INTEGRANTES: •Lizeth Cisneros •Oscar Segovia •Braulio Yumbillo

ANÁLISIS MATEMÁTICO II

APLICACIONES DE INTEGRALES DE VELOCIDAD, ACELERACIÓN Y

DESPLAZAMIENTO

• Guillermo Verdezoto • Cristián Tibán • Santiago Flores.

Se define la velocidad como la rapidez de cambio de la posición. Si ∆t es el tiempo transcurrido entre A y B, la velocidad media Vm entre estos dos puntos será:

Y la velocidad instantánea es el límite de ésta razón cuando ∆t tiende a cero, o sea,

El significado geométrico de este resultado es que en la figura a medida que ∆t tiende a cero, B se acerca cada vez más a A y la cuerda ∆r se aproxima más al arco ∆s, de manera que en el límite, dr coincida con ds, y por tanto, la velocidad v es tangente a la trayectoria.

Se define la aceleración como la rapidez del cambio de la velocidad. Si ∆v es el cambio de velocidad, durante el tiempo ∆t, la aceleración media Am será

La aceleración instantánea es el límite de esta razón cuando ∆t tiende a cero, o sea

Las unidades para el desplazamiento, la velocidad y la aceleración dependen de las unidades escogidas para medir la longitud y el tiempo, como el metro, pie, milla, etc. ; para la longitud, y el segundo, el minuto o la hora para el tiempo.En el Sistema Internacional tendremos:

Cuando el movimiento de una partícula está animado de velocidad constante; aplicamos la ecuación e integramos aplicando condiciones de frontera:

Si la partícula tiene un desplazamiento inicial igual a cero tenemos:

Siendo las únicas ecuaciones que gobiernan cuando la partícula está animada de velocidad constante

Cuando el movimiento de una partícula está animado de aceleración constante, esta condición surge cuando un cuerpo está bajo el efecto de fuerzas que permanecen constantes en magnitud y dirección

Integrando con los siguientes límites: cuando t = 0; velocidad inicial s0 = 0 hasta un tiempo t con una velocidad v y una posición s tenemos:

Reemplazamos la ecuación e integrando tenemos:

La velocidad inicial v0 sale del integral porque es una constante ya que no depende del tiempo.

A la ecuación multiplicamos y dividimos por ds y tenemos:

Tenemos:

Integrando esta ecuación tenemos:

Si el desplazamiento inicial s0 = 0 tenemos:

Las ecuaciones son válidas únicamente si la aceleración es constante.

Para cuerpos que caen desde poca altura únicamente bajo la influencia de la gravedad, la aceleración puede suponerse constante con valor de g = 9.8 m/s2; dirigido hacia abajo.

En cualquier movimiento que haya caída libre de cuerpos, las ecuaciones de movimiento para la aceleración constante puede aplicarse directamente reemplazando a por g.

Cuando el movimiento es rectilíneo variado, en donde la aceleración no permanece constante procedemos de la siguiente manera:

Si conocemos la ecuación de la partícula: Aplicamos la ecuación e integramos la ecuación de la aceleración aplicando las condiciones iniciales dadas en el problema y hallamos la ecuación de la velocidad.

Para hallar la ecuación de la posición aplicamos la ecuación e integramos la ecuación de la velocidad aplicando las condiciones iniciales del problema y hallamos la ecuación de la posición

RESUMENRESUMEN

LA ACELERACIÓN ES CONSTANTE a = constante

Las ecuaciones obtenidas son

Ejemplo 1Ejemplo 1El auto mostrado en la figura se mueve en línea recta de tal manera que su velocidad para un período corto de tiempo es definida por pies/s, donde t es el tiempo el cual está en segundos . Determine su posición y aceleración cuando t = 3,00 s. Considere que cuando t = 0. S = 0

Solución Solución POSICIÓN Para el sistema de referencia considerado y sabiendo que la velocidad es función del tiempo v = f(t). La posición es:

Cuando t = 3 s, resulta

ACELERACIÓN. Sabiendo que v = f(t), la aceleración se determina a partir de a = dv/dt

Cuando t = 3 s

Un proyectil pequeño es disparado verticalmente hacia abajo dentro de un medio fluido con una velocidad inicial de 60 m/s. Si resistencia del fluido produce una desaceleración del proyectil que es igual a donde v se mide en m/s. Determine la velocidad v y la posición S cuatro segundos después de que se disparó el proyectil.

SoluciónSoluciónVelocidad: Usando el sistema de referencia mostrado y sabiendo que a = f(v) podemos utilizar la ecuación a = dv/dt para determinar la velocidad como función del tiempo esto es

POSICIÓN: Sabiendo que v = f(t), la posición se determina a partir de la ecuación v = ds/dt

Ejemplo 3Ejemplo 3Una partícula metálica está sujeta a la influencia de un campo magnético tal que se mueve verticalmente a través de un fluido, desde la placa A hasta la placa B, Si la partícula se suelta desde el reposo en C cuando S = 100 mm, y la aceleración se mide como donde S está en metros. Determine; (a) la velocidad de la partícula cuando llega a B (S = 200 mm) y (b) el tiempo requerido para moverse de C a B

Solución Solución Debido a que a = f(S), puede obtenerse la velocidad como función de la posición usando vdv = a dS. Consideramos además que v = 0 cuando S = 100 mm

La velocidad cuando S = 0,2 m es

El tiempo que demora en viajar la partícula de C a B se determina en la forma

Cuando S = 0,2 m el tiempo es

Ejemplo 04 Ejemplo 04 Desde una ventana situada a 20 m sobre el suelo se lanza una bola verticalmente hacia arriba con una velocidad de 10 m/s. Sabiendo que la bola todo el tiempo se encuentra sometida a un campo gravitacional que le proporciona una aceleración g = 9,81 m/s2 hacia abajo. Determine: (a) la velocidad y la altura en función del tiempo, (b) el instante en que la bola choca con el piso y la velocidad correspondiente

( )( ) tvtvdtdv

adt

dv

ttv

v

81.981.9

sm81.9

00

2

0

−=−−=

−==

∫∫

( ) ttv

−=

2s

m81.9

s

m10

( )

( ) ( )0

210 2

0

10 9.81

10 9.81 10 9.81y t t

y

dyv t

dt

dy t dt y t y t t

= = −

= − − = −∫ ∫

( ) 22s

m905.4

s

m10m20 ttty

−

+=

SOLUCIÓN

SOLUCIÓN

( ) 0s

m81.9

s

m10

2=

−= ttv

s019.1=t

• Remplazando el valor del tiempo obtenido se tiene.

( )

( ) ( ) 22

22

s019.1s

m905.4s019.1

sm

10m20

s

m905.4

sm

10m20

−

+=

−

+=

y

ttty

m1.25=y

Cuando la bola alcanza su altura máxima su velocidad es cero, entonces se tiene

• www.monografias.integraldefinida.com• Libro de José Paredes (Física)• www.wikimatemáticas.com