas-492575

LA CARTOGRAFA Y LAS PROYECCIONES CARTOGRFICAS

MATERIAL DIDCTICO

Ingenieras n 15

Jacinto Santamara Pea

LA CARTOGRAFA Y LAS PROYECCIONES CARTOGRFICAS

UNIVERSIDAD DE LA RIOJA

SERVICIO DE PUBLICACIONES 2011

La cartografa y las proyecciones cartogrficas

de Jacinto Santamara Pea (publicado por la Universidad de La Rioja) se encuentra bajo una Licencia

Creative Commons Reconocimiento-NoComercial-SinObraDerivada 3.0 Unported.

Permisos que vayan ms all de lo cubierto por esta licencia pueden solicitarse a los titulares del copyright.

El autor

Universidad de La Rioja, Servicio de Publicaciones, 2011

publicaciones.unirioja.es

E-mail: [email protected]

ISBN: 978-84-694-0867-4

INTRODUCCION

El objetivo de esta publicacin ha sido completar las enseanzas que, sobre eltema de Cartografa, se imparten normalmente en la Ingenieras Tcnicas de mbitoAgronmico de las Universidades espaolas. En estas, muchas veces, la Cartografaaparece integrada o enmascarada en otras asignaturas como la Topografa, el Anlisisdel Territorio, Estudio del Medio Fsico, etc. Por ello, a menudo no se profundiza enel fundamento de tcnica cartogrfica, y ste, no es ms que el procedimiento pararepresentar una superficie terrestre en un plano.

As, el estudio de las Proyecciones Cartogrficas, seguramente por falta detiempo en los Programas docentes, no llega a verse con la profundidad necesaria. Yes que adems, para su comprensin, es conveniente tener unos conocimientosprevios bien asentados de los Sistemas de Representacin y de la Trigonometra,tanto plana como esfrica.

Se incluye por tanto en esta publicacin un Captulo dedicado a la Cartografaque pudiramos llamar "genrica", donde se recuerdan aspectos como lasdeformaciones que se producen en las representaciones cartogrficas, la adopcin deescalas, la utilizacin de smbolos cartogrficos, el uso de las curvas de nivel y seintroduce el concepto de paralelo y meridiano, como base para definir lascoordenadas geogrficas.

En un segundo Captulo, dedicado a la Proyecciones Cartogrficas propiamentedichas, se realiza un recorrido individualizado de cada una de ellas, destacando susprincipales ventajas e inconvenientes y el principal uso a que se destinan.

Se hace un especial hincapi en la Proyeccin Universal Transversa deMertator (UTM), por considerarla fundamental para unos futuros IngenierosTcnicos. Asimismo, se hace un estudio bastante exhaustivo de la Cuadrculadesarrollada para esta Proyeccin (CUTM).

Antes de terminar esta breve introduccin, simplemente quisiera recordar quese puede ser un buen dibujante de Planos o Mapas, sin saber nada deTransformaciones Cartogrficas. Pero el conocimiento y dominio de estas, no slonos permitir realizar buenos planos y mapas del terreno, sino que adems sabremosque lo que hacemos lo hacemos bien y con seguridad.

Finalmente, quisiera agradecer la colaboracin prestada para realizar estapublicacin al Profesor D. Tefilo Sanz Mndez, especialmente por su tozudez ymana por la "perfeccin". Y aunque modestamente dicha perfeccin se hapretendido, rogara sepan disculpar los errores o incorrecciones que puedan encontraren estas pginas.

Jacinto Santamara PeaProf. de Expresin Grfica en la Ingeniera

Universidad de La Rioja

CAPTULO I

LA CARTOGRAFA

APUNTES DE CARTOGRAFA Y PROYECCIONES CARTOGRFICAS.

11

CARTOGRAFA1. Generalidades

La Cartografa es la ciencia que estudia los distintos sistemas o mtodos pararepresentar sobre un plano una parte o la totalidad de la superficie terrestre, de forma quelas deformaciones que se producen sean conocidas y se mantengan dentro de ciertoslmites o condiciones, que dependen de las caractersticas que en cada caso se pidan a larepresentacin.

Los mtodos para representar grficamente la Tierra sobre un plano o mapa,necesitan de otras ciencias, como la Topografa y la Geodesia, capaces de determinar lasituacin de los puntos de la superficie terrestre en ciertos sistemas de referencia.

Si la superficie a representar es de pequea dimensin, puede considerarse staconfundida con el plano horizontal o tangente al esferoide terrestre en un punto central,sobre el cual se proyectan los puntos singulares determinados mediante instrumentos quemiden coordenadas polares horizontales, ngulos y distancias (Teodolitos, taqumetros,etc.).

Si la superficie es de mayores dimensiones, no puede considerarse como un plano,sino como una superficie esfrica o elipsoidal convenientemente elegida, a la cual debenreferirse las coordenadas medidas utilizando los mtodos de la Geodesia y la Topografa.

Se utiliza como superficie de referencia un elipsoide de revolucin, cuyo eje es el derotacin terrestre, utilizndose entre otros el internacional de Hayford, que tiene unosparmetros:

Semieje ecuatorial a = 6.378.388 mAplastamiento = 1 / 297

Sobre este elipsoide, los puntos determinados en el terreno por sus coordenadashorizontales (acimut y distancia) se refieren a un sistema de coordenadas elipsoidales ogeodsicas, tambin llamadas geogrficas que son la longitud y latitud.

Aqu empieza, en el proceso de la representacin de la Tierra, el papel de laCartografa o de los sistemas de representacin cartogrfica, transformando lascoordenadas curvilneas (longitud y latitud), en otras coordenadas planas, rectangulares opolares. Esta transformacin cartogrfica se ocupa nicamente de la obtencin decoordenadas planimtricas.

La tercera dimensin o altitud, se representa utilizando un mtodo de Geometradescriptiva, el sistema acotado, que emplea cotas y curvas de nivel y a veces tintashipsomtricas o sombreados, que nos permiten ver ms fcilmente el relieve.

El objeto genrico de la Cartografa consiste en reunir y analizar datos y medidasde las diversas regiones de la Tierra, y representar stas grficamente a una escalareducida, pero de tal modo que todos los elementos y detalles sean claramente visibles.


12 Expresin Grfica en la Ingeniera

Un mapa es una representacin convencional de la superficie terrestre, vista desdearriba, a la que se aaden rtulos para la identificacin de los detalles ms importantes.

Hay mapas en los que se representa un determinado aspecto o elemento, comosucede, por ejemplo, con los mapas pluviomtricos, geolgicos, demogrficos, devegetacin, etc.

Por otra parte, los mapas suelen representar detalles que no son realmente visiblespor s mismos, como, por ejemplo, las fronteras, los meridianos, los paralelos,...

Los mapas no se limitan a representar la superficie de la Tierra. Hay mapas delfirmamento, de la Luna..., y tambin mapas geolgicos del subsuelo.

En el estudio y confeccin de un mapa se pueden considerar las partes siguientes:

La escalaEl sistema de proyeccin utilizado para representar el mapaLos elementos a representar mediante smbolos (caminos, montaas,...)La rotulacinEl ttuloEl recuadroDetalles complementarios.

Los mapas pueden clasificarse por su escala y contenido en:

Mapas generales

Mapas topogrficos a escala grande, con informacin generalMapas cartogrficos que representan grandes regiones (atlas)Mapas del mundo entero (mapamundis)

Mapas especiales

Mapas polticosMapas urbanos (planos de poblacin)Mapas de comunicaciones (carreteras, ferrocarriles,...)Mapas cientficos de diferentes clases.Mapas econmicos y estadsticosMapas artsticos y de anuncios o reclamo (propaganda)Cartas para la navegacin martima y areaMapas catastrales, a gran escala.


13

2. Deformaciones.

Puesto que el elipsoide de revolucin no es una superficie desarrollable, aplicarlosobre un plano no ser posible, y por tanto, la representacin plana del mismo se producircon deformaciones que pueden ser:

linealessuperficialesangulares

Estas deformaciones se definen para cada punto, teniendo en cuenta el radio terrestreen esa zona.

2.1. Deformaciones lineales.

Si s es la longitud de cualquier lnea sobre el terreno y s es la longitud en laproyeccin, se llama mdulo de deformacin lineal en ese lugar a la relacin:

Ks

s

proyeccionterreno

=

'

Una lnea se llama automecoica cuando en todos sus puntos se verifica que K = 1, esdecir, que no existe deformacin lineal a lo largo de ella.

No deben confundirse los conceptos de proyeccin y plano o mapa. Entre ellosexiste la relacin de escala del mapa, bien determinada por:

mE

planoproyeccion

planoterreno

= = 1

Esta frmula nos da la escala general del mapa y as se dice por ejemplo, que elMapa Nacional est a escala m = 1 : 50.000, porque 1 metro del plano representa 50.000metros en la proyeccin, en el elipsoide o terreno, ya que K es siempre prximo a 1. Sedebe tener en cuenta que dicha relacin o escala se establece entre elementos homlogosautomecoicos. Fuera de ello, la escala es variable para cada punto y adquiere un carcterde escala local, definida por la relacin:

mplano

terreno

planoproyeccion

proyeccionterreno E

Kl = = = 1

Ejemplo.

En un punto de coordenadas UTM: X = 498.340 m Y = 4.492.740 mcorrespondiente al centro de una hoja de escala general m = 1: 50.000 se ha determinadoel mdulo de deformacin lineal K = 0.9996 que se supone constante en cualquierdireccin.



Cul es la escala local en las proximidades de dicho punto?

m = =1

50 0000 9996

150020.

