DIBUJO TECNICO

Gilmer Aviles Huatuco [email protected]

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DIBUJO TÉCNICO P r o h i b i d a l a r e p r o d u c c i ó n t o t a l o p a r c i a l d e e s t a o b r a p o rc u a l q u i e r m e d i o , s i n a u t o r i z a c i ó n e s c r i t a d e l a u t o r .D E R E C H O S R E S E R V A D O S © 2 0 1 0 , r e s p e c t o a l a p r i m e r ae d i c i ó n e n e s p a ñ o l p o r E D I T O R E S E L M O R O C O C H A N O .D i s e ñ o d e c u b i e r t a : G i l m e r A v i l e s H .I m p r e s o e n P e r ú – P r i n t e d i n P e r u v i a n . A l o s q u e d e s e e n o b t e n e r u n a c o p i a e l e c t r ó n i c a e n f o r m a t o W o r d , P D F ú o t r o ,p u e d e n c o m u n i c a r s e c o n e l a u t o r v í a e - m a i l o t e l é f o n o . T a m b i é n s i r e q u i e r e na s e s o r í a e n D i b u j o T é c n i c o , D i b u j o M e c á n i c o , G e o m e t r í a D e s c r i p t i v a , e t c .



ÍNDICE P R E F A C I O 1 1C A P Í T U L O I : I N T R O D U C C I Ó N 1 31 . 1 .

E l L e n g u a j e g r á f i c o 1 91 . 2 .

E l d i b u j o t é c n i c o a t r a v é s d e l t i e m p o 1 91 . 3 .

E l d i b u j o t é c n i c o m o d e r n o 2 01 . 4 .

E q u i p o d e l d e l i n e a n t e 2 21 . 4 . 1 .

S o p o r t e s 2 21 . 4 . 2 .

I n s t r u m e n t o s d e t r a z a d o 2 41 . 4 . 3 .

I n s t r u m e n t o s d e m e d i d a 2 61 . 4 . 4 .

C o m p l e m e n t o s 2 71 . 5 .

N o r m a l i z a c i ó n 2 71 . 6 . P r e s e n t a c i ó n d e l o s d i b u j o s 3 01 . 6 . 1 . C a r a c t e r í s t i c a s 3 01 . 6 . 2 . L a h o j a d e d i s e ñ o 3 01 . 6 . 3 . F o r m a t o s 3 01 . 6 . 4 . E l c u a d r o d e r o t u l a c i ó n 3 21 . 6 . 5 . E l r o t u l a d o 3 31 . 6 . 6 . E s c r i t u r a N o r m a l i z a d a 3 41 . 6 . 7 . P l e g a d o d e p l a n o s 3 81 . 6 . 8 . L a l í n e a t é c n i c a a m a n o a l z a d a 3 9C A P Í T U L O I I : L Í N E A S Y E S C A L A S 4 12 . 1 . L í n e a s N o r m a l i z a d a s 4 82 . 1 . 1 . C l a s e s d e l í n e a s 4 82 . 1 . 2 . A n c h u r a s d e l a s l í n e a s 5 02 . 1 . 3 . E s p a c i a m i e n t o e n t r e l a s l í n e a s 5 02 . 1 . 4 . O r d e n d e p r i o r i d a d d e l a s l í n e a s c o i n c i d e n t e s 5 12 . 1 . 5 . T e r m i n a c i ó n d e l a s l í n e a s d e r e f e r e n c i a 5 12 . 1 . 6 . O r i e n t a c i o n e s s o b r e l a u t i l i z a c i ó n d e l a s l í n e a s 5 22 . 2 . E S C A L A S 5 32 . 2 . 1 . C o n c e p t o 5 3



2 . 2 . 2 . E s c a l a G r á f i c a 5 32 . 2 . 3 . E s c a l a s N o r m a l i z a d a s 5 42 . 2 . 4 . E j e r c i c i o s 5 4C A P Í T U L O I I I : C O N S T R U C C I O N E S G E O M É T R I C A S E N E L P L A N O 6 13 . 1 . R e c t a s p e r p e n d i c u l a r e s 6 73 . 2 . R e c t a s p a r a l e l a s 7 03 . 3 . D i v i s i ó n d e u n s e g m e n t o e n N p a r t e s i g u a l e s 7 03 . 4 . C o n s t r u c c i ó n d e b i s e c t r i c e s 7 2C A P Í T U L O I V : T R A Z A D O S F U N D A M E N T A L E S 7 54 . 1 . A r c o c a p a z 8 36 . 2 . P o l í g o n o s r e g u l a r e s 8 5a ) C o n s t r u c c i ó n d e u n p o l í g o n o p o r e l m é t o d o g e n e r a l 8 5b ) C o n s t r u c c i ó n d e u n p o l í g o n o c o n o c i d o u n l a d o d e l p o l í g o n o 8 64 . 3 . C o n s t r u c c i ó n d e p o l í g o n o s r e g u l a r e s d a d a l a c i r c u n f e r e n c i a c i r c u n s c r i t a 8 64 . 4 . A m p l i a c i ó n y r e d u c c i ó n d e f i g u r a s 9 4C A P Í T U L O V : T A N G E N C I A S Y E N L A C E S 9 55 . 1 . U b i c a c i ó n d e l c e n t r o d e u n a c i r c u n f e r e n c i a 1 0 15 . 2 . T a n g e n c i a s e n t r e r e c t a s y c i r c u n f e r e n c i a s 1 0 25 . 3 . R e c t a s t a n g e n t e s a u n a c i r c u n f e r e n c i a 1 0 35 . 4 . P o t e n c i a P u n t o 1 0 45 . 5 . C i r c u n f e r e n c i a t a n g e n t e a o t r a c i r c u n f e r e n c i a 1 0 65 . 6 . C i r c u n f e r e n c i a t a n g e n t e a u n a r e c t a y a o t r a c i r c u n f e r e n c i a 1 0 85 . 7 . C i r c u n f e r e n c i a d e r a d i o c o n o c i d o t a n g e n t e a o t r a s d o s c i r c u n f e r e n c i a 1 1 05 . 8 . R e c t a t a n g e n t e a d o s c i r c u n f e r e n c i a s 1 1 15 . 9 . C u r v a s i n v e r t i d a s ( t r a z a d o d e g o l a s ) 1 1 2C A P Í T U L O V I : C U R C A S C Ó N I C A S 1 1 76 . 1 . G e n e r a c i ó n y c o n s t r u c c i ó n d e e l i p s e 1 2 36 . 2 . G e n e r a c i ó n y c o n s t r u c c i ó n d e p a r á b o l a 1 2 56 . 3 . G e n e r a c i ó n y c o n s t r u c c i ó n d e h i p é r b o l a 1 2 7C A P Í T U L O V I I : C U R V A S T É C N I C A S 1 3 17 . 1 . E s p i r a l e s 1 3 6



7 . 2 . I n v o l u t a 1 3 67 . 3 . C i c l o i d e 1 3 67 . 4 . E p i c i c l o i d e 1 3 77 . 5 . H i p o c i c l o i d e 1 3 87 . 6 . E s p i r a l d e A r q u í m e d e s 1 3 97 . 7 . P r o b l e m a s 1 4 1C A P Í T U L O V I I I : P R O Y E C C I O N E S 1 4 58 . 1 . G e n e r a l i d a d e s 1 5 18 . 2 . D e f i n i c i ó n 1 5 18 . 3 . L o s s i s t e m a s d e p r o y e c c i ó n m á s u s a d o s 1 5 28 . 4 . O b t e n c i ó n d e l a s v i s t a s d e u n o b j e t o 1 5 38 . 5 . D e n o m i n a c i ó n d e l a s v i s t a s 1 5 38 . 6 . P o s i c i o n e s r e l a t i v a s d e l a s v i s t a s 1 5 48 . 7 . C o r r e s p o n d e n c i a e n t r e l a s v i s t a s 1 5 58 . 8 . E l e c c i ó n d e l a s v i s t a s d e u n o b j e t o y v i s t a s e s p e c i a l e s 1 5 68 . 9 V i s t a s d e p i e z a s s i m é t r i c a s 1 5 88 . 1 0 . V i s t a s c a m b i a d a s d e p o s i c i ó n 1 5 98 . 1 1 . V i s t a s d e d e t a l l e s 1 5 98 . 1 2 . V i s t a s l o c a l e s 1 6 08 . 1 3 . V i s t a s g i r a d a s 1 6 18 . 1 4 . V i s t a s D e s a r r o l l a d a s 1 6 18 . 1 5 . V i s t a s A u x i l i a r e s O b l i c u a s 1 6 28 . 1 6 . R e p r e s e n t a c i o n e s c o n v e n c i o n a l e s 1 6 28 . 1 7 . I n t e r s e c c i o n e s f i c t i c i a s 1 6 38 . 1 8 . E j e r c i c i o s 1 6 3B I B L I O G R A F Í A 1 6 9E J E R C I C I O S V A R I O S 1 7 1



