a90 Annulen der Physsik. 7. Folge. Band 12. 1963

Die Koharenz der induzierten Strahlung Von H a i r y P a d

Inhaltsii bcrsieht Da die Energie U und die elektrische Feldstarke Q eines (quantisierten)

elektromagnetischen Feldes nicht gleichzeitig scharf sein konnen, ist unter einem koharenten Zustand des Feldes ein solcher zu verstehen, bei dem sowohl U als auch B moglichst wenig streuen. Unter der Annahme, daB nur eine Eigen- schwingung des Feldes angeregt ist, werden die Unscharfen AU und a =

I/ - (B)? (der Querstrich hedeutet Mittelung uber die Zeit t ) vor und nach tier induzierten Emission eines Photons berechnet, und zwar fur den Fall eines kohiirenten und eines (vollstandig) inkohkenten induzierenden Feldes. In beiden Fallen vergr6Rert die induzierte Emission cr um den Betrag ?a = 012 N ( N mittlere 7ah1 der vorhandenen Photonen). ?a ist vie1 kleiner fiir ein koharentes als fur ein inkoharentes Feld, weil dasselbe fur 0 selbst gilt. I n diesem Sinn kann die induzierte Strahlung als koharent zur induzierenden (koharenten) Strahlung be- zei chnet werden.

, - - ~-

Einleitung Wahrend der Begriff der Koharenz eines Strahlungsfeldes bei klassischer

Hehandlung des elektromagnetischen Feldes klar ist -- das Feld ist dann kohh- rent, wenn ihm eine bestirnmte Phase zugeordnet werden kann -, stoRt seine Anwendung auf ein quantisiertes Strahlungsfeld dagegen auf eigentumliche Schwierigkeiten, die ihre Ursache in der bekannten l) Unscharfebeziehung 4 N ' da, 2 1 awischen der Anzahl N der Lichtquanten und der Phase y des den Lichtquanten zugeordneten elektromagnetischen Feldw haben. Einem Zustand scharfer Energie (i. e. genau definierter Anzahl von Lichtquanten), wie er ub- licherweise zur Berechnnng von Ubergangswahrscheiiilichkeiten benutzt wird, entspricht demnach eine vollig undefinierte Phase : hingegen w&re ein Zustand genau definierter Phase in seiner Energie vollig unbestimmt. Ein Zustand, bei dem sowohl Energie als auch Phase bestimmte Werte haben, ist nur approximativ realisierbar, namlich in der Weise, daR die Streuung von Energie und Phase moglichst klein ist. Diese Streuung fallt dann wenig ins Gewicht, wenn eine ge- niigend groBe Anzahl von Lichtquanten vorhanden ist, d. h. wen~i ein makro- skopisches Feld vorliegt. Das ist, gerade dcr Fall, der fur die induzierte Emission von Interesse ist.

I) W. Hei t l er , The Quantum Theory of Radiation. 3. ed.. Oxford 1954.

H . Paul: Die Koharenz der induzlertelz Strahlung 291

In ubereinstimmung mit Sen i t zky2) bezeichnen wir ein elektromagne- tisches Feld dann als kohiirent, wenn Energie und Phase mBglichst wenig streuen oder, da die Phase mit der (momentanen) elektrischen Feldstiirke (3 unmittelbar verknupft ist., wenn die Streuung sowohl der Energie U als auch der Feldstiirke E minimal ist.

Ausgehend von der letztgenannten Eigenschaft eines kohiirenten Feldes werden wir uns im folgenden zuniichst einen Uberbliek uber die mathematischen Eigeiischaften der Wellenfunktion eines solchen Feldes verschaffen und dann die mittlere Unscharfe CT = v@q. -->f (der Querstrich bedeutet Mittelung iiber die Zeit t ) der elektrischen Feldstarke (an einem festen Ort) mit einer Ge- nauigkeit bis auf Glieder der Ordnung N-l ( N mittlere Zahl der vorhandenen Photonen) berechnen. Dabei wird vorausgesetzt, daB niir eine ganz bestimmte Eigenschwingung des Feldes angeregt ist, d. h. daB nur Photonen einer ganz hestimmten Sorte (allerdings sehr viele) vorhanden sind. Zum SchluB werden wir xeigen, daB die (mittlere) Unschiirfe u der elektrischen Feldstiirke 6 - sowohl fiir ein kohiirentes als auch ein fvollig) inkohiirentes ade res Feld - durch Eniis- sion eines Photons der bereit,s vorhandenen Sorte um den Wert Bu = a/2N zu- nimmt. (Die Unschiirfe der Energie bleibt dabei unveriindert.) Da u im Fall der Kohiirenz des Feldes wesentlich kleiner ist als im Fall der Inkohiirenz, gilt das- selbe also auch fur die Zunahme von u, m. a. W. durch induzicrte Emission in einem kohiirenten Feld wird die Unschkfe der elektrischen Feldstiirke am wenig- sten vergroRert. Das ist die quantenmechanisch priizisierte Formulierung des- sen, was man als Kohiirenz der induzierten Emission - im Gegensatz zur In- kohiirenx der spontanen Emission - bezeichnet.