,

Este valor puede considerarse constante para toda la hoja, pues la variacin de K esmuy pequea en el rea de la misma.

Normalmente, en la resolucin grfica de problemas sobre el mapa no ser necesariodeterminar la escala local, pues el error que se comete al trabajar con la escala general esseguramente inferior a la apreciacin grfica (algunas dcimas de milmetro).

2.2. Deformaciones superficiales.

Las medidas superficiales tambin sufren deformaciones, llamndose mdulo dedeformacin superficial a la relacin:

=

SS

'

donde S y S son elementos de superficie homlogos en la proyeccin y sobre elterreno o superficie de referencia (elipsoide)

Las proyecciones en las cuales = 1 en todos sus puntos, se llaman equivalentes.

2.3. Deformaciones angulares.

A dos elementos lineales que sobre la superficie terrestre o de referencia formen unngulo les corresponde en la proyeccin otros dos elementos que formen un ngulo 'en general distinto.

La diferencia ' - se llama deformacin angular.

En los sistemas llamados conformes (' - = 0 ), las proyecciones transforman lasfiguras en otras semejantes, conservando los ngulos y la razn entre los elementoslineales homlogos en cada figura elemental. Como consecuencia, en cada punto, elmdulo de deformacin lineal es constante, cualquiera que sea la direccin que seconsidere.

Los sistemas conformes son los ms utilizados. La proyeccin U.T.M. y Lambert -Tissot son conformes.


15

3. Escalas.

Un mapa es una representacin convencional de la superficie de la Tierra.

Toda representacin, como toda imagen, est en una cierta relacin de tamao con elobjeto representado. Esta proporcin es la que se llama escala.

Considerando dos puntos A y B del elipsoide y sus homlogos a y b en el plano. Sedenomina por definicin escala de la representacin a la relacin: e = ab

ABAB es la longitud de la lnea geodsica que une los dos puntos sobre el elipsoideab es la longitud que une los dos puntos sobre el plano.

3.1. Formas de indicar la escala.

1.- Escala numrica o fraccin, representa la relacin entre la longitud de una lneaen el mapa y la correspondiente en el terreno en forma de quebrado, con la unidad pornumerador

Escala 1 : 50.000

2.- Escala centmetro por kilmetros, que indica el nmero de kilmetros del terrenoque corresponden a un centmetro del mapa

Escala 1 cm por 1 km

3.- Escala grfica, que representa las distancias en el terreno sobre una lneagraduada. Esta escala sirve siempre, aunque el mapa se reproduce (ample o reduzca) pormtodos fotogrficos.

Escala 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 m.

3.2. Cambio de escala.

Una de las operaciones ms corrientes en Cartografa, es el cambio de escala parareducir o ampliar mapas. En la ampliaciones los errores se harn ms grandes.

Se puede hacer fotogrficamente con cmaras especiales. Hay que tener en cuentaque las copias fotogrficas resultan a veces ms deformadas en una direccin que en otra.

Para cambiar de escala mapas no muy complicados, se puede usar el pantgrafo(hoy poco usado), que es un instrumento fundado en el principio del paralelogramoarticulado. Dan mejor resultado en las reducciones que en ampliaciones.

Si no se dispone de ampliador fotogrfico ni de pantgrafo, se puede recurrir almtodo de la cuadrcula. El inconveniente es que hay que dibujar a mano.



Tambin se puede aplicar un cambio de escala por medio de prismas o lentes quereflejan la imagen del mapa directamente sobre el papel de dibujo, y la escala se vara consolo regular la distancia entre el objeto y la imagen. El ms sencillo de todos estosaparatos es la cmara clara. La imagen producida por una cmara clara vara de posicinsi no se mantiene el ojo exactamente en el mismo sitio mientras se est dibujando la copia.

Actualmente, con los programas informticos de C.A.D. (Diseo Asistido porOrdenador) o C.A.C. (Cartografa Asistida por Ordenador), si se tiene un mapa o planodigitalizado, sacar por impresora a distintas escalas no es ningn problema. Incluso si setiene el plano como una imagen, tambin podemos ampliarlo o reducirlo a escala, teniendouna longitud medida de referencia y cuidando especialmente la resolucin final (dpi =puntos por pulgada) en la impresin.

4. Smbolos cartogrficos.

Para dibujar cualquier objeto de la realidad se prescinde siempre de detalles pocoimportantes, que se eliminan, haciendo una seleccin ms o menos acertada de lo que serepresenta.

En los mapas hay una simplificacin de dibujo, que se denomina generalizacin yes ms intensa cuanto menor sea la escala.

La generalizacin no es suficiente para solucionar los problemas que larepresentacin cartogrfica presenta, porque se llega a lmites imposibles de rebasar,impuestos por la escala.

Por ejemplo, una carretera de 5 m de anchura, tiene en un mapa a escala 1:5.000una separacin de 1 mm, pero a escala 1:50.000 la distancia entre sus bordes sera de 0,1mm y no es posible dibujarlos sin que se confundan. Igualmente, un transformadorcuadrado de 2 m de lado es ya a escala 1:5.000 un cuadrado de slo 0,4 mm de lado, lo quemarca un lmite al dibujo.

En estos casos hay que emplear los llamados smbolos, que son dibujos semejantesal objeto, pero que ya no lo representan a escala. Otras veces son dibujos de formasvariadas, letras o nmeros que indican el accidente segn una clave detallada, que debe serconocida por el lector del plano.

A los smbolos que no son letras ni nmeros se les llama signos, que sonconvencionales cuando hay un acuerdo para establecer su significado, por nocorresponder su dibujo a su representacin a escala.

En realidad, toda la representacin cartogrfica es convencional debido a lageneralizacin y eleccin de diversos elementos grficos (lneas continuas o no, puntos,cuadrados, etc.) que segn su color significan una u otra cosa, por ejemplo una lnea azulser un ro, una roja ser una carretera, etc.



5.2. Representacin de la recta.

La representacin de una recta es tambin una recta, excepto si la recta es vertical(perpendicular al plano de proyeccin). En este caso, es un punto.

Si la recta es paralela al plano de proyeccin todos sus puntos tienen la misma cota.

5.3. Representacin del plano.

El plano es la superficie ms sencilla, sus curvas de nivel son rectas horizontales.Adems como estas rectas son secciones de un plano producidas por planos equidistantes,sern rectas equidistantes que conservan esa propiedad en la proyeccin.

Para que una recta est contenida en un plano es necesario que estn dos de suspuntos en el plano.

Hay dos tipos particulares de planos: los verticales en los que los puntos se proyectanen una recta, y los horizontales, con la misma cota para todos sus puntos.

5.4. Representacin de superficies geomtricas.

Es til conocer el aspecto que tienen las superficies geomtricas, ya que lassuperficies topogrficas pueden serles semejantes, al menos parcialmente.

Las superficies ms sencillas formadas por planos son las prismticas y laspiramidales. Sus curvas de nivel son segmentos rectilneos equidistantes y las aristas sonrectas que unen los extremos de esos segmentos.

Las superficies geomtricas curvas tienen como isohipsas curvas geomtricas, talescomo circunferencias o elipses.

5.5. Representacin de superficies topogrficas.

Las superficies topogrficas o del terreno no tienen definicin geomtrica; enprincipio son totalmente irregulares, pero esta irregularidad est sometida a un conjuntoflexible de normas, que obedecen al tipo de roca que aparece en el terreno, al ciclo erosivoy de sedimentacin que ha actuado sobre l y la tectnica externa.

Existe un tipo de terreno considerado regular, con rocas medianamente permeables yerosionables, con fenmenos erosivos tpicos de un clima templado y con escasa influenciade la tectnica, en el que las superficies, y por tanto la forma de las curvas de nivel siguenunas reglas fcilmente comprobables. Pero hay muchos casos en que las anteriorescondiciones no existen y las formas de las isohipsas varan notablemente.


19

5.5.1. Leyes generales, que pueden tener excepciones:

1.- Las cotas de curvas sucesivas son nmeros uniformemente crecientes odecrecientes.

2.- Dos curvas de nivel no pueden cortarse ni coincidir. (excepcin: acantilados, puntos de collado, cornisas..)3.- Las curvas de nivel cerradas tienen cota mayor que las que las rodean. (excepcin: depresiones cerradas, hoyas, pozos,..)4.- Todas las curvas de nivel son cerradas si se considera un mapa completo (isla,

continente); en un mapa parcial (hoja) las curvas no cerradas tendrn susextremos en el marco.

5.- El nmero de extremos de curva cortados por el borde debe ser par.

5.5.2. Equidistancia.

La distancia entre los planos correspondientes a las curvas de nivel, que esconstante, se llama equidistancia.

Esta equidistancia suele ser un nmero mltiplo o divisor de 10, como 0,5 m, 1m,2.5 m, 5m, 10 m, 20 m, 40m, 50 m, 100m, 200 m, etc. y su eleccin se hace teniendo encuenta la escala del mapa, y si es posible, la naturaleza del terreno. Por ejemplo para unterreno en el que las pendientes sean del 1 por 100, en escala 1:10.000 una equidistancia de1 m supondra curvas de nivel separadas entre s 100 m en el terreno, o sea, 10 mm en elmapa; pero si el terreno alcanza una pendiente del 10 por 100, la separacin en el planollega a ser de 1 mm; esto indica que en general esa equidistancia es demasiado pequea. Encambio a escala 1:1.000 la separacin entre las curvas en los mismos casos es de 100 mm y10 mm, que dan un margen suficiente para el dibujo.