E l T e x t o d e D i b u j o T é c n i c o s e p r e s e n t a , c o m o u n a m a n e r a d e c o n t r i b u i r c o n e l c o n o c i m i e n t oy a p r e n d i z a j e d e d i b u j o b á s i c o p a r a l o s e s t u d i a n t e s d e l n i v e l s e c u n d a r i o , d e l o s I n s t i t u t o sT e c n o l ó g i c o s y U n i v e r s i t a r i o s .E n e s t a p r i m e r a e d i c i ó n s e c u b r e n t o d o s l o s a s p e c t o s n e c e s a r i o s q u e v a n d e s d e e lc o n o c i m i e n t o d e l o s m a t e r i a l e s e i n s t r u m e n t o s d e d i b u j o , h a s t a l o s s i s t e m a s d er e p r e s e n t a c i ó n , q u e p e r m i t i r á n m á s a d e l a n t e , i n t r o d u c i r a l o s e s t u d i a n t e s a l c o n o c i m i e n t od e l a n o r m a t i v a d e D i b u j o M e c á n i c o o D i b u j o I n d u s t r i a l .C o m o e s d e c o n o c i m i e n t o g e n e r a l , q u e e n b a s e a l d e s a r r o l l o d e l o s c i r c u i t o s i n t e g r a d o s ( C I ) ,e l d i b u j o t é c n i c o y e l d i b u j o i n d u s t r i a l e n g e n e r a l , t a m b i é n e s a u x i l i a d o p o r l a c o m p u t a d o r a ,e s p r e c i s o i n c l u i r u n a p a r t a d o s o b r e D i b u j o y D i s e ñ o A s i s t i d o p o r C o m p u t a d o r a , m á sc o n o c i d o c o m o s i s t e m a s C A D , p o r l o q u e e s t a m o s e n d e u d a , l a m i s m a q u e s e r á a b o r d a d a e nl a s i g u i e n t e e d i c i ó n .P o r r a z o n e s d e c o m o d i d a d , e s t e t e x t o e s t á o r g a n i z a d o e n o c h o c a p í t u l o s . E l C a p í t u l o I t r a t as o b r e e l l e n g u a j e g r á f i c o , u n a b r e v e h i s t o r i a s o b r e e l d i b u j o t é c n i c o , e l d i b u j o t é c n i c om o d e r n o , e l e q u i p o d e l d e l i n e a n t e y l a n o r m a l i z a c i ó n . T a m b i é n s e e s t u d i a l a p r e s e n t a c i ó nd e l o s d i b u j o s ( F o r m a t o s ) , e l c u a d r o d e r o t u l a c i ó n , e l r o t u l a d o , l a e s c r i t u r a n o r m a l i z a d a , e lp l e g a d o d e p l a n o s y l a l í n e a t é c n i c a a m a n o a l z a d a .E l C a p í t u l o I I t r a t a s o b r e L í n e a s y E s c a l a s : a b o r d a l a s l í n e a s n o r m a l i z a d a s , l a s c l a s e s d el í n e a s , a n c h u r a d e l a s l í n e a s , e s p a c i a m i e n t o e n t r e l a s l í n e a s , o r d e n d e p r i o r i d a d d e l a s l í n e a sc o i n c i d e n t e s , t e r m i n a c i ó n d e l a s l í n e a s d e r e f e r e n c i a y o r i e n t a c i o n e s s o b r e l a u t i l i z a c i ó n d el a s l í n e a s . S o b r e l a s E s c a l a s , s e e s t u d i a s u c o n c e p t o , e s c a l a g r á f i c a y e s c a l a s n o r m a l i z a d a s .E l C a p í t u l o I I I d e n o m i n a d o C o n s t r u c c i o n e s G e o m é t r i c a s e n e l P l a n o , t r a t a s o b r e l ac o n s t r u c c i ó n d e á n g u l o s , b i s e c t r i c e s y b i s e c c i ó n d e u n a r e c t a . E l C a p í t u l o I V d e n o m i n a d oT r a z a d o s F u n d a m e n t a l e s , t r a t a s o b r e e l a r c o c a p a z , y l a c o n s t r u c c i o n e s p o l í g o n o s r e g u l a r e s .E l C a p í t u l o V d e n o m i n a d o T a n g e n c i a s y E n l a c e s , s e u b i c a e l c e n t r o d e u n a c i r c u n f e r e n c i a ,t a n g e n c i a s e n t r e r e c t a s y c i r c u n f e r e n c i a s , p o t e n c i a p u n t o , t a n g e n c i a e n t r e c i r c u n f e r e n c i a s y

PREFACIO



e l t r a z a d o d e g o l a s . E l C a p í t u l o V I d e n o m i n a d o C u r v a s C ó n i c a s , t r a t a s o b r e l a g e n e r a c i ó n yc o n s t r u c c i ó n d e e l i p s e s , g e n e r a c i ó n y c o n s t r u c c i ó n d e p a r á b o l a s y l a g e n e r a c i ó n yc o n s t r u c c i ó n d e u n a h i p é r b o l a .E l C a p í t u l o V I I d e n o m i n a d o C u r v a s T é c n i c a s , t r a t a l a c o n s t r u c c i ó n d e u n a i n v o l u t a ,c o n s t r u c c i ó n d e u n a c i c l o i d e , c o n s t r u c c i ó n d e u n a e p i c i c l o i d e , c o n s t r u c c i ó n d e u n ah i p o c i c l o i d e y l a c o n s t r u c c i ó n d e l a e s p i r a l d e A r q u í m e d e s .P o r ú l t i m o e l C a p í t u l o V I I I e s t u d i a l o s s i s t e m a s d e r e p r e s e n t a c i ó n p o r m e d i o d ep r o y e c c i o n e s , l o s p l a n o s p r i n c i p a l e s d e p r o y e c c i ó n , l o s s i s t e m a s e u r o p e o y a m e r i c a n o ( I y I I IC u a d r a n t e ) , e t c . , e t c .E l a u t o r a g r a d e c e a t o d o s q u i e n e s h a n h e c h o p o s i b l e l a p u b l i c a c i ó n d e e s t a o b r a , a l a sp e r s o n a s q u e h a n p r o p o r c i o n a d o a y u d a , a s í c o m o c o n s e j o s m u y v a l i o s o s . L o s c o m e n t a r i o s ae s t a e d i c i ó n s e r á n b i e n r e c i b i d o s . E l A u t o r .



CONSTRUCCIONES GEOMÉTRICAS L o s m o n t a j e s g e o m é t r i c o s s i m p l i f i c a d o s q u e s e e x p o n e n e n e s t e c a p í t u l o c o r r e s p o n d e n a l o sq u e e l i n g e n i e r o d e b e c o n o c e r c o n t o d a f a m i l i a r i d a d , y a q u e s e p r e s e n t a n c o n f r e c u e n c i a e ne l d i b u j o d e i n g e n i e r í a .3.1. Rectas perpendiculares.

Problema : Sea el segmento AB, trazar la perpendicular que pase por el punto medio del

segmento AB.

Procedimiento: a ) C o n A y B c o m o c e n t r o s , i n t e r s e c t a r l o s a r c o s , c o m o s e e x p l i c a e n l a f i g u r a , m e d i a n t er a d i o s m a y o r e s q u e l a m i t a d d e l s e g m e n t o A B , d e t e r m i n a n d o l o s p u n t o s C y D .b ) U n a r e c t a q u e p a s a s o b r e l o s p u n t o s C y D b i s e c a a A B .

A B



Problema: Dado el segmento AB y el punto C, levantar la perpendicular a AB desde el

punto C.

Procedimiento: a ) H a c i e n d o c e n t r o e n C , c o n u n r a d i o c u a l q u i e r a , t r a z a r a r c o s e n e l l a d o i z q u i e r d o yd e r e c h o d e l s e g m e n t o A B , d e t e r m i n a n d o l o s p u n t o s D y E .b ) C o n u n r a d i o m a y o r a l a n t e r i o r , y h a c i e n d o c e n t r o e n C y D , t r a z a r a r c o s q u e s ei n t e r s e c a n e n F .c ) U n i e n d o l o s p u n t o s F y C , t e n e m o s l a p e r p e n d i c u l a r a A B e n C .

Problema: Dado el segmento AB y el punto C (situado fuera de AB), trazar la

perpendicular desde el punto C a AB.

A B C

A B

C



Procedimiento: a ) H a c i e n d o c e n t r o e n C , c o n u n r a d i o c u a l q u i e r a , t r a z a r u n a a r c o , d e t e r m i n a n d o l o sp u n t o s D y E .b ) H a c i e n d o c e n t r o s e n D y E , d e s c r i b i r a r c o s , e s t a b l e c i e n d o e l p u n t o F .

Problema: Dado el segmento AB, levantar la perpendicular desde el extremo B al

segmento AB.

Procedimiento: a )

D e t e r m i n a r e l p u n t o C c u a l q u i e r a , f u e r a d e l s e g m e n t o A B .b ) H a c i e n d o c e n t r o e n C , t r a z a r l a s e m i c i r c u n f e r e n c i a q u e p a s a p o r B , d e t e r m i n a n d o e lp u n t o D .c ) U n i r l o s p u n t o s D y C y p r o l o n g a r l o h a s t a i n t e r s e c t a r a l a s e m i c i r c u n f e r e n c i a ,d e t e r m i n a n d o E .d ) U n i r l o s p u n t o s B y E , q u e s e r á l a p e r p e n d i c u l a r d e s e a d a .

A B



3.2. Rectas paralelas

Problema: Dado el segmento AB, trazar una recta paralela al segmento AB, a cualquier

distancia.

Procedimiento: a ) U b i c a r e l p u n t o C ( c u a l q u i e r a ) e n e l s e g m e n t o A B .b ) H a c i e n d o c e n t r o e n C , c o n c u a l q u i e r r a d i o , t r a z a r u n a r c o , d e t e r m i n a n d o e l p u n t o D .c ) U b i c a r e l p u n t o E , d e n t r o d e l a r c o t r a z a d o a c u a l q u i e r d i s t a n c i a d e l s e g m e n t o A B .d ) H a c i e n d o c e n t r o e n D , t r a z a r u n a r c o q u e p a s e p o r e l p u n t o E .e ) C o n e l m i s m o r a d i o , h a c i e n d o c e n t r o e n C , d e s c r i b i r u n a r c o , u b i c a n d o e l p u n t o F .f ) U n i e n d o l o s p u n t o s F y E o b t e n e m o s l a p a r a l e l a a A B .

3.3. DIVISIÓN DE UN SEGMENTO EN UN CIERTO NÚMERO DE PARTES a ) T r a z a r u n a r e c t a q u e p a r t a d e u n e x t r e m o d e l s e g m e n t o a d i v i d i r ( p o r e j e m p l o A ) ,h a c i e n d o u n á n g u l o a r b i t r a r i o m a y o r q u e 2 5 º y d e u n a l o n g i t u d a r b i t r a r i a .

A B



b )

E n e l l a u b i c a r “ n ” d i v i s i o n e s i g u a l e s d e l o n g i t u d ( a ) i g u a l m e n t e a r b i t r a r i a .c ) U n i r e l e x t r e m o d e l a r e c t a t r a z a d a c o n e l e x t r e m o B d e l s e g m e n t o a d i v i d i r .d )

P o s t e r i o r m e n t e s e t r a z a n p a r a l e l a s a l s e g m e n t o a n t e r i o r p o r c a d a u n a d e l a s d i v i s i o n e s .A s í s e o b t e n d r á n “ n ” d i v i s i o n e s i g u a l e s e n e l s e g m e n t o o r i g i n a l .

