Dibujo Tecnico Oscar Arenas 1976 Problemas Geometricos

5/10/2018 Dibujo Tecnico Oscar Arenas 1976 Problemas Geometricos

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PROBLEMAS GEOMETRICOS

Levantar la perpendicular en el punta Mdado sabre la reda AC

N

A~ ~ b- ~ ~CM

A I' a' 3' 5' 6'cI I II I II I II /2 I -II r~ //

II5 I6b

'_,f

Diuidir una recta AC en N partes iguales

.. - .._-------- ~:,

Leuant ar la perpendicular en el punta Mdado sabre ia rect a AC

Se toman a par tir de M en las dos direcciones opuestaslos puntos a y b como centros y can un radio mayor quela mitad de Sll c1istancia. Se describen los arcos que secortan en N uniendo Neon M enconlramos la perpen-dicular.

D iuidir UfW recta AC en N partes igualesPar el extrema A se traza una recta Ah formando unangulo cualquierz . con la recta AG. A partir del puntoA marcarnos 6 espacios iguales, el extreme 6 de la ulurnadivision, se line con el punto C obteniendo la recta 6cque es la d ireccior. de una scric de rcctas paralclas a ellatrazadas a partir de 1', '2 . ' , 3', 4', 5', obrenicndosc lospuntas 1', 2: 3: 4 :: 5; y15' sobre la recta Ae. En csra formaqucdara dividida la recta.

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PR OB LE MA S G EO M ET r ..IC OS

B

/ 'Trisector el cingulo recto BAG.

B

A

Dado el angulo recto BAG, obtener angulos mediant ebisecrrices sucesivas de 45; 22'30'; 1115'; 537'30",rcspeetivamente.

Trisector el dngulo recto BAG.Trazar el area 12 can centro en A y radio R. EI arco12 cor ta l as rectus AB yGD en los puntas 3 y 4.Trazar el area A-5 can centro en 3 y el rnismo ra-

dio R. EI area A5 corta 1-2 en el punto D. Trazar elarco A-6 can centro en 4 y el mismo radio R. El areaA-6 corta el area 1-2 en el punta E. Trazar l as rectas AEy AD. Los angulos BAE, EAD y DAG son iguaies,

Dado el angulo recto BA G, obten er angulos mediant ebisect rices sucesivas de 45'; 2230'; II 15'; 537'30",respectivamcnte.Los anguios que se muestran en la figura se pueden

obtener can bisectrices sucesivas de un angulo de 9000'.

40

J : i B . AII.Az .... XA ,44 4- 40


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EI arearna ra-azar el;1 arearas AE

edianre;7'30",

~.,

. '~~i~"~~


B

" Utilizando las escuadras trazar un an-gu lo recto BA C, dentro de sl ang ulos de75", 600, 450, 30 y 15,

Dado el angulo de sesenta grad os BACobtener angulos mediante bisectrices su-cesivas de 300, 150, 7"30' y 345',

A

~,---7

Utilizando las csciadras, trazar un angulo recto DACdentro de el, angulos de i5, 60, 45, 3~'' y I S O ,

Los angulos que se rnuestra n en la Iigura pueden ob-tcncrse 'con un j uego de escuadras de 15" y 600 COl! lap recisi6n propia ell: los instrumenros de d.bujo.

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})ROBLEl\ 'IAS GEOM(~TRICO~j ...;,.

B T'razar la bisectriz ados segmentos derecta AB y CD.

o

ill Il e sde un [ntnt o P exterior a una cir cu ni et enciadada, trazar las t a ngent es a ella.

42

Trazar la bisectrix ados segment as derecta AB y CD.

Se tornan dos puntos arbitrarios a y. b sobre lasy se unen; se forman cuatro angulos, se trazan lastrices de estos ang ulos, las cuales se unen en los pu00'. La tecta 00' sera 1a bisectriz de los dos scgrnen

Des d e un punta P exterior a una cir cunl erenciadada, trazar las tan.genies a ella.

