Diego Aristizábal R. - Roberto Restrepo A.

FISICA PARA INGENIEROSNOTAS DE CLASE SOBRE

OSCILACIONES ONDAS Y ÓPTICAADAPTADAS A LA REFORMA ACADÉMICA DE LA UN DEL 2008

UNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIA, MEDELLÍN

FACULTAD DE CIENCIAS, ESCUELA DE FÍSICA

2011

Notas sobre Física de Oscilaciones Ondas y Óptica

Diego Aristizábal R. - Roberto Restrepo A.

27 de febrero de 2012

ÍNDICE GENERAL

Índice general I

Lista de Figuras II

Lista de Tablas III

I OSCILACIONES MECANICAS 3

1 CINEMATICA 51.1. Fundamentos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.2. Definiciones básicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.3. Cinemática . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.4. M.C.U vs M.A.S. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

2 DINAMICA 132.1. Fuerza recuperadora . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132.2. Ecuación diferencial del oscilador armónico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142.3. Sistema masa-resorte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152.4. El péndulo simple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182.5. El péndulo compuesto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

3 ENERGIA 233.1. Trabajo W y energía potencial U . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233.2. Energía cinética T . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253.3. Energías Cinética y Potencial del Oscilador expresadas en función del tiempo . . . . . . . . . 253.4. Energía mecánica E . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

4 SUPERPOSICION DE M.A.S 294.1. Superposición en la misma dirección de vibración . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 294.2. Superposición en direcciones de vibración ortogonales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 334.3. Análisis de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

5 OSCILACIONES FORZADAS 375.1. Oscilaciones amortiguadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 375.2. Oscilaciones forzadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

I

6 OSCILACIONES ELECTRICAS 476.1. Circuitos LC : Oscilaciones eléctricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 476.2. Circuitos RLC : Oscilaciones eléctricas amortiguadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 496.3. Oscilaciones eléctricas forzadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 506.4. Antenas: radio y televisión . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 506.5. Analogía mecano-electromagnética . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

LISTA DE FIGURAS

1.1. Clases de equilibrio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.2. Elongación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.3. Cronograma de un sistema masa-resorte oscilando . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.4. Elongación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.5. Velocidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101.6. Aceleración . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

2.1. Redefinición de constantes de integración . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152.2. Estados del sistema masa-resorte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152.3. Diagramas de fuerzas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162.4. Resortes en serie y en paralelo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172.5. Diagrama de fuerzas en el movimiento de un péndulo simple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182.6. Diagrama de fuerzas en el movimiento de un péndulo compuesto . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202.7. Barra soportada en dos cilindros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

3.1. Desplazando la masa que está sujeta a un resorte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233.2. Diagrama de fuerzas de la masa que está sujeta al resorte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243.3. Interpretación gráfica del trabajo realizado por el agente externo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253.4. Figura del ejercicio 3.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

4.1. Vectores rotantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 304.2. Interferencia: constructiva y destructiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 324.3. Estados de polarización . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 354.4. Señal cuadrada como una combinación de funciones seno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

5.1. Sistema masa-resorte sumergido en un fluido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 385.2. Diagramas de fuerzas sobre la masa en el sistema masa-resorte sumergido en un fluido . . . . . . 385.3. Oscilador forzado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 395.4. Diagrama de fuerzas en el oscilador forzado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 405.5. Amplitud vs Frecuencia de la fuerza externa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

6.1. Circuito LC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 476.2. Circuito RLC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 496.3. RLC forzado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 506.4. Antena dipolo emisora (radiando) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 516.5. Antena dipolo receptora . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

II

LISTA DE TABLAS

5.1. Aproximaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

6.1. Analogía mecano-electromagnética . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

III

PRÓLOGO

Estas notas de clase no pretenden reemplazar los excelentes textos de física que se encuentran en el mer-cado. Los autores sólo pretenden facilitar la toma de notas de los estudiantes en las clases magistrales quela Escuela de Física imparte a los estudiantes de ingeniería de la Universidad Nacional de Colombia en susede Medellín: aquí ni se detallan los cálculos ni se hacen profundas disertaciones sobre la fenomenología;estas son actividades a desarrollar en la clase presencial.

