Dibujo Tecnico B

DIBUJO TCNICO1 Bachillerato

Rafael CirizaRoberto GalarragaM Angeles Garca

Jos Antonio Oriozabala

erein

Autorizado por el Departamento de Educacin, Universidades e Investigacin del Gobierno Vasco (3-7-2003)

Diseo de portada:Iturri

Dibujo de la portada:

Diseo y maquetacin:EREIN

Dibujos:Rafael Ciriza, Roberto Galarraga, M Angeles Garca, Jos Antonio Oriozabala

Fotografas: Juan Carlos Ruiz, Jess M Pemn

Texto:Rafael Ciriza, Roberto Galarraga, M Angeles Garca, Jos Antonio Oriozabala

EREIN 1997. Tolosa Etorbidea 107 - 20009 Donostia

ISBN: 84-9746-123-1

D. L.:

Imprime:Grafman S.A. Gallarta (Bizkaia)

EREIN

Dibujo tcnico1 Bachillerato

Rafael CirizaRoberto GalarragaM Angeles Garca

Jos Antonio Oriozabala

51. Materiales de dibujo y su uso.................................................................................................................................................................................................

NDICE

1. Materiales de dibujo y su uso ............................................................................................. 9

Materiales de dibujo ................................................................................................. 9

2.Trazados fundamentales en el plano ................................................................................. 19

Elementos geomtricos. Definiciones .................................................................. 19

Trazados fundamentales ......................................................................................... 21

ngulos ..................................................................................................................... 23

Lugar geomtrico .................................................................................................... 28

Lneas y segmentos de la circunferencia ............................................................. 29

3.Tringulos, cuadrilteros y polgonos regulares .............................................................. 33

Definicin de polgono .......................................................................................... 33

Tringulo .................................................................................................................. 33

Cuadriltero.............................................................................................................. 37

Polgonos regulares ................................................................................................ 38

4.Proporcionalidad y escalas ................................................................................................. 46

Proporcionalidad ..................................................................................................... 46

Escalas ...................................................................................................................... 49

5.Igualdad, equivalencia, semejanza y simetra .................................................................. 54

Igualdad .................................................................................................................... 54

Equivalencia ............................................................................................................. 55

Semejanza ................................................................................................................. 57

Simetra ..................................................................................................................... 59

6.Tangencias. Generalidades y procedimientos de resolucin ......................................... 61

Generalidades sobre tangencias ........................................................................... 61

Problemas de tangencias ........................................................................................ 64

7.Curvas tcnicas ..................................................................................................................... 77

Ovalo ........................................................................................................................ 77

Ovoide ...................................................................................................................... 79

Espiral ....................................................................................................................... 79

Voluta ........................................................................................................................ 80

Hlice cilndrica ...................................................................................................... 81

8.Curvas cnicas ...................................................................................................................... 83

Introduccin ............................................................................................................. 83

Elipse ........................................................................................................................ 84

Parbola .................................................................................................................... 86

Hiperbola.................................................................................................................. 87


9.Fundamentos de la Geometra descriptiva ....................................................................... 94

Generalidades .......................................................................................................... 94

Tipos de proyeccin ............................................................................................... 95

Diferentes sistemas de representacin ................................................................. 95

10.Sistema didrico: punto, recta y plano ......................................................................... 102

Introduccin ........................................................................................................... 102

Representacin del punto .................................................................................... 104

Representacin de la recta ................................................................................... 105

Representacin del plano .................................................................................... 107

Relacin de pertenencia entre punto, recta y plano........................................ 111

11.Normalizacin ................................................................................................................... 121

Generalidades ........................................................................................................ 121

Normas generales de dibujo tcnico .................................................................. 122

12.Vistas .................................................................................................................................. 128

Generalidades ........................................................................................................ 128

Denominacin de las vistas segn la norma..................................................... 130

Eleccin de vistas .................................................................................................. 134

13.Cortes y secciones ............................................................................................................ 138