Se unen 1'.1 punto P y el punto 0 (centro de laI er cnc ia ) 51'. dctcrmina el punto medio 0' de laSe describe un arco de circunfcrcncialando a la circunferencia dada en los puntos a. y b,unidos con el punto P nos dar an l as t angcntes./' (1 y C I a . d eb eran Ior rn ar un angulo de 90.


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rs rectas~s bisec-, punt asgmentos.

encta

i circun-.ecta OP.00' cor-y b, que'.as rectas


Concciendc e t .e je mcrcr 'i e l e je manorde LHU - e l i p s o l 3 : . ccnstr uirtc S08.QUf' a t m f l. 1o d o .

Dividir una circunler encia en N patter iguales,

Conociendo el eje mayor y menor de unaelipse, consl jui rla .

l'IScan lib y cd los, ejes transversa e imagina rio. Se t razan,para le la s a ab obteniendose ef y gh .Can centro en 0 )' radio og, trazamos una circunlerencia ..que -cortara al eje ab en los focos w y < p de la hiperbola, ',':.:,.Trazamos a la izquierda y a la derecha, a partir de w, y ~ \:distancias iguales, obteniendose 1'; 2' ; 3 '; 3'4' y 4'5'.Hacienda centro en los focos, trazamos areas de circun-ferencia por los puntas I, 2, 3, 4 y 5 y 1', 2', 3'" 4' Y 9'.Tracemos pequefios arcos de circunferencia, los que seran ,i ,'cortados POf otros cuyo centro sed. ahara el segundofoco 'f' y que tendran par radios los valores < pb = b 4 y . '1< p b ' = b 5 . Luego d,~ trazar l os ar cos mencionados, locali-cernos sus puntas de encuentro: b'l" b ' z " b ' B " b '4 ' y .b 'r ",estos dentro del area comprendida, segun el angulo 105 yotros: b 1" b 2" b 3", b . j ' y b r . " en la parte inferior del eje Itransversa y dentro del espacio limitado par el angulo h05.La union conveniente de los puntas producidos, parmi-tiran la construccion de la porcion derecha de la CUTVa.

. Dividir una circunierencia en N paries iguales .Se divide el diarnetro en .'W~n.(1I}ter9 de partes que quieradividirse 13 circunierencia' Co ~ ce' fl tio en lye se trazanareas de radio [c obteniendose el punta 0 que unido con2 y prolongado hasra cortar a la c ircun fe renci a en a nosdara fa , segmento que corresponds a la sexta parte dela circunferencia.


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PROBLEMAS ~EOMETRICOS

Trazar un pentdgono regular ABeDE, c an c' ci Jo ' ii Ilad a AB.

t+------4

Dada un a c ircuni e renc ia inscrib ir un pentagonoregular A13CDE.

Trazar un pentagono regular ABCDE, conocido ellado AB.

Sea "a" el lado del pentagono.Trazar la recta 1-2 y sobre esta marcar los puntos

y B de modo que la distancia entre A y B se a igualIado "a". Marcar el punto 3, centro del scgmcntorecta AB. Trazar las rectas 3-4 y B-5 perpcndicularesscgmento A y B en los puntas 3 y B. Trazar el arcocon centro en B y radio "a". EI arco A-6 corta a B -5el punto 7. Trazar el area 7-8 con centro en 3 y3-~. EI area 7-8 corta a 1-2 en el punta 9. EI areo 9-COl) centro en A y radio A-9.

EI arco 9-1 Ocorta a la recta 3-4 en el punta D.Trazar el area 11-12 con centro en R y radioTrazar el arco 13-14 con centro en A y r adio "a".EI area 13-14 corta al 11-12 en el punto E. Ma

el punto C localizandolo en el cruce de areas can radioy (:entro, en J) y B .

Dada una circunlerencia insc ribir un penuigonoregular ABCDE.