Los autores quieren señalar que como consecuencia de la reforma académica realizada en el 2008 en laUniversidad Nacional de Colombia, no hay exigencia de la Física de Electricidad y Magnetismo como pre-rrequisito de este curso por lo que los temas se ordenaron de tal forma que un estudiante con ese vacío deconocimiento pudiera comprender la mayor parte del tema sin mayores inconvenientes; es por esto quealgunos temas podrían parecer extraños en su ubicación; además la óptica física se realiza sin recurrir a lanaturaleza electromagnética de la luz (aunque en su debido momento se hacen las respectivas aclaracionespara evitar confusiones en los estudiantes): la naturaleza electromagnética de la luz y su comportamientocuántico se tratan en la última parte del curso.

Las notas de clase contienen numerosos links a simulaciones y videos que facilitan la comprensión delos contenidos, y en su mayoría son propiedad intelectual de los autores y con copyright para la UniversidadNacional de Colombia. Para acceder a ellos es necesario abrir el documento .pdf correspondiente a esta obray estar en línea en la Internet.

Los Autores

1

Parte I

OSCILACIONES MECANICAS

3

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PÍ

TU

LO

1CINEMATICA

El estudio de las oscilaciones o vibraciones esuna parte fundamental de la física debido a queprácticamente todos los sistemas físicos tienencapacidad de oscilar alrededor de un punto deequilibrio.Cualquier magnitud puede estar sujeta a oscila-ciones. En la vida habitual las oscilaciones másobvias son aquellas que conciernen a la oscilaciónde la posición (viraciones en cuerdas, olas en elagua, péndulos, resortes), sin embargo, cualquiermagnitud puede oscilar: la presión de un líquidoo un gas, su temperatura, el campo magnético, elcampo eléctrico entre otras.Es muy importante conocer el Movimiento Ar-

mónico Simple, ya que el teorema de Fourier establece que cualquier clase de oscilación periódica puedeconsiderarse como la superposición de movimientos armónicos simplesEn la figura se ilustra el denominado péndulo de Foucault y es usado como un instrumento que permiteconstatar la rotación de la Tierra: si se coloca un péndulo suspendido en el centro de una barra colocadaentre dos columnas en el Polo Norte de la Tierra, conforme la Tierra gira el péndulo que siempre oscila enla misma dirección respecto de los astros, recorrerá distintos sitios de la superficie. Puesto que a la Tierra letoma 24 horas completar un giro, el péndulo parecerá completar un giro en sentido contrario durante eselapso. En latitudes cercanas al Ecuador, como las de México, los péndulos de Foucault "giran"muy lenta-mente, menos de una vuelta completa en 24 horas, por consiguiente le cuesta mucho trabajo al observadorentender de qué modo este instrumento muestra la rotación de la Tierra. El primero en realizar el experi-mento (que lo hizo en París en 1851) fue el notable físico francés Jean Bernard Leon Foucault, que suspendióuna bala de cañón de la cúpula del Panteón de París mediante un cable de unos 75 metros de longitud.

1.1 Fundamentos

La posición de equilibrio de un cuerpo puede ser de tres tipos: estable, inestable e indiferente. En lafigura 1.1 se ilustran los tres casos.

Los equilibrios estable e inestable corresponden respectivamente a estados de mínima y máxima energíapotencial.

5

Figura 1.1: Clases de equilibrio

Figura 1.2: Elongación

Cuando el cuerpo es separado de la posición de equilibrio por la acción de un agente externo, oscilarásolo si su posición de equilibrio era estable. A este tipo de movimiento se le denomina movimiento oscilato-rio o vibratorio. El estudio de este tipo de movimientos es de suma importancia en la física, ya que es la basepara la comprensión, entre otros, de fenómenos como el sonido y la luz.

1.2 Definiciones básicas

En el movimiento oscilatorio se utiliza como sistema de coordenadas, a un sistema cuyo origen es laposición de equilibrio del oscilador, figura 1.2. A continuación se definirán algunos conceptos básicos.

Elongación (−→x ) Es el vector posición del oscilador medido respecto a la posición de equilibrio. En la figura1.2 será la variable x. Tiene unidades de longitud.

Amplitud (A) Corresponde a la magnitud de la máxima elongación. Tiene unidades de longitud.

Periodo (P) Si el movimiento oscilatorio es un movimiento periódico, se le define como periodo, al tiempoque se demora para hacer una oscilación completa (“un ir y venir”). Su unidad en el SI es el segundo.

Frecuencia ( f ) Como a todo movimiento periódico, al oscilador también se le define una frecuencia. Eneste caso, será el número de oscilaciones completas por cada unidad de tiempo. En el SI su unidad es elHertz (1 Hz=1 oscilacion/seg).

