DIARIO DELLE LEZIONI DEL CORSO DI CORSO DI LAUREA IN ... · DIARIO DELLE LEZIONI DEL CORSO DI ANALISI MATEMATICA I (L–Z) 2011-2012 CORSO DI LAUREA IN INGEGNERIA AEROSPAZIALE DANIELE

DIARIO DELLE LEZIONI DEL CORSO DI

ANALISI MATEMATICA I (L–Z) 2011-2012

CORSO DI LAUREA IN INGEGNERIA AEROSPAZIALE

DANIELE ANDREUCCI

DIP. SCIENZE DI BASE E APPLICATE PER L’INGEGNERIA

UNIVERSITA LA SAPIENZA

VIA A.SCARPA 16, 00161 ROMA, ITALY

Le dimostrazioni fanno parte del programma, salvo quando viene esplicitamenteindicato il contrario con il simbolo (s.d.).I paragrafi del libro indicati sono riferiti alla seconda edizione.Gli esercizi indicati nella forma n/m (esercizio n del gruppo m) sono riferiti allaversione del 1 ottobre 2011 degli Esercizi d’esame e di controllo reperibili sul sitodel corso.

1

1. Lunedı 26/9/2011

Presentazione del corso.Insiemi numerici N, Z, Q.Q introdotto mediante gli assiomi di campo totalmente ordinato.

Teorema 1.1. Per ogni x ∈ Q, vale x · 0 = 0.

Per casa 1.2. Dimostrare che per ogni x ∈ Q, (−1) · x = −x.Dimostrare che non puo esistere l’elemento inverso di 0.Dimostrare che (−1) · x = −x.Dimostrare che x ≤ y, z ≤ 0 implica x · z ≥ y · z. �

Teorema 1.3. (Densita) Dati due razionali x < y esistono infiniti razionali ztali che x < z < y.

Rappresentazione decimale dei razionali.

Teorema 1.4. Non esiste nessun x ∈ Q tale che x2 = 2.

Approssimazione di√

2 per eccesso e per difetto con numeri razionali.

Paragrafi di riferimento sul testo: 1.1, 1.2.

2. Mercoledı 28/9/2011

Insiemi limitati superiormente e inferiormente.Definizione di maggiorante e minorante, di estremo superiore e inferiore, di massimoe di minimo.Definizione di estremo superiore come il piu piccolo dei maggioranti.Assioma dell’esistenza dell’estremo superiore in R di ogni insieme limitatosuperiormente.Definizione di potenza reale di base reale (positiva).

Per casa 2.1.

Teorema 2.2. Se A e limitato superiormente, inf(−A) = − sup A.�

Teorema 2.3. (s.d.) Dati x ∈ R ed ε > 0 esistono q1, q2 ∈ Q e r1, r2 ∈ R \ Q taliche

x − ε < q1 < x < q2 < x + ε , x − ε < r1 < x < r2 < x + ε .

Esempio 2.4. Calcolo di sup e inf di:

A ={

1 − 1

n| n = 1, 2, 3, . . .

}

, B = {x ∈ Q | x2 < 11} ,

�

Definizione di intervalli limitati aperti e chiusi.

Teorema 2.5. (Proprieta Archimedea) Per ogni x, y > 0 reali, esiste n ∈ N

tale che nx > y.

Paragrafi di riferimento sul testo: 1.2, 1.3.2

3. Giovedı 29/9/2011

Teorema 3.1. L’estremo superiore di un insieme e unico.

Per casa 3.2.

Teorema 3.3. sup A e il minimo dei maggioranti di A.

Teorema 3.4. Se A e superiormente limitato, M = sup A se e solo sei) M e un maggiorante di A;ii) per ogni ε > 0 esiste x ∈ A tale che x > M − ε.

�

Esempio 3.5. Calcolo di sup e inf di{

an | an = 1 +1√n

, se n e pari; an = 2 − 1

n, se n e dispari

}

.