En general, debe evitarse que dos curvas de nivel sucesivas se encuentren a menosde 0.5 mm. una de otra.

5.5.3. Curvas maestras e intercaladas.

Con el objeto de no entorpecer la lectura del mapa, las curvas de nivel se rotulan consu cota correspondiente slo en puntos alejados entre s. Para facilitar la determinacin dela cota en cualquier punto, se dibujan ms gruesas algunas curvas, que aparecen cada 4 5curvas, stas curvas son las directoras o maestras.

Por ejemplo, en mapas a escala 1:25.000 las curvas de nivel maestras son lasmltiplo de 100 m.

Cuando el terreno tiene poca pendiente, su forma queda mal definida por las curvasde equidistancia normal y se recurre a curvas de menor equidistancia (mitad o cuartaparte..), son las curvas intercaladas y se representan a trazos.



5.5.4. Llanuras, elevaciones y depresiones.

Una clasificacin primaria de las formas del terreno permite distinguir estos tresgrupos de zonas: llanuras, elevaciones y depresiones.

Las llanuras no lo son nunca exactamente, siempre hay alguna curva de nivel. Esdecir, existe una pendiente mnima.

En las zonas de elevacin ms elementales, el terreno se halla por encima de unallanura. Las curvas de nivel son cerradas y cada una envuelve a otra de cota mayor.

En las depresiones el terreno est por debajo de la llanura. Las isohipsas soncerradas tambin, pero envuelve cada una a otra de cota menor.

5.5.5. Orientacin de un mapa.

Para utilizar un mapa sobre el terreno, lo primero es localizar el punto donde seencuentra el observador; despus hay que colocar el mapa de forma que coincidan sudirecciones con las correspondientes del terreno. A esta operacin se le denominaorientacin del mapa.

El caso ms sencillo se presenta cuando se pueden identificar uno o varios puntos delterreno con los correspondientes del mapa, adems del punto de observacin. Entonces lasrectas que unen esos puntos con el de observacin dan direcciones sobre las cuales secolocan las anlogas del mapa y el mapa queda orientado.

En otro caso ha de buscarse la direccin Norte - Sur por mtodos astronmicos,magnticos o por observacin de indicios en el terreno. La palabra orientacin alude a ladeterminacin del Este u Oeste del mapa, y es recuerdo de la poca en que los mapasllevaban este punto en su parte superior. En la actualidad orientarse se refiere a buscar elNorte.


21

6. PARALELOS Y MERIDIANOS

El principio fundamental de la Cartografa consiste en el establecimiento sobre lasuperficie de la Tierra de un sistema de coordenadas al que pueda referirse cualquier puntode la misma.

Tenemos las principales direcciones de referencia: Norte, Sur, Este y Oeste.

Los polos se definen como los puntos de interseccin del eje de rotacin de la Tierracon su superficie.

El ecuador es un crculo, interseccin de la Tierra con un plano perpendicular en supunto medio al eje de rotacin de la misma.

6.1. Paralelos

Los paralelos son crculos menores paralelos al ecuador.

Entre el ecuador y cada polo hay 90, cada grado tiene 60 y cada minuto 60.

La longitud del arco de meridiano comprendido entre cada dos paralelos no es igualpara todos ellos. Por ser un elipsoide, la curvatura vara ms cerca del ecuador que de lospolos.

La longitud de 1 de latitud es de 110,51 km cerca del ecuador y de 111,70 km en lospolos.

1 de latitud = 111,1312 - 0,5690 cos 2 + 0,0012 cos 4 (en km), siendo lalatitud

6.2. Meridianos

Los meridianos son crculos mximos, que pasan por los polos y son perpendicularesal ecuador y los paralelos. Dividen al ecuador y paralelos en 360.

La longitud de 1 de longitud vara desde 111,29 km en el ecuador, hasta 0 en lospolos.

Si suponemos la Tierra esfrica, el radio de un paralelo es r = R cos

Los radios de los paralelos guardan entre s la misma relacin que suscircunferencias

1 de longitud = 1 latitud cos La longitud vara con el coseno de la latitud .



6.3. Red de paralelos y meridianos

Una de las primeras tareas para la formacin de un mapa es el dibujo de su red demeridianos y paralelos. Esta red constituye el armazn sobre el cual se construye el mapa.

La red de meridianos y paralelos tiene forma distinta segn sea el sistema deproyeccin adoptado y constituye la manifestacin ms clara de ese sistema.

As por ejemplo, una red de paralelos y meridianos representados por dos familias deparalelas entre s y perpendiculares las de una familia y otra, es tpica de las proyeccionescilndricas normales (Mercator), mientras que las cnicas normales se caracterizan porquesus meridianos son rectas concurrentes y sus paralelos circunferencias.

6.4. Determinacin de la latitud y de la longitud

Conociendo la latitud y longitud se puede situar cualquier punto sobre la superficieterrestre.

El ecuador es el origen de las latitudes.

El meridiano 0 es el meridiano que pasa por Greenwich (cerca de Londres).

La latitud de un lugar se determina observando las estrellas.

La estrella Polar actual se halla aproximadamente a 1 (azimutal) del polo norteceleste, y la latitud se halla determinando el punto medio entre las culminaciones superiore inferior de la Polar (estrella alfa centauro).

Las longitudes se determinan hallando la hora local por medio del paso de estrellas.Se compara esta hora con la del meridiano de Greenwich, que se conoce en todo momentomediante un cronmetro o tomndola de las seales horarias dadas por radio. La diferenciaentre la hora local y la de Greenwich es la longitud, teniendo en cuenta que 1 hora dediferencia corresponde a 15 de longitud. A dicha diferencia hay que sumar o restar, segnel caso, la ecuacin de tiempo, que es la diferencia entre la hora solar observada y la horamedia (la del reloj). Antes de la invencin del cronmetro era muy difcil determinar lalongitud.

Las latitudes se refieren al norte y al sur del ecuador.

Las longitudes se refieren al este y oeste del meridiano de Greenwich y van desde 0hasta 180.

Las coordenadas del Observatorio Astronmico de Madrid son:

= 40 24 3000 N = 3 41 1455 O de Green.

Las unidades de medida fundamentales: la milla nutica y el metro.


23

La milla nutica.

La milla nutica fue en un principio un minuto de latitud; pero como la longitudlineal de un grado de latitud no es constante, resultaba que la milla nutica era mspequea en el ecuador que en los polos. Para evitar esta confusin se introdujo la milla delAlmirantazgo = 1853,18 m que es el valor medio de 1 de latitud.

El sistema mtrico decimal.

En el siglo XVIII exista gran confusin entre las diversas unidades de longitud queeran las millas, leguas, toesas,... En la Revolucin francesa se adopt una nueva unidad delongitud aproximadamente igual a 1/40.000.000 de crculo meridiano y se llam metro.

Dimensiones de la Tierra segn Hayford (1909):

Radio de la Tierra en el ecuador: 6.378,38 km.Radio de la Tierra en los Polos: 6.359,90 km.

Elipticidad (achatamiento) a bb

= 1

297Circunferencia ecuatorial: 40.102,84 km.Circunferencia meridiana: 40.035,64 km.Longitud de 1 de latitud en el ecuador: 110.535 km.Longitud de 1 de latitud en los polos: 111.321 km.Superficie total de la Tierra (aproximadamente): 510.100.000 km2Radio de la esfera de igual volumen: 6.369,55 km. (1 de latitud equivaldra a

111,34 km.)Radio de la esfera de igual superficie : 6.371 km.


25

CAPTULO II

LAS PROYECCIONESCARTOGRFICAS


27

PROYECCIONES CARTOGRFICAS7. Introduccin y tipos de sistemas.

La eleccin de un sistema de proyeccin depende de la utilizacin que ha de hacersede la carta o del mapa. En muchos casos, bastar con la representacin de los detallesgeogrficos sin excesiva precisin. Puede ser el caso de la representacin de planisferios,en que se buscan los contornos de continentes, islas, pases, etc.

En general, los mapas han de satisfacer una serie de propiedades geomtricas. As,para la marina y la aviacin, en que se navega siguiendo unas lneas llamadasloxodrmicas u ortodrmicas que mantendrn al piloto en el rumbo elegido, la carta omapa tendr que conservar los ngulos, o lo que es lo mismo, ser conforme.

Los sistemas que conservan los ngulos, es decir, las lneas en la esfera forman alcortarse el mismo ngulo que sus representaciones planas, se las llama conformes (elngulo de dos curvas que se cortan es el ngulo que forman sus tangentes). Estaconservacin de ngulos vale para cualquier par de curvas. En caso de que no hayaigualdad de ngulos, la diferencia existente entre el ngulo real y el del mapa es laanamorfosis angular.

Asimismo, estas proyecciones podran servir para acciones militares en que adems,se precisa medir distancias con la mxima precisin para el lanzamiento de proyectiles. Alas proyecciones que conservan distancias se les denomina aphilcticas.

Hay sistemas que conservan las distancias en ciertas lneas determinadas llamadasautomecoicas.

Eso quiere decir que en esas lneas o direcciones la escala es la misma, en cambio nolo es entre dos puntos cualesquiera, existiendo deformaciones que se llaman anamorfosislineal.

Hay sistemas que conservan las distancias a lo largo de direcciones especiales, porejemplo las que salen de un punto determinado (son llamados equidistantes).

El cociente de la escala correspondiente a la distancia entre esos puntos y la escala enlas lneas automecoicas no es la unidad, sino un nmero mayor o menor prximo a launidad.

