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Die T e m p e r a t u r a b h ~ n g i g k e i t d e s E m i s s i o n s v e r m b g e n s fiir die S trah lung e ines s c h w a r z e n Kbrpers .

Von A. Press in New York.

Mi~ 3 Abbildungen. (Eingegangen am 25. Juli.1930.)

Das gewShnliche S t e f a n - B o l t z m a n n s c h e Stralllungsgesetz hat die Form:

u == o't 4, (1)

we u die Dichte der Strahlungsenergie, wie sie yon einem Bolometer oder einem derartigen Instrument ~ufgefangen wird, und t die Temperatur der Strahlungsquelle bedeuten. In der Pyrometric is t jedoeh bekannt, daS man ein so einfaehes Gesetz, wie (1) es darstellt, nieht genau erh/~lt. Der

Exponent yon t liegt in vielen FMlen zwischen E~.. E 4 6, und auBerdem wird die Giiltigkeit des Ausdrueks durch die ,,0ffnung" oder Kriimmung der strahlenden Oberfl/~ehe wesent]ich beeinfluBt.

E ~ E Um zu einer zutreffenderen Formel zu gelangen, betraehten wir ein Oberfl~chenelement dS, wie

II Fig. 1 es andeutet. Pro Sekunde wird W~rme- , energie im Betrage von

EdS (2) E d3fu~ c d~ dareh Strahlung der Umhiillung mitgeteilt werden,

Fig. I, fiir die im Gteichgewieht eine gleieh grebe

Strahlungsmenge dureh ein Element veto Querschnitt ds des daraufhin die Umhiillung verlassenden Strahlungsstromes hindurehgehen mu$.

Innerhalb tier Umhiillung wird das Medium (Dampf), das dem Ober- fl/~chenelement dS benaehbart ist, eine Fortpflanzungsgeschwindigkeit c 1 fiir strahlende Energie beibehalten. Es wird daher angenommen, daS am Ausgang, we der entspreehende Querschnitt ds ist, dieselbe FlieSgesehwin- digkeit fiir die Energie vorhanden ist. Daher wird die L~nge des Energie- stroms in der Sekunde c 1 sein und wit kbnnen ein u clds zeiehnen, dessen Energieinhalt gleich dem Beitrag E d S sein muS. Ist dann die Energiediehte des auftretenden Energiestromes u 1, so heist das in der Tat, dab man bereehtigt ist, zu schreiben:

B . d S = e l . d s .~h , I

i ds I (8)

A. Press, Die Temperaturabh~ngigkeit des Emissionsverm6gens usw. 735

Diese Gleichung (3) mul3 mit den Forderungen der S t e f a n - B o l t z m a n n - sehen Gleiehung (1) in Zusammenhang gebraeht werden.

IVlan kann Gleichung (8) dadurch eine reeht bedeutsame Form geben, dal~ man in sie den Begriff des Brechungsindex n einftihrt. Beaehten wit, da~ definitionsgemal~ fiir die Fortpflanztmgsgeschwindigkeiten gilt:

C0, n = - - , (4) C1

hier ist % die Fortpfianztmgsgeschwindigkeit in einem benaehbaxten, mit dem ersten in Beriihmng stehenden Medium. Dttrch Substitution wird aus tmserer Formel:

n d S ~1 . . . . . E . (5)

c o . d s

Man kann den Brechungsindex oder besser die Gesehwindigkeit o 1 als Funktion der Temperatur t u n d des Dampfdrucks des Mediums a u f f a s s e n ,

das mit der strahlenden Oberflache S in Bertihrung steht. Es folg~ daher:

n : / (e, t), (6)

we ~ die Dampfdichte bedeutet. Gleichung (5) geht daher in die folgendetiber:

/(e, 0 aS % . . . . E . (7)

c o d s

Man sieht, dal~ die spezifisehen Eigensehaften des die strahlende Wand bildenden KSrpers nicht in Erseheinung treten, aulller wenn man annlmmt, dal3 ein Dampfmedium den Hohlraum erftillt. Ware c I die Geschwindigkeit im freien J(ther, so wtirde c 1 in Formel (8) der Lichtgeschwindigkeit ent- spreehen. Es kann jedoeh wie in Fig. 2 vorkommen, dal~ die strahlende Energie vom ursprtinglichen Medium in ein darauffolgendes zweites Medium iibergeht, wobei immer noeh das geometrische Obeffl~ehenverhi~l~nis d S / d s

funktionell erhalten bleibt. Dann worde aus (8) fOr die betreffenden Energiedichten pro Volumeneinheit folgen mtissen, dal~

1 d S 1 d 8 u o - - E , u 1 = - - - E , (8)

c o d s c 1 d s

- - , q~o = - - ~1" (9) ~ I 60 CO

Abgesehen yon dem EiufluB des Dampfdrueks auf die Wande eines Bartol l ischen Zylinders (vgt. Fig. 8), kann man einen solchen Zylinder als in ein Gebiet getaucht denken, in dem die Dichte der strahlenden Energie u 1 ist. Man nimmt so an, dab alle Seiten bis anf eine fiir die