Sea 0 centro de Ia circunferencia,Trazar la recta 1-2 que pasa par O. La recta 1

corta la circunferencia en el punta 3. Marcar el puntacentro del segrncn to 0-3. Trazar la recta 0-5, corta acircunferencia en el punta A. Trazar el arco A-6centro en 4 y radio 4-A. Tr azar el area 7-8 canen i1 y radio A-7. El arco 7-8 corta Ia ci rcunf erenciae l ] ::"1 In to B. EI segrnento de recta AB eo el ladopentagorro. Centrar en n y c on radio AB marcar el pto C. Con ese mismo procedimiento localizar los puntosy E. El pentagono buscado es A li ~" "


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10 el

J i L R 1P ' i '

PR OB LE MA S G EO ME TR IC OS

iuntos A iig u al aI'iento deulares al 'nco A61 B5 eny radiorco 9 I ao D.

Marcar'adjo "a"

igono

ecta 12punto 4,'.r ta a laA6 conn cen tr oencia en.'lado delel pun-Juntos D

., i

T' ra za r la s t angen te s in te ri or es ados ci rcun fer encia sde r -adio s dados R y R'

Sumarnos R + R' == R", R" = QQ' (igual al radio deuna circunferencia auxiliar ) , QQ' = Q'Q", Con centroen Q" trazamos un arco de radio QQ" y con centro enQ trazamos un arco de radio QQ". Estos arcos se cor-tan en A y B, unicndo Q con 1l y A encontramos P; D,Eye, unimos e con P y D con P. Transportarnos para-lelas FQ y QE por P y obtencmos E' P. Finalmenteunimos E con E' y J I i con /P y habrernos trazado las Jan.'gentes interiores.


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T 'ra za r las tang en tes e xt er iores 0 dos circunlerenciasdadas, externas una de otra , de radios r y t"

Q 0= di I. r e " cia d. '0 dIa. I,- , '1CQ = t,

T r a z a t l a . .r tan p ent : int et i o r e s ados c i r c u r r j e r e n c i a sd adas ext er nas entr e sf

I.. . . . ' .., , - - - - - - - - - - - - - - ~ - - ~ - - -

)

Traz ar las tan gent es ext eriores adosdadas, externas una de otra, de radios

Sacamos la difereneia de r - r' := gO',tro en 0' trazamos un area de circunfer encia,la mediatr iz de 0' y eneontramos 0", Can0" y radio 0"0, t raza rnos una e ircunferenciatara a la circunfcrencia de radio gO' en loso y b. Unimos 0" can a y bylas prolongamos,trando los puntas c y d. En seguida unimos Oei yFinalrnente, 11evarn os paralelas par los puntas c t .00 y Db,

Tr azar las tanpent es int eri ores ados circunj eredadas externas entre si

Con centro en 0 se traza una area de ClrCll~:-"''''''Oa = r + r', Can centres en 0", mitad de 0,-0',zarucs una cirr-unfcre nr ia que corrar.i :; 1 :1 d e rad io 00los PUIltl)S b y l-~ que un idos con .:), s(~ corr.i r.i n enpuntos e y d. LieV:11110S para lelas a 0 de 0", yUniendo e can f y dean g, obtenemos las tangeninteriores.

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- - - - - - - - - - --.~ PR OB LE MA S G EO MET RIC OS

ncias

.Ierencia0', tra-J Oa enI en losy ad.

rngentes

' Fraza r una hi pe rbola .

Construir la parabola por el metodo enuoluente,

q IT r o nl ' l. .e r IO ~ q u e p e s o pot . 1 c e n tr o (lde 10hlp';'bolo.