El corte ................................................................................................................... 138

Tipos de cortes ...................................................................................................... 139

Diferencia entre corte y seccin ......................................................................... 142

14. Acotacin ......................................................................................................................... 146

Generalidades ........................................................................................................ 146

Lneas de cota ........................................................................................................ 147

Lneas auxiliares .................................................................................................... 148

Flechas y trazos de cota ....................................................................................... 148

Cifras de cota ......................................................................................................... 149

Smbolos de acotacin.......................................................................................... 151

15. Elementos de sujecin. Acotacin y representacin de roscas. ............................... 156

Definiciones. .......................................................................................................... 156

Introduccin a la normalizacin de las roscas. ................................................ 157

Clasificacin de las roscas. .................................................................................. 157

Representacin convencional de las roscas. ..................................................... 158

Tipos de representacin de las roscas. .............................................................. 159

Otros ejemolos de representacin de las roscas .............................................. 161

Acotacin de las roscas. ....................................................................................... 163

Perfiles y dimensiones de las roscas ms usuales ............................................ 166


16. Conjuntos. ........................................................................................................................ 173

Ejemplo de mecanismo ........................................................................................ 173

Tipos de planos usuales ....................................................................................... 174

Elementos del plano de conjunto ....................................................................... 175

Plano de despiece ................................................................................................. 177

17. Croquizacin .................................................................................................................... 181

Generalidades ........................................................................................................ 181

Instrumentos de medida ...................................................................................... 182

Pasos en la realizacin de un croquis ............................................................... 183

18. Perspectivas axonomtrica y caballera ....................................................................... 186

La perspectiva axonomtrica ............................................................................... 186

Representacin de figuras planas en perspectiva axonomtrica ................... 190

Representacin de slidos en perspectiva axonomtrica ............................... 195

La perspectiva caballera ....................................................................................... 198

Representacin de figuras planas en perspectiva caballera ........................... 201

Representacin de slidos en perspectiva caballera ....................................... 201


Dibujo tcnico

La precisin y exactitud son fundamentales en la representacin tc-nica de formas y objetos.

El conocimiento de los tiles para dibujar, as como su calidad, nospermite alcanzar el mximo rendimiento grfico.

Los materiales bsicos de que disponemos para el dibujo tcnico sonlos siguientes:

1. Materiales de dibujo y su uso

Objetivos Conocer los tiles y accesorios ms comnmente empleados en las

tcnicas de expresin grfica.

Materiales de dibujo

Papeles de dibujo.

Lpices de dibujo.

Gomas de borrar.

Regla milimetrada.

Escuadra y cartabn.

Afilador de lpices.

Transportador de ngulos.

Juego de compases.

Estilgrafo.

Plantillas de rotular.

Plantillas de curvas.

Plantillas especiales.

Tramas.

Ordenador.

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El papel de dibujo se suministra en rollos o en pliegos cortados adistintos tamaos normalizados, y de distinto grosor segn el grama-je, es decir, segn el peso en gramos por metro cuadrado. Su super-ficie puede ser rugosa, mate, o ligeramente satinada.

Existen numerosas clases de papeles. Los ms utilizados para el dibu-jo tcnico son:

Papel blanco opaco; de uso general, apropiado para hacer boce-tos y dibujos preparatorios.

Papel vegetal transparente; se emplea principalmente para calcarplanos y dibujarlos a tinta.

Papel opaco satinado; utilizado para dibujar a tinta, aunque suuso no es tan frecuente como el de los anteriores.

Papel milimetrado; transparente y opaco con cuadrculas impre-sas, muy til para dibujar grficos y diagramas.

Papel transparente plastificado parecido al papel vegetal pero demayor resistencia. Especialmente indicado para planos que va-yan a ser manejados con mucha frecuencia.

