Didac 56-57

DIDACNUEVA ÉPOCA / NÚMEROs 56-57 / JULIO-DICIEMBRE 2010 Y ENERO-JULIO 2011 / UNIVERsIDAD IBEROAMERICANA

Enseñanza y aprendizaje de las matemáticassumario

TeresitaGómezFernández 2 Una palabra de la editora

Artículos

MarioSánchez 4 ¿Qué pueden obtener los profesores de matemáticas al estudiar matemática educativa?

LucíaZapata-Cardona 9 Algunas reflexiones acerca del conocimiento pedagógico disciplinar del profesor de estadística

GilbertoGonzálezGirón 15 Psicología del razonamiento en el aprendizaje de los números

MarisolSilvaLaya 21 ¿Por qué fallan los alumnos al resolver AdrianaRodríguezFernández problemas matemáticos?

EduardoMarioLacuésApud 29 Enseñanza y aprendizaje de los sistemas matemáticos de símbolos

RomàPujolPujol,LluísBibiloniMatos 36 Polisemia del signo « – » en la introducción JordiDeulofeuPiquet del número entero

RosadelCarmenFloresMacías 43 Una propuesta de enseñanza para favorecer RaúlCastellanosCruz la transición de la aritmética al álgebra en alumnos de secundaria

AdrianaNietoDíaz 50 Una estrategia didáctica para el aprendizaje de la estadística

MaríaMagdalenaPagano,AlejandraPollio, 56 Un camino hacia la conceptualización desde MaríaBereniceVerdier,JavierVillarmarzo la propuesta de un variado repertorio de tareas

PatriciaSalinas,JuanAntonioAlanís, 62 Cálculo de una variable. Reconstrucción RicardoPulido para el aprendizaje y la enseñanza

JoséLuisRamírezAlcántara 71 Colaborar para aprender y enseñar matemáticas ManuelJuárezPacheco en línea

EduardoMirandaMontoya 76 Epistemología de la transformada de Laplace y sus implicaciones en la didáctica de las matemáticas

Noticias bibliográficas

MariCarmenGonzálezVidegaray 82 Reseña: ManualdeInvestigaciónparalasciencias sociales:unenfoquedeenseñanzabasadoenproyectos

¿Qué se está haciendo en la uia?

EdmundoPalaciosPastrana,AlfredoSandovalVillalbazo 85 Línea de investigación: Didáctica de las matemáticas

2 • Unapalabradelaeditora Teresita Gómez Fernández. Didac 56-57 (2011): 2-3

Una palabra de la editora

Enseñanza y aprendizaje de las matemáticas

en el presente número doble de didac fue testigo de este fenómeno: además de las aportaciones de académicos con amplia trayectoria en el estudio de la didáctica de las matemáticas, se recibieron numerosos artículos de profesores que compartían una forma de dar clase, una secuencia didáctica, un tip, una preocupación, una queja, un sentimiento… aportaciones, sin duda, valiosas, pero que reflejaban una casi total ausencia tanto de referentes de lo que la bibliografía ya había reportado sobre el punto como de una reflexión sistematizada sobre su propia práctica; en algunos casos reflejaban dogmatismos sobre una determinada forma de proceder, y, dicho sea de paso, en ocasiones cuestionable desde las más legítimas aportaciones de la pedagogía. No obstante, y reconociendo el valor que tiene poner en letras algo tan personal como la propia experiencia y someterlo a juicio de los editores, se orientó a la mayoría de los autores para que su texto adquiriera mayor calidad editorial. En algunos casos los autores se fueron quedando en el camino; en otros los efectos fueron favorables y los artículos resultantes se incluyen en este número. Los doce artículos que publicamos en este nú-mero doble pueden agruparse en diferentes tipos. Los primeros abordan la cuestión desde el punto de vista de uno de los sujetos del proceso: el profesor. Mario sánchez analiza las opiniones y experiencias de un grupo de profesores que han cursado estudios en matemática educativa. Elegimos iniciar con

Hace más de cien años se creó la International Commission on Mathematical Instruction (icmi), organismo que agrupa a 85 países con el propósito de promover la reflexión, la colaboración, el inter-cambio y la difusión de ideas sobre la enseñanza y el aprendizaje de las matemáticas en los distintos niveles educativos. A pesar de que la actividad del icmi y otras organizaciones similares ha sido intensa, las dificultades en el aprendizaje de las matemáticas prevalecen y han sido ampliamente documentadas. En todos los campos de la enseñanza es sabido que no basta con conocer la materia: hay que saber enseñarla, pero quizá tratándose de las matemáticas este precepto es más determinante; prueba de ello es el gran número de programas de grado y posgrado sobre didáctica de las matemáticas existentes en todo el mundo, en comparación con los dedicados a otras didácticas específicas. sin embargo, el divorcio entre la amplia investi-gación y la práctica de la enseñanza en matemáticas, como sucede en muchos otros campos, es patente. Los resultados de estas investigaciones difícilmente llegan a los docentes; éstos se forman, generalmen-te, en la práctica —a pesar de la extensa oferta de programas— y pocas veces buscan enriquecerla con material proveniente de aquéllas. Las causas son complejas y de muy diversa naturaleza, y no nos ocuparemos aquí de ellas. sólo daremos cuen-ta de que la convocatoria para publicar artículos

Unapalabradelaeditora • 3 Teresita Gómez Fernández. Didac 56-57 (2011): 2-3

este artículo con la intención de motivar al lector-profesor a reflexionar sobre su propio proceder en relación con su preparación como docente. Lucía Zapata-Cardona, en un abordaje similar, explora el conocimiento pedagógico disciplinar pertinente para los profesores de estadística. En un segundo grupo se encuentran tres textos relacionados más directamente con el estudiante, con sus aproximaciones cognitivas y con los procesos del pensamiento involucrados en su aprendizaje de las matemáticas. Gilberto González Girón trata las tendencias existentes acerca de las ideas sobre el pensamiento y sostiene que si el profesor conoce los factores que intervienen en este proceso logrará mejores resultados de aprendizaje. Marisol silva y Adriana Rodríguez se cuestionan sobre las razones por las cuales los alumnos de primaria fallan al resolver problemas matemáticos y nos ofrecen los resultados de una investigación a partir de la cual desarrollan una tipología de las principales limi-taciones encontradas. Eduardo Lacués explica las dificultades asociadas a la apropiación de habilidades para el uso competente de los sistemas matemáticos de símbolos, al tiempo que proporciona recomen-daciones para su enseñanza. En el siguiente grupo, el más amplio, se presen-tan distintas propuestas de enseñanza. Romà Pujol, Lluís Bibiloni y Jordi Deulofeu realizan una tipolo-gía de la enseñanza de la introducción al conjunto de los enteros y sugieren una metodología híbrida, con una introducción empírica y actividades basadas en el método deductivo. Rosa del Carmen Flores y Raúl Castellanos formulan una propuesta para la transición de la aritmética al álgebra, basada en la estrategia de solución de problemas, orientada a fomentar la autonomía del estudiante. La misma estrategia (resolución de problemas) es propuesta por Adriana Nieto para el aprendizaje de la estadís-tica, con el objetivo de desarrollar en el estudiante la habilidad de pensar en forma crítica. Magdalena

Pagano, Alejandra Pollio, Berenice Verdier y Javier Villarmarzo proponen un repertorio de tareas variado, no rutinario, para conseguir la concep-tualización de distintos objetos matemáticos por parte del estudiante. Patricia salinas, Juan Antonio Alanís y Ricardo Pulido proponen una forma de enseñar cálculo a nivel universitario considerando las distintas fuentes del curriculum, basada también en la solución de problemas. En el campo de los ambientes virtuales, José Luis Ramírez y Manuel Juárez proponen técnicas colaborativas para lograr aprendizajes significativos. se incluye, asimismo, un artículo de una na-turaleza distinta a la de los anteriores, relacionado de manera directa con el objeto de conocimiento propiamente: la génesis de los conceptos matemá-ticos. Eduardo Miranda explica la epistemología de la transformada de Laplace y sus implicaciones en la didáctica. Decidimos incluir, a manera de reseña, la pre-sentación que realizó MariCarmen González sobre el Manualdeinvestigaciónparalascienciassociales:Unenfoquedeenseñanzabasadoenproyectos, de Be-nilde García, debido a que en ese texto se recurre a las matemáticas, de modo que puede ser un recurso valioso para el profesorado de esta disciplina. Para cerrar, Edmundo Palacios y Alfredo sando-val nos describen lo que se está haciendo en la uia con respecto a la enseñanza y el aprendizaje de las matemáticas. Una vez más, contamos con las ilustraciones de Lucía Cristerna, estudiante de diseño gráfico de la Universidad Iberoamericana. Finalmente, queremos agradecer a los especia-listas que colaboraron con nosotros en el proceso editorial para validar los contenidos propiamente matemáticos.

TeresitaGómezFernándezEnero 2011

4 • ¿Quépuedenobtenerlosprofesoresdematemáticasalestudiarmatemáticaeducativa? Mario sánchez. Didac 56-57 (2011): 4-8

¿Qué pueden obtener los profesores de matemáticas al estudiar matemática educativa?

Mario Sánchez*Estudiante de doctorado, Roskilde University, Dinamarca**

Profesor, Instituto Politécnico Nacional, México

❂

ResumenEste artículo muestra las opiniones y experiencias de un grupo de seis profesores mexicanos de matemáticas que han cursado estudios de maestría en matemática educativa. Los profesores narran qué los motivó a cursar dichos estudios, mencionan los aspectos positivos y negativos de esa experiencia y comentan si dichos estudios han influido en su práctica docente. La mayoría de los profesores fueron motivados a iniciar estos estudios debido a la necesidad profesional de mejorar su labor como profesores de matemáticas. Algunos profesores aseguran que la matemática educativa no los ha proveído de soluciones directas a los problemas relacionados con su práctica, pero todos coinciden en que estos estudios han cambiado la manera en que perciben su práctica docente. Palabrasclave: desarrollo de profesores de matemáticas, relación entre teoría y práctica, matemática educativa.

AbstractThispapershowstheviewsandexperiencesofagroupofsixMexicanmathematicsteacherswhohavecompletedgraduatestudiesinmathematicseducation.Teachersexplainwhatmotivatedthemtopursuethatsortofeducation,theymentionthepositiveandnegativeaspectsoftheexperience,anddiscusswhetherthosestudieshaveinfluencedtheirteachingpractice.Mostteachersweremotivatedtostartthesestudiesduetotheprofessionalneedtoimprovetheirmathematicsteachingpractice.Someteacherssaythatmathematicseducationhasnotprovidedthemwithdirectsolutionstotheproblemsrelatedtotheirteachingpractice,buteveryoneagreesthatthesestudieshavechangedthewaytheyperceivetheirteachingpractice. Key words: mathematicsteachers’development,therelationshipbetweentheoryandpractice,mathematicseducation.

* Correo electrónico del autor: [email protected]** Con el apoyo del Programa Alßan, Programa de Becas de Alto Nivel de la Unión Europea para América Latina. Beca No. E06D101377MX.

IntroducciónQuiero comenzar este texto con una anécdota. Un amigo mío, investigador en matemática educativa 1,había recibido una invitación para viajar al extran-

jero y dar algunas asesorías académicas en un par de universidades. Mientras se encontraba desarrollando esas actividades, tuve contacto con él por medio de internet y platicamos de su experiencia. Me contó que había conversado con otros colegas investigado-res en matemática educativa y que también se había entrevistado con algunos profesores de matemáti-cas. Al referirse a estos últimos, mi amigo me dijo:

¿Quépuedenobtenerlosprofesoresdematemáticasalestudiarmatemáticaeducativa? • 5 Mario sánchez. Didac 56-57 (2011): 4-8

2) y propuestas prácticas (como los proyectos de investigación educativa) en las que existe una muy estrecha colaboración entre profesores de matemá-ticas e investigadores. Este tipo de investigación colaborativa es también conocida como actionresearch (véase, por ejemplo, Krainer, 2006). sin embargo, creo que iniciativas como las anteriormente mencionadas, en particular las dis-cusiones académicas en congresos y la publicación de investigaciones especializadas en el tema, tien-den a reflejar solamente el punto de vista de los investigadores. Es como mirar el problema de la relación teoría-práctica sólo con la óptica de la in-vestigación. Con este artículo intento abrir un espacio a la opinión de los profesores y las profesoras de mate-máticas sobre el tema, considerando su experiencia al realizar estudios de maestría en el área de mate-mática educativa. Las opiniones de los profesores, de diferentes estados de la República Mexicana, se recolectaron con la aplicación de un cuestionario: ¿Qué es lo que obtuvieron al acercarse al mundo de la teoría educativa? ¿Recomendarían hacer lo mismo a otros? Considero que estas experiencias y opinio-nes sobre su acercamiento a la matemática educativa serán relevantes tanto para los profesores intersados en conocer más sobre esta disciplina como para los investigadores interesados en el tema de la relación teoría-práctica en el desarrollo y la formación de profesores de matemáticas.

MétodoparadesarrollarelescritoPara realizar este escrito fue necesario contactar, primero, a un grupo de profesores de matemáticas que estuvieran dispuestos a compartir sus opiniones sobre su experiencia como estudiantes de posgrado en matemática educativa, y diseñar, después, un cuestionario para vislumbrar la influencia (si es que hubo alguna) de estos estudios en su práctica y visión profesional.

“Hablar con los profesores es cosa especial, porque a veces no entienden cosas”. sé que la frase anterior puede parecer despec-tiva hacia los profesores de matemáticas, pero éste no es el caso. Creo que ésa es una frase que refleja un fenómeno añejo que surge de la relación entre profesores de matemáticas e investigadores en ma-temática educativa. Mientras, por un lado, algunos investigadores sienten que sus teorías, métodos y resultados no son del todo comprendidos o aprecia-dos por los docentes de matemáticas, algunos pro-fesores afirman, por el otro, que los investigadores sólo disfrazan con discursos rimbombantes la falta de soluciones directas y aplicables a los problemas cotidianos asociados a su práctica docente y al aprendizaje de los estudiantes. La distancia entre estas dos esferas de la educa-ción matemática (la teoría de los investigadores y la práctica de los profesores), pero sobre todo la bús-queda de una manera de reducirla, ha sido un foco de atención constante para la comunidad internacio-nal de investigadores especializados en la formación de profesores de matemáticas. Este interés puede verse desde hace al menos una década en la literatura especializada, cuando Barbara Jaworski afirmó que una de las causas de la relación problemática entre la teoría y la práctica es que las teorías educativas no toman en cuenta las condiciones y restricciones de los estudiantes y los salones de clase, las cuales afectan a los profesores y la enseñanza (2001: 184). Durante los siguientes diez años la relación entre teoría y práctica ha sido atendida específicamente mediante grupos de discusión en reuniones aca-démicas internacionales (como el grupo temático Inter-Relating Theory and Practice in Mathematics Teacher Education, organizado durante el congreso cerme 3. Véase Jaworski, serrazina, Koop y Krainer, 2004), publicaciones enfocadas al tema (como el número especial de la revista JournalofMathematicsTeacherEducation, año 2007, volumen 9, número


Todos los profesores con los que tuve contac-to son egresados de un programa de maestría en matemática educativa, albergado por el Instituto Politécnico Nacional de México, dirigido a pro-fesores de matemáticas en servicio 2. Éste es un programa educativo no presencial basado en el uso de internet, lo cual ha favorecido que profesores de diferentes regiones de México y Latinoamérica se enrolen en estos estudios (véase Mariscal, Rosas y sánchez, 2008). Así, decidí seleccionar a un grupo de profesores y profesoras egresados de este programa pero residentes en diferentes lugares de México. Mi intención era integrar un grupo con diversidad cultural y de género que enriqueciera con diferentes opiniones el estudio. Los profesores que participaron en este proyecto fueron conovocados mediante correo electrónico. Es un grupo integrado por cuatro mujeres y dos hombres de los estados de México, Tamaulipas, Yucatán y el Distrito Federal. sus edades fluctúan entre los 31 y los 44 años. su experiencia como profesores de matemáticas va de los seis a los 20 años de práctica. Cinco de ellos imparten clases actualmente en el nivel bachillerato y una a nivel universitario. El cuestionario utilizado en este trabajo consta de dos partes. La primera se enfoca a conocer los ante-cedentes del profesor (edad, años de experiencia, lu-gar de trabajo, nivel educativo en que se desempeña), mientras que la segunda trata de rescatar algunas de las opiniones y experiencias al cursar sus estudios de posgrado en matemática educativa. En particular se les preguntó a los profesores cuáles fueron las razones que los llevaron a iniciar sus estudios de posgrado, cuáles fueron los aspectos positivos y negativos de su experiencia durante dichos estu-dios, cómo han influido en su práctica docente y si recomendarían a otros profesores de matemáticas involucrarse en este tipo de estudios. Desde el primer momento se explicó a los profesores que sus opiniones serían incluidas en un artículo de divulgación, pero manteniendo su identidad en el anonimato. También se les explicó que no se esperaba que ellos se expresaran de ma-nera positiva o negativa acerca de la matemática

educativa, sino que proporcionaran simplemente respuestas y opiniones sinceras a partir de su propia experiencia. En la siguiente sección de este escrito se condensan las respuestas de los profesores.

LaopinióndelosprofesoresEn esta sección del texto presentaré algunas de las respuestas de los profesores. Además, trataré de iden-tificar tendencias o direcciones comunes en éstas. En particular, me enfoco en las que proporcionaron a las siguientes preguntas: 1. ¿Por qué decidiste estudiar matemática educativa?, 2. si existe, ¿cuál fue el aspecto o característica que más te gustó y que menos te gustó de la matemática educativa?, 3. ¿Los estudios que has realizado en matemáti-ca educativa han influenciado tu práctica como profesor(a) de matemáticas?, y 4. ¿Recomendarías a otro profesor(a) estudiar matemática educativa?

1.¿Porquédecidisteestudiarmatemáticaeducativa?La mayoría de los profesores entrevistados expresó que fue una necesidad profesional, ligada al interés de mejorar su trabajo como docentes, la que los motivó a estudiar matemática educativa. Esta ne-cesidad es expresada a través de frases como: “Me gusta mucho mi trabajo y quise prepararme más. La actualización es necesaria e indispensable, sobre todo en la docencia”, o “[fue] la sensación de necesitar otras herramientas para enseñar más eficientemente matemáticas”. sólo una profesora expresó que fue guiada por una necesidad, digamos, institucional: “[fue una] necesidad, ya que en mi localidad no se contaba con suficientes profesionistas en el área y nivel académico que se incorporaran a la planta docente en el nivel superior”.

2.¿Cuálfueelaspectoocaracterísticaquemástegustóy que menos te gustó de la matemática educativa?Cuando se refieren a los aspectos positivos, algunos profesores mencionan que el acceso a las teorías didácticas les permitió construir explicaciones sobre los fenómenos que tienen lugar en su salón de clases. Por ejemplo: “En la práctica cotidiana, tenemos la costumbre de culpar al docente del bajo rendimien-

¿Quépuedenobtenerlosprofesoresdematemáticasalestudiarmatemáticaeducativa? • 7 Mario sánchez. Didac 56-57 (2011): 4-8

to de los alumnos, o culpar a los alumnos de sus bajas calificaciones. En este aspecto, la matemática educativa me ayudó a entender que no podemos trivializar estos problemas. A través de ella abrí los ojos a una realidad que no conocía. La lectura de diferentes teorías, de diferentes problemáticas, que incluso pueden darse en el propio conocimiento, me ayudaron a entender que no debemos aventu-rarnos a dar explicaciones o justificaciones simples, apresuradas y sin argumentos”. Entre los aspectos negativos, los profesores hacen referencia a la falta de aplicaciones o soluciones más directas para su propia práctica docente. Una profesora afirmó: “Lo que menos me gustó tal vez sería el darme cuenta que a veces nuestras aportaciones no necesariamente son prácticas u oportunas. La realidad escolar es muy compleja. Nos enfrentamos a diferentes escuelas, a diferentes alumnos, a diferentes docentes, a diferen-tes contextos y realidades”. Otra de las profesoras comentó: “Que casi no nos enseñaron más que lo básico del uso de las nuevas tecnologías (classpad, calculadoras graficadoras, sensores, etcétera)”.

3.¿Losestudiosquehasrealizadoenmatemáticaedu-cativahaninfluenciadotuprácticacomoprofesor(a)dematemáticas? De manera por demás interesante, todos los profesores entrevistados aseguraron que sus estudios tuvieron una influencia positiva en su práctica docente. Algunos afirman que la visión de su propia práctica ha cambiado: “Ahora veo dife-rente las cosas. Mi práctica docente ya no puede ser igual. Me he vuelto más observadora, más sensible, más analítica. Y me parece más complejo lo que hago. No me atrevo a dar una explicación sin antes entender muy bien qué sucede o leer al respecto y no necesariamente encuentro respuestas inmediatas. Mi práctica requiere ahora de mayor reflexión”, mien-tras que otros han encontrado motivación y nuevos elementos para intentar cosas nuevas en su salón de clases: “Me han llevado, por el momento, a diseñar pequeñas secuencias didácticas, tratando de que por medio de ellas se construyan algunas nociones, empleando herramientas tecnológicas”. Un profesor comenta al respecto: “He implementado estrategias

diferentes, como, por ejemplo, el trabajo en equipos con la intencionalidad de que los alumnos discutan, analicen, argumenten, hagan planteamientos de hipótesis, con el fin de que puedan construir su propio conocimiento”.

4.¿Recomendaríasaotroprofesor(a)estudiarmate-máticaeducativa?Ésta es otra de las preguntas del cuestionario donde las respuestas son convergen-tes. Todos coinciden en que recomendarían a un colega estudiar matemática educativa. El principal argumento que proporcionan para sustentar su reco-mendación es que este tipo de estudios modificarán de manera positiva la forma en que perciben su práctica docente. Aquí presento tres ejemplos: “sí [lo recomendaría]. Porque pienso que, como a mí, podría llevarlo a analizar situaciones que vivimos a diario en el aula y en la escuela, y que esto de algún modo afectaría su quehacer como docente, con suerte con beneficio para sus estudiantes”. Un segundo profesor emitió una respuesta similar: “Como lo mencioné, da una perspectiva más am-plia del quehacer matemático escolar, es decir, se da sentido y comprensión a lo que pasa en el aula mientras se intenta aprender-enseñar la matemática; no es un mero proceso pedagógico, sino un marco amplio para revisar la praxis educativa en matemá-ticas con todos los elementos desde el estudiante, profesor, saber”. Otro profesor aseguró: “Claro que sí recomendaría a otro profesor estudiar matemática educativa, ya que esto le va a permitir cambiar su forma de ver la enseñanza-aprendizaje de las mate-máticas. En el medio donde trabajo la mayoría de los profesores piensa que con el hecho de saber bien matemáticas es suficiente”.

ComentariosfinalesA través de este escrito he intentado dar voz a los docentes de matemáticas que se han acercado al universo teórico de la matemática educativa con la finalidad de que nos compartan su experiencia al respecto. Me parece que sus opiniones iluminan algunos aspectos de la problemática relación teo-ría-práctica que tanto interés ha despertado en la


comunidad de investigadores especializados en la formación de profesores de matemáticas. Mi interpretación de los comentarios proveídos por los profesores es que muchos de ellos se acercan a la matemática educativa en busca de soluciones, técnicas o incluso recetas que les permitan resolver los problemas y retos que día a día enfrentan en sus salones de clases. sin embargo, la matemática educativa no ha logrado proporcionarles las solu-ciones directas que ellos buscan. Es aquí donde encuentro relevante preguntar: ¿Qué es, entonces, lo que ellos obtienen mediante el estudio de dicha disciplina, que los lleva incluso a recomendar este tipo de estudios a otros profesores de matemáticas? Creo que, a través del contacto con la matemática educativa, los profesores se hacen más sensibles y conscientes del complejo escenario en el que se de-sarrolla su trabajo, y de la importancia de su rol en el proceso de estudio de las matemáticas. Comienzan a hacer visibles y a cuestionar diversos aspectos de su cultura docente que antes pasaban inadvertidos, como la influencia de sus propias ideas y creencias en su práctica, el efecto de sus decisiones y acciones dentro del salón de clases, las posibles interpretacio-nes de las respuestas y los comportamientos de sus estudiantes, o la naturaleza misma del conocimiento que pretenden transmitir. Así lo expresa uno de los profesores entrevistados:

Me he dado cuenta que mi forma personal de ver las matemáticas y su enseñanza influyen en mi práctica docente; me he dado cuenta que el qué se enseña es muy importante; esto tiene que ver con la naturaleza del conocimiento y con el considerar formas diferen-tes a las tradicionales de abordarlo. [La matemática educativa es] una disciplina científica que sirve para ver el porqué los estudiantes contestan de tal o cual manera, no sólo la búsqueda

de errores sino de la comprensión científica de lo que sucede mientras el estudiante hace matemáticas.

Probablemente otros profesores de matemáticas, al escuchar estas opiniones, tengan la curiosidad sufi-ciente para acercarse al mundo de la investigación en matemática educativa. Estoy seguro de que vale la pena. Por otro lado, espero que los investigadores encuentren la sensibilidad y humildad necesarias para colaborarcony aprenderde los profesores de matemáticas. Estoy convencido de que ambas es-feras, la de los profesores y la de los investigadores, tienen mucho que ofrecer una a la otra.

Notas1 También llamada didáctica de las matemáticas o educación matemática.2 se puede encontrar más información sobre este programa de posgrado en: <www.matedu.cicata.ipn.mx>.

ReferenciasJaworski, Barbara. “The plurality of knowledge growth in

mathematics teaching”. MathematicsTeacher Education.CriticalInternationalPerspectives. Coords. Barbara Jawor-ski, Terry Wood y sandy Dawson. Londres: Falmer Press, 1999: 180-206.

Jaworski, Barbara, Lurdes serrazina, Andrea Peter Koop y Konrad Krainer. “Inter-relating theory and practice in mathematics teacher education”. ProceedingsoftheThirdConferenceoftheEuropeanSocietyforResearchinMathe-maticsEducation. Coord. Maria Alessandra Mariotti. Italia: erme, 2004: 1-11 (consulta: 2 de noviembre de 2009) <http://ermeweb.free.fr/CERME3/Groups/TG11/TG11_introduction_cerme3.pdf>.

Krainer, Konrad. “Editorial: Action research and mathematics teacher education”. Journal ofMathematicsTeacherEdu-cation 9. 3 (2006): 213-219 (consulta: 2 de noviembre de 2009) <http://dx.doi.org/10.1007/s10857-006-9009-5>.

Mariscal, Elizabeth, Alejandro Miguel Rosas y Mario sánchez. “Programa de matemática educativa en línea del cicata-ipn”. Acta Latinoamericana de Matemática Educativa,volumen21. Coord. Patricia Lestón. México: clame, 2008: 517-526 (consulta: 1 de diciembre de 2009) <http://bit.ly/4OtTpQ>.

Algunasreflexionesacercadelconocimientopedagógicodisciplinardelprofesordeestadística • 9 Lucía Zapata-Cardona. Didac 56-57 (2011): 9-14

Algunas reflexiones acerca del conocimiento pedagógico disciplinar

del profesor de estadísticaLucíaZapata-Cardona*

ProfesoraUniversidad de Antioquia, Colombia

❂

ResumenEl texto hace una revisión en torno a la pregunta: ¿cuál es el conocimiento pedagógico disciplinar que deben tener los profesores de estadística? Y se analiza desde diferentes posturas epistemo-lógicas. se inicia desde las generales, como el conocimiento del profesor y el conocimiento matemático para la enseñanza, hasta llegar a las particulares, como el conocimiento estadístico para la enseñanza. sin lugar a dudas tener claridad sobre el conocimiento pedagógico disciplinar de los profesores de estadística podría iluminar los programas de formación de profesores. Palabrasclave: educación estadística, formación de profesores, conocimiento pedagógico disciplinar.

AbstractThispaperpresentsareviewaroundthequestion:whatisthepedagogicalcontentknowledgerequiredforstatisticsteachers?Thereviewisdonefromdifferentepistemologicalperspectives.Initially,thereviewisdonefromgeneralperspectivessuchasteacher’sknowledgeandmathematicalknowledgeforteachinguptoparticularperspectivesuchasstatisticalknowledgeforteaching.Withoutdoubtbeclearaboutthepedagogicalcontentknowledgeforstatisticsteachersmayilluminateprofessionaldevelopmentforteachers. Key words: statisticseducation,teachereducation,pedagogicalcontentknowledge.

* Correo electrónico de la autora: [email protected]

IntroducciónLa estadística es un área de reciente aparición en muchos de los currículos del mundo. sin embargo, una gran cantidad de los profesores responsables de enseñar estadística tiene poca experiencia en las temáticas requeridas. Algunos de ellos ni siquiera la han usado en su propio ejercicio como estudiantes ni en su preparación como profesores. En muchos

países, por ejemplo, la enseñanza de la estadística recae en los profesores de matemáticas, pese a las evidencias de que su conocimiento pedagógico disciplinar es diferente al requerido para ense-ñar estadística (Groth, 2007). Esto no siempre es favorable para la cátedra. Estudios anteriores (Batanero, 2001; stohl, 2005) han demostrado que cuando la cátedra de estadística es asignada a los profesores de matemáticas, las temáticas se abordan muy superficialmente, ya que se hace de

10 • Algunasreflexionesacercadelconocimientopedagógicodisciplinardelprofesordeestadística Lucía Zapata-Cardona. Didac 5656-57 (2011): 9-14

manera muy formal o se hace énfasis en el aspecto computacional. Los estándares de matemáticas para el pensa-miento aleatorio que se empiezan a sugerir en el mundo (como los del National Council of Teachers of Mathematics, nctm, 1989, 2000) requieren que el profesor de estadística esté en condiciones de ayu-dar a sus estudiantes a hacer algo más que cálculos y representaciones gráficas de datos; el profesor también debe tener la capacidad de ayudar a sus estudiantes a interpretar, predecir, comparar, con-jeturar, justificar, diseñar experimentos y proponer modelos alternativos. Muchos de los profesores que actualmente enseñan estadística cuentan con una só-lida formación en matemáticas, pero su preparación no se caracteriza por su fortaleza en el componente aleatorio. En varios países los programas con que se prepara a los profesores de matemáticas sólo ofrecen un curso básico de estadística, y en la mayoría de los casos este curso es presentado de una manera muy teórica, sin proporcionar el conocimiento pe-dagógico estadístico necesario para enseñar eficien-temente la materia. Además, muy pocos programas de formación de profesores de matemáticas ofrecen un curso en didáctica de la estadística. En este artículo no se pretende plantear que los profesores de matemáticas que tienen bajo su responsabilidad la enseñanza de la estadística deban ser expertos, sino que puedan abordar el área con una visión no determinística, y considerar que en los fenómenos estocásticos la variación es una ca-racterística esencial que debe ser tomada en cuenta y que una sólida formación en matemáticas no es suficiente para abordar con éxito la enseñanza de la estadística. sin embargo, reconocidos autores inte-resados en la educación estadística han encontrado en sus investigaciones que muchos profesores de matemáticas y estadística en primaria y secunda-ria no se sienten cómodos enseñando conceptos estadísticos porque no han tenido la preparación apropiada para tal fin o porque no han tomado cursos en estadística (Begg y Edwards, 1999). Es necesario resaltar que en nuestro ámbito muchos de quienes actualmente están enseñando estadística

en las escuelas primarias y secundarias se titularon como profesores de matemáticas mucho antes de que la estadística fuera incluida en los currículos. Esto nos lleva a formular la hipótesis de que los profesores de matemáticas que tienen la responsa-bilidad de enseñar estadística lo hacen de manera intuitiva. Es necesario, entonces, caracterizar la naturaleza de las aproximaciones de los profesores a la enseñanza de la estadística. Es necesario también caracterizar el conocimiento pedagógico estadístico del profesor para abordar la enseñanza desde una perspectiva no determinística. Estos insumos po-drán guiar el diseño de programas de formación y calificación docente en esta área.

¿Cuáleselconocimientopedagógicodisciplinarquedebetenerelprofesordeestadística?Esta pregunta sobre el conocimiento que debe tener el profesor ha sido abordada desde varias posturas epistemológicas. Algunas de ellas son: el conoci-miento del profesor (shulman,1986, 1987, 1992), el conocimiento matemático para la enseñanza (Ball, 2005; Ball, Hill y Bass, 2005; Hill, Rowan y Ball, 2005), los constructos establecidos por la comunidad académica en educación estadística (Ba-tanero, 2002; Ben-Zvi y Garfield, 2004; Gal, 2002, 2003), el conocimiento estadístico para la enseñanza (Groth, 2007; Nicholson y Darnton, 2003) y los criterios para la instrucción en estadística (Franklin y Garfield, 2006; Garfield, 1995; shaughnessy, 2003). Estos referentes teóricos pueden iluminar desde varios puntos de vista el conocimiento del profesor de estadística y serán descritos a continuación.

El conocimiento del profesor. Estas investigaciones han causado gran controversia. shulman (1986, 1987, 1992) introdujo la expresión “conocimiento pedagógico disciplinar” (algunos lo han traducido como conocimiento pedagógico de contenido), la cual provocó una ola de artículos sobre el conoci-miento de los profesores en disciplinas específicas y la importancia de dicho conocimiento para el éxito de la enseñanza. El conocimiento pedagógico disciplinar está relacionado con la representación


y formulación de conceptos, con las técnicas pe-dagógicas, con lo que hace fácil o difícil aprender los conceptos, con las preconcepciones de los estudiantes y con las teorías epistemológicas. Este conocimiento también involucra las estrategias que usan los estudiantes para enfrentarse a ciertas situaciones de aprendizaje, sus concepciones previas, sus concepciones erróneas, que podrían tener en un dominio en particular, y las potenciales aplicaciones erradas de un conocimiento previo. En el marco teórico de shulman, el conocimien-to pedagógico disciplinar es la intersección del cono-cimiento disciplinar y el conocimiento pedagógico. Esto no se refiere simplemente a la consideración de ambos conocimientos desde un enfoque aislado. Esta concepción es una amalgama del conocimiento disciplinar y el conocimiento pedagógico que per-mite la transformación del conocimiento disciplinar en formas pedagógicas poderosas. El conocimiento pedagógico disciplinar representa la mezcla de la disciplina y la pedagogía en una comprensión de cómo son organizados, adaptados y representados aspectos particulares del área de conocimiento para facilitar la instrucción. Desde esta concepción, tener conocimiento disciplinar y estrategias pedagógicas generales, aunque necesarias, no es suficiente para capturar el conocimiento del profesor. Para caracte-rizar las complejas formas en las que los profesores piensan acerca de cómo debería ser enseñado un contenido en particular, el conocimiento pedagó-gico disciplinar es el que está involucrado en el pro-ceso de enseñanza. Este proceso incluye las formas de representar y formular el saber disciplinar para hacerlo comprensible para los aprendices.

Conocimientomatemáticoparalaenseñanza. Toman-do en consideración el constructo de conocimiento matemático para la enseñanza, Ball y sus colegas (Ball, 2005; Ball etal., 2005; Hill etal., 2005) re-saltan en especial el conocimiento matemático que los profesores necesitan para facilitar el aprendizaje de sus estudiantes. Estos autores conciben el cono-cimiento matemático del profesor con cuatro com-ponentes principales 1. Conocimiento disciplinar

común, 2. Conocimiento disciplinar especializado, 3. Conocimiento disciplinar y de estudiantes, 4. Conocimiento disciplinar y de enseñanza. Ball (2005) define el conocimiento disciplinar común como el conocimiento matemático y las habilidades esperadas de cualquier adulto educado. Este conocimiento incluye la habilidad para identi-ficar respuestas incorrectas y definiciones imprecisas en libros de texto, habilidad para realizar las tareas asignadas a los estudiantes y saber usar correcta-mente la notación acordada por la comunidad académica. El conocimiento disciplinar especializado es definido como el conocimiento matemático y las habilidades requeridas por los profesores en su tra-bajo, que es diferente del conocimiento matemático necesitado por otro adulto educado que haga un trabajo diferente al de profesor de matemáticas. Esto incluye la habilidad para analizar errores y evaluar ideas alternativas, dar explicaciones matemáticas, usar representaciones matemáticas y ser explícito en el lenguaje matemático. El conocimiento disciplinar y de estudiantes fusiona el conocimiento disciplinar con el conoci-miento de las formas de razonar de los estudiantes en torno al conocimiento disciplinar. Esta fusión requiere: a)Conocimiento del desarrollo matemá-tico de los estudiantes en contextos particulares, b)Habilidad para comprender las interpretaciones de los estudiantes y razonamientos incompletos, y c)Conocimiento de cuáles son las mejores formas de ayudar a los estudiantes para facilitar el aprendizaje durante la instrucción. Finalmente, Ball define el conocimiento discipli-nar y de enseñanza como una combinación entre sa-ber enseñar y saber matemáticas. Este conocimiento incluye la habilidad para jerarquizar y dar prioridad a ciertos contenidos sobre otros y la habilidad para encontrar múltiples formas de representar el con-tenido para facilitar el aprendizaje.