Por otra parte, la conservacin de superficies es importante para la realizacin delcatastro y todas sus consecuencias fiscales. Las proyecciones que conservan las superficiesse les denomina equivalentes.

Los sistemas que conservan la superficie de cualquier figura, se les llamaequivalentes. Las proyecciones no equivalentes presentan anamorfosis superficial(cociente entre superficie del mapa y superficie real).



A pesar de que en cada caso sera conveniente utilizar proyecciones conformes,aphilcticas o equivalentes, segn las necesidades geogrficas y cartogrficas, en losmapas modernos la proyeccin ms utilizada es la conforme.

No hay proyeccin que conserve los tres tipos de dimensiones (ngulos, distancias ysuperficies)

CONFORMES Conserva los ngulos (navegacin area)APHILCTICAS Conserva algunas distancias (acciones militares)EQUIVALENTES Conserva superficies (realizacin de catastro)

8. CLASIFICACIN GEOMTRICAOtro aspecto que sirve para clasificar los sistemas depende de la definicin

geomtrica de los distintos sistemas, es decir, de si el paso de la esfera al plano se ha hechodirectamente o por intermedio de un cilindro o de un cono. Segn este criterio seclasifican en:

8.1. Proyecciones.

Si el paso de la esfera al plano se hace directamente se habla de proyecciones planaso perspectivas. Se obtienen proyectando la superficie terrestre sobre un plano, desde unpunto que llamaremos vrtice de proyeccin. (Estereogrfica, ortogrfica, gnomnica,Mapa Topogrfico Nacional...)

8.2. Desarrollos.

Si hay paso intermedio son desarrollos. Se obtienen considerando una superficiecnica o cilndrica tangente o secante a la esfera. Se define en ellos una correspondenciaentre los puntos de la esfera y del cono o cilindro, desarrollando despus esta superficie. Siel eje del cono o cilindro est en el plano del Ecuador se llaman desarrollos transversos, sicoincide con el eje de la Tierra, se llaman directos y si ocupa cualquier otra posicin, darlugar a los desarrollos oblicuos o tambin llamados horizontales.

Si se pasa de la esfera a un cilindro, que despus se desarrolla, se obtiene unaproyeccin cilndrica (Mercator, U.T.M.).

Si es de la esfera a un cono, se trata de una proyeccin cnica (Lambert, Bonne...)

8.3. Analticos.

Hay otros sistemas de representacin, cuyo origen no es geomtrico, sino analtico.Entre ellos est el utilizado hace unos aos en la Cartografa oficial espaola.


29

Como superficie de referencia se utilizar la esfera (RT= 6.370 km.), o el elipsoide,cuyos radios de curvatura de las secciones principales son:

la gran normal o normal principal N = x ae

cos ( sen ) =

1 2 21

2

y el radio de curvatura de la elipse meridiana

=

a e

e

( )( sen )

1

1

2

2 2 32

Los radios de curvatura dependen de la latitud y de los parmetros a y e delelipsoide, por lo que todos los puntos de un paralelo tendrn los mismos radios decurvatura principales.

El radio del paralelo de un punto en la esfera = R cos en el elipsoide = N cos

Un elemento de arco de paralelo en el elipsoide ser ds = N cos d

Un arco ds de meridiano sobre la esfera ds = R d en el elipsoide ds = d

Dentro de cada grupo se puede distinguir si se trata de una proyeccin geomtricapropiamente dicha o de una representacin analtica y dentro de las geomtricas si se haproyectado segn rectas paralelas o rectas concurrentes.

Tambin puede considerarse si el plano en el primer caso es:

* tangente en un polo a la Tierra (polar o ecuatorial) * tangente en un punto del ecuador (meridiana o transversa) * o en un punto distinto de stos (oblicua)

En el caso de proyecciones cnicas y cilndricas se distinguen las tangentes y lassecantes, segn lo sean a la tierra los conos o cilindros auxiliares.

Anlogamente, segn la posicin de su eje, se les llama polares, transversas yoblicuas.

Las ecuatoriales y meridianas se denominan tambin acimutales y las oblicuas,cenitales.

PROYECCIONES Desde un punto (vrtice de proyeccin) se proyecta la superficieterrestre sobre un plano.

DESARROLLOS Se obtienen sobre una superficie cnica o cilndrica tangente osecante a la esfera y luego se desarrolla.

ANALTICOS No son de origen geomtrico, sino analtico.



PROYECCIONES

ESCENOGRFICA. El vrtice de proyeccin es un punto cualquiera del espacioexterior a la esfera (a distancia finita)

GNOMNICA. El vrtice de proyeccin coincide con el centro de la esfera.

ESTEREOGRFICA. El vrtice es un punto de la esfera, plano de proyeccinnormal al dimetro que pasa por el vrtice.

ORTOGRFICA. El vrtice de proyeccin est en el infinito, plano deproyeccin normal a la direccin del vrtice.

A la vez, cada una de ellas puede ser:

ECUATORIAL o directa o polarMERIDIANA o transversaHORIZONTAL u oblicua

DESARROLLOS

CILNDRICOS

DIRECTOSEquivalente de LAMBERTMeridianos automecoicosConforme (Carta Mercator)

TRANSVERSOSConforme de GaussU.T.M. (Universal Transversa de Mercator)

CNICOS

DIRECTOSConforme de LambertConforme de Lambert limitado (no rigurosamente conforme)



Un punto cualquiera A de la esfera, determinado por sus coordenadas geogrficas , , se proyectar desde el vrtice de proyeccin V en un punto A, cuyas coordenadax, y vamos a calcular.

Frmulas de Bessel (trigonometra esfrica)

cos a = cos b cos c + sen b sen c cos Asen a sen B = sen A sen bsen a cos B = cos b sen c - sen b cos c cos A

En el tringulo esfrico PGA, el lado b = 90 - c = 90 - sustituyendo:

cos a = sen sen + cos cos cos sen a sen (360 - z) = sen cos sen a cos (360 - z) = sen cos - cos sen cos

Los ejes coordenados quedaran segn la figura anterior, en la que el punto A,respecto de dichos ejes, tendra por coordenadas:

x = d sen zy = d cos z

CG = Radio = 1

En el tringulo CNA CN = R cos a = cos a NA = sen a

En los tringulos semejantes VGA y VNA, siendo N el punto de interseccin de lanormal desde A a la recta VG, tenemos:

NAGA'

=cos a + D

D + 1d = (D +1 ) sen a

D + cos a, sustituyendo:

X = (D +1 ) sen a D + cos a

sen z sen (360 - z) = sen z = sen cos sen a

cos a = sen sen + cos cos cos

X = (D +1) sen a (D + sen + cos cos cos )o o sen

sen cos

sen a

X = ( D +1 ) ( sen cos ) ( D + sen + cos cos cos )o o

sen


33

Y = ( D +1 ) sen a D + cos a

cos z sen a = sen cos - cos sen cos o o

cos z

cos a = sen sen + cos cos cos

Y = (D +1) (sen cos - cos sen cos ) cos z (D + sen sen + cos cos cos )

o o

o o

cos z

Y = (D +1) (sen cos - cos sen cos ) (D + sen sen + cos cos cos )

o o

o o

Estas expresiones de x e y dan las coordenadas escenogrficas oblicuas sobre elhorizonte de un lugar, cuyo meridiano tomaremos como origen y su latitud es

PROYECCIN ESCENOGRFICA OBLICUA (Resumen de frmulas):

X = (D +1) ( sen cos ) (D + sen + cos cos cos )o o

sen

Y = (D +1) (sen cos - cos sen cos ) (D + sen sen + cos cos cos )}

o o

o o

D = distancia del vrtice de proyeccin al centro de la Tierra = latitud del punto a representar = latitud del punto centro de coordenadas perpendicular a proyeccin = diferencia de longitudes



10. PROYECCIN ORTOGRFICALos puntos de la superficie terrestre se proyectan ortogonalmente sobre un plano que

pasa por el centro de la Tierra. Se proyectan desde el infinito.

10.1. PROYECCIN ORTOGRFICA ECUATORIAL O DIRECTA.El plano de proyeccin es el Ecuador. Los meridianos se proyectarn segn rectas

que pasan por el origen de coordenadas (proyeccin de los polos) y formando entre sngulos iguales a la diferencia de longitudes respectivas. El Ecuador coincide y ser unacircunferencia cuyo radio tomamos como unidad. Los paralelos son circunferenciasconcntricas, sus radios en la representacin son iguales a los radios de los paralelos en laTierra

X = sen cos Los meridianos son rectas que pasan por los polos.

Y = - cos cos Los paralelos son circunferencias concntricas, el ecuador escircunferencia.

Ecuacin de los meridianos: XY

= - tg D = = 90

Ecuacin de los paralelos: X2 + Y2 = cos2

10.2. PROYECCIN ORTOGRFICA MERIDIANA O TRANSVERSAEl plano de proyeccin es un meridiano, a partir del cual contamos las longitudes. El

meridiano sobre el que proyectamos (perpendicular al meridiano de Greenwich), coincidecon su proyeccin y ser una circunferencia de radio unidad. Los dems meridianos seproyectan segn elipses, cuyo eje mayor es siempre la lnea de los polos P y P y cuyo ejemenor ser: b = sen

X = sen cos Meridianos, el de proyeccin es una circunferencia.Los dems son elipses cuyo eje mayor son los polos y el menor b = sen

Y = sen Paralelos son rectas paralelas al ecuador. Distantes del ecuadorY = sen

Ecuacin de los meridianos: Y2 + X2

2sen = 1 D = = 0

Ecuacin de los paralelos: Y = sen


35

10.3. PROYECCIN ORTOGRFICA HORIZONTAL U OBLICUAEl plano de proyeccin no coincide ni con el ecuador, ni con ningn meridiano.