DIVISIÓN DE UN SEGMENTO EN PARTES PROPORCIONALES P r o b l e m a : D i v i d i r e l s e g m e n t o P Q e n p a r t e s p r o p o r c i o n a l e s d e 4 e s a 5 .a )

P o r e l e x t r e m o P d e l s e g m e n t o t r a z a r u n a r e c t a d e l o n g i t u d a r b i t r a r i a .b )

E n e l l a u b i c a r l a s p r o p o r c i o n e s e n f o r m a c o r r e l a t i v a a p a r t i r d e l e x t r e m o P e n c u a l q u i e re s c a l a , u b i c a n d o l o s p u n t o s 4 y 9 .c ) U n i r 9 c o n Q .d ) T r a z a r u n a p a r a l e l a a 9 Q p o r e l p u n t o 4 d e l a p r o p o r c i ó n , q u e d a n d o d e e s t a m a n e r a e ls e g m e n t o A B d i v i d i d a e n l a p r o p o r c i ó n d e s e a d a .



3.4. CONSTRUCCIÓN DE BISECTRICES

1) Cuando el vértice es accesible. a )

D e s d e e l v é r t i c e B y c o n r a d i o a r b i t r a r i o ( a ) s e t r a z a e l a r c o X Y .b )

D e s d e X e Y s e t r a z a n l o s a r c o s d e i g u a l r a d i o , c u y a i n t e r s e c c i ó n d a e l p u n t o M .c )

L a r e c t a B M s e r á l a b i s e c t r i z d e l á n g u l o A B C .

2) Cuando el vértice no es accesible. a ) T r a z a r p a r a l e l a s a u n a d i s t a n c i a “ a ” c u a l q u i e r a a l a s r e c t a s m y n .b )

L a s p a r a l e l a s s e c o r t a r á n e n V y s e h a l l a r á l a b i s e c t r i z V P d e l á n g u l o q u e f o r m a m ´ yn ´ q u e t a m b i é n e s l a b i s e c t r i z d e m y n .c )

L a r e c t a V P s e r á l a b i s e c t r i z f o r m a d o p o r l a s r e c t a s m y n . .



POR UN PUNTO DADO TRAZAR UNA RECTA CONCURRENTE A OTRAS DOS, CUYO VÉRTICE

NO ES ACCESIBLE. a ) U b i c a r X e Y a r b i t r a r i o s s o b r e l a s r e c t a s d a d a s ( m y n ) .b ) C o n s t r u i r e l t r i á n g u l o P X Y .c )

P o r X ´ , a r b i t r a r i o s o b r e m , t r a z a r u n a p a r a l e l a a X Y o b t e n i é n d o s e Y ´ s o b r e n .d )

P o r X ´ t r a z a r u n a p a r a l e l a a X P y p o r Y ´ t r a z a r u n a p a r a l e l a a Y P , o b t e n i é n d o s e P ´ .e )

P P ´ e s u n a r e c t a q u e p a s a p o r P y q u e c o n c u r r e a l v é r t i c e d e l á n g u l o f o r m a d o p o r l a sr e c t a s m y n .f ) S e p r o c e d e i g u a l s i e l p u n t o d e p a s o e s t á u b i c a d o c o m o Q .



TRAZADOS FUNDAMENTALES

4.1. ARCO CAPAZ A r c o c a p a z e s u n a r c o d e c i r c u n f e r e n c i a q u e c o n s t i t u y e e l l u g a r g e o m é t r i c o d e l o s p u n t o sd e s d e l o s c u a l e s p u e d e v e r s e a l o s e x t r e m o s d e u n s e g m e n t o d a d o c o n i g u a l v a l o r a n g u l a r .E n l a f i g u r a s e m u e s t r a e l a r c o A M P B , e l c u a l e s u n a r c o c a p a z d e a º d e l s e g m e n t o A B .N o t a r q u e e l á n g u l o c e n t r a l m i d e 2 a º .T r i á n g u l o A O B : 2 a + 2 b = 1 8 0 º�

b = 9 0 º - aE s d e c i r b , e s c o m p l e m e n t o d e a .

CONSTRUCCIÓN DEL ARCO CAPAZ DE aº DEL SEGMENTO AB. 1 ) H a l l a r l a m e d i a t r i z d e A B .2 )

P o r u n o d e l o s e x t r e m o s d e l s e g m e n t o A B t r a z a r u n s e g m e n t o q u e f o r m e u n á n g u l o b º ,h a s t a q u e i n t e r c e p t e a l a m e d i a t r i z , d e t e r m i n a n d o e l c e n t r o d e l a r c o c a p a z O .3 ) C o n c e n t r o e n O y r a d i o i g u a l a O A , t r a z a r e l a r c o A P B q u e v i e n e a s e r e l a r c o c a p a z d eA B c o n a º .



Casos: S e g ú n e l á n g u l o a º , s e p u e d e n p r e s e n t a r t r e s c a s o s :1 )

1 e r C a s o : S i a < 9 0 º , e n t o n c e s b > 0 º y p o r c o n s i g u i e n t e e l c e n t r o e s t á a u n m i s m o l a d od e l a r c o .

2 )

2 d o C a s o : S i a = 9 0 º , e n t o n c e s b = 0 º y p o r c o n s i g u i e n t e e l c e n t r o e s e l p u n t o m e d i o d eA B .



3 )

3 e r C a s o : S i a > 9 0 º e n t o n c e s b < 0 º y p o r c o n s i g u i e n t e e l c e n t r o e s t á a l o t r o l a d o d e la r c o d e A B .

4.2. POLÍGONOS REGULARES

CONSTRUCCIÓN DE POLÍGONOS REGULARES

a) Método General E s t e p r o c e d i m i e n t o s e u t i l i z a r á s o l o c u a n d o e l p o l í g o n o b u s c a d o n o t e n g a u n ac o n s t r u c c i ó n p a r t i c u l a r , n i p u e d a o b t e n e r s e c o m o m ú l t i p l o d e o t r o , d a d o q u e e s t ep r o c e d i m i e n t o l l e v a i n h e r e n t e u n a g r a n i m p r e c i s i ó n .

� S e d i v i d e e l d i á m e t r o A B e n “ n ” p a r t e s i g u a l e s ( p a r a e s t e e j e m p l o t o m a m o s n = 1 1 ) .� S e n u m e r a n p r o g r e s i v a m e n t e d e 1 a n .



� C o n c e n t r o e n l o s e x t r e m o s d e l d i á m e t r o y c o n r a d i o A B , s e t r a z a n d o s a r c o s d ec i r c u n f e r e n c i a q u e s e c o r t a r á n e n l o s p u n t o s C e D .�

D e s d e C o D s e t r a z a n l í n e a s q u e p a s a n p o r l o s n ú m e r o s p a r e s h a s t a c o r t a r a l ac i r c u n f e r e n c i a .�

L o s p u n t o s d e i n t e r s e c c i ó n c o n l a c i r c u n f e r e n c i a s e r á n l o s v é r t i c e s d e l p o l í g o n ob u s c a d o .b) Conocido el lado AB del polígono.

� S e t r a z a u n a s e m i c i r c u n f e r e n c i a c o n c e n t r o e n A y r a d i o A B ( t o m e m o s c o m o e j e m p l oe l l a d o d e l p o l í g o n o d e 5 l a d o s n = 5 ) p a r a o b t e n e r e l p u n t o Q .� C o n e l c o m p á s d e p u n t a s s e c a s s e d i v i d e l a s e m i c i r c u n f e r e n c i a e n t a n t a s p a r t e si g u a l e s c o m o l a d o s d e b e t e n e r e l p o l í g o n o b u s c a d o , ( e n e s t e c a s o n = 5 ) , c o m o s em u e s t r a e n l a f i g u r a ) .�

E l p u n t o 2 e s v é r t i c e d e l p o l í g o n o , s i e n d o A 2 e l l a d o a d y a c e n t e a l l a d o A B .� S e t r a z a n y s e p r o l o n g a n l o s r a d i o s h a s t a i n t e r s e c t a r a l o s a r c o s t r a z a d o s d e s d e e lv é r t i c e a n t e r i o r .�

L u e g o s e u n e n l o s p u n t o s e n c o n t r a d o s p a r a f o r m a r e l p o l í g o n o b u s c a d o .

4.3. CONSTRUCCION DE POLÍGONOS REGULARES DADA LA CIRCUNFERENCIA

CIRCUNSCRITAL a c o n s t r u c c i ó n d e p o l í g o n o s i n s c r i t o s e n u n a c i r c u n f e r e n c i a d a d a , s e b a s a n e n l a d i v i s i ó n d ed i c h a c i r c u n f e r e n c i a e n u n n ú m e r o p a r t e s i g u a l e s . E n o c a s i o n e s , e l t r a z a d o p a s a p o r l a



o b t e n c i ó n d e l a c u e r d a c o r r e s p o n d i e n t e a c a d a u n o d e e s o s a r c o s , e s d e c i r e l l a d o d e lp o l í g o n o , y o t r a s o c a s i o n e s p a s a p o r l a o b t e n c i ó n d e l á n g u l o c e n t r a l d e l p o l í g o n oc o r r e s p o n d i e n t e .C u a n d o e n u n a c o n s t r u c c i ó n o b t e n e m o s e l l a d o d e l p o l í g o n o , y h e m o s d e l l e v a r l o s u c e s i v a sv e c e s a l o l a r g o d e l a c i r c u n f e r e n c i a , s e a c o n s e j a n o l l e v a r t o d o s l o s l a d o s s u c e s i v a m e n t e e nu n s o l o s e n t i d o d e l a c i r c u n f e r e n c i a , s i n o , q u e p a r t i e n d o d e u n v é r t i c e s e l l e v e l a m i t a d d el o s l a d o s e n u n a d i r e c c i ó n y l a o t r a m i t a d e n s e n t i d o c o n t r a r i o , c o n o b j e t o d e m i n i m i z a r l o se r r o r e s d e c o n s t r u c c i ó n , i n h e r e n t e s a l i n s t r u m e n t a l o a l p r o c e d i m i e n t o .TRIÁNGULO, HEXÁGONO Y DODECÁGONO (construcción exacta)

� C o m e n z a r e m o s t r a z a n d o d o s d i á m e t r o s p e r p e n d i c u l a r e s e n t r e s í , q u e n o sd e t e r m i n a r á n , s o b r e l a c i r c u n f e r e n c i a d a d a , l o s p u n t o s A - B y 1 - 4 r e s p e c t i v a m e n t e .�

A c o n t i n u a c i ó n , c o n c e n t r o e n 1 y 4 t r a z a r e m o s d o s a r c o s , d e r a d i o i g u a l a l d e l ac i r c u n f e r e n c i a d a d a , q u e n o s d e t e r m i n a r á n , s o b r e e l l a , l o s p u n t o s 2 , 6 , 3 y 5 . P o r ú l t i m oc o n c e n t r o e n B t r a z a r e m o s u n a r c o d e l m i s m o r a d i o , q u e n o s d e t e r m i n a r á e l p u n t o Cs o b r e l a c i r c u n f e r e n c i a d a d a .