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736 A. Press,

strahlende Energie undurchl~l~lich sin& Die elektromagnetischen Wellen werden bei ihrer induktiven ~eflexion yon Wand zu Wand einen Strahlungs- druck Pl erzeugen, wobei aber jeder Strahl zu ein und derselben Zeit nut in einer einzigen Richtung wirk~am sein kann. Da aber drei voneinander anabhiingige Richtungen vorhanden sind, kann man sagen, dag die Komponente in Richtung der Normalen auf die Stempelwand das durch

die Beziehung dp 1 - - ( 1 0 )

du 1 8

gegebene Gesetz befolgt. D.h. dal~ der Zuwachs dp des Druckes auf den Stempel proportional nur eiaem Drittel des Zuwachses du I der Strahlungs-

d3

Fig. 2.

dichte pro Volumeneinheit wird.

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F i g . 3 .

I)urch J_ngegration yon (10) ergibg sich daher:

19 = I ul" (11)

Da innerhalb des Zylindervolumens v eben~alls die Energiedichte u 1 herrscht, iolgt nur, dab der gesamte Energieinhalt

E = u lv (12)

wird. Wenden wit nun thermodynamisch das Prinzip yon der Erhal~lmg der Energie an, so haben wir:

dQ = dE -~- ~)g~v = d (q./1 v) -~- pdv. (18)

Diese letztere Gleichung besagt nicht nur enl~sprechend den Gleichungen (10) und (11), dab der Druck p eine Funktion yon u 1 ist, sondern dab augerdem die Energiedichte u 1 selbst eine Funktlon der Temperatur t des DampIes ist, der den Bartol l ischen Zylinder umgibt und efffillt. Ant diese Weise wird es mSglich, die Annahme einer zugeordneten Temperatur t fiir die Energiedichte u des _~thers zu vermeiden.

Angesichts der Gleichungen (12) und (10) lgl~t sich Gleichung (13) nun folgendermal~en schreiben:

dQ = vdu 1 + ~u 1. dv. (14)

Die Temperaturabh~ingigkeit des EmissionsvermSgens fiir die Strahlung usw. 737

Wiihlen wir die Temperatur t als klassischen integrierenden Faktor, so folgt ftir ein vollst~indiges Differential [wenn ~ (14) auf beiden SeRen

mit 1/t multiplizieren]:

Jedoeh wird in dem hier untersuehten Falle die Energiedichte u 1 vermittels des vorgesehenen Fensters immer aufrechterhalten bleiben, wenn aueh tier Stempel sieh infolge des Strahlungsdruekes p bewegt und so eine Ver- grSBerung des Volumens v veranlaBt. Dies bedeu~et, dab u 1 nicht als Volumenfunktion snzusehen ist. Aus (15) s 4ann:

1 411 u l ( O t , ,

Oul -- 4 0 t '~1 t '

u 1 = (~t 4. (16)

Diese letztere Gleiehung ist die S t e f a n - B o l t z m a n n s e h e Beziehung. Beobachtungen sind allerdings in einer Umgebung, deren Energiedichte u 1 und deren Temperatur t ist, nieht gemaeht. Der Beobaehter und sein Instrument befinden sieh fiir gewShnlieh in einem Medium, in dem die Energiediehte u o betri~gt und die Temperatur yon t versehieden ist. Kom- binieren wir daher angesichts der Fig. 2 die beiden Bedingungsgleiehungen (9) und (16), so finde~ sich:

% = ~ a ~'. (17) C o

So finder sich nun, da der Brechungsindex n dureh (4) definiert wird, dutch Einftihren dieser Gleiehung in (17):

Uo = o" t'. (lS) I t

Da wir nun wissen, dab der Breehungsindex n fiir D~mpfe bei hohen Temperaturen, bezogen entweder auf den freien _~ther oder auf den luft- erfiillten Raum eines Beobaehters, als Funktion der Temperatur (ebenso- gut wie des Dampfdrucks) dargestellt werden kann, wird sofort klar, warum der Exponent yon t in Gleiehung (18) in der Praxis verandert erscheint. Man daft nieht vergessen, dab die funktionelle Konstanz yon dS/ds aueh in der obigen Deutung und Anwendung noeh gepriift werden muB. Die angen~herte allgemeine Formel fiir u o ist:

u o = - �9 (19) c -dT o

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738 A. Press, Die Temperaturabh~ingigkeit des EmissionsvermSgens usw.

Fiir den allgemeinen Fall folg~ daher:

a o t4. (20) ~ 0 ~ - - ' - - "

27.1 (dS) auf den Were, In den beiden letzten Ausdrticken bezieht sich ~--~

den man praktisch bis z~u der Stelle erh~lt, an der ein Wechsel des Mediums

dS) dem Verh~tl~nis der Oberfl~chen, eintritt. Andererseits entspricht ~ss o

die den Trennungspunkt der Medien und den schliel~lichen Beobaehtungs- punkt kennzeiehnen.