Investigacióneneducaciónestadística:culturaestadís-ticayrazonamientoestadístico. La investigación en educación estadística ha generado dos constructos


ampliamente aceptados en la comunidad académica: cultura estadística y razonamiento estadístico. La sociedad actual está fundamentada en la toma de decisiones basada en la información; los ciudadanos necesitan una sólida comprensión de la estadística básica para tomar decisiones informadas. Pero, ¿cuál es el nivel de conocimiento estadístico requerido para un ciudadano informado? Los educadores estadísticos (Gal, 2003) han intentado responder a esta pregunta mediante el constructo de cultura estadística, que incluye las habilidades básicas ne-cesarias para entender la información estadística. La idea de cultura estadística está orientada a los consumidores de estadística a través de los medios de comunicación, sitios de internet, periódicos y maga-zines. Una persona estadísticamente culta puede leer, interpretar, organizar, evaluar y apreciar información estadística relacionada con contextos sociales en los cuales está inmerso (Batanero, 2002; Ben-Zvi y Garfield, 2004; Gal, 2002, 2003). Los profesionales de la estadística saben que las conclusiones determi-nantes para los estudios de mercado, por ejemplo, no pueden basarse en evidencias anecdóticas. Estos profesionales saben que deben entender el contexto en el cual trabajan y encontrar formas de resumir y representar los datos que tengan sentido, y que aun así consideren la presencia de la variabilidad. De esta forma, el trabajo de los profesionales de la estadística requiere conocimientos complejos de métodos formales de estadística: saber plantear preguntas apropiadas, diseñar experimentos, recoger datos y analizarlos con procedimientos estadísticos formales y sacar conclusiones del análisis. Este nivel de conocimiento es abordado por la comunidad de la educación estadística mediante el constructo de ra-zonamiento estadístico.

El conocimiento estadístico para la enseñanza. La investigación en el conocimiento estadístico para la enseñanza es una área de reciente debate y tiene su fundamento en las investigaciones sobre el conoci-miento del profesor (shulman, 1986, 1987, 1992) y el conocimiento matemático para la enseñanza (Ball etal., 2005). sin embargo, la investigación en

el conocimientoestadísticopara la enseñanza no es simplemente una extensión de la investigación en el conocimientomatemáticopara la enseñanza. Groth (2007) inició un trascendental debate con respecto a la caracterización del conocimiento estadístico pa-ra la enseñanza y propuso los primeros criterios para esta caracterización. Argumentó que no es suficiente tener un gran conocimiento matemático para enseñar eficientemente estadística e insiste en las diferencias entre estas dos disciplinas. Uno de los argumentos más sólidos para defender la diferencia entre el conocimiento matemático y el conocimien-to estadístico para la enseñanza está asociado a la naturaleza misma de las matemáticas. En esencia, la naturaleza de las matemáticas es determinística, mientras la naturaleza de la estadística es estocás-tica, y como tal la enseñanza de estas disciplinas debe ser abordada respetando su naturaleza. Hacer estadística involucra muchas actividades que no son matemáticas, como construir un significado para los datos mediante el analisis del contexto y elegir el diseño experimental apropiado para responder las preguntas de interés. Otro de los argumentos que este investigador ofrece para abordar la enseñanza de la estadística con una perspectiva diferente a la de las matemáticas es que la estadística no es una rama de las matemáticas, sino una ciencia independiente, con naturaleza pro-pia. Es cierto que la estadística utiliza herramientas de las matemáticas, como lo hace también la física, pero no por eso debe ser considerada una rama de las matemáticas. La estadística necesita un contexto, mientras que las matemáticas pueden ser abordadas desde un planteamiento teórico. Groth considera que el conocimiento estadístico para la enseñanza tiene un componente de conoci-miento común y uno de conocimiento especializa-do. El conocimiento estadístico común está asociado a las habilidades para desempeñarse como un ciu-dadano estadísticamente culto, para comprender la terminología estadística, leer y dar sentido a las estadísticas encontradas en los medios de comuni-cación, ser un consumidor crítico de la estadística y tener habilidades informales para la inferencia


estadística. Este conocimiento puede ser asociado al constructo de cultura estadística discutido en la sección “Investigación en educación estadística”. El conocimiento estadístico especializado es un conoci-miento específico que los profesores necesitan en su trabajo y va mucho más allá del conocimiento que un ciudadano estadísticamente culto necesita para desempeñarse exitosamente en una sociedad regida por la información. Este conocimiento especializado requiere del profesor un profundo y bien conecta-do conocimiento del material estadístico introducto-rio y ser un consumidor y productor de estadísticas para el diseño de experimentos, para la recolección de información, para el análisis de datos y para sacar conclusiones acordes con el análisis. El constructo de razonamiento estadístico discutido en la sección previa sirve para ilustrar el conocimiento estadístico especializado. sin un conocimiento profundo de los procesos y conceptos en un currículo de estadística, el profesor estaría muy mal equipado para articular las explicaciones en el salón de clases y facilitar la comprensión de los procesos estadísticos de sus estudiantes.

Criteriosparalainstrucciónenestadística. Existen va-rios intentos de establecer un marco conceptual para analizar la enseñanza de la estadística. Hace más de una década, Garfield (1995) hizo una detallada revi-sión de la literatura relacionada con la enseñanza y el aprendizaje de la estadística y formuló diez principios para el aprendizaje. Estos principios fueron útiles para orientar el desarrollo del currículo de estadística en los últimos niveles del bachillerato en Estados Unidos (Advance Placement statistics), pero fueron planteados desde una concepción muy general del aprendizaje. Más tarde, shaughnessy (2003) sugirió una lista de recomendaciones para la enseñanza de la probabilidad, a partir de los bajos resultados de los estudiantes en la Evaluación Nacional de Progreso Educativo 1996 (naep, por sus siglas en inglés). Las recomendaciones de shaughnessy proponían hacer explicitas las conexiones entre probabilidad y estadística pero seguían siendo tan generales como las propuestas por Garfield. Más recientemente,

Franklin y Garfield (2006), con un multidiscipli-nario y extenso equipo de trabajo (profesionales en estadística, matemáticas, educación matemática, educación estadística, cognición y otras), diseñaron la Guía para Evaluación e Instrucción en Educación Estadística (gaise, por sus siglas en inglés), que in-cluye una lista de recomendaciones y ejemplos para la enseñanza de la estadística. La ventaja que tiene este marco teórico con respecto a los propuestos por Garfield y shaughnessy es que es contextualizado para cada nivel educativo desde el preescolar hasta el universitario. Esto permite evidenciar, por ejemplo, cómo el estándar de las medidas de tendencia cen-tral abordadas en el nivel básico de primaria tiene un enfoque y una profundidad diferentes cuando es abordado en el nivel secundario o universitario. Algunas de las recomendaciones del proyecto gaise son: 1. Enfatizar la cultura estadística y desarrollar pensamiento estadístico, 2. Usar datos reales, 3. Hacer hincapié en la comprensión conceptual más que en el mero aprendizaje de procedimientos, 4. Promover el aprendizaje activo en el salón de cla-ses, 5. Usar tecnología para desarrollar conceptos y analizar datos, 6. Usar la evaluación para mejorar y evaluar el aprendizaje de los estudiantes. Como se aprecia en esta revisión, la investigación en el conocimiento del profesor ha sido prolífica, pero la investigación en el conocimiento pedagó-gico disciplinar del profesor de estadística aun es muy limitada. Necesitamos sumar esfuerzos para unificar estos criterios y fortalecer la formación de los profesores de estadística.

ConclusionesEstas reflexiones nos llevan a pensar que la respuesta a la pregunta sobre el conocimiento pedagógico disciplinar del profesor de estadística no es inme-diata y que son varios los aspectos que deben ser revisados y conectados. Es claro que el conocimiento pedagógico disciplinar del profesor de estadística es un asunto complejo, que además de involucrar el conocimiento disciplinar en estadística (qué ense-ñar) involucra conocimientos en otras áreas, como filosofía (por qué enseñar), sociología (a quién ense-


ñar), psicología (cómo enseñar). sin duda alguna, el éxito de cualquier currículo de estadística depende en gran medida de cómo entienden los profesores los fenómenos estocásticos y cómo conciben la enseñanza de la estadística. También depende de una profunda comprensión de los errores sistemá-ticos de los estudiantes, del uso apropiado de las herramientas y representaciones y de un amplio repertorio de tareas que ayuden a los estudiantes a fortalecer una visión no determinística del mundo y hacer las conexiones con la estadística. El diseño exitoso de programas de formación de profesores de estadística supone claridad sobre cómo entendemos el conocimiento pedagógico disciplinar.

ReferenciasBall, D.L. “Mathematics teaching and learning to teach pro-

ject”. Documento presentado ante la American Educational Research Association: Annual Meeting, 2005.

Ball, D.L., H.C. Hill y H. Bass. “Knowing mathematics for teaching: Who knows math well enough to teach third grade and how can we decide?” AmericanEducator(otoño, 2005): 14-46.

Batanero, C. Didácticade la estadística. Granada: Grupo de Investigación en Educación Estadística/Universidad de Granada, 2001._____. “Los retos de la cultura estadística: Conferencia inau-

gural.” Documento presentado en las Jornadas Interame-ricanas de Enseñanza de la Estadística, 2002.

Begg, A., y R. Edwards. “Teachers’ ideas about teaching sta-tistics”. Documeto presentado en el Combined Annual Meeting of the Australian Association for Research in Education and the New Zealand Association for Research in Education, 1999.

Ben-Zvi, D., y J. Garfield. “statistical literacy, reasoning, and thinking: Goals, definitions, and challenges”. TheChallengeofDevelopingStatisticalLiteracy,ReasoningandThinking. Dordrecht: Kluwer, 2004: 3-15.

Franklin, C.A., y J.B. Garfield. “The gaise project: Developing statistics education for grades pre-K-12 and college cour-ses”. Thinkingandreasoningwithdataandchance. sixty-eighth. Libro Annual del National Council of Teachers of Mathematics. Reston, VA: nctm, 2006: 345-375.

Gal, I. “Adults’ statistical literacy: Meanings, components, responsibilities” InternationalStatisticalReview, 70 (2002): 1-25.

_____. “Expanding conceptions of statistical literacy: An analy-sis of products from statistics agencies”. StatisticsEducationResearchJournal, 2 (2003): 3-21.

Garfield, J. “How students learn statistics”. InternationalSta-tisticalReview, 63 (1995): 25-34.

Groth, R. “Toward a conceptualization of statistical knowledge for teaching”. JournalforResearchinMathematicsEducation, 38 (2007): 427-437.

Hill, H.C., B. Rowan y D.L. Ball. “Effects of teachers’ mathe-matical knowledge for teaching on student achievement”. American Educational Research Journal, 42. 2 (2005): 371-406.

National Council of Teachers of Mathematics. CurriculumandEvaluationStandardsforSchoolMathematics. Reston, va: nctm, 1989.

_____. PrinciplesandStandardsforSchoolMathematics.Reston, va: nctm, 2000.

Nicholson, J.R., y C. Darnton. “Mathematics teachers tea-ching statistics: What are the challenges for the classroom teacher?” Documento presentado en la 54th session of the International statistical Institute, Voorburg, The Ne-therlands, 2003.

shaughnessy, J.M. “Research on students’ understanding of probability”. AResearchCompaniontoPrinciplesandStan-dards. Reston, VA: nctm. 2003: 216-226.

shulman, L. “Those who understand: Knowledge growth in teaching”. EducationalResearcher, 15, 2 (1986): 4-14.

_____. “Knowledge and teaching: Foundations of the new re-form”. HarvardEducationalReview, 57, 1 (1987): 1-22.

_____. “Ways of seeing, ways of knowing, ways of teaching, ways of learning about teaching”. JournalofCurriculumStudies, 23, 5 (1992): 393-396.

stohl, H. “Probability in teacher education and development”. ExploringProbabilityinSchool:ChallengesforTeachingandLearning. Nueva York: springer, 2005: 345-366.

Psicologíadelrazonamientoenelaprendizajedelosnúmeros • 15 Gilberto González Girón. Didac 56-57 (2011): 15-20

Psicología del razonamiento en el aprendizaje de los números

GilbertoGonzálezGirón*Profesor titular

Facultad de PsicologíaUniversidad Nacional Autónoma de México

❂

ResumenActualmente hay consenso sobre la idea de que el pensamiento no es un fenómeno unitario susceptible de una definición fácil. Hay dos tendencias: la teoría del continuo cognitivo, que postula que el pensamiento es un continuo de la intuición al análisis, y la teoría adaptativa, que sostiene que el organismo emplea un conjunto de heurísticas simples que va evolucio-nando para lograr el éxito en su medio ambiente. El trabajo muestra cómo estas ideas afectan el aprendizaje de la aritmética y el álgebra. si el docente conoce los factores que intervienen en el razonamiento humano y el grado de dificultad intrínseca de los conceptos matemáticos seguramente logrará mejores resultados de aprendizaje. Palabrasclave:razonamiento, intuición, aprendizaje, números.

AbstractTodaythereisaconsensusthatthinkingisnotaunitaryphenomenoncapableofeasydefinition.Theyaretwotrends:thecontinuouscognitivetheorypostulatesthatthinkingisacontinuumfromintuitiontoanalysisandadaptivetheory,whichholdsthattheorganismhasasetofsimpleheuristicsthathaveevolvedtoachievesuccessintheenvironment.Thisworkshowshowtheseideasaffectlearningarithmeticandalgebra.If theteacherknowsthefactors involvedinhumanreasoningandalsothemathematicalintrinsicdifficultyofconceptshecanachievebetterlearningoutcomes. Key words: reasoning,intuition,learning,numbers.

* Correo electrónico del autor: [email protected]

TendenciasteóricasdelapsicologíadelrazonamientoActualmente hay un consenso creciente entre los investigadores sobre la idea de que el pensamiento no es un fenómeno unitario susceptible de una definición fácil. De las contribuciones de Brunswik se han derivado dos grandes tendencias teóricas de desarrollo de la psicología del razonamiento. La primera es la denominada “teoría del continuo

cognitivo”, desarrollada por Hammond, quien sos-tiene que el pensamiento cae en un continuo entre la intuición y el análisis, siendo normalmente cuasi racional la actividad cognitiva humana; una especie de compromiso entre la intuición y el análisis. La se-gunda tendencia es la llamada “caja de herramientas adaptativas”, desarrollada por Gigerenzer y colabo-radores, quienes han llevado a cabo un programa de investigación bajo la premisa de que el organismo cuenta con un conjunto de heurísticas simples que

16 • Psicologíadelrazonamientoenelaprendizajedelosnúmeros Gilberto González Girón. Didac 56-57 (2011): 15-20

va evolucionando para lograr el éxito en su medio ambiente. Por un lado las limitaciones cognitivas de la persona y por el otro la estructura del medio ambiente (Doherty y Ryan, 2004: 27-28). Tales tendencias conducen a dos líneas de investigación diferentes pero no necesariamente antagónicas entre sí. En efecto, la primera enfatiza la importancia de la intuición como punto de partida para llegar al análisis, mientras que la segunda se en-foca al desarrollo de heurísticas, es decir, estrategias para la solución de problemas que incrementan la probabilidad de llegar a la solución correcta, pero no garantizan que así sea. Partiendo de la intuición avanzamos a formas de pensamiento racional ana-lítico, las cuales representamos mediante modelos mentales que nos generan estrategias para la solución de problemas. No hay evidencia conductual de que la deduc-ción sea un proceso cognitivo especialmente diferen-ciado ni tampoco de que ocupe un lugar específico en el cerebro. El razonamiento es un conjunto de procesos que construyen y evalúan implicaciones entre conjuntos de proposiciones. Las implicacio-nes pueden ser deducciones o inducciones, y las pro-posiciones son pensamientos que pueden ser falsos o verdaderos y se expresan mediante frases. Los pro-cesos pueden ser conscientes (como las inferencias deductivas) o inconscientes (como las intuitivas). Nuestro cerebro contiene una jerarquía de procesa-dores que se comunican entre ellos, intercambiando instrucciones y datos para dar una conclusión. Las inferencias con demasiadas posibilidades bloquean el sistema de razonamiento, dando como resultado la obstinación. El tiempo requerido para arribar a la conclusión de una inferencia crece exponencial-mente con el número de premisas, mientras que el tiempo disponible para esperar una respuesta no (Johnson-Laird, 2006: 25, 26). El razonamiento formal tiene que ver con los principios del buen razonamiento, la lógica y las matemáticas. Los conceptos lógicos, probabilísticos y matemáticos, en general, no parecen mezclarse bien con nuestras estrategias de razonamiento co-tidiano. Tales conceptos fueron desarrollados a lo

largo de siglos de esfuerzo intelectual, de tal manera que actualmente representan un gran reto para cada generación de estudiantes. Emergieron como intentos de racionalizar y sistematizar las intuiciones humanas enraizadas en el contexto cotidiano. sin embargo, un razonamiento fluido y efectivo en si-tuaciones cotidianas va de la mano de la efectividad de razonamiento en los más elementales problemas (Chater y Oaksford, 2004). Los razonadores usan diversas aproximaciones clasificadas como estrategias pero derivadas del mismo mecanismo inferencial; los modelos men-tales usan estructuras abstractas tridimensionales diferentes a las imágenes visuales. Las imágenes visuales son íconos mientras que los modelos men-tales tienden a ser íconos pero contienen además símbolos que representan conceptos abstractos. Una estrategia es la serie de procesos mentales que un individuo usa para solucionar una tarea cognitiva. La gente usa muchas estrategias diferentes cuando hace inferencias, activando áreas cerebrales distin-tas, dependiendo de su repertorio personal, de sus características (sexo, edad, etc.) y de las exigencias propias de la tarea: rapidez vs.precisión; facilidad vs.dificultad (Lemaire y Fabre, 2005: 11-15).

LadificultaddelasmatemáticasylarepresentacióndelasrelacionesLa esencia del entendimiento de un concepto con-siste en tener una representación mental o modelo que refleje su estructura. Las representaciones son estructuras mentales internas que corresponden a las estructuras del mundo real; las usadas en matemáti-cas tienen diferentes códigos, y los principales son las imágenes y las proposiciones. Las proposiciones son más abstractas que las imágenes y tienen un grado de independencia de contenido. Para lograr un conocimiento coherente en matemáticas, las asociaciones deben ser reforzadas por la experiencia, ya que no ocurren de manera automática sólo por ser lógicas. La dificultad de la representación relacional tiene el mayor impacto en el pensamiento matemático y puede definirse en términos de la dimensionali-


dad; esto es, la cantidad de items independientes de información involucrados en el concepto. Hay cuatro niveles de relación: unitaria, binaria, terciaria y cuaternaria.

• Relaciones unitarias: Categorías definidas por un solo atributo, una sola cosa; por ejemplo, grandes, gordos, etc., a = constante; unidi-mensionales.

• Relaciones binarias: relaciones entre dos cosas, mayor que, más rico que, menos viejo que (>, <, =); bidimensionales: a > b.

• Relaciones terciarias: relaciones entre tres cosas, el padre, la madre y el hijo, opera-ciones binarias (+, -, ×, /); tridimensionales: a + b = c.

• Relaciones cuaternarias: relaciones en-tre cuatro cosas, la balanza o el subibaja,

a × b = c × d, la proporción a / b = c / d es una relación entre cuatro variables relaciona-das; tetradimensionales (English y Halford, 1995: 21-28).

PsicologíadelrazonamientoaplicadaalaprendizajedelosnúmerosLos modelos mentales de los números deben repre-sentar tres clases de relaciones: relaciones entre los conjuntos, relaciones entre los números y relaciones entre los números y los conjuntos. Los números y sus relaciones comprenden el sistema numérico, del cual el estudiante debe tener una representación adecuada, un modelo. Para entender la propiedad de numerosidad, o valor cardinal de un número, el niño debe aprender a relacionar el nombre del número con la cantidad de elementos del conjunto. Por ejemplo, el número 3 se usa para representar: tres personas, tres jugue-tes, tres frutas, tres historias, tres ideas o cualquier colección de objetos o ideas de tres elementos. La idea de conjunto es abstracta en sí misma, puesto que sus elementos pueden variar en tamaño, color, textura, proximidad o ubicación relativa; solamente es aprendida por intuición. sin embargo, los seres humanos somos capaces de representar, desde muy pequeños, conjuntos hasta de cuatro elementos sin necesidad de instrucción explícita, lo cual constituye la base para construir el concepto de número. Las relaciones entre los conjuntos pueden ser de muy diversa índole, pero las requeridas para el aprendizaje del concepto de número son únicamente tres, las que tienen que ver con la cantidad de ele-mentos de los conjuntos: “más que”, “menos que”, “igual a”, que también aprendemos por intuición. Una vez percibidas, tales relaciones entre los con-juntos deben ser transferidas a relaciones similares entre los números. La correspondencia entre los números y los conjuntos debe ser percibida de ma-nera tal que las relaciones de numerosidad entre los conjuntos sean las mismas que entre los números, la misma estructura en los conjuntos y los números. Una manera útil de enseñar a los niños los pri-meros números es pedir a uno de ellos, mientras


los demás observan, que levante el brazo derecho y cuando lo hagan preguntar: ¿cuántos brazos tienes arriba? “Uno”, responderá. se muestra el número 1 junto a la palabra escrita, al mismo tiempo que se pronuncia el vocablo “uno”. Así asociarán la canti-dad de elementos del conjunto (un brazo arriba) con las tres maneras de representarlo: simbólica, verbal y escrita. A continuación se le dice: “Levanta el brazo izquierdo”, preguntando ¿cuántos brazos tienes ahora arriba? “Dos”, responderá. se muestra ahora el número 2. “Tenías un brazo arriba, agregaste otro y ahora tienes dos”. A continuación se le dice: “Baja tu brazo izquierdo”, preguntando de nuevo ¿cuán-tos brazos tienes arriba? “Uno”, deberá responder. “Tenías dos brazos arriba, quitaste uno y te quedó uno”. Para terminar el procedimiento se le pide que baje el brazo que mantiene arriba, preguntándole ¿cuántos brazos están arriba? “Ninguno”, deberá contestar. se le dice “cero”, al mismo tiempo que se le muestra el símbolo 0, asociándolo con la palabra “nada”. Mediante esta secuencia el niño aprende los números uno y dos, relacionados con sus respectivos conjuntos. También aprende, intuitivamente, que el conjunto vacío tiene su número, representado por el cero. Además, aprende el inicio de las relaciones de orden superior, incrementar-decrementar, que más adelante utilizará para aprender los números subsecuentes: 3, 4, 5… Las relaciones de orden supe-rior utilizan relaciones como argumentos, mientras que las relaciones simples utilizan elementos. Los vocablos agregaste y quitaste son muy importantes porque representan los verbos empleados para de-signar acciones de agregar-quitar elementos a los conjuntos. siempre deben utilizarse los mismos vocablos para evitar confusiones al niño. El lenguaje verbal o escrito es, por naturaleza, ambiguo, mien-tras que el lenguaje matemático tiende a eliminar la ambigüedad. El docente de matemáticas debe emplear un lenguaje preciso, aunque redundante, y buenas analogías que reflejen la correspondencia de las relaciones concretas a las más abstractas. Una vez que el niño ha aprendido a relacionar los diez números básicos con sus respectivos conjuntos

y la relación de orden superior incrementar-decre-mentar estará en posibilidad de contar y representar conjuntos de hasta nueve elementos. si quiere ir más allá deberá dar un salto. ¿Qué pasa si agrega un elemento más al conjunto de nueve elementos que ya tiene? No hay forma de representar el nuevo con-junto a menos que el niño adquiera el concepto de valordeposición, que implica la identificación de una relación de orden superior; formar un “montoncito” de diez elementos, representado con el número 10. Luego podrá ir agregando elementos de uno en uno para representar del 11 a 19. Empleando el mismo modelo, agregará otro montoncito, que representará al número 20. Utilizando la misma estrategia podrá seguir contando elementos y representándolos con números. Ahora el niño estará en posibilidad de captar, también por intuición, el concepto de infini-to; lo hará porque sabe que puede seguir agregando elementos de uno en uno indefinidamente. Ha adquirido, de manera intuitiva, primero el concepto de número y posteriormente un modelo apropia-do de numeración. Los matemáticos definen el sistema de los números naturales como un con-junto ordenado en el cual una relación asimétrica, transitiva y binaria queda definida. El niño ha desarrollado un modelo mental con el cual puede contar y representar conjuntos desde el vacío hasta el infinito.

LaspropiedadesdelosnúmerosysusoperacionesUna vez aprendida la representación de conjuntos mediante números, éstos se transforman en elemen-tos abstractos que pueden manipularse como obje-tos. Pueden ser transformados mediante operaciones numéricas y seguirán implícitamente representando conjuntos. Para aprender a operar (transformar) números se requiere ampliar cada vez más el modelo elemental incluyendo nuevas relaciones y reglas. Las operaciones numéricas implican relaciones entre tres elementos que pueden variar; por lo tanto, son relaciones ternarias, más difíciles de comprender que las binarias ya conocidas “mayor que”, “me-nor que”, “igual a”. Por lo tanto, tienen un grado de dificultad mayor y demandan mayor madurez


en el niño. Cualquier suma queda representada así: a + b = c, en donde a, b y c son elementos que pueden variar y los signos + y = son relaciones entre elementos. si a y b son números naturales también lo será c. Esto es lo que se conoce como “propiedad de cerradura” de los números naturales, una regla de orden superior que involucra la relación sumacomo elemento dentro del sistema de números naturales. Tanto los docentes como los estudiantes consideran esta regla demasiado obvia y no le dan la atención que requiere. sin embargo, al pasar a la operación inversa de la suma, la resta, puede verse que la regla ya no opera porque 7 – 4 = 3, pero 4 – 7 = -3, que no es número natural, sino entero. Para pasar del sistema de los números naturales al de los enteros es necesario agregar los números negativos (…-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3…). Esto implica que el modelo mental previamente aprendido por el niño deberá ampliarse con nuevas relaciones y reglas. El sistema de números enteros contiene nuevas relaciones entre los números. Ahora cada número, excepto el 0, tiene un opuesto (1, -1), (2, -2), (3, -3)… Esto se conoce en matemáticas como la “propiedad del inverso aditivo”. Esto es, cualquier número sumado a su inverso dará como resultado el número 0, llamado “elemento idéntico de la suma”. Otras propiedades de los números son las co-nocidas como conmutatividad y asociatividad; por ejemplo, 3 + 5 = 5 + 3. Después de hacer algunos ejercicios de este tipo, y no habiendo encontrado contraejemplos, se llega a la aceptación de la regla: a + b = b + a, llamada “propiedad conmutativa de la suma”. Pueden hacerse diferentes agrupaciones entre los números; por ejemplo, (5 + 3) + 8 = 5 + (3 + 8). En general: (a + b) + c = a + (b + c), “propiedad aso-ciativa de la suma”. Las propiedades de los números normalmente no quedan bien representadas en el pensamiento de los alumnos, por lo cual no son incluidas en estrategias posteriores de razonamiento como las requeridas por el álgebra. La multiplicación también es una operación binaria entre tres elementos, al igual que la suma, pero ahora uno de los elementos es un conjunto de

conjuntos: $$$ $$$ $$$ $$$, donde cuatro veces $$$ da como total doce $, o 4(3$) = 12$. También es posible contar los elementos de uno en uno o sumar: 3 + 3 + 3 + 3 = 12. Combinando la suma y la multiplicación encontramos otra relación, conocida como transitividad: (3 + 3) + (3 + 3) = (3 + 3) × 2; o (3 + 3)2. Las relaciones de conmutatividad, aso-ciatividad y transitividad son relaciones de relaciones de tres elementos, por lo que son equivalentes a relaciones cuaternarias, lo cual aumenta el grado de dificultad: (a + b) c = d. La división, operación inversa de la multipli-cación, no cumple con la propiedad de cerradura, ya que al dividir dos números enteros entre sí no necesariamente se obtendrá como resultado un nú-mero entero. Por ejemplo: 9 / 2 = 3 + (1 / 2). Para tener un sistema cerrado será necesario ampliar el modelo de los números enteros a otro que incluya fracciones de números enteros. Este nuevo sistema es el de los números racionales, conformados por la razón entre dos números enteros a / b, siendo a y b enteros, con la salvedad de que b no puede ser cero. Las operaciones con números racionales son, de entrada, complejas, ya que cada número racio-nal representa una relación binaria entre la parte y el todo, a diferencia de un número natural, que representa un solo elemento. Para enseñar números racionales se requieren buenas analogías. Una analogía útil para la enseñan-za de la suma es la de la hoja de papel. A un grupo de estudiantes se les muestra una hoja de papel que se divide por la mitad, preguntando ¿cuánto es esto? “Un medio, o la mitad”, responderán. se escribe en el pizarrón:

2

1

luego se muestra la otra mitad repitiendo la pregunta y obteniendo la misma respuesta. Juntando las dos mitades de nuevo se pregunta ¿cuánto es esto? La respuesta será “una hoja, o un entero”. se escribe la operación:

2

1 +

2

1 =

2

2


Otra hoja de papel se divide en tres partes, repitien-do el procedimiento de manera similar, escribiendo nuevamente la operación.

3

1 +

3

1 +

3

1 =

3

3

Es muy importante que los números enteros sean re-presentados como racionales para que los estudiantes tengan en mente que están utilizando un sistema numérico diferente. El ejercicio se completa juntan-do un pedazo de cada hoja y preguntando ¿cuánto es un medio más un tercio? Ante la imposibilidad de responder directamente, el docente divide la mitad de la hoja en tres partes y el tercio de hoja en dos partes escribiendo:

6

3 +

6

2 =

6

5

Así, la necesidad de igualar los denominadores se vuelve evidente en la suma. Usando analogías apropiadas se logrará la conformación de modelos representación de los números racionales.

DelaaritméticaalálgebraEl álgebra agrega a la aritmética el manejo de nú-meros desconocidos (variables), representados con letras (x, y, z), que a su vez representan conjuntos. Cuando el estudiante tiene una representación mental apropiada de la aritmética la representación algebraica se facilita enormemente, pero cuando no la tiene se convierte en una pesadilla, frustrante por la incapacidad para comprender los textos de álge-bra, plagados de símbolos. Las reglas de operación algebraica son básicamente las mismas que las de la aritmética, con el añadido de emplear letras como va-riables; por ejemplo, (5x² – 2) + 7x = (5x² + 7x) – 2. si el estudiante ha desarrollado modelos de repre-sentación de los distintos números (5, -5, ⅔, 2.173), de sus relaciones y operaciones, al pasar al álgebra tales modelos aritméticos le servirán de plataforma para incorporar los nuevos a base de conglomerados de números y letras (monomios); por ejemplo, 5x². Ahora será capaz de interpretar tal expresión como el producto de tres cantidades: 5(x)(x) que conforman

un núcleo. Aprenderá intuitivamente a manejar los monomios como unidades y luego a relacionarlas y operarlas utilizando como estrategias los modelos aritméticos previamente adquiridos.

ConclusiónLa investigación en el campo de la psicología del pensamiento racional avanza, por un lado, en la idea de que la intuición es el punto de partida para llegar al análisis racional; por el otro, en el desa-rrollo de heurísticas, estrategias de pensamiento basadas en modelos previamente adquiridos. En las matemáticas elementales hay una gran cantidad de conceptos que requieren ser aprendidos de ma-nera intuitiva, como: conjunto, número, espacio, volumen, infinito y otros más. Partiendo de dichos conceptos y mediante la inferencia racional podrán construirse modelos de pensamiento que generarán estrategias de razonamiento (heurísticas) apropiadas para la solución de problemas de matemáticas. El aprendizaje intuitivo y la comprensión racional de las reglas que representan las relaciones entre los números constituyen la base del aprendizaje de las matemáticas elementales, que cualquier individuo debe dominar. Una didáctica basada en analogías creativas que muestren con claridad la correspon-dencia entre las relaciones concretas y las abstractas será muy útil en la construcción de modelos ade-cuados de representación mental.

ReferenciasChater, N., y M. Oaksford. “Rationality, rational analysis,

and human reasoning”. PsychologyofReasoning. Eds. Ken Manktelow y Man Cheung Chung. Nueva York: Psycho-logy Press, 2004: 43-74.

Doherty, E.M., y D.T. Ryan. “Reasoning and task environment: The Brunswikian approach”. PsychologyofReasoning. Eds. Ken Manktelow y Man Cheung Chung. NuevaYork: Psy-chology Press, 2004: 11-42.

English, D.L., y s.G. Halford. MathematicsEducation:ModelsandProcesses. Mahwah, N.J. Erlbaum, 1995.

Johnson-Laird, P. How we Reason. Nueva York: Oxford, 2006.

Lemaire, P., y L. Fabre. “strategic aspects of human cognition”. Methods of Though: Individual Differences in ReasoningStrategies. Eds. Maxwell J. Roberts y Elizabeth J. Newton, 2005: 11-26.

¿Porquéfallanlosalumnosalresolverproblemasmatemáticos? • 21 Marisol silva Laya, Adriana Rodríguez Fernández. Didac 56-57 (2011): 21-28

¿Por qué fallan los alumnos al resolver problemas matemáticos?

MarisolSilvaLaya*Académica e investigadora titular

Instituto de Investigaciones para el Desarrollo de la EducaciónUniversidad Iberoamericana Ciudad de México

AdrianaRodríguezFernándezAsistente de investigación

Instituto de Investigaciones para el Desarrollo de la EducaciónUniversidad Iberoamericana Ciudad de México

❂

ResumenMéxico registra resultados insatisfactorios en el aprendizaje de las matemáticas en educación básica. El presente artículo recoge hallazgos de una investigación sobre las dificultades que enfrentan alumnos de sexto grado al resolver problemas matemáticos. Entre las limitaciones más serias reporta la falta de conocimientos conceptuales previos (lagunas en el conocimiento), un problema severo de comprensión lectora, un limitado repertorio de estrategias de resolución y el uso de estrategias irreflexivas ante problemas de altos niveles de dificultad, como realizar operaciones aunque carezcan de sentido. Concluye que es necesario promover que los alumnos construyan nociones y procedimientos matemáticos como recursos propios y no recetas. Palabrasclave: matemáticas, resolución de problemas, constructivismo, educación básica.

AbstractMexico has low learning outcomes in mathematics in elementary school. This article describesresearchfindingsonthedifficultiesof6thgradestudentsinsolvingmathematicalproblems.Themostseriousconstraintsare:lackofpriorconceptualknowledge(knowledgegaps),asevereproblemofreadingcomprehension,alimitedrepertoireofsolvingstrategiesandthoughtlessuseofstrategiesforproblemsofhighlevelsofdifficulty(operationsbutmeaningless).Itconcludesthatitisnecessarytoencouragestudentstoconstructtheirownmathematicalconceptsandproceduresinsteadofonlymechanicalprocess. Key words: mathematics,solveproblems,constructivism,elementaryeducation.