Generalmente los dibujos se hacen previamente a lpiz para calcarlosposteriormente a tinta. Si el dibujo tiene claridad suficiente para lasexigencias del trabajo en cuestin puede que no sea necesario pasar-lo a tinta. Es conveniente conocer las diversas durezas de los lpicespara utilizarlos adecuadamente y poder obtener distintos grosores yacabados en el dibujo.

Papel

Lpiz

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Las zonas sombreadas de la tabla indican los campos de utilizacin delas diversas durezas.

La gran ventaja del portaminas frente al lpiz es que el grosor de lamina no necesita afilado. La mina siempre tendr el grosor adecuado.

La punta del lpiz puede afilarse con cuchilla o ms fcilmente me-diante sacapuntas. Si se utiliza un portaminas de mina gruesa ste seafilar con afilaminas.

Blandas Medias Duras Extraduras

00 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

8B 7B 6B 5B 4B 3B 2B B HB F H 2H 3H 4H 5H 6H 7H 8H 9H 10H

Designacin de lasgraduaciones por nmeros

Designacin de lasgraduaciones por siglas

Para escribiry dibujar

Para el dibujotcnico

Para dibujar, croquizar ysombrear

Para dibujo de planostopogrficos

Para folios de dibujo consuperficie spera

Para dibujos sobresuperficie dura

Aptos para reproducionesheliogrficas

Para realizar un croquis se emplear una mina blanda. Para el dibujoa lpiz sobre papel blanco se emplear una mina ms dura, y se utili-zar una mina an ms dura para dibujar sobre papel vegetal.

La dureza de las minas suele indicarse con nmeros o con siglas for-madas por letras y nmeros.

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Gomas de borrarPara corregir partes sobrantes de un dibujo se utilizarn las gomas deborrar. Unas se utilizan para borrar lpiz, otras para borrar tinta.

La goma para borrar lpiz ha de ser blanda. Se emplear mayor dure-za de goma cuanto mayor sea la dureza de la mina usada en el dibujo.

La goma para borrar tinta ha de ser dura, y llevar un abrasivo que alraspar quitar una capa muy fina de papel y con ella el trazo de tinta.

Cuando se dibuja en papel vegetal, adems de la goma de borrar tintase pueden usar, manejndolas con cuidado para no romper el papel,las hojas de afeitar.

Antes de realizar un nuevo trazo a tinta sobre zonas en las que se haborrado, es aconsejable satinar la zona con un lpiz blando para evi-tar que se corra la tinta del nuevo trazo.

Regla, escuadra ycartabn

Son elementos indispensables para la realizacin de cualquier dibujotcnico.

Regla: se emplea para transportar dimensiones, medir segmentos ytrazarlos. La longitud oscila entre 30 y 100 cm, y van graduadas gene-ralmente en milmetros.

Adems de utilizar la regla graduada puede utilizarse el escalmetro. stees un tipo especial de regla que lleva grabadas seis escalas diferentes. Seutiliza para dibujar directamente un plano a una escala determinada sintener que hacer operaciones matemticas, y para interpretar directamentesobre un plano las medidas reales de los objetos.

Escuadra: tiene forma de tringulo rectngulo issceles. Por tanto,sus dos catetos son de igual longitud y forman con la hipotenusangulos de 45.Cartabn: tiene forma de tringulo rectngulo escaleno. Los ngulosque forman los catetos con la hipotenusa son de 30 y de 60. Elcateto mayor del cartabn debe medir lo mismo que la hipotenusa dela escuadra.

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El comps es un til de dibujo que se emplea para el trazado de arcosy circunferencias.

Existen distintos tipos de compases. Los ms utilizados son los si-guientes:

Comps simple. Se utiliza para trazar arcos y circunferencias, ytambin para transportar medidas sobre el dibujo. A este tipo decomps se le pueden acoplar algunos accesorios para el trazado atinta, as como una alargadera.

Bigotera. Se utiliza para trazar circunferencias de radio pequeo.

Bigotera loca. Permite hacer circunferencias de radio an menorque las que se pueden trazar con la bigotera normal.