6

El periodo y la frecuencia son inversos multiplicativos, esto es,

f P = 1 (1.1)

Fase (ϕ) Un parámetro muy utilizado cuando se están analizando movimientos oscilatorios, es el querecibe el nombre de fase del oscilador . Recibe este nombre porque determina en que “fase” del movimientode “ir y venir” se encuentra la partícula oscilante; por ejemplo, determina si el oscilador en un instante dadoestá en su posición de equilibrio, o en uno de los extremos de oscilación, o en otra posición. Este conceptoes un poco abstracto, pero a continuación se dan algunos ejemplos que aclaran su interpretación física.

Cada que el oscilador hace una oscilación completa, se dice que su fase se ha incrementado en 360º (2πradianes). Así por ejemplo, un oscilador que se suelta desde un extremo, cuando su fase sea de 7π radianes,estará ocupando la posición del extremo opuesto, y habrá transcurrido un tiempo equivalente a tres perío-dos y medio, y además habrá completado tres oscilaciones y media. Ahora, si dos osciladores se sueltansimultáneamente de extremos opuestos, se dice que su diferencia de fase es de π radianes (osciladores enoposición). Y si se sueltan bajo las mismas condiciones desde la misma posición, se dice que están en fase.

Fase inicial (ϕ0) Corresponde a la fase del oscilador en el instante t = 0. La fase inicial que se le asigna aun oscilador dependerá de las condiciones iniciales (posición y velocidad iniciales).

Ejercicio 1.1 Una masa que pende de un resorte se desplaza de su posición de equilibrio hasta una posi-ción igual a 2,50 cm y se suelta. Si oscila periódicamente con una frecuencia igual a 0,500 Hz, calcular: (a) superiodo, (b) el número de oscilaciones que hace en 20,0 s, (c) su desfase a los 3,50 s y a los 5,00 s después deiniciado su movimiento, (d) su desplazamiento a los 1, 50 s y 4,00 s después de iniciado su movimiento.

Ejercicio 1.2 ¿Puede el desplazamiento de una partícula oscilando entre el instante t = 0 y un instanteposterior t , ser igual a la posición (elongación) en el tiempo t ? Explicar.

1.3 Cinemática

Elongación En general toda partícula oscilante cuya elongación se exprese mediante una relación senosoidalo cosenosoidal del tiempo, se dice que oscila armónicamente. A este movimiento se le denomina Moviminen-to Armónico Simple (M.A.S.) y a la partícula se le denomina oscilador armónico. En la figura 1.3 se ilustra unsistema masa resorte oscilando: mediante el desplazamiento de una cinta de papel se puede recoger sucronograma (representación de su elongación y vs tienpo t ),

y = A sin(w t +ϕ0

)(1.2)

en donde A es la amplitud, w = 2π f = 2π/P es la frecuencia angular medida en rad/s, f es la frecuenciamedida en Hz, P es el periodo medido en s, t es el tiempo en s, ϕ0 es la fase inicial medida en radianes yϕ= w t +ϕ0 la fase medida en radianes.

Simulación 1.1 Cronograma en un M.A.S.

7

Figura 1.3: Cronograma de un sistema masa-resorte oscilando

Velocidad Derivando respecto al tiempo la elongación, ecuación 1.2, se obtiene la velocidad,

Vy = w A cos(w t +ϕ0

)(1.3)

Aceleración Derivando respecto al tiempo la velocidad, ecuación 1.3, se obtiene,

ay =−w2 A sin(w t +ϕ0

)(1.4)

De las ecuaciones 1.2 y 1.4 se obtiene,

ay =−w2 y (1.5)

esta última ecuación significa que la elongación y la aceleración en un M.A.S. siempre son opuestas.Esto es debido, como se tratará más adelante, a que la fuerza generadora del M.A.S. es lineal respecto a laelongación y además recuperadora.

Ejercicio 1.3 En qué posiciones de la trayectoria de un oscilador armónico son máximas: (a) la magnitud(el módulo) de la elongación, (b) la rapidez, (c) la magnitud de la aceleración.

Ejercicio 1.4 Un oscilador armónico oscila con una frecuencia igual a 2,00 Hz y una amplitud igual a 5,00cm, calcular: (a) su máxima elongación, (b) su máxima rapidez, (c) el máximo valor de la aceleración.