22 • ¿Porquéfallanlosalumnosalresolverproblemasmatemáticos? Marisol silva Laya, Adriana Rodríguez Fernández. Didac 56-57 (2011): 21-28

Tal parece que para que el alumno pueda construir su conocimiento y llevar a cabo la obligatoria interacción activa con los objetos matemáticos, incluyendo la reflexión que le permite abstraer estos objetos, es necesario que estos objetos se presenten inmersos en un problema y no en un ejercicio (Larios, 2000: 5).

El tema de la enseñanza y el aprendizaje de las matemáticas ha ocupado un lugar muy importante en la esfera educativa y actualmente se revitaliza al considerar que las habilidades en este campo forman parte de las competencias clave para una vida exitosa y un buen funcionamiento en la sociedad (ocde, 2003a: 10). El proyecto “Definición y selección de competencias clave” (Deseco), impulsado por la Organización para la Cooperación y el Desarrollo Económico (ocde), clasifica las destrezas matemá-ticas como herramientas interactivas —junto con la lengua hablada y escrita y las habilidades para la computación— necesarias para resolver múltiples tareas en diversas situaciones. En fin, las compe-tencias matemáticas forman parte de las herramien-tas esenciales para tener un buen funcionamiento tanto en la sociedad como en el lugar de trabajo, así como para establecer un diálogo efectivo con otros. Las distintas evaluaciones que se aplican en México para medir los logros académicos alcanzados por los niños de primaria y secundaria en el área de matemáticas muestran sistemáticamente resultados insatisfactorios. Esto indica que la educación básica enfrenta limitaciones para formar las competencias que los jóvenes requieren para desenvolverse plena-mente en la sociedad. Algunos datos que ilustran esta situación son los siguientes:

Los Exámenes de la Calidad y el Logro Educativos (Excale) aplicados por el Instituto Nacional para la Evaluación de la Educación (inee) en el 2005 para explorar los niveles de logro de alumnos de 6° de primaria y 3° de secundaria arrojaron resultados preocupantes, y son aún más dramáticos para este último grado:

• siete de cada 10 estudiantes de 6° de prima-ria contaban apenas con los conocimientos, habilidades y destrezas escolares mínimos o presentaban carencias importantes. Esto los ubica en un nivel de dominio básico (52.3%) y también por debajo del básico (17.4%). Algunos de los temas en los que se obser-va un bajo desempeño fueron: fracciones, conversión de unidades de medición y ha-bilidades relacionadas con imaginar cuerpos e identificar sus características geométricas. La resolución de problemas de porcentajes también es un tema donde se presentan dificultades.

• En el caso de los estudiantes de 3° de secun-daria, poco más de la mitad (51.1%) presentó un dominio por debajo del básico y tres de cada 10 se ubicaron en el nivel básico. En general, muestran un desarrollo insuficiente de los conocimientos y habilidades estable-cidos en todas las áreas del currículum de matemáticas, pero en especial presentan serias deficiencias ante la resolución de problemas en los que tienen que hacer razonamientos complejos, que requieren elaborar conje-turas, hacer generalizaciones o inferencias y vincular resultados. También se observó un desempeño muy deficiente en lo que se refiere al seguimiento de instrucciones para la construcción de figuras y elementos geométricos; la identificación de los cambios de longitud, área y volumen de una figura o cuerpo geométrico, al reducirlo o aumentarlo a escala; la solución de problemas donde se requiere utilizar equivalencias entre unidades de medida y con el uso de fracciones (inee, 2006: 22-23, 25).

Los resultados de la Evaluación Nacional de Logro Académico de los Centros Educativos (enlace) para la asignatura de matemáticas en 2009, realizada por la Dirección General de Evaluación de la se-cretaría de Educación Pública (sep), muestran que más de las dos terceras partes (69%) de los niños de


primaria se hallan en un nivel insuficiente o elemen-tal en el dominio de las matemáticas. En secundaria se acentúan las deficiencias, ya que de cada cien estudiantes sólo diez alcanzan satisfactoriamente los objetivos de matemáticas (sep, 2010). Las deficiencias en los aprendizajes reveladas por las pruebas nacionales se corroboran con los resultados del Programa para la Evaluación In-ternacional de Estudiantes (pisa, por sus siglas en inglés). En el 2003, dicha evaluación puso énfasis en las competencias en el área de matemáticas que tienen los jóvenes de 15 años. sus resultados no fueron alentadores para México, pues su desempeño se ubicó entre los últimos cuatro lugares de un total de 40 países. Además, mientras que sólo 8.2% de los jóvenes de los demás países que forman parte de la ocde se encontraba en el “nivel 0” de la esca-la de matemáticas, 38.1% de los mexicanos se ubicó en ese nivel, al tiempo que 4% de los jóvenes de la ocde se ubicó en el nivel 6 y en México tal propor-ción fue menor a 1% (ocde, 2004b: 89-95). si bien estas calificaciones nos dan un diagnós-tico general de los logros alcanzados, brindan infor-mación limitada sobre el desempeño del estudiante. Para comprender mejor los logros y deficiencias en el aprendizaje es necesario profundizar en las estrategias que emplean al dar respuesta a tareas que involucran el uso de las matemáticas. Conocer el método y las estrategias empleadas por los estudiantes en la reso-lución de problemas matemáticos, así como com-prender los factores que intervienen en esta tarea, puede contribuir al mejoramiento de la enseñanza de esta disciplina. La búsqueda de alternativas parasacar adelante esta tarea cobra relevancia. El presente artículo se basa en los resultados de una investigación realizada durante 2007 y 2008 con estudiantes de 6º de primaria de nueve escuelas particulares que trabajan con el Modelo de Mate-máticas Constructivas (mmc), desarrollado por el Centro de Investigaciones de Modelos Educativos (cime). Este Centro, preocupado por mejorar su modelo, solicitó al Instituto de Investigaciones para el Desarrollo de la Educación (Inide) la evaluación de los procesos y los resultados de la misma1.La in-

vestigación nos condujo a preguntamos por qué los alumnos fallan al resolver cierto tipo de problemas y no en otros y cuáles son los factores que entran en juego2. El análisis de tales factores y las formas en que los alumnos hacen uso de ellos se presentan en los siguientes cinco apartados.

1. ConocimientospreviosLas personas construimos conocimientos a partir de nuestras experiencias previas, creencias o ideas, que en su conjunto conforman lo que Novack (1988) denomina “estructuras conceptuales”. Los conocimientos previos en matemáticas son aque-llos recursos —nociones, conceptos, fórmulas, algoritmos— con los que cuenta el estudiante para enfrentarse a un determinado problema (Barrantes, 2006: 2). Los resultados de la investigación revelaron que los conocimientos conceptuales previos son herramientas clave para tener éxito en la resolu-ción de problemas, especialmente en aquellos que demandan la aplicación de conceptos específicos —como los de geometría: área y perímetro—, en cuyo caso los vacíos conceptuales obstaculizaron la obtención de respuestas correctas. Estos hallazgos coinciden con los reportados por solaz-Portolés y sanjosé (2008: 5), quienes destacan la enorme influencia que el conocimiento conceptual tiene en la resolución correcta de los problemas. A pesar de ser un recurso indispensable, los estudiantes no cuentan con los suficientes cono-cimientos conceptuales previos para resolver los problemas matemáticos. Las carencias se agudizan en las áreas de geometría y variación proporcional, donde confluyen, al menos, tres limitaciones: 1. estrechez en el manejo de conceptos y las relaciones entre ellos, 2. uso indiscriminado de algoritmos, y 3. una exigua actitud exploradora de las situaciones problemáticas y sus condiciones. En el esquema 1 se ejemplifican dichas limitaciones. La resolución de este problema implica el manejo de conceptos de proporción y porcentaje, así como saber calcularlo. Los errores más frecuentes se rela-cionan con el uso del algoritmo de la regla de tres sin una noción clara de las cantidades que están en juego


y sus relaciones proporcionales. Así, hubo alumnos que identificaron que 30 flores equivalían al 100%, pero no pudieron determinar las cantidades sobre las cuales debían calcular las proporciones. De esto se desprende la recomendación de que los maestros presten más atención a los vacíos que ex-perimentan sus estudiantes en torno a los cono-cimientos previos involucrados en los diferentes problemas que trabajan en las clases. Partir de esta información permitiría diseñar actividades que conduzcan a clarificarlos hasta lograr que todos cuenten con las nociones para abordar con efica-cia las diferentes actividades de aprendizaje. Los alumnos deben construir las nociones y conceptos básicos de las matemáticas por ellos mismos, de tal manera que se vuelvan recursos propios y no recetas al momento de resolver los problemas.

2. ComprensióndelproblemaLa comprensión supone entender la pregunta, discriminar los datos y las relaciones entre éstos y entender las condiciones en las que se presentan. si los conocimientos previos son clave, la comprensión es determinante. Los resultados del estudio referido mostraron una correlación más fuerte de esta va-riable en la resolución de problemas que la variable anterior. Así, entre los niños que entendieron los problemas la proporción de respuestas correctas fue muy alta (entre 75% y 92.6%). En contraste, la no comprensión condujo a resultados equivoca-dos también en una proporción alta (entre 80% y 90%). sin duda, comprender exactamente lo que se pregunta, así como las nociones del problema —lo cual está ligado a los conocimientos previos—, es

indispensable para enfrentar con eficacia una tarea como la que nos convoca. Es menor la proporción de estudiantes que comprenden que la de aquellos que cuentan con conocimientos conceptuales suficientes. Este dato coincide con los hallazgos de Valle etal. (2007: 8) sobre la baja frecuencia de alumnos que comprenden los problemas en una olimpiada de matemáticas. Al igual que estos autores, consideramos que la com-prensión trasciende el ámbito matemático e implica por parte del estudiante el dominio de la lectura y la valoración crítica de textos, en particular en lo que se refiere localizar información específica, hacer inferencias simples, captar relaciones entre compo-nentes e identificar información implícita. Vale la pena agregar que también se requiere de un marco conceptual adecuado, aunque esto no es suficiente. Un ejemplo que ilustra la confusión de la pregunta se presenta en el esquema 2. En el ejemplo se observa que el alumno realiza correctamente las operaciones pero se confunde con la pregunta final, ya que respondió cuántos quesos le quedaron a José (A), en lugar de cuántos vendió (C). Este tipo de problemas se utiliza con frecuencia en muchas evaluaciones oficiales, y más que competencias matemáticas pone a prueba com-petencias lectoras y capacidad de concentración, ya que por lo general este tipo de preguntas “despista” al estudiante. La recomendación más importante que se des-prende de este análisis refiere a la necesidad de que los maestros sean conscientes de la trascendencia de este factor e intensifiquen las estrategias pedagógicas para impulsarlo. Tal vez sea necesario bajar la presión entre

Esquema 1Cálculodeproporciones


(1965: 20) pueden ser de utilidad para ayudar a los alumnos a establecer un plan: ¿Conoce un problema relacionado con éste? ¿Podría enunciarlo de otra forma? ¿Ha empleado todos los datos? El análisis de los planes de los alumnos permitió detectar la importancia de implementar y fomentar formas creativas de aproximarse a los problemas ma-temáticos. En este sentido, compartimos la posición de Escareño (2005: 77) y Fuenlabrada (2005: 32) sobre la importancia de permitir a los niños ensayar formas novedosas y particulares de resolver proble-mas, más allá de los métodos convencionales. Los alumnos con acercamientos más creativos podrían socializar sus procedimientos y colaborar con sus compañeros en el desarrollo de estrategias, explo-tando así la zona de desarrollo próximo sugerida por Vygotsky. Al mismo tiempo, es relevante tomar en cuenta el impacto que tienen las creencias de los alumnos al momento de resolver un problema matemático. Al parecer siguen reproduciendo la creencia de que “los estudiantes corrientes no pueden esperar entender matemática, simplemente esperan memorizarla y aplicarla cuando la hayan aprendido mecánicamen-te” (shoenfeld, citado en Barrantes, 2006: 6). Es apremiante combatir este tipo de creencias y favore-cer en el aula un clima que fortaleza la autoeficacia y los autoconcepto de los alumnos.

4. Ejecucióndelplan(heurísticas)La ejecución del plan se refiere a las estrategias que implementa un alumno para resolver un problema. De acuerdo con Polya (1965: 27),al ejecutar el plan se comprueba cada uno de los pasos seguidos.si el

los estudiantes por llegar a una solución; es decir, por pensar sólo en el resultado antes que en los procesos. Todo parece indicar que el proceso debe ser realzado. Al mismo tiempo, es imprescindible combatir algu-nas creencias prevalecientes, como la idea de que los problemas matemáticos tienen sólo una respuesta correcta y una manera única de arribar a ella.

3. ConcepcióndelplanEl diseño de un plan supone el establecimiento de pasos o tareas para llegar a un objetivo. Para esto es preciso que los estudiantes perciban las relaciones existentes entre los diferentes elementos, con el fin de derivar acciones que conduzcan al resultado co-rrecto. Valle etal. (2007: 3) explican que se trata de ver qué liga a los datos, a fin de encontrar la idea de la solución y trazar un plan para alcanzarla. Los resultados de nuestra investigación revelan que este paso tiene importancia en la medida que permite al alumno trabajar para lograr un objetivo definido. Ante la ausencia de un plan, los estudiantes tienden a echar mano de estrategias irreflexivas que en la mayoría de los casos desembocan en errores. La didáctica de las matemáticas debe poner énfa-sis en este proceso, especialmente para propiciar un trabajo más ordenado por parte de los niños. Habría que estimular la reflexión sobre la importancia que tiene establecer un procedimiento a seguir de acuer-do con la incógnita y la relación entre los datos. Al mismo tiempo, habría que tener presente que la com-prensión del problema es un requisito fundamental para diseñar un plan. Trabajar en estos dos pasos de manera interrelacionada podría propiciar desempe-ños más eficaces. Las preguntas sugeridas por Polya

Esquema 2Confusióndelapregunta


plan está bien concebido su realización es factible, y si además se poseen los conocimientos y el entrena-miento necesarios debería ser posible llevarlo a cabo sin contratiempos. si aparecen dificultades será ne-cesario regresar a la etapa anterior para realizar ajus-tes al plan o incluso para modificarlo por completo. Por su parte, schoenfeld (citado en Barrantes, 2006: 2) resalta la importancia de contar con un buen repertorio de estrategias para la resolución de problemas; sin embargo, advierte que es necesario tener presente que las reglas heurísticas no son in-falibles y el éxito de su aplicación depende mucho de la experiencia, el juicio y el buen sentido de quien las use. Para analizar las estrategias empleadas por los estudiantes, la investigación retomó la división propuesta por Rizo y Campistrous (1999: 37) en dos grandes categorías: reflexivas e irreflexivas. Las primeras requieren de un proceso de análisis previo, que permite asociar la vía de solución a factores es-tructurales, mientras que las irreflexivas responden a

un proceder prácticamente automatizado, sin pasar por un análisis. Los hallazgos del estudio muestran que hay una mayor incidencia de procedimientos reflexivos que irreflexivos, pero su frecuencia fue mucho menor al tratarse de problemas más difíciles, específicamente los de geometría. se puede afirmar que la ausencia de marcos conceptuales adecuados y la deficiente comprensión se combinan de manera desafortuna-da en los problemas más complejos, agotando las posibilidades de razonamiento lógico de los niños y conduciéndolos a echar mano de métodos que están fuera de toda lógica. Ante la ausencia de comprensión y de un plan justificado, los alumnos recurren frecuentemente a la realización de operaciones con los datos propor-cionados, aunque éstas carezcan de sentido. Esto confirma los hallazgos de Rizo y Campistrous (1999: 39), quienes advierten una “tendencia ejecutora” entre los niños y la creencia de que “un problema siempre debe conducir a resolver operaciones”.


La estrategia irreflexiva más frecuente fue tratar adivinar la operación correcta, lo que corrobora que persiste la creencia en las matemáticas como algo desligado de la realidad, en donde sólo hay que aplicar algoritmos y fórmulas irreflexivamente. se advierte que el repertorio de estrategias empleadas por los estudiantes no es muy amplio y tiende a concentrarse prácticamente en una: la selección de la operación pertinente según la incógnita. si bien ésta puede ser una estrategia efectiva, no siempre condujo a respuestas correctas y su efectividad, contradictoriamente, tiende a disminuir en los problemas más fáciles (números fraccionarios y tratamiento de la información). Aun en problemas de geometría, donde la estrategia más idónea sería diseñar un dibujo, fue ésta la predilecta por los niños. Esto confirma la tendencia ejecutora ya mencionada. Es decir, los niños parecen recurrir de manera automática a la realización de cálculos, aunque éstos no sean indispensables. Los hallazgos sobre los procedimientos exhibi-dos por los alumnos parecen confirmar algunas de las conclusiones del trabajo de Arteaga y Guzmán (2005: 46) sobre la importancia de trabajar con problemas de diferente naturaleza para estimular el desarrollo de estrategias y habilidades diversas en los niños. Para tal efecto podría ser de gran ayuda el trabajo colaborativo, con la intención de analizar y valorar distintos procedimientos en la exploración de los problemas y en la búsqueda de soluciones. Así se avanzaría hacia la construcción del conocimiento de manera colectiva. Al mismo tiempo, trabajar con diferentes pro-cedimientos, especialmente estrategias reflexivas —como ordenar los datos y tenerlos presentes y apoyarse en esquemas y dibujos—, son heurísticas que fortalecen la comprensión del problema y pue-den conducir a formas más eficaces de resolverlos.

5. VerificaciónderesultadosPor último, se confirma la importancia de la ve-rificación de los resultados después de realizar la tarea. Muchos alumnos, al explicar nuevamente el procedimiento realizado, detectaron sus propios

errores, lo cual, desde el paradigma constructivista, devuelve a las evaluaciones su verdadero sentido dentro de un proceso cíclico y no como cúspide del mismo. Es preciso fomentar esta visión retrospectiva entre los niños.

ConsideracionesfinalesNuestra preocupación central es cómo podemos apoyar a nuestros niños para que tengan un mejor desempeño en la resolución de problemas. Para esto parece necesario:

• Afianzar las nociones básicas de los estudian-tes, prestar más atención a los vacíos que experimentan en torno a los conocimientos conceptuales críticos, como los de geometría.

• Centrar el trabajo pedagógico en que los alumnos construyan las nociones y los con-

ceptos básicos de las matemáticas por ellos mismos, de tal manera que se vuelvan re-cursos propios y no recetas al momento de resolver los problemas.

• Poner más atención en la lectura de com-prensión y en estimular el establecimiento de relaciones entre los datos, así como en la generación de inferencias a partir de las situaciones planteadas.

• Implementar y fomentar formas creativas de aproximarse a los problemas matemáticos. Utilizar problemas verdaderos —retos signifi-cativos— y clarificar el tipo de competencias a evaluar.

• Recurrir a verdaderos problemas —esto es, situaciones reales o hipotéticas plausibles para el alumno— que planteen retos significativos y que, como propone Alsina (2007: 90), activen su interés y su mente. Es necesario desestimar el uso de ejercicios que demandan respuestas mecánicas, que sólo recurren a la memorización de un algoritmo.

Notas1 Agradecemos a las autoridades del Centro de Investigaciones de Modelos Educativos (cime) permitirnos difundir los resulta-dos de este estudio. Hacemos una mención especial a Gustavo


saldaña Jattar y Olga santillán González por su participación en la realización de la investigación.2 El mmc se sustenta en un enfoque constructivista, por lo que para el análisis retomamos el marco conceptual de la teoría constructivista del aprendizaje y su aplicación en el campo de las matemáticas, así como algunas aproximaciones teóricas y metodológicas al análisis de las estrategias de resolución de problemas matemáticos, particularmente los aportes de Polya y shoenfeld.

ReferenciasAlsina, C. “si Enrique VIII tuvo 6 esposas, ¿cuántas tuvo

Enrique IV? El realismo en educación matemática y sus implicaciones docentes”. Revista IberoamericanadeEdu-cación, 43 (2007): 85-101.

Arteaga, J., y J. Guzmán. “Estrategias utilizadas por los alum-nos de quinto grado para resolver problemas verbales de matemáticas”. EducaciónMatemática, año/vol. 17, núm. 1 (abril de 2005): 33-53.

Campistrous, L., y C. Rizo. “Estrategias de resolución de problemas en la escuela. Cuba”. RevistaLatinoamericanadeInvestigaciónenMatemáticaEducativa, vol. 2, núm. 3 (1999): 31-45.

Barrantes, H. “Resolución de problemas. El trabajo de Allan schoenfeld”. Cuadernos de Investigación y Formación

en Educación Matemática, núm. 1 (2006). Disponible en: <http://www.cimm.ucr.ac.cr/cuadernos/cuaderno1/Cuadernos%201%20c%204.pdf>.

Escareño, F. “Enseña a resolver problemas aritméticos con ayuda de representaciones”.Aprenderaenseñarmatemáti-cas. Coords. A. Guerrero y I. Vidales. México: Colegio de Estudios Científicos y Tecnológicos del Estado de Nuevo León, 2005 (Altos Estudios, 2).

Fuenlabrada, I. “Los problemas, recurso metodológico en el que los números y sus relaciones encuentran significado”. Apren-deraenseñarmatemáticas. Coords. A. Guerrero y I. Vidales. México: Colegio de Estudios Científicos y Tecnológicos del Estado de Nuevo León, 2005 (Altos Estudios, 2).

Instituto Nacional para la Evaluación de la Educación (inee). ElaprendizajedelespañolylasmatemáticasenlaeducaciónbásicaenMéxico:Sextodeprimariaytercerodesecundaria. México: inee-Dirección de Pruebas de Medición, 2006.

Larios, V. “Constructivismo en tres patadas”. RevistaElectrónicadeDidácticadelasMatemáticas, año 1, núm. 1. Disponible en: <http://www.uaq.mx/matematicas/redm/>.

Novack, J. “Constructivismo humano: un consenso emergente”. RevistadeInvestigaciónyExperienciasDidácticas:EnseñanzadelasCiencias, 6 (3) (1988): 213-223.

Organización para la Cooperación y el Desarrollo Económico (ocde). “La definición y selección de competencias clave. Resumen ejecutivo” (consulta: 10 de marzo de 2009). Disponible en: <http://www.deseco.admin.ch/bfs/dese-co/en/index/03/02.parsys.78532.downloadList.94248.DownloadFile.tmp/2005.dscexecutivesummary.sp.pdf> (2004a).

Organización para la Cooperación y el Desarrollo Económico (ocde). “Informe pisa 2003: Aprender para el mundo del mañana” (consulta: 10 de marzo de 2010) <http://www.oecd.org/dataoecd/59/1/39732493.pdf> (2004b).

Polya, G. Cómoplantearyresolverproblemas. México: Trillas, 1965.

Valle, M.C., M.A. Juárez y M.E. Guzmán. “Estrategias generales en la resolución de problemas de la olimpiada mexicana de matemáticas”. RevistaElectrónicadeInvestigaciónEducativa, 9 (2). (consulta: 12 de agosto de 2009). Disponible en: <http://redie.uabc.mx/vol9no2/contenido-valle.html> (2007).

secretaría de Educación Pública (sep). “Estadísticas de la prueba enlace”. Dirección General de Evaluación (consulta: 10 de marzo de 2010). Disponible en: <http://enlace.sep.gob.mx/ba/db/stats/COMPARA_NAC_2006_2009.xls> (2010).

schoenfeld, A. MathematicalProblemSolving. Orlando: Aca-demia Press, 1985.

solaz-Portolés, J., y V. sanjosé. “Conocimiento previo, mode-los mentales y resolución de problemas. Un estudio con alumnos de bachillerato”. RevistaElectrónicadeInvestigaciónEducativa, 10 (1) (consulta: 05 de mayo de 2009). Dispo-nible en: <http://redie.uabc.mx/contenido/vol10no1/con-tenido-solaz.pdf> (2008).

Enseñanzayaprendizajedelossistemasmatemáticosdesímbolos • 29 Eduardo Mario Lacués Apud. Didac 56-57 (2011): 29-35

Enseñanza y aprendizaje de los sistemas matemáticos de símbolos

EduardoMarioLacuésApud*Profesor titular

Departamento de MatemáticaUniversidad Católica del Uruguay

❂

Resumense presentan los sistemas Matemáticos de símbolos (sms) como sistemas externos de repre-sentación y se discute su rol en las matemáticas, enfatizando que parte de la construcción matemática consiste en el uso competente de estos sistemas. Por un lado, se abordan algunos aspectos de su enseñanza y su aprendizaje, en particular de algunas dificultades asociadas a la apropiación de habilidades para un uso competente de los sms. Por otro, se indican los resultados de una investigación en un curso inicial de álgebra lineal que muestra que algunos diseños didácticos, concebidos con la intención de enseñar aspectos del uso de los sms, pue-den conducir a una mejor apropiación por parte de los estudiantes que les permite utilizarlos más competentemente, en particular en procesos como los de construir generalizaciones. se establecen algunas conclusiones y se proponen posibles desarrollos posteriores. Palabrasclave:sistemas matemáticos de símbolos, álgebra lineal, enseñanza y aprendizaje de matemáticas.

AbstractMathematicalSymbolSystems(mss)arepresentedasexternalrepresentations,anditsroleinMath-ematicsisdiscussed,highlighteningthatpartofmathematicalconstructionconsistofthecompetentuseofthesesystems.Ononeside,someissuedaboutitsteachingandlearningarementioned,particularlysomedifficultiesrelatedtotheacquisitionofskillsinthecompetentuseofmss.Onotherhand,theresultsofaninvestigationinanintroductoryLinearAlgebracoursearediscussed,showingthatdidacticdesignsconceivedtointentionallyteachtheroleofsomefeaturesofmss canhelpstudentstoachieveabetteracquisitionofskillsinitsuse,inparticular,inprocesssuchastheconstructionofgeneralizations.Someconclusionsarepointedandfurtherdevelopmentsareproposed. Key words: mathematicalsymbolsystems,linearalgebra,teachingandlearningofmath-ematics.

* Correo electrónico del autor: [email protected]

30 • Enseñanzayaprendizajedelossistemasmatemáticosdesímbolos Eduardo Mario Lacués Apud. Didac 56-57 (2011): 29-35

En este texto se abordan algunos aspectos del estudio de los sistemas Matemáticos de símbolos (sms) y se argumenta sobre la necesidad de consi-derarlos un objeto de enseñanza. En la primera parte se presentan los sms como un sistema externo de representación, y es posible referirse a sus dimensiones sintáctica, semántica y pragmática. En este sentido, son relevantes las preguntas sobre los procesos de construcción de representaciones sociales y su relación con las re-presentaciones mentales, en lo que Pozo (2001) llama co-construcción. En la segunda parte se mira a los sms como parte esencial de las matemáticas y se analizan algunas de las dificultades asociadas a su aprendizaje. En la tercera parte se presentan los resultados de un experimento de enseñanza en un curso inicial de álgebra lineal, los cuales muestran que la intervención didáctica puede conducir a una mejor apropiación, por parte de los estudiantes, de habilidades en el uso de sms, en particular para construir generalizaciones. Finalmente, se presentan consideraciones que indican algunas posibles líneas de desarrollo en el estudio de la enseñanza de los sms.

Lossms comosistemasexternosderepresentaciónPor sistemas externos de representación se entiende una combinación consensuada de signos que sirve para describir alguna entidad, refiriendo algunas características de lo representado a través de algunas particularidades en la configuración simbólica que se está usando como representante. sherin y Lee (2005) citan a Palmer para esta-blecer que esta noción de representación implica la aceptación de la existencia de dos mundos, uno representado y otro representante, que se relacionan entre sí, y que para disponer de un sistema de repre-sentación es necesario atender a los cinco aspectos siguientes:

a) Cuál es el mundo representado.b) Cuál es el mundo representante.c) Cuáles aspectos del mundo representado van

a ser modelados.

d) Cuáles aspectos del mundo representante constituyen el modelo.

e) Cuáles son las correspondencias entre los dos mundos.

En el ámbito de la educación matemática, James Kaput aparece como representante del punto de vista de los sistemas de símbolos. Kaput (1987) da una definición precisa de lo que entiende por sms: comienza por definir un esquema de símbolos como una colección realizable concretamente de caracte-res, junto con reglas más o menos explícitas para identificarlos y combinarlos; una terna formada por un esquema de símbolos, un campo de referencia y una ley que establece una correspondencia entre los dos anteriores es un sms. Como una peculiaridad distintiva de los sms, remarca que son sistemas de símbolos cuyo mundo representado es, a la vez, un sistema de símbolos. siguiendo con la presentación de Kaput, hay dos procesos cognitivos que pueden asociarse a los sms: por un lado, la lectura de la información presenta-da en un sms y la codificación de información en cierto sms; por otro, la elaboración o producción de nueva información una vez que la antigua ha sido codificada. Esta última actividad está dividida, a su vez, en dos: la elaboración sintáctica —en la que el ejecutante se limita a la manipulación de símbolos de acuerdo con las reglas válidas para el caso— y la elaboración semántica —en la que el individuo es capaz de razonar con las entidades representadas por el sms—. Esta distinción es crucial porque sirve de marco para analizar el problema de la construcción del sentido. Una pregunta pertinente es qué significa construir el sentido a partir de una representación, o, más ampliamente, a partir de varias representa-ciones del mismo objeto, dado que la misma entidad matemática puede frecuentemente representarse en diferentes sms. Una respuesta dada a esta pregunta, desde la perspectiva de los sistemas de símbolos, es que el sentido viene dado por el conjunto de traducciones que hacen posible vincular el mundo representado con cada uno de los mundos representantes. En cada


caso, los procesos de traducción entre el mundo representado y el representante son diferentes, y más aún, hay aspectos del mundo representado que se muestran mejor, en el sentido de que son más inmediatamente accesibles en alguno de los mundos representantes que en otros. Por lo tanto, la cons-trucción del sentido no solamente está dada en los procesos de traducción entre el mundo representado y cada uno de los representantes, sino, además, entre los diferentes mundos representantes. Con base en esta respuesta, la sola competencia para ejecutar algoritmos en forma estrictamente sin-táctica, que en muchos casos es el indicador utilizado para evaluar los desempeños en matemáticas, no puede ser considerada como suficiente evidencia de haber conseguido construir significados. En efecto, una persona puede llevar a cabo rutinas de cálculo tipificadas y no ser capaz de adecuar estas rutinas a casos similares, o no poder anticipar resultados ba-sándose en argumentos sobre el campo de referencia, o no lograr interpretar los resultados obtenidos en términos del mundo representado. Las relaciones entre los diferentes mundos repre-sentados sirven, retomando a Kaput, para dar una nueva visión de la relación entre sintaxis y semántica. Para este autor, la sintaxis en un sistema de represen-tación consiste en el conjunto de reglas que permiten transformaciones válidas en ese sistema, en tanto que la semántica se define en relación con otro sistema de representación y está conformada por la colec-ción de correspondencias entre estos dos sistemas. De esta forma, la relación entre dos mundos repre-sentantes se vuelve casi simétrica: lo que es sintaxis en uno de ellos es semántica en el otro. sin embargo, hay un punto notable en esta argumentación que vale la pena resaltar. Kaput destaca que para la adquisición de pericia en el uso de sms es una ventaja disponer de un sistema de representación cuyo esquema sintáctico sirva para evocar algunas de las relaciones entre las enti-dades representadas. si esto no ocurre los procesos de traducción se vuelven más difíciles, en tanto que descansan en reglas que aparecen como artifi-ciales.

En la siguiente sección se volverá sobre este tema. Para cerrar la presente se muestra una situación para ejemplificar las relaciones entre sintaxis y semántica, referida a las reglas de transposición de términos en una ecuación y sus vínculos con las definiciones de diferencia y cociente. Verbalmente, la diferencia entre dos números es un tercero que sumado con el segundo da el primero; algebraicamente ponemos a – b = c si y sólo si a = b + c. La regla sintáctica que permite transformar la ecuación en otra equivalente resulta entonces la expresión de la definición en términos algebraicos. Una situación similar se da en relación con la definición de cociente entre dos números. En caso de que no se hayan establecido vínculos entre estas representaciones, el estudiante o bien aplicará mecánicamente las reglas de transposición o bien no podrá elaborar formulaciones algebraicas y trabajará verbalmente. Quien haya conseguido construir traducciones apropiadas puede moverse con mayor flexibilidad en una tarea. Por eso la resolución de una ecuación por parte de un estudiante puede ser encarada de, al menos, tres formas. Pongamos, por ejemplo, que la tarea es resolver la ecuación de primer grado 2 × -3 = 1.

a) En un caso, el alumno puede actuar con apego a las reglas sintácticas: la ecuación 2x – 3 = 1 es equivalente a la ecuación 2x = 1 + 3, es decir 2x = 4, y ésta es equivalente a x = 4/2, que da la solución x = 2.

b) Por otro lado, interpretando verbalmente el significado de la ecuación como que la diferencia entre una cierta cantidad y 3 es 1, resulta que la cantidad es 4; notando luego que la cantidad es el doble de la incógnita, se obtiene que el valor de ésta es 2.

c) Finalmente, cabe la posibilidad de un proceso mixto, en el que algunos pasos se efectúen en un marco y los restantes en otro.

Un aprendiz que sólo pueda resolver la ecuación utilizando reglas sintácticas (que casi siempre es lo único exigido en la evaluación de los aprendizajes

sobre este tema), o que sólo pueda hacerlo en for-ma verbal, no ha construido puentes entre las dos representaciones, y, por lo tanto, la elaboración de significado que ha conseguido es más pobre que la de quien puede flexiblemente pasar de una repre-sentación a otra y elegir cuál es la mejor en cada caso para avanzar en el proceso de solución, como se describe en el inciso c. Esta discusión puede ampliarse si se incorporan otras representaciones, como la geométrica o la numérica.

Enseñanzayaprendizajedesms

Cuando se habla de sistemas Matemáticos de símbolos, la ubicación del adjetivo “matemáticos” calificando al sustantivo “sistemas” es deliberada y pretende poner énfasis en que no son los símbolos los que se consideran matemáticos, sino los sistemas que integran ciertos símbolos y una lengua vernácu-la. Ésta es la posición que defiende Puig (2003) al señalar que quien dota de significado al texto es el sistema y no los signos ni la lengua por sí mismos. Esta puntualización ayuda a situar el problema de la apropiación de los objetos matemáticos por parte de un estudiante, con los que entra en contacto a través de los signos (palabras, símbolos matemáticos) que integran el discurso matemático. Este discurso se conforma en torno a un conjunto de consensos que dota de un significado preciso, compartido por la comunidad matemática, a las expresiones que se usan para comunicar resultados o argumentar en torno a la validez de enunciados en matemáticas. Una de las características distintivas de las matemáticas es que con muy pocos símbolos organizados sistemática-mente es posible describir desde procedimientos de cálculo extremadamente complejos hasta relaciones lógicas entre enunciados, así como interpretar partes de la realidad o diseñar intervenciones para modi-ficarla en cierta dirección. Esta característica de las matemáticas explica, según Romberg (1991), gran parte de su poder y, a la vez, de las dificultades que se enfrentan para aprenderla. En muchos casos, los sms evocan algunos de los procesos asociados a las entidades que representan.

En este caso, las reglas sintácticas que rigen las transformaciones de expresiones en otras están más próximas a la intuición que cuando los sms son de carácter más arbitrario. Romberg resalta este último aspecto:

La identificación y la utilización de los símbolos pueden organizarse en ámbitos como los enuncia-dos simbólicos que caracterizan el ámbito, las tareas implicadas que deben llevarse a cabo, las reglas que deben seguirse para representar, transformar y realizar los procedimientos y el conjunto de situaciones que generalmente se han utilizado para crear los símbo-los, las relaciones entre ellos y las reglas significativas (Romberg, 1991: 374).