Die Zustandsfunktion eines kohiirenten Strahlungsfeldes Wir nehmen im folgenden stets an, daB nur e i n e Eigenschwingung des

Strahlungsfeldes angeregt sei, d. h. daD wir es nur mit Photonen einer ganz bestimniten Sorte zu tun haben. Bekanntlichl) lautet dann der Operator der elektrischen Feldstiirke

@ = F(q%-q+%*). (1)

Hier bezeichnet 012 x die Frequenz der Strahlung, q+ den Erzeugungs- und q den Vernichtungsoperator fiir ein Lichtquant, und % (t) e-id ist das (n0rmiert.e) ldassische Vektorpotential der betreffenden Eigenschwingung.

Eine beliebige Zustandsfunktion @ des betrachteten Strahlungsfeldes ist darstellbar als eine Uberlagerung von Zustiinden I n, 0 . . . 0), bei denen genau n Photonen der iins interessierenden Sorte (und keine Photonen einer anderen Sorte) vorhanden sind,

@ ( t ) = s c , ( t ) In, 0.. . 0) . (2) n

Wir setxen Ir, als noriniert voraus, d. h. es sol1 2 I c, l a gleich Eins sein. n

?) I. R. Senitzky, Physic. Rev. 96, 904 (1954); s. auch Physic. Rev. 111, 3 (1958); 115, 327 (1959); 119. 1807 (1960); 123, 1525 (1961); 137, 1638 (1963). w*

292 Alvnalen der Phy8ik. 7. Folge. Band 12.1963

Fur den Fall eines isolierten Feldes lautet die Zeitabhiingigkeit der Koeffi- zienten c,(t) einfach

c,( t ) = c, ecinmt. (3)

Wir stellen zuniichst die Forderung, daI3 die Energie des Zustandes (2) an- nahernd scharf sein soll. Da I c, l 2 die Wahrscheinlichkeit angibt, n Lichtquan- ten, also die Energie n R w vorzufinden, darf c, als Funktion von n nur in einem kleinen Bereich merklich von Null verschieden sein. Wir haben so die erste Eigen- schaft der Wellenfunktion eines kohiirenten Strahlungsfeldes

C , M O f i i i I n - - N I > d N mit A N e N , (4a)

wobei N als geniigsnd groS vorausgesetzt w i d . Es erscheint weiterhin (scbon auf Grund dcr physilralischen Bedeutung von I c, 1 2 ) verniinftig anzunehmen, daS sich c, beim Obergang von n zu n + 1 betragsmiiBig nur schwach iindert:

I C n + l ( IC , I . (4b)

Die Forderung, daI3 die (momentane) elektrische Feldstiirke @ (an einem festen Ort betrachtet) ebenfalls einen anniihernd scharfen Wert besitzen SOU, liiuft bekenntlich auf die Erfiillung der Beziehung

hinaus (( ) bedeutet Bildung des quantenmechanischen Erwartungswertes). Wir bestimmen zu diesemzweck zuniichst und (E2),. Aus Gl. (1) ergibt sich

(@) t = 2 {% e-imt+ c* c n + l < n l p l n + 1 ) - Y 1 * e i m 6 z c n c Z + i ( n l p l n + I ) ] ,

woraus sofort folgt: ( 6)

Andererseits berechnet sich der Erwartungswert von Ci? zu

Entsprechend der Forderung (5) sollen die letzten beiden Ausdriicke anniihernd iibereinstimmen, im besonderen mussen also die zeitunabhiingigen Glieder (geniihert) gleich sein; das bedeutet, es mu13 die Beziehung beetehen:

I < CfiCn+l l w $ [Cnl a= 1- Schreiben wir

und beachten die Voraussetzung (4b), so soll also c, = [en/ e-i'*

IW cnl 2 ,+(%+ran) I m 1 (12) sein.