8

Figura 1.4: Elongación

1.4 M.C.U vs M.A.S.

La proyección sobre una línea recta, de una partícula que se mueve con M.C.U (Movimiento CircularUniforme), oscila con M.A.S (Movimiento Armónico Simple).

Elongación Si se proyecta en el eje y , figura 1.4, se obtiene :

y = A sinϕ (t )

donde la fase ϕ (t ) es igual a la posición angular en el M.C.U, es decir:

ϕ (t ) = w t +ϕ0

siendo ϕ0 la posición angular inicial de la partícula en M.C.U. y que correspondería a la fase inicial parala partícula en M.A.S. Por lo tanto la elongación será,

y = A sin(w t +ϕ0

)que corresponde a la ecuación 1.2.Se debe aclarar que la magnitud de la velocidad angular del M.C.U., w, es igual a la frecuencia angular

del M.A.S.

Velocidad Es la proyección de la velocidad del M.C.U (cuya rapidez es V = w A).Al proyectar en el eje y la velocidad lineal del del MCU (componente rectangular en y), figura 1.5, se

obtiene:

Vy =V cosϕ (t )

y por tanto,

9

Figura 1.5: Velocidad

Figura 1.6: Aceleración

Vy = w A cos(w t +ϕ0

)que corresponde a la ecuación 1.3.

Aceleración Es la proyección de la aceleración centrípeta del M.C.U (cuya magnitud es an = w2 A ).Al proyectar en el eje y la aceleración centrípeta del M.C.U. (componente rectangular en y), figura 1.6,

se obtiene:

10

ay =−an sinϕ (t )

y por tanto,

ay =−w2 A sin(w t +ϕ0

)que corresponde a la ecuación 1.4.

Simulación 1.2 La proyección de una partícula que se mueve con M.C.U oscila armónicamente.

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CA

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2DINAMICA

2.1 Fuerza recuperadora

Una partícula de masa m que oscila con M.A.S cumple la ecuación 1.5 y por tanto, la fuerza neta que actúa sobreella es,

−→Fy = m−→ay =−mw2−→y

−→Fy =−k−→y (2.1)

siendo k = mw2 la denominada constante del M.A.S. Por tanto, se conluye que una partícula oscila con MAS si ysolo si la fuerza neta que actúa sobre ella cumple que:

sea lineal con la elongación.

sea recuperadora (se oponga en todo instante a la elongación). Esto es, apunte en todo instante hacia la posi-ción de equilibrio de la partícula.

La fuerza es variable. En la posición de equilibrio es nula y va aumentando en magnitud cuando el os-cilador avanza hacia los extremos del movimiento hasta alcanzar su valor máximo en estos ( Fy = mw2 A) .Por tanto, las oscilaciones se dan por un compromiso entre la inercia y la fuerza restauradora, ya que aunqueen ese instante la partícula no está sometida a una fuerza neta (en la dirección del movimiento), logra atrav-esar la posición de equilibrio; esto es consecuencia de la inercia.

Como k = mw2, el período y la frecuencia del movimiento armónico se pueden escribir como:

P = 2π

√m

k(2.2)

f = 1

2π

√k

m(2.3)

Ejemplos que se analizarán más adelante (péndulo y sistema masa-resorte), llevarán a concluir que, lafecuencia, el período, la frecuencia angular y la constante del M.A.S. son constantes impuestas por la nat-

13

uraleza al sistema (son “huellas digitales”). A la frecuencia se le denomina frecuencia natural o propia deloscilador.

2.2 Ecuación diferencial del oscilador armónico

La segunda ley de Newton aplicada al oscilador armónico, siendo Fy la fuerza neta que actúa sobre él es,

Fy = may =−k y

d 2 y

d t 2 + k

my = 0 (2.4)

d 2 y

d t 2 +w2 y = 0 (2.5)

o en notación comprimida,

..y +w2 y = 0 (2.6)

que corresponde a la denominada ecuación diferencial del oscilador armónico. Ella, es una ecuacióndiferencial lineal, de orden 2 y homogénea. Según la teoría de ecuaciones diferenciales, su solución corre-sponde a la siguiente combinación lineal de seno y coseno,

y = c1 sin w t + c2 cos w t (2.7)

Redefiniendo constantes, figura 2.1, se obtiene,

y = A sin(w t +ϕ0

)(2.8)

La interpretación de cada una de las variables y constantes es la que se ha venido señalando. En partic-ular, la amplitud A y la fase inicial ϕ0 representan las constantes de integración y sus valores dependen delas condiciones iniciales.