�

Teorema 3.6. (Induzione) (s.d.) Se la proposizione Pn e vera per n = n0, e se

Pn vera =⇒ Pn+1 vera,

allora Pn e vera per ogni n ≥ n0.

Esempio 3.7.n

∑

k=0

k =n(n + 1)

2,

n∑

k=0

xk =xn+1 − 1

x − 1, x 6= 1 .

�

Teorema 3.8. (Disuguaglianza di Bernoulli) Se a > 1, allora per k =0, 1, 2, 3, . . .

ak+1 ≥ 1 + ka(a − 1) .

Esempio 3.9. Sia x > 0, e definiamo

A ={

k∑

n=0

xn | k = 1, 2, 3, . . .}

;

allora sup A = 1/(1 − x) se 0 < x < 1, sup A = ∞ se x ≥ 1. �

Per casa 3.10. A) Sia 0 < x < 1 e

B ={

p∑

i=1

xmi | p = 1, 2, 3, . . . mi ∈ N , m1 < m2 < · · · < mp

}

;

si dimostri che sup B = 11−x .

B) Determinare le sommen

∑

k=0

k2 .

�

Paragrafi di riferimento sul testo: 1.3.2, 1.5.

3

4. Venerdı 30/9/2011

Definizione di valore assoluto di un numero reale.

Teorema 4.1. Per x, y ∈ R, a > 0 vale

|x − y| < a

se e solo sex − a < y < x + a .

Teorema 4.2. (Disuguaglianza triangolare) Per x, y, z ∈ R valgono

|x + y| ≤ |x| + |y| ,

e|x − y| ≤ |x − z| + |z − y| .

Esercizio 4.3. Risolvere la disequazione:

|2 − x| > x2 .

�

Definizione di funzione; dominio, immagine, grafico.Funzioni iniettive, suriettive, biiettive.Funzione inversa di biiezione. Grafico ottenuto per simmetria rispetto alla rettay = x.Estremo superiore e inferiore di una funzione. Massimo e minimo. Esempi diesistenza e non esistenza del massimo e minimo.Funzioni monotone e strettamente monotone.

Teorema 4.4. Se f : A → R e strettamente monotona in A allora e invertibile inA.

La funzione esponenziale ax e la sua inversa funzione logaritmo loga x (a > 1). Leprincipali proprieta del logaritmo.Funzioni goniometriche: cos, sin, tg. Le funzioni inverse arctg : R → (−π/2, π/2),arcsin : [−1, 1] → [−π/2, π/2], arccos : [−1, 1] → [0, π].

Per casa 4.5. Dimostrare che

arctg x + arctg1

x=

π

2, per ogni x > 0.

�

Paragrafi di riferimento sul testo: 1.3.1, 1.3.3, App. 1.A, 2.1, 2.2.1, 2.2.3, 2.3, 2.4,2.6.

4

5. Lunedı 3/10/2011(prof. Filomena Pacella)

Richiami sui vari insiemi numerici e sulle loro proprieta.Definizione dell’insieme dei numeri complessi come insieme di coppie ordinate dinumeri reali.Definizione delle operazioni di addizione e moltiplicazione e loro proprieta.Forma algebrica dei numeri complessi, proprieta del numero i.Coordinate polari nel piano e forma trigonometrica dei numeri complessi.Passaggio dalla forma algebrica a quella trigonometrica e viceversa.Esercizi sulle operazioni in forma algebrica e sul passaggio da una rappresentazioneall’altra di vari numeri complessi.

Paragrafi di riferimento sul testo: 1.4.

6. Mercoledı 5/10/2011(prof. Filomena Pacella)

Teoremi sul prodotto e rapporto di due numeri complessi in forma trigonometrica.Potenza con esponente intero positivo di un numero complesso.Funzione esponenziale complessa e rappresentazione esponenziale dei numericomplessi.Teorema sulle radici di numeri complessi.Esercizi sul calcolo del prodotto, rapporto e potenze di numeri complessi in formatrigonometrica.