La dificultad que implica para el principiante apro-piarse de este discurso y usarlo competentemente es de las menos atendidas desde la enseñanza de las matemáticas. Carolyn Kieran (1992) presentó una recopilación de los resultados de investigación que hasta ese momento estaban disponibles. Una de las conclusiones es que tanto desde la enseñanza como desde los libros de texto existe una desatención a este problema. Más aún, señala que desde el momento en que los libros de texto son la principal referencia de los profesores, sobre todo de los novatos, no es extraño que lo que no figure en ellos no aparezca en las prácticas de aula. Kieran señala tres etapas históricas en el desarro-llo del lenguaje algebraico. La primera, que ella llama retórica, se caracteriza por una ausencia total de formalismo. Con los trabajos de Diofanto se marca el comienzo de la segunda, que se extiende hasta el siglo xv, cuando en Europa matemáticos como Vieta comienzan a elaborar métodos generales para abor-dar la resolución de diferentes problemas algebraicos a partir de los procedimientos diofánticos, dando inicio a la tercera etapa, la simbólica. En la primera fase, el trabajo del ejecutante se realiza casi directa-mente sobre los objetos mismos. La introducción de procedimientos para manipularlos, característica de la segunda etapa, distancia al ejecutante de la naturaleza de los objetos, y este proceso alcanza su culminación en la etapa simbólica.


Resulta, pues, que el dominio en el uso de sms permite tomar distancia de las formas más concre-tas de formulación de los problemas. Llevado a un extremo, esto puede significar que los estudiantes sean capaces de ejecutar algoritmos correctamente, sin tener en cuenta los problemas a los que esos algoritmos originalmente dieron respuesta. Rubinstein y Thompson (2001) presentan una serie de desafíos a los que se enfrentan los aprendices cuando establecen contacto con los sms: al tratar de verbalizar la información presentada en un forma-to simbólico, puede ser que necesiten utilizar un discurso bastante extenso y difícil de articular; por otro lado, la misma formulación simbólica puede

ser verbalizada de diferentes maneras, todas ellas equivalentes desde el punto de vista estrictamente matemático, pero que marcan matices de diferencia al momento de planificar o ejecutar acciones; en ocasiones, las formulaciones simbólicas no se leen de derecha a izquierda, y los procesos de búsqueda a derecha e izquierda o hacia arriba y abajo para leer correctamente son engorrosos. Otra de las características que los sms comparten con el lenguaje es que muchos de sus significados dependen del contexto en el que se formulan las sentencias, y para el aprendiz constituye un problema identificar cuáles son las pertinentes. La tabla 1 resume y ejemplifica algunas de las dificultades reseñadas.


Tabla 1Algunascaracterísticasproblemáticasdelossms

El mismo signo representa entidades diferentes

0 y 1 representan, respectivamente: a) los enteros cero y uno, b) los neutros de la suma y del producto en un campo, c) los neutros de la suma y del producto en un álgebra de Boole.

(a, b) representa:a) un intervalo abierto en el conjunto de los números reales (R),b) un par ordenado,c) las coordenadas de un punto en el plano,d) un vector en el espacio vectorial R2.

símbolos diferentes represen-tan la misma entidad.

(a, b) representa el conjunto {x∈R / a < x < b}.

(f g) (x) y f (g (x)) representan la imagen de x por medio de la función compuesta f g.

El mismo símbolo en una misma formulación tiene significados contextuales di-ferentes.

El primer par de paréntesis en (f g) (x) indica el resultado de una operación entre funciones (la composición), en tanto el segundo par señala que se está calculando la imagen de un elemento por medio de la composición indicada.

La x en el denominador de indica que la variable respecto a la cual se deriva parcial-

mente es la primera, en tanto la x dentro del paréntesis señala la primera coordenada del punto donde se calcula esta derivada.

La verbalización de una for-mulación puede ser engo-rrosa.

La fórmula para las raíces de la ecuación de segundo grado, ax2 + bx + c = 0 es ,

que se lee: “las soluciones son el cociente entre el doble del coeficiente del término de segundo grado, de la suma o la resta del opuesto del coeficiente del término de primer grado con la raíz cuadrada de la diferencia entre el cuadrado de este coeficiente y el cuádruplo del producto del coeficiente de término de segundo grado con el término independiente”.

La lectura de ciertas formu-laciones requiere de procesos de búsqueda hacia izquierda y derecha.

)3x(x2

x)1x(2

+++


Unexperimentodeenseñanzadelossms enálgebralinealEn el experimento que se describe se compararon los efectos de la enseñanza tradicional con los pro-ducidos por dos diseños instruccionales diferentes, destinados a explicitar algunos aspectos del uso de los sms. se utilizó un test inicial para estudiar la existencia de diferencias significativas entre los tres grupos, que dio resultados negativos, por lo que se supusieron homogéneos. Por otro lado, para estudiar las consecuencias de las intervenciones diseñadas se utilizaron las producciones de los integrantes de los tres grupos en tareas de resolución de problemas pro-gramadas a lo largo del curso, lo que dio evidencias de diferencias significativas a favor de cada grupo experimental respecto al grupo de control, aunque no entre los grupos experimentales. Esto indica que ambas intervenciones tuvieron una influencia positiva en la adquisición de pericia en el uso de los sms, aunque no pueda decidirse a partir de este experimento cuál es la mejor.

Los participantes en este experimento fueron alumnos que ingresaron a carreras de grado en ingeniería en 2006 en la Facultad de Ingeniería y Tecnologías (fit) de la Universidad Católica del Uruguay (ucu) y que cursaron en el primer semestre de ese año álgebra lineal. Estos estudiantes estaban separados en tres grupos por razones administra-tivas, cada uno de ellos con un profesor diferente, por lo que al azar se determinó a uno de los grupos como grupo de control (gc), en tanto que los otros dos fueron designados como grupo experimental 1 y grupo experimental 2 (ge1 y ge2, respectivamente), cada uno con una intervención didáctica propia, que se describirá posteriormente. Como parte de la evaluación del curso se selec-cionaron diez problemas de entre los que integran las tareas habituales del curso, cuya solución requiere el uso de los sms. se propuso que cada estudiante compusiera, individualmente, una carpeta con las soluciones a estos problemas. Un único profesor, diferente a los que tenían asignados los grupos, tuvo

a su cargo las tareas de corrección, que debían ser de-vueltas a los alumnos en el plazo de una semana. Los integrantes del ge1 recibieron una interven-ción didáctica consistente en que el mismo profesor que llevó a cabo la corrección escribió sugerencias o recomendaciones enfatizando alguno de los aspectos pertinentes de los sms en relación con la tarea, para cada estudiante de este grupo, a partir de la forma en que hacía uso de los sms. Para el ge2 la intervención consistió en la expo-sición de las soluciones a nueve problemas, elegidos porque servían para explicitar aspectos del uso de los sms. Estos problemas fueron resueltos por el mismo profesor que tuvo a su cargo las correcciones de ge1, en cuatro sesiones distribuidas entre la segunda y tercera semanas de clases. A partir de las calificaciones obtenidas en la reso-lución de los problemas integrantes de la carpeta, se elaboraron conjuntos de notas. La comparación en-tre estos conjuntos dio como resultado la existencia de diferencias significativas entre el rendimiento de cada grupo experimental y el del grupo de control, mientras que no se constataron diferencias signi-ficativas entre los dos grupos experimentales. Este resultado indica que las intervenciones desarrolladas tienen un efecto positivo en la adquisición de habi-lidades en el uso de los sms. También parece establecer que no hay dife-rencias entre una instrucción concentrada y otra distribuida a lo largo del curso. Teniendo en cuenta las características de cada intervención, esto puede ser interpretado en el sentido de que el principal efecto ocurre en las primeras instancias de la inter-vención, mientras que las siguientes sólo inciden marginalmente. Esta interpretación es consistente con la postura que asume Berger (2004): basada en las nociones zonadedesarrolloproximalde Vygotski, afirma que el uso funcional de los signos, a la vez de ser condición necesaria para la construcción de significados matemáticos, se constituye en produc-tor de al menos parte de esos significados. En otra dirección de análisis de los resultados, se constató que en los problemas donde los sms eran el instrumento adecuado para construir gene-

ralizaciones, tanto el ge1 como el ge2 tuvieron un desempeño significativamente mejor que el de gc. Esto es especialmente importante porque indica que estos aspectos del uso de los sms pueden ser adquiridos de mejor manera por los alumnos cuando hay una enseñanza diseñada intencionalmente para mostrar su uso.

ConclusionesysugerenciasAlgunos aspectos del uso de los sms pueden ser enseñados de manera que se promueva una mayor competencia en los estudiantes en relación con su utilización. Esta enseñanza puede llevarse a cabo en el marco de las actividades regulares de los cursos de matemáticas, lo que vuelve importante el diseño de intervenciones didácticas con esta intención. Teniendo en cuenta la presencia creciente del uso de sistemas de enseñanza asistidos por computadora y de softwarematemático en los cursos de la disci-plina, se hace necesario indagar la relación entre el uso de tecnologías y la apropiación de habilidades en relación con los sms.

ReferenciasBerger, M. “The functional use of a mathematical sign”. Educa-

tionalStudiesinMathematics,55 (2004): 81-102.Kaput, J. “Towards a theory of symbol use in mathematics”.

ProblemsofRepresentationintheTeachingandLearningofMathematics, ed. por C. Janvier. Hillsdale, Estados Unidos: Lawrence Erlbaum Associates, Inc., 1987, pp. 159-195.

Kieran, C. “El aprendizaje y la enseñanza del álgebra escolar” (consulta: 15 de diciembre de 2009) <http://ued.unian-des.edu.co/ued/servidor/em/recinf/traducciones/default.html>.

Pozo, J.I. Humanamente:elmundo, laconcienciay lacarne. Madrid: Ediciones Morata, 2001.

Puig, L. “signos, textos y sistemas matemáticos de signos”. Matemática educativa: aspectos de la investigación actual, ed. Por E. Filloy. México: Fondo de Cultura Económica, 2003 (consulta 15 de diciembre de 2009) <http://www.uv.es/puigl/mexico00.pdf>.

Rubinstein, R., y D. Thompson. “Learning mathematical symbolism: Challenges and instructional strategies”. Ma-thematicsTeacher, vol. 94, núm 4 (2001): 265-271.

sherin, B., y V. Lee. “On the interpretation of scientific representations”, documento presentado ante la Annual Meeting of the American Educational Research Associa-tion, Montreal, 2005 (consulta: 15 de diciembre de 2009) <http://www.victorsworld.net/sherinLee2005.pdf>.


36 • Polisemiadelsigno«–»enlaintroduccióndelnúmeroentero Romà Pujol Pujol, Lluís Bibiloni Matos, Jordi Deulofeu Piquet. Didac 56-57 (2011): 36-42

Polisemia del signo « – » en la introducción del número entero*

RomàPujolPujol**Catedrático de matemáticas, Institut de l’ArboçProfesor asociado de didáctica de la matemática

Departament de Didàctica de la Matemàtica i de les Ciències ExperimentalsUniversitat Autònoma de Barcelona

LluísBibiloniMatosProfesor de didáctica de la matemática


JordiDeulofeuPiquetProfesor de didáctica de la matemática


❂

ResumenLa didáctica de la primera introducción al conjunto de los enteros (números negativos) cons-tituye el centro de interés de este artículo. Clasificamos las tipologías de enseñanza de este contenido curricular y sugerimos una introducción híbrida a través de un puente didáctico entre una introducción empírica, que constituye a menudo una primera introducción en la enseñanza obligatoria, y el método deductivo. La polisemia del signo menoses enfatizada, esclarecida y combinada con algunas pinceladas del método deductivo para mejorar esta primera introducción que actualmente se implementa en la matemática escolar a través de modelos concretos. Palabrasclave:número entero, polisemia

AbstractThedidacticsofthefirstintroductiontothesetoftheintegers(negativenumbers)constitutesthekeyfocusofthisarticle.Weclassifytheteachingtypologiesofthiscurriculumcontentandwesuggestahybridintroductionthroughabridgebetweenanempiricalintroduction,whichisfrequentlyafirstintroductiontocompulsoryeducation,andthedeductivemethod.Thepolysemyoftheminussignisemphasized,elucidatedandmixedwithsomebrushstrokesofdeductivemethodtoimprovethisfirstintroductionasitisimplementednowadaysinschoolmathematicsthroughempiricalmethods. Key words:wholenumber,polysemy

* Este artículo se ha realizado en el marco del proyecto edu2009-07298, financiado por el Ministerio de Ciencia e Innovación del Gobierno de España, y el plan de actuación del grupo de investigación consolidado premat (2009sgr364) de la Generalitat de Catalunya.** Correo electrónico del autor: [email protected]

Polisemiadelsigno«–»enlaintroduccióndelnúmeroentero • 37 Romà Pujol Pujol, Lluís Bibiloni Matos, Jordi Deulofeu Piquet. Didac 56-57 (2011): 36-42

IntroducciónEn los primeros años de vida, las niñas y los niños identifican la suma, que denotamos por el signo « + », con la acción añadir. De hecho, aprenden a sumar tal como la acción añadir les dicta que deben hacerlo. También identifican la resta, que denotamos por el signo « – », con la operación restar. En este caso aprenden a restar tal como la acción quitar les dicta que deben hacerlo. La transparencia de dichas identificaciones les permite aprender a sumar y restar, y a expresar simbólicamente, en el momento adecuado, las operaciones. En particular, la acción quitar, la operación restar y el signo « – » toman una profunda vinculación entre sí. Poco después de la primera década de vida, y por regulación de los currículos de matemáticas, se introduce el número negativo. El signo « – », estrechamente relacionado hasta ese momento con la acción quitar y la operación restar, pasa a ser utilizado para denotar los números negativos; pero esto no siempre ha sido así. Tal como apuntan Crowley y Dunn (1985: 253), históricamente el signo menos no siempre ha sido usado con esa doble función. Otras notaciones fueron usadas, aunque no universalmente establecidas. Una de ellas es la utilizada por el árabe Al-Jwarizmi, quien colocaba un pequeño círculo o un punto encima o al lado del número para indicar que era negativo. También los antiguos hindús utilizaron otra de dichas notaciones al indicar los números negativos rodeándolos con un círculo. se puede vivir perfectamente en este mundo sin establecer ninguna relación entre la “pluma” de un ave y una “pluma” estilográfica, pero es educativo conocerla. Análogamente, se pueden desconocer los motivos por los cuales el signo « – », que el niño utiliza para denotar la resta, es utilizado posterior-mente para denotar los números negativos, pero es educativo conocerlos. ¿sería posible ofrecer en la actualidad una enseñanza que permita esclarecer por

qué utilizamos para denotar los números negativos el mismo signo que con anterioridad utilizamos para la resta? En las líneas siguientes veremos que la polisemia en la que recae el uso del signo « – » puede ser esclarecida y que, además, esto facilita el posterior aprendizaje de las operaciones entre números enteros. Facilitamos una propuesta de enseñanza que, de acuerdo con Klein (1927: 38), participa del com-plemento necesario para una total comprensión.

ClasificacióndelaspropuestasdeenseñanzadelnúmeroenteroDe acuerdo con Bruno (2001: 417-420), la intro-ducción del número negativo en la matemática escolar puede seguir, según el conjunto numérico de partida considerado, tres caminos. Desde el nú-mero natural puede introducirse el entero; también es posible introducir el número negativo a partir del racional positivo y, en tercer lugar, también a partir del real positivo. Cabe destacar que el proce-so seguido por la historia de la matemática sugiere familiarizar al estudiante con el racional positivo antes de inmiscuirlo en el número negativo, por lo cual queremos acentuar el interés didáctico de la segunda propuesta. No obstante, la primera es la más extendida y por ese motivo partimos del número natural y nos ocupamos de la introducción del número entero. Arcavi y Bruckheimer (1981: 31-33) clasifican las posibles introducciones de la estructura multiplicativa y Cid (2003: 2) las hace extensivas a la introducción del número entero. sintetizamos brevemente esta clasificación, puesto que permitirá situar nuestra propuesta:

i. Instructiva. se basa en la imposición de la terminología con la que denotamos el nú-mero negativo y de las reglas que rigen sus operaciones.

ii. Inductiva. se basa en la búsqueda de re-gularidades numéricas. Para ello se acepta


la terminología con la que denotamos los números negativos. Listas de operaciones entre números enteros ordenados muestran comportamientos que dictan los resultados de las operaciones.

iii.Modelosconcretos. Toma su fuerza en el sen-tido común del aprendiz. La terminología con la que se denotan los números negativos se acepta por convenio y las reglas que rigen sus operaciones se explican a partir de la evidencia empírica de situaciones cercanas al estudiante.

iv.Deductiva. se basa en el principio de per-manencia de las leyes formales. se desvin-cula del sentido común del aprendiz y de la búsqueda de regularidades numéricas. sin embargo, permite obtener las reglas que ri-gen las operaciones entre números enteros.

v.Constructiva. se basa en la presentación axiomática del conjunto de los números enteros, sus operaciones y sus propiedades. Otorga una indudable solidez al conjunto presentado pero no revela el motivo de dicha presentación.

IntroduccióndelnúmeroenteroporunmétodohíbridoLa enseñanza del número entero a través de modelos concretos se basa en el sentido común del estudiante, lo cual le otorga una riqueza de la que no dispone el resto de introducciones, aunque padece algunos inconvenientes. según Cid (2002: 537), “la arit-mética elemental no permite poner de manifiesto la utilidad de los números negativos, o de los números enteros en particular, porque todos los problemas que se plantean en ese ámbito pueden resolverse perfectamente en términos de números positivos”. Pero si la introducción del número entero a través de modelos concretos la alimentamos con la potencia del método deductivo conseguimos: cercanía a la realidad cotidiana de los estudiantes, gracias a los modelos concretos, y la obtención de las reglas que rigen las operaciones entre números enteros, gracias al método deductivo. Ejemplificamos a continua-

ción lo expuesto, procediendo a partir del modelo concreto de los ascensores. Denotar la planta baja de un edificio por el número cero, la primera planta por el número 1 y así sucesivamente es aceptado de forma generaliza-da. sin embargo, el primer subterráneo puede ser denotado de diferentes formas: “s1”, “subterráneo 1”, “Parking 1”, “–1”. Las tres primeras intentan comunicar una ubicación con palabras o sus abre-viaturas. No obstante, utilizar “–1” requiere alguna explicación, tal como hemos destacado en la intro-ducción de este artículo. Los niños familiarizados con los números natu-rales y con sus operaciones elementales equiparan la planta baja con el número cero y un determinado piso con un cierto número natural. Identifican que subir una cierta cantidad de pisos se corresponde con sumar al número que identifica el piso donde están el número que indica la cantidad de pisos que han subido o quieren subir. De forma análoga identifican que bajar una cierta cantidad de pisos se corresponde con restar al número del piso donde se encuentran el que indica la cantidad de pisos que han bajado o quieren bajar. Dado esto por conocido, ¿existe alguna razón para denotar el primer subterráneo de alguna determinada forma o se trata sólo de un convenio?

Figura 1Unaintroducciónhíbrida.Delmodeloconcreto

delascensoralmétododeductivo.

La coyuntura de estar en el segundo piso y subir uno la expresamos matemáticamente por


“2 + 1 = 3”. De forma análoga, si estamos en el pri-mer subterráneo y subimos un piso estaremos en la planta baja, y ello lo expresamos matemáticamente por “? + 1 = 0”. Pero para el alumno que sólo está familiarizado con los números naturales no existe ningún número que sumado a uno tenga por resulta-do cero. De forma parecida, si estamos en el primer subterráneo y subimos tres pisos estaremos en el segundo, y esto lo expresamos matemáticamente por “? + 3 = 2”. sin embargo, el primer subterráneo existe, y si queremos indicarlo con un número, éste debería satisfacer las relaciones anteriores. En cualquiera de los dos ejemplos mostrados, si acep-tamos que algún número debe cumplir con dichas relaciones, entonces es tal que cuando lo sumamos se comporta como si restásemos uno. ¡Buen motivo para denotarlo por “–1”! De forma similar, si estamos en el segundo sub-terráneo y subimos tres pisos estaremos en el primer piso, y ello lo expresamos matemáticamente por “?? + 3 = 1”. Análogamente, si estamos en el segun-do subterráneo y subimos cinco pisos estaremos en el tercero, y ello lo expresamos por “?? + 5 = 3”. En cualquiera de los dos ejemplos mostrados, si acep-tamos que algún número debe cumplir con dichas relaciones, entonces es tal que cuando lo sumamos se comporta como si restásemos dos. ¡Buen motivo para denotarlo por “–2”! La revisión bibliográfica realizada en el estudio de Pujol (2008) congrega investigaciones sobre dificultades y errores, propuestas de enseñanza y estudios sobre la epistemología del número negativo. sin embargo, no hemos apreciado en ninguna de las publicaciones consultadas propuesta alguna que esclarezca la polisemia en la que recae el uso del signo « – ». Tampoco ninguna de las propuestas de intro-ducción del número entero (Arcavi y Bruckheimer, 1981; Cid, 2003) clarifica dicha polisemia.

LasumadenúmerosenterosenlapropuestahíbridaLa introducción del número entero por el método híbrido “modelos concretos-método deductivo”, expuesto en el apartado anterior, honra la génesis histórica. Con Cid (2002: 538-539), “lo que el

estudio de la epistemología de los números negati-vos pone de manifiesto es que la génesis de dichos números se produjo en el seno del álgebra y que su aceptación estuvo dificultada por la exigencia de la matemática clásica de interpretar los objetos alge-braicos como objetos de la aritmética elemental”. La propuesta que mostramos surge de una situación cercana a alumnos y alumnas y conduce, expresado en forma retórica, a la búsqueda de un número que sumado al número uno tenga por resultado el número cero; expresado en forma simbólica busca-mos la solución de esta ecuación: “? + 1 = 0”. Esto facilita una introducción simultánea entre el número negativo y los preliminares del lenguaje algebraico y se corresponde con la coyuntura vivida por la historia de la matemática expuesta por Freudenthal (1983: 432). Operaciones como “–5 + 7” o “–5 – 7” obtie-nen respuesta simplemente gracias al significado del signo « – ». si “–5” es un número que cuando lo sumamos se comporta como si restásemos 5, entonces “–5 + 7 = 2”. Además, la introducción híbrida permite visualizar el resultado en el modelo del ascensor, en la recta numérica y también en otros modelos. Aceptamos que el efecto que la resta de números naturales tiene en el modelo del ascensor, o en la recta numérica, se mantiene con números enteros y por consiguiente “–5 – 7 = –12”. Las preguntas relativas a la terminología utili-zada y al comportamiento de la suma de números enteros nacen de una situación cotidiana, pero las respuestas no se limitarán al modelo cuando éste no sea convincente. Con Klein (1927: 32-33) “se presenta, pues, aquí por primera vez, el paso de la matemática práctica a la formal, para cuya completa comprensión es precisa en alto grado la capacidad de abstracción”. Posteriormente, la utilización del número entero en problemas cercanos al alumno será clave para dar sentido práctico a su existencia. Históricamente fue Albert Girard (1595-1632) el primero que no sólo tuvo en cuenta la validez al-gebraica del número negativo, sino que además lo interpretó geométricamente (González etal., 1990: 33). Al- Jwarizmi (~780-850) atesoró problemas que


invitan a usar el lenguaje algebraico; tal vez álgebra retórica en un primer momento. su resolución con-duce, en algunas ocasiones, a soluciones negativas, que no eran contempladas en el siglo ix, cuando se publicó EllibrodelÁlgebradeAl-Jwarizmi(2009). Fue Descartes (1596-1650) quien dio a conocer las cantidades negativas, aunque fuese negando su exis-tencia, y éste es uno de los frutos que se desprenden de aplicar el álgebra a la geometría (Descartes, 1999: 102-103). Tal como dice D’Alembert, citado por González etal. (1990: 27), “el álgebra es generosa, a menudo da más de lo que se le pide”.

LarestadenúmerosnegativosLos participantes en la fase empírica de la investiga-ción realizada por Iriarte etal. (1991: 13) afrontaron la búsqueda de una situación real en la que tuviera sentido –(–3). Los resultados obtenidos descubren enormes dificultades, incluso entre los estudiantes del primer curso de formación de maestros. Parece, pues, que el esclarecimiento de la terminología uti-lizada para denotar el número negativo y la suma de enteros debería ser contenido más que suficiente para una primera introducción. En nuestra vida cotidiana no convivimos con el producto ni con la división de números negativos, y muy raramente con la resta. Mientras el álgebra no requiera respuestas, interrogantes como hallar el valor de –(–3) tal vez deberían posponerse. Forzar la interpretación de dicha expresión u otras similares en contextos reales podría conducir a situaciones como la expuesta por Cid (2002: 534):

Un alumno podría pensar que (+70) – (–10) = +70 porque “si tengo 70 pesetas y me perdonan una deuda de 10 pesetas sigo teniendo 70 pesetas”. Natural-mente, el profesor utiliza otro razonamiento dentro de ese mismo modelo, pero hay que reconocer que el primero es perfectamente válido desde el punto de vista del “sentido común”, que es a lo que se apela cuando se trabaja con modelos familiares a los niños. De la misma manera, podríamos deducir que (–6) – (–2) = +4, diciendo que “entre 6 grados bajo cero y 2 grados bajo cero hay 4 grados de diferencia y 4 es lo mismo que +4”.

Históricamente, con Freudenthal (1983: 433), el motivo al cual deben su existencia los números negativos fue la necesidad de dar validez general a los métodos de resolución de ecuaciones. Una intro-ducción simultánea con el álgebra permite denotar –(–3) por x, es decir, –(–3) = x. si aceptamos para los números negativos la segunda noción común de los Elementos de Euclides (1991-1996), que dice que si a cosas iguales añadimos cosas iguales los totales son iguales, entonces también será cierto que (–3) + x = (–3) – (–3), es decir, (–3) + x = 0. Puesto que –3 es un número que cuando lo suma-mos se comporta como si restásemos 3, entonces x = 3; como consecuencia –(–3) = 3. Cuando los modelos concretos no dan respuestas satisfactorias, interviene el método deductivo. He aquí la potencia del método híbrido.

Elproductodenúmerosenteros“Menos por menos da más” es frecuentemente “piedra de escándalo” para muchos, según Klein (1927: 33). Peterson (1972) muestra catorce formas distintas de introducir el producto de números negativos, pero no apreciamos modelos híbridos. Es fácil que la enseñanza del producto de números enteros tome la introducción instructiva, pero esto conduce a destacadas dificultades. Léonard y sackur (1990) muestran que la proporción de éxitos entre los participantes en la fase empírica de su inves-tigación ante la realización de sumas y restas con números enteros disminuye cuando se les enseña el producto. según los citados autores, el aprendizaje del producto de números enteros provoca que los alumnos apliquen a sumas y restas la regla de los signos para el producto, dando lugar a errores que en un principio no se producían. Las diferentes introducciones del producto de números negativos que se pueden encontrar en los libros de texto están cabalmente tratadas en Gómez (2001: 257-275). Para la selección de una propuesta de enseñanza cabe destacar que el apego a la evidencia inmediata, a la intuición primaria de número como cantidad, dificultó históricamente la aceptación del número negativo (Iriarte et al.,


1991: 13). Además, a juicio de schubring, uno de los hechos que obstaculizaron el proceso de con-ceptualización del número negativo fue la tardía diferenciación entre número, cantidad y magnitud, extraído de Cid (2000: 7). El hecho de que los nú-meros sólo pudieran tener sentido como medidas de cantidades de magnitud constituyó un obstáculo epistemológico al reconocimiento matemático de los números negativos (Cid, 2002: 539). El producto de un entero positivo por uno ne-gativo puede ser expresado como la suma de enteros negativos. En este caso la interpretación dada al signo « – » basta para abordar la interrogante. sin embargo, el producto entre números enteros negati-vos tiene algunas particularidades que apuntaremos a continuación.

La justificación de la regla de los signos de Mac-Laurin (1698-1746), recogida en su Tratadodeálgebra(1748) y que tomamos de Gómez (2001: 263-264), focaliza la atención en las operaciones y se aleja de las interpretaciones físicas. Laplace (1749-1827) recurre a la conservación de la suma, el producto y la propiedad distributiva. Estas po-siciones condujeron a la que actualmente se llama introducción deductiva (Arcavi y Bruckheimer, 1981: 32-33; Cid, 2003: 2-3). El modelo híbrido que proponemos añade a estos posicionamientos la transparencia dada a la polisemia en la que recae el uso del signo « – », tal como mostramos en las concreciones siguientes. (–1) + 1 = 0, puesto que –1 es un número que cuando lo sumamos se comporta como si restáse-mos 1. si aceptamos que la propiedad distributiva, conocida y aceptada para números naturales, sea también cierta para los números negativos, enton-ces: 0 = (–1) + 1 = (–1) ((–1) + 1) = (–1) (–1) + (–1) 1 = (–1) (–1) –1. De donde (–1) (–1), si algún valor debe tener, sólo puede ser 1.

ConclusionesEl uso del signo « – » para denotar los números negativos tiene una razón de ser y no se trata de un convenio vacío de significado. Esclarecer dicha notación es ineludible si queremos facilitar el uso de este medio de comunicación que llamamos ma-temáticas. De acuerdo con la posición de Cockcroft (1985: 4):

Las matemáticas proporcionan un medio de comu-nicación de la información conciso y sin ambigüedad porque hacen un uso amplio de la notación simbólica. sin embargo, es la necesidad de usar e interpretar esta notación y de entender las ideas y conceptos abstractos que le sirven de base lo que resulta un escollo para mucha gente. En efecto, la notación simbólica que capacita a las matemáticas para que se usen como medio de comunicación y así ayudar a hacerlas “útiles”, puede también hacer las matemáticas difíciles de entender y usar.


¿se puede demostrar que « – » por « – » es « + »? Para que sea posible es necesario dar significado al signo « – ». si no denotáramos los números negativos con el mismo signo que usamos para la resta, la regla de los signos no sería enunciada de esta forma. sin embargo, y tal como hemos mostrado en las líneas anteriores, la regla de los signos es consecuencia de extender a los números negativos las propiedades que con toda claridad cumplen los positivos. La propuesta educativa presentada arranca con el modelo de los ascensores y se inmiscuye en el método deductivo, a partir de la idea de Laplace, cuando el modelo no facilita respuestas satisfacto-rias. Pero esto admite diversas variantes, según el modelo de partida escogido y la justificación his-tórica utilizada. La incidencia en el aprendizaje del dechado de combinaciones posibles debe venir de la mano de argumentos fundamentados en la investi-gación didáctica.

ReferenciasAl-Jwarizmi, Mohammed ibn-Mussa. Ellibrodelálgebra. Tres

Cantos (Madrid): Nivola, 2009.Arcavi, Abraham, y Maxim Bruckheimer. “How shall we teach

the multiplication of negative numbers?”. MathematicsinSchool, 10. 5 (1981): 31-33.

Bruno, Alicia. “La enseñanza de los números negativos: formalismo y significado”. LaGacetadelaRealSociedadMatemáticaEspañola, 4. 2 (2001): 415-427.

Cid, Eva. “Obstáculos epistemológicos en la enseñanza de los números negativos”. ActasdelXVJornadasdelSeminarioInteruniversitariodeInvestigaciónenDidácticadelasMate-máticas. Boletín sI-IDM, 10 (2000).

___. “Los modelos concretos en la enseñanza de los números negativos”. Actas de las X Jornadas para el Aprendizaje yEnseñanzadelasMatemáticas, 2 (2002): 529-542.

___. Lainvestigacióndidácticasobrelosnúmerosnegativos:estadodelacuestión. Universidad de Zaragoza: Pre-publicaciones del seminario Matemático “García de Galdeano”, 2003.

Cockcroft, Wilfred Halliday. Las matemáticas sí cuentan.Informe Cockcroft. Madrid: Ministerio de Educación y Ciencia, 1985.

Crowley, Mary L., y Kenneth A. Dunn. “On multiplying negative numbers”. MathematicsTeacher, 78. 4 (1985): 252-256.

Descartes, René. La geometria. Barcelona: Institut d’Estudis Catalans, 1999.

Euclides de Alejandría. Elementos. Madrid: Gredos, 1991-1996.

Freudenthal, Hans. Didacticalphenomenologyofmathematicalstructures. Dordrecht (Holanda): D. Reidel Publishing Company, 1983.

Gómez, Bernardo. “La justificación de la regla de los signos en los libros de texto: ¿Por qué menos por menos es más?” Iniciaciónalainvestigaciónendidácticadelamatemática. Eds. Pedro Gómez y Luis Rico. Granada: Universidad de Granada, 2001: 257-275.

González, José Luis, etal. Númerosenteros. Madrid: síntesis, 1990.

Iriarte, María Dolores, Manuela Jimeno e Inmaculada Vargas-Machuca. “Obstáculos en el aprendizaje de los números enteros”. SUMA 7 (1991): 13-18.

Klein, Felix. Matemática elemental desde un punto de vistasuperior,1. Madrid: [s.n.], 1927.

Léonard, François, y Catherine sackur. “Connaissances locales et triple approche, une méthodologie de recherche”. Re-cherchesenDidactiquedesMathématiques, 10. 2.3 (1991): 205-240.

Peterson, John C. “Fourteen different strategies for multiplica-tion of integers or why (-1) × (-1) = (+1)”. TheArithmeticTeacher, 19. 5 (1972): 396-403.

Pujol, Romà. Una reconsideració dels nombres enters per al’ensenyament postobligatori. Tesis doctoral. Universitat Autònoma de Barcelona, 2008.

Una propuesta de enseñanza para favorecer la transición de la aritmética

al álgebra en alumnos de secundariaRosadelCarmenFloresMacías*

Profesora titularFacultad de Psicología

Universidad Nacional Autónoma de México

RaúlCastellanosCruzDoctorante

Facultad de PsicologíaUniversidad Nacional Autónoma de México

❂

Resumense presenta una propuesta instruccional para apoyar la transición de la aritmética al álgebra durante la solución de problemas. La propuesta se basa en el empleo de una estrategia de so-lución de problemas diseñada de tal forma que el alumno pueda ser autónomo en su empleo y en la comprensión de las ecuaciones algebraicas mediante una representación gráfica. se hace especial énfasis en que el alumno comprenda el significado de conceptos como incógnita, igualdad, literal, así como los procedimientos algebraicos en el contexto de la solución de un problema. Palabrasclave:álgebra, solución de problemas.

AbstractAninstructionalproposalispresentedtosupportthetransitionfromthearithmetictoalgebrainsolvingwordproblems.Theproposalisbasedontheuseofastrategydesignedinsuchawaythatthestudentmaybeautonomousintheiruseandunderstandsthealgebraicequationsusingagraphicalrepresentation.Thefocusisintheunderstandingthemeaningofconceptssuchasunknownvariable,literal,equalityaswellasalgebraicproceduresinthecontextofsolvingaproblem. Key words: algebra,wordproblemsolution.

Ante la pregunta “¿para ti qué son las matemáti-cas?”, un alumno respondió: “Una cueva tenebrosa”. La analogía es perfecta para describir la situación de muchos alumnos de secundaria cuando empiezan

a aprender álgebra, pues el sentido de las tareas se vuelve oscuro y extraño. sus conocimientos aritmé-ticos no son suficientes, se enfrentan a ejercicios en los que hay letras y números que se suman, restan, multiplican o dividen y en los que se les plantea que tienen que resolver problemas encontrando el valor

Unapropuestadeenseñanzaparafavorecerlatransicióndelaaritméticaalálgebraenalumnosdesecundaria • 43 Rosa del Carmen Flores Macías, Raúl Castellanos Cruz. Didac 56-57 (2011): 43-49


de las letras y haciendo operaciones extrañas; escu-chan frases como “si está sumando pasa restado” o “si está dividiendo pasa multiplicando”, situaciones que para los alumnos no tienen sentido (Castellanos y Flores, 2006: 131-148). Diferentes autores (Kieran, 1992; Kieran y Filloy, 1989; MacGregor y stacey, 2000; Pizón y Gallardo, 2000) señalan las siguientes dificultades de los alumnos en la transición de la aritmética al álgebra.

Generalizaciónequivocadadeprocedimientosarit-méticos. Haber aprendido a pensar y operar con símbolos numéricos dificulta la comprensión de la operación con letras y las reglas de operación en las ecuaciones.