Ejercicio 2.1 Demostrar que si y0 y V0y son los valores iniciales de la posición y la velocidad de un osciladorarmónico, se cumple que,

ϕ0 = arctan

(w y0

V0y

)(2.9)

A =√

y20 +

V 20y

w2 (2.10)

Ejercicio 2.2 Una partícula sujeta a un resorte vertical se hala hacia abajo una distancia de 4,00 cm a partirde la posición de equilibrio y se suelta desde el reposo. La aceleración inicial hacia arriba de la partícula es0,300 m/s2. (a) ¿Cuál es el período P de las subsecuentes oscilaciones? (b) ¿A qué velocidad pasa la partículapor la posición de equilibrio? (c) ¿Cuál es la ecuación de la elongación en función del tiempo para la partícu-la? (Escoger la dirección positiva hacia arriba)

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Figura 2.1: Redefinición de constantes de integración

Figura 2.2: Estados del sistema masa-resorte

2.3 Sistema masa-resorte

En la figura 2.2 se ilustra los estados en los que se puede encontrar el sitema masa-resorte: longitud natu-ral del resorte (izquierda), masa acoplada y en equilibrio (centro) y masa desplazada del equilibrio (izquier-da). En al figura 2.3 se ilustran los diagramas de fuerza de la masa m en la situación de equilibrio y en lasituación de no equilibrio.

Simulación 2.1 Diagrama de fuerzas en el sistema masa-resorte.

En la situación de equilibrio se aplica la primera ley de Newton,

+ ↓∑Fy = 0

mg −kξ= 0 (2.11)

En la situación de no equilibrio se aplica la segunda ley de Newton,

15

Figura 2.3: Diagramas de fuerzas

+ ↓∑Fy = m

..y

mg −k(ξ+ y

)= m..y (2.12)

De estas ecuaciones, 2.11 y 2.12 se obtiene,

..y + k

my = 0 (2.13)

que es la ecuación diferencial del oscilador armónico, donde, k corresponde a la constante de rigidez del resorte.La frecuencia angular propia de oscilación de este sistema es,

w =√

k

m

y la frecuencia propia en Hz y el respectivo periodo son,

f = 1

2π

√k

m(2.14)

P = 2π

√m

k(2.15)

Entre mayor sea la masa acoplada, menor es la frecuencia con que oscila, o lo que es lo mismo, más se demora enhacer una oscilación completa.

16

Figura 2.4: Resortes en serie y en paralelo

La cinemática de la masa oscilando es,

y = A sin(w t +ϕ0

)(2.16)

Vy = w A cos(w t +ϕ0

)(2.17)

ay =−w2 A sin(w t +ϕ0

)(2.18)

ay =−w2 y (2.19)

Video 2.1 Variando la masa en el sistema masa-resorte.

Video 2.2 Variando la constante de rigidez mediante la composición de dos resortes en paralelo.

Video 2.3 Variando la constante de rigidez mediante la composición de dos resortes en serie.

Ejercicio 2.3 Una partícula que se cuelga de un resorte ideal tiene una frecuencia angular de 2,00 rad/s.El resorte se cuelga del techo de un elevador, y cuelga sin movimiento (respecto al elevador) conforme elelevador desciende con una rapidez constante de 1,50 m/s. El elevador se para repentinamente. (a) ¿Conqué amplitud oscilará la partícula? (b) ¿Cuál es la ecuación de la elongación en función del tiempo para lapartícula? (Escoger la dirección positiva hacia abajo).

Ejercicio 2.4

Encontrar la frecuencia natural de oscilación de los dos sistemas ilustrados en la figura 2.4. Aquí, k1 y k2

corresponden a las constantes de rigidez de los resortes individuales, m corresponde a la masa del cuerpoque esta sujeto al sistema de resortes.

17

Figura 2.5: Diagrama de fuerzas en el movimiento de un péndulo simple

2.4 El péndulo simple

Se define el péndulo simple como una masa puntual que pende de un hilo inextensible. En la figura 2.5se ilustra una posición general de un péndulo simple oscilando. En la misma figura se representa las fuerzasque actúan sobre la masa pendular.

Simulación 2.2 Diagrama de fuerzas en el sistema péndulo simple.