Paragrafi di riferimento sul testo: 1.4, 1.4.1.5

7. Giovedı 6/10/2011

Definizione di funzione composta f ◦ g.La composizione e associativa ma non commutativa.

Teorema 7.1. Se f e g sono entrambe crescenti, o decrescenti, f ◦ g e crescente.Se una delle due e crescente e l’altra decrescente, f ◦ g e decrescente.

Definizione di funzioni pari e dispari.

Esempio 7.2. Caso delle potenze intere: sono pari [dispari] se l’esponente e pari[dispari]. �

Teorema 7.3. Siano f pari, g dispari; oppure f dispari, g pari; oppure f pari, gpari; allora f ◦ g e pari.Siano f dispari, g dispari; allora f ◦ g e dispari.

Esempi di comportamento di funzioni vicino a x = 0:

x2 , [x] , sin1

x,

1

xsin

1

x.

Definizione di limite finito di una funzione f(x) per x → x0.

Esempio 7.4. Esistenza dilimx→0

x2 ,

e non esistenza dilimx→0

[x] .

�

Paragrafi di riferimento sul testo: 2.2.2, 2.5, 3.2.

6

8. Venerdı 7/10/2011

Definizione di limite (finito e infinito) di una funzione f(x) per x → x0, x → x0±.

Teorema 8.1. Casistica di

limx→x0

[f(x) + g(x)] .

Esempio 8.2. Limiti per x → 0+ di f(x) + g(x), ove g(x) = −1/x, x > 0, e

f(x) =1

x, f(x) =

2

x, f(x) =

1

x+ sin

1

x, x > 0 .

�

Teorema 8.3. Casistica dilim

x→x0

[f(x) · g(x)] .

Teorema 8.4. Casistica di

limx→x0

f(x)

g(x).

Per casa 8.5. Casistica dilim

x→0+xαxβ ,

α, β ∈ R. �

Per casa 8.6. Costruire un esempio ove

limx→0+

f(x) = +∞ , limx→0+

g(x) = +∞ , limx→0+

f(x)

g(x)6 ∃ .

�



Polinomi ed equazioni algebriche in campo complesso.Formula risolutiva per le equazioni di secondo grado.Teorema fondamentale dell’algebra (s.d.).Decomposizione di un polinomio.Polinomi a coefficienti reali e loro decomposizione in fattori di primo e secondogrado.Esercizi vari sulle equazioni algebriche.Esercizi di ricapitolazione sulle operazioni con i numeri complessi.

Paragrafi di riferimento sul testo: 1.4.7


Risoluzione di equazioni algebriche in campo complesso utilizzando la formaalgebrica.Richiami sulla definizione di limite nei vari casi ed esempi.Esercizi di verifica del limite utilizzando la definizione.Definizione di funzione continua.Teorema sull’unicita del limite.Teorema della permanenza del segno.

Paragrafi di riferimento sul testo: 1.4, 3.2, 6.1.

11. Giovedı 13/10/2011(prof. Filomena Pacella)

Teorema inverso della permanenza del segno.Limite destro e sinistro, per eccesso e per difetto.Teorema del confronto.Richiami sulle operazioni con i limiti e forme indeterminate.Teorema sui limiti delle funzioni monotone.Limiti e continuita della funzione esponenziale e della funzione logaritmo.


12. Venerdı 14/10/2011(prof. Filomena Pacella)

Limiti e continuita della funzione potenza e delle funzioni trigonometriche direttee inverse, mediante il teorema sui limiti delle funzioni monotone.Limiti di funzioni esponenziali-potenze e relative forme indeterminate.Teorema sui limiti delle funzioni composte.Limite all’infinito di funzioni razionali.Esercizi sugli argomenti trattati.



Esercizi sui limiti di funzioni esponenziali-potenze.Definizione di infiniti e infinitesimi e loro confronto.Uso del simbolo o(1).Limiti di funzioni razionali che si presentano come rapporto di infinitesimi.Principio di sostituzione degli infiniti e degli infinitesimi.Limiti notevoli di funzioni trigonometriche.