Comps de precisin. Rene las caractersticas del comps simpley de la bigotera. Es articulado, lleva un mecanismo de ajuste y degraduacin de los brazos.

Comps

Tiene su importancia el correcto manejo de la escuadra y del carta-bn. Hay que hacerlo con suavidad y soltura, sin ejercer sobre lasplantillas excesiva presin, pero s con la necesaria para evitar movi-mientos no deseados.

Colocando el juego de escuadra y cartabn de forma adecuada pode-mos obtener rectas paralelas horizontales y verticales, as como unaserie variada de ngulos. Se ver ms adelante en el tema Trazadosfundamentales en el plano.

Trazados con escuadray cartabn

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La utilizacin correcta del comps es de suma importancia en el dibu-jo tcnico, pues de ello depende en gran medida la calidad y preci-sin de los trazados. Se debern tener en cuenta las siguientes nor-mas:

La mina deber estar afilada en bisel hacia el interior del comps.

El modo de sujetar el comps ser con los dedos ndice y pulgarpor el cilindro que lleva en la parte superior, y habr que ayudar-se con la otra mano para colocar la aguja en el punto exacto.

El brazo que lleva la mina, as como el de la aguja, tendrn quequedar perpendiculares al papel.

EstilgrafoEs un instrumento que se utiliza en la actualidad para la delineacin atinta, en sustitucin del tradicional tiralneas. Tiene grandes ventajasfrente al tiralneas por su gran limpieza y facilidad de manejo.

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Plantillas de curvas. Se utilizan como ayuda al trazado de curvasen general. Se trata de buscar el trozo de plantilla que ms seadapte a los puntos conocidos de la curva.

La posicin del estilgrafo debe ser perpendicular a la superficie delpapel.

Para realizar arcos o circunferencias a tinta se puede acoplar el estil-grafo al comps mediante un adaptador. El acoplamiento puede serexterior o interior, segn las circunferencias a dibujar sean de mayoro menor radio.

Plantillas

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Plantillas especiales. Existen formas muy variadas de ellas.

Plantillas de rotular. Su finalidad es la de conseguir una uniformi-dad en la escritura.

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En el ejercicio de trabajo la Expresin Grfica no podemos omitirhablar de una herramienta tan importante como es el ordenador. Elprofesional necesita cada vez ms, herramientas que le aseguren unaumento en su productividad y una mayor calidad en el trabajo reali-zado.

Ordenador

Son hojas con diferentes elementos a transportar a los dibujos. Exis-ten muchos tipos en el mercado. La forma ms normal de aplicacines por adhesivo directo o por frotamiento del elemento en cuestinsobre el papel de dibujo.

Tramas

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Un buen ordenador y los diversos programas de CAD / DAO (ComputerAsisted Design / Diseo Asistido por Ordenador) que existen en elmercado harn posible esta cuestin.

El dibujo asistido por ordenador es hoy en da de uso obligado en lasoficinas tcnicas y de diseo, siendo normal que stas intercambieninformacin grfica con el cliente a travs de disquetes informticos,eliminndose as en gran medida la realizacin sobre soporte papelde los planos.

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2. Trazados fundamentales en el plano.................................................................................................................................................................................................

Punto: El punto no tiene dimensiones, tanslo es una posicin. Se nombra con unaletra mayscula o con un nmero. (fig. 1)

Objetivos Conocer los fundamentos del Dibujo Geomtrico que permitan con

comodidad seguir el posterior desarrollo de la asignatura. Poder expresar con claridad y precisin las diversas soluciones grficas.

Elementosgeomtricos.Definiciones.