Resistenciaaemplearecuaciones. En los problemas de preálgebra que se prestan también para una solución aritmética, los alumnos primero los resuelven con una operación aritmética y luego intentar adivinar la ecuación, pero sin compren-der cabalmente el significado de ésta.

Dificultadesenelempleodelossignosyexpresiones. Dos dificultades centrales en el aprendizaje del álgebra son la “condensación” (cuando se tiene más de un significado para una expresión) y la “evaporación” (una pérdida del significado de los símbolos).

Dificultades para expresar formalmente los mé-todos yprocedimientosque seusanpara resolverproblema. La confianza en métodos intuitivos y que se centren en conseguir “de alguna forma” la respuesta va en contra de que vean las relaciones enunciadas en el problema y de que sistematicen su método de solución.

Equivocacionesenlainterpretacióndelasvariables. La experiencia de los niños en la escuela con las letras de ecuaciones se reduce a fórmulas como A = b × h; esto puede provocar que los alumnos traten las letras en ecuaciones como incógnitas

con un valor fijo más que como números gene-ralizados o como variables.

Desconocimiento del significado de la igualdad. Los alumnos manejan el signo de igual como una señal de hacer algo e ignoran el significado de la igualdad como un equilibrio entre los dos miembros de la ecuación.

Omisiónparcialdelaincógnita. Los estudiantes no perciben la incógnita en el segundo miembro en ecuaciones; por ejemplo, en x + 2x = 3 + x ignoran la x del miembro derecho y presentan 3x = 3 como resultado de la ecuación anterior.

Interpretaciónequivocadadelaconcatenacióndetérminosalgebraicos. La concatenación en arit-mética denota adición; por ejemplo, 45 significa 40 + 5; sin embargo, en álgebra se refiere a la multiplicación, por ejemplo 5b es 5 × b, lo que confunde a los alumnos.

Conjuncióndetérminosnosemejantes. En álgebra los términos diferentes deben tratarse en forma independiente; es común que el estudiante ig-nore las diferencias; por ejemplo, en 3 + 5x = 8x los alumnos consideran como semejantes las expresiones 3 y 5x.

Inversiónincorrectadeoperaciones. Los alumnos desconocen el procedimiento que lleva a la trans-posición de términos en una ecuación o bien la realizan con una regla incorrecta.

Desde una perspectiva cognitiva, estas dificultades pueden tener dos orígenes: a)Dificultades debidas a la falta de comprensión de los componentes y las reglas de solución de la ecuación, y b)Dificultades debidas a un conocimiento incompleto o erróneo de conceptos como igualdad, incógnita, variable; a estas circunstancias habrá que añadir una tercera: que los estudiantes tienen muy pocas experiencias aprendiendo álgebra en el contexto de la solución de problemas. En conjunto, lo anterior justifica apoyar

44 • Unapropuestadeenseñanzaparafavorecerlatransicióndelaaritméticaalálgebraenalumnosdesecundaria Rosa del Carmen Flores Macías, Raúl Castellanos Cruz. Didac 56-57 (2011): 43-49

la transición de la aritmética al álgebra con proce-dimientos de enseñanza que hagan transparentes las reglas de la ecuación y el significado de los conceptos y que se sitúen en la solución de problemas y no sólo en ejercitar el conocimiento sobre ecuaciones. En este trabajo presentamos una propuesta de enseñanza para favorecer la transición de la aritmé-tica al álgebra basada en el razonamiento mediante una estrategia de solución de problemas y el empleo de representaciones gráficas, a partir de las cuales el alumno pueda comprender las relaciones mate-máticas implícitas en los problemas, el empleo de símbolos y operaciones algebraicas y la relación de éstas con su conocimiento aritmético. La pro-puesta de enseñanza se ubica el nivel de preálgebra, con problemas en los que se emplean ecuaciones de primer grado.

PensarempleandounaestrategiadesolucióndeproblemasUsualmente los alumnos de secundaria se enfrentan a los problemas de manera precipitada, tratando de encontrar “pistas” que les den la solución, y obvian el proceso de reflexión y análisis. Por esta razón proponemos que los alumnos orienten su trabajo empleando la estrategia que se presenta en la tabla 1; los alumnos resuelven los problemas analizando por su cuenta cada paso de la estrategia. Esto pue-de realizarse de manera individual, trabajando en parejas o en pequeños grupos, o con todo el grupo. En el procedimiento instruccional sobresalen los siguientes aspectos (Flores, 2004: 179-190):

1. Cada acción de la estrategia implica el uso de ciertos conocimientos matemáticos. Es importante señalar que si bien la estrategia implica pasos secuenciados, al solucionar el problema el alumno aprende que en ocasio-nes es necesario regresar a un paso de la se-cuencia para poder continuar con la solución. Por ejemplo, después de llegar a una solu-

ción que no es congruente con su enten-dimiento, el alumno puede volver a leer e intentar otra solución.

2. El profesor enseña a los alumnos a modelar, mediante una representación gráfica, las rela-ciones expresadas en el problema. Mediante este modelo se encuentra una solución que sirve de apoyo para identificar la ecuación adecuada y para comprobar la veracidad del resultado obtenido.

3. Cada niño cuenta con una tarjeta de auto-ins-trucciones (tercera columna). Ésta le ayuda a recordar las acciones que hay que realizar en cado paso de la estrategia. El alumno la consulta cuando lo considera necesario. Con la práctica, la estrategia se automatiza y la tarjeta se deja de emplear.

4. El maestro dialoga con los alumnos para identificar sus conocimientos y el entendi-miento del problema. Mediante preguntas y explicaciones induce a los alumnos a que razonen, justifiquen sus acciones y, en su caso, las replanteen; a que identifiquen algún error; modelen mediante una representación gráfica las relaciones expresadas en el pro-blema; identifiquen la ecuación adecuada. Estas interacciones ayudan a los alumnos a establecer o clarificar los significados.

5. El maestro apoya a cada alumno partiendo de la identificación de sus conocimientos y el entendimiento del problema. Por ejemplo, en el caso de una solución incorrecta, primero identifica cómo entendió el problema y en qué basó su entendimiento. A partir de esta información induce a los alumnos a que encuentren las similitudes y las diferencias entre el problema que pueden solucionar y el que no solucionan adecuadamente.

6. Cada problema se trabaja de principio a fin, sin límite de tiempo. Primero se practican los problemas más simples y gradualmente se introducen los más complejos.

7. Con el avance de las sesiones y luego de cerciorarse del progreso de los alumnos, el maestro promueve que cada alumno tome

el control y la responsabilidad del manejo de la estrategia. El maestro se limita sólo a hacer


aclaraciones pertinentes, aportar comenta-rios sobre la aplicación de la estrategia y su autorregulación. se busca conseguir el paso gradual de la regulación externa en el empleo de la estrategia a la regulación interna por parte de los alumnos.

8. Una sesión típica inicia leyendo el problema y discutiendo de qué trata; los alumnos

proceden a resolverlo con su propio modelo de solución, con dibujos, tablas o de forma aritmética; posteriormente se utiliza el tablero de fichas para generar la ecuación y resolverla. El grupo representa la solución por medio del tablero, y a la par escribe la ecuación algebraica conforme a lo que se realiza en el tablero. Gradualmente los alumnos toman el control y la responsabilidad completa en la solución del problema.

SolucionarmedianteunarepresentacióngráficadelaecuaciónEl tablero de fichas que empleamos es una adapta-ción de la propuesta de Pizón y Gallardo (2000). se trata de un rectángulo de 65 por 41 centímetros dividido en dos partes iguales (lado izquierdo y lado derecho) con un signo igual en medio. Las fichas son blancas y representan valores con signo positi-vo, o negras y representan valores con signo nega-tivo; tienen forma de triángulos y representan la incógnita, o círculos y representan coeficientes y constantes numéricas. Cabe señalar que original-mente el tablero se utilizó para resolver ecuaciones sin el contexto de un problema y presentaba una dificultad para que los alumnos comprendieran la relación multiplicativa entre cociente e incógnita. A continuación se ejemplifica el empleo del ta-blero con la solución del siguiente problema: “Josué

Tabla 1 Elementosdelaestrategiadesolucióndeproblemas

Pasos de la estrategia Acciones Autoinstrucciones

Análisis y planificación

• Leer respetando la puntuación• Expresar lo que se comprendió del

problema

Leo el problema

Lo platico

• Identificar la interrogante Digo la pregunta

• Identificar la información numérica relevante que se empleará en la solución Busco los datos

Resolución y monitoreo de la solución

• solucionar el problema con los conocimientos que se tienen soluciono el problema como yo sé

• Modelar el problema en el tablero a la par que se escribe la ecuación

Represento la ecuación con las fichas y escribo la ecuación

• Vincular la representación del tablero con la ecuación escrita Con apoyo del tablero resuelvo mi ecuación

Evaluación de la solución

• Comprobar la ecuación sustituyendo el valor de la incógnita

• Comprobar la correspondencia entre resultado y pregunta

Compruebo mi ecuación

Compruebo mi resultado

• Redactar el resultado relacionándolo con la incógnita Escribo completa la respuesta


tiene 15 pesos más que César y juntos tienen 49 pe-sos para hacer un convivio. Necesitan saber cuánto aporta cada uno para dicho convivio”. El proceso de solución se presenta aludiendo a los diferentes mo-mentos de la estrategia. Los ejemplos que se presentan y las alusiones a alumnos corresponden a los que par-ticiparon en el estudio (Castellanos y Flores, 2006).

1. Análisis y planificaciónLos alumnos leen el problema y discuten qué es lo que tienen que averiguar y cuál es la mejor forma de hacerlo. En este punto es importante orientar la discusión, favoreciendo la identificación de las diferentes relaciones en el problema: ¿qué se necesita saber?, ¿qué información se tiene?, ¿cómo se puede emplear?, etcétera.

2. Resolución y monitoreo de la soluciónEn este momento los alumnos ponen su plan en práctica y a la par que avanzan, monitorean o super-visan que su solución tenga sentido, se van dando cuenta de si lo que hacen los lleva a una respuesta correcta. Es la fase más larga de la estrategia e implica encadenar la solución aritmética con la algebraica.

Solución de acuerdo con conocimientos aritméticos. Para que los alumnos den un significado al proble-ma, antes de emplear el tablero –especialmente si se están iniciando en los problemas de preálgebra–, es importante que tengan la posibilidad de emplear su conocimiento aritmético, ya que éste es el puente para la comprensión de la solución algebraica. La mayoría de los alumnos que participaron en el es-tudio resolvieron el problema como se ilustra en el siguiente ejemplo:

Como se aprecia en la solución, para los alumnos es claro que entre Josué y César reunirán la cantidad para el convivio y que Josué aportará una canti-dad mayor. Para solucionar, separan la cantidad que pondrá Josué y dividen el resto entre dos; determinan que en principio cada uno pondrá una cantidad simi-lar pero que a Josué hay que agregarle una cantidad extra establecida en el problema. Algunos alumnos no alcanzan a ver esta relación y primero dividen la cantidad total y a una de las partes le agregan la cantidad extra. si los alumnos continúan resolviendo el problema con este error les será difícil comprender la ecuación.

Generacióndelaecuación. Los alumnos identifican que la incógnita se refiere a la cantidad en la que Josué y César coinciden, sin considerar lo que Josué pondrá de más, y que esta incógnita se representa con la letra x. Posteriormente se representan estas relaciones en el tablero:

Figura 2

El lado izquierdo representa la expresión x + x + 15 y el derecho el 49. Es importante que los alumnos tomen conciencia de que el signo de igual implica equivalencia entre ambas expresiones y que ésta se debe respetar durante todo el proceso de solución. Igualmente, que el círculo junto al triángulo repre-senta el coeficiente y la incógnita, es decir, “una x”; esta representación se duplica señalando la cantidad que pone Josué y la que pone César. Para facilitar la manipulación de las cantidades se emplea un círculo mayor para representar las decenas y uno más pequeño para las unidades.

Figura 1Ejemplodesoluciónaritmética


Solución de la ecuación: Durante este proceso los alumnos representan la ecuación en el tablero a la par que van escribiendo la solución de la ecuación.

a) Agrupación de términos semejantes. Aquí los alumnos aplican un procedimiento algebraico por el cual se identifica que se trata de calcu-lar la incógnita duplicada (2x). Los alumnos suelen obviar la relación multiplicativa en esta expresión, por lo que es importante hacérselas notar para que posteriormente comprendan su transformación como divisor al modificarse la equivalencia. En este momento el tablero queda como sigue:

Figura 3

La ecuación representada es: 2x + 15 = 49

b) Despeje de la incógnita.Para despejar se aplica un valor inverso en ambos miembros de una igualdad, de manera que ésta se mantiene pero los miembros se modifican. Usualmente sólo se dice a los alumnos expresiones coloquiales como “si está sumando pasa restando”, lo que dificulta comprender el procedimiento en la ecuación.

Cuando se trata de una adición o una sus-tracción, las fichas negras hacen evidente este procedimiento, que implica la anulación de la constante del lado izquierdo de la ecuación. Es importante que a los alumnos les quede claro que es necesario dejar sólo el término formado por el coeficiente y la incógnita. El tablero queda así:

Figura 4

La ecuación representada es 2x + 15 – 15 = 49 – 15.

En seguida se realizan las operaciones señaladas en la ecuación, las fichas negras anulan a las blancas y ambas salen del tablero, de forma que queda así:

Figura 5

La ecuación representada es 2x = 34. Los alumnos no deben perder de vista que la expresión 2x re-presenta la cantidad que pondrán César y Josué, cada uno por su parte, y que 34 es la cantidad que pondrán entre los dos sin considerar la cantidad extra que sólo pondrá Josué. Ahora, de nuevo se aplica el valor inverso para dejar sola a la x (la incógnita) del lado izquierdo de la ecuación. Es importante que los alumnos recuerden que el número junto a la incógnita (el coeficiente) la está multiplicando y que para despejarla se debe agregar a ambos lados de la igualdad el inverso correspondiente, es decir, dividiendo entre el valor del coeficiente. La división se representa separando el dividendo y el divisor con una barra del mismo material que las fichas.

Figura 6

La ecuación representada es 2x / 2 = 34 / 2. En este momento los alumnos pueden hacer el reparto me-diante un cálculo mental o empleando el algoritmo de la división. Les será de utilidad, para que no pierdan el sentido de lo que están haciendo, recordar que están calculando cuánto deberá poner Josué y cuanto César. Después de efectuada la división el tablero queda así:

Figura 7


La ecuación representada es x = 17. El alumno ahora sabe que cada uno debe poner 17 pesos, sin considerar la cantidad extra que pone Josué.

3. Evaluación de la soluciónComprobacióndelaecuación: Ahora lo que sigue es comprobar si el valor encontrado para la incógnita es correcto, lo que se hace sustituyéndolo en la ecuación:

x + x + 15 = 49 (17) + (17) + 15 = 49 34 + 15 = 49

Al hacer la sustitución, el alumno ubica que César pondrá 17 pesos y Josué pondrá el valor de la x más 15 pesos, es decir, 32 pesos. sumando ambas cantidades se obtienen 49 pesos. En el proceso de comprobación el alumno ne-cesita tener claro qué representa cada cantidad, es decir, las relaciones que se expresan en el problema. si se limita a checar que las operaciones sean correc-tas cabe la posibilidad de que no entienda el vínculo entre lo que plantea el problema y la solución.

ConclusionesLos resultados de la aplicación de la propuesta de enseñanza están reportados en Castellanos y Flores (2006). Lo más sobresaliente de esta experiencia es que se hace evidente que la construcción de la solución de un determinado problema de preálgebra se inicia cuando, al comprenderlo, el alumno lo representa poniendo en juego sus conocimientos aritméticos y que le sirven como puente para cons-truir su entendimiento del álgebra. En este proceso habrá filiaciones y rupturas, pues habrá ciertos signi-ficados que se conserven (por ejemplo, el significado de la multiplicación) y otros que se descarten (por ejemplo, al multiplicar en el algoritmo se opera con números y en la ecuación se opera con números e incógnitas). El tipo solución que un alumno utili-za depende en gran medida de que las formas de representación le sean claras; éstas juegan un papel central en la comprensión del álgebra, pues pueden

constituir un puente hacia la comprensión de los aspectos conceptuales implicados en la solución mediante una ecuación (Flores, 2005: 7-34). La transición de la aritmética al álgebra para mu-chos alumnos resulta confusa y oscura, por lo que es importante diseñar situaciones de enseñanza a partir de las cuales ellos puedan reconocer similitudes y diferencias entre ambas formas de solución. La presente propuesta tiene la potencial limi-tación de implicar un tiempo mayor de enseñanza y demandar una supervisión cercana del profesor. Ambas limitantes se compensan si se considera el nivel de comprensión que logran los alumnos y que se adapta a estudiantes con diferente nivel de entendimiento. La propuesta de Pizón y Gallardo sentó un precedente importante para el desarrollo de nuestra propuesta, que esperamos sirva a los profesores, de la misma manera, para desarrollar la suya propia.

ReferenciasCastellanos, R., y M.R.C. Flores. “El aprendizaje de ecuaciones

algebraicas de primer grado mediante el empleo de una estrategia de solución de problemas y una representación gráfica”. Problemasdeaprendizajeenlaadolescencia:Expe-rienciasenelprogramaAlcanzandoelÉxitoenSecundaria. Comps. R. Flores y s. Macotela. México: Universidad Nacional Autónoma de México, 2006: 131-148.

Flores, M.R.C., A. Farfán y C. Ramírez. “solución de proble-mas de adición y sustracción en alumnos con problemas de aprendizaje”. Revista Mexicana de Psicología, 21, 2, (2004): 179-190.

Flores, M.R.C. “El significado del algoritmo de la sustracción en la solución de problemas”. EducaciónMatemática,17 (2) (2005): 7-34.

Kieran, C. “The learning and teaching of school algebra”. Handbook of Research on Learning andTeaching Mathe-matics. Ed. por D.A. Grouws. Nueva York: MacMillan, 1992: 390-419.

Kieran y Filloy. “El aprendizaje del álgebra escolar desde una perspectiva psicológica”. EnseñanzadelasCiencias, 7 (3) (1989): 229-240.

MacGregor, M., y K. stacey. “Incógnitas con valores cambiantes y múltiples referentes en el álgebra de los alumnos”. Edu-caciónMatemática, 12(3) (2000): 30-40.

Pizón, M., y A. Gallardo. “semántica versus sintaxis en la resolución deecuaciones lineales”. EducaciónMatemática, 12(2) (2000): 81-96.


Una estrategia didáctica para el aprendizaje de la estadística

AdrianaNietoDíaz*

DocenteUniversidad Iberoamericana Ciudad de México

❂

ResumenEn la didáctica de la estadística se considera que los procesos de enseñanza y aprendizaje deben desarrollarse mediante un trabajo en equipo entre el docente y el estudiante, en el cual el alumno, sujeto activo, debe estar comprometido con la construcción del conocimiento y el docente debe orientarlo en esa construcción. Para lograr lo anterior, una metodología que actualmente es considerada la más conveniente para aprender estadística es la resolución de problemas, ya que se considera que una situación problemática genera contenidos relevantes y duraderos. El aprendizaje basado en problemas (abp) es considerado una estrategia que pretende cambiar la instrucción didáctica tradicional con un enfoque de aprendizaje centra-do en el estudiante, en la cual se reta a los estudiantes a desarrollar la habilidad de pensar en forma crítica. se considera que el abp es un camino a un mejor aprendizaje, orientando a los estudiantes para aprender a aprender. Palabrasclave:trabajo en equipo, aprendizaje basado en problemas, aprendizaje centrado en el estudiante, aprendizaje de la estadística, aprender a aprender.

AbstractInthedidacticsoftheStatistics,itthinksthattheprocessesofeducationandoflearningmustdevelopbymeansofateamworkbetweentheteacherandthestudent,inwhomthepupil,activesubject,mustbecompromisedbytheconstructionoftheknowledgeandtheteachertomustorientateittowardstheachievementofthisconstruction.Toachievethepreviousthing,amethodologythatnowadaysitisbeenconsideredthemostsuitabletolearnStatisticsistheresolutionofproblems,sinceitthinksthataproblematicsituationgeneratesrelevantandlastingcontents.Theproblem-basedlearning(pbl)isconsideredtobeastrategythattriestochangethedidactictraditionalinstructiontoanapproachoflearningcenteredonthestudent,inwhichischallengedtothestudentstodevelopingtheskillof thinkingaboutcritical form.Thepbl isawaytoabetter learning,orientatingthestudentstolearntolearn. Keywords: teamwork,problem-basedlearning,studentcenteredlearning,learningStatistics,learntolearn.

∗ Correo electrónico de la autora: [email protected].

50 • Unaestrategiadidácticaparaelaprendizajedelaestadística Adriana Nieto Díaz. Didac 56-57 (2011): 50-55

En nuestros días, las matemáticas y la estadística (como ciencia con base matemática que busca explicar condiciones regulares en fenómenos de tipo aleatorio) constituyen una de las áreas más importantes del currículum escolar tanto a nivel básico como a nivel medio y superior por su carácter formativo, que desarrolla la capacidad de pensa-miento y reflexión lógica; por su carácter funcional, de aplicación a problemas y situaciones de la vida diaria, y, como comenta Ferrero de Pablo, por su papel instrumental, de formalización del conoci-miento de otras materias. Ferrero sostiene que “el estudio de la matemática potencia el desarrollo global de las capacidades men-tales de los escolares y la formación de su personali-dad; es de gran utilidad en la vida diaria, y también es un instrumento esencial en el desarrollo de la ciencia, de la cultura y, en general, de todos los aspectos de la actividad humana” (Ferrero de Pablo, 2002: 570). Por su parte, la estadística cobra importancia por su amplia aplicación en las diversas disciplinas, desde las ciencias de la salud hasta las ciencias sociales, el control de calidad, la toma de decisiones en áreas de negocios o en instituciones gubernamentales. Ahora bien, siendo las matemáticas y la estadís-tica áreas tan importantes para la formación, ¿por qué la generalidad de los estudiantes es apática para aprenderlas? En el informe Cockcroft (1985, apartado núm. 342) se hace un estudio completo sobre la enseñanza de las matemáticas, en el cual se exponen varias razones por las cuales se considera una asignatura “difícil de enseñar y difícil de aprender”:

• La excesiva abstracción de los contenidos, ya que es una materia jerarquizada; esto es, la comprensión de cualquier cuestión depende en gran medida de la comprensión previa de otras cuestiones.

• La metodología de la enseñanza, pues las matemáticas se enseñan por apartados, sin

interacción entre los distintos contenidos ni conexión con otras ciencias, y mucho menos con la vida.

• se favorece una enseñanza mecanicista en donde el desarrollo del pensamiento no tiene cabida.

• La rigidez se induce al usar un libro de texto, ya que los profesores siguen los libros al pie de la letra, pues son los únicos instrumentos que les dan seguridad.

• La gran diversidad de rendimiento y ritmo de aprendizaje entre los educandos es un factor importante.

En las instituciones educativas, sobre todo de nivel superior, la preocupación fundamental es identificar las dificultades que tienen los estudiantes en el área y los errores que se comenten en la enseñanza de la estadística al hacer uso de la teoría de probabilidad y otras ramas de las matemáticas, como el álgebra lineal y el análisis matemático, para lo cual se dise-ñan actividades didácticas adecuadas a fin de superar estas dificultades, tomando en cuenta las teorías existentes en el área (Batanero, 2001). Para mejorar la enseñanza de la estadística en to-dos los niveles educativos y en todos los contextos se fundó el Instituto Internacional de Estadística (isi, International statistical Institute), que favoreció la creación de la Asociación Internacional para la En-señanza Estadística (iase, International Association for statistical Education) en 1991. El nacimiento de la iase representó el final de un largo movimiento que se inició en 1949, inmedia-tamente después de la segunda guerra mundial, con la fundación del Comité de Educación Estadística dentro del isi, mediante el cual el Instituto promo-cionó la formación universitaria de profesionales de la estadística a nivel internacional, mientras que en los países en vías de desarrollo el isi se preocupaba de la enseñanza de estadísticos oficiales. A nivel mundial, la enseñanza de la estadística ha cobrado gran importancia en los últimos años

Unaestrategiadidácticaparaelaprendizajedelaestadística • 51 Adriana Nieto Díaz. Didac 56-57 (2011): 50-55

en la formación general del ciudadano. Algunos países, como España, Inglaterra, Italia y Estados Unidos, han dedicado grandes esfuerzos a diseñar currículos y materiales específicos, aparte de una in-tensa preparación de los profesores, como menciona Batanero (2001), para permitirles abordar con éxito los objetivos educativos correspondientes. Muchos profesores precisan incrementar su conocimiento no sólo sobre la materia, sino también sobre los aspectos didácticos del tema. Esta preparación incluye tam-bién el conocimiento de las dificultades y los errores que los alumnos encuentran en el aprendizaje de la estadística. La didáctica de la estadística está centrada en la Escuela Española, dirigida por Carmen Batanero (2001) en la Universidad de Granada, y en algunos estudiosos estadounidenses, como shaughnessy (1992) y J. Mouse, P. Bouhuijs y H. schmidt (2001). Ellos sostienen que abordar el problema del aprendizaje en la situación escolar no es algo trivial sino complicado, debido a la diversidad de factores psicológicos, cognitivos, sociales y más que se ven in-volucrados, requiriendo del uso del método científico para ser abordado. se han tenido muchos resultados, y, con todo, las aportaciones siguen siendo incipien-tes, por lo que se requiere más investigación. Definir la mejor forma de enseñar es fundamen-tal en el aprendizaje de la estadística; los expertos consideran que los procesos de enseñanza y apren-dizaje deben desarrollarse mediante un trabajo en equipo entre el docente y el estudiante, en el cual el alumno, sujeto activo, debe estar comprometido con la construcción del conocimiento y el docente debe orientarlo para lograr esa construcción. Aunado a esto, los estudiantes deben hacer uso de los paquetes de computación, trabajar con datos de la vida cotidiana, analizar críticamente los re-sultados obtenidos y comunicarlos eficazmente por escrito y oralmente. La estadística debe ser aprendi-da, como comenta Bee (2002), a través de “hacer”, “escribir” y “hablar”. El docente debe estimular a sus estudiantes enriqueciendo los conceptos básicos que ya poseen para aumentar su complejidad con analogías o anécdotas.

Es por ello que los educadores debemos hacer de la estadística una ciencia que no sólo sea intere-sante, sino también útil para los escolares; se deben presentar contenidos agradables que den confianza y seguridad a los estudiantes desde sus primeros años; hay que hacer uso de metodologías que les permitan aprender; además, debemos promover el uso de calculadoras y computadoras para que eliminen las tareas rutinarias sin dejar de incentivar el trabajo manual, a fin de propiciar el pensamiento creativo. Para lograr lo anterior, una metodología, que actualmente se considera la más conveniente para aprender estadística, es la resolución de problemas, ya que se piensa que una situación problemática genera contenidos relevantes y duraderos. La enseñanza a través de la resolución de pro-blemas permite a los estudiantes conceptualizar, generalizar y utilizar información basada en sus in-vestigaciones para modelar situaciones de problemas complejos, en los cuales pueden reflexionar sobre sus acciones y comunican sus interpretaciones. Aprender resolviendo problemas de manera estructurada despierta la curiosidad del estudiante, provocando cierta tensión en el proceso de resolución y satisfacción por el descubrimiento de la solución. El aprendizaje basado en problemas (abp) es considerado una estrategia instruccional del modelo constructivista de aprendizaje que pretende dar a la instrucción didáctica tradicional un enfoque de aprendizaje centrado en el estudiante. El aprendizaje basado en problemas reta a los estudiantes a desarro-llar la habilidad de pensar en forma crítica, a analizar problemas, a encontrar y utilizar recursos adecuados para el aprendizaje. se considera que el abp es un ca-mino para un mejor aprendizaje, que lleva a los estu-diantes a aprender a aprender (Batanero, 2001). La estrategia del abp pretende desarrollar habi-lidades para la solución de problemas y adquirir in-formación por medio del aprendizaje autodirigido. Los problemas forman un enfoque organizador y proporcionan estímulos para el aprendizaje centrado en el estudiante, trabajando de manera cooperativa en grupos pequeños (equipos) y teniendo como guía al docente.


El aprendizaje se lleva a cabo mediante el siguien-te procesotipo, aplicado a grupos de, máximo, 20 estudiantes, organizados en equipos de trabajo de aproximadamente cinco integrantes, que se reúnen con la facilidad de un tutor a analizar y resolver un problema seleccionado o diseñado especialmente para el logro de ciertos objetivos de aprendizaje:

Paso1.Presentacióndelproblema. se presentará un problema al inicio de la clase, o durante la clase anterior, con una pequeña exposición por parte del educador, aclarando los objetivos de aprendizaje y analizando el escenario en discu-sión grupal. En esa misma sesión se elaborará, en los grupos de trabajo, una lista de preguntas sobre lo que se requiere saber para enfrentar y re-solver el problema, identificando los temas clave del mismo y designando funciones y tareas a los integrantes del equipo para la siguiente sesión.

Paso 2. Listado de necesidades. En la siguiente sesión se identificará la información recopilada en distintas fuentes por parte de cada integrante del grupo, analizándola y replanteando la nece-sidad de tener más información para proceder a su búsqueda. Los temas toman profundidad y relevancia en la medida que los miembros del grupo participan y comparten la información.

Paso 3. Elaboración de un esquema de trabajo. Hacer un esquema de trabajo, contemplando posibles acciones para cubrir las necesidades de conocimiento previamente identificadas, seña-lando recomendaciones, soluciones o hipótesis. se genera un proceso de discusión con todo el grupo y continúa el trabajo al interior de los equipos hasta llegar a una posible solución al problema planteado.

Paso4.Presentaciónysoportedesolución. Plantear los resultados haciendo un reporte con recomen-daciones, con estimaciones sobre los resultados, con inferencias sobre el problema, basándose en los datos obtenidos y en los antecedentes.

A lo largo de todo el proceso se deberá evaluar el progreso en intervalos regulares de tiempo, como una forma de retroalimentación, de tal manera que sirva de estímulo para mejorar el desarrollo del proceso. La retroalimentación se debe ejecutar en tres dimensiones:

• La relación del grupo con el contenido de aprendizaje.

• La relación de los miembros dentro del grupo.• La relación de los miembros con el tutor del

grupo.

En lo que respecta a la evaluación del compañero, la autoevaluación y la evaluación al tutor, se pueden utilizar guías con categorías de evaluación (rúbri-cas). Éstos son formatos que se usan para evaluar y retroalimentar el desempeño de los alumnos por sus propios compañeros, el autodesempeño y el desempeño del tutor como facilitador. El procedimiento antes descrito puede desarro-llarse, por ejemplo, con un caso de estudio, como el que se presenta a continuación (figura 1), con el

Figura 1


cual se desea abordar la temática denominada “distri-bución de probabilidad para variables aleatorias dis-cretas” en la asignatura de estadística descriptiva. El procedimiento del abp se inicia con la presen-tación ante el grupo del caso de estudio, aclarando que el objetivo de aprendizaje se logrará dando respuesta a la pregunta planteada en el artículo, basándose en la teoría de probabilidad para la dis-tribución de variables aleatorias discretas. Los estudiantes identificarán los temas clave del mismo y designarán funciones y tareas a cada uno de los integrantes del equipo mediante un esque-ma de trabajo. En la siguiente sesión, tras la recopilación de información de diferentes fuentes, se realizará un análisis de la misma y se plantearán los posibles resultados, o bien se hará evidente la necesidad de tener más información para proceder a buscarla hasta llegar a una conclusión que proporcione una respuesta al cuestionamiento planteado. Los estudiantes lograrán identificar una posible solución al problema, la cual podríamos definir como una distribución en la que se tienen n = 14 casos, de los cuales x = 13 nacimientos de niñas para una probabilidad binomial de p = 0.50 resultaría:

Lo que nos indica que la probabilidad de que 13 de 14 parejas procreen niñas simplemente por azar es de 0.9%, es decir, muy poco probable, lo que nos hace pensar que la técnica de Microsort es efectiva. Así, los estudiantes podrían plantear sus resul-tados haciendo un reporte con recomendaciones, estimaciones sobre los resultados, inferencias sobre el problema, basándose en los datos obtenidos y en los antecedentes. De esta forma, mediante el trabajo activo, los estudiantes (independientes y con autodirección en su aprendizaje y orientados a la solución de un problema contextualizado en su área de estudio) adquirirán aprendizajes diversos, tanto de conoci-mientos propios del curso de estadística como de integración de conocimientos, habilidades y acti-

tudes, como experimentar, observar, comprender y aplicar conceptos, hallar relaciones, crear modelos, razonar, interpretar datos, explicar, hallar conclu-siones argumentadas y tomar decisiones en nuevas situaciones. La principal diferencia del aprendizaje basado en problemas con otras estrategias basadas en trabajo de grupo o aprendizaje centrado en el estudiante es que se enfoca a la introducción de conceptos en los estudiantes, de tal forma que los reta a resolver problemas del mundo real. En contraste con el enfoque tradicional de asignar una aplicación del problema al final de una unidad conceptual, el abp utiliza problemas para motivar, enfocar e iniciar el aprendizaje del alumno (Batanero, 2001). Es importante mencionar que el abp implica cambios en las circunstancias educativas, como los roles del educador y los educandos, y la actitud de los estudiantes; estos cambios suelen generar ciertas implicaciones, como:

a) Transición difícilComenzar a trabajar con el abp no es asunto sencillo, no se hace con facilidad y rapidez; tanto los alumnos como los profesores deben cambiar su perspectiva de los procesos de enseñanza y aprendizaje, asumiendo responsabilidades y realizando acciones comunes en un ambiente convencional.

b) Modificación curricularAl trabajar con base en los problemas, los contenidos del programa pueden abordarse de manera distinta, es decir, desde diferentes ángulos, por lo que es importante conocer el plan de estudios de la carre-ra y los contenidos de los otros cursos para poder determinar las relaciones que se pueden establecer entre las distintas materias y enriquecer, así, no sólo el curso de estadística, sino otras materias del plan de estudios de la carrera.

c) Requerimiento de mayor tiempoDebido a que en el abp no se realiza una simple transmisión de información, como en los métodos convencionales, se requiere de más tiempo por parte


de los alumnos para lograr los aprendizajes y del profesor para preparar los problemas y dar atención a los alumnos con asesorías y retroalimentación.

d) se eleva el costoResulta más costoso en la medida que requiere mayor capacitación por parte de los docentes que han de aplicar la estrategia del abp; además, precisa de mayor tiempo para lograr los objetivos de apren-dizaje en los grupos pequeños, pues la atención se torna personalizada y el proceso adquirirá el ritmo en el que el alumno aprenda los temas cumpliendo con los objetivos.

e) Rol y funciones del profesorEn esta perspectiva, se requiere romper con ciertos paradigmas de la educación tradicional, como con-siderar al profesor el sujeto principal de la educación y al alumno el mero receptor, para pasar a un plano en el que los docentes desalienten una sola respuesta correcta y ayuden a los estudiantes a aprender a elaborar preguntas, formular problemas, explorar alternativas y tomar decisiones efectivas.

El profesor juega varios roles (salinas, 2002), como conferencista, facilitador, entrenador, planeador y asesor. Como tutor, el profesor debe guiar a los es-tudiantes conforme van desarrollando el problema, evaluar el nivel de comprensión, corregir errores mediante formulación de preguntas y dirigir la bús-queda de datos en áreas en donde el conocimiento es insuficiente. El profesor se convierte en el promotor del apren-dizaje mediante una relación más cooperativa con el educando. Realiza una actividad científica apoyada en la investigación con espíritu autocrítico; esto es, deja de ser el agente principal para ceder el papel central del aprendizaje al estudiante. En este sentido, es común pensar que el trabajo del docente se vuelve “ligero” al desplazar su res-ponsabilidad al alumno, pero esto no es así, ya que ambos son corresponsables; llevan una relación que les exige a ambas partes investigación permanente, así como análisis, crítica y reflexión.