Paragrafi di riferimento sul testo: 3.4 , 3.5 , 3.6.8


Ordine di un infinito o infinitesimo rispetto a un infinito o infinitesimo campione.Confronto fra infiniti di tipo esponenziale e potenza.Confronto fra infiniti di tipo logaritmico e potenza.Esercizi vari sul confronto fra infiniti e infinitesimi.Esercizi sul calcolo dell’ordine di infiniti o infinitesimi.


15. Giovedı 20/10/2011

Esercizi sull’estremo superiore e inferiore: 1, 3, 4/110.

16. Venerdı 21/10/2011(prof. Filomena Pacella)

Esercizi sul confronto e sull’ordine di infinitesimi e infiniti.Definizione di successione e limite di successioni.Richiami sulle operazioni con i limiti e forme indeterminate.Riformulazione dei teoremi sui limiti nel caso delle successioni : unicita del limite,confronto, permanenza del segno, teorema sui limiti delle successioni monotone.Esempi vari.Definizione del numero e come limite di una successione monotona crescente.


17. Lunedı 24/10/2011

Definizione di funzione continua in un punto e in un intervallo.Continuita da destra e da sinistra.

Teorema 17.1. Se f e g sono continue allora f + g, fg, f ◦ g, f/g se g 6= 0, fg

se f > 0, sono continue.

Permanenza del segno per funzioni continue.Discontinuita eliminabili, di prima e di seconda specie.

Esempio 17.2.

sin1

x, [x] , f(x) =

sin x

x, x 6= 0 ,

0 , x = 0 ,

�

Esempio 17.3. La funzione di Dirichlet: f(x) = 0 se x ∈ Q, f(x) = 1 se x 6∈ Q. �

Per casa 17.4. Dimostrare che la funzione definita per x > 0 da

f(x) =

0 , x 6∈ Q ,

1

p, x =

m

p,

con m, p ∈ N primi tra loro, e continua in R \ Q. �

Teorema 17.5. (Esistenza degli Zeri) Sia f ∈ C([a, b]), con f(a)f(b) < 0.Allora esiste c ∈ (a, b) tale che f(c) = 0.

Dimostrazione del precedente teorema con il metodo del sup e con quello dellebisezioni.

Per casa 17.6. Costruire una funzione continua in [0, 1] con infiniti zeri isolati. �



Dimostrazione della monotonia e limitatezza inferiore della successione che convergead e.Ulteriori limiti notevoli e relativi esercizi.Confronto fra successioni che tendono all’infinito, in particolare il caso dellesuccessioni n! e nn.

Paragrafi di riferimento sul testo: 4.1, 4.2, 5.1.10


Criterio del rapporto per il confronto di successioni.Teorema sul rapporto tra limiti di funzioni e limiti di successioni (s.d.).Limitatezza delle successioni convergenti.Successioni estratte o sottosuccessioni.Relazione fra i limiti di una successione e quelli delle sue estratte.Teorema di Bolzano-Weierstrass sulle successioni limitate.


20. Venerdı 28/10/2011

Teorema dei valori intermedi per funzioni continue.

Teorema 20.1. Se f ∈ C (I) e I e un intervallo, allora f(I) e un intervallo.

Teorema 20.2. Una funzione monotona puo avere punti di discontinuita solo diprima specie.

Teorema 20.3. Se f ∈ C (I) con I intervallo e invertibile, allora f e strettamentemonotona.

Teorema 20.4. L’inversa di una funzione continua e continua.

Esempio 20.5. Definita g(a) come il valore dell’unico x > 0 tale che

1 − 2−x =a

x,

studiare la monotonia di g, e (per casa) trovare

lima→∞

g(a) .

�

Esercizio 20.6. Studiare la convergenza della successione definita per ricorrenzada

a1 = 1 , an+1 = sin an , n ≥ 1 .

�

Esercizio 1/720.


21. Lunedı 31/10/2011 1/2

Lemma 21.1. Una funzione continua in un intervallo limitato e chiuso e ivilimitata.

