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e ti av s bul rvesti ul rb avestibulardicas do vestibular Confira essa e outras dicas em nosso sitewww.energia.com.br
Análise Combinatória (parte 1)
Dicas elaboradas pelo professor Tupy do
Sistema de Ensino Energia.
Se um evento A pode ocorrer de m maneiras distintas, e a seguir um evento B pode ocorrer de n maneiras distintas, então o número de possibilidades de acontecer A seguido de B é m multiplicado por n.O princípio multiplicativo pode ser generalizado para mais de dois eventos.
Definição de fatorialSeja n um número natural maior que 1. Define-se fatorial de n, ou simplesmente n fatorial, o produto dos n números naturais consecutivos de n a 1, que se indica por n!.
. . . . .n! = n (n – 1) (n – 2) ... 3 2 1
para n e N, n 2
São casos particulares:0! = 11! = 1
Arranjos simples são agrupamentos sem repetição e que se distinguem pelo tamanho, pela ordem ou pela natureza de seus elementos.Considere n elementos diferentes, n N*.Para calcularmos o total de arranjos simples de p elementos ( p N*, p n), utilizamos a expressão:
Exemplo de aplicação:Número de jogos do Campeonato Brasileiro de Futebol (2008)
São 20 clubes jogando todos entre si em 2 turnos. Cada jogo corresponde a 1 arranjo possível:
O número de jogos do Campeonato Brasileiro (2008) é 380.
Aplicando o princípio fundamental da contagem, temos:
No Brasil podemos formar 175760000 diferentes placas de veículos!
d ime os te tic e b ar e tud obr o
Um os pr ir ma má os a la or s os s e m r com n s sív is par u te minado
nú e o de bi açõe pos e a m de renômeno foi tali o olo T tag ia 1557), q e
f o i an Nicc ar l (1500- u nfe c ou u be c nd o n me o de
co c ion ma ta la onte o ú r mbi ações pos e o n me t dois dados Aind
co n sív is n la ça n o de . aé u V ir m C dan (1501- c tr i c
no s c lo X I, G ola o ar o 1576) on ibu u om s dos s og a ar. A ém dar e me t os
e tu obre j os de z l de le n os básico c u d lidade , C d n d s nv e ma
a álc lo e probabi s ar a o e e olv u iso n n e as t n ca de c ta em c õe .
pr fu dame t éc i s on g de ombinaç sta t , s n e é u XV , e in a tir de
Entre n o ome t no s c lo II a da par o ema a os a o er as A á s C a ó i
pr bl s lig d jog s e lot i , a n li e ombin t r a n ntra ia u ime as g n s t mati aç s n
e co r s as pr ir ra de sis e z õe osabal os d is asca (1623-166 r de Fe mat
tr h e Bla e P l 2) e Pie re r1-1665).(160a c e e mat, q e u õe destaq e n h ó i
P s al F r u oc pam posiç s de u a ist r a Ma máti , dese v e am tr lh onj ntos av s
da te ca n olv r aba os c u , atr é c r dê ci u s iv , para e olv r a u s
de or espon n as s ce s as r s e lg nema pr t por jog d e pr iss a é oc e,
probl s opos os a or s of ion is da p a s r de tivar m c u proba d des aba m
ape a obje e álc los de bili a , ac ra ist m tiz r té n cas e d fin ç s qu ia e tru ra
por s e a a c i e i õe e vir m a s tu r a náli e ombinat ia.
A s C ór s n ol n o poste ior da ál e Combinat ia s
O de e v vime t r An is ór e táa abal os d s íço Ja q e B r ou i ( ,
lig do aos tr h o u c u s e n ill 1654-1705) o emã r ed W lm Lei itz (1646- e
d al o Gottf i ilhe bn 1716) do m su o e h rd E l r (1707-1 u ta é s
també íç L on a u e 783), q e mb m ee ar a pr mas proba s s
d dic am oble bilí tico . tir de a os do séc lo II An lise om n ór
A par me d u XV I, a á C bi at iasou s r pa cu r n e r s a t e e os ou
pas a e rti la me t inte e s n e m div rs tros m Ma má a, c E tatí tic Ge tri e
ra os da te tic omo a s s a, a ome a a l ebr lé e con r inúme as apl ç s e tros
Á g a, a m de n tra r ica õe m oump h c n o
ca os do con e ime t .
YOUSSEF, Antônio Nicolau; FERNANDEZ, Vicente Paz. Matemática: conceitos e fundamentos. São Paulo: Scipione, 1993.
Histórico
Princípio Fundamental da Contagem (PFC)
Número fatorial Arranjo Simples
Agrupamentos
Agrupamentos Definição Exemplos
Exemplo de aplicação:Número de placas de veículos possíveis no Brasil
L L L A A A A. . . . . .26 26 26 10 10 10 10 = 175.760.000
FU
PI
MUNICÍ O
A 1
A A - 1 1 1
Iguais
Diferentes pelo tamanho
Diferentes pela ordemde seus elementos
Diferentes pela naturezade seus elementos
Sem repetição
Com repetição
(a, b, c, d)e
(a, b, c, d)
(a, b, c)e
(a, b, c, d)
(a, b, c, d)e
(a, b, d, c)
(a, b, c, d)e
(a, b, c, e)
(a, b, c, d)e
(9, 8, 0, 3)
(a, b, c, d, a)e
(4, 5, 4, 7)
Possuem os mesmos elementosna mesma ordem
Não apresentam o mesmonúmero de elementos
Possuem os mesmos elementosem ordens diferentes
Apresentam entre si pelo menosum elemento diferente
São agrupamentos comelementos distintos
São agrupamentos que possuem ao menos elementos
um elemento repetido
A = n!(n – p)!
p
n A = n!(n – p)! n, pou
A = = 38020!(20 – 2)!
2
20