La simetría de la situación física exige utilizar un sistema de coordenadas cuyos ejes tengan las direc-ciones de la aceleración tangencial y de la aceleración centrípeta de la masa. Aplicando la segunda ley deNewton, se obtiene,

+ ↑∑Fnor mal = m an ⇒ T −mg cosθ = m

( .θ)2

l (2.20)

+→∑Ft ang enci al = m at ⇒−mg sinθ = m

..θl (2.21)

en estas ecuaciones T corresponde a la tensión en la cuerda, g es la aceleración de la gravedad, m es la

masa pendular, θ es la posición (elongación) angular,.θ es la velocidad angular,

..θ es la aceleración angular y

l es la longitud pendular.

De la ecuación 2.21 se concluye,

..θ+ g

lsinθ = 0 (2.22)

18

Esta ecuación diferencial no es lineal, y por lo tanto el péndulo simple no oscila con M.A.S. Sin embargo parapequeñas oscilaciones (amplitudes del orden de los 10º), sinθw θ , por tanto,

..θ+ g

lθ = 0 (2.23)

es decir, para pequeñas amplitudes (pequeñas oscilaciones) el movimiento pendular es armónico. La frecuenciaangular propia de oscilación de este sistema es,

w =√

g

l(2.24)

y la frecuencia propia en Hz y el respectivo periodo son,

f = 1

2π

√g

l(2.25)

P = 2π

√l

g(2.26)

Video 2.4 Independencia del período de oscilación de un péndulo simple de la masa pendular.

Video 2.5 Dependencia del período de oscilación de un péndulo simple de la longitud del hilo.

La cinemática del movimiento pendular para pequeñas oscilaciones es en función de las variables angulares(elongación angular, velocidad angular y aceleración angular),

θ = θ0 sin(w t +ϕ0

)(2.27)

.θ = w θ0 cos

(w t +ϕ0

)(2.28)

..θ =−w2θ0 sin

(w t +ϕ0

)=−w2θ (2.29)

Ejercicio 2.5 Un péndulo simple tiene una masa de 0,250 kg y una longitud de 1,00 m. Se desplaza unángulo de 15,0º y se suelta. Calcular: (a) su rapidez máxima, (b) la aceleración angular máxima, (c) la máximafuerza de restitución? Rp: (a) 0,820 m/s (b) 2,57 rad/s2 (c) 0,641 N

Ejercicio 2.6 ¿Qué pasa con el período de oscilación de un péndulo simple si se duplica su longitud? ¿Quépasa con el período de oscilación de un sistema masa-resorte si se duplica la masa? (Asumir pequeñas os-cilaciones).

Ejercicio 2.7 Suponer que cuando la masa de un sistema masa-resorte está en la posición de equilibrio elresorte se ha alargado en una longitud h. Demostrar que este sistema oscila con una frecuencia igual a la deun péndulo simple de longitud h.

19

Figura 2.6: Diagrama de fuerzas en el movimiento de un péndulo compuesto

2.5 El péndulo compuesto

Un péndulo compuesto (o péndulo físico) es cualquier cuerpo rígido que puede oscilar alrededor de uneje horizontal bajo la acción de la fuerza de gravedad. En la figura 2.6 se ilustra una posición general deun péndulo compuesto oscilando. En la misma figura se representa las fuerzas que actúan sobre el cuerporígido.

La distancia desde el punto de apoyo O hasta al centro de gravedad del cuerpo es igual a b. Si el momentode inercia repecto a un eje que pasa por O del cuerpo rígido es Io , la segunda ley de Newton de rotación dacomo resultado,

+∑τoz = Io

..θ

−mg b sinθ = Io

..θ

..θ+ mg b

Iosinθ = 0 (2.30)

Se debe observar que la fuerza de reacción R que ejerce el pivote en O sobre el cuerpo rígido no hacetorque, por lo que no aparece en la ecuación. Además, también es necesario resaltar que esta ecuacióndiferencial no es lineal, y por lo tanto el péndulo físico no oscila con M.A.S. Sin embargo, para pequeñasoscilaciones (amplitudes del orden de los 10º), sinθw θ, por tanto,

20

..θ+ mg b

Ioθ = 0 (2.31)

es decir, para pequeñas amplitudes el movimiento pendular es armónico. La frecuencia angular propia es,

w =√

mg b

Io(2.32)

y la frecuencia propia en Hz y el respectivo periodo son,

f = 1

2π

√mg b

Io(2.33)

P = 2π

√Io

mg b(2.34)

La cinemática del movimiento pendular para pequeñas oscilaciones es en función de las variables angulares(elongación angular, velocidad angular y aceleración angular),

θ = θ0 sin(w t +ϕ0

)(2.35)

.θ = w θ0 cos

(w t +ϕ0

)(2.36)

..θ =−w2θ0 sin

(w t +ϕ0

)=−w2θ (2.37)

Ejercicio 2.8 Demostrar que el periodo de oscilación de un péndulo físico se puede calcular mediante lasiguiente expresión,

P = 2π

√R2

cm +b2

g b(2.38)

en donde Rc.m corresponde al radio de giro del cuerpo rígido respecto a un eje que pasa por su centtrode masa y b corresponde a la distancia que hay entre el punto de suspensión del péndulo y su centro demasa.