� U n i e n d o l o s p u n t o s 2 , 4 y 6 , o b t e n d r e m o s e l t r i á n g u l o i n s c r i t o . U n i e n d o l o s p u n t o s 1 , 2 ,3 , 4 , 5 y 6 , o b t e n d r e m o s e l h e x á g o n o i n s c r i t o . Y u n i e n d o l o s p u n t o s 3 y C , o b t e n d r e m o s



e l l a d o d e l d o d e c á g o n o i n s c r i t o ; p a r a s u t o t a l c o n s t r u c c i ó n s o l o t e n d r í a m o s q u e l l e v a re s t e l a d o , 1 2 v e c e s s o b r e l a c i r c u n f e r e n c i a .�

D e l o s t r e s p o l í g o n o s , s o l o e l d o d e c á g o n o a d m i t e l a c o n s t r u c c i ó n d e e s t r e l l a d o s ,c o n c r e t a m e n t e d e l e s t r e l l a d o d e 5 . E l h e x á g o n o a d m i t e l a c o n s t r u c c i ó n d e u n f a l s oe s t r e l l a d o , f o r m a d o p o r d o s t r i á n g u l o s g i r a d o s e n t r e s í 6 0 º .NOTA: T o d a s l a s c o n s t r u c c i o n e s d e e s t e e j e r c i c i o s e r e a l i z a n c o n u n a m i s m a a b e r t u r a d e lc o m p á s , i g u a l a l r a d i o d e l a c i r c u n f e r e n c i a d a d a .CUADRADO Y OCTÓGONO (construcción exacta)

� C o m e n z a r e m o s t r a z a n d o d o s d i á m e t r o s p e r p e n d i c u l a r e s e n t r e s í , q u e n o sd e t e r m i n a r á n , s o b r e l a c i r c u n f e r e n c i a d a d a , l o s p u n t o s 1 - 5 y 3 - 7 r e s p e c t i v a m e n t e .A c o n t i n u a c i ó n , t r a z a r e m o s l a s b i s e c t r i c e s d e l o s c u a t r o á n g u l o s d e 9 0 º , f o r m a d o s p o rl a d i a g o n a l e s t r a z a d a s , d i c h a s b i s e c t r i c e s n o s d e t e r m i n a r á n s o b r e l a c i r c u n f e r e n c i a l o sp u n t o s 2 , 4 , 6 y 8 .� U n i e n d o l o s p u n t o s 1 , 3 , 5 y 7 , o b t e n d r e m o s e l c u a d r a d o i n s c r i t o . Y u n i e n d o l o s p u n t o s1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 y 8 , o b t e n d r e m o s e l o c t ó g o n o i n s c r i t o .�

E l c u a d r a d o n o a d m i t e e s t r e l l a d o s . E l o c t ó g o n o s í , c o n c r e t a m e n t e e l e s t r e l l a d o d e 3 . E lo c t ó g o n o t a m b i é n a d m i t e l a c o n s t r u c c i ó n d e u n f a l s o e s t r e l l a d o , c o m p u e s t o p o r d o sc u a d r a d o s g i r a d o s e n t r e s í 4 5 º .NOTA:

D e e s t a c o n s t r u c c i ó n p o d e m o s d e d u c i r , l a f o r m a d e c o n s t r u i r u n p o l í g o n o d e d o b l e



n ú m e r o d e l a d o s q u e u n o d a d o . S o l o t e n d r e m o s q u e t r a z a r l a s b i s e c t r i c e s d e l o s á n g u l o sc e n t r a l e s d e l p o l í g o n o d a d o , y e s t a s n o s d e t e r m i n a r á n , s o b r e l a c i r c u n f e r e n c i a c i r c u n s c r i t a ,l o s v é r t i c e s n e c e s a r i o s p a r a l a c o n s t r u c c i ó n .PENTÁGONO Y DECÁGONO (construcción exacta)

� C o m e n z a r e m o s t r a z a n d o d o s d i á m e t r o s p e r p e n d i c u l a r e s e n t r e s í , q u e n o s d e t e r m i n a r á ns o b r e l a c i r c u n f e r e n c i a d a d a l o s p u n t o s A - B y 1 - C r e s p e c t i v a m e n t e . C o n e l m i s m o r a d i od e l a c i r c u n f e r e n c i a d a d a t r a z a r e m o s u n a r c o d e c e n t r o e n A , q u e n o s d e t e r m i n a r á l o sp u n t o s D y E s o b r e l a c i r c u n f e r e n c i a , u n i e n d o d i c h o s p u n t o s o b t e n d r e m o s e l p u n t o F ,p u n t o m e d i o d e l r a d i o A - O� C o n c e n t r o e n F t r a z a r e m o s u n a r c o d e r a d i o F - 1 , q u e d e t e r m i n a r á e l p u n t o G s o b r e l ad i a g o n a l A - B . L a d i s t a n c i a 1 - G e s e l l a d o d e p e n t á g o n o i n s c r i t o , m i e n t r a s q u e l ad i s t a n c i a O - G e s e l l a d o d e l d e c á g o n o i n s c r i t o .�

P a r a l a c o n s t r u c c i ó n d e l p e n t á g o n o y e l d e c á g o n o , s o l o r e s t a l l e v a r d i c h o s l a d o s , 5 y 1 0v e c e s r e s p e c t i v a m e n t e , a l o l a r g o d e l a c i r c u n f e r e n c i a .�

E l p e n t á g o n o t i e n e e s t r e l l a d o d e 2 . E l d e c á g o n o t i e n e e s t r e l l a d o d e 3 , y u n f a l s oe s t r e l l a d o , f o r m a d o p o r d o s p e n t á g o n o s e s t r e l l a d o s g i r a d o s e n t r e s í 3 6 º .



HEPTÁGONO (construcción aproximada)

� C o m e n z a r e m o s t r a z a n d o u n a d i a g o n a l d e l a c i r c u n f e r e n c i a d a d a , q u e n o s d e t e r m i n a r ás o b r e e l l a p u n t o s A y B .�

A c o n t i n u a c i ó n , c o n c e n t r o e n A , t r a z a r e m o s e l a r c o d e r a d i o A - O , q u e n o s d e t e r m i n a r á ,s o b r e l a c i r c u n f e r e n c i a , l o s p u n t o s 1 y C , u n i e n d o d i c h o s p u n t o s o b t e n d r e m o s e l p u n t oD , p u n t o m e d i o d e l r a d i o A - O . E n 1 - D h a b r e m o s o b t e n i d o e l l a d o d e l h e p t á g o n oi n s c r i t o .� S o l o r e s t a l l e v a r d i c h o l a d o , 7 v e c e s s o b r e l a c i r c u n f e r e n c i a , p a r a o b t e n e r e l h e p t á g o n ob u s c a d o . C o m o s e i n d i c a b a a l p r i n c i p i o d e e s t e t e m a , p a r t i e n d o d e l p u n t o 1 , s e h al l e v a d o d i c h o l a d o , t r e s v e c e s e n c a d a s e n t i d o d e l a c i r c u n f e r e n c i a , p a r a m i n i m i z a r l o se r r o r e s d e c o n s t r u c c i ó n .�

E l h e p t á g o n o t i e n e e s t r e l l a d o d e 3 y d e 2 .

NOTA: C o m o p u e d e a p r e c i a r s e e n l a c o n s t r u c c i ó n , e l l a d o d e l h e p t á g o n o i n s c r i t o e n u n ac i r c u n f e r e n c i a , e s i g u a l a l a m i t a d d e l l a d o d e l t r i á n g u l o i n s c r i t o .



ENEÁGONO (construcción aproximada)

� C o m e n z a r e m o s t r a z a n d o d o s d i á m e t r o s p e r p e n d i c u l a r e s , q u e n o s d e t e r m i n a r á n , s o b r el a c i r c u n f e r e n c i a d a d a , l o s p u n t o s A - B y 1 - C r e s p e c t i v a m e n t e .C o n c e n t r o e n A , t r a z a r e m o s u n a r c o d e r a d i o A - O , q u e n o s d e t e r m i n a r á , s o b r e l ac i r c u n f e r e n c i a d a d a , e l p u n t o D . C o n c e n t r o e n B y r a d i o B - D , t r a z a r e m o s u n a r c o d ec i r c u n f e r e n c i a , q u e n o s d e t e r m i n a r á e l p u n t o E , s o b r e l a p r o l o n g a c i ó n d e l a d i a g o n a l 1 -C . P o r ú l t i m o c o n c e n t r o e n E y r a d i o E - B = E - A , t r a z a r e m o s u n a r c o d e c i r c u n f e r e n c i a q u en o s d e t e r m i n a r á e l p u n t o F s o b r e l a d i a g o n a l C - 1 . E n 1 - F h a b r e m o s o b t e n i d o e l l a d o d e le n e á g o n o i n s c r i t o e n l a c i r c u n f e r e n c i a .�

P r o c e d i e n d o c o m o e n e l c a s o d e l h e p t á g o n o , l l e v a r e m o s d i c h o l a d o , 9 v e c e s s o b r e l ac i r c u n f e r e n c i a , p a r a o b t e n e r e l h e p t á g o n o b u s c a d o .�

E l e n e á g o n o t i e n e e s t r e l l a d o d e 4 y d e 2 . T a m b i é n p r e s e n t a u n f a l s o e s t r e l l a d o ,f o r m a d o p o r 3 t r i á n g u l o s g i r a d o s e n t r e s í 4 0 º .