Teorema 21.2. (Weierstrass) Una funzione continua in un intervallo limitatoe chiuso assume il suo massimo e il suo minimo.

Teorema 21.3. Una funzione f continua in [0, ∞), tale che f(x) ≥ 0 per qualchex ≥ 0 e

limx→∞

f(x) = 0 ,

assume il suo massimo in [0, ∞).

Esempi di funzioni continue e no che assumono i loro estremi o no.Il caso delle funzioni monotone.


22. Lunedı 31/10/2011 2/2

Esercizi sui limiti di successioni: 4/710, 2/720.Definizioni di sinh x, cosh x, tgh x.

Esercizio 22.1. Dimostrare che l’equazione

tgh x = sin x

ha infinite soluzioni positive. �

Esercizio 22.2.

limn→∞

n + 1√n + 2

tg1√n

.

�

Esercizio 22.3.

limx→0

x ln(1 + arctg x)

e − ecos4 x.

�


Definizione di successione definita per ricorrenza (o ricorsiva).Successione di Fibonacci.Studio della monotonia della successione.Successioni definite per ricorrenza tramite funzioni monotone crescenti.Discussione dell’equazione limite.Esempi vari.



Successioni definite per ricorrenza tramite funzioni monotone decrescenti.Esempi e esercizi vari sulle successioni ricorsive.


25. Venerdı 4/11/2011

Definizione di suddivisione di un intervallo. Ampiezza di una suddivisione.Raffinamenti di suddivisioni.Somma superiore S(D, f) e inferiore s(D, f) relative a una suddivisione e a unafunzione.

Lemma 25.1. Se D2 ⊂ D1 allora

s(D2, f) ≤ s(D1, f) ≤ S(D1, f) ≤ S(D2, f) .

Definizione di integrale secondo Riemann di una funzione limitata su un intervallochiuso e limitato.

Esempio 25.2. Integrale di funzioni costanti.La funzione f(x) = x e integrabile. �

Per casa 25.3. Dimostrare che una funzione costante a tratti e integrabile. �

Esercizio 25.4. Convergenza della successione

a1 = 1 , an+1 = 1 +4

an + 2.

�


26. Lunedı 7/11/2011

Lemma 26.1. f ∈ R(a, b) se e solo se per ogni ε > 0 esiste Dε tale che

0 ≤ S(Dε, f) − s(Dε, f) ≤ ε .

Teorema 26.2. Se f e monotona su [a, b] e integrabile su [a, b].

Teorema 26.3. L’integrale gode delle proprieta di linearita, monotonia, additivitarispetto all’intervallo di integrazione. Inoltre

∣

∣

∣

∣

∣

∣

b∫

a

f

∣

∣

∣

∣

∣

∣

≤b

∫

a

|f | .

Corollario 26.4. Una funzione monotona su [a, c] e su [c, b] e integrabile su [a, b].

Per casa 26.5. Trovare una funzione tale che |f | ∈ R(a, b), ma f 6∈ R(a, b). �

Esempio 26.6. La funzione di Dirichlet non e integrabile. �

Esempio 26.7. La funzione

f(x) =

sin1

x, 0 < x ≤ 1 ,

0 , x = 0 ,

e integrabile in [0, 1]. �


27. Mercoledı 9/11/2011

Funzioni lispchitziane. Costante di Lipschitz. Significato geometrico delladefinizione.

Lemma 27.1. Una funzione lipschitziana e continua.

Proposizione 27.2. Una funzione lipschitziana in [a, b] e integrabile in [a, b].

Definizione di modulo di continuita.

Lemma 27.3. Il modulo di continuita e lipschitziano con costante 1.

Definizione di funzione uniformemente continua in I.

Teorema 27.4. Le funzioni in C([a, b]) sono uniformemente continue in [a, b].

Teorema 27.5. Se f e uniformemente continua in [a, b] allora e integrabile in[a, b].

Corollario 27.6. C ([a, b]) ⊂ R(a, b).

