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vibraciones 123
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ESCUELA POLITCNICA NACIONAL
FACULTAD DE INGENIERA MECNICA
VIBRACIONES
Nombres:
Ramrez Gangotena Leonidas EstebanYambo MauroSnchez FabinRodrguez JairoVibracin armnicamente excitada
CAPTULO 3
Ingeniero militar y fsico francs.
En su estupenda obra Mmoires sur llectricit etlemagntisme (1784-1806), present su primer trabajo (The Theory of SimpleMachines) sobre esttica y mecnica en 1779, el cual describe el efecto de la resistencia y la llamada ley de la proporcionalidad de Coulomb entre la friccin y la presinnormal. En 1784 obtuvo la solucin correcta al problema de oscilaciones pequeas de un cuerpo sometido a torsin. Es bienconocido por sus leyes de fuerza para cargas electrostticas y magnticas. A la unidad de carga elctrica se le dio su nombre. (Cortesa de AppliedMechanics Reviews ).
Esquema del captulo:
3.1 Introduccin
3.2 Ecuacin de movimiento
3.3 Respuesta de un sistema no amortiguado sometido a fuerza armnica
3.4 Respuesta de un sistema amortiguado sometido a fuerza armnica
3.5 Respuesta de un sistema amortiguado sometido a F(t) 5 F0eivt
3.6 Respuesta de un sistema amortiguado sometido al movimiento armnico de la base
3.7 Respuesta de un sistema amortiguado sometido a desbalance rotatorio
3.8 Vibracin forzada con amortiguamiento de Coulomb
3.9 Vibracin forzada con amortiguamiento de histresis
3.10 Movimiento forzado con otros tipos de amortiguamiento
3.11 Autoexcitacin y anlisis de estabilidad
3.12 Mtodo de la funcin de transferencia
3.13 Soluciones obtenidas utilizando transformadas de Laplace
3.14 Funciones de transferencia de frecuencia
3.1 Introduccin
Se dice que un sistema mecnico o estructural experimenta vibracin forzada siempre que se suministra energa externa al sistema durante la vibracin. La energa externa se puede suministrar ya sea mediante una fuerza aplicada o por una excitacin de desplazamiento impuesta. La fuerza aplicada
o la excitacin de desplazamiento pueden ser armnica, no armnica pero peridica, no peridica, o aleatoria. La respuesta de un sistema a una excitacin armnica se llama respuesta armnica.
La excitacin no peridica puede ser de larga o de corta duracin. La respuesta de un sistema dinmico a excitaciones no peridicas repentinamente aplicadas se llama respuesta transitoria.
En este captulo consideraremos la respuesta dinmica de un sistema de un solo grado de libertad sujeto a excitaciones armnicas de la forma
donde Fo es la amplitud, v es la frecuencia y f es el ngulo de fase de la excitacin armnica. El valor de f depende del valor de F(t) en t=50 y suele considerrsele cero. Bajo excitacin armnica, la respuesta del sistema tambin ser armnica. Si la frecuencia de excitacin coincide con la frecuencia natural del sistema, la respuesta ser muy grande.
3.2 Ecuacin del Movimiento
Si una fuerza F(t) acta en un sistema de resorte-masa viscosamente amortiguado como se muestra en la figura , la ecuacin de movimiento se puede obtener aplicando la segunda ley de Newton:
Como esta ecuacin es no homognea, la suma de la solucin homognea
xh(t) y la solucin particular,
xp(t) proporciona su solucin general. La solucin homognea, la cual
es la solucin de la
ecuacin homognea
Como se vio en la secciones anteriores, esta vibracin libre se reduce con el tiempo en cada una de las tres posibles condiciones de amortiguamiento (subamortiguamiento, amortiguamiento crtico y sobreamortiguamiento) y en todas las posibles condiciones iniciales.
Las variaciones con el tiempo de las soluciones homognea, particular y general en un caso tpico se muestran en la figura siguiente. Se ve que Xh(t) se reduce y que X(t) se transforma en Xp(t) despus de algn tiempo (t en la figura 3.2). La parte del movimiento que se reduce a causa del amortiguamiento (la parte de vibracin libre) se llama transitoria. El ritmo al cual el movimiento transitorio se reduce depende de los valores de los parmetros del sistema k, c y m.
3.3 Respuesta de un sistema no amortiguado sometido
a una fuerza armnica
Por sencillez, antes de estudiar la respuesta de un sistema amortiguado consideramos un sistema no amortiguado sometido a una fuerza armnica. Si una fuerza F(t) = Fo cos t acta en la masa m de un sistema no amortiguado, la ecuacin de movimiento, ecuacin (3.1), se reduce a:
La solucin homognea de esta ecuacin est dada por:
Donde:
Como la fuerza de excitacin F(t) es armnica, la solucin particular Xp(t) tambin es armnica, y tiene la misma frecuencia . Por lo tanto suponemos una solucin en la forma
donde X es una constante que indica la amplitud mxima de Xp(t). Sustituyendo la ecuacin (3.5) en la ecuacin (3.3) y resolviendo X, obtenemos:
Donde indica la desviacin de la masa bajo la fuerza Fo y en ocasiones se conoce como deflexin esttica porque F0 es una fuerza constante (esttica). Por lo tanto, la solucin total de la ecuacin (3.3) es:
Utilizando las condiciones iniciales
vemos que
y por consiguiente:
La amplitud mxima X en la ecuacin (3.6) se expresa como:
La cantidad representa la relacin de la amplitud de movimiento dinmica con la amplitud de movimiento esttica y se conoce como factor de amplificacin o relacin de amplitud. La variacin de la relacin de amplitud,
con la relacin de frecuencia
(ecuacin 3.10) se muestraen la figura 3.3. Segn esta figura, se puede identificar la respuesta del sistema como de tres tipos.
donde la amplitud de movimiento X se vuelve a definir como una cantidad positiva como sigue:
En la ecuacin (3.15) se ve que en resonancia, x(t) se incrementa indefinidamente. El ltimo trmino de la ecuacin (3.15) se muestra en la figura 3.6, donde se ve que la amplitud de la respuesta se incrementa linealmente con el tiempo.