DECÁGONO (construcción exacta)



� C o m e n z a r e m o s t r a z a n d o d o s d i á m e t r o s p e r p e n d i c u l a r e s , q u e n o s d e t e r m i n a r á n , s o b r el a c i r c u n f e r e n c i a d a d a , l o s p u n t o s A - B y 1 - 6 r e s p e c t i v a m e n t e .� C o n c e n t r o A , y r a d i o A - O , t r a z a r e m o s u n a r c o q u e n o s d e t e r m i n a r á l o s p u n t o s C y Ds o b r e l a c i r c u n f e r e n c i a , u n i e n d o d i c h o s p u n t o s , o b t e n d r e m o s e l p u n t o E , p u n t o m e d i od e l r a d i o A - O . A c o n t i n u a c i ó n t r a z a r e m o s l a c i r c u n f e r e n c i a d e c e n t r o e n E y r a d i o E - O .T r a z a m o s l a r e c t a 1 - E , l a c u a l i n t e r c e p t a a l a c i r c u n f e r e n c i a a n t e r i o r e n e l p u n t o F ,s i e n d o l a d i s t a n c i a 1 - F , e l l a d o d e l d e c á g o n o i n s c r i t o .�

P r o c e d i e n d o c o n e n e l c a s o d e l h e p t á g o n o , l l e v a r e m o s d i c h o l a d o , 1 0 v e c e s s o b r e l ac i r c u n f e r e n c i a , p a r a o b t e n e r e l d e c á g o n o b u s c a d o .�

E l d e c á g o n o c o m o s e i n d i c ó a n t e r i o r m e n t e p r e s e n t a e s t r e l l a d o d e 3 , y u n f a l s oe s t r e l l a d o , f o r m a d o p o r d o s p e n t á g o n o s e s t r e l l a d o s , g i r a d o s e n t r e s í 3 6 º .

PENTADECÁGONO (construcción exacta)

� E s t a c o n s t r u c c i ó n s e b a s a e n l a o b t e n c i ó n d e l á n g u l o d e 2 4 º , c o r r e s p o n d i e n t e a l á n g u l oi n t e r i o r d e l p e n t a d e c á g o n o . D i c h o á n g u l o l o o b t e n d r e m o s p o r d i f e r e n c i a d e l á n g u l o d e6 0 º , á n g u l o i n t e r i o r d e l h e x á g o n o i n s c r i t o , y e l á n g u l o d e 3 6 º , á n g u l o i n t e r i o r d e ld e c á g o n o i n s c r i t o .



� C o m e n z a r e m o s c o n l a s c o n s t r u c c i o n e s n e c e s a r i a s p a r a l a o b t e n c i ó n d e l l a d o d e ld e c á g o n o ( l a s d e l e j e r c i c i o a n t e r i o r ) , h a s t a l a o b t e n c i ó n d e l p u n t o H d e l a f i g u r a .�

A c o n t i n u a c i ó n , c o n c e n t r o e n C t r a z a r e m o s u n a r c o d e r a d i o C - H , q u e n o s d e t e r m i n a r ás o b r e l a c i r c u n f e r e n c i a e l p u n t o 1 . d e n u e v o c o n c e n t r o e n C , t r a z a r e m o s u n a r c o d er a d i o C - O , q u e n o s d e t e r m i n a r á e l p u n t o 2 s o b r e l a c i r c u n f e r e n c i a .� C o m o p u e d e a p r e c i a r s e e n l a f i g u r a , e l á n g u l o C O 1 c o r r e s p o n d e a l á n g u l o i n t e r i o r d e ld e c á g o n o , d e 3 6 º , y e l á n g u l o C O 2 c o r r e s p o n d e a l á n g u l o i n t e r i o r d e l h e x á g o n o , d e 6 0 º ,l u e g o d e s u d i f e r e n c i a o b t e n d r e m o s e l á n g u l o 1 O 2 d e 2 4 º , á n g u l o i n t e r i o r d e lp e n t a d e c á g o n o b u s c a d o , s i e n d o e l s e g m e n t o 1 - 2 e l l a d o d e l p o l í g o n o . S o l o r e s t a l l e v a r ,p o r e l p r o c e d i m i e n t o y a e x p l i c a d o , d i c h o l a d o , 1 5 v e c e s s o b r e l a c i r c u n f e r e n c i a d a d a .�

E l p e n t a d e c á g o n o p r e s e n t a e s t r e l l a d o d e 7 , 6 , 4 y 2 , a s í c o m o t r e s f a l s o s e s t r e l l a d o s ,c o m p u e s t o p o r : t r e s p e n t á g o n o s c o n v e x o s , t r e s p e n t á g o n o s e s t r e l l a d o s y 5 t r i á n g u l o s ,g i r a d o s e n t r e s í , e n t o d o s l o s c a s o s , 2 4 º .

4.4. AMPLIACIÓN Y REDUCCIÓN DE FIGURAS

a) Método de los radios.



� D e s d e u n p u n t o a r b i t r a r i o i n t e r i o r a l p o l í g o n o s e t r a z a n r a d i o s h a c i a l o s v é r t i c e s d eé s t e .

� L u e g o s e t r a z a n p a r a l e l a s a l o s l a d o s d e l p o l í g o n o o r i g i n a l .

� E l p u n t o a r b i t r a r i o s e l l a m a c e n t r o d e a m p l i a c i ó n o r e d u c c i ó n .



TANGENCIAS Y ENLACES

5.1. UBICACIÓN DEL CENTRO DE UNA CIRCUNFERENCIA

a) Conocidas dos cuerdas

� S e a n l a s c u e r d a s A B y C d n o p a r a l e l a s e n t r e s í .� S e t r a z a l a m e d i a t r i z d e a m b a s c u e r d a s .�

E l p u n t o d e i n t e r s e c c i ó n d e a m b a s m e t i a t r i c e s , e s e l c e n t r o d e l a c i r c u n f e r e n c i a .� C o n c e n t r o e n d i c h a i n t e r s e c c i ó n , t r a z a r l a c i r c u n f e r e n c i a .

b) Conocidas tres puntos no colineales

� D a d o l o s p u n t o s A , B y C .

� S e t r a z a n l a s c u e r d a s A B y B C .� T r a z a r l a s m e d i a t r i c e s d e a m b a s c u e r d a s .�

L a i n t e r s e c c i ó n d e a m b a s c u e r d a s e s e l c e n t r o d e l a c i r c u n f e r e n c i a .



5.2. TANGENCIAS ENTRE RECTAS Y CIRCUNFERENCIAS. a ) T r a z a r u n a c i r c u n f e r e n c i a q u e p a s e p o r u n p u n t o P y q u e s e a t a n g e n t e a u n a r e c t ad a d a . S e c o n o c e e l r a d i o d e l a c i r c u n f e r e n c i a ( 2 s o l u c i o n e s ) .• T r a z a r u n a r e c t a p a r a l e l a a u n a d i s t a n c i a r .• C o n c e n t r o e n P y r a d i o r , t r a z a r u n a r c o q u e c o r t a a l a r e c t a p a r a l e l a e n O 1 y O 2 .• C o n c e n t r o e n O 1 y r a d i o r s e t r a z a l a c i r c u n f e r e n c i a q u e e s t a n g e n t e a l a r e c t a m yp a s a p o r P .•

L a s e g u n d a s o l u c i ó n t i e n e c o m o c e n t r o a O 2 .

b) Trazar una circunferencia que pase por un punto dado P y que sea tangente a una

recta dada. Se conoce el punto de tangencia P.

• P o r e l p u n t o d e t a n g e n c i a P t , t r a z a r u n a p e r p e n d i c u l a r a l a r e c t a m .

• U n i r e l p u n t o d e t a n g e n c i a P t c o n e l p u n t o e x t e r i o r P e y t r a z a r s u m e d i a t r i z .•

L a i n t e r s e c c i ó n d e l a m e d i a t r i z c o n l a p e r p e n d i c u l a r n o s d a e l c e n t r o O d e l ac i r c u n f e r e n c i a .• C o n r a d i o O P t t r a z a r l a c i r c u n f e r e n c i a .



5.3. RECTAS TANGENTES A UNA CIRCUNFERENCIA

a) Conocida la circunferencia y un punto exterior. 1 . U n i r e l c e n t r o O d e l a c i r c u n f e r e n c i a c o n e l p u n t o e x t e r i o r P y t r a z a r s u m e d i a t r i z . L ai n t e r s e c c i ó n e s e l p u n t o M .2 . C o n r a d i o M O y c e n t r o e n M s e t r a z a u n a r c o q u e c o r t a a l a c i r c u n f e r e n c i a e n l o sp u n t o s P t 1 y P t 2 .3 . U n i r P c o n P t 1 y P c o n P t 2 ; a m b a s s o n t a n g e n t e s a l a c i r c u n f e r e n c i a .



b) Conocida la circunferencia y el punto de tangencia. 1 . U n i r e l c e n t r o O d e l a c i r c u n f e r e n c i a , c o n e l p u n t o d e t a n g e n c i a P .2 . T r a z a r u n a p e r p e n d i c u l a r a O P p o r P .3 .

E s t a p e r p e n d i c u l a r , s e r á l a r e c t a t a n g e n t e a l a c i r c u n f e r e n c i a .

5.4. POTENCIA PUNTO

Dada la recta m y los puntos A y B que pertenecen a una cierta circunferencia, se pide

encontrar la circunferencia, sabiendo que es tangente a m. 1 . U n i r A c o n B y p r o l o n g a r h a s t a c o r t a r a m e n P .2 . C o n s t r u i r u n t r i á n g u l o r e c t á n g u l o t a l q u e : ( P A ) ( P B ) = ( P T ) 2 , c o n l o c u a l s e h a l l a P T .3 . C o n o c i e n d o l a m e d i d a d e P T , s e p u e d e u b i c a r T , q u e e s e l p u n t o d e t a n g e n c i a d e m c o nl a c i r c u n f e r e n c i a b u s c a d a .4 .