Dos rectas se cruzan en el espaciocuando no tienen ningn punto encomn. (fig. 5)

Lnea recta: Es una sucesin de puntosen la misma direccin. Se nombra con unaletra minscula. (fig. 2)

Posiciones relativas entre rectas:

Dos rectas se cortan cuando tienen unpunto en comn. (fig. 3)

Dos rectas son paralelas cuando no seencuentran nunca. Se dice entoncesque su punto en comn est en el infi-nito. Se dice de l que es un puntoimpropio. (fig. 4)

A

B

C

r

B

r s

fig. 1

fig. 2

fig. 3

a

b

s

P

Q

P1 - Q

1 s1

r

r1

fig. 4

fig. 5

2. Trazados fundamentalesen el plano

Dibujo tcnico

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Lnea curva: Es una sucesin de pun-tos no situados en la misma direccin.Se nombra con una letra minscula. (fig.6)

Segmento: Es una porcin de recta limi-tada por dos puntos extremos: segmentoAB. (fig. 8)

Semirrecta: Es un recta limitada por unextremo. Se nombra con los nombres delpunto extremo y de la recta, semirrectaAr. Un punto sobre una recta divide asta en dos semirrectas. (fig. 7)

Plano: Es el conjunto de puntos gene-rados por una recta al moverse segnuna direccin determinada. Se nombramediante una letra griega: plano . (fig.9)

a

A

P

r

A B

d

r

Un plano queda definido por:

Tres puntos no alineados. (fig 10)Esta es la razn por la que cuandose quiere conseguir buen apoyo so-bre un terreno irregular elegimos unapoyo sobre tres puntos. Son ejem-plos de ello el trpode fotogrfico ola banqueta de tres patas.

A C

B

sr

P

rs

Pr

Dos rectas que se cortan. (fig 11)

Dos rectas paralelas. (fig. 12)

Una recta y un punto exterior aella. (fig. 13)

fig. 6

fig. 7

fig. 8

fig. 9

fig. 10

fig. 11

fig. 12

fig. 13

21


Una recta se considera contenidaen un plano cuando todos sus pun-tos se encuentran sobre l. Cadauna de las partes en que queda di-vidido el plano se llama semipla-no. (fig. 14)

Perpendicular a una recta t porun punto exterior M. (fig. 16) Concentro en M y con radio arbitrario rtrazamos un arco que corta a la rec-ta en los puntos A y B. La media-triz m del segmento AB es la solu-cin a lo propuesto.

Perpendicular a una recta porun punto P de ella. (fig. 17). Concentro en P trazamos un arco deradio arbitrario que al cortar a larecta, determina los puntos A y B.La mediatriz m del segmento ABes la solucin al problema.

Mediatriz de un segmento: Es larecta perpendicular al segmento ensu punto medio. (fig. 15)

Para su trazado, dado el segmentoAB, con centros en A y B y conradio mayor que la mitad del seg-mento, trazamos los arcos 1 y 2 quese cortan en los puntos M y N.Uniendo los puntos M y N obtene-mos la recta m mediatriz del seg-mento dado.

Trazadosfundamentales

r

m

A

M

N

12

21

B

M

BA

m

t

r2 1

P

2 1

Q

m

12M

BA P

r

N12

fig. 14

fig. 15

fig. 16

fig. 17

Semiplano

Semiplano

22


Perpendicular a una semirrectaPr en su extremo P. (fig. 18) Concentro en P trazamos un arco de ra-dio PA arbitrario. Con centro en Atrazamos otro arco del mismo radioque corta al arco anterior en el pun-to B. Con centro en B y el mismoradio cortamos al primer arco en C.La mediatriz m del segmento BC esla solucin buscada.

Recta paralela a otra s por unpunto P. (fig. 19) Con centro en unpunto cualquiera de la recta s, pun-to A, trazamos el arco que pasa porel punto P, arco PB. Con centro enP y radio el mismo dibujamos el arcoque pasa por A. Con radio el seg-mento BP y centro en A determina-mos el punto M. La recta definidapor los puntos M y P es la solucin.