X = sen cos Los meridianos son elipses.

Y = sen cos - cos sen cos Los paralelos son elipses.

Ecuacin de los meridianos:

X2( 1-sen2 sen2 ) + Y2 sen + XY sen sen2 - cos2 sen2 = 0

Ecuacin de los paralelos:

X2 sen2 + Y2 2Ysen cos + sen2 cos2 - cos2 sen2 = 0


41

11.3. PROYECCIN GNOMNICA HORIZONTAL U OBLCUA

El plano de proyeccin es el horizonte de un lugar cualquiera de latitud . Segnsean las latitudes = 90 - , > 90 - , < 90 - se generarn diferentes cnicaspara representar los paralelos. Siendo la latitud del centro de proyeccin y haciendo D =0 en las ecuaciones de la proyeccin escenogrfica, se obtiene:

X = sen cossen sen cos cos cos

o o+

Y = sen cos - cos sen cos sen sen + cos cos cos

o o

o o

Paralelos: = 90 - es una parbola > 90 - son elipses < 90 - son hiprbolas

Meridianos son rectas que pasan por el polo D = 0

La lnea de mnima distancia sobre la esfera es el crculo mximo. Los crculosmximos en la proyeccin gnomnica son rectas. La Ortodrmica es la lnea de mnimadistancia.



12. PROYECCIN ESTEREOGRFICAEl vrtice de proyeccin es un punto de la esfera y el plano del cuadro es normal al

dimetro que pasa por ste, pudiendo ser tangente a la esfera, pasar por el centro o sercualquier otro plano paralelo a ellos.

Propiedades:

* Toda circunferencia en la esfera se proyecta segn una circunferencia, menos lasque pasan por el vrtice de proyeccin que se proyectan segn rectas.

* La proyeccin es conforme, por tanto los ngulos se conservan.

* Los meridianos son rectas concurrentes.

* Los paralelos y el Ecuador son circunferencias concntricas.

* Los crculos mximos cortan al Ecuador en puntos diametralmente opuestos.

* Los crculos menores son circunferencias (excepto si pasan por el Polo deproyeccin, que son rectas), cuyo centro es la proyeccin del vrtice del conocircunscrito a lo largo del crculo menor en cuestin.

Este sistema se emplea para representar las regiones polares y para las cartas denavegacin, sobre todo aeronuticas.

12.1. PROYECCIN ESTEREOGRFICA POLAR

X = 21

sen cos

sen

+

Meridianos son rectas que pasan por el polo

Y = +

21cos cos

sen

Paralelos son circunferencias concntricas

D = 1 = 90

Ecuacin de los meridianos Ecuacin de los paralelos

XY

= - tg X2 + Y2 = 4 cos (1+ sen )2

2

Las deformaciones son mnimas en las proximidades del polo, aumentando alacercarnos al Ecuador.

Esta proyeccin es muy utilizada en Astronoma para las cartas del cielo en las zonasprximas a los polos. Tambin se usa en navegacin para las regiones polares. Es la quemejor representa a la esfera (o elipsoide), con mdulos de deformacin menores inclusoque en la proyeccin U.T..M.



12.2. PROYECCIN ESTEREOGRFICA MERIDIANA O TRANSVERSAEl vrtice de proyeccin es un punto del Ecuador, y el plano de proyeccin es

normal al dimetro que pasa por l. El meridiano sobre el que se proyecta, se representapor una circunferencia de radio 2R.

X = 21

sen cos

cos cos

+Meridianos son circunferencias que pasan por los polos

Y = 21

sen

cos cos

+

Paralelos son circunferencias

D = 1 = 0

Ecuacin de los meridianos Ecuacin de los paralelosX2 + Y2 - 4 X ctg - 4 = 0 X2 + Y2 - 4 Y cosec + 4 = 0

Una de las aplicaciones de esta proyeccin, es la representacin de la esfera celeste,ya que al ser conforme, las figuras que perfilan en el cielo las estrellas, y que dan lugar adistintas constelaciones, conservan la misma imagen en el mapa.

12.3. PROYECCIN ESTEREOGRFICA OBLICUA U HORIZONTALLa proyeccin se efecta sobre un plano paralelo al del horizonte de un lugar

determinado, cuya latitud llamaremos

X = 21 0 0

sen cos

sen sen cos cos cos

+ +

Y = 2 (sen cos - cos sen cos ) 1+ sen sen + cos cos cos

o o

o o

Meridianos son circunferencias que pasan por los polos

Paralelos son circunferencias D = 1

Ecuacin de los meridianos:X2 + Y2 - 2Xc

o

tgcos

+ 2Y tg = 1

Ecuacin de los paralelos:(X2 + Y2 ) (sen + sen ) 2 Y cos + sen - sen = 0

El factor de escala en esta proyeccin es: h = k = 21+ sen sen + cos cos cos o 0

,

que nos dice la anamorfosis o reduccin lineal que existe en un punto de coordenadas y .


47

13.2. DESARROLLO CNICO CONFORME DE LAMBERTEs una de las proyecciones cnicas ms empleadas. Su construccin comienza por la

representacin de la esfera sobre una superficie auxiliar, que es un cono circunscrito a lolargo de un paralelo. Posteriormente este paralelo se desarrolla sobre un plano.

No es una proyeccin geomtrica, pues la separacin entre paralelos se calculaanalticamente de forma que, igual que en la proyeccin Mercator, se obtiene unarepresentacin conforme.

Los meridianos son rectas concurrentes (en el punto que corresponde en el desarrolloal vrtice del cono) y forman ngulos iguales entre s los que tienen la misma diferencia delongitud.

Los paralelos son circunferencias concntricas (el centro es el vrtice del cono)

Los puntos se proyectan desde el centro de la esfera

En este sistema de desarrollo cnico se impone la condicin de que la representacinsea conforme. Consideramos la superficie cnica tangente a lo largo del paralelo de latitudmedia o de la zona a representar. Este paralelo ser automecoico y en el desarrollovendr representado por una circunferencia de radio r0, que vale igual en todos losdesarrollos cnicos r0 = R ctg

SUPUESTO 1. TIERRA ESFRICA

r0 = R ctg X = X - X0 = X - 600.000

rp = re tg( )sen

452

0

Y = Y - Y0 = Y - 600.000

re = Radio del ecuador para tangente r0 = R ctg

re = Rc o

o

tg

tg( )sen

452

0

re = Rc o

o

tg

tg( )sen

452

0

X = rp sen X = X0 + X tg = X

r Yo

Y = r0 - rp cos Y = Y0 + Y = sen o

= latitud del paralelo tangente = 2 451

0

arctg senrpre

r = radio del paralelo tangenteR = 6.370 km.



TIERRA ELIPSOIDE

rp = re tgcos

cos

sen

211

20

+

e

e

e

X = X - 600.000

= 90 - Y = Y - 600.000r0 = N0 ctg r0 = N0 ctg

N =

( )a

e1 2 212

sen

tg =

Xr Yo

re = r

e

e

o

e

tg coscos

sen

211

20

+

rp = X

sen

X = 600.000 + rp sen = sen o

Y = 600.000 + r0 - rp cos = 90 -

= sen tg coscos

2

11

2

+

e

e

e

=

r

r

p

e

1 0sen = k

tg 2

= k

e

e

e11

2+

cos

cos

Elipsoide de Struve:

a = 6.378.298,3 m

e2 = 0,00677436


49

13.3. DESARROLLO CNICO CONFORME DE LAMBERT LIMITADO(no rigurosamente conforme)

Esta proyeccin se utiliza en zonas de pequea extensin en las que lasdeformaciones producidas, casi no tienen representacin.

Se basa en proyectar los puntos de la esfera desde un vrtice auxiliar situado a unadistancia respecto del centro de la esfera de 3/2 del radio.

TIERRA ESFRICA

r0 = R ctg X = X - X0

r = r0 Y0 Y = Y - Y0

Y0 = s + s

R

3

26tg =

X

r Yo

= sen 0 = sen o

= 0+

X = rp sen = (r0 - Y0) sen Y0 = Y - X tg 2

Y = r0 - rp cos = r0 - rp + 2 rp sen2 2 Y0 s = R

Y = Y0 + 2 (r0 - Y0) sen2 2 =YR

o " = Y

Ro

sen "1

X = X0 + X = 0 +

Y = Y0 + Y s = Y0 -Y

R0

3

26

= sR



TIERRA ELIPSOIDE

El cono se considera tangente al elipsoide a lo largo del paralelo central de la zona,de latitud 0 y se toma como meridiano origen uno que ocupe sensiblemente el centro de lamisma. La interseccin del meridiano y paralelo ser el origen de coordenadas. Primero secalculan N y del elipsoide a adoptar (Hayford)

N =

( )a

e1 2 212

sen

X = X - Xo

r0 = N ctg Y = Y - Yo

" = " sen 0 tg = X

r Yo

= ""r

" = "sen o

r =206.265 = +

= a ee

( )( sen )

11

2

2 2 3/2

Yo = Y - X tg

2

Yo = +

03

6N " =

o

r" =

o

sen "1

X = (ro - Yo)sen = +

Y = Yo + X tg 2


51

13.4. Coordenadas Lambert.

La cartografa militar espaola ha empleado durante mucho tiempo, las coordenadasy la cuadrcula de este sistema. Para su determinacin se eligieron como ejes OY y OX,un meridiano central (el de Madrid), y la recta perpendicular en su interseccin con elparalelo 40, que es un punto prximo a Aranjuez.