D e s d e T s e t r a z a l a p e r p e n d i c u l a r q u e s e c o r t a c o n l a m e d i a t r i z d e A B e n e l c e n t r o O d el a c i r c u n f e r e n c i a p e d i d a .



CIRCUNFERENCIA DE RADIO r DADO, TANGENTE A DOS RECTAS NO PARALELAS a )

L a s r e c t a s f o r m a n u n á n g u l o a g u d o .1 . T r a z a r p a r a l e l a s a a m b a s r e c t a s a u n a d i s t a n c i a d e i g u a l r a d i o r .2 .

E l p u n t o d e i n t e r s e c c i ó n d e l a s p a r a l e l a s s e r á e l c e n t r o O d e l a c i r c u n f e r e n c i ab u s c a d a .3 .

P o r e l c e n t r o O b a j a r p e r p e n d i c u l a r e s a l a s r e c t a s m y n d e t e r m i n a n d o l o s p u n t o s d et a n g e n c i a .



b) Trazar una circunferencia tangente a dos rectas dadas m y n y que además pase por

un punto dado P. 1 . T r a z a r l a b i s e c t r i z d e m y n . U b i c a r P ´ , p u n t o s i m é t r i c o d e P r e s p e c t o d e l a b i s e c t r i zt r a z a d a .2 .

P r o l o n g a r P ´ P h a s t a c o r t a r a l a r e c t a m e n T .3 .

P o r e l m é t o d o d e p o t e n c i a p u n t o , d e t e r m i n a r l a l o n g i t u d d e T Q .4 . C o n c e n t r o e n T y c o n r a d i o i g u a l a T Q , s e t r a z a u n a r c o q u e d e t e r m i n a l o s p u n t o sd e t a n g e n c i a .5 .

P o r l o s p u n t o s d e t e r m i n a d o s s e t r a z a n p e r p e n d i c u l a r e s a l a s r e c t a s h a s t ai n t e r s e c t a r a l a b i s e c t r i z .6 .

E s t o s p u n t o s s o n l o s c e n t r o s d e l a s c i r c u n f e r e n c i a s b u s c a d a s .

5.5. CIRCUNFERENCIAS

CIRCUNFERENCIA TANGENTE A OTRA CIRCUNFERENCIA

a) Circunferencia de radio “a” conocido, tangente a otra circunferencia de radio R y

centro O1 que pasa por un punto dado P. 1 . C o n c e n t r o e n O t r a z a r u n a r c o d e r a d i o ( R + a ) .2 . C o n c e n t r o e n e l p u n t o e x t e r i o r P , c o n r a d i o R , t r a z a r u n a r c o q u e c o r t a a l a n t e r i o re n l o s p u n t o s O 1 y O 2 .3 .

L o s p u n t o s O 1 y O 2 s o n l o s c e n t r o s d e l a s c i r c u n f e r e n c i a s b u s c a d a s .4 . U n i e n d o l o s c e n t r o s O O 1 y O O 2 , s e d e t e r m i n a n l o s p u n t o s d e t a n g e n c i a y s e t r a z a nl a s c i r c u n f e r e n c i a s .



b) Circunferencia tangente a otra circunferencia de centro O en un punto Pt y que pasa

por un punto exterior Pe. 1 . U n i r P e c o n e l p u n t o d e t a n g e n c i a P t y t r a z a r s u m e d i a t r i z .2 . T r a z a r l a r e c t a q u e p a s e p o r e l c e n t r o O y e l p u n t o P t y p r o l o n g a r h a s t a q u e c o r t e al a m e d i a t r i z e n e l p u n t o O ´ q u e e s e l c e n t r o d e l a c i r c u n f e r e n c i a b u s c a d a .3 . S e t r a z a l a c i r c u n f e r e n c i a c o n r a d i o O ´ P t o O ´ P e .



5.6. CIRCUNFERENCIA TANGENTE A UNA RECTA Y A OTRA CIRCUNFERENCIA

a) Conocidas la recta m, la circunferencia de centro O y radio a y el radio r de la

circunferencia tangente (2 soluciones). 1 . T r a z a r u n a r e c t a p a r a l e l a a l a r e c t a d a d a m a u n a d i s t a n c i a r .2 .

D e s d e O t r a z a r u a r c o d e c i r c u n f e r e n c i a d e r a d i o ( a + r ) q u e c o r t e a l a p a r a l e l a e nO 1 y O 2 .3 . U n i e n d o l o s c e n t r o s O O 1 y O O 2 y t r a z a n d o l a s p e r p e n d i c u l a r e s a l a r e c t a d e s d e O 1y O 2 , s e e n c u e n t r a n l o s p u n t o s d e t a n g e n c i a .4 . C o n r a d i o r y c o n c e n t r o s e n O 1 y O 2 t r a z a r l a s c i r c u n f e r e n c i a s p e d i d a s q u e d e b e np a s a r p o r l o s p u n t o s d e t a n g e n c i a .

b) Cuando la recta es secante a la circunferencia. S e p r o c e d e d e m a n e r a a n á l o g a a l c a s o a n t e r i o r .



Circunferencia de radio conocido tangente a una circunferencia y a una recta en un punto

dado. Cuando el vértice es accesible. 1 .

L e v a n t a r p o r P t L u n a p e r p e n d i c u l a r a l a r e c t a L .2 . T r a z a r u n a r c o d e c i r c u n f e r e n c i a d e r a d i o r q u e c o r t a a l a p e r p e n d i c u l a r e n l o s p u n t o sQ ´ y Q ´ ´ .3 . T r a z a r l a m e d i a t r i z a l o s s e g m e n t o s O Q ´ y O Q ´ ´ .4 .

D e l a i n t e r s e c c i ó n d e l a s m e d i a t r i c e s c o n l a p e r p e n d i c u l a r s e o b t i e n e l o s c e n t r o s O ´ y O ´ ´d e l a s c i r c u n f e r e n c i a s b u s c a d a s .5 . C o n r a d i o O ´ P t L y c e n t r o e n O ´ s e t r a z a l a c i r c u n f e r e n c i a t a n g e n t e a l a r e c t a y a l ac i r c u n f e r e n c i a .



5.7. CIRCUNFERENCIA DE RADIO CONOCIDO TANGENTE A OTRAS 2 CIRCUNFERENCIAS

a) Centro exterior 1 . C o n c e n t r o e n B y r a d i o ( R + R 1 ) t r a z a r u n a r c o .2 . C o n c e n t r o e n A y r a d i o ( R 2 + R ) t r a z a r u n a r c o q u e i n t e r s e c t a a l a n t e r i o r e n l o sp u n t o s O 1 y O 2 .3 . C o n c e n t r o e n O 1 y O 2 y r a d i o R t r a z a r l a s c i r c u n f e r e n c i a s t a n g e n t e s .

b) Centro interior a la circunferencia buscada 1 . C o n c e n t r o e n A , s e t r a z a u n a r c o d e r a d i o ( R – R 2 ) .2 . C o n c e n t r o e n B s e t r a z a u n a r c o d e r a d i o ( R – R 1 ) .3 .

E l p u n t o d o n d e s e c r u c e n l o s a r c o s a n t e r i o r e s s e r á e l c e n t r o O 1 ( O 2 ) b u s c a d o , q u es e u n i r á c o n A y B p a r a d e t e r m i n a r l o s p u n t o s d e t a n g e n c i a T 1 y T 2 .4 . C o n c e n t r o e n O 1 y O 2 R s e t r a z a n l o s a r c o s T 1 T 1 y T 2 T 2 .



5.8. RECTA TANGENTE A DOS CIRCUNFERENCIAS

a) Exteriores 1 . S e t r a z a u n a c i r c u n f e r e n c i a c o n c é n t r i c a c o n l a m a y o r d e a m b a s y d e r a d i o i g u a l a l ad i f e r e n c i a d e r a d i o s ( R – r ) .2 .

D e s d e e l o t r o c e n t r o O ´ s e t r a z a l a s t a n g e n t e s a l a c i r c u n f e r e n c i a d e r a d i o ( R – r ) .3 .

L a s t a n g e n t e s c o m u n e s b u s c a d a s s e r á n p a r a l e l a s a l a s t a n g e n t e s c o n c u r r e n t e s e nO ´ .



b) Cruzadas 1 . S e t r a z a u n a c i r c u n f e r e n c i a c o n c e n t r o e n O o O ´ y r a d i o ( R + r ) .2 .

D e s d e e l c e n t r o O o O ´ s e t r a z a n t a n g e n t e s a l a c i r c u n f e r e n c i a d e r a d i o ( R + r ) .3 .

L a s t a n g e n t e s c r u z a d a s b u s c a d a s s e r á n p a r a l e l a s a l a s t a n g e n t e s c o n c u r r e n t e s e nO o e n O ´ .

5.9. CURVAS INVERTIDAS:

Trazado de golas

a) Rectas paralelas

1. Conocido el punto de paso G colineal con AF.

• S e t r a z a n l a s m e d i a t r i c e s a l o s s e g m e n t o s A G y F G .• S e l e v a n t a n p e r p e n d i c u l a r e s a A B y E F p o r A y F q u e c o r t a r á n a l a s m e d i a t r i c e s e n O 1y O 2 .• C o n c e n t r o e n O 2 y r a d i o O 2 A = O 2 G s e t r a z a e l a r c o d e c i r c u n f e r e n c i a A G .• C o n c e n t r o e n O 1 y r a d i o O 1 F = O 1 G s e t r a z a e l a r c o d e c i r c u n f e r e n c i a F G .



2. Conocido el radio de la circunferencia tangente a una de las rectas.

• E n e l p u n t o C s e l e v a n t a u n a p e r p e n d i c u l a r a C D y s e t o m a s o b r e e l l a l a l o n g i t u d d er a d i o d a d o R , d e t e r m i n a n d o e l p u n t o O 1 .