Simulación 2.3 Una regla oscilando.

Ejercicio 2.9 Un aro circular de radio R se cuelga sobre el filo de un cuchillo. Demostrar que su período deoscilación es el mismo que el de un péndulo simple de longitud 2R.

Ejercicio 2.10 Una varilla delgada tiene una masa M y una longitud L = 1,60 m. Uno de los extremos de lavarilla se sujeta en un pivote fijo y la varilla oscila alrededor del pivote con oscilaciones pequeñas. Encontrarla frecuencia de estas oscilaciones. Si se apoya una partícula de masa M al extremo final de la varilla, ¿enqué factor cambiará el período?

21

Figura 2.7: Barra soportada en dos cilindros

Ejercicio 2.11 ¿Cuál debe ser la longitud L de un péndulo simple para que oscile con la misma frecuenciaque un péndulo físico de masa M , radio de giro respecto a su centro de masa Rc.m , y distancia del cen-tro de masa al punto de apoyo igual a b? Nota: a esta longitud se le denomina longitud de péndulo simple

equivalente. Rp. L = R2c.m+b2

b

Ejercicio 2.12 Un bloque se encuentra sobre un émbolo que se mueve verticalmente con M.A.S. (a) ¿A quéamplitud del movimiento se separan el bloque y el émbolo, si la frecuencia angular del M.A.S es 1,18 rad/s?(b) Si el émbolo tiene una amplitud de 5,12 cm en su movimiento, hallar la frecuencia máxima a la cualestarán en contacto el bloque y el émbolo continuamente.

Ejercicio 2.13 Un líquido dentro de un tubo en U oscila libremente. Si el líquido ocupa una longitud l deltubo, calcular la frecuencia angular angular de oscilación del líquido, despreciando los efectos de fricción.

Rp. w =√

2gl

Ejercicio 2.14 Un bloque de madera cuya densidad relativa respecto al agua es ρ tiene dimensiones a, b,c. Mientras está flotando en el agua con el lado a vertical, se le empuja hacia abajo y se le suelta. Hallar el

período de las oscilaciones resultantes ¿Es armónico el movimiento? P = 2π√

ag ρ

Ejercicio 2.15 La figura 2.7 muestra una barra uniforme que se apoya sobre dos cilindros que giran ensentidos contrarios. El coeficiente de fricción deslizante entre la barra y los cilindros es µ. Mostrar que elefecto neto de las fuerzas de fricción es una fuerza restauradora lineal y que la frecuencia angular naturalcon que oscila el centro de masa de la barra será igual a:

w =√

2µg

a

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3ENERGIA

3.1 Trabajo W y energía potencial U

Cuando una partícula oscila con MAS, es porque la fuerza neta que actúa sobre ella tiene la forma,

−→Fy =−k−→y (3.1)

siendo −→y la elongación. Una fuerza de este tipo es elástica.Con base en el modelo del sistema masa-resorte, se puede hacer un análisis claro que permite encontrar

la relación para la energía potencial elástica, figura 3.1. En la figura 3.1 A el resorte posee su longitud original,por lo que su deformacion es nula. En esta situación el sistema masa resorte no tendrá energía potencialelástica (no hay energía almacenada). En la figura 3.1 B un agente externo lo ha elongado en una cantidadigual a y1. Para lograr esto, el agente externo realizó un trabajo sobre el sistema (sistema masa-resorte),cediéndole energía la cual queda almacenada en forma de energía potencial elástica. En la figura 3.1 C elagente externo realiza aún más trabajo, por lo que el sistema va aumentando su energía potencial.