Const ruir La ))arabola POT el me iodo enuoluen te ,Sean los a lineamientos RA y SA concurrentes en el vertice A, los que se desean unir mediante un arco para-b61ico cuyo trazo se obtendra Iacilmente con s610 dividiren el mismo numero de partes iguales y a partir delvertice, cad a uno de los alinearnientos propuestos.Como una obse rv a. ci6n cabe anotar que los numeros rela-tivos a cada divis.ion se colcquen segun se indica en laIigura ; esto es, de 0 a 10. Por ejemplo, en la recta ARy de 10 a 0 en Ja AS, con el unico fin de no tergiver-sar las rectas que resultan de unir el extreme de laultima divisi6n con el de Ja primera, el extreme de la pen-ultima con el de la segunda, y asi sucesivamente, POI 10tanto, uni r el pun to 10 con el 10, el 9 con el 9, etc., etc.,perrnitira una mayor faciIidad en el metodo grafico, ala vez que proporcionara el minirno de confusion en eltrazado de las rectas, cuyos puntos de encuentro mar-caran otros tantos de tangencia de la curva pedida. .Consecuenternente,. i ni ci emos el trazado de la curvatura,.por ejemplo, en R y dispongamos su continuidad de talmanera que sus inflexiones se produzcan precisamente enlos pun tos de in terseccion antes producidos, hasta terrni-nar en S 0 punt de contacto tangencial con el alinea-miento AS.

T'razar una hiphbola.Sean ab y cd los ejes transverse e imaginario. Se trazanparalelas a ab obteniendose e] y gh.Con centro en 0 y radio og, tr azamos una cir cunfe-rencia que cortara al eje ab en los focos '" Y 'P de lahiperbola.Trazarnos a la izquierda y a la derecha, a partir de '"Y 'P distancias iguales , obteniendose 1'; 2'; 2' ; 3'; 3'4' y4'S'. Haciendo centro en los Iocos, trazamos arcos decircunferencia por los puntos 1, 2, 3, 4 y 5 y I', 2', 3',4' Y 5'.Tracemos pequefios areas de circunferencia, los que serancortados por otros cuyo centro sera ahora el segundofoco 'P y que tend ran por radios los valores 'Pb = b4y 'Pb' = b5. Lucg o de trazar los arcos mencionados, lo-cali cernos sus pur- tos de encuentr o: b'l" b '2" 6'3" b'4'Y b " " estes dentro del area cornprendida, segun el an-gulo [05,. y otros : bl" b2" b3" b_ l, y' b5" en la parteinferior del eje transverso v . dentro del espacio limitadopor el ang uio hOS. La uni6n conveniente de los puntosproducidos, permiriran la construccicn de la porci6n dere-eha de la curva.


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PRO BL EM AS G EO MET RIC OS

Construir la parabola por el metodo de!par alelogr amo

Las cO' llcas

__ J_...----.'

oe CUIIUU"':II la ~~~""IhJ JLt Y . . . . ' . " . . . , ~ . . }C y D son puntos que pertcnccen a la curva quebusca. Proccdimiento. Por el cxtremo superior A deIlccha parabolica, tracemos la para lela e'te' al vanode la misma, y por los limitcs de este, l as r ec ta sy De' par al ala a la recta AD que define la f1echa, conque se habra configurado eI para lclog rarno Ce't e'D,Siendo la recta Ilecha AB al eje de simetria de labola, cor.struyamos la rarna derccha con un procedimital, que su simctria sirva para la construcci6n derama izquierda.Asi, scgun merodos gd.ficos ya conocidos, dividirnossemi-vane BD en tantas partes ig uales (por ejemplocomo en partes iguales se h ubiese dividido el ladoparalelo e igual a la flecha AB.Observcrnos que los puntos e, d ... a marcan las quipart es del sernivano BD 'y que los e', d', ... a' lasigual denominaci6n de la recta De', que como ya seanteriormente, es paralela e igual a la flecha AB.bien, si dcsde a levantamos una perpendicular a EDpor a trazamos la recta a'A, concurrenre en A;seccion . {Y_ entre tales Iineas, define W: punta dep arab61 ic a bu sc ad a, Eo seguida repitase laigual, desde los puntos b y b! para obtencr {3, ys iv amentc, ha sr a c nc ont ra r y y 8, que conveni enunidos, produciran la rarna derecha de la parabola.En forma semejante debe obtenerse la rama izqd es ce nd en te de sd e A. Ambas rarnas integran la curvap arabol ic a pe dida .Cuando un plano "S" corta a una superficie c6nicarevoluci 6n, no pasando por su vert icc V, perrnite elnocimiento de una serie de curvas Ilamadas conicas,ell a s como sccci ones reet as '0 planas, segun que elde corte sea a no perpendicular al eje de la suque se considcr a.Tales curvas son: la circunferencia, la elipse, la py la hiperbola.Asi, si cl plano corta al conjuntode generatriccs, lava de i nt er secci6n result ante, estara necesariamentenida en una sola hoja de la superIicie c6nica yponder a a una curva cerrada que sera la circunferenel plano "S" es perpendicular al cj e 0-V y la esi es oblicuo a el. Ahara bien, si el plano separalelo a una gcneratriz y corta a una scrie dela curva resulrante par efecto de Iiitarn bien contenida en una sola hojarevoluci6n, pose era lin punto impropio y secomo parabola, y 5i el plano "S" cs paralclo al cje,curva estara integrada por dos rar ... ' : ' ! I ' " las sobr'euna de las dos hojas de Ja super posepur consig uiente, des puntas endos e el como hipe rb ol a.