Differeni 3~ a+l -a, (geniihert) nicht von n abhiingt, m. a. W. wenn Diese Beziehung ist offenbar nur dann zusammen mit (10) erfiillt, wenn die

01, m n 01 (LY unabhiingig von n). (40) Man uberzeugt sich leicht, da13 mit (4b) und (4c) auch die zeitabhiingigen Terme von (7') und (8') anniihernd iibereinstimmen. Die Wellenfunktion eines kohiirenten Feldes ist somit durch die Eigenschaften (4a, by c) zu charakteri- sieren3). Aus G1. (6) ist iibrigens unmittelbar ersichtlich, daB a die Bedeutung der (klassischen) Phase des elektromagnetischen Feldes hat.

Nach diesen orientierenden Uberlegungen soll nun die Streuung der elek- trischen Feldstiirke fiir ein kohiirentes Feld explizit berechnet, werden.

Dio Streuung dcr elektrischen Feldstarke Die Streuung cr? der elektrischen Feldstiirke (3 (am Ort r und zur Zeit t ) ist

bekanntlich durch die Gleichung -- Erwartungswert ((3 - (@>,)* = (@) t - ((3): (13)

a) Von Senitzkyz) wurde die optimale Wellenfunktion angegeben, die mit den Be- dingungen (4) vertriiglich ist.

294 Annalen der Php ik . 7. E'olge. Band 13. 1963

definiert. Da of als Erwartungswert des Quadrates eines Hermiteschen Ope- rators stets positiv (oder hochstens gleich Null) ist, geniigt ea, den zeitlichen Mit- telwert uz der Streuung - -~ _-

0 2 = at2 = (en?, - (@)f (14)

zu betrachten und die dsraus folgende Unschiirfe n als ein MaR fur die Koharenz des Strahlungsfeldes ~u benutBen.

Ails den Gln. (7) und (8) folgt sofort

und

auch

0 2 = ti w y {Z 1 c, 12 ( I * + a) - I 2 c: C,+l y;T< i") (15') 1 n

geschrieben werden ksnn. Dieser Ausdruck soll fur ein koharentes Feld weiter ausgerechnet werden,

d. h. unter den Voraussetzungen (4) uber die Koeffizienten c,. Zu diesem Zweck entwickeln wir oz nach Potenzen von N-1 und beschranken uns bei der Berech- nung auf die ersten beiden Terme (also die Ordnungen N1 und No) .

Zuvor formulieren wir die Eigenschaft (4 c) mathematisch genauer, indem wir voraussetzen, daB die Abmeichung der Phasendifferenz an+l -a, von einem n-unabhtingigen Wert OL nur von der GroRenordnung N-l ist,

a n + 1 - a,a = a + 0 (N- l ) . (4c')

AuSerdem nehmen wir, schon um einfacher rechnen zu konnen, an, daD lcnl beziiglich N geniihert:') symmetrisch ist :

ICN-41 = !CN+kI (1 + 0 ( N - l ) ) (k = 0, &I, r t 2 , * .). (4d)

Aus G1. (4a) folgt zuniichst, dal3 die Energieunscharfe von der GroSenordnung ti w AN ist.

Wir berechnen nun den ersten Term der geschweiften Klammer in G1. (15'). Unter Beachtung der Symmetriebeziehung (4d) und der Normierungsbedingung fiir die c, ergibt sich

4) Wir setzen hauptsachlich deswegen keine exakte Symmetrie voraus, weil (wie spater deutlich werden wird) die Symmetrie nur bis auf eine Abweichimg der Ordnung N-l erhalten bleibt, wenn sich das Strahlungsfeld durch induzierte Emission andert. Mit (4d) sind wir daher in der Lage, unsere Pormeln auch ohne weiteres auf das durch induzierte Emission verstarkte Feld anzuwenden.