Las rectas de la cuadrcula son paralelas a los ejes OY y OX, por tanto, no son nimeridianos ni paralelos.

Para evitar las coordenadas negativas se traslada el origen 600 kms al Oeste y 600kms. al Sur, es decir, que la interseccin de los ejes tiene coordenadas X = 600.000 ,Y = 600.000

En un punto cualquiera, la paralela al eje OY forma con el meridiano un ngulo,llamado convergencia de meridianos (que es cero en el meridiano central) Es el nguloque forma el Norte geogrfico y el Norte de la cuadrcula Lambert.

Al Este de Madrid, el Norte Lambert est a la derecha del geogrfico y al Oeste deMadrid a la izquierda. La convergencia de meridianos aumenta al aumentar las longitudesdel punto respecto a Madrid.


53

14.1. DESARROLLO CILINDRICO DIRECTO EQUIVALENTE DE LAMBERT

Definido el cilindro tangente a la Tierra a lo largo del Ecuador, consideramos sobrel las intersecciones de los planos de los meridianos y los paralelos. El desarrolloconserva las reas (equivalente), el Ecuador es automecoico y las deformaciones linealesaumentan con la latitud.

Ecuacin de meridianos X = Ecuacin de paralelosY = sen

Los Meridianos son rectas paralelas

Los Paralelos son rectas paralelas

La proyeccin es equivalente. El Ecuador es automecoico.

14.2. MERIDIANOS AUTOMECOICOS

Con el cilindro tangente a lo largo del Ecuador, a los puntos de cada meridiano lesharemos corresponder los de la generatriz del cilindro y para situar un punto M de latitud, lo haremos llevando sobre la generatriz una distancia Em igual a la longitud del arco demeridiano EM. En esta proyeccin dos paralelos equidistantes en la Tierra, equidistan enla carta.

Las deformaciones aumentarn al alejarse del Ecuador y la carta se hace inserviblea partir de cierta latitud.

Ecuacin de meridianos X = Ecuacin de paralelos Y =

Los Meridianos y Paralelos son rectas.



14.3. DESARROLLO CILNDRICO DIRECTO CONFORME DEMERCATOR. (CARTA DE MERCATOR)

Tierra Esfrica

Los meridianos y paralelos son representados por rectas paralelas entre s, pero aqucon la condicin de ser la representacin conforme. En esta proyeccin se alteran lassuperficies y las distancias, siendo el sistema ms usado en navegacin por las ventajasque posee.

El fundamento de este desarrollo es la alteracin de la distancia entre los paralelos,de modo que las deformaciones en el sentido de la latitud sean iguales a las deformacionesexistentes en el sentido de la longitud. A partir de los 70 de latitud, la carta se haceinservible por las deformaciones.

La carta de Mercator se ide exclusivamente para la navegacin, por ser conforme(conserva ngulos), manteniendo un mismo rumbo, para ir de un punto A a otro B, bastarsituarlos en el mapa y unirlos con una recta. El ngulo que esa recta forma en la carta conlos meridianos, define el rumbo R con el que habr que navegar.

La ventaja que supone la sencillez de este mtodo de navegacin, compensa el mayorrecorrido al navegar siguiendo la loxodrmica, en lugar del arco de crculo mximo, quesera el camino ms corto entre dos puntos A y B, y que se denomina ortodrmica. Esteltimo es el camino que se sigue en trayectos largos.

En todos los desarrollos cilndricos directos, las deformaciones aumentan al alejarsedel Ecuador.

Se observa la variacin de escala al aumentar la latitud, ya que sin ms que calcularel valor de sec cuando la latitud es 60, se comprueba que si un mapa est en escala, porejemplo 1:10.000 en las zonas ecuatoriales, a esta latitud de 60 ya habramos pasado aescala 1:5.000, por lo que a partir de esta latitud es prcticamente inservible.

Comparando dos representaciones, una Mercator y una cnica Lambert de unamisma zona, por ejemplo Europa, puede apreciarse cmo los pases escandinavos serepresentan en Mercator a doble tamao que en Lambert. La causa fundamental es ladeformacin que se produce en Mercator a estas latitudes. Por ejemplo, en Groenlandia,que siendo un territorio de superficie aproximada a la octava parte de Amrica del Sur,resulta igual de grande que esta.

Estas anomalas no reducen el valor ni la utilidad de la proyeccin Mercator, queno debe emplearse para comparar superficies ni para medir distancias, sino tan solo para eltrazado de loxodrmicas, utilidad para la que se cre. Las lneas de rumbo magntico, quesobre la esfera son espirales, se representan en la proyeccin Mercator por lneas rectas,fciles de trazar.


55

Ecuacin de meridianos X =

Ecuacin de paralelos Y = ln tg 2 4

+

Meridianos son rectas paralelas entre s, al ser desarrollo conforme, la loxodrmicaes una recta.

Ortodrmica es el crculo mximo que une dos puntos (es el camino ms corto sobrela superficie terrestre)

Loxodrmica es la lnea sobre la superficie terrestre que corta todos los meridianosbajo un mismo ngulo (mantiene el rumbo). Como en la carta Mercator los meridianosson rectas paralelas entre s, la loxodrmica al considerarla en un desarrollo conforme,viene representada por una lnea recta.

Ejemplo: en vuelos cortos, la loxodrmica es el camino ideal y es el que sigue elpiloto. En vuelos largos suele dividirse la ortodrmica en tramos de unos 500 a 1000 kmsy dentro de cada uno se siguen loxodrmicas.

Longitud de la loxodrmica (aprox.) l = R sec z

Acimut de la loxodrmica (aprox.) tg z =

XY

R = Radio de la Tierra = diferencia de latitudes X = diferencia de coordenadas X planas Y = diferencia de coordenadas Y planasl = longitud loxodrmicaz = acimut loxodrmica1 milla 1 minuto

Tierra Elipsoide

Ecuacin de meridianos X = a

Ecuacin de paralelos Y = a ln tg sensen

2 4

11

12

+

+

e

e

e

a , e son parmetros del elipsoide



15. DESARROLLOS CILNDRICOS TRANSVERSOSEl eje del cilindro (en lugar de coincidir con el eje de la Tierra) est situado en el

Ecuador y ser tangente a la esfera terrestre a lo largo de un meridiano.

15.1. CONFORME DE GAUSS (Tierra esfrica)

Este sistema de representacin es rigurosamente conforme y es el adecuado pararepresentar pases o zonas alargadas en el sentido de los meridianos. Las deformacionesaumentan al separarse del meridiano central (el de tangencia del cilindro).

La Tierra se divide en 60 husos de 6 de longitud.

Ecuacin de los meridianos X = ln tg H2 4

+

Ecuacin de los paralelos Y = Z

sen H = sen cos

tg Z = tg 1cos

15.2 UNIVERSAL TRANSVERSA MERCATOR (U.T.M.) (Tierra elipsoide)

Adoptada internacionalmente, tiene su fundamento en el desarrollo conforme deGauss - Krger.

En esta proyeccin se considera la Tierra como un elipsoide de revolucin tangenteinteriormente a un cilindro, cuyo eje est situado en el plano del Ecuador. El elipsoide dereferencia elegido es el de Hayford.

El problema, que tena una solucin geomtrica cuando se consideraba la Tierraesfrica, ha de tratarse ahora analticamente. Las frmulas obtenidas para su aplicacinson vlidas para toda la Tierra, pues empleando husos de 6 de amplitud, se representa latotalidad de la Tierra en 60 husos iguales. Una vez obtenidas las frmulas para uno deellos, sern las mismas que debern utilizarse en todos. Los husos se numeran del 1 al 60 apartir del meridiano de 180 de longitud respecto del de Greenwich, por lo que estemeridiano separa los husos nmeros 30 y 31, estando Espaa comprendida entre los husos28, 29, 30 y 31.

La proyeccin U.T.M. es conforme, siendo el meridiano central de cada husoautomecoico y representado segn una recta. La utilidad que tiene esta proyeccin, por suconformidad como aplicacin a problemas geodsicos, la hace recomendable para larepresentacin de casi todos los pases, exceptundose aquellas zonas situadas a 80 delatitud, en las que se utilizar la proyeccin estereogrfica.



16.1. TRANSFORMACIN DE COORDENADAS

El problema concreto estriba en obtener en funcin de las coordenadas geodsicas , (correspondiente al elipsoide) las coordenadas planas (X , Y) en la proyeccin U.T.M.,as como el problema inverso.

El empleo de estas frmulas nos resuelve todo el problema del transporte decoordenadas en el elipsoide, ya que bastar transformar las coordenadas geodsicas delvrtice de partida en U.T.M. y en esta proyeccin calcular las coordenadas planas delvrtice buscado. Volviendo a aplicar las frmulas de la transformacin inversa, pasamosnuevamente al elipsoide.

16.1.1. Transformacin de Geogrficas a UTM

Clculo de las coordenada X e Y, conocidas y

X = 500.000 + (IV) p + (V) p3 + B5 (I) = ko

Y = (Y) + (II) p2 + (III) p4 + A6 (II) = 12 N cos2 tg sen2 1" ko 108

p = 0.0001 " (III) = 124

N cos4 tg sen4 1 ( 5 - tg2 + 9 2 + 44 ) ko 1016

= (IV) = N cos sen 1 ko 104

= e' cos (V) = 16

N cos3 sen3 1" ( 1 - tg2 + 2 ) ko 1012

e = segunda excentricidad elipse meridiana

A6 = 1720

p6 N cos6 tg sen6 1 ( 61 - 58 tg2 + tg4 + 270 2 - 330 tg2 2 ) ko 10

e2 = 0.00676817...