Esempio 27.7. f(x) =√

x, 0 ≤ x ≤ 1 non e lipschitziana, pur essendouniformemente continua, con δε = ε2. �


28. Giovedı 10/11/2011

Studio dell’uniforme continuita delle funzioni:√

x , x ∈ [0, ∞) ; sin1

x, x ∈ (0, 1) ;

sin x2 , x ∈ [0, ∞) ; x2 , x ∈ [0, ∞) .

Per casa 28.1. Se f e uniformemente continua in [0, ∞) esistono due costanti a,b > 0 tali che |f(x)| ≤ ax + b, x ≥ 0. �

Lemma 28.2. (s.d.) La funzione continua f : (a, b) → R e uniformementecontinua in (a, b) se e solo se esistono finiti i limiti f(a+) e f(b−).

Teorema 28.3. Sia f : [a, b] → R limitata, e continua in [a, b] a parte un numerofinito di punti di discontinuita. Allora f ∈ R(a, b).

Definizione di media integrale

M(a, b, f) :=1

b − a

b∫

a

f(x)dx .

Teorema 28.4. Vale inf [a,b] f ≤ M(a, b, f) ≤ sup[a,b] f .

Corollario 28.5. Se f ∈ C ([a, b]) allora esiste c ∈ [a, b] tale che M(a, b, f) = f(c).

Teorema 28.6. Se f ∈ R(a, b) e f e continua in x0, allora M(x, x0, f) → f(x0)per x → x0.

Esercizio 28.7. Sia f ∈ C([a, b]), con∫ 1

0 f = 0,∫ 1

1

2

f < 0. Allora esiste c tale che

f(c) = 0. �

Per casa 28.8. Siano f , g ∈ C ([a, b]), con f > g su [a, b]. Allora∫ b

af >

∫ b

ag. �

Esercizio 28.9. Studiare il limite della successione an data daan∫

0

dx

x + e√

x + 1= n .

�

Esercizio 28.10. Sia f ∈ C([a, b]), con∫ β

α f ≥ 0, per ogni [α, β] ⊂ [a, b]. Alloraf ≥ 0. �

Per casa 28.11. Sia f : [0, ∞) → R tale che f(x) → L per x → ∞. Allora perogni x0 ≥ 0 si ha M(x, x0, f) → L per x → ∞. �

Cenno iniziale agli integrali impropri.


15

29. Venerdı 11/11/2011

Retta tangente come migliore approssimazione lineare.Definizione di derivata.Esempi di derivate: ax + b, x2, ex, |x|, sin x.

Per casa 29.1. Derivare cos x. �

Teoremi di Fermat, di Rolle, di Lagrange.

Teorema 29.2. Se f ′ = 0 in un intervallo aperto, f e costante in quell’intervallo.

Definizione di∫ b

af con a ≥ b.

Teorema 29.3. Se f e continua in x0, allora posto

F (x) =

x∫

a

f(t)dt

si ha F ′(x0) = f(x0).

Teorema 29.4. Se f e continua in [a, b], e F ′ = f in (a, b), allorax

∫

a

f(t)dt = F (x) + C , x ∈ [a, b] .


16

30. Lunedı 14/11/2011

Notazione di Leibniz.

Teorema 30.1. Se f e derivabile in x0 allora e continua in x0.

Teorema 30.2. Se f e g sono derivabili in x0 allora:

(αf + βg)′(x0) = αf ′(x0) + βg′(x0) , (fg)′(x0) = f ′(x0)g(x0) + f(x0)g′(x0) ,(f

g

)′(x0) =

f ′(x0)g(x0) − f(x0)g′(x0)

g(x0)2, se g(x0) 6= 0.

Derivate di xn e x−n, n ∈ N.Definizione di integrale indefinito.

Esempio 30.3.b

∫

a

xn dx =bn+1 − an+1

n + 1.

�

Teoremi di derivazione di funzione composta e di funzione inversa.Derivate di ln x, xα α ∈ R, αx α > 0, tg x, arcsin x, arccos x, arctg x.