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P RO BL EM AS G EO ME TR IC OS

6nica de,e el co- 'as, todasel planosuperf icieparabola'

;, la cur-.te conte-'y cor res-.rencia, sila elipse ,ecante esde el ias,

in, estar aerf icie deconoccr a

al eje, laobre cad a]oseyendo,conocicn-

Trazar una sangente a una circuni erencia quepase POT un p unto A exterior a ella,

T'razar una t angent e a una circunjerencia enun punto dado a ella.

c

. t

T'razar una tangent a una circunjerencia enun punto dado a ella.

Unimos 0 can A (punto dado), can centro en 0' (pun-to arbitrario ) trazamos un area de ,circulo' haciendolo, .c-pasar por; A. Unase ' B con 0' y prolonguese hastaeort_ar:"'~al arco BA en C. Finalmcnte se une A con C que sera': :la tangente pedida. " , ,

I'

Trazar una tangente a una circuni erencia quepose por un punto A exterior a ella.Unasc A y 0 C)I1 centro en el punto medic de AO . Des-c ribase un areo que cortara a la circunfcrencia dada e nel punto E, que unido con A se ra l a t angente pedida.


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.ENLACESIl

Enlazar dos areas de circunferencia proximosentre si, mediante otro de radio dado "r".r2- - . ; ; ; . . - - _

r

Con un radio dado r diblljar el enlace entreuna circuuj erencia y una recta dadas,

o

- - - - - - - - - - - -_ _ --- - - - - - - - - - - - - - - - - - -8

Enlazar dar areas de eircunferencia proximosentre si, mediante otro de radio dado "r";

Con centro en 0 y con radio (rl + r) trazarnos un areode eircunferencia. Con centro en 0' y radio (r. + r)trazamos un areo de circunferencia que cortara at an-tenor en el punto 0". Can centro 0" y radio r (dado)trazarnos finalmente el arco que enlazara a los dos arcosentre 51 .

Con un radio dado r dibujar el enlace entreuna c ir cun je r enci a y una Tecta dadas,

Can radio dado r dibujamos una paralela a la recta AB.En seguida can (r' + r) . trazamos un area que cortara ,a Ia paralela en el punta O. Finalmente can centro en 0y radio r (dado) trazarnos un arco que sed. el pedido,

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-ENLACES

areos

. AB.irtaraen 0.dido,

~i ;; ":. :;" ~: :: ,. j[ : : ' : , U :~ :: ;: : : : ~ .:" ::. , , " , : ,.

A

Unir dos pnralelas mediante un area decircurderencia. c

, : : i ' ! ; ' ; :: ,:: .:

Enlazar dos alineqmientas mediante un arcode radio dado r.

~ a'

B

o

J1 .