H . Paul: Die hbharenz der induzierten Strahlung 296

Die zweite Summe der geschweiften Klammer in Gl. (15') wird, wenn wir 1/.+ -1 = 1/N + k + 1 riach Potenzen von (k f 3)/N entwickeln,

y c n c n + i I / n + v * ~ = g e n i + k c N + n . + i ~ * ( l + r * k S - 1 ijx + o ( N - ~ ) ) . (17)

Nun folgt &us den Gln. (4c') und (4d) die Beziehung

c%-k-1 CN-k z' C%+kcN+k+l (1 $- ()(N-')) , (18)

(l!))

woraus sich wiederuni leicht die Relation

+ C%+k CX+k+l (k + +) = 0 P - l )

2 c*, cn+11/;+1 = l/h' (1 + 4N) 1 2 c: c,+1+ O(N-39,

1 v * c, cn+l v n + = ( N -/- +) I

herleiten 1iiBt. Damit ergibt sich aus (21. (17)

(IT')

(20)

also

c z c,% + 1 12 + o ( N - ~ ) .

Wir erhalten so fur o2 gemiiB G1. (15')

oder - auf Grund der physikalischen Summanden in Gl. (15') -

- I + c,* C % + l 12) + OW1) (21)

Bedeutung (gemiiB G1. (14)) der beiden

-~

0' = (@'), (1 - i+c.*c,+i ,2) + O(N-'). (21')

Wegen des Bestehens der Schwarzschen Ungleichung

I?aU:b,l2 I ~ I c c , ~ ~ . ~ / b , i 2 { 2 2 ) 1

ist o2 nichtnegativ (wie es sein muS); iiberdics kann man aus Gl. (22) sofort schlieBen, daS o2 von Null verschieden ist, denn das Gleichheitszeichen in (32) ist nur dann richtig, wenn b, = e a, gilt, was in unserem Fall c,+l = e c, (mit I e I = 1) bedeuten wiirde und mit den Voraussetzungen (4) unvertriiglich ist.

Zum SchluS dieses Abschnitts wollen wir noch eine quantitative Abschiitzung von 9 durchfiihren. Zu diesem Zweck nehmen wir eine GauB-Verteilung fiir die Koeffizienten c, an :

ka (23) c, z- I c I e-ina (a unabhiingig von n)

- Ic,I= I C N + k I = f? ( A N ) ' .

(t ist durch die Normierungsbedingung eindeutig festgelegt. )

nach Potenzen von (AN)-l) f i i r die Energieunschiirfe Mit leichter Miihe findet man niiiherungsweise (im Sinne einer Entwicltlung

(21) An: A U m t i o - 2

296 Annalen der l'hyeik. 7. Folge. Band 12. 196.3

und fur die Unschiirfe a der elelrtrischen Feldstlrke (nach G1. (21'))

Damit wird

Hieraus erkennt man noch einmal deutlich den komplementaren Charakter der beiden GroBen U und Q ; die Schiirfe der einen muB mit der Unschiirfe der ande- ren erkauft werden. Weiterhin lehrt G1. (26), daB fiir makroskopische Zustiinde (d. h. im Limes sehr groBer Photonenzahl N ) die r e l a t ive Unschiirfe von Ener- gie und elektrischer Feldstiirke beliebig klein gemacht werden kann. In diesem Sinne gibt es niakroskopische Zustiinde, denen ,,makroskopisch exakte" Werte von Energie und Phase ziigeordnet werden konnen.

Wir zeigen noch, daB wir uns mit einer Unscharfe von Energie und elektri- scher Feldstiirke, die G1. (26) befriedigt, tatsiichlich an der Grenze des quanten- mechanisch iiberhaupt Moglichen befinden. Zu diesem Zweck fiihren wir einen von Hei t l e r 6, angedeuteten Gedankengang konsequent durch, der dieHerleitung einer Unschiirfebeziehung zwischen der Zahl N der Lichtquanten und der elek- trischen Feldstiirke Q aus der Vertauschungsrelation fur die zugehorigen Ope- ratoren zum Ziele hat.

Das iibliche Verfahren zur Gewinnung von Unschiirfebeziehungen geht aus von der fur zwei beliebige Hermitesche Operatoren A und B gultigen Un- gleichung

(Y 14 Y> (Y I B21 w> 2 ; I (Y IAB - BA I Y>12, (27)

die sich unter Beachtung der Schwarzschen Ungleichung und der Tatsache, daB der Imaginiirteil einer komplexen Zahl betragsmiil3ig nicht groBer sein kann ala die Zahl selbst, leicht beweisen laBt ( s . z. B. Ludwigs)).