Con el abp no se pretende resolver totalmente la problemática de los estudiantes en relación con el aprendizaje de las matemáticas, pero puede ser usado por el docente como una alternativa didáctica (como una forma de trabajo) en una parte de su curso, combinado con otras técnicas y estrategias, con el propósito de mejorar los procesos de ense-ñanza y aprendizaje de la estadística, encauzando al estudiante a la construcción de un pensamiento flexible respecto a la aplicación de técnicas, métodos y conceptos relacionados con escenarios de incer-tidumbre en problemas del mundo real de manera total y competente. En realidad, el aprendizaje de la estadística debe tener una combinación entre la construcción de los contenidos matemáticos basados en la comprensión de conceptos para después fijar estos conceptos a través de una ejercitación gradual y continua, y, por último, los conceptos matemáticos cobran sentido cuando, tras las fases de comprensión y fijación, son aplicados a situaciones de la vida real o a la adquisición de otros conceptos. Con esto se logra desarrollar la capacidad mental de los escolares, que aprenden a solucionar problemas. El abp debe ser concebido como un punto de partida hacia la modificación de actitudes en los estudiantes y en sus profesores, porque la educación radica en el cambio de actitud en el ser humano, que lo engrandece a partir de su esencia.

ReferenciasBatanero, Carmen. Didácticadelaestadística. Granada: Depar-

tamento de Didáctica de la Matemática de la Universidad de Granada, 2001.

Bee, Estela. LasJornadasInteramericanassobrelaEnseñanzadelaEstadísticaorganizadasporIASI. Ottawa, Canadá, 2002.

Cockcroft, W. Lasmatemáticassícuentan. Madrid: Ministerio de Educación y Ciencia, 1985.

Ferrero de Pablo, Luis. Enciclopediadepedagogía, tomo 3. Uni-versidad Camilo José Cela. España: Espasa, 2002.

itesm. “El aprendizaje basado en problemas como técnica didáctica” (consulta 12 de febrero del 2010) <http://www.sistema.itesm.mx/va/dide/inf-doc/estrategias/abp.pdf>.

salinas, Bertha. “Ponencia presentada en el Primer Congreso de Egresados de la Maestría en Educación de la Universidad Virtual del Tecnológico de Monterrey”. Monterrey, n.l., agosto 29 y 30 del 2002.


Un camino hacia la conceptualización desde la propuesta de un variado repertorio de tareas

MaríaMagdalenaPagano*Profesora Permanente

Departamento de MatemáticaUniversidad Católica del Uruguay

AlejandraPollioDocente

Universidad Católica del Uruguay

MaríaBereniceVerdierDocente


JavierVillarmarzoDocente


❂

∗ Correo electrónico de la autora: [email protected]

56 • Uncaminohacialaconceptualizacióndesdelapropuestadeunvariadorepertoriodetareas María Magdalena Pagano, Alejandra Pollio, María Berenice Verdier, Javier Villarmarzo. Didac 56-57 (2011): 56-61

ResumenNuestra experiencia como educadores nos enseña lo difícil que es lograr que nuestros estudiantes consigan una cabal conceptualización de los objetos matemáticos que les permita disponer de ellos en las más variadas situaciones, tanto en su calidad de instrumento como en su calidad de objeto. Un recorrido por la bibliografía existente nos remite a la necesidad de exponer al estudiante ante un amplio rango de manipulaciones de tareas que involucren las diferentes representaciones semióticas del concepto a adquirir y los ineludibles procesos de tratamiento y conversión. En este artículo se exponen una serie de tareas, propuestas a estudiantes univer-sitarios, con el fin de enfrentarlos a situaciones no rutinarias que los obliguen a moverse de un tipo de representación a otra y de esta manera ampliar la imagen del concepto a adquirir. Palabrasclave: conceptualización, procesos de tratamiento y conversión.

AbstractOurexperienceaseducatorstellsushowdifficultitistogetourstudentstogetafullconceptualizationofmathematicalobjects,allowingthemtoimmediatelydisposeoftheminthemostvariedsituations,bothasinstrumentandasobject.Atouroftheexistingliteratureleadsustotheneedtoexposestudentstoawiderangeoftasksthatinvolvemanipulationsofthedifferentsemioticrepresentations

IntroducciónEn este artículo se presenta una experiencia de cátedra con la que se fomenta en los estudiantes la resolución de tareas no tipificadas, como un paso imprescindible para la conceptualización. se presenta, en primer lugar, el marco teórico que sustenta la propuesta, así como algunos antecedentes obtenidos a través investigaciones previas. se ana-lizan después, a manera de ejemplo, algunas tareas propuestas a estudiantes universitarios1 de un primer curso de cálculo referentes al concepto de extremo relativo y absoluto. se explica, asimismo, el objetivo perseguido por cada una las tareas y los procesos en los que se involucra el estudiante. Para finalizar, se incluyen algunos comentarios y observaciones.

MarcoteóricoyantecedentesLa construcción de conceptos matemáticos (con-ceptualización), de acuerdo con las corrientes contemporáneas en la didáctica de la matemática, sólo se logra cuando el estudiante pasa del conceptocomoinstrumentoal conceptocomoobjetomatemá-tico (Vergnaud, 1990). Dada la inaccesibilidad tangible de los objetos matemáticos, el proceso de conceptualización sólo puede realizarse a partir de “manipulaciones” con diferentes representaciones semióticas de los objetos matemáticos, y estas mani-pulaciones, a su vez, deben ser contextualizadas; esto es, sólo pueden realizarse en contextos en los cuales los objetos matemáticos cumplen roles específicos (instrumentos). D’Amore (2004), citando a Duval, Chevallard, Godino y Batanero, considera que el aprendizaje conceptual pasa necesariamente por la adquisición de una o más representaciones semióticas. La se-

miótica se presenta como una característica indis-pensable para garantizar el paso hacia la noética. Esta adquisición de las diferentes representaciones semióticas depende de tres actividades fundamen-tales: representación, tratamiento y conversión. La aprehensión de un concepto está estrechamente vin-culada a la capacidad del estudiante de representar el concepto en un determinado registro, de realizar un tratamiento de la representación al interior del registro y de la posibilidad de conversión de un registro a otro. Es fundamental, entonces, a la hora de pensar actividades para nuestros alumnos, planifi-carlas tomando en cuenta estos tres requerimientos. Esto es, presentar la actividad en un determinado registro que requiera de los estudiantes representar el concepto en ese mismo registro, realizar un variado repertorio de tratamientos en dicho registro y luego realizar una conversión entre registros. Para que tal propuesta de actividades tenga éxito, el registro en que se presenta la tarea debe variar de una actividad a otra y los procesos de conversión o traducción involucrados deben hacerse en ambos sentidos. Janvier (1987) enfatiza la necesidad de realizar los procesos de traducción (conversión) en ambos sentidos. Por ejemplo, en el caso de actividades vin-culadas al concepto de función, función derivada, extremos relativos y absolutos, el estudiante debe ser capaz de pasar del registro algebraico al registro gráfico, pero también de realizar la conversión del registro gráfico al registro algebraico. Dificultades como ésta han sido expuestas en una anterior in-vestigación (Pagano, Pollio, Verdier, 2009). En otra línea de investigación, Vinner (1991) hace referencia a lo que denomina imagenconcep-tual, diferenciándola de la definición conceptual

Uncaminohacialaconceptualizacióndesdelapropuestadeunvariadorepertoriodetareas • 57 María Magdalena Pagano, Alejandra Pollio, María Berenice Verdier, Javier Villarmarzo. Didac 56-57 (2011): 56-61

oftheconcepttoacquire,andtheinevitabletreatmentandconversionprocesses.Thisarticlepresentsanumberoftasksproposedtostudentsinordertoconfrontnon-routinesituationsthatrequirethemtomovefromonetypeofrepresentationtoanotherandsoextendtheconceptimage. Keywords: conceptualisation,treatmentandconversionprocesses.

cedimiento algorítmico que se reduce a la búsqueda de los ceros de la derivada y en el mejor de los casos a un estudio de signo de la derivada para clasificar el extremo. En caso de que el intervalo sea cerrado es posible inducir al estudiante a analizar el comportamiento de la función en los extremos del mismo, pero pro-bablemente el estudiante obvie utilizar la definición de extremo relativo o absoluto pues no le es útil o necesaria. Las actividades aquí expuestas apelan al uso de la definición de extremo relativo y absoluto y al conocimiento de algunas características particula-res de la función, sin que sea posible, necesario o conveniente, según el caso, recurrir al estudio de ceros y signos de la derivada. Involucran, además, la necesidad de partir de diferentes registros de representación, realizar tratamientos al interior del registro, realizar conversiones de un registro a otro y hacer un uso explícito del instrumento para la resolución de una situación particular. Es por este motivo que se consideran tareas idóneas en el camino hacia la conceptualización.

Tarea 1a) Analice las gráficas presentadas en las figuras 1,

2, 3 y 4, identifique cuáles presentan extremos relativos e indique en qué puntos del dominio se presentan.

b) Intente dar una formulación algebraica para las funciones representadas en las figuras 1 y 2; a partir de estas formulaciones determine sus máximos y mínimos relativos. Compare los procedimientos y los resultados con los utilizados en el ítem anterior.

Con esta tarea se busca que a partir de un conjunto de gráficos los estudiantes apliquen la definición de extremos relativos y los teoremas referidos a los mismos para su identificación y determinación. Es una tarea presentada en el registro gráfico y consta de dos incisos. El inciso a consiste en identificar los extremos relativos en cada uno de los gráficos, lo cual implica


y ubicándolas como dos celdas de la estructura cognitiva que han de interactuar. En la misma línea, Malgorzata Przenioslo (2001) precisa que el aprendizaje, la comprensión, la aplicación y el de-sarrollo de los conceptos matemáticos involucran la construcción de un cierto tipo de estructura mental: la imagen conceptual. Esto es, la imagen conceptual no es un concepto estanco, es una estructura que se construye a través de las diferentes interacciones que el estudiante realiza con el objeto de aprendizaje. Por lo tanto, en el proceso nunca acabado de la aprehensión conceptual el estudiante debe ser capaz de reconocer, aplicar, representar, tratar y convertir el concepto en una amplia gama de situaciones. Todo concepto está, de manera continua, en una fase de construcción, y es en la propia construcción donde aparecen los aspectos más ricos de su signifi-cado. Un concepto no se construye de una vez y para siempre, sino que a partir de las diferentes “manipu-laciones” de sus representaciones se logra penetrar en los diferentes aspectos de su significado. En este sentido se entiende que las actividades que se presentan a continuación sean útiles para favorecer la adquisición conceptual de los conceptos de extremo relativo y absoluto.

AnálisisdelasdiferentesactividadespropuestasA continuación se presentan una serie de tareas propuestas en un primer curso de cálculo al inicio de los estudios universitarios en carreras de eco-nomía, las cuales son analizadas considerando el tipo de aprendizaje que se pretende fomentar; en contrapartida con prácticas más convencionales en el tratamiento del tema, pretenden romper con las prácticas habituales en el cálculo y determinación de extremos relativos y absolutos de una función. Es habitual en los cursos de cálculo que, luego de introducir la definición de extremo relativo y ab-soluto,2 y de presentar en muchos casos un variado repertorio de ejemplos, se enfrente a los estudiantes sólo con ejercicios estandarizados donde las funcio-nes a estudiar resultan ser continuas y derivables en Ro en intervalos o subintervalos contenidos en R. Esta práctica desarrolla en los estudiantes un pro-

una lectura y una interpretación del gráfico y la aplicación de la definición de extremo relativo para su reconocimiento. La dificultad de la tarea es la naturaleza de los propios gráficos y permite ver la comprensión de la definición de extremo relativo más allá de las técnicas que provee el cálculo para detectarlos. En el inciso b se pide hallar expresiones alge-braicas para las funciones representadas por las figuras 1 y 2. Cualquiera de las funciones expuestas pueden expresarse por combinaciones de funciones elementales, conocidas por los alumnos en este ni-vel, por lo que la dificultad no radica en encontrar formulaciones algebraicas apropiadas sino en res-petar la presencia de los puntos de discontinuidad detectados en las gráficas. Esta tarea requiere de un cambio del registro gráfico al registro algebraico. Ya en el registro algebraico, independientemente de los procedimientos que elijan los estudiantes, la actividad para la determinación de los extremos será de tratamiento dentro del registro, contando con la dificultad de la discontinuidad de la función, que los limita en la aplicación de las técnicas estándar para este tipo de tareas.

Tarea 2Explore la existencia de máximo y/o mínimo ab-soluto de las siguientes funciones en los dominios indicados e indique los procedimientos utilizados.

1. f(x) = ex-1 Dom. f = R

2. f(x) = ex-1 Dom. f = [0,2]

3. f(x) =

4. f: [-2,2] → R / f(x) =

5. f: {x ∈ N / 0 < x < 1000} → N / f(n) = número de cifras de n

Esta segunda tarea, presentada en un registro al-gebraico, tiene como objetivo que los estudiantes

Figura 1

Figura 2

Figura 3

Figura 4


Tarea 4sea f: [-3,3] → R continua y derivable cuyo gráfico se presenta en la figura 5.

Figura 5

se considera ahora la función g(x) = 2 f(x) -1, definida en el mismo dominio.

a) Estudiar crecimiento y concavidad de gb) Determinar los máximos y mínimos relativos

y absolutos de g, indicando los elementos que utiliza para su determinación

c) Efectuar un bosquejo de g

En particular, esta tarea se presenta en un registro gráfico y es a partir de un tratamiento en este re-gistro que el estudiante puede resolver el inciso a, si bien es posible que haga una conversión al registro algebraico y realice tratamientos en éste a partir de la expresión de la derivada primera y segunda de g. De todas maneras este procedimiento exige un mayor nivel de abstracción que cuando se trabaja con una ecuación concreta para la función g. El inciso b implica una conversión al registro numérico, así como un tratamiento al interior del mismo para determinar los valores extremos de la función. El inciso c apela a una actividad de síntesis que permita utilizar los resultados de los dos ítems anteriores.

Tarea 5Dada f: [-4, 8] → R tal que el gráfico de su derivada es el que se presenta en la figura 6.


identifiquen los extremos absolutos a través del aná-lisis de las características de las propias funciones. El recorrido finito de las funciones 3 y 5 es el principal conflicto que se les presenta a los estudiantes para poder realizar con éxito lo pedido. Otro conflicto importante es la imposibilidad de realizar las gráficas en el caso de las funciones 3 y 4, si bien pueden recurrir a una visualización mental aproximada de las mismas para resolver la actividad.

Tarea 3Parte1: En el texto Matemáticasparaelanálisiseco-nómico(sydsaeter y Hammond, 1996) se plantea la siguiente situación: ¿qué número es mayor: πe o eπ? Obviamente, con una calculadora científica se podría resolver tal situación y la respuesta resultaría válida en un contexto no científico, pero qué se debe hacer para demostrar matemáticamente el resultado obtenido. Parte2: La solución a dicho problema no parece evidente. Veamos, entonces, la situación desde otro ángulo, para lo cual es necesario resolver la siguiente tarea:

Dada

a) Hallar el dominio de fb) Hallar máximo y/o mínimo absoluto de f,en

caso de que existac) Demostrar en un contexto matemático la

respuesta dada a la pregunta original (¿Es esto posible?).

La tarea anterior es propicia para presentar un pe-queño problema de investigación donde se da a los estudiantes la oportunidad de investigar sobre la primera parte de la propuesta para luego sugerirles la solución brindada en la segunda parte. Éste es un problema idóneo para fomentar el rol de los concep-tos matemáticos como instrumentos en contextos donde cumplen roles específicos.

xLx

)x(f =

Figura 6

a) Hallar los puntos críticos de f1

b) Indicar en qué intervalos f es creciente y en qué intervalos es decreciente

c) ¿Tiene f máximo y mínimo absoluto en el in-tervalo [-4, 8]? Justifique y en caso afirmativo indique en qué puntos podrían hallarse.

d) si f(0) = 0, determine el signo de f en el intervalo (-2, 4)

Esta actividad es considerada una tarea no con-vencional desde el momento en que se espera un tratamiento al interior del registro gráfico para obtener información sobre la función a partir de información sobre su derivada. Es habitual que este trabajo se pida en el sentido contrario y generalmen-te sea presentado desde un registro algebraico. El estudiante debe ser capaz de abstraerse del gráfico, en el sentido que lo que ve en el mismo debe ser traducido para poder ser interpretado y ésta es la dificultad mayor a la hora de obtener la respuesta correcta al inciso d.

AlgunasreflexionesfinalesEs necesario destacar que en la mayoría de las activi-dades planteadas para el concepto de extremo relati-vo no es necesario recurrir al cálculo de la derivada. El objetivo de la propuesta es que se reconozcan los extremos desde su definición sin necesidad de recurrir indefectiblemente al estudio de la derivada. Por otro lado, se espera que el alumno reconozca la diferencia entre extremo relativo y absoluto sin que esto le impida aceptar que pueden coincidir. Para aprovechar estas tareas como medio de consolidación de los conceptos de extremo relativo y absoluto es importante plantear a los estudiantes ciertas pautas de trabajo. Una de ellas es sugerirles

que busquen los elementos sobresalientes de la definición para luego descubrir dichos elementos en las situaciones presentadas. Otra es pedirles que describan las diferencias entre extremos relativos y absolutos apoyándose en las tareas. se estima que una adecuada combinación de tareas que involucre trabajar en diferentes registros con sus correspondientes procesos de tratamiento y conversión ayudará en el proceso de conceptuali-zación. Obviamente, la presentación aislada de este tipo de tareas no será una solución inmediata al proble-ma de conceptualización de los estudiantes, pero un trabajo sistemático con un variado repertorio de tareas no estereotipadas presentadas en diferentes re-gistros que obliguen a los estudiantes a enfrentarse a procesos de tratamiento y conversión serán un valio-so aporte en su camino hacia la conceptualización.

Notas1 Las tareas presentadas no son necesariamente inéditas. Muchas de ellas son modificaciones de tareas presentadas en los textos; la idea de este trabajo es discutir la pertinencia de un variado repertorio de tareas que el docente puede encontrar o modificar a partir de los textos y proponer a sus estudiantes. Las tareas en sí mismas no son parte de la elaboración del artículo.2 se considera punto crítico a un punto del gráfico de la función donde la derivada es cero o no existe.

ReferenciasD’Amore, B. “Conceptualización, registros de representaciones

semióticas y noética”. RevistaUno, 35 (2004): 90-106.Godino, J. “Competencia y comprensión matemática: ¿qué son

y cómo se consiguen?” RevistaUno, 29 (2002): 9-19.Janvier, C. “Translation processes en mathematics education”.

ProblemsofRepresentationintheTeachingandLearningofMathematics. Ed. C. Janvier. Hillsdale, Nueva Jersey: Lau-rence Erlbaum Associates, Publishers, 1987: 27-32.

Przenioslo, Malgorzata. “Images of the limit of function formed in the course of mathematical studies at the university”. EducationalStudiesinMathematics, 55 (2004):103-132.

Pagano, M., A. Pollio y M. Verdier. Procesosdetratamientoytraducciónenlaenseñanzadeladerivada.Análisisdeuncaso. Puerto Montt, VI Congreso Iberoamericano de Educación Matemática (VI Cibem), 2009, 1083-1097.

sydsaeter, K., y P. Hammond. Matemáticas para el análisiseconómico. Madrid: Prentice Hall, 1996.

Vergnaud, G. “La théorie des champs conceptuels en recher-ches”. DidactiquedesMathématiques, 19, París, 1990.

Vinner, s. “The role of definitions in the teaching and learning of mathematics”. AdvancedMathematicalThinking. Ed. D. Tall. Dordretch: Kluwer Academic Publishers, 1991.


Cálculo de una variable. Reconstrucción para el aprendizaje y la enseñanza

PatriciaSalinas*Departamento de matemáticas

Instituto Tecnológico y de Estudios superiores de Monterrey

JuanAntonioAlanísDepartamento de matemáticas


RicardoPulidoDepartamento de matemáticas


❂

ResumenEn este trabajo se describe a grandes rasgos una propuesta sobre el qué y el cómo enseñar cálculo en las distintas carreras universitarias en las que la enseñanza y el aprendizaje de esta rama de las matemáticas es fundamental. La propuesta surge en el marco de un proyecto académico de rediseño curricular al interior de una institución de educación superior y su construcción responde a la investigación educativa realizada dentro de la misma. se apoyará la pertinencia de la reconstrucción del discurso del cálculo y de la forma en que se interactúe con él en el aula al interpretar la información de las fuentes del currículo: la social, la psicopedagógica y la epistemológica. se hará especial énfasis en la integración de las fuentes para conformar un discurso adecuado ante demandas sociales actuales para la educación científica. Palabrasclaves: cálculo, enseñanza, aprendizaje y fuentes curriculares.

AbstractThispaperoutlinesaproposalonwhatandhowtoteachCalculusindifferentuniversitycoursesinwhichtheteachingandlearningofthisbranchofmathematicsisessential.Theproposalarisesinthecontextofanacademicprojectofredesigningthecurriculumwithinahighereducationinstitu-tionanditsconstructionmeetstheeducationalresearchconductedwithinthesame.Therelevanceofthereconstructionofthediscourseofcalculusandofthewayofhavinginteractionwithitintheclassroomwillbesupportedthrowtheinterpretationofinformationfromthecurriculumsources:social,psychologyandepistemology.Specialemphasiswillbeonintegrationofsourcestoconstructasuitableproposaltocurrentsocialdemandsforscienceeducation. Key words:calculus,teaching,learningandcurriculumsources.

*Correo electrónico de la autora: [email protected]

62 • Cálculodeunavariable.Reconstrucciónparaelaprendizajeylaenseñanza Patricia salinas, Juan Antonio Alanís, Ricardo Pulido. Didac 56-57 (2011): 62-69

IntroducciónUna parte sustancial del sector curricular de ma-temáticas en el nivel universitario contempla una secuencia de cursos relacionados con el cálculo. Resulta común que, en su diseño, características como el rigor y el carácter formal de los conte-nidos matemáticos antepongan al estudiante una imagen del cálculo como conjunto de conceptos y procedimientos que debe conocerse uno tras otro. La matemática contenida en los libros de texto y los programas analíticos se manifiesta como una teoría que prioriza la posición que ocupan los co-nocimientos en un encadenamiento lógico y que enfatiza la solución de ejercicios rutinarios donde se practican habilidades algorítmicas. Esto induce una perspectiva de enseñanza en el profesor, quien, a su vez, presupone una concepción de aprendizaje. suele encontrarse que la actitud de los estudiantes ante el conocimiento matemático presentado en el aula resulta ser pasiva, aceptando que, para acredi-tar el curso de matemáticas, bastará saber hacer lo que el profesor enseña para ser evaluado: una serie de rutinas de solución para conjuntos de ejercicios estereotipados. sin embargo, la habilidad en la aplicación mecánica de una regla memorizada no necesariamente manifiesta el desarrollo de procesos de pensamiento vinculados a la matemática. La evidencia de este paradigma tradicional en la enseñanza del cálculo es reconocible en diversos reportes de investigación educativa y es cuestionado por los altos índices de reprobación, el aprendizaje sin comprensión y la actitud negativa hacia el apren-dizaje (salinas y Alanís, 2009: 355-382). Para analizar esta problemática desde una pers-pectiva general es pertinente recurrir a las fuentes del currículo. La utilidad de un modelo de diseño curricular reside en su carácter provocador de la re-flexión anticipada sobre la práctica de la enseñanza, las condiciones contextuales donde se realiza, la na-turaleza de los contenidos que incorpora y a quiénes

va dirigido (Casarini, 1997: 3-22). Esta perspectiva conduce a la reflexión delqué se enseña, el cómo se enseña y el paraquése enseña cálculo en la univer-sidad, cuestiones que recobran su importancia en la actualidad ante recientes acciones de organismos como la unesco y la oced. La unesco manifiesta que la educación científica y tecnológica es un instrumento para la consecu-ción del desarrollo sostenible y la reducción de la pobreza. sin embargo, declara, los sistemas educa-tivos afrontan el problema de que esa enseñanza ha perdido pertinencia, por no haberse adaptado a los cambios actuales en materia de ciencia y tecnología. Por otra parte, el programa pisa desarrollado por la oced representa el esfuerzo por evaluar competencia lectora, científica y matemática, enfocándose en la solución de problemas y no tanto en el dominio del contenido curricular. El requerir sus resultados para la toma de decisiones en la política educativa habla de la importancia del desarrollo de la competen-cia de resolver problemas. Para el diseño de esta evaluación se consideran aspectos como el que el contexto asociado a los problemas sea real, esto es, asociado con cierta importancia para la sociedad. se busca que los problemas no sean solucionables direc-tamente a través de un determinado proceso que el estudiante haya estudiado previamente o practicado en la escuela, sino que se requiera evocar variados conocimientos y estrategias para confrontarlos. A nuestro juicio, declaraciones como las ante-riores, emitidas desde una perspectiva de formación integral para enfrentar los nuevos retos del mundo, están demandando un cambio de paradigma en la enseñanza de la matemática en general; definitiva-mente aplicable al cálculo en particular. La fuente social del currículo nos advierte sobre aspectos in-eludibles de la realidad educativa que deben guiar el diseño curricular. La solución de problemas (no de ejercicios) debería ser el incentivo para aprender cálculo.

Cálculodeunavariable.Reconstrucciónparaelaprendizajeylaenseñanza • 63 Patricia salinas, Juan Antonio Alanís, Ricardo Pulido. Didac 56-57 (2011): 62-69

En la matemática educativa, reconocida hoy como campo de investigación autónomo, múltiples investigaciones se vienen desarrollando para conocer la problemática educativa en relación con la enseñan-za del cálculo. Cantoral, Farfán, Lezama y Martínez dan testimonio de un acercamiento fructífero al abordarla, rescatando el papel de la práctica social en el aula para la construcción del conocimiento matemático y sus procesos de representación (2006, 83-102). El propósito del presente escrito es delinear un cambio de paradigma que ha surgido en la matemática educativa y que puede ser situado en términos de la forma de concebir el aporte de la fuente epistemológica, psicopedagógica y social del currículo. Coincidimos con Nieda y Macedo (1997) en la confluencia e intersección entre los aportes de estas fuentes; por ello aclaramos que los apartados en este escrito responden a una organización y no a la independencia de lo que se discute en cada uno de ellos. Esperamos que nuestra convicción de integrar estas fuentes para el diseño del sector curricular de cálculo quede suficientemente plasmada a lo largo de estos apartados. En el último se discurrirá el ti-po de estructuración del nuevo discurso que se está proponiendo, así como la forma de interactuar con ese conocimiento en el aula universitaria.

ConsideracionessobrelafuentesocialElegimos ésta como la primera fuente de la cual hablar porque, en primera instancia, nos invita a analizar las demandas sociales y culturales que el medio formula a la universidad. En particular, ante la demanda de una educación en ciencias de cali-dad, la importancia del cálculo en el currículo es clave. Edwards, cuyo libro sobre el desarrollo his-tórico del cálculo se ha constituido en una consulta clásica sobre la génesis y evolución de problemas fundamentales en la matemática, nos instruye sobre la problemática que ha dado origen al cálculo y que ha hecho que éste funcione como el principal lenguaje cuantitativo de la ciencia (1979: 189-267). Kleiner nos expresa que el cálculo es uno de los grandes logros intelectuales de la civilización que “ha

servido por tres siglos como la principal herramienta cuantitativa para la investigación de los problemas científicos” (2001: 138). Estando nuestro interés puesto en un sector curricular que forma parte de las carreras profesio-nales, resulta adecuado mirar hacia las demandas de los cursos de especialidad a los que los estudiantes ingresarán. Debemos pensar en el perfil del estu-diante que egresa del sector curricular de cálculo para ingresar a cursos de otras áreas en las cuales el cálculo será utilizado. Esto nos lleva a reconocer el carácter instrumentaldel sector curricular, pues su función es brindar las herramientas matemáticas que serán requeridas en el análisis de situaciones enmarcadas en diversos contextos, en los cuales se desarrollan dichos cursos. Informarse sobre el tipo de uso que se hace del conocimiento matemático es una actividad que debe nutrir al diseño curricular para jugar un papel congruente con su carácter. sin embargo, estamos convencidos de que obtener esta información no es simple; requiere de hacer inves-tigación y encontrar la lupa desde la cual se pueda interpretar la realidad social del aula universitaria, donde se actúa bajo la influencia de ideologías que reflejan diferentes concepciones del conocimiento científico. Es aquí donde la integración con otra fuente del currículo, la epistemológica, deberá ser contemplada. El cálculo desarrollado por Newton y Leibniz (s. xvii) mostró ser una herramienta poderosa en la modelación de fenómenos naturales, lo que facilitó el desarrollo de otras ciencias, y ése es elcálculo que aparece actualmente en textos de ciencias básicas e ingeniería. sin embargo, en la comunidad mate-mática ese cálculo fue sustituido por la propuesta de Cauchy (s. xix), que satisfizo un requerimiento interno de rigor y es el que tradicionalmente se enseña en las aulas de los cursos de matemáticas (Arcos, 2004: 78-110). Pulido (1997), en su investigación doctoral, reporta la incongruencia entre el contenido ma-temático tradicional del cálculo con el uso que se hace del cálculo en la física. En particular, la tomadelelementodiferencial es una estrategia efectiva en el


estudio de diferentes fenómenos físicos; sin embar-go, el contenido tradicional del cálculo relega el uso esencial del diferencialal dejarlo sólo en aplicaciones de aproximación de cantidades que hoy cualquier calculadora realiza. La pertinencia del discurso tradicional del cálcu-lo queda en duda, ¿para qué enseñar cálculo en la universidad? La respuesta a esta pregunta debe necesariamente ser congruente con el discurso del cálculo que se lleva al aula. La fuente epistemológica tendrá mucho que aclarar al respecto.

ConsideracionessobrelafuentepsicopedagógicaEsta fuente del currículo nos pone en la presencia de la enseñanza y el aprendizaje, y del papel de profesores y estudiantes. Lejos de hacer un análisis exhaustivo de los eventos concernientes, quisiéramos sólo apuntar hacia la concepción del aprendizaje que, si acaso no de manera consciente, influye en el desenlace de dichos eventos. No olvidemos que actuamos ante la demanda social de una educación

científica que desarrolle la competencia de resolver problemas. Las concepciones acerca de cómo aprenden los estudiantes y cómo construyen los conocimientos científicos se han ido conformando a partir de la psicología cognitiva y, en los últimos años, a partir de investigaciones realizadas desde la didáctica de las ciencias (Nieda y Macedo, 1997). Interpretamos en esto último la integración de la fuente psicope-dagógica y epistemológica. En la matemática educativa se enmarcan diversas investigaciones, algunas de ellas de corte cognitivo; de hecho, un estadio en la evolución de esta discipli-na es el de la didácticasinescuela, donde se incluye un cierto acercamiento cognitivo a la problemática en el cual las dificultades en el aprendizaje de los estudiantes son descritas y explicadas con base en marcos teóricos construidos para ello (Cantoral y Farfán, 2003: 255-270). El tipo de investigaciones actuales que observan el aprendizaje del estudiante ante el conocimiento matemático pueden ser ubicadas, a nuestro juicio, tomando en cuenta ciertos aspectos de las teorías de Piaget, Vygotsky y Ausubel. Ante el modelo piagetiano se toma conciencia de que el aprendizaje es un proceso constructivo interno, personal y activo, y que toma en cuenta las estructuras mentales del que aprende. Procesos de asimilación y acomodación explican el modo en que nueva información se incorpora a las estructuras preexistentes, reorganizándolas. La consideración de que la construcción de conocimientos es social nos ubica en ideas de Vygotsky; en el aula escolar cobra importancia la interacción, tanto entre profesor y estudiantes como entre estudiantes. De esta forma se concede a la acción didáctica la posibilidad de facilitar el andamiaje para influir en el mayor desa-rrollo cognitivo personal. Por otro lado, el término aprendizajesignificativo es acuñado en la teoría de Ausubel para distinguir de un aprendizaje repetiti-vo o memorístico y señalar el papel que juegan los conocimientos previos en la adquisición de nuevas informaciones. Es indispensable tomar en cuenta lo que el estudiante sabe en relación con aquello que


se le quiere enseñar, eso es lo fundamental bajo este enfoque (Nieda y Macedo, 1997). A nuestro parecer, el término acuñado por Ausubel resulta un tanto desafortunado cuando la visión que se tiene de la matemática está restringida a la de sistema conceptual lógicamente estructura-do, sugiriendo que los conceptos y procedimientos matemáticos sean tratados según el orden y forma en que se presenta la teoría en los libros de texto, reforzando al paradigma tradicional. Pero la mate-mática no es sólo un sistema conceptual; una visión más amplia enfatiza su carácter como actividad de solución de problemas reales y como lenguaje utili-zado en la comunicación y solución de los mismos (salinas y Alanís, 2009: 355-382). La pregunta ¿cómo enseñar cálculo en la uni-versidad? excede a la información que la fuente psicopedagógica pueda brindar, pues ese cómo de-pende necesariamente de nuestra concepción de la matemática. Nuevamente, la fuente epistemológica nos da luz al respecto.

ConsideracionessobrelafuenteepistemológicaCasarini señala que la fuente epistemológica en-frenta a la toma de decisiones sobre los contenidos relacionados a un saber específico (1997: 37-75). La matemática educativa está consciente de ello y lo manifiesta en el desarrollo de investigaciones de corte epistemológico que ubican al saber matemático en su dimensión social. A través de incursionar en la génesis del conocimiento del cálculo se ha tomado conciencia de la importancia de la matemática como actividad de solución de problemas y de la necesidad de mostrar esa cara de la matemática en el aula esco-lar. Investigaciones enmarcadas en el acercamiento socioepistemológico (Cantoral y Farfán, 2003: 255-270) han dado luz sobre los orígenes del cálculo como la rama de la matemática que estudia el cambio y la variación. Ante esta perspectiva, las nociones y procedimientos del cálculo adquieren un significado al surgir para dar respuesta a una problemática real. Cabe remarcar que la palabra significado que hemos usado intenta recuperar para el estudiante un paraqué de las nociones y los procedimientos en cuestión.

En salinas y Alanís (2009) se expone con mayor amplitud el alcance de ese significado ante la solu-ción de problemas relacionados con la práctica de predecir el valor de una magnitud que cambia con respecto a otra magnitud. Para el establecimiento de esta problemática de predicción como el hilo conductor del discurso sobre el cálculo ha sido me-nester contar con dos investigaciones doctorales, la de Juan Antonio Alanís (1996) y la de Ricardo Pulido (1997). Es a partir de su análisis y de sesiones de discusión para contrastar con la investigación del uso del cálculo en las carreras profesionales que se ha podido rescatar una acepción de problema que reivindica a éste como provocador del surgimiento de las nociones y procedimientos del cálculo. Esta acepción, diametralmente distinta a la de ejercicio, resulta más adecuada al desarrollo de la competencia de solución de problemas que se demanda en la actualidad.