Per casa 30.4. Derivare cosh x, sinh x. �

Teorema 30.5. Se f ′ ≥ 0 [f ′ > 0] in (a, b), allora f e [strettamente] crescente in(a, b).Se f ′ ≤ 0 [f ′ < 0] in (a, b), allora f e [strettamente] decrescente in (a, b).

Per casa 30.6. Studiare la monotonia di f(x) = (|x|1/4 − 3)4. �


31. Mercoledı 16/11/2011prof. Filomena Pacella

Definizione di serie numerica e somme parziali.Condizione necessaria per la convergenza di una serie.Serie geometrica, serie di Mengoli.Serie a termini non negativi.Serie armonica.Esempi vari.


32. Giovedı 17/11/2011

Definizione di punto angoloso e di cuspide.Localizzazione di un estremo locale: punti critici.Definizione di derivata destra e sinistra.Ricerca degli asintoti obliqui.

Per casa 32.1. Studio della funzione

f(x) = −x

4+ arctg

√

|x − 1| .

�

Esempi di studio di funzione.

Esempio 32.2. Calcolare f−1(1) e (f−1)′(1), se f : [−π/2, π/2] → R e data da

f(x) = ex + sin x .

�


33. Venerdı 18/11/2011

Derivate seconde e successive. Classi Cn((a, b)).Definizione di funzione convessa e concava in un intervallo.

Teorema 33.1. Se f ∈ C2((a, b)) e f ′′ ≥ 0 in (a, b), allora f e convessa in (a, b).

Esempio 33.2. Studio della funzione

f(x) = −x

4+ arctg

√

|x − 1| .

�

Esempio 33.3. La funzione f(x) = x2 sin(1/x) e ovunque derivabile ma non haderivata continua. �


34. Lunedı 21/11/2011

Teorema dell’Hopital.Teorema di Cauchy.

Esempio 34.1.

limx→ π

2

(π

2− x

)

tg x ; limx→∞

1

xex

x2

∫

0

e√

t dt ; limx→∞

x(π

2− arctg x

)

.

�

Definizione di integrale improprio, convergente e divergente.

Esempio 34.2. Calcolo di∞

∫

1

dx

xα, α > 0 .

�

Per casa 34.3. Calcolo di1

∫

0

dx

xα, α > 0 .

�

Esempio 34.4. Calcolo del limite

limx→∞

x(π

2− arctg x

)

a partire da

π

2− arctg x =

∞∫

x

dt

1 + t2.

�



Serie resto e condizione necessaria per la convergenza di una serie.Serie a termini positivi.Criterio del confronto e del confronto asintotico.Criterio del rapporto.Esercizi vari.

Paragrafi di riferimento sul testo: 4.8.1, 4.8.3.19

36. Giovedı 24/11/2011

Cenno al differenziale di funzioni di due variabili.Integrazione per parti.Integrazione per sostituzione.Metodo dei fratti semplici per l’integrazione di funzioni razionali.Esempi; esercizio 7/520.

Per casa 36.1. Dimostrare che∫

dx

(1 + x2)m=

x(x2 + 1)1−m

2(m − 1)+

2m − 3

2m − 2

∫

dx

(1 + x2)m−1.

�

Per casa 36.2. Calcolare∫

dx

1 + x4.

�


37. Venerdı 25/11/2011prof. Filomena Pacella

Criterio della radice per le serie.Esercizi vari sulle serie a termini non negativi.Serie di segno variabile.Convergenza assoluta e convergenza semplice.La convergenza assoluta implica la convergenza semplice (s.d.).La convergenza semplice non implica la convergenza assoluta.Serie a segni alterni e enunciato del criterio di Leibniz.

Paragrafi di riferimento sul testo: 4.8.3, 4.9.1.20

38. Lunedı 28/11/2011

Integrazione per sostituzione di varie funzioni riconducibili a funzioni razionali:

R(x,√

a2 ± (cx + d)2) , R(x,√

(cx + d)2 − a2) .

Esempi.

Esempio 38.1. Integrazione per parti di∫

eax cos(bx)dx .