Wir identifizieren A und B mit den Abweichungen von N uncl 6 vom je- weiligen Mittelwert, y mit der Wellenfunktion @ ( t ) des Strahlungsfeldes und er- halten so aus GI. (27 )

0% = ( @ ( t ) I ( N - (Ar))z I W ) ) (W) I (@ - (Q>t )2 I W)> (28)

(wobei beachtet wurde, daB der Kommutator [ N - (N), Q - (@)I gleich [N, @] ist). In der N-Darst)ellung - die wegen U = ti o N niit der Energie- Darstellung identisch ist - lautet der Kommutator [AT, c2]

1 2 I (W) I @ - c2 N I@ ( t ) ) l2

(N Q - Q N)nn, = (n - m ' ) Qnnt, (29) und da nur die Matrixelemente Qnn,n+l und Qna,n-l einen von Null verschiedenen Wert besitzen (8. Gl. (l)), sind die nichtverschwindenden Mat,rixelemente des Kommutators durch

gegeben. ( N Q - Q N)n,n*l = T Qn,n&i ( 2 9 7

6, W. Heitler, The Quantum Theory of Radiation, 2. ed., Oxford 1950, p. G G f . 6) G. Ludwig, Die Grundlagen der Quantenmechanik, Springer 1954, S. 95f.

H . Paul: Die Kohiirenz der induzierten Strahlung 297

Setzen wir dies in G1. (28) ein, so bekommen wir unter Verwendung der Gln. (2)

(AN)2 uf 2 ~ / e - i a r t r c ~ c n + l ~ R , n + l - e i ~ t ~ c,c,*+&,n+l12. (30 )

Das Zeitmittel iiber die rechte Seite dieser Gleichung ist eine einfache physika- lische GriiBe, nfmlichx (@),2. Aus der Ungleichung (30) folgt somit (unt.er Be- riicksichtigung der Zeitunabhiingigkeit von AN)

und (3) 1

1-

- - Da fur ein kohiirentes Feld (@2)t niiherungsweise durch (&)f ersetzt werden kann, entspricht die Beziehung (26) tatsfchlich dem Gleichheitszeichen der (streng giiltigen) Unschfrfebeziehung (31) .

Die hderung der Streuung der olektrischen Feldstiirke durch induzierte Emission Die Schr iidinger -Gleichung des Strahlungsproblems lautet fiir den Fall,

dsB nur Lichtquanten einer ganz bestimmten Sorte 4 eingestrahlt werden und nur e in Atom vorhanden ist, in der Ho-Darstellung (Ho ungestiirter Hami l ton - Operator des Gesamtsystem Atom + Strahlungsfeld), wenn wir dem Energie- satz widersprechende Terme von vornherein weglassen,

i f i & = h ( O a + n m ) a , + ( a , n [ H w ~ b , ~ + l ) P n + i

+a&<% nlHWI b9 n, 1(4) Ya (32)

~ ~ B , = ~ ( c o I , + A w ) P , + ( b , n l H w \ a , n - l ) ~ n - ~ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (Die nichtangeschriebenen Gleichungen beschreiben die zeitliche h d e r u n g von Zustiinden, bei denen auBer Quanten der Sorte 4 noch ein oder mehrere (spon- tan emittierte) andere Quanten A, %', . . . vorliegen.)

Hier sind a,, fin und ya die Koeffizienten der Entwicklung der (Gesamt-) Wellenfunktion nach den Eigenfunktionen von H,, :

y ( t ) = $ a,(t) I a, n> f 5 P,(t) I b, n ) + &ya(t ) ! 6, a, l (a ) ) + . - (33)

( I a ) Wellenfunktion des Ausgangs-, 16) des Endzustandes des Atoms ; In> Zu- stand des Strahlungsfeldes mit n Photonen der Sorte 4, ( l (a ) ) Zustand mit einem Photon der Sorte I. Die Punkte sollen weitere Zustiinde andeuten, bei denen neben Lichtquanten der urspriinglichen Sorte noch (ein oder mehrere) andere Quanten vorhanden sind.) tiwa, l imb, hco, tioa bezeichnen in dieser Reihenfolge die Energie der ZustZinde la>, I b), eines Photons der Sorte A, und eines Photons der Sorte A. H w ist der Operator der Wechselwirkung zwischen Atom und Rtrahlungsfeld. Falls nur ein Elektron an der Ausstrahlung (bzw. Absorption) beteiligt ist, lautet I P (in nichtrelativistischer Niiherung) bekannt- lich')

H"= -A@. $.i (r) I- -&P. q (!!A + !lyq} (34)

(e Ladnng, m Masse, @ Impulsoperator des Elektrons, %(r) Operator des Vektor- potentials des Strahlungsfeldes).