PerspectivaparalareconstrucciónEn los planes de estudio de las carreras profesionales que ofrece el Tecnológico de Monterrey se incluyen componentes que aportan a una formación inte-gral, atendiendo al desarrollo de todo el potencial humano. En la componente de educación general aparecen las competencias científicas y de razona-miento matemático. El proyecto de construcción del currículo para los planes de estudio del 2011 nos propone enfrentar al estudiante ante el conocimien-to para incitar la solución de problemas mediante el razonamiento matemático y la aplicación del conocimiento científico, tal y como se establece en las características de los programas profesionales del Tecnológico de Monterrey. Reenfocar la enseñanza en busca de un aprendi-zaje que implique que un razonamiento matemático que tenga sentido y significado para el estudiante constituye un replanteamiento sustancial en la for-ma de arribar a las nociones y procedimientos del cálculo. Estamos proponiendo una estructuración diferente de los contenidos que sea acorde con la problemática que el estudio del cambio y la variaciónproveen. En este sentido, el orden de los contenidos


difiere del tradicional, y la importancia de ciertas nociones se destaca haciendo que el tiempo en aula se dedique más al manejo de ideas que hagan surgir las nociones y los procedimientos fundamentales al abordar la situación problemática en cuestión. Para concretar esta forma de presentar el con-tenido en el aula proponemos que en el diseño de cada curso del sector curricular se vea delineada una presentación del conocimiento que recorra tres fases: la de interacción inicial con cierta problemática, la de esbozo de la teoría construida para darle solución y la de aplicación a nuevas situaciones problema donde la interacción inicial se vea superada con el conocimiento que ha sido generado durante la segunda fase. Para la primera fase (interación con la proble-mática) es necesario el diseño de situaciones de aprendizaje donde sean presentados escenarios con los cuales los estudiantes puedan interactuar en cierta medida, provocando con ello la evocación de aprendizajes previos, intentando dar solución al problema planteado y valorando la necesidad de nuevos conocimientos que permitan profundizar en su comprensión. Para la segunda fase (acercamiento a la teoría), en la cual se haría hincapié en aspectos teóricos y del lenguaje matemático, deberá insistirse en las ideas que acompañan al surgimiento de las nociones, pro-cedimientos y resultados del cálculo en respuesta a la problemática en estudio. A la vez, se debe desarrollar la habilidad en el manejo de los procesos algebraicos y gráficos involucrados, además del adecuado uso de la notación matemática. La tercera fase (nuevas aplicaciones) contempla la aplicación del conocimiento construido, que va más allá de los casos contemplados en la fase inicial al ampliar el rango de situaciones en las que dicho conocimiento permite estudiar a profundidad la problemática. Es recomendable considerar aplica-ciones que sean de interés para las diferentes carreras profesionales, considerando escenarios que sean tomados en cuenta en los cursos de especialidad a los cuales un gran porcentaje de la población de estudiantes estará inscrito.

A continuación describimos algunos ejemplos de cada una de las fases:1

Primera fase: Un coche se mueve sobre una carretera recta a una velocidad constante de 40 me-tros/segundo y al momento de observarlo el coche se encuentra a 30 metros a la derecha del punto de referencia O de la carretera. Queremos predecir su posición con respecto al tiempo transcurrido. Una taza de café se ha calentado en el horno de microon-das y alcanza una temperatura de 80°C, se remueve del horno y se expone al medio ambiente donde la temperatura es de 20°C. Para propósitos prácticos, en los primeros 10 minutos la temperatura de la taza de café decrece uniformemente a una razón de 3°C por minuto. Queremos predecir su temperatura con respecto al tiempo. Estas situaciones darán lugar al establecimiento del ModeloLineal como la solución al problema de predicción cuando una magnitud depende uniformemente de otra. La noción de veloci-dad manejada en la primera situación evoluciona a la noción de razón de cambio, donde la palabra razón significa en el lenguaje matemático el cociente. será dicha razón de cambio la que llegará a ser concep-tualizada en la siguiente fase. Es importante señalar que la dependencia uniforme entre dos magnitudes es una idea aplicable a las situaciones en las que dicha dependencia no es uniforme. Al subdividir el evento en intervalos cada vez más pequeños, la suposición de la dependencia uniforme se torna plausible y con-veniente para la generación del modelo matemático que representa a la magnitud. será de este modo que se generen modelos polinomial, exponencial y seno, habiendo tratado con magnitudes que manifiestan ese comportamiento. Segundafase: Planteamos dos situaciones donde se tiene el modelo matemático que representa alge-braicamente a una magnitud y se busca profundizar en el establecimiento de la razón instantánea decambio en un valor particular. La primera situación, nuevamente en el escenario del movimiento en línea recta, trata de la expresión cuadrática para la caída libre de cuerpos, y en la segunda se provee un mo-delo cuadrático que se ha ajustado para representar el comportamiento de la temperatura de la taza de


café, comentado en la primera fase. El procedimien-to para aproximar la razón instantánea de cambio se generaliza para las variables x e y sin pensar en su significado real, dando con ello lugar al concepto de derivada, quedando ésta definida formalmente. Tercerafase: El corazón de una persona late a un ritmo constante de dos latidos por segundo. Cuando la persona recibe un susto, el ritmo al que late el co-razón se altera y puede modelarse matemáticamente con la función R(t)= 2 + 10te-t/4. ¿En qué momento el ritmo al que late el corazón es el máximo y cuál es su valor? ¿Qué sucede a largo plazo con la razón de cambio de ritmo al que late el corazón? Para este momento del desarrollo del curso, la teoría incluye las reglas de derivación y se ha establecido una estrategia de solución para la determinación de valor máximo o mínimo de una función. El análisis a largo plazo de la magnitud es tratado con la noción de límites al infinito surgida con el establecimiento formal del universo de funciones algebraicas y tras-cendentes para modelar diversos comportamientos de magnitudes. Consideramos que con esta forma de estructurar el contenido del cálculo es posible que el estudiante fortalezca la idea que ha acompañado a la génesis de este conocimiento matemático; a saber, que sus nociones y procedimientos surgen al enfrentar la necesidad de resolver problemas relacionados con la variación que experimentan diferentes magnitudes bajo estudio. A su vez, podrá apreciar que dicha pro-blemática sigue siendo actual cuando se le vierte del significado relacionado con las diferentes áreas de especialidad y las magnitudes en ellas involucradas. Un aprendizaje de las nociones y procedimientos estudiados que tome en cuenta desde el primer curso de matemáticas la movilización del conocimiento hacia una problemática bien identificada resulta mo-tivador para el estudiante que comprende la utilidad de las nociones y los procedimientos matemáticos. Hablamos de apreciar el conocimiento matemático en su calidad de herramienta útil para comprender y generar procesos cognitivos con mayor probabilidad de ser transferibles a diferentes situaciones. si no se logra la movilización de la información obtenida en

un campo disciplinar, difícilmente se está impulsan-do una perspectiva de desarrollo de competencias (Díaz Barriga, 2006). A través de esta forma de presentar el cono-cimiento matemático se contribuye, además, al desarrollo de competencias transversales como las de comunicación, trabajo en equipo, resolución de problemas, razonamiento y capacidad de aprender. En particular, la competencia de trabajar en equipo es apoyada por el hecho de que las situaciones-pro-blema propuestas en el aula en la primera fase (in-cluso probablemente en la tercera) sean tratadas de la forma planteada a continuación: primeramente, los estudiantes analizan el problema que se les propone de manera individual, intentando dar la solución que en ese momento pueden discernir; después de 5 o 10 minutos de interacción individual, se procede



a trabajar en pequeños equipos colaborativos de 10 a 15 minutos, durante los cuales el profesor reco-rre el aula observando los procedimientos utilizados por los equipos y buscando sintetizar estrategias comunes, además de observar errores o suposiciones erróneas, e incluso tomando en cuenta el empleo de la notación matemática en sus procedimientos. Por último, la parte final de la clase es para que el profesor retome en plenaria sus observaciones y conduzca al grupo hacia la reflexión de los procesos cognitivos que fueron activados por el problema abordado.

ComentariofinalEn este escrito estamos proponiendo un quéenseñar, donde nociones y procedimientos del cálculo surjan al abordar problemas relacionados con la práctica de predecir el valor de una magnitud que está cambiando; un cómo, donde los estudiantes tengan oportunidad de ser partícipes en la generación de conocimientos; y un paraqué enseñar, que permea el nuevo discurso al considerar problemas reales en los cuales el estudiante encuentra significado a su aprendizaje. Hemos compartido el trazado de una ruta para la reconstrucción del discurso del cálculo que re-sulte apropiado a las nuevas demandas educativas. Nos damos por satisfechos si logramos evidenciar un problema educativo y una manera de resolverlo enmarcada en las fuentes del currículo. En nuestro caso, contamos con una primera concreción en el libro Elementosdelcálculo.Reconstrucciónconceptualparaelaprendizajeylaenseñanza, con el cual hemos implementado esta propuesta en nuestra institución educativa. La investigación que informe del modo en que este acercamiento habita en el aula la rea-lizamos con plena conciencia de que no estamos pretendiendo ofrecer la solución a la problemática evidenciada; la investigación educativa no tiene fin, los nuevos conocimientos emergidos de esta ruta (o de otras) siempre permitirán la mejora en el camino de construcción. sin embargo debemos enfatizar que estamos plenamente convencidos de que las dificultades que podamos encontrar en este camino

de construcción no son en definitiva aciertos que el paradigma tradicional de la enseñanza del cálculo posea.

Nota1 Ejemplos extraídos de: salinas, Alanís y Pulido, 2002.

ReferenciasAlanís, Juan Antonio. Lapredicción:unhiloconductorparael

rediseñodeldiscursoescolardelcálculo.Tesis de doctorado (no publicada). cinvestav del ipn, México (1996).

Arcos, José Ismael. “Rigor o entendimiento, un viejo dilema en la enseñanza de las matemáticas: el caso del cálculo infini-tesimal”. TiempodeEducar,5. 10 (2004): 77-110.

Cantoral, Ricardo, y Rosa Farfán. “Mathematics education: A vision of its evolution”. EducationalStudiesinMathematics, 5. 3(2003): 255-270.

Cantoral, Ricardo, Rosa Farfán, et al. “socioepistemología y representación: algunos ejemplos”. RevistaLatinoamericanadeInvestigaciónenMatemáticaEducativa,número especial, (2006):83-102.

Casarini, Martha. Teoría ydiseño curricular. México: Trillas, 1997.

Edwards, Charles Henry. The Historical Development of theCalculus. Nueva York: springer-Verlag, 1979.

Kleiner, Israel. “History of the infinitely small and the infinitely large in calculus”. EducationalStudiesinMathematics48. (2001): 137-174.

Nieda, Juana, y Beatriz Macedo. “Las fuentes del currículo. Capítulo 3”. BibliotecaDigitaldelaOrganizacióndeEstadosIberoamericanos(oei)s/f. (consulta 2 de marzo de 2010)<http://www.oei.es/oeivirt/curricie/curri03.htm>

oecd. “Learning mathematics for life: A perspective from pisa.” Organisation for economic co-operation and de-

velopment (oecd) s/f. (consulta 12 de marzo de 2010) <http://titania.sourceoecd.org/vl=22960630/cl=22/nw=1/rpsv/cw/vhosts/oecdthemes/99980029/v2009n26/contp1-1.htm>.

Pulido, Ricardo. Unestudioteóricodelaarticulacióndelsabermatemáticoeneldiscursoescolar:latransposicióndidácticadeldiferencialenlafísicaylamatemáticaescolar.Tesis de doctorado (no publicada). cinvestav del ipn, México. (1997).

salinas, Patricia, y Juan Antonio Alanís. “Hacia un nuevo paradigma en la enseñanza del cálculo”. RevistaLatinoa-mericanadeInvestigaciónenMatemáticaEducativa,12. 3 (2009): 355-382.

salinas, Patricia, Juan Antonio Alanís, Ricardo Pulido et al. Elementos del cálculo. Reconstrucción conceptual para elaprendizajeylaenseñanza.México: Trillas, 2002.

unesco. “Enseñanza de la ciencia y la tecnología”. Organización de las Naciones Unidas para la Educación, la Ciencia y la Cultura (unesco) s/f. (consulta 10 de marzo del 2010) <http://www.unesco.org/es/science-and-technology/>.

70 • Didac 56-57 (2011)

Colaborar para aprender y enseñar matemáticas en línea

JoséLuisRamírezAlcántara*Profesor-investigador

Centro Nacional de Investigación y Desarrollo Tecnológico (Cenidet)

ManuelJuárezPachecoProfesor-investigador

Centro Nacional de Investigación y Desarrollo Tecnológico (Cenidet)

❂

ResumenUn recurso educativo esencial en la educación superior contemporánea es el uso de ambientes virtuales en los que se ofrecen cursos a distancia en línea; actualmente está abierto el debate sobre las mejores prácticas educativas que deben caracterizar esta modalidad, particularmente en educación matemática. En este trabajo se presenta la puesta en práctica de la técnica co-laborativa instrucción acelerada en equipos (tai, team accelerated instruction), en un curso en líneade matemáticas discretas para estudiantes que ingresan al posgrado en ciencias de la computación del Centro Nacional de Investigación y Desarrollo Tecnológico (Cenidet), la cual fundamentó las actividades de docentes y estudiantes. Palabrasclave:aprendizaje colaborativo, e-learning, matemáticas discretas, tai.

AbstractAnessentialresourceincontemporaryhighereducationistheuseofvirtualenvironmentstoofferdistancelearningcoursesenlínea;currently,theissueonthebesteducationalpracticesthatshouldcharacterizethiskindofeducationalservicesitisopen,particularlyinmathematicaleducation.Thispaperpresentstheimplementationofteamacceleratedinstruction(tai)collaborativeap-proachinanonlinecourseindiscretemathematics,forstudentsenrolledthepostgraduatecourseincomputersciencefromtheNationalCenterofResearchandTechnologicalDevelopment(Cenidet),whichsubstantiatetheactivitiesofteachersandstudents. Key words: collaborativelearning,e-learning,discretemathematics,tai.

∗ Correo electrónico del autor: [email protected]

Colaborarparaaprenderyenseñarmatemáticasenlínea • 71 José Luis Ramírez Alcántara, Manuel Juárez Pacheco. Didac 56-57 (2011): 71-75

E-learningyenseñanzayaprendizajedelasmatemáticasDesde que se inició el uso de la tecnología computa-cional para la enseñanza y el aprendizaje de las ma-temáticas se le asignaron diversos roles; inicialmente el de un profesor paciente que explica una y otra vez a los estudiantes (sistemas tutores), que ofrece infor-mación y retroalimentación adecuada para el avance (sistemas tutores inteligentes) y genera ejercicios. Posteriormente los dispositivos tecnológicos se han utilizado para desarrollar habilidades matemáticas específicas (Logo) y operar fenomenológicamente con conceptos matemáticos (Cabrí, Maple, Mate-mática, Geogebra, etc.). Todas estas formas de uso se desarrollaron en ambientes cara a cara. En la actualidad, con el surgimiento de los am-bientes virtuales de aprendizaje, educación en línea o e-learning, se abren nuevas posibilidades para la enseñanza y el aprendizaje de las matemáticas. Aunque no son muchas las experiencias en esta área, particularmente en procesos formales de educación superior, el uso de sistemas de administración del aprendizaje (lms, learning management systems) en cursos a distancia se ha convertido en un nuevo ámbito para la educación matemática en la modali-dad e-learning. Por la juventud del área, está abierto el debate sobre las características de las prácticas educativas adecuadas y la forma de darles soporte en ambientes weby específicamente en lms. Lo que aquí se presenta se basa en la técnica desarrollada en un curso de matemáticas discretas en línea para estudiantes que ingresan a la maestría en ciencias de la computación en el Centro Nacional de Investigación y Desarrollo Tecnológico (Cenidet), institución de posgrado del sistema Nacional de Educación superior Tecnológica (snest), que ofrece programas de maestría y doctorado en mecánica, electrónica, mecatrónica y computación. El curso fue desarrollado después de varios años de impartir propedéuticos convencionales en los que se identificaron las deficiencias recurrentes en los estudiantes, como, por ejemplo, el desconoci-miento de los lenguajes lógico y de conjuntos, el de las estructuras lógicas de los enunciados, el uso

inadecuado de las definiciones, la mala lectura de un texto formal de matemáticas, la incapacidad para identificar la estructura de los teoremas, la ausencia de estrategias para hacer demostraciones, el mal uso de los métodos de demostración por reducción al absurdo e inducción matemática, el uso inade-cuado de los cuantificadores, etc. Eliminar estas carencias se convirtió en el objetivo central del curso y en la base para definir la estrategia de intervención didáctica y diseñar los materiales. En este trabajo sólo se describe la interacción colaborativa entre los estudiantes, entre los estudian-tes y los profesores y entre los profesores mismos, encaminada al dominio de los contenidos y a la construcción de significados durante el curso. Estas interacciones se describen a partir de las actividades realizadas, que se diseñaron con base en la técnica colaborativa instrucción acelerada en equipos (tai, team accelerated instruction; slavin, 1994), lo cual implicó, como se describe más adelante, organizar tres tipos de actividades. En cuanto a la práctica de los profesores, se describe particularmente la docencia en colaboración realizada por dos de los profesores del curso en las actividades de retroali-mentación sincrónica.

AprendermatemáticasencolaboraciónEl aprendizaje cooperativo tiene una larga histo-ria, puesto que los profesores por lo general han permitido e incluso alentado que sus estudiantes trabajen ocasionalmente en proyectos, en discu-siones y debates en grupo. En el texto “Una guía práctica para el aprendizaje colaborativo en mate-máticas universitarias” (Hagelgans, 1995: 8-37) se hace una propuesta para mejorar el aprendizaje de las matemáticas desde el aprendizaje colaborativo. En este mismo texto se hace referencia a la técnica colaborativa tai, diseñada específicamente para la enseñanza de las matemáticas de tercero a sexto gra-dos (del K12 estadounidense), que en la enseñanza secundaria se utilizó como método de instrucción correctiva en esta área (slavin, 1994). A través de internet es posible observar cómo se ha extendido y utilizado a nivel mundial esta técni-

72 • Colaborarparaaprenderyenseñarmatemáticasenlínea José Luis Ramírez Alcántara, Manuel Juárez Pacheco. Didac 56-57 (2011): 71-75

ca; tanto que su uso se ha ampliado de la educación básica a la educación media y superior, en áreas de las matemáticas como álgebra, geometría, cálculo, ecuaciones diferenciales y álgebra lineal (Dubinsky, 1993). Los reportes incluyen, en muchos de los casos, el uso de nuevas tecnologías para apoyar partes del proceso (como en el caso de Hagelgans, 1995), pero las referencias a trabajos en educación a distancia en matemáticas sólo señalan, en su mayoría, su poten-cialidad (Karadag, 2008), o insisten en el cuidado de conservar en esta modalidad al menos dos de los principios básicos del aprendizaje colaborativo: la interdependencia positiva y la responsabilidad por el aprendizaje individual (Felder y Brent, 2001). Quienes usan la técnica de tai la han tomado como base para desarrollar técnicas cooperativas propias que se ajusten al nivel escolar de los con-tenidos matemáticos (Blázquez y Marín, 2007). En el grupo de matemáticas y nuevas tecnologías del cerme 41 se reporta un trabajo que si bien está fundamentado desde las comunidades de práctica

(De la Cerda etal., 2005), la base de la “interacción matemática” se acerca inicialmente a la solución de problemas utilizando la técnica de tai. En México, los proyectos efit y emat2 declaran que los trabajos de los estudiantes, cara a cara, se realizan en colabo-ración pero no especifican la forma de organización y trabajo, sólo expresan algunos elementos generales sobre el trabajo en equipos.

Colaboraciónydistanciaenlaenseñanzayelaprendizajedelasmatemáticasconlatécnicadetai

La técnica de tai fue diseñada para resolver los pro-blemas teóricos y prácticos de la instrucción indivi-dualizada y satisface los criterios siguientes (slavin, 1994): a)La operación de tai debe ser tan simple que los estudiantes desde tercer grado lo puedan manejar; b)Los estudiantes se sentirán motivados por proceder rápida y adecuadamente a través de los materiales y podrían fracasar cuando platican o buscan respuestas fáciles; c)se les deben proveer numerosos puntos de verificación del dominio para no perder tiempo en el material que ya dominan o tener dificultades serias que requirieran la ayuda del profesor. En cada punto de verificación del conoci-miento se les deben proveer actividades alternativas y pruebas paralelas; d)Los estudiantes tendrían que ser capaces de contrastar el trabajo de uno y otro, aun cuando la revisión de los estudiantes fuera posterior a la verificación realizada en la secuencia instruccional y el procedimiento de contrastación tendría que ser simple para dar fluidez al estudiante que hace la confrontación. El diseño de las actividades del curso se basó en los criterios de la técnica de tai. Un elemento fun-damental fue la conservación del seguimiento individual (Kaufman y Felder, 2000) y, al mismo nivel, compartir y debatir en pareja para promover la reflexión sobre las acciones y los procesos de resolución de problemas, la utilización de los con-ceptos y las habilidades que los estudiantes deberían desarrollar o reforzar. Con el diseño de los materiales se reforzó la colaboración, al plantear a los estudiantes desde el inicio del curso tres formas de trabajo: a)Individual,


al leer, realizar ejercicios y resolver problemas; b)En parejas, al compartir y debatir las soluciones y las dificultades que de manera individual encontraron en los ejercicios y problemas. Esta actividad se rea-lizó de forma sincrónica (chat) y asincrónica (foro y correo electrónico), y, finalmente, c)En grupo ge-neral, preguntando y respondiendo a cuestiones no resueltas en parejas. Estas actividades se realizaron a través de foros para cada tema y con asesoramiento sincrónico (chat) dos veces por semana durante dos horas. En estas sesiones se proporcionó una asesoría de media hora para cada equipo, aun cuando el resto del grupo pemanecía pendiente de las discusiones que se generaban entre los participantes. Esta estruc-tura de actividades aseguró el trabajo individual y en parejas, y dejó como último recurso la resolución de dudas por los profesores. El diseño de estas actividades es también resulta-do del trabajo colaborativo realizado por los profe-sores antes y durante la realización del curso (Durán y Miguel, 2003). En los cuatro meses y medio que duró la etapa de diseño fue intensa la interacción entre los dos profesores a cargo del curso; la mayor parte de las interacciones se realizaron cara a cara con la finalidad de definir los objetivos, las habili-dades a desarrollar y la amplitud y profundidad del contenido matemático. En el caso de las asesorías sincrónicas que se planearon, se debió diseñar también un modelo de participación que permitiera la dirección del proceso y al mismo tiempo dar respuestas rápidas y oportu-nas a las preguntas de los estudiantes, considerando que también los profesores estarían trabajando en localidades distantes una de la otra. Con estas consi-deraciones se configuró un modelo de participación que implicaba coordinar las acciones de los dos profesores en una situación sincrónica. El modelo consta de tres posibles formas de colaboración sin-crónica, que se describe a continuación:

1. Colaboración en background: en esta forma el profesor A iniciaba la sesión de chatcon los estudiantes y dirigía el proceso por un tiempo. El profesor B debía llevar un recuento de las

preguntas planteadas por los estudiantes y utilizando la mensajería interna de Moodle daría indicaciones o haría observaciones a las respuestas dadas a los estudiantes. El profesor B no interviene directamente en el chat, aun-que los estudiantes sí sabían de su presencia.

2. Colaboración como apoyo al líder: en esta forma el profesor A tiene el peso de la direc-ción de la sesión y el profesor B interviene esporádicamente, aclarando o puntualizando algún elemento planteado por el profesor líder. En esta forma el profesor B interviene directamente en el chat, pero no resta auto-ridad al profesor A.

3. Coordinación en colaboración: en esta for-ma ambos profesores coordinan la sesión interviniendo indistintamente para aclarar o complementar las respuestas a algunas preguntas o dificultades de los estudiantes. La coordinación de sus intervenciones está dada por el dominio del tema y la información requerida por los estudiantes.

Con estas formas de coordinación colaborativa se dieron mejores respuestas a las dudas planteadas por los estudiantes, y los profesores pudieron conocer con mayor detalle tanto el nivel de desarrollo de cada uno de ellos como las dificultades y deficiencias que aún no habían superado.

AmaneradeconclusiónLa colaboración en los procesos de enseñanza-apren-dizaje de las matemáticas es un factor fundamental tanto para los estudiantes como para los profesores ante las nuevas condiciones y medios que se tienen para mejorar el nivel de conocimientos y habili-dades, pero, en general, la colaboración no se da de manera espontánea, por lo que el diseño de la instrucción debe establecer estrategias y técnicas que fomenten en los estudiantes y profesores hábitos de participación conjunta. La aplicación de la técnica de tai para el aprendizaje de las matemáticas dis-cretas en cursos a distancia en línea permitió a los estudiantes de ciencias de la computación, antes

74 • Colaborarparaaprenderyenseñarmatemáticasenlínea José Luis Ramírez Alcántara, Manuel Juárez Pacheco. Didac 56-57 (2011): 71-75

de iniciar el posgrado, compartir sus experiencias y conocimientos en un proceso de retroalimentación mutua sin perder su propia responsabilidad sobre el aprendizaje. Los estudiantes se vieron en la necesidad de expresar y comunicar sus dudas desde el principio del curso, lo que les exigió una mayor reflexión en su proceso de estudio, y tanto los materiales utilizados como el diseño tecnopedagógico, implementado en Moodle, favorecieron la colaboración entre ellos. En cuanto a la asesoría sincrónica por chatque los profesores ofrecieron a los estudiantes, la organi-zación por equipos pero en forma de grupo permitió atender de mejor manera las dudas y preguntas de los estudiantes y favoreció la optimización del tiempo de asesoría, evitando la reiteración de preguntas, lo que les dio a los estudiantes la oportunidad de plantear preguntas de mayor profundidad sobre el tema. En esta actividad se puso a prueba el diseño para la intervención de los profesores, y particularmen-te la interacción con fluidez, ejerciendo los roles preestablecidos. se reconoce que el diseño de esta interacción permitió a los profesores reflexionar sobre el contenido y tipo de error o dificultad que expresaban los estudiantes, y le daba al profesor que no dirigía la asesoría la oportunidad de plantear una mejor respuesta o dar mejores elementos para ayudar a los estudiantes. Este tipo de actividad colaborativa entre profesores implica que los invo-lucrados amplíen su capacidad para recibir críticas y recomendaciones del otro profesor. Esta actividad conjunta requiere también capacitación y entrena-miento para lograr la coordinación adecuada y el respeto de los tiempos de intervención. En esta experiencia, dado el tipo de población estudiantil y su alta motivación para el ingreso al posgrado, se lograron buenos resultados en la apli-cación de esta técnica colaborativa. Consideramos que, en el caso de los profesores, su disponibilidad y experiencia en la materia les permitió superar las diferencias de opinión y las dificultades técnicas que se presentaron durante las sesiones sincrónicas.

Notas1 <http://cerme4.crm.es/>.2 <http://www.efit-emat.dgme.sep.gob.mx/>.

ReferenciasBlázquez-Entonado, Florentino, y santiago Marín. “Co-opera-

tive learning in the teaching of mathematics in secondary ed-ucation”. EducationalActionResearch, 11.1 (2007): 93-120.

Dubinsky, Edward. “Computers in teaching and learning discrete mathematics and abstract algebra”. AdvancedTechnologies in theTeaching of Mathematics and Science. Ed. D.L. Ferguson. nato asi series/Computer and system sciences. springer-Verlag (1993): 525-564.

Durán, David, y Ester Miguel. “Cooperar para enseñar y apren-der”. CuadernosdePedagogía, 331 (enero de 2003): 73-76.

Felder, Richard M., y Rebecca Brent. “Effective strategies for cooperative learning”. JournalofCooperation&Collabora-tioninCollegeTeaching, 10(2) (2001): 69-75.

Hagelgans, Nancy et al. A Practical Guide to CooperativeLearning in Collegiate Mathematics. The Mathematical Association of America. Notes, núm. 37. Washington: maaa, 1995.

Karadag, Z. ImprovingOnlineMathematicalThinking. icme 11, Proceedings, 6-13 de julio. Monterrey, México, 2008.

Kaufman, Deborah, y Richard M. Felder. “Accounting for individual effort in cooperative learning teams”. JournalofEngineeringEducation, 89(2) (2000): 133-140.

Lacerda, João Filipe de, Yishay Mor, Richard Noss y Madalena santos. “sustaining interaction in a mathematical com-munity of practice”. cerme 4. Febrero de 2005 en sant Feliu de Guíxols, España. Work Group 9. (2005): 17-21 (consulta: 17 de febrero de 09). Disponible en: <http://cerme4.crm.es/>.

slavin, R.E. CooperativeLearning.Theory,Research,andPractice. Boston: Allyn and Bacon. 1994.


Epistemología de la transformada de Laplace y sus implicaciones en la didáctica

de las matemáticasEduardoMirandaMontoya*

Profesor investigadorInstituto Tecnológico y de Estudios superiores de Occidente (iteso)

❂

ResumenLa meta en este trabajo es analizar los principales aspectos de la evolución de conceptos que dieron origen a la forma particular de la transformada de Laplace (tl). La investigación de corte epistemológico permitió encontrar al menos dos marcos de referencia donde aparecen como concepto la integral de Laplace, por un lado, y la tl, por el otro. Ambas surgen como una herramienta operacional para resolver problemas donde se involucran series de potencias o como parte de una metodología de solución de ecuaciones diferenciales mediante factores de integración adecuados. Palabrasclave:transformada de Laplace, epistemología

AbstractThegoalinthisworkistoanalyzethemainaspectsoftheevolutionofconceptsthatgaverisetotheparticularformoftheLaplaceTransform(lt).TheinvestigationofpossibleepistemicbreaktofindatleasttwoframesofreferencewheretheyappearastheLaplaceintegralconceptononesideandtheLTontheother.Bothemergeasanoperationaltooltosolveproblemswhichinvolvepowerseriesoraspartofamethodologyforsolvingdifferentialequationsbyappropriateintegrationfactors. Key words: Laplacetransform,epistemology

∗ Correo electrónico del autor: [email protected].

IntroducciónEn las escuelas de ingeniería, los cursos de ecuaciones diferenciales tratan la transformada de Laplace (tl) como una forma operacional de resolver ciertos tipos de ecuaciones diferenciales. A diferencia de temas curriculares como las derivadas o las integrales, que son tratados por los libros de texto y los profesores de matemáticas a través de las experiencias escolares previas para que el estudiante construya y atribuya

significados a los conceptos, esto no sucede con la tl. Aparece en el aula de manera artificiosa, como un instrumento cuyas propiedades formales son útiles porque resuelven ciertos tipos de problemas. Ante la intencionalidad de su enseñanza, cual-quier elemento de construcción o de reconstrucción de significados carece de claridad o está ausente. si bien es cierto que la tl puede ser interpretada por una función, ésta pertenece a una clase de fun-ciones diferente de las experiencias escolares previas del estudiante. Este hecho difícilmente podría ser

76 • EpistemologíadelatransformadadeLaplaceysusimplicacionesenladidácticadelasmatemáticas Eduardo Miranda Montoya. Didac 56-57 (2011): 76-81

entendido si sólo partimos de la estructura mate-mática que aparece en los textos para la tl. Por esta razón, la investigación se enfocó a dos aspectos: uno de corte epistemológico y otro de corte cognitivo. En este trabajo sólo se toma el primero de esos as-pectos, el epistemológico, que trata de responder a la pregunta ¿cuáles fueron las ideas y problemas que dieron origen y significado a la tl? Mientras que el aspecto cognitivo trata de responder a la pregunta ¿cómo se usarían estas ideas epistemológicas para su incorporación a la didáctica de las matemáticas?

Antecedentes.LatransformadadeLaplaceLa definición de la tl de una función f(t), común-mente presentada en el medio escolar, es:

L{f(t)} =

siempre y cuando la integral exista para ciertos valores del parámetro s. Esta expresión aparece or-dinariamente por primera vez en el medio escolar universitario en los cursos de ecuaciones diferen-ciales. La enseñanza de la tl se transmite de manera muy similar a su presentación en los textos. La instrucción comienza con su definición, para seguir con el cálculo de la tl de diversas funciones; des-pués se analizan sus propiedades y se finaliza con las aplicaciones en la solución de algunas ecuaciones diferenciales. sin embargo, en cursos de análisis de señales o control (cursos posteriores al de ecuaciones diferen-ciales) es frecuente ver la enseñanza de la tl como un caso particular de la transformada de Fourier y en otros casos como la versión continua de la transformada Z. En todo caso, la definición de la tl invita a la reflexión, pues en ella aparecen componentes para los cuales no se dan antecedentes en los programas de estudio ni explicaciones del porqué es así. A tra-vés de conocimientos previos del cálculo se puede

pensar que la expresión

representa el área bajo la curva de la función f(t)e-st en el intervalo [0, ∞), pero surgen diferentes tipos de cuestionamientos:

• ¿Por qué se tiene que multiplicar una función f(t) por el factor e-st para después integrar?

• ¿Cuál es la razón de definir esta integral desde 0 hasta ∞ y no con otros límites?

• ¿Cómo es que se relacionó esta expresión con la solución de ecuaciones diferenciales?

• ¿Cómo está relacionada la tl con la transfor-mada de Fourier o con la transformada Z?

Con base en estos cuestionamientos se establece una epistemología a través del análisis de textos y las formas en que se enseña la tl en el medio escolar, además de analizar las ideas y los problemas que le dieron origen.

Elestatusepistemológicodelatl enelmedioescolarPara este análisis preliminar se desarrolló un cues-tionario cuya finalidad es buscar información sobre las creencias, concepciones y experiencias de alum-nos y profesores de la tl en el medio escolar. Este cuestionario se aplicó a estudiantes de ingeniería del Instituto Tecnológico y de Estudios superiores de Occidente (iteso) del estado de Jalisco. En la prime-ra pregunta se pide una explicación sobre lo que sig-nifica la fórmula de la tl y su utilidad y en la segunda se indaga sobre sus habilidades para el uso de la tl. Este cuestionario lo respondieron nueve estu-diantes de la carrera de ingeniería en electrónica que ya usan la tl como herramienta de análisis de circuitos, tres profesores de matemáticas y dos profesores ingenieros en electrónica. Como común denominador, cuatro estudiantes y cuatro profesores definieron la tl mediante la expresión

L{f(t)} = F(s) = . Los demás no se acordaron.

EpistemologíadelatransformadadeLaplaceysusimplicacionesenladidácticadelasmatemáticas • 77 Eduardo Miranda Montoya. Didac 56-57 (2011): 76-81

En los profesores de ingeniería electrónica se encontraron diferentes significados. Uno de ellos definió la tl como L{f(t)} = , con s = σ + jω, y explicó lo que quería decir tal expresión de la siguiente manera: “...la transformada sirve para proyectar la función f(t) sobre exponenciales de frecuencia compleja”. Mientras que para los otros profesores “la transformada es un operador que transforma una función”. Asimismo, todos los encuestados indicaron que la tl es una herramienta para resolver ecuaciones diferenciales; algunos calificaron el método como rápido y eficiente, y otros mencionaron que la tl transforma las ecuaciones para resolverlas por me-dios algebraicos. Finalmente, tres profesores coincidieron en que ellos enseñan y manejan la tl en forma algorítmica, pero que no saben cómo se originó la definición de esa transformada ni cómo es que se llegó a pensar en su utilidad. Vemos, de esta manera, que la tl representa en las experiencias escolares sólo una entidad con

propiedades cuya existencia y significación no se explican claramente. De alguna manera, los textos escolares contribuyen a establecer ese marco de re-ferencia. En los programas de estudio de ingeniería se encontró que la tl aparece por primera vez en los cursos de ecuaciones diferenciales y forma parte de los cursos de ingeniería (Teoría de Control, sistemas Lineales, etc.) y algunos de probabilidad. La revisión de los textos ayudó a precisar, al me-nos, cuatro formas de introducir la tl en el medio escolar, que se resumen en cuadro 1. De esa revisión de textos también se pudo ob-servar que:

• En spiegel (spiegel, 1983) se dice que la tl se originó debido a los trabajos de Heaviside y sus métodos operacionales, aunque no se dice cómo es tal relación.

• En algunos textos de señales y sistemas, Con-trol o series de Fourier (Gary, 1983; Kamen, 1990), pareciera que existe la preocupación de cimentar la definición de la tl sobre la transformada de Fourier.

Cuadro 1FormasdeintroduccióndelatransformadadeLaplaceenelmedioescolar

Definición directa de la tl

Definición de la tl a partir de la

transformada de Fourier

Definición de la tl a partir de series de

potencias

Definición de la tl a partir de las transformaciones

integrales

Dada una función f(t) definida para t ≥ 0, la tl de la función f(t) es la función F(s) definida como

L{f(t)} = F(s) =

para todos los valores de s para los cuales la integral converge.

Latransformada de Fourier de una función f es la integral

Y si s es el número complejo tal que p = -is y además f(t) = 0 para t < 0 entonces se obtiene la integral

que es la tl.

