Die VorlesungStatistische Methoden II

findet am 18.5.2007 (nächste Woche)nichtnicht statt.

Diese Vorlesung wird zu einem späteren Termin,der noch bekannt gegeben wird, nachgeholt.

TESTS

TESTS

TESTS

TESTS

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TESTSTESTS

Worum es gehtMan möchte „testen“, ob eine bestimmte Annahme (Hypothese) über Parameter der Realität entspricht oder nicht.

Beobachtung (Stichprobe)

EntscheidungEntscheidungVorgabe:

„Irrtumswahrscheinlichkeit“

Formulierung einerHypothese

NullhypotheseNullhypotheseIn der Statistik kann man nie ganz sicher sein. Die „Irrtumswahrscheinlichkeit“sollte wenigstens klein sein.

Mathematischer Rahmen ITESTS

Statistische Struktur

Testproblem(Hypothese)

NullhypotheseNullhypothese

Gegeben sind:

Stetiger Fall Diskreter Fall

Niveau

Mathematischer Rahmen IITESTS

TestTest gegeben durch:

Ablehnungsbereich

Teilmenge der Grundgesamtheit :

Menge aller Beobachtungen ,die zur Ablehnung der Hypothese führen

Mathematischer Rahmen IIITESTS

Beobachtung (Stichprobe)(Stichprobe)

Entweder Oder

Beobachtung liegtim Annahmebereich

Beobachtung liegtim Ablehnungsbereich

Hypotheseannehmen!

Hypothese ablehnen!

Fehler erster und zweiter Art

HypotheseHypotheseakzeptiertakzeptiert

Hypotheseabgelehnt

HypotheseHypothesewahrwahr

Hypothesefalsch

EntscheidungEntscheidung

RealitätRealität

Fehler 1. Art

Fehler 2. Art

Niveau und Macht

Obere Grenze für die Wahrscheinlichkeit, einen Fehler 1. ArtFehler 1. Art zu begehenNiveauNiveau

Wahrscheinlichkeit, keinenkeinen Fehler 2. ArtFehler 2. Art zu begehen, wenn der wahre Parameterwert in dem Punkt liegt

MachtMacht in einem Punkt der Alternative

2 Würfel

Fairer Würfel

Gezinkter Würfel

1/6

1/5

?

?

Tafel für die Verteilungsfunktion bei Normalverteilung

Neyman-Pearson-Test

Für einen Test mit

gilt immer:

Sei * ein Neyman-Pearson Test vom Niveau . Dann insbesondere:

Jeder Test, der vom Niveau eines gegebenen Neyman-Pearson-Tests ist, besitzt

höchstens die Machthöchstens die Macht dieses Neyman-Pearson-Tests.

1857 - 1936

Geboren in London. Er versuchte, statistische Methoden auf biologische Probleme der Vererbung und der Evolution anzuwenden. In 18 Veröf-fentlichungen mit dem Titel „Mathematical Contributions to the Theory of Evolution“ führte er die Regressions-Analyse, den Korrelationsko-effizienten und den Chi-Quadrat-Test ein.

1895 - 1980

Geboren in London als Sohn von Karl Pearson. Egon Pearson arbeitete ab 1921 im Institut seines Vaters am University College in London. Er besuchte zunächst alle Vorlesungen seines Vaters mit dem Erfolg, dass er bald selbst hervorragende Arbeiten auf dem Gebiet der Statistik produzierte. S. Neyman war 1925 - 26 als Stipendiat am UniversityCollege. Die Zusammenarbeit mit Egon Pearson begann.

Geboren in Bendery, Moldavien. Als Jerzy Neyman sein Stipendium in London antrat, um mit Karl Pearson zusammenzuarbeiten, war er enttäuschtals er feststellte, dass Karl Pearson die moderne Mathematik ignorierte.Er kooperierte dann mit Egon Pearson undrevolutionierte durch seine Ergebnisse die Statistik.

Der Logharithmus ln x ist streng monoton wachsend

Tafel für die Verteilungsfunktion bei Normalverteilung

Approximative Konfidenzintervalle im Bernoulli-Fall II

Vereinfachung für großes n(n 100)

Tafel für die Verteilungsfunktion bei Normalverteilung

BeispielKaufhaus-Konzern

Kauf würde in Erwägung

gezogen

Kauf würde nicht in Erwägung

gezogen

572 1428

ZusammenhangKonfidenzintervalle - Tests

Gegeben sei ein KonfidenzintervallKonfidenzintervall C() vom Niveau

ist dann mit dem AblehnungsbereichAblehnungsbereich

Für eine einfache Hypothese

ein Test Test vom Niveau gegeben, denn:

Konfidenzintervalle

Intervallschätzung

Jeder Beobachtung wird ein Intervall C() der reellen Zahlen zugeordnet

Niveau , KonfidenzniveauKonfidenzniveau 1 -

Dabei ist die Wahrscheinlichkeit, eine Beobachtung zu machen, für die der wahre Parameter im zugehörigen

Intervall liegt, größer oder gleich 1 -

Tafel für die Verteilungsfunktion bei Normalverteilung

BeispielGewicht von ÄpfelnÄpfeln

Gewicht von Äpfeln der Sorte Cox-Orange aus einem bestimmten Anbaugebiet

Tafel für die Verteilungsfunktion bei Normalverteilung

AI

Tafel für die Verteilungsfunktion bei Normalverteilung

AII

Tafel für die Verteilungsfunktion bei Normalverteilung

AIII

BI

BII

BIII

Test für den ErwartungswertVarianz bekannt

Fall Normalverteilung

Test für den ErwartungswertVarianz unbekannt

Fall Normalverteilung

Vergleich zweier unabhängiger Stichproben 1. Fall1. Fall

2 unabhängige Stichproben mit Stichprobenvariablen X und Y

Annahmen: X und Y normalverteilt

Varianz von X = Varianz von Y

Hypothese: Erwartungswert von X = Erwartungswert von Y

Für n unabhängigeunabhängige Zufallsvariablen

mit

hat man:

Mathematische Bedeutung der Chi-Quadrat-Verteilung

Für unabhängigeunabhängige Zufallsvariablen W und U mit

hat man:

Mathematische Bedeutung der t-Verteilung

Vergleich zweier unabhängiger Stichproben 1. Fall1. Fall

Prüfgröße

n: Umfang der Stichprobe 1 (Stichprobenvariable X)

m: Umfang der Stichprobe 2 (Stichprobenvariable Y)

Ablehnungsbereich

bestimmt durch

Vergleich zweier unabhängiger Stichproben 2. Fall2. Fall

2 unabhängige Stichproben mit Stichprobenvariablen X und Y

Annahmen: X und Y normalverteilt

n und m groß (> 30), damitApproximation der Varianzensinnvoll

Hypothese: Erwartungswert von X = Erwartungswert von Y

Vergleich zweier unabhängiger Stichproben 2. Fall2. Fall

Ausgangspunkt

Approximation

Prüfgröße

Ablehnungsbereich bestimmt durch