Enlazar dos alineamienios mediante un areade radio dado T,

. ~:

Elijanse arbitrariamenre y sobre los alineamientos dad os,los puntos a y 0 y mediante un procedimiento graficocualquiera tracense las perpendiculares aa' a AB y bb'a CD. A continuacicn transp6rtense a partir de a y b perosiempre del campo cornprendido entre los alineamientos,las magnitudes aat y bb J igualcs a r par cuyos extremesa y b se trazaran paralclas a las rectas propuestas hastaencontrar su pun to de concurrencia 0,Si desde 0 llevamos las rectas 00]//aa1 y OO//bbj,habrernos construido perpendiculares a AB y CD, cuyospuntos Iimites 01 y O2 a la vez que rnarca el punto detangencia entre la circunferencia de radio r, sefialaranlos enlaces entre tal arco y los al ineamientos conocidos,

Unir dos paralelas mediante un arco decircunjerencia,

Por un punto cualquiera a de una de las rectas -porejem. la AB- tracese una perpendicular de rnanera quecorte a la segunda en a'. Estes puntos a 'y a' delirnitanel diametro de la circunferencia de enlace, por 10 ' tanto,si obtenemos el punto medio 0 de aquel, habrernos de-terrninado el centf(~ del areo, cuyos puntos de contactoa tangcncia con los alineamientos propuestos,lo serana y a',Consecuenternente, apoyemos el com pas en 0 y con unradio Oa desc ribase la scmici teunler encia .que enlazandclas r ectas, rcsuelvc cl problema,

;:..: ':::~;.


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-ENLACES

o 0Centro requerido

Taazar . un arco circular. . de radio: Ri tangente ados areas circulates dados. .

Ejercicio de apl ica cion.

"" -.' ;

---~-__;;;",-_.___.;.;_-----~- ..- - - - - -

Trazar un area circular .de radio RJ t ang ent e adar arcos circulates dados.Dados los arcos circular es AB y CD con centros 0 y P,y los rad ios R2 y R:; respectivamente, y R, el radio delareo requerido. Utilizando 0 como cent ro y R3 + R }como radio, trazar un arco -de interscccion paralelo a CD .Puesro que cada uno de estes arcos de interseccion, sonel lugar geometrico para todos los arcos circulares conradio R2 , tangentes al arco dado, al cual sean paralelos.Su punto de interseccicn S sera el centro para el areorequerido que sea tangente a ambos. Marcar los puntosde tangenc ia Tl y T2 que se encuentran sobre las li-neas de los cen tres PS y OS.Utilieando 0 como centro y R2 + R1 c omo rad io ;un arco paralelo a AB . Utilizando P como cent romas R,. como radio, trazar un arco dn interscccion para-lelo a CD . EI punto de intersection de estes arccs esel centro del areo requerido.

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ENLACES

a

o y P,dio del13 + Rla CD.

on, sonres canaralelos,el arcopuntaslas 11-

' ; t razar'0 y R3rn para-areas es

R

c

T'raza do de un arco circular de radio R1, tangentsa UII areo circular y a una linea recta dada.

Trazado de un arco circular de radio Rl' tangenta un arco circular y a una linea recta dada.

Sea Ri el radio del area requerido. Trazar la linea CDparalela a AB y a una distancia Rt Usando el centrao del area dado y un radio igual a su radio mas -0menos el radio del a rea requerido (R z mas 0 rnenos R 1),traz ar un areo paralelo que intersecte a CD. Pue sto quehi. linea CD y e'l areo intersector seran cl lugar gcorne-trieo de los cent ros de las circunfcrencias can radio R1,tangentes respectivarnente a la linea dada DB y al areodado, su punto de interseccion .P sera el centro delarea rcquer iclo. Marcar los puntas de tangencia T1 y T 2T, qucda a 10 largo de una per pendi cul ar a A n desdeeI centra P! y ' 1 ' 2 a 10 largo de una l inea que une loscentros de los arccs.Esta construccion es util tarnbicn para cl trazado dea ng u lo s int cr ior e s r ed ondea do s y ca ntos t arnb ien rcdon-deadas sobre vistas de partes de rnaquinas,


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-ENLACES

A

o


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A PL IC AC IO N D E P RO BL EM ASG EO M ET RIC OS Y E NL AC ES

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