298 Annalsn der Physik. 7. Folge. Band 12. 1963

Wir behandeln den ProzeB dcr induzierten Emission zuniichst in der ersten Ordnung der Storungstheorie. Zur Zeit t = 0 befinde sich das Atom im Zustand I a j und das Strahlungsfeld im Zustand @ = Z c : In). Der Anteil der Losung von G1. (32), der einer induxiertcn Emission im Zeitraum 0 . . . t entspricht, ist durch 2 P n ( t ) I b, n j gegehen, und die Storungstheorie liefert fiirp, ( t ) den folgen- den Ausdrurlt (s. z. B. Ref.'))

11

11

mit dm = OJ - (w,' - w,) .

Nach G1. (34) liiDt sich die n-Abhangigkeit des Matrixelementes abspalten, d. h. ( b , n I EIVI a. n - I ) als Faktor ( n n - 1) = 1/R/2w .

wir kiiiinen schreiben

mi t8 ( b , n iHml a , 11.- 1 ) = k M , vk

(57)

(!Pa,!P, Elektronenwellenfunktion des Ausgangs- bzw. Endzustandes).

kann) so gewiihlt, daB M,, reell wird.

(Al) vorliegende Zustand des Strahlungsfeldes ist nach dem Obigen durch

Wir denken uns die Phasen von !Po undY, (iiber die ja frei verfugt w-erden

Der nach Emission eines Lichtquants der urspriinglich vorhandenen Sorte

ZII beschreiben, wobei der Faktor fur die richtige Normierung (Norm @' = 1) zu sorgen hat. Auf Grund der Normierungsforderung fur @' sind wunabhangige Faktoren von ( t ) hedeutungslos, d. h. wir ltonnen - entsprechend den Gln. (35) und (3G) - die Beziehung (38) ersetzen durch

QY G 2 n &(t) In> q' n e--inml 1 /; co n-lln). (38')

eine andere Losungsmethode fur das Glei- chungssystem (32) vorgeschlagen, die fur den Fall eines starken iiuDeren Feldes anwendbar ist. Die Wahrscheinlichkeit einer spontanen Emission (also eines Lichtquants il + A,) ist dann vernachlassigbar, d. h. alle Terme in (32), bei denen ein Photon der Sorte A + Al vorkommt, konnen gestrichen werden. Nach Ref.s) ergibt sich so

Vom Verfasser wurde kiirzlich

7) L. I. Schi f f , Quantum Mechanic@, Rew York l!J%. 8) H. Paul, Ann. Physik 11, 411 (1963).

H . Puul: Die Koharenz der induzierten Stralilung 299

Wir setzen nun voraus, dafi das urspriinglich (also zur Zeit t = 0) vorliegende Strahlungsfeld kohiirent ist, i . e. da13 die Koeffizienten c: die Eigerischaften (4) besitzen. Man kann dann in (38') und (39) die Terme I/; und

nach Potenzen von A7-l entwickeln und erhiilt so fur die Losung (38') wie auch fur die Losung (39) eine Darstellung der Gestalt

C b + l + k ( t ) = e- - i (N+l+k)mtc C f l k k (1 +& b + O(N-')). (40)

Der genaue Wert des von k unabhiingigen reellen Entwicklungskoeffizienten E

(der natiirlich in beiden Fiillen verschieden ist - fur die Losung (39) hiingte, und damit auch 5, uberdies [schwach] von der Zeit t ab) kann ohne goBe Muhe angegeben werden. Fur die folgende Diskussion geniigt aber vollig die Kenntnis, daB E von der Ordnung N-l ist, wie man leicht narhpriift. (Im Fall der Losung (39) hat man dabei zu beachten, daB wegen der Periodizitiit der Sinusfunktion

die Zeit t durch die Bedingung f(q)* + M%,n t < 2 n eingeschriinkt werden kann.)

Wir hestimmen nun zuniichst den Wert der Normierungskonstante i in G1. (40)) den wir als positiv voraussetzen konnen, da ein allen Koeffizienten ck gemein- samer Phasenfalrtor keine physikalische Bedeutung hat. Offenbar mu13 sein

Auf Grund der Eigenschaft (4d) der Koeffizienten c t ist,

d. h. wir haberi (da E von der Ordnung N-l ist)

t = 1 + O(N--2)

C h + l + k ( t ) = e--i(N+l+k)mt & + k ( l + Eb f o(N-')).