Trazado de rectasparalelas yperpendicularesmediante la escuadra yel cartabn

Manteniendo el cartabn fijo y deslizando uno de los catetos de laescuadra sobre la hipotenusa del cartabn, vamos obteniendo sucesi-vas rectas paralelas r, s, t, etc. (fig. 20 )

M

m

BC

AP r

BAs

r

PM

Para obtener perpendiculares a las rectas paralelas anteriormente traza-das, basta cambiar de posicin la escuadra sobre la hipotenusa del carta-bn y deslizarla a lo largo de ella tal como se indica en la figura 21.

p

t

Escuadra para trazar verticales

Escuadra para trazar horizontales

Cartabn fijo

r

s

t

Escuadra

EscuadraCartab

n

fig. 18

fig. 19

fig. 20

fig. 21

23


El ngulo se define como la porcin de plano comprendida entre dossemirrectas que tienen el mismo origen. Las semirrectas son los ladosdel ngulo y el punto origen de ambas es el vrtice del ngulo. Unngulo es negativo cuando lo medimos en el mismo sentido que elavance de las agujas del reloj y positivo cuando lo medimos en senti-do contrario. Se nombran mediante una letra griega.

Los ngulos segn su valor se clasifican de esta manera: (fig. 22)

Dos rectas que se cortan dan lugar a cuatro ngulos, dos a dos opues-tos por el vrtice, y dos a dos adyacentes. Los opuestos por el vrticetienen el mismo valor y los adyacentes son suplementarios, o sea su-man 180. (fig. 23)

ngulos

ngulo nulo ( = 0) ngulo agudo ( < 90)

ngulo recto ( = 90) ngulo obtuso ( > 90)

ngulo llano ( = 180)

fig. 22

rs

Dos ngulos son consecutivos cuando tienen un lado en comn. Soncomplementarios cuando suman 90. (fig. 24)

ComplementariosConsecutivos

fig. 23

fig. 24

ngulo plano ( = 360)

24


Dos rectas paralelas cortadas por una tercera dan lugar a 8 ngulos.(fig. 25)

Construccin de un ngulo igual a otro (fig. 26)

Con centro en el vrtice V del ngulo dado trazamos un arco de radiocualquiera, que determina los puntos A y B sobre sus lados. Sobre larecta a tomamos un punto V como vrtice del nuevo ngulo. Hacien-do centro en V dibujamos con el mismo radio un arco que determinasobre la recta a el punto A. Con centro en A trazamos el arco deradio AB. La interseccin ambos arcos determina el punto B. Unien-do B con V tendremos el ngulo buscado.

r

s

t

Se llaman ngulos correspondientes los ngulos situados al mismo ladode la recta secante siendo uno de ellos interior y el otro exterior a lasrectas paralelas. Los ngulos correspondientes tienen el mismo valor.

Se llaman ngulos alternos internos o alternos externos los situados adistinto lado de la secante, siendo ambos interiores o exteriores res-pectivamente a las rectas paralelas. Tambin estos ngulos tienen elmismo valor.

fig. 25

Operaciones conngulos

V

B

b

a

AV'

B'

b'

a'

A'

Suma de ngulos (fig. 27)

Sobre la recta a y siguiendo el mtodo anterior construimos un ngu-lo igual al de vrtice V. Sobre el lado Ob y en el mismo sentidodibujamos un ngulo igual al de vrtice V. El ngulo aOd es el ngu-lo solucin.

fig. 26

fig. 27

=

V

1

a

2

b

V'

4

3

c

d

d'

4'

c'3'

b'

2'

a'

1'O

25


Diferencia entre ngulos (fig. 28)

Una vez dibujado el primero de los ngulos, construimos sobre l yen sentido contrario el segundo de los ngulos. El ngulo aOc es elngulo que buscamos.

Bisectriz de un ngulo

Es la recta que divide al ngulo en dos partes iguales. (fig. 29)

aV

b

2

1

3

cV'

4

d

fig. 29

fig. 28

d'

2'4'

b'

O 1'

a'

c'

3'

b

b

P

a

A

V

B

Para su construccin trazamos con centro en V un arco de radio cual-quiera obteniendo los puntos de corte A y B. Con centro en estospuntos dibujamos dos arcos del mismo radio, que al cortarse determi-nan el punto P. La recta definida por los puntos V y P es la bisectrizbuscada.