• S e u n e n C y B m e d i a n t e u n a r e c t a .• S e t r a z a u n a r c o d e c i r c u n f e r e n c i a d e c e n t r o e n O 1 y r a d i o O 1 C , h a s t a c o r t a r a B C e nT .• U n i r O 1 c o n T y p r o l o n g a r h a s t a q u e c o r t e a l a p e r p e n d i c u l a r t r a z a d a d e s d e e le x t r e m o B d e l s e g m e n t o A B .• C o n c e n t r o e n O 2 y r a d i o O 2 B = O 2 T , s e t r a z a u n a r c o d e c i r c u n f e r e n c i a e n t r e B y T .



b) Curva invertida tangente en J y K a rectas no paralelas y conocido uno de los radios.

• P o r J l e v a n t a r u n a p e r p e n d i c u l a r a l a r e c t a I J y m e d i r s o b r e e l l a l a l o n g i t u d r , p a r au b i c a r O 1 .

• C o n c e n t r o e n O 1 y r a d i o r t r a z a r l a c i r c u n f e r e n c i a .•

P o r e l p u n t o O 1 , t r a z a r u n a p e r p e n d i c u l a r a l a o t r a r e c t a L y p r o l o n g a r h a s t a c o r t a ra l a c i r c u n f e r e n c i a e n T .•

L a r e c t a d e u n i ó n d e T c o n K s e i n t e r s e c t a c o n l a c i r c u n f e r e n c i a e n X , y é s t e e s e lp u n t o d e c a m b i o d e c u r v a t u r a .• U n i r O 1 c o n X y p r o l o n g a r h a s t a c o r t a r a l a p e r p e n d i c u l a r a K L p o r K ; s e o b t i e n e a s íe l p u n t o O 2 .• C o n c e n t r o e n O 2 y r a d i o O 2 K t r a z a r e l a r c o X K .



c) Gola tangente a tres rectas, conocido el punto X de cambio de curvatura, colineal con

PG.

• T r a z a r l a s b i s e c t r i c e s a l o s á n g u l o s O P Q y P Q R .

• P o r e l p u n t o X , p u n t o d e c a m b i o d e c u r v a t u r a , t r a z a r l a p e r p e n d i c u l a r a P Q , q u ei n t e r s e c t a a l a s b i s e c t r i c e s e n O 1 y O 2 .

• P o r l o e p u n t o s O 1 y O 2 t r a z a r p e r p e n d i c u l a r e s a O P y Q R p a r a o b t e n e r T 1 y T 2 ,p u n t o s d e t a n g e n c i a .

• C o n c e n t r o e n O 1 y r a d i o O 1 X , t r a z a r e l a r c o X T 1 .

• C o n c e n t r o e n O 2 y r a d i o O 2 X , t r a z a r e l a r c o X T 2 .



CURVAS CÓNICAS

6.1. Generación y construcción de elipse

a) Construcción de una elipse según la definición 1 . C o n o c i d o s l o s f o c o s ( F 1 y F 2 ) y u n p u n t o P d e p a s o .2 .

D e t e r m i n a r e l e j e m a y o r A B ( A B = F 1 P + F 2 P )3 . U b i c a r l o s p u n t o s 1 , 2 , … . N e n t r e l o s f o c o s F 1 y F 2 .4 . T r a z a r l o s a r c o s c o n c e n t r o e n F 1 y r a d i o s A 1 , A 2 , … . , A n .5 . T r a z a r l o s a r c o s c o n c e n t r o e n F 2 y r a d i o s B 1 , B 2 , … . . B n .6 .

L a i n t e r s e c c i ó n d e l o s a r c o s d e r a d i o s A 1 y B 1 , A 2 y B 2 , … … . , A n y B n d e t e r m i n a n l o sp u n t o s d e l a e l i p s e 1 ´ y 1 ´ ´ , 2 ´ y 2 ´ ´ , … … … n ´ y n ´ ´ .

b) Método de las circunferencias concéntricas 1 .

E s t e m é t o d o p u e d e a p l i c a r s e c u a n d o s e c o n o c e n l o s e j e s m a y o r y m e n o r .2 . S e c o n s t r u y e n d o s c i r c u n f e r e n c i a s c o n c é n t r i c a s d e d i á m e t r o s i g u a l a l e j e m a y o r ym e n o r d e l a e l i p s e .3 .

E n l a s c i r c u n f e r e n c i a s c o n c é n t r i c a s t r a z a r “ n ” d i á m e t r o s a r b i t r a r i o s q u e g e n e r e n l o sp u n t o s 1 ´ , 2 ´ , … . . , n ´ y l o s p u n t o s 1 ´ ´ , 2 ´ ´ , … . . , n ´ ´ e n l a s c i r c u n f e r e n c i a s d e d i á m e t r o sC D y A B .



4 . T r a z a r p a r a l e l a s a A B p o r l o s p u n t o s 1 ´ , 2 ´ , … . n ´ , y p a r a l e l a s a C D p o r l o s p u n t o s 1 ´ ´ ,2 ´ ´ , … . . , n ´ ´ , l a i n t e r s e c c i ó n d e l a s p a r a l e l a s t r a z a d a s p o r 1 ´ y 1 ´ ´ , 2 ´ y 2 ´ ´ , … . . n ´ y n ´ ´d e t e r m i n a n l o s p u n t o s 1 , 2 , … . . , n p e r t e n e c i e n t e s a l a e l i p s e .5 . U n i r c o n p i s t o l e t e s l o s p u n t o s 1 , 2 , … . . , n ; g e n e r a n d o l a e l i p s e .

c) Método cuando son conocidos los diámetros conjugados 1 . C o n s t r u i r u n p a r a l e l o g r a m o d e l a d o s i g u a l e s a l o s d i á m e t r o s c o n j u g a d o s .2 .

D i v i d i r l o s l a d o s d e i g u a l n ú m e r o d e p a r t e i g u a l e s . L o s p u n t o s d e p a s o d e l a e l i p s e s eo b t i e n e n d e l m i s m o m o d o q u e e n e l m é t o d o d e l p a r a l e l o g r a m o .3 .

L a s d i r e c c i o n e s d e l o s e j e s m a y o r y m e n o r s e o b t i e n e n t r a z a n d o u n a c i r c u n f e r e n c i ac o n c e n t r o e n O y d i á m e t r o C D . D i c h a c i r c u n f e r e n c i a c o r t a a l a e l i p s e e n u n p u n t o P ,l o s e j e s m a y o r y m e n o r s o n l a p a r a l e l a y l a p e r p e n d i c u l a r a C P r e s p e c t i v a m e n t e yp a s a n p o r O .4 . S i l o s e j e s c o n j u g a d o s s o n p e r p e n d i c u l a r e s e n t o n c e s s e c o n v i e r t e n e n e j e sp r i n c i p a l e s d e l a e l i p s e .



6.2. Generación y construcción de una parábola

a) Construcción de una parábola según la definición 1 . C o n o c i d o s e l f o c o F y l a r e c t a d i r e c t r i z D : u b i c a m o s e l e j e d e l a p a r á b o l ap e r p e n d i c u l a r a l a d i r e c t r i z q u e p a s a p o r F y e l v é r t i c e V p u n t o m e d i o d e F O .2 . U b i c a m o s l o s p u n t o s a r b i t r a r i o s 1 , 2 , … . , n ; d e m a n e r a q u e l a s d i s t a n c i a s O 1 , O 2 ,… . . , O n s e a n m a y o r e s a O V , t r a z a r l u e g o l a s p e r p e n d i c u l a r e s a l e j e q u e p a s a n p o re s t o s p u n t o s .3 . T r a z a m o s a r c o s c o n c e n t r o e n F y r a d i o s O 1 , O 2 , … . , O n ; l a i n t e r s e c c i ó n d e l a r c o d er a d i o O 1 y l a p e r p e n d i c u l a r a l e j e q u e p a s a p o r 1 d e t e r m i n a n l o s p u n t o s 1 ´ y 1 ´ ´ q u ep e r t e n e c e n a l a p a r á b o l a d e l a m i s m a f o r m a o b t e n e m o s l o s p u n t o s 2 ´ y 2 ´ ´ , 3 ´ y 3 ´ ´ ,… . . n ´ y n ´ ´ .4 . U n i r l o s p u n t o s c o n p i s t o l e t a p a r a o b t e n e r l a p a r á b o l a .



b) Método del paralelogramo 1 . C o n o c i e n d o l a f l e c h a , l a l u z y e l d e s n i v e l : c o n s t r u i r e l p a r a l e l o g r a m o A B C D c o m o s ei n d i c a e n e l g r á f i c o .2 .

D i v i d i r V B y B C e n n p a r t e s i g u a l e s y n u m e r a r c o m o s e i n d i c a , t r a z a r d e s d e V l o sr a y o s h a c i a l o s p u n t o s q u e d i v i d e n a B C .3 .

P o r l o s p u n t o s q u e d i v i d e n a V B t r a z a r p a r a l e l a s a V V ´ l u e g o i n t e r s e c t a r l a p a r a l e l aa V V ´ q u e p a s a p o r 1 c o n e l r a y o V 1 o b t e n i e n d o e l p u n t o 1 ´ , d e l a m i s m a f o r m a s ed e t e r m i n a n l o s p u n t o s 2 ´ , 3 ´ , … , n ´ y l o s p u n t o s d e l o t r o c u a d r a n t e , p u n t o s q u ep e r t e n e c e n a l a p a r á b o l a .4 . U n i r l o s p u n t o s c o n e l p i s t o l e t e p a r a d e t e r m i n a r l a p a r á b o l a .5 .

N o t a r q u e s i e l d e s n i v e l e s c e r o e l p a r a l e l o g r a m o s e c o n v i e r t e e n r e c t á n g u l o .

c) Método de la envolvente parabólica. 1 . C o n o c i e n d o l a s r e c t a s A C y B C : d i v i d i r A C y B C e n n p a r t e s i g u a l e s , l u e g o n u m e r a rA C y B C e n s e n t i d o s c o n t r a r i o s .



2 . U n i r l o s p u n t o s d e i g u a l n u m e r a c i ó n c o n t r a m o s r e c t o s , q u e a l i n t e r s e c t a r s ed e t e r m i n a n l o s p u n t o s 1 ´ , 2 ´ , … … .3 .

