TEMA 3: Preliminares sobre Funciones realesTEMA 3: Preliminares TEMA 3: Preliminares sobre Funciones realessobre Funciones reales

•• Función real de variable real. Dominio y rangoFunción real de variable real. Dominio y rango•• Operaciones con funcionesOperaciones con funciones•• Composición de funcionesComposición de funciones•• Funciones monótonasFunciones monótonas•• Funciones Funciones inyectivasinyectivas y y sobreyectivassobreyectivas•• Función inversaFunción inversa••GráficaGráfica

••Funciones elementales: polinomios, logaritmos, exponencial, Funciones elementales: polinomios, logaritmos, exponencial, valor absoluto, parte entera, … valor absoluto, parte entera, … ••Funciones trigonométricasFunciones trigonométricas••EcuacionesEcuaciones

PRELIMINARES SOBRE FUNCIONES

• Definición : Función real de una variable real Sea D⊂ R; sedefine una función real de una variable real como una regla “f”entre D y R que asigna un único número real a cada x ∈D. Se suele escribir

f : D⊂ R → R / x → f(x)• A cualquier elemento de D lo designaremos por la letra “x”

y su imagen en ℜ diremos que es f(x). Diremos que x es la variable independiente de la función f y que y=f(x) es la variable dependiente.

• El conjunto D sobre el que está definida la función f se llama dominio ó campo de existencia de la función f.

D = { x∈ℜ / ∃ f(x) }• Rango, Recorrido ó Imagen de f es el subconjunto de ℜ

formado por todas las imágenes de los elementos de D.• Rf = { f(x)∈ℜ / x∈D }• * En Economía x es conocida como la variable exógena e y

como variable endógena.

• Entre conjuntos

• Representación cartesianaRD

f(x)x

f(x)

x D

• Una función se dice que está acotada en su dominio D si existe un k∈ℜ tal que ⏐f(x)⏐ ≤ k ∀x∈D.• Una función se dice que es “par” en su dominio D si

f(x) = f(-x) ∀x∈D, por ejemplo la función f(x) = x2.• Una función se dice que es “impar” en su dominio D si

-f(x) = f(-x) ∀x∈D, por ejemplo la función f(x) = x3.

Operaciones con funciones:

• Dadas f, g : D⊂ R → R dos funciones reales de variable real, se define:

•(f±g)(x) = f(x) ± g(x), ∀x∈D•(f.g)(x) = f(x).g(x), ∀x∈D•(f/g)(x) = f(x)/g(x), ∀x∈D tal que g(x)≠0•(αf)(x) = αf(x), ∀x∈D, α ∈R

Algunas definiciones

Función Monótona : Dada la función f : D⊂ R → R, diremos que f es monótona si

a) x<y ⇒ f(x) ≤ f(y) ∀x, y∈D (Monótona creciente)

b) x<y ⇒ f(x) < f(y) ∀x, y∈D (Mon. estrictamente creciente)

c) x<y ⇒ f(x) ≥ f(y) ∀x, y∈D (Monótona decreciente)

d) x<y ⇒ f(x) > f(y) ∀x, y∈D (Mon. estrictamente decreciente)

Gráfica de una función Sea f: D⊂ R → R, se llama gráfica de dicha función, al conjunto de puntos (x , y) de R2 verificando y = f(x) , para todo x ∈D, y se denota:

Gf = { ( x , y) ∈ R2 / y = f(x) x∈D }Dado un punto P(x,y), (x,y) son las coordenadas de P. Se dice que (x,y) es un par ordenado.

•Composición de funciones Sean las funciones f : A⊂ R → Ry g : B⊂ R → R con f(A)⊂B, se llama función compuesta de f y g, a la función g o f : A⊂ ℜ → ℜ tal que (g o f) (x) = g( f(x)) ∀x∈A. Dadas f y g , como arriba, que f(A) ⊆ B , es la condición necesaria y suficiente para la existencia de la función compuesta g o f , De aquí se deduce que dadas dos funciones f y g puede existir la función g o f y sin embargo no existir f o g, o viceversa .Función inyectiva: Dada la función f : D⊂ R → R , diremos que f es inyectiva si f(x)=f(y) ⇒ x=y, es decir, a elementos distintos en el conjunto origen corresponden imágenes distintas.Función sobreyectiva o suprayectiva:Dada la función f : D⊂ R → R , diremos que f es suprayectiva

si ∀y∈R ∃ x ∈ D tal que f(x)=y, es decir, todo elemento del conjunto final tiene al menos una antiimagen.Función inversa Sea la función f : D⊂ R → R inyectiva cuyo

rango ó recorrido es Rf ⊂ R , se llama función inversa de f y se designa por f-1 a una función, si existe, de dominio Rf y

rango D tal que ∀x∈Rf f-1(x) = y, si f(y) = x.Se verifica que f(f-1(x)) = f-1(f(x))= x