( 42)

und konnen damit Gl. (40) vereinfachen zii

( 40')

Bus dieser Gleiehung ist unmittelbar ersicht,lich, daB sich die Eigenschaften (4) von den Koeffizienten c t auf die Koeffizienten ck ubertragen ; der Unterschied besteht nur darin, dalj die Koeffizienten ck bezuglich N + 1 (statt N ) ihrem Betrage nach (geniihert) symmetrisch sind, und daB die relative Phase ak+l- ol; zwischcn zwei henachbarten Koeffizienten um den Wert w t zuge- nommen hat, d. h. daB sich die (klassische) Phase des elektromagnetischen Feldes um wt vergro13ert hat, wie nicht anders zii erwarten war.

Die im vorhergehenden Abschnitt hergeleitete Formel fur die Streuung u2 der elektrischen Feldstiirke ist somit ohne weiteres auf dasjeriige Feld anwend- bar, das nach einer induzierten Emission (in einem IrohLrenten Feld) vorhanden ist.

300 Annalen der Phyrrik. 7'. Folge. Band 12. 1963

Da genau ein Photon emittiert wurde, ist klar, daO die Energieunschiirfe durch die Emission nicht veriindert wurde. Die Streuung da nach der Emission hat (entsprechend Gl. (21)) den Wert

U ' P = f i w y ( N + ; ) ( l-~+*c:+l IB) $- O(N-1). (43) ,4us G1. (40') folgt

2 cL*cA+l= c%*+~ ~ ' & + k + ~ (1 + (2k + 1.) E + 0 (N-a)}

oder, unter Beachtung der Beziehung (19),

2 n c;* = e--i.mt p v + k c % + k + l { l + O(N-9).

Damit kann statt (43) geschrieben werden

(43')

und wir bekommen fur den Zuwachs der UnschLrfe u infolge induzierter Emis- sion (genau) eines Quants den Wert

(44) U da = 2N(1 + O(N-1)).

Genau die gleiche Formel gilt auch dann, wenn die induzierende Strahlung (viillig) inkohtent ist. In diesem Fall ist die Streuung der elektrischen Peld- stiirke maximal, was genau dann eintritt, wenn die Zahl der Photonen scharf ist, d. h. wenn nur der Koeffizient c~ von Null verschieden (auf Grund der Nor- mierungsbedingung also betragsmiifiig gleich Eins) ist. Entsprechend G1. (15') haben wir fur die Streuung der elektrischen Feldstiirke eines inkohkenten elektrischen Feldes

die Zunahme der Unschiirfe 0, die ihre Ursache in der induderten Emission eines Lichtquants hat, ist somit gleich

Sowohl im Fall eines kohkirenten als auch eines (vollig) inkohkenten 5uBeren Feldes ist der Zuwachs der Unschiirfe von '3 proportional (mit dem gleichen Proportionalitiitsfaktor !) der vor der Emission bereits vorhandenen Unschiirfe, wlihrend die Unschiirfe der Energie unveriindart bleiht. Nun ist f i i r nicht zu kleine Werte von AN, d. h. der Unschiirfe der Zahl der Photonen, u selbst wesentlich kleiner als 5 - der Vergleich der Gln. (21) und (45) liefert ja

(nach G1. (25)) - , (47)

daher ist die Zunahme der Unschiirfe der elektrischen Feldstiirlre infolge indu- zierter Emission im Pall der Kohiirenz der einfallenden Strahlung wesentlich geringer als im Fall der Inkohiirenx. (Anschaulich gesprochen, wenn die an- kommenden Lichtquanten bereits in einem stark geordneten (eben kohlenten)

I€. Paul: Die Koharenz der induziertelt StraMung 301

Zustand sind, fugt sich dw hinzukommende Lichtquant in die bereits vorhandene Ordnung ein.) In diesem Sinne kann man die induzierte Strahlung als kohiirent zur einfallenden (bereits kohlrenten) Strahlung bezeichnen.

Herrn Prof. Dr. G. R ich te r miichte ich fur die Anregung zu dieaer Arbeit und, ebenso wie Herrn Dr. W. Brunner , fur viele interessante Diskussionen herzlich danken.

Ber l in -Adlershof, Deutsche Akademie der Wissenschaften zii Berlin, Institut fur spezielle Probleme der theoretischen Physik.

Bei der Redaktion eingegangen am 21. Marz 1963..