L a e n v o l v e n t e s e t r a z a t a n g e n t e a l o s p u n t o s 1 1 ´ , 1 ´ 2 ´ , … … … . E n e l p u n t o m e d i o yt a n g e n t e a A C y B C e n A y B r e s p e c t i v a m e n t e .

6.3. Generación y construcción de una hipérbola. 1 . T ó m e s e l o s f o c o s F 1 y F 2 y e l e j e t r a n s v e r s o A B .2 . C o n F 1 y F 2 c o m o c e n t r o s y u n r a d i o d e c u r v a t u r a R 1 m a y o r q u e F 1 B , t r á c e s e u n o sa r c o s .3 . C o n e s o s m i s m o s c e n t r o s y u n r a d i o i g u a l a R 1 – A B , t r á c e s e a r c o s q u e i n t e r s e c t e n l o sp r i m e r o s a r c o s , d e t e r m i n a n d o l o s p u n t o s P 1 , P 2 , P 3 y P 4 .4 .

R e p e t i r l o s d o s p r o c e d i m i e n t o s a n t e r i o r e s p a r a d e t e r m i n a r o t r o s j u e g o s d e c u a t r op u n t o s .5 . U n a v e z d e t e r m i n a d o l o s p u n t o s n e c e s a r i o s u n i r l o s h a c i e n d o u s o d e l p i s t o l e t e .



Construcción de una hipérbola equilátera rectangular por un punto dado P, asintótica a

los ejes dados. 1 . T ó m e s e l a s a s í n t o t a s C A y C B y u n p u n t o c u a l q u i e r a P .2 . T r a c e l a b i s e c t r i z d e l á n g u l o A C B p a r a d e t e r m i n a r l a p o s i c i ó n d e l e j e d e s i m e t r í a .3 .

P o r e l p u n t o P d i b u j a r l a s r e c t a s P D y P F , p e r p e n d i c u l a r e s a A C y C B r e s p e c t i v a m e n t e .4 . S o b r e F G u b i c a r l o s p u n t o s 1 , 2 , … . , n .5 .

D e s d e C t r a z a r l a s r e c t a s q u e p a s e n p o r 1 , 2 , … . , n h a s t a i n t e r s e c t a r a D E , d e t e r m i n a d ol o s p u n t o s 1 ´ , 2 ´ , … . , n ´ .6 .

D e s d e 1 , 2 , , … , n ; t r á c e s e p e r p e n d i c u l a r e s a F G y d e s d e 1 ´ , 2 ´ , … . , n ´ t r á c e s ep e r p e n d i c u l a r e s a D E , d e t e r m i n a d o l o s p u n t o s 1 ” , 2 ” , … , n ” , q u e s o n l o s p u n t o sp e r t e n e c i e n t e s a l a h i p é r b o l a r e q u e r i d a .





CURVAS TÉCNICAS

7.1. Espirales

Involuta L a i n v o l u t a e s l a c u r v a e s p i r a l t r a z a d a p o r u n p u n t o s o b r e u n a c u e r d a c o m o s i s ed e s e n r o l l a r a d e u n c í r c u l o o d e u n p o l í g o n o .7.2. Construcción de una involuta 1 .

D a d o u n a c i r c u n f e r e n c i a , d i v í d a s e d i c h a c i r c u n f e r e n c i a e n u n n ú m e r o d e p a r t e s i g u a l e s1 , 2 , … , 1 2 ) .2 . T r á c e s e t a n g e n t e s a l a c i r c u n f e r e n c i a p o r l o s p u n t o s d i v i s o r i o s 1 , 2 , … . , n . .3 . C o n c e n t r o e n 1 , 2 , … , n ; t r á c e s e a r c o s h a s t a i n t e r s e c t a r a l a s t a n g e n t e s , d e t e r m i n a n d od e e s a m a n e r a l a c u r v a i n v o l u t a .4 .

L a i n v o l u t a d e u n c í r c u l o s e u s a p a r a e l d e s a r r o l l o d e l o s f l a n c o s d e l o s d i e n t e s d e l o se n g r a n a j e s .

7.3. Cicloide U n a c i c l o i d e e s u n a c u r v a g e n e r a d a p o r u n p u n t o e n l a c i r c u n f e r e n c i a d e u n c í r c u l o m ó v i lc u a n d o e l c í r c u l o r u e d a s o b r e u n p l a n o e n l í n e a r e c t a .

Construcción de una cicloide 1 .

D i b ú j e s e e l c í r c u l o g e n e r a d o r y l a r e c t a A B t a n g e n t e a l c í r c u l o . L a l o n g i t u d A B d e b e s e ri g u a l a l a c i r c u n f e r e n c i a d e l c í r c u l o .2 .

D i v i d i r e l c í r c u l o y l a r e c t a A B e n u n m i s m o n ú m e r o d e p a r t e s i g u a l e s .



3 .

D e s d e l o s p u n t o s d e d i v i s i ó n d e A B l e v a n t a r p e r p e n d i c u l a r e s h a c i a C D , d e t e r m i n a n d ol o s p u n t o s 1 , 2 , … , 1 0 .4 . C o n c e n t r o e n e s t o s p u n t o s t r a z a r a r c o s h a s t a i n t e r s e c t a r a l a s l í n e a s t r a z a d a s d e s d el o s p u n t o s d e d i v i s i ó n d e l a c i r c u n f e r e n c i a , d e t e r m i n a n d o 1 ´ , 2 ´ , … … , 1 0 ´ .5 .

L a c u r v a t r a z a d a p o r e s t o s p u n t o s s e r á l a c i c l o i d e b u s c a d a .

7.4. Epicicloide U n a e p i c i c l o i d e e s l a c u r v a g e n e r a d a p o r u n p u n t o e n l a c i r c u n f e r e n c i a d e u n c í r c u l o q u er u e d a e n u n p l a n o p o r l a p a r t e e x t e r n a d e o t r o c í r c u l o . E l m é t o d o e m p l e a d o p a r a d i b u j a r l as e p a r e c e a l q u e s e u t i l i z a p a r a l a c i c l o i d e .

Construcción de una Epicicloide 1 .

D i b ú j e s e e l c í r c u l o g e n e r a d o r y e l a r c o A B t a n g e n t e a l c í r c u l o . L a l o n g i t u d d e l a r c o A Bd e b e s e r i g u a l a l a c i r c u n f e r e n c i a d e l c í r c u l o .2 .

D i v i d i r e l c í r c u l o y e l a r c o A B e n u n m i s m o n ú m e r o d e p a r t e s i g u a l e s .3 .

D e s d e l o s p u n t o s d e d i v i s i ó n d e A B t r a z a r r e c t a s e n d i r e c c i ó n r a d i a l h a c i a C D ,d e t e r m i n a n d o l o s p u n t o s 1 , 2 , … , 1 0 .4 . C o n c e n t r o e n e s t o s p u n t o s t r a z a r a r c o s h a s t a i n t e r s e c t a r a l o s a r c o s t r a z a d a s d e s d e l o sp u n t o s d e d i v i s i ó n d e l a c i r c u n f e r e n c i a , d e t e r m i n a n d o 1 ´ , 2 ´ , … … , 1 0 ´ .5 .

L a c u r v a t r a z a d a p o r e s t o s p u n t o s s e r á l a e p i c i c l o i d e b u s c a d a .



7.5. Hipocicloide U n a h i p o c i c l o i d e e s l a c u r v a g e n e r a d a p o r u n p u n t o e n l a c i r c u n f e r e n c i a d e u n c í r c u l o q u er u e d a e n u n p l a n o p o r e l i n t e r i o r d e o t r o c í r c u l o .Construcción de una hipocicloide 1 .

D i b ú j e s e e l c í r c u l o g e n e r a d o r y e l a r c o A B t a n g e n t e a l c í r c u l o e n P . L a l o n g i t u d d e l a r c oA B d e b e s e r i g u a l a l a c i r c u n f e r e n c i a d e l c í r c u l o .2 .

D i v i d i r e l c í r c u l o y e l a r c o A B e n u n m i s m o n ú m e r o d e p a r t e s i g u a l e s .3 .

D e s d e l o s p u n t o s d e d i v i s i ó n d e A B t r a z a r r e c t a s e n d i r e c c i ó n r a d i a l h a c i a C D ,d e t e r m i n a n d o l o s p u n t o s 1 , 2 , … , 1 0 .4 . C o n c e n t r o e n e s t o s p u n t o s t r a z a r a r c o s h a s t a i n t e r s e c t a r a l o s a r c o s t r a z a d a s d e s d e l o sp u n t o s d e d i v i s i ó n d e l a c i r c u n f e r e n c i a , d e t e r m i n a n d o 1 ´ , 2 ´ , … … , 1 0 ´ .5 .

L a c u r v a t r a z a d a p o r e s t o s p u n t o s s e r á l a h i p o c i c l o i d e b u s c a d a .

Nota:L a s c u r v a s c i c l o i d a l e s t i e n e a p l i c a c i ó n e n l a f o r m a c i ó n d e l o s d i e n t e s d e l o se n g r a n a j e s .



7.6. Espiral de Arquímedes L a e s p i r a l d e A r q u í m e d e s e s u n a c u r v a g e n e r a d a p o r u n p u n t o q u e s e m u e v eu n i f o r m e m e n t e a l r e d e d o r d e u n p u n t o f i j o a l e j á n d o s e d e é s t e .Construcción de la Espiral de Arquímedes 1 .

D i b ú j e s e e l c í r c u l o y d i v í d a l o e n u n n ú m e r o d e p a r t e s i g u a l e s .2 . T r a z a r r e c t a s r a d i a l e s h a c i a l o s p u n t o s d e d i v i s i ó n .3 .

D i v i d i r u n a r e c t a r a d i a l e n i g u a l n ú m e r o d e p a r t e s a l d e l c í r c u l o .4 . C o n c e n t r o e n e l c e n t r o d e l c í r c u l o t r a z a r a r c o s h a s t a i n t e r s e c t a r a l a s r e c t a s r a d i a l e s ,d e t e r m i n a n d o l o s p u n t o s 1 ´ , 2 ´ , … … . , n ´ .5 .

L a c u r v a t r a z a d a p o r e s t o s p u n t o s s e r á l a E s p i r a l d e A r q u í m e d e s .



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