�

Esercizi 6/520, 1/580.

Esercizio 38.2. Trovare una stima inferiore per f(1), sapendo che

f ∈ C2(R) , f(0) = 0 , f(1/2) = 1 , f ′′ ≥ 0 .

�

Per casa 38.3. Trovare una funzione f tale che

f(x)2 =

x∫

0

f(t)t

1 + t2dt , x ∈ R .

�

Per casa 38.4. Calcolare∫

√x2 + x

xdx .

�



Dimostrazione del criterio di Leibniz.Stima dell’errore per serie a segni alterni.Confronto tra serie numeriche e integrali impropri.Criterio dell’integrale per la convergenza di una serie numerica.Esercizi vari.

Paragrafi di riferimento sul testo: 4.9.1, 9.1.21

40. Giovedı 1/12/2011

Polinomi di Taylor.

Teorema 40.1. Il polinomio di Taylor Tn di ordine n e l’unico polinomio di grado

≤ n tale che T(k)n (x0) = f (k)(x0) per k = 1, . . . , n.

Teorema 40.2. (Peano) Il polinomio di Taylor Tn di ordine n e l’unico polinomiodi grado ≤ n tale che

f(x) = Tn(x) + o((x − x0)n) , x → x0 .

Esempio 40.3. Sviluppi di MacLaurin di ex, sin x. �

Per casa 40.4. Sviluppo di MacLaurin di cos x. �

Esercizio 2/310.


41. Venerdı 2/12/2011

Esercizi sugli sviluppi di Taylor.

Teorema 41.1. (Formula del resto di Lagrange) Sia f ∈ Cn+1((a, b)).Allora, se x, x0 ∈ (a, b) e Tn denota il polinomio di Taylor di f in x0, vale

f(x) − Tn(x) =f (n+1)(cx)

(n + 1)!(x − x0)n+1 ,

ove cx appartiene all’intervallo di estremi x0 e x.

Esempi di serie di Taylor.


42. Lunedı 5/12/2011

Serie di Taylor.Serie di potenze.Definizione di raggio di convergenza R.

Teorema 42.1. L’insieme di convergenza di una serie di potenze e un intervallodi raggio R centrato in x0.

Teorema 42.2. Se esiste uno dei limiti

limk→∞

k

√

|ak| = L , limk→∞

|ak+1||ak| = L ,

allora R = 1/L.

Ogni serie di potenze convergente e la serie di Taylor della sua somma.Esercizi: 7/110, 5/420.


43. Mercoledı 7/12/2012

Definizione di punti di flesso.Test delle derivate successive per i punti critici.

Esempio 43.1. Applicazione del test a f(x) = x4 − 4x3 + 6x2 − 4x + 1. �

Esercizio 1/800.


44. Venerdı 9/12/2011

Esercizi: 2,4/770, 8/110.

Esempio 44.1. L’integrale∞

∫

0

sin x

xdx

converge, ma non assolutamente. �

Per casa 44.2. Dimostrare che∞

∫

0

xne−x dx = n! , n ∈ N .

�

45. Lunedı 12/12/2011

Esercizi 1/420, 12/770, 2/800.La formula di Stirling

n! =√

2πnn+ 1

2 e−neθn

12 n , n ≥ 1 ,

con 0 < θn < 1, θn → 1 per n → ∞, e applicazioni.Studio della convergenza delle serie:

∞∑

n=1

nα

(mn)!,

∞∑

n=1

n!(x2

n

)n

,

con m ∈ N, m ≥ 1, α > 0.

Per casa 45.1. Studiare la convergenza di∞

∑

n=2

1

n(ln n)α,

al variare di α ∈ R. �

Per casa 45.2. Calcolare il limite

limx→0

x(x4x − 2x + 1)2

x − arctg x.

�


46. Mercoledı 14/12/2011

Ricapitolazione.Esercizi 7/770, 6/800.

47. Giovedı 15/12/2011

Ricapitolazione.Esercizi 3,9,11/770.

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