Como se aprecia en la figura 30 otro mtodo consiste en dibujar concentro en V dos arcos cualesquiera, obtenindose cuatro puntos decorte A, B, C y D. Las rectas AD y BC al cortarse determinan el puntoP, que unido al vrtice V definen la bisectriz del ngulo.

V

A

b

P

C

B

D

=

=

fig. 30

=

26


Bisectriz de un ngulo cuyo vrtice caiga fuera de loslmites del dibujo (fig. 31)

Por un punto V de uno de sus lados dibujamos la recta paralela, s alotro lado. Trazamos la bisectriz b del ngulo rVs. Dibujamos unaperpendicular a la bisectriz hallada, y por el punto medio P del seg-mento MN trazamos la paralela a b. La recta b es la bisectriz buscada.

s

M

b P

B

C

s' b'

VA

r N

Construccin dengulos

fig. 31

La construccin de los ngulos que veremos a continuacin se apoyaen las operaciones con ngulos, tales como la suma, la diferencia y eltrazado de bisectrices.

60

B

AV

r

ngulo de 60 (fig. 32): Trazamos una se-mirrecta Vr. Con centro en V y radio cual-quiera dibujamos un arco que corta a la se-mirrecta en A. Con centro en A y el mismoradio anterior, trazamos otro arco que cortaal anterior en B. El ngulo BVA es de 60.

ngulo de 90: Basta con trazar por el ex-tremo de una semirrecta la perpendicular ala misma, construccin anteriormente expli-cada.

ngulo de 45: Lo obtenemos bisecando unngulo de 90. (fig. 33)

45

ngulo de 30: Bisecando un ngulo de 60.(fig. 34)

15

30

ngulo de 15: Bisecando un ngulo de 30.(fig. 35)

fig. 32

fig. 35

fig. 34

fig. 33

27


ngulo de 75: Lo obtenemos sumando unode 45 con otro de 30. (fig. 36)

75

ngulo de 105: Sumando uno de 60 conotro de 45. (fig. 37)

105

ngulo de 120: Sumando dos ngulos de60. (fig. 38)

120


135


150

Combinando estos valores con los de sus mitades, suplementos, du-plos, etc., podemos obtener sin necesidad del transportador de ngu-los otros muchos valores angulares.

Uso de la escuadra y el cartabn para la obtencin dengulos (fig. 41)

Adems de los propios dados por su geometra, de 30, 60, 45 y 90,podemos obtener mediante el uso de estas plantillas los ngulos de15, 75, 120, 135 y 150, como se explica en la figura 41.

fig. 36

fig. 37

fig. 38

fig. 39

fig. 40

fig. 41

28


Es el conjunto de puntos que poseen una misma propiedad geomtrica;por ejemplo:

Circunferencia: Es el lugar geomtrico de los puntos del plano queequidistan de otro punto O llamado centro. A la superficie compren-dida dentro de la circunferencia se le llama crculo. (fig .42)

O

Lugar geomtrico

Mediatriz de un segmento: Es el lugar geomtrico de los puntos delplano que equidistan de los extremos del segmento.

Bisectriz de un ngulo: Es el lugar geomtrico de los puntos delplano que equidistan de los dos lados del ngulo. Su construccin ascomo la de la mediatriz ya se ha estudiado anteriormente.