B5 = 1

120 p5 N cos5 sen5 1 ( 5 - 18 tg2 + tg4 + 14 2 - 58 tg2 2 ) ko 1020

= arco de elipse meridianako = 0.9996

= o +

o = 6 ( N Huso - 30 ) - 3 = 6 ( N Huso - 30.5 )


59

16.1.2. Transformacin de UTM a Geogrficas

Clculo de las coordenadas , , conocidas las X e Y

= - (VII) q2 + (VIII) q4 - D6 = o + (IX) q - (X) q3 + Es

(VIII) = tg '' sen "

2 12N

( 1 + 2 ) 102k

1012

(VIII) = tg '' sen "

24 14N

(5 + 3 tg2 + 6 2 - 6 tg2 2 - 3 4 - 9 tg2 4 ) 14k o 1024

(IX) = 11N' cos ' sen "

1k o

106

(X) = 16N 13' cos ' sen "

(1 + 2 tg2 + 2 ) 13k o1018

D6 = tg ' '

' sen "

720 16N

q6 (61 + 90 tg2 + 45 tg4 + 107 2 - 162 tg2 2 - 45 tg4 2 )16k o

1036

E5 = 1

120 15N' cos ' sen " q5 ( 5 + 28 tg2 + 24 tg4 + 62 + 8 tg2 2) 15k o

1030

o = 6

parte entera_ 6 3 + si X > 0 - si X < 0

o = longitud del meridiano central del huso respecto a Greenwich

Elipsoide internacional de Hayford:

c = 6.399.936,609 m

e2 = 0,0067681703 5932962

a = 6.378.388 m



16.2. CONVERGENCIA DE MERIDIANOS

Los ngulos medidos en el elipsoide estn referidos al norte geogrfico cuyarepresentacin en la proyeccin es una lnea curva, transformada del meridiano que pasapor dicho vrtice en el elipsoide, y cuya concavidad en la proyeccin es hacia el meridianocentral. Ya que la cuadrcula U.T.M. da siempre rectas paralelas como norte de cuadrculay los ngulos en la proyeccin hay que referirlos a ese norte, en cada punto habr queconsiderar el ngulo que forma la transformada del meridiano con la direccin del norteU.T.M., que es la convergencia de meridianos.

Convergencia de meridianos es el ngulo* que forma la transformada delmeridiano que pasa por el vrtice (con direccin al N.G.) con la direccin del norte de lacuadrcula o U.T.M. (paralela al meridiano central) en dicho punto (N.G.).

* Cuando se miden ngulos en una proyeccin, se refieren al de las tangentes de laslneas (curvas en general) en que se transforman las correspondientes del elipsoide.

De Geogrficas a UTM

" = (XII) p + (XIII) p3 + C5p = 0,0001

+ "(XII) = sen 104(XIII) = 1

3 sen cos2 ( 1 + 32 + 24 ) sen2 1 1012

C5 = 115

sen cos4 ( 2 - tg2 ) p5 sen4 1 1020

= e cos N =

( )a

e1 2 212

sen

De UTM a Geogrficas

" = (XV) q - (XVI) q3 + F5 q = 0.000001 x

(XV) = tg '' sen "

N ko1

1 106 (XVI) = tg '

' sen "( tg ' ' ' )

3 11 2 1 103

2 2 43

18

N k o+

F5 = tg '' sen "

( tg ' tg ' ) 15 1

2 5 3 1 1052 4 5

530

Nq

k o+ +

' = e cos ko = 0.9996

N =

( )a

e1 2 212

sen '



16.5. FACTOR DE ESCALA k

Es necesario aplicar las reducciones a las distancias medidas en campo condistancimetros, para poderlas utilizar en la proyeccin U.T.M., o a la inversa.

Problema directo

Distancia U.T.M. = k Distancia ELIPSOIDE

A las distancias geomtricas obtenidas en campo (a las que suponemos corregidas defactores meteorolgicos), hemos de aplicar las correcciones oportunas para su paso alelipsoide (reduccin del ngulo de pendiente al terreno, reduccin al horizonte, reduccinal nivel del mar, paso de la cuerda al arco). Una vez obtenidas estas distancias es precisoaplicar una ltima correccin para su reduccin a la proyeccin U.T.M A esta correccinse le denomina factor de escala.

La distancia que utilizamos en la proyeccin ser la que tenamos en el elipsoide,multiplicada por el factor k.

Distancia U.T.M. = k DistanciaELIPSOIDE

- En distancias menores de 100 km.:

k en funcin de las geodsicas k en funcin de las U.T.M.

k = ko {1 + (XX) p2} k = ko {1 + (XVIII) q2 + 0.00003 q4}

p = 0.0001 q = 0,000001 x

ko = 0,9996 (XVIII) = 12

1 1 1022

212

N k o'( ' )+

(XX) = cos2 ( 1 + 2) sen2 1 108 x = X - 500.000

= e cos

- En distancias mayores de 100 km.:

1 16

1 1 4k k k kA B M

= + +

kA, kB factores de escala correspondientes a los extremos del lado

kM su punto medio


63

Problema inverso

Se resuelve con las mismas frmulas

Distancia ELIPSOIDE = kDistanciaUTM

k = ko {1 + (XX) p2} k = ko {1 + (XVIII) q2 + 0.00003 q4}

Resumen de las caractersticas de la proyeccin U.T.M.

Proyeccin:Universal Transversa Mercator (U.T.M.). Husos de 6 de amplitud

Sistema de referencia geodsico , Origen de longitudes: Meridiano central de cada husoOrigen de latitudes: Ecuador

Sistema de referencia plana X, YEje de coordenadas: Transformada recta del meridiano central del husoEje de abscisas: Transformada recta del Ecuador

Sistema de referencia plano convencional X, YObtenido por traslacin del sistema anterior, dando al origen del mismo lascoordenadas:

X = 500.000 metrosY = 0 metros

Factor de reduccin de escalaK0 = 0,9996

Numeracin de los husos:Del 1 al 60 a partir del antimeridiano de Greenwich y hacia el Este

Superficie de referencia:Elipsoide internacional de Hayford, con parmetros fundamentales:

semieje mayor a = 6.378.388 maplastamiento = =

1297 0 003367,



17. LA CUADRCULA UTM.

El sistema de referencia ms universal de puntos sobre la Tierra es el geogrfico:

Latitud: el origen es el Ecuador terrestre, latitud positiva hacia el norte ynegativa hacia el sur.

longitud el origen es el meridiano de Greenwich, longitud positiva hacia eleste y negativa hacia el oeste.

El sistema geogrfico es el ms adecuado a las aplicaciones geogrficas, pero es unpoco complicado para usos tcnicos. Por esto se prefieren los sistemas de referenciarectangulares.

En las aplicaciones tcnicas de la proyeccin U.T.M. (levantamientos topogrficos,construccin de mapas,) son las coordenadas rectangulares X, Y las utilizadas en sucorrespondiente huso.

Sin embargo, para su empleo en los mapas, se ha establecido un sistema universal dedesignacin de puntos, compuesto de letras y cifras, que es la CUTM (Cuadrcula U.T.M.)que nos permite la identificacin de un punto con la aproximacin deseable, utilizando encada caso el mnimo necesario, suficiente y posible de datos y omitiendo los superfluos.

Los pilares bsicos de esta CUTM son:

Los 60 husos de 6 de amplitud, numerados del 1 al 60 a partir del meridiano180 de longitud Greenwich, en el sentido Oeste - Este.

20 bandas esfricas de 8 de latitud entre los paralelos - 80/+80, que sealfabetizan con letras maysculas, de sur a norte, desde la C hasta la X incluidas(excluyendo las CH, I, LL, y O)

De la interseccin de los husos con las bandas resultan 60 * 20 = 1.200 trapeciosesferidicos de 6 de longitud por 8 de latitud, que reciben el nombre de zonas y sedesignan cada una de ellas por el nmero del huso seguido por la letra de la banda, nohabiendo repeticiones. Esta es la cuadrcula bsica.

Espaa est en las zonas:

27R y 28R, para las Islas Canarias29S y 29T30S y 30T,31S y 31T

[ver grfico en pgina siguiente]



Hasta aqu la CUTM est definida por meridianos y paralelos, que son lneasgeogrficas. En adelante las subdivisiones se establecen, dentro de cada huso por rectasparalelas a los ejes coordenados, de la siguiente forma:

* Se divide cada huso en cuadrados de 100 Km. de lado, a partir del Ecuador (ejede las X), hacia el Norte y el Sur, y a partir del meridiano central (eje de las Y) haciael Este y el Oeste.. Cada cuadrado se designa por una pareja de letras combinadas demanera que dentro de un rea de 18 de longitud por otros 17 de latitud no se repitela denominacin de un cuadrado.

Las columnas de cuadrados se rotulan sobre el Ecuador de Oeste a Este, a partirdel meridiano de 180, con dos letras maysculas desde la A hasta la Z (excluidas lasCH, I, LL, y O), contando con 24 letras. Como el arco del Ecuador de 6 delongitud tiene un desarrollo de unos 668 Km., cada huso comprende en el Ecuadorseis cuadrados completos (de 100 Kms) y otros dos cuadrados parciales, por lo quese necesitan ocho letras, de modo que dichas 24 letras se repiten exactamente cadatres husos, es decir, cada 18 de longitud.