3.3.1 Respuesta total
La respuesta total del sistema, ecuacin (3.7) o ecuacin (3.9), tambin se expresa como:3.3.2 Fenmeno de batido
Si la frecuencia forzada se aproxima a, pero no es igual a, la frecuencia natural del sistema, puede ocurrir un fenmeno conocido como batido. En esta clase de vibracin, la amplitud se incrementa y luego disminuye de una forma regular. El fenmeno de batido se explica considerando la solucin que aporta la ecuacin (3.9). Si las condiciones iniciales se consideran como Xo=Xo=0, la ecuacin (3.9) se reduce a:Ejemplo : Placa que soporta una bomba
Una bomba que pesa 150 lb est montada a la mitad de una placa de acero de 0.5 pulg de espesor, 20 pulg de ancho, y 100 pulg de largo, sujeta a lo largo de dos bordes como se muestra en la figura 3.9. Durante la operacin de la bomba, la placa se somete a una fuerza armnica, Encuentre la amplitud de vibracin de la placa.Ejemplo : Placa que soporta una bomba
Solucin: La placa se puede modelar con una viga empotrada como un mdulo de Young (E) =30 3 10*6 lb/pulg2, longitud (l) =100 pulg, y momento de inercia de rea (I) =1/12 (20)(0.5)^3 5 0.2083 pulg^4. La rigidez a flexin de la viga est dada por:La ecuacin (3.6) da la amplitud de respuesta armnica con Fo= 50 lb, m=150/386.4 lb-s2/pulg (sin tener en cuenta el peso de la placa de acero), k =200.0 lb/pulg y =62.832 rad/s. Por lo tanto, la ecuacin (3.6) da por resultado:3.4 Respuesta de un sistema amortiguado
sometido a una fuerza armnica
Donde X y son constantes que se tienen que determinar. X y indican la amplitud y el ngulo de fase de la respuesta, respectivamente. Sustituyendo la ecuacin (3.25) en la ecuacin (3.24), llegamos a
siguientes sustituciones:
Y Obtenemos:
Para un sistema no amortiguado (=0), la ecuacin (3.30) se reduce a la ecuacin (3.10), y
2. Cualquier cantidad de amortiguamiento (=0), reduce el factor de amplificacin (M) con todos los valores de la frecuencia forzada.
3. Para cualquier valor especificado de r, un valor mayor de amortiguamiento reduce el valor de M.
4. En el caso degenerado de una fuerza constante (cuando r=0), el valor de M =1.
5. La reduccin en M al haber amortiguamiento es muy significativa en o cerca de la resonancia.
6. La amplitud de vibracin forzada se reduce con valores crecientes de la frecuencia forzada es decir,
7. Para el valor mximo de M ocurre cuando
el cual es menor que la frecuencia natural no amortiguada n y la frecuencia natural amortiguada da
8. El valor mximo de X est dado por
9. Para la grfica de M decrece monotnicamente con valores crecientes de r.
Las siguientes caractersticas del ngulo de fase se observan por la ecuacin (3.31) y la figura 3.11(b):3.4.1 Respuesta total
La solucin completa la dan Por lo tanto, para un sistema subamortiguado, tenemos:Las ecuaciones (3.30) y (3.31) dan X y , respectivamente, y Xo y o [diferentes de los valores obtenidos con la ecuacin (2.70)] se pueden determinar a partir de las condiciones iniciales. Para las condiciones iniciales, x(t=0)=Xo y x (t=0)=X o, la ecuacin (3.35) da por resultadoEjemplo: Respuesta total de un sistema
Encuentre la respuesta total de un sistema de un solo grado de libertad con m=10 kg, c=0 N-s/m, k=4 000 N/m, Xo=0.01 m, y Xo=0 en las siguientes condiciones:
a. Una fuerza externa F(t)=Focos t acta en el sistema con Fo=100 N y =10 rad/s.Ejemplo: Respuesta total de un sistema
Ejemplo: Respuesta total de un sistema
b. Para vibracin libre, la respuesta total la da
3.4.2 Factor de calidad y ancho de banda
Con valores pequeos de amortiguamiento (Haciendo el anlisis vemos que el ancho de banda es:
3.5 Respuesta de un sistema amortiguado
sometido a
Como la parte real de F(t) da la excitacin real, la parte real de x(t) tambin dar slo la respuesta, donde x(t) es una cantidad compleja que satisface la ecuacin diferencial (3.47). Fo en la ecuacin (3.47) es, en general, un nmero complejo. Suponiendo la solucin particular Xp(t)
Obtenemos, al sustituir la ecuacin (3.48) en la ecuacin (3.47).
Asimismo, si la parte imaginaria de la ecuacin (3.53) da la solucin de estado estable correspondiente:
Representacin del movimiento armnico como un vector complejo.La excitacin armnica y la respuesta del sistema amortiguado a dicha excitacin se pueden representar grficamente en el plano complejo, y al diagrama resultante se le puede dar una interesante interpretacin.
Podemos concluir que la velocidad se adelanta al desplazamiento por el ngulo de fase /2 y que est multiplicada por . Asimismo, -1 se puede escribir como
3.6 Respuesta de un sistema amortiguado
sometido al movimiento armnico de la base