Arco capaz de un segmento bajo un ngulo dado: Es el lugargeomtrico de los puntos del plano desde los cuales se ve el citadosegmento bajo el ngulo dado (fig. 43). En la figura los ngulos devrtices A, B y C son iguales. Por lo tanto el arco de circunferenciaPABCQ es el arco capaz del segmento PQ bajo un ngul dado Comocaso particular, el arco capaz de un segmento bajo un ngulo de 90es la semicircunferencia de dimetro el citado segmento. (fig. 44)

B

P Q

AC

P Q

Veamos cmo hallar el arco capaz del segmento MN bajo un ngulopor ejemplo de 60 (fig. 45). Trazamos para ello la mediatriz del seg-mento MN. Con vrtice en M dibujamos el ngulo complementario de60, o sea de 30. El lado de este ngulo corta a la mediatriz delsegmento en el punto O. Con centro en O y radio OM dibujamos elarco capaz pedido.

m30

60 O

M N

Desde cualquier punto de este arco veremos el segmento MN bajo unngulo de 60.

fig. 42

fig. 43 fig. 44

fig. 45

29


Radio: Es todo segmento r que tiene un extremo en el centro de lacircunferencia y el otro sobre ella.

Dimetro: Es el segmento d que une dos puntos de la circunferenciaalineados con su centro.

Cuerda: Es el segmento c que une dos puntos de la curva sin pasarpor su centro.

Flecha de una cuerda: Es el segmento f de radio, comprendido en-tre la circunferencia y la cuerda, siendo ste perpendicular a dichacuerda.

Secante: Es la recta s que corta a la circunferencia en dos de suspuntos.

Tangente: Es la recta t que tiene slo un punto comn con la circun-ferencia. Es perpendicular al radio en dicho punto.

B

d

O

AE

Dc

f

C

F

O

r t

T

Bs

A

fig. 46

EJERCICIOS RESUELTOS

1. Dibuja la circunferencia que pasa por tres puntos conocidos A, B y C.

Solucin: El centro O deber equidistar de A y de B, por lo tanto se encontrar sobre lamediatriz del segmento AB. Tambin deber equidistar de B y de C y, por tanto,se encontrar sobre la mediatriz del segmento BC. La interseccin de ambas me-diatrices nos dar el centro de la circunferencia buscada.

B C

A

O

Lneas y segmentosde la circunferencia

30


2. Halla sobre el mapa de costa de la figura la posicin P de un barco en altamar desde el que un tripulanteobserva tres faros conocidos de la costa, A, B y C, bajo ngulos de APB = 30 y BPC = 45.

Solucin: Dibuja el arco capaz del segmento AB bajo un ngulo de 30. Dibuja a continua-cin el arco capaz del segmento BC bajo un ngulo de 45. La interseccin deambos arcos te dar la posicin P del barco.

O1

O2

A

B

C

m1

m2

45

60

P

3. Un pirata enterr su tesoro en un lugar de una pequea isla procediendo del siguiente modo. Partiendode una palmera, punto P, empez a caminar en lnea recta hasta llegar despus de recorrer 20 m (sobreel mapa 20 mm), a un punto T desde el que divisaba dos grandes rocas A y B con una apertura de ngulode 60. Comprob tambin que este lugar estaba ms cerca de A que de B. Conociendo sobre el mapalas posiciones de las rocas A y B y de la palmera P, dibuja sobre el mismo la posicin T del tesoro.

Solucin: Traza el arco capaz del segmento AB bajo un ngulo de 60. Dibuja a continua-cin un arco de centro P y radio 20 milmetros. La interseccin de estos dos arcoste dar la posicin Q del tesoro.

O

A B

P

30

T

31


EJERCICIOS

A B

2. Traza la recta tangente en T a la circunferencia dada.

T

O

3. Divide el ngulo de la figura en cuatro partes iguales.

1. Dibuja la mediatriz del segmento AB.

V

V

V

V

V

4. Construye los ngulos de: 75, 105, 135 y 150, de vrtices V.

32


6. Dibuja todas las posiciones del campo de ftbol representado en la figura, desde las que un futbolistatiene tiro a portera con una apertura de ngulo de 30.

C

D

E

F

G

B

A

75

135150

120

90 165

5. Dibuja, partiendo del punto A, y utilizando la escuadra, el cartabn y la regla graduada, el polgono de lafigura.

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Dibujo Tecnico B