Los cuadrados laterales incompletos de cada huso se van estrechando amedida que aumenta la latitud.

Las filas de cuadrados se rotulan con maysculas con 20 letras, desde la A hastala V (excluidas las CH, I, LL, y O). En los husos impares la letra A rotula loscuadrados junto al Ecuador, mientras que en los pares, los cuadrados se rotulancon la F.

De esta forma resulta que dos filas de cuadrados con la misma letra dentro de unmismo huso estn separadas por 19 * 100 Km. desarrollo aproximado de 17 del arco demeridiano, de modo que la designacin completa de un cuadrado se repite cada 17 delatitud. Por tanto, dos cuadrados con la misma designacin no se encuentran dentro de unrea de 17 de latitud por 18 de longitud.

La designacin de un cuadrado se expresa por la letra de la columna seguido por laletra de la fila. Si puede haber ambigedad en la designacin, se antepone la sigla de lazona, por ejemplo 30TWM es nico en toda la Tierra.

La identificacin completa de un punto cualquiera en la CUTM constar de:

la designacin de la zona y el cuadrado de los 100 km. las coordenadas numricas del punto, en las que se prescindir de las cifras que

representen las centenas de kilmetros, por estar contenidas implcitamente en lasigla del cuadrado de los 100 kms.

Por ejemplo, un punto comprendido en el huso 30 que tiene de coordenadas UTMaproximadas al metro de:

X = 468.367 Y = 4.582.717


67

Este punto est en la zona 30T y en el cuadrado VL, la designacin del cuadrado de100 Km ser 30TVL.

Todos los puntos del huso 30 cuya X comience por 4 y cuya Y comience por lascifras 45, estarn contenidos en dicho cuadrado, por lo que no ser necesario citar estascifras para identificar el punto dado, cuya referencia completa ser, aproximada al metro:

30 T V L 6836782717 (aproximacin de 1 metro)

Las cifras de la abscisa y de la ordenada se escriben sin separacin entre unas y otrasdespus de las letras del cuadrado. Estas cifras son siempre en nmero par, en el ejemplodiez cifras. Las cinco primeras corresponden a la abscisa y las cinco ltimas a la ordenadadel punto dentro del cuadrado de los 100 Km. Es decir, que dicho punto, en el sistemarectangular de referencia 30 TVL, tiene por coordenadas:

X = 68367 Y = 82717 metros

De los dos grupos de cifras, la primera de la izquierda de cada grupo representasiempre, y sin excepcin, decenas de kilmetros, las siguientes, unidades de kilmetros, yas sucesivamente.

Teniendo en cuenta este criterio, cuando no sea necesario o posible aproximar lascoordenadas al metro, se prescindir de las cifras que representan al metro de la abscisa yla ordenada:

30 T V L 68368271 (aproximacin de 10 metros)30 T V L 683827 (aproximacin de 100 metros)30 T V L 6882 (aproximacin de 1 Kilmetro)

Primera letra del cuadrado de 100 km

Huso Centenas de Km de la abscisa1 2 3 4 5 6 7 8 9

3 + 1 A B C D E F G H3 + 2 J K L M N P Q R3 S T U V W X Y Z

Segunda letra del cuadrado de 100 km.

Huso Millares de Km Centenas de Kms de la ordenada(paridad) de la ordenada (paridad) 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 02 + 1 A B C D E F G H J K2 2 F G H J K L M N P Q2 + 1 L M N P Q R S T U V2 2 + 1 R S T U V A B C D E



18. OTRAS PROYECCIONES

Proyeccin polidrica, utilizada en el Mapa Topogrfico Nacional hasta hace pocotiempo.

Proyeccin Bonne, utilizado en el Mapa Militar Itinerario 1:200.000. Es equivalente.

Proyeccin sinusoidal, es equivalente.

Proyeccin Mollweide

Proyeccin Goode, para representar la totalidad de la Tierra, sin excesivasdeformaciones.


69

19. SISTEMAS GEODSICOS UTILIZADOS EN ESPAA.Hasta el ao 1968 se utiliz en Espaa el sistema geodsico o geogrfico espaol,

basado en las siguientes referencias terrestres:

Punto fundamental o datum Observatorio de MadridOrigen de longitudes Meridiano de MadridOrigen de latitudes EcuadorSuperficie de referencia Elipsoide de Struve

Sobre esta superficie y con estos parmetros se llev a cabo el clculo ycompensacin, por zonas, de la red geodsica espaola, cuyos valores han servido de basey apoyo en todos los trabajos destinados a la confeccin de la Cartografa nacional. A lascoordenadas en este sistema se les denomina espaolas o antiguas.

Al finalizar la II Guerra Mundial se unifican las redes geodsicas europeas y secompensan en conjunto. Este trabajo se efectu sobre los siguientes parmetros:

Punto fundamental o datum Observatorio de PotsdamOrigen de longitudes Meridiano de GreenwichOrigen de latitudes EcuadorSuperficie de referencia Elipsoide internacional de Hayford

Desde 1968, aproximadamente, se dispone de coordenadas de todos los vrtices de lared geodsica. Desde entonces, todos los trabajos y la nueva cartografa se apoyan en estosnuevos valores de latitud y longitud. A las coordenadas en este sistema se les llamaeuropeas o actuales.

El sistema espaol o antiguo sirvi para calcular, mediante frmulas detransformacin, las coordenadas rectangulares en proyeccin conforme de Lambert.

El sistema europeo o actual sirve para calcular las coordenadas rectangulares UTM.

71

INDICE

CAPTULO I. LA CARTOGRAFA

1. Generalidades .............................................................................. 11

2. Deformaciones2.1. Deformaciones lineales ......................................................... 132.2. Deformaciones superficiales ................................................. 142.3. Deformaciones angulares...................................................... 14

3. Escalas3.1. Formas de indicar la escala ................................................... 153.2. Cambio de escala .................................................................. 15

4. Smbolos Cartogrficos .............................................................. 16

5. Sistema de representacin5.1. Dibujo de curvas de nivel ..................................................... 175.2. Representacin de la recta..................................................... 185.3. Representacin del plano ...................................................... 185.4. Representacin de superficies geomtricas........................... 185.5. Representacin de superficies topogrficas .......................... 18

5.5.1. Leyes generales........................................................ 195.5.2. Equidistancia ........................................................... 195.5.3. Curvas maestras e intercaladas ................................ 195.5.4. Llanuras, elevaciones y depresiones........................ 205.5.5. Orientacin de un mapa........................................... 20

6. Paralelos y Meridianos6.1. Paralelos ................................................................................ 216.2. Meridianos ............................................................................ 216.3. Red de Paralelos y Meridianos ............................................. 226.4. Determinacin de la Latitud y de la Longitud ...................... 22

72

CAPTULO II. LAS PROYECCIONES CARTOGRFICAS

7. Introduccin y tipos de sistemas ................................................ 27

8. Clasificacin Geomtrica8.1. Proyecciones ......................................................................... 288.2. Desarrollos ............................................................................ 288.3. Analticos .............................................................................. 28

9. Proyeccin Escenogrfica........................................................... 31

10. Proyeccin Ortogrfica10.1. Proyeccin Ortogrfica Ecuatorial o Directa ........................ 3410.2. Proyeccin Ortogrfica Meridiana o Transversa .................. 3410.3. Proyeccin Ortogrfica Horizontal u Oblicua ...................... 35

11. Proyeccin Central o Gnomnica11.1. Proyeccin Central o Gnomnica Ecuatorial o Directa ........ 3611.2. Proyeccin Gnomnica Meridiana o Transversa .................. 3811.3. Proyeccin Gnomnica Horizontal u Oblicua ...................... 41

12. Proyeccin Estereogrfica12.1. Proyeccin Estereogrfica Polar ........................................... 4212.2. Proyeccin Estereogrfica Meridiana o Transversa.............. 4412.3. Proyeccin Estereogrfica Oblicua u Horizontal.................. 44

13. Desarrollos Cnicos Directos ..................................................... 4513.1. Desarrollo Cnico Directo .................................................... 4613.2. Desarrollo Cnico Conforme de Lambert............................. 4713.3. Desarrollo Cnico Conforme de Lambert Limitado ............. 4913.4. Coordenadas Lambert ........................................................... 51

14. Desarrollos Cilndricos Directos ................................................ 5214.1. Desarrollo Cilndrico Directo Equivalente de Lambert ........ 5314.2. Meridianos Automecoicos .................................................... 5314.3. Desarrollo Cilndrico Directo Conforme de Mercator.......... 54

15. Desarrollos Cilndricos Transversos15.1. Conforme de Gauss............................................................... 5615.2. Universal Transversa de Mercator (U.T.M.)......................... 56

16. Anlisis y clculo de los elementos que se utilizanen la Proyeccin UTM ................................................................ 5716.1. Transformacin de coordenadas ........................................... 58

16.1.1. De Geogrficas a UTM............................................ 5816.1.2. De UTM a Geogrficas............................................ 59

16.2. Convergencia de Meridianos ................................................ 6116.3. Reduccin a la Cuerda c...................................................... 61

73

16.4. Aplicaciones angulares ....................................................... 6116.5. Factor de escala k ............................................................... 62

Resumen de las caractersticas de la Proyeccin UTM..................... 63

17. La cuadrcula UTM .................................................................... 64

18. Otras Proyecciones...................................................................... 68

19. Sistemas Geodsicos utilizados en Espaa................................ 69

Documents

Dialnet-LaCartografiaYLasProyeccionesCartograficas-492575