“...si escribimos a una serie de potencias como

entonces un análogo natural lo es la integral impropia

...reemplazando xpor e-s se obtiene

integral que se conoce como latransformada de Laplace de la función f(t)...”

Dados K(s,t) y f(t), se llamatransformación integral lineal de f(t) sobre K(s,t) a la expresión

donde K(s,t) se conoce como el kérnel o núcleo de la transformación, y f(t) debe pertenecer a un espacio vectorial de funciones definidas para t positivo.


• Otros explican la existencia del factor e-st como forma de hacer convergente la integral, siempre y cuando la función f sea de orden exponencial (Kolmogórov y Fomín, 1975).

• En textos dirigidos a ingeniería electrónica (Ziemer, 1993) se da un argumento de tipo físico para decir que la integración se hace desde 0 hasta ∞ porque la función f(t), que puede asociarse a un voltaje o corriente eléc-trica, sólo actúa sobre el circuito sí t ≥ 0.

Resumiendo, los profesores reflejan en su modo de enseñar la tl los contenidos de los textos; es decir, la enseñanza de la tl está limitada a la manipulación de la expresión integral, calculando la transfor-mada de funciones, probando y aplicando propie-dades de la tl para encontrar la solución de alguna clase de ecuaciones diferenciales.

Unaepistemologíadelatl

En esta sección se buscarán, en el desarrollo histórico de la tl, indicadores sobre su significado epistémico, etapas de desarrollo con sus progresos o regresio-nes. Acerca del origen de la tl, Widder menciona que la integral

tuvo como antecedente

expresiones de la forma

,

o y que todas se denominan integrales de Laplace (Widder, 1929). Por otra parte, al revisar los desarrollos de la tl en la historia (Miranda, 2001) se puede afirmar que desde sus orígenes estas integrales fueron creadas explícitamente como un método operacional con la única finalidad de resolver cierto tipo de ecuaciones diferenciales o en diferencias. Lo que cambió en cada etapa histórica de desarrollo de la tl fue el tipodeoperacionesrealizadaspara resolver esas ecuaciones, y es sobre la base de esas operaciones que se pueden re-conocer los tres periodos de su evolución conceptual.

LasetapasconceptualesdelaTL

Etapa 1. Multiplicación: las integrales indefinidas: En esta etapa, la multiplicación es la operación esencial para resolver una ecuación diferencial. En

este caso la multiplicación de una ecuación dife-rencial por una función adecuada (la exponencial emx) es la manera en que la ecuación de orden “n” es transformada en otra ecuación de orden “n-1”, cuya solución se puede conocer (o ya es conocida). En particular, Euler estudia (en Benítez, 1993) métodos de solución de ecuaciones diferenciales de orden mayor a uno mediante el argumento de multiplicar una ecuación diferencial An y(n) + An-

1 y(n-1) +...+A1 y’ + A0 y = f(x) por un factor emx, con la finalidad de transformar la ecuación diferencial en una ecuación exacta, dependiendo del parámetro “m” y de reducir la ecuación en otra de un grado menor a la original Bn-1 y(n-1) +...+B1 y’ + B0 y = . La aplicación de estos argumentos llevó de modo indirecto a la obtención de las integrales indefinidas de la forma , que sin duda son expre-siones que anteceden a la tl.

Etapa2.Sustitución:lasintegralesdefinidas: El con-texto inicial en el que esta etapa de conocimiento se desarrolla es el de la probabilidad. En este tenor, Laplace afirmó (Laplace, 1812) que la solución de una ecuación en diferencias o diferencial f(s) se puede expresar en la forma integral

f(s) =

El método de solución de ecuaciones diferenciales y en diferencias desarrollado por Laplace y que tam-bién fue usado por Boole (Boole, 1859) y Poincaré (Poincaré, 1885) recibió el nombre de “método de integrales definidas”, o “método de Laplace” (ml). La idea era sustituir la integral

en la ecuación a resolver para determinar la fun-ción U(t), así como los límites de integración ay b. Como consecuencia de este periodo aparecen integrales de la forma , y .


Etapa 3. Multiplicación: las integrales impropias: Algunos de los contextos en donde estas ecuaciones son problemas de la desintegración radiactiva y de circuitos eléctricos es donde se busca determinar comportamientos en tiempos muy grandes (t = ∞) a partir de estados iniciales (en t = 0), por lo cual la integral

es particularizada a la integral

impropia

. En particular, Bateman pu-blica (Bateman, 1910) la solución de un sistema de ecuaciones diferenciales para calcular la cantidad de sustancias radioactivas de la forma

;

;

.

A cada ecuación de este sistema la multiplica por e-xt e integra desde 0 hasta ∞ y obtiene expresiones de la forma

=

Debe notarse que el método usado por Bateman es ya el método de la tl actual.

Formalizacióndelatl ysuapariciónenelmedioeducativoDespués de esta etapa, la tl entra en un estado de formalización y sistematización de sus propiedades. En este contexto se encuentran los trabajos de Do-etsch (Doetsch, 1943), quien publica una serie de artículos y libros en donde se escribe por primera vez acerca de la tl como la herramienta matemática con rigor matemático. En esos textos se define la integral de Laplace f(s) =

como una


transformación funcional denominada tl, que forma parte de un conjunto de transformaciones in-tegrales de la forma general

, en

la que K(x, y) es el núcleo de la transformación. Al parecer, fue el texto de Gardner y Barnes relativo al análisis de sistemas lineales (Gardner y Barnes, 1942) donde aparece por primera vez la tl en el medio educativo. En ese texto, la tl se expone como un caso particular de la transformada de Fourier y es interpretada como una herramienta similar a la función logaritmo.

AlgunasimplicacionesparaladidácticaEn el aula es frecuente observar que los profesores usan explícita o implícitamente todo tipo de conoci-mientos, de métodos y de convicciones acerca de la forma en que se busca, se aprende o se organiza un saber. Esto constituye un conjunto de “representa-ciones epistemológicas” que se construyen de forma empírica para responder a las necesidades didácticas. A diferencia de esas representaciones epistemológicas empíricas, el análisis epistemológico formal tiende a apoyar el análisis didáctico en la construcción del conocimiento matemático bajo el principio de que los problemas que han motivado la introducción y evolución de este u otro conocimientos están constituidos por la significación del concepto. Este análisis epistemológico permite dar un significado histórico a los conceptos matemáticos, pero también proporciona argumentos que sirven a la didáctica para presentar estos conceptos en el aula. En este contexto, sierpinska encontró (sier-pinska, 1996) que en el aprendizaje de conceptos matemáticos existen dos modos de pensamiento: en el primero el objeto de pensamiento es dado di-rectamente (intuición) y en el segundo el objeto de pensamiento es dado indirectamente (pensamiento discursivo). Al modo intuitivo se le llama sintéticoy al modo discursivo se le llama analítico. En el modo analítico el objeto es creado tan sólo a partir de la definición; sus propiedades solamente se derivan de su definición. Para el caso de la tl hemos visto que su enseñanza parte de la definición de una expresión integral, y a partir de allí se exploran sus propiedades

y aplicaciones. Esto es, en la enseñanza de la tl no se consideran elementos que puedan describir la es-tructura de ésta, de modo que un estudiante pudiera intuir el porqué de su forma y sus componentes, así que también se puede decir que la enseñanza de la tl se inicia en el modo analítico del concepto. En el marco de estas observaciones parece im-portante considerar un estatus epistemológico en la didáctica acerca de las ideas que llevaron a la cons-trucción de la expresión correspondiente a la tl; tal estatus epistemológico podría ser el germen de una revisión en la práctica educativa que probablemente llevará al estudiante a construir o al menos a intuir el porqué la expresión de la tl es como se da en las definiciones.

ReferenciasBateman, H. “The solution of a system of differential equationes

occurring in the theory of radiactive transformations”. Trad. Phil.Camb. EU, 1910. soc., 15: 423-427

Benítez, M.L. “significación de los objetos matemáticos cen-trado en las ecuaciones diferenciales lineales de 2º orden”. Tesis de maestría. IPN-Cinvestav. México, 1993.

Boole, G. “A treatise on differential equations”. EU: Chelsea Publishing Co., 1859.

Derrick, G. “Ecuaciones diferenciales con aplicaciones”. Méxi-co: Addison Wesley Iberoamericana, 1981.

Doetsch, G. “Theorie und anwendung der Laplace transforma-tion” (versión en Estados Unidos de la edición alemana de 1937). Nueva York: Dover Publicationes, 1943.

Gardner, M., y J. Barnes. “Transient on linear systems, studied by the Laplace transformation”, vol. 1. Londres: John Willey & sons, 1942.

Gary, R.J. “Linear systems fundamentals”. Estados Unidos: Mc Graw Hill, 1983.

Kamen, E. “Introducction to signals and systems”. Estados Unidos: McMillan, 1990.

Kolmogórov, A.N., y s.V. Fomín. “Elementos de la teoría de funciones y del análisis funcional” Moscú: Mir, 1975.

Laplace, P. “Théorie analytique des probabilités”. M.V. Courcier. Imprimeur Libraire, pour les Mathématiques, Francia, 1812.

Laplace, P. “Ensayo filosófico sobre las probabilidades”, traduc-ción de Pilar Castrillo. México: Alianza Editorial, 1988.

Miranda, E. “Entendimiento de la transformada de Laplace. Caso de una descomposición genética”. Tesis doctoral no publicada. Departamento de Matemática Educativa, IPN-Cinvestav. México, 2001.

sierpinska, A. “Problems related to the design of the teaching and learning process in linear álgebra”. Research Conference in Collegiate Mathematics Education. Central Michigan University, EU, 1996.


Noticias Bibliográficas

Reseña*

Manual de investigación para las ciencias sociales: un enfoque de enseñanza basado en proyectos

México: unam/El Manual Moderno, 2009Benilde García Cabrero

MariCarmenGonzálezVidegaray**Profesora titular

Facultad de Estudios superiores AcatlánUniversidad Nacional Autónoma de México

Muy buenas tardes. Agradezco a la doctora Benilde García Cabrero su amable invitación para presentar el Manual de investigación paralas ciencias sociales: un enfoquede enseñanza basado en proyectos, editado por El Manual Moderno. Agradezco también la compañía del doctor Arturo silva Rodríguez y la doctora Lizbeth Vega Pérez. Gracias también a ustedes por su asistencia a este evento. Me parece que la presentación de un libro tiene como objetivo despertar en la audiencia curiosi-dad e interés por la obra. Tal vez esta tarea sería más sencilla si se tratara de un libro de poemas o una novela. sin embargo, en esta ocasión hablaremos de un manual metodológico que puede leerse con el mismo deleite que una narración placentera, así que hay muchos argumentos para motivar su lectura.

Para comenzar, cuando uno tiene en su mano el libro coordi-nado por Benilde García Cabrero lo primero que resalta es su tamaño agradable, su peso ligero y su por-tada colorida. sólo con una mirada curiosa se da uno cuenta de que la portada nos muestra el perfil de un hombre vestido de vitral, con la cabeza literalmente partida en dos. La parte superior de su crá-neo llega hasta la contraportada y no nos queda claro si las hipótesis nulas entran o salen de su cerebro. Lo que sí es evidente es que se trata de un libro que se escribió pensando en el lector, con la idea de lograr que no pierda la sonrisa ni siquiera al quebrarse la cabeza con la estadística y echarse un clavado en los métodos de investigación. Así, al leer este manual perci-bimos que los autores estuvieron conscientes de que a muchas personas no sólo no les gustan

la estadística ni las matemáticas, sino que casi las odian. Cuando estas personas hojean un libro de investigación y encuentran páginas y páginas con ecuaciones y resul-tados de programas de cómputo sienten la tentación de lanzarlo muy lejos. Desafortunadamente esta actitud ocasiona que nuestra nación se aleje de la investigación cuando, como dice un amigo, los países desarrollados no investigan porque son ricos, sino que son ricos precisamente porque investigan. Así que imagínense ustedes lo que vale un buen libro acerca de los métodos de investigación. Éste es el caso del texto que nos reúne aquí el día de hoy. Notamos que, con el fin de atraer a los ene-migos acérrimos de la estadística, el equipo de autores de este libro fue exquisitamente sagaz. Con creatividad y magia, en lugar de ecuaciones y símbolos griegos,

* Texto de la presentación del libro llevada a cabo en el Centro Cultural Bella Época en abril de 2010.** Correo electrónico de la autora: [email protected].

82 • Manualdeinvestigaciónparalascienciassociales:unenfoquedeenseñanzabasadoenproyectos, de Benilde García Cabrero MariCarmen González Videgaray. Didac 56-57 (2011): 82-84

colocaron mapas conceptuales, tablas explicativas, gráficas y hasta una caricatura sobre la ciencia. Al pasar las páginas del manual ni el más intolerante podría asustarse de su contenido. En la introducción de la obra, los autores señalan en primer lugar la desarticulación que existe entre la enseñanza de la metodología de la investigación y la estadística. Yo me atrevería a decir que, más allá de esto, existe también una falta de articulación entre los contenidos de las carreras universitarias y el acer-camiento a la investigación. De he-cho, parecería que la investigación es una especie de asignatura flotan-te que no tiene nada que ver con el trabajo que realizarán los jóvenes en su profesión. Es más, algunos de ellos han bautizado a esta materia como una asignatura “de relleno”. Estas actitudes de autoridades, maestros y alumnos denotan la falta de conciencia sobre el fun-cionamiento de nuestra economía actual, cuya base es precisamente el conocimiento. Hace algunas décadas era posible estudiar de una vez “para toda la vida”. Un profesionista podía ejercer su labor durante muchos años apoyado tan sólo en lo que había aprendido en la universidad. Ahora, como suele decirse, lo único permanente es el cambio. El trabajo actual exi-ge el desarrollo de la habilidad de aprender, claro, pero también de las habilidades de des-aprender y re-aprender. Pensemos en algunos ejemplos cercanos: ¿Cuántas veces hemos aprendido, des-aprendido y re-aprendido a usar un sistema operativo en la computadora? ¿Qué sensación tuvimos cuando creíamos haber dominado Word y

NOTICIAS BIBLIOGRÁFICAS • NOTICIAS BIBLIOGRÁFICAS • NOTICIAS BIBLIOGRÁFICAS • NOTICIAS BIBLIOGRÁFICAS

apareció Office 2007? ¿Cómo fue que modificamos nuestros hábitos de limpieza hasta volvernos adictos al gel ante el peligro de la influenza ah1n1? Y estos nuevos aprendi-zajes no significan que debamos regresar a la escuela, sino que debemos fomentar el aprendizaje autodirigido. Pero, a su vez, el aprendizaje autodirigido implica contar con un pensamiento crítico y ser capaz de indagar en el conocimiento. Por ello la investigación es una actividad indispensable en todas las áreas del conocimiento. Dicho de otra manera: sólo podremos mantenernos vigentes si sabemos investigar. Y la investigación no es únicamente una forma de am-pliar nuestra visión del mundo: su objetivo primordial es crear conocimiento. Ésta es la forma en que avanzan las ciencias y no es una actividad restringida a un grupo de señores raros con lentes y batas blancas que trabajan en un laboratorio. saber investigar es la mejor forma de salir adelante de los problemas cotidianos. Por todas estas razones es muy bienvenido este manual, que pro-mueve un aprendizaje contextual de la investigación a través de la realización de proyectos. A veces los estudiantes, con excesiva bondad de su parte, dicen de un maestro que “sabe la materia pero no sabe enseñar”. Este libro demuestra lo contrario: los autores se centran en el alumno y saben enseñar a través de su escritura. Conocedo-res de que uno de los temas más problemáticos de la aplicación de la estadística es la selección de la prueba estadística apropiada para cada pregunta de investigación, nos

brindan un árbol de decisión que facilita este proceso. La estructura del manual es ló-gica y se presenta en tres secciones: se parte de cómo planear y desarro-llar un proyecto de investigación, en seguida se explica la forma de analizar los datos recabados y, por último, se detalla la forma de ela-borar y presentar un proyecto de investigación. En la primera sección, Benilde García, Luis Márquez y José Luis Ávila nos guían en una parte del trabajo que suele congelarnos: la delimitación del tema de inves-tigación. Para ello nos sugieren situarnos en la frontera del cono-cimiento a través de la revisión de la literatura relevante, tanto en papel como en forma electrónica. Nos brindan también muy buenas pistas sobre cómo formular una pregunta de investigación que, dentro de la metodología cuantita-tiva, se convertirá en una hipótesis a comprobar. Nos explican cómo contrastar variables o valores obser-vables de una forma sistemática y ordenada que generará los mismos resultados aquí y en China. Por último, introducen también con claridad conceptos que no son triviales, como la población y las muestras, los diseños de investiga-ción, la validez y la confiabilidad. En la sección dos, Lizbeth Vega, Benilde García, Alejandra Valencia y Michael L. Hoover se abocan al análisis estadístico de los datos. Comienzan con un diagrama expli-cativo de las categorías de este aná-lisis, donde identifican las formas de sistematizar los datos, el análisis descriptivo y el inferencial. Dentro de la sistematización establecen los fundamentos para organizar los da-

Manualdeinvestigaciónparalascienciassociales:unenfoquedeenseñanzabasadoenproyectos, de Benilde García Cabrero • 83 MariCarmen González Videgaray. Didac 56-57 (2011): 82-84

NOTICIAS BIBLIOGRÁFICAS • NOTICIAS BIBLIOGRÁFICAS • NOTICIAS BIBLIOGRÁFICAS • NOTICIAS BIBLIOGRÁFICAS

tos en matrices que dan paso al uso de aplicaciones de software. Dentro del análisis descriptivo nos ayudan a presentar y resumir los datos a través de gráficas y tablas. Nos explican con claridad las medidas clásicas, que a pesar de ser sencillas suelen confundir a los alumnos: tendencia central, dispersión, po-sición y forma. Además, nos dan un panorama visual con técnicas gráficas y estadísticas para explorar los datos. En esta misma sección se expone el análisis inferencial, que es donde casi siempre comienzan los problemas de interpretación y donde muchos estudiantes se rin-den. Con mucho tino, los autores nos introducen a las distribuciones de probabilidad, en las que desta-can la normal y sus propiedades. De allí pasan a explicarnos los famosos estimadores puntuales y por intervalo, que forman la base teórica de las pruebas de hipóte-sis. A su vez, estas pruebas son la expresión matemática y lógica de la investigación cuantitativa y son los procedimientos con los que se avanza en el conocimiento. Los

autores refuerzan sus ideas con ejemplos y tablas. Además, nos dan un recorrido por un conjunto amplio de pruebas y revisan su instrumentación en aplicaciones de softwarecomo spss, para concluir con la potencia de la prueba y su relación con el nivel de significan-cia. si el análisis estadístico se lleva 74 de las 180 páginas del manual, podemos intuir su relevancia den-tro de la investigación. Para terminar, en la sección tres, Estela Jiménez y Benilde García nos explican la forma apropiada de elaborar un reporte de investiga-ción sin suponer que eso ya debía-mos saberlo. Especifican la famosa aunque poco conocida estructura imryd. Esto es: introducción, ma-terial y métodos, resultados y dis-cusión. En estos cajones es posible acomodar con facilidad cada una de las partes del reporte. Las auto-ras detallan también las tres formas de presentar los resultados en una investigación: la forma discursiva, las tablas o cuadros y las gráficas o figuras. Explican la forma de construirlas y presentarlas dentro

del documento. Por ejemplo, las figuras pueden incluir diagramas, organigramas, fotografías, esque-mas, etc. A su vez, las gráficas pue-den ser de línea, barras, columnas, circulares, o de dispersión. Las autoras ponen énfasis en el análisis e interpretación de los datos, tanto cuantitativos como cualitativos; al fin y al cabo, éste es el fin último de la investigación. Para concluir, nos dan sugerencias para redactar la discusión. Por ejemplo, la manera de contrastar nuestros resultados con el marco teórico que habíamos planteado y con los resultados de otros autores. Nos dicen también cómo evaluar la investigación, cómo destacar nuestros hallazgos principales, cómo escribir nuestras recomendaciones, limitaciones, investigaciones futuras y conclu-siones. De esta forma, el equipo autoral nos guía en el camino de la investi-gación, paso a paso, de forma nítida y motivadora. ¿Por qué limitan su texto a las ciencias sociales? Es lo único en que no estaría de acuerdo: me parece que las ideas son útiles para todas las áreas del conoci-miento. En resumen, si eres alumno uni-versitario o profesor, o investigador, o simplemente quieres contar con herramientas de inteligencia para tener éxito en tu trabajo, esta obra es para ti. Gracias a todos y que disfruten la lectura.

84 • Manualdeinvestigaciónparalascienciassociales:unenfoquedeenseñanzabasadoenproyectos, de Benilde García Cabrero MariCarmen González Videgaray. Didac 56-57 (2011): 82-84

Líneadeinvestigación:Didácticadelasmatemáticas • 85 Edmundo Palacios Pastrana, Alfredo sandoval Villalbazo. Didac 56-57 (2011): 85-86

ProblemaEl Departamento de Física y Ma-temáticas atiende la formación matemática de estudiantes con intereses diversos: ingenieros, ad-ministradores, psicólogos y otros futuros profesionales cuyos estu-dios requieren diferentes niveles de aprendizaje de las matemáticas. La estructura departamental de la Universidad Iberoamericana orienta la adquisición de diferentes niveles de formación en sus estu-diantes. Así, el área básica pretende dar un perfil común a formaciones fundadas en diversas áreas del co-nocimiento; por ejemplo, cálculo I se ofrece tanto a las ingenierías como a los estudiantes de finanzas. Esto obliga al profesor a buscar maneras variadas de hacer llegar el mensaje pedagógico a alumnos con distintos intereses. sin embargo, el área básicasólo es el primerpaso a formaciones más específicas rela-cionadas con cada profesión.

Una vez planteada la situación de la manera anterior, tenemos dos problemas fundamentales:

1. La pobre formación mate-mática de la mayoría de los estudiantes en la educación media superior.

2. La formación demasiado específica de los profesores ante un entorno que requiere enfoques interdisciplinares.

En el primer caso hemos detectado serios problemas de analfabetismomatemático, al grado de que los es-tudiantes son incapaces de calcular operaciones básicas de aritmética de los números reales; el caso de las “fracciones” es particularmente acentuado. Dicho analfabetismo les impide seguir con fluidez los cursos universitarios de matemáti-cas y de otros campos que requie-ren de ellas. En el caso de los profesores, nos encontramos con problemas

relacionados con la cuestión didác-tica, así como con problemas en la interacción propiamente dicha con los estudiantes, llegando en algunos casos a problemas básicos de disciplina. En ambos casos nos encontramos inmersos en un mundo de serios problemas con la educación nacional, que no logra dar estructura a los que pasan por ella, sin olvidar otros problemas extracurriculares, como los repor-tados por la prensa diariamente. Las sociedades actuales son producto del conocimiento, a diferencia de lo que sucedía en otras épocas, en las que el progreso económico se fundaba en “mate-riales” como el carbón u otros. En la actualidad se requiere que los individuos manejen fluidamente conceptos, ideas y objetos abstrac-tos, que no son directamente ob-servables. La ciencia y la tecnología requieren una sólida formación en lo “formal”, en particular en

¿QUÉ sE EsTÁ HACIENDO EN LA UIA?

Línea de investigación: Didáctica de las matemáticas

EdmundoPalaciosPastranaCoordinador

Programa de servicio Departamental de Matemáticas

AlfredoSandovalVillalbazoDirector

Departamento de Física y Matemáticas

86 • Líneadeinvestigación:Didácticadelasmatemáticas Edmundo Palacios Pastrana, Alfredo sandoval Villalbazo. Didac 56-57 (2011): 85-86

general matemática, así como sobre los elementos básicos que son requeridos en los cursos de la licenciatura. Dichos cursos han mostrado efectividad, de manera que seguirán siendo impartidos en un formato flexible pero obli-gatorio.

AsesoríasPara asegurar que el mensaje di-dáctico llegue a los estudiantes, el Departamento ofrece también el servicio de asesoría a lo largo de todo el semestre. En caso de que, a juicio de un profesor, algún estudiante requiera de ayuda, los profesores de tiempo completo y algunos de asignatura ofrecen su tiempo a quienes, en el desarrollo de un curso, necesiten afinar aque-llos detalles que, por la rapidez de algún curso, “queden en el aire”. se trata de ofrecer ayuda puntual en temas varios del saber matemá-tico. Dichas asesorías se ofrecen en distintos horarios, abarcando 60 horas a la semana.1 En muchos casos se usa material informático para apoyar la transmisión del conocimiento.

FormacióndeprofesoresEn colaboración con la Dirección de servicios para la Formación Integral (dsfi), se ofrecen periódi-camente cursos de actualización al personal docente en diversos rubros didácticos. En dichos cursos se de-sarrollan, por ejemplo, las nociones de competencias, tan fundamenta-les en el servicio departamental que estructura a la Universidad Ibero-americana Ciudad de México en su totalidad. La dsfi, en colaboración con el Departamento de Física y Matemáticas, ofrece elementos que

favorecen la formación humanista que los profesores de matemáticas requieren para llevar a cabo su labor docente.

InvestigaciónFinalmente, y en el tono de la academia tradicional en física-ma-temáticas, se tienen colaboraciones con otras instituciones en el área de investigación en didáctica de las matemáticas. En dicha área se po-nen a discusión y a prueba diversas teorías didácticas especializadas en matemáticas, con la particularidad de buscar una educación matemáti-ca desde el humanismo que funda a la Universidad Iberoamericana Ciudad de México y a todas las universidades del sistema Univer-sitario Jesuita (suj). En los procesos educativos que se ofrecen en el Departamento de Física y Matemáticas siempre se tienen en cuenta los avances de la tecnología y se hace uso exhausti-vo, según los requerimientos, de diversos métodos informáticos para completar la formación de los estudiantes.

Notas1 Los horarios se encuentran en línea en el sitio webdel Departamento: <http://fismat.uia.mx/>.

matemáticas, que, además de sus aplicaciones directas, estructura la mente del sujeto, permitiéndole abordar problemas de diversa índole. Un ejemplo de lo anterior es el ya clásico uso de la topología por Lacan en su relectura de Freud. Como en el caso de una estructura jerárquica, los organigramas son es-tructuras algebraicas que muestran los niveles de una manera gráfica e inmediata. Lacan inventa el uso de formas topológicas como los nudos para dar cuenta de diferentes concepciones de lo mental, que son ecos de nociones que Freud intro-dujo en el análisis de la psique. En vista de lo anterior, el De-partamento de Física y Matemáticas de la Universidad Iberoamericana Ciudad de México se aboca a la enseñanza de las matemáticas desde el concepto de las sociedades del conocimiento y de la interdiscipli-nariedad, con el convencimiento de que la interacción de individuos provenientes de diversos dominios ayudará a resolver problemas de importancia estratégica para la nación. En dicha tarea educativa, la naciente línea de investigación en didáctica de las matemáticas propone las siguientes líneas de trabajo:

CursospropedéuticosDespués de un acucioso proceso de selección, en colaboración con el equipo de Vicerrectoría Académi-ca, así como con el Departamento de Letras, se han venido ofreciendo cursos propedéuticos para aquellos estudiantes que en el examen de admisión obtuvieron resultados insatisfactorios en matemáticas. En dichos cursos se da una formación general sobre los temas de cultura

Didac 56-57 (2011) • 87

Número 58. Julio-diciembre 2011

Responsabilidad social y educación

Algunos tópicos en torno a los cuales pueden girar las colaboraciones:

• Modelos de responsabilidad social• Pertinencia de los programas educativos• Calidad de la educación• Compromiso ambiental en la educación• Acceso a la educación• Filantropía versus responsabilidad social• Grupos de interés en las instituciones educativas• seguimiento de egresados de los programas

educativos• Estudiantes responsables• Responsabilidad del profesorado• Formación para el ejercicio responsable de la profesión• Extensión universitaria• significado social de la producción del conocimiento• Estrategias didácticas para la formación social• Proyectos formativos con impacto social• Currículo oculto y realidad social• Políticas educativas responsables

Número 59. Enero-junio 2012

Motivación y docencia

Algunos tópicos en torno a los cuales pueden girar las colaboraciones:

• Motivación intrínseca y extrínseca• Factores psicológicos de la motivación• Motivación y personalidad docente• Expectativas del estudiantado• La motivación en el constructivismo• secuencias didácticas y motivación• Necesidades, intereses y expectativas• Motivación y heterogeneidad del alumnado• Elementos cognitivos de la motivación• Motivación y control• Innovación educativa• Estrategias generadoras de motivación• Motivación y eficacia pedagógica• Trabajo autónomo y motivación• Motivación del profesorado• Generación de ambientes para el aprendizaje• Motivación y comunicación• Factores personales, institucionales y contextuales en la motivación• Recursos didácticos• Motivación y currículum

Nuestros próximos números

88 • Didac 56-57 (2011)

1. Todo artículo es dictaminado por el Con-sejo Editorial para su aprobación, man-teniendo el anonimato entre autores y dictaminadores. Los editores se reservan el derecho de realizar los ajustes de estilo que juzguen convenientes. La recepción de un artículo no garantiza su publicación.

2. Los originales deberán enviarse por correo electrónico a la siguiente dirección:

[email protected]. 3. Todas las contribuciones deberán ser inéditas

en español. 4. El contenido debe estar orientado a incidir

en algún aspecto de la educación a cualquier nivel, como apoyo al trabajo docente.

5. El contenido debe corresponder al tema propuesto para el número determinado de la revista en que se pretende que aparezca. En caso de no corresponder con el tema y cumplirse los demás criterios, el artículo podrá ser aprobado para ser incluido en otro número.

6. se aceptarán principalmente artículos de divulgación. Los resultados de investigación como tales no serán aceptados, a menos que se dé un tratamiento orientado a cumplir con el punto 4 de estas pautas.

7. La extensión deberá ser de un mínimo de cuatro páginas tamaño carta y un máximo de diez (seis para las reseñas), escritas a doble espacio en 12 puntos. La fuente será tipo Times New Roman, en versión Word. Los márgenes serán de 2.5 cm en todos los lados.

8. se deberá adjuntar un resumen en español y uno en inglés de entre 120 y 160 palabras.

9. se sugiere señalar divisiones dentro del ar-tículo que favorezcan su claridad.

10. Los cuadros, gráficos e ilustraciones deberán presentarse numerados e incluirse en páginas separadas.

11. Las notas deberán ser breves y se utilizarán sólo cuando sean indispensables. Deberán aparecer al final del artículo y no serán de carácter bibliográfico, sino de comentario. Para las referencias bibliográficas deben se-guirse las pautas especificadas en los puntos 12 y 13 de este documento.

12. Después de una cita textual o de hacer refe-rencia a un autor o a una obra, se colocará un paréntesis donde se especifique el apellido del autor del documento, el año y la página. En el caso de citar más de una obra del mismo autor y del mismo año, se distinguirá cada una con un índice alfabético en minúsculas. Ejemplos:

Este argumento ha sido desarrollado ante-riormente (Domínguez, 2001: 128-146)

Domínguez ha desarrollado este argumento (2001: 128-146)

Este argumento ha sido explorado por va-rios autores (Domínguez, 2001: 128-146; Marsh, 1999: 41-77)

El planteamiento anterior no coincide con la tesis de Rueda y Díaz-Barriga (2002a: 87-112)

DidacPauta editorial para artículos

Didac 56-57 (2011) • 89

Diversos autores han hecho el mismo plan-teamiento (Delgado, 1999: 21-52; Rueda y Díaz Barriga, 2002b: 195-213)

“(...) estos elementos no podrían estar diso-ciados” (Morin, 2004: 84)

13. La bibliografía referida en el texto se deberá incluir al final del artículo, bajo el título de “Referencias”. No deberán incluirse obras que no hayan sido referidas en el texto. Deberán aparecer en orden alfabético, em-pleando sangría francesa, con mayúsculas y minúsculas, en el siguiente formato:

Libros:Autor. Título (itálicas). Número de la edición

(nunca si es la primera). Volumen. Nom-bre de la colección y número. Ciudad: Editorial, año.

Rogers, Carl. El proceso de convertirse enpersona.Mi técnica terapéutica. Buenos Aires: Paidós, 1966.

Hasta tres autores:sastre, Genoveva, Montserrat Moreno, y

Aurora Leal. (…)

Más de tres autores:Quirk, Randolph etal. (...) Autores corporativos y documentos oficiales:Fondo de las Naciones Unidas para la In-

fancia (UNICEF). 50años a favor de lainfancia. México: UNICEF, 1996.

Capítuloopartedelibro:Autor. “Título del capítulo” (entrecomilla-

do). Títulodellibro (itálicas). Autor del li-

bro (si es diferente al del capítulo o parte del libro). Número de la edición (nunca si es la primera). Volumen. Nombre de la colección y número. Ciudad: Editorial, año: páginas.

Bazdresch Parada, Juan E. “La integración afectiva”. Unidad,diversidadyconciencia:introducción al problema del hombre. Coords. Ignacio Hernández-Magro, y Patricia Villegas. México: Universidad Iberoamericana, 1996: 95-98.

Artículos:Autor. “Título del artículo” (entrecomi-

llado). Nombre de la revista (itálicas) volumen y/o número en arábigos (año): páginas.

Cantón, Manuel, y Pedro sánchez. “Desa-rrollo de un instrumento para la detec-ción del lector deficiente”. EducaciónyCiencia 4. 9 (2001): 78-84.

Páginaweb:Autor. “Título del artículo” (entrecomilla-

do). Nombredelsitio(itálicas). Fecha de publicación. ((fecha de) consulta (día de mes de año)) <URL completo>.

Burín, Mabel. “Género y psicoanálisis: subjetividades femeninas vulnerables”. Psico-Mundo. s/f. (consulta 6 de febrero de 2004) <http://www.psiconet.com/fo-ros/genero>.

Otrasfuentes: Consultar el MLAHandbookforWritersof

Research Papers, 6ª edición. Nueva York: Modern Language Association of America, 2003.

£ 17 Otoño ‘90 Medios didácticos

£ 19 Otoño ‘91 y Primavera ‘92 Comunidad de cuestionamiento

£ 21 Primavera ‘93 Reflexiones sobre la educación

£ 22 Otoño ‘94 Temas generales

£ 23 Primavera ‘94 Temas generales

£ 24 Otoño ‘94 Temas generales

£ 27 Primavera ‘96 Temas generales

£ 29 Primavera ‘97 Habilidades en la educación

£ 30 Otoño ‘97 Modelos pedagógicos y humanistas

£ 32 Otoño ‘98 El alumno hoy

£ 33 Primavera ‘99 ¿Para qué educamos?

£ 34 Otoño ‘99 Las nuevas tecnologías en la educación

£ 35 Primavera ‘00 La educación superior al principio del milenio

£ 36 Otoño ‘00 Las nuevas competencias en la educación

£ 37 Primavera ‘01 Las competencias en la educación

£ 38 Otoño ‘01 Evaluación educativa

£ 39 Primavera ‘02 Cómo aprenden hoy los alumnos

£ 40 Otoño ‘02 Educar en la incertidumbre

£ 41 Primavera ‘03 Comunicación educativa

£ 42 Otoño ‘03 Diseño curricular e innovaciones metodológicas

£ 43 Primavera ‘04 Formación Integral

£ 44 Otoño ‘04 Tecnología para el aprendizaje

£ 45 Primavera ‘05 Gestión de los sistemas educativos

£ 46 Otoño ‘05 Desafios para el profesorado del siglo XXI

£ 47 Primavera ‘06 Educar en la diversidad (1era. parte)

£ 48 Otoño ‘06 Educar en la diversidad (2da. parte)

£ 49 Primavera ‘07 Formación por competencias

£ 50 Otoño ‘07 Arte y educación

£ 51 Primavera ‘08 Educación para la paz y los derechos humanos

£ 52 Otoño ‘08 Ambientes de aprendizaje

£ 53 Primavera ‘09 Educación y salud

£ 54 Otoño ‘09 Educación tecnológica

£ 55 Primavera ‘10 Rol de la universidad en el siglo XXI

Documents

Didac 56-57