En la figura 3.2 se ilustra el diagrama de cuerpo libre de la masa (fuerzas que actúan sobre la masa). Eneste diagrama, N es la fuerza normal que ejerce el piso, P es la fuerza de gravedad ejercida por el planeta

Figura 3.1: Desplazando la masa que está sujeta a un resorte

23

Figura 3.2: Diagrama de fuerzas de la masa que está sujeta al resorte

Tierra (peso),Fext es la fuerza ejercida por el agente externo, y Fr es la fuerza ejercida por el resorte: se ha de-spreciado la fuerza de rozamiento. Si la deformación se obtiene a velocidad constante, aplicando la primeraley de Newton, se concluye que en todo instante Fext y Fr es son iguales en magnitud. Es decir,

−−→Fr es =−k−→y (3.2)

−−→Fext = k−→y (3.3)

El trabajo realizado por el agente externo, Wext , para elongar el resorte desde −→y1 hasta −→y2 es,

Wext =∫ y2

y1

−−→Fext •d−→r =

∫ y2

y1

[k−→y ]•d−→r =

∫ y2

y1

k y d y = 1

2k y2

2 −1

2k y2

1 (3.4)

En la figura 3.3 se ilustra la interpretación geométrica de este cálculo:

Wext =[

B ase mayor +B ase menor

2

]×al tur a

Wext =[

k y2 +k y1

2

]× [

y2 − y1]

Wext = 1

2k y2

2 −1

2k y2

1

Ahora, el trabajo realizado por la fuerza elástica Fr es será el negativo de Wext :

Wr es = 1

2k y2

1 −1

2k y2

2 (3.5)

La ecuación anterior muestra que el trabajo realizado por la fuerza elástica Fr es se puede expresar entérminos de los valores de una magnitud escalar de la forma 1

2 k y2 evaluada al inicio (en y1) y al final (en y2)de la elongación. Esta cantidad es la denominada Energía Potencial Elástica U y así se calculará la energíapotencial del oscilador armónico (partícula en M.A.S.):

U = 1

2k y2 (3.6)

donde y es la elongación del oscilador. Según el conocido teorema de la energía potencial, se puedeconcluir que la fuerza responsable de un M.A.S. es conservativa:

24

Figura 3.3: Interpretación gráfica del trabajo realizado por el agente externo

Wr es =−∆U (3.7)

3.2 Energía cinética T

Aplicando la definición de energía cinética al oscilador, se obtiene,

T = 1

2mV 2

y (3.8)

3.3 Energías Cinética y Potencial del Oscilador expresadas en función del tiempo

Si la elongación y la velocidad del oscilador armónico están dados por,

25

y = A sin(w t +ϕ0

)Vy = w A cos

(w t +ϕ0

)las energías cinética y potencial del oscilador armónico toman la siguiente forma en función del tiempo,

T = 1

2mw2 A2 cos2 (

w t +ϕ0)

(3.9)

U = 1

2mw2 A2 sin2 (

w t +ϕ0)

(3.10)

3.4 Energía mecánica E

Con base en las ecuaciones 3.9 y 3.10, se concluye que la energía mecánica E del oscilador armónico seráigual,

E = 1

2mw2 A2 (3.11)

y por tanto,

E = 1

2k A2 (3.12)

siendo k la constante de fuerza del oscilador armónico.

Simulación 3.1 Variación de la energía cinética y de la energía potencial de un oscilador armónico en

función del tiempo.

La energía cinética se puede calcular así,

T = 1

2k

(A2 − y2) (3.13)

Simulación 3.2 Variación de la energía cinética y de la energía potencial de un oscilador armónico en

función de la posición (elongación).

Ejercicio 3.1 Un sistema masa-resorte efectúa un M.A.S con una amplitud A: ¿Cambiaría la energía totalsi se duplica la masa pero no se cambia la amplitud? ¿depende de la masa la energía cinética y la potencial?Explique.

26

Figura 3.4: Figura del ejercicio 3.2

Ejercicio 3.2 La polea de radio r y masa M puede girar sin fricción alrededor de un eje que pasa por sucentro. La masa m está unida a un resorte de constante k a través de una cuerda de masa despreciablepasando por la polea sin deslizarse, figura 3.4. Determinar la frecuencia natural de oscilación del disco.Resuelva el ejercicio, primero empleando las leyes de Newton y segundo empleando métodos energéticos.

Rp. w =√

k12 M+m

Ejercicio 3.3 Obtener la ecuación diferencial del oscilador armónico en un sistema masa-resorte a travésde la aplicación del principio de conservación de la energía mecánica.

Ejercicio 3.4 Obtener la ecuación diferencial del oscilador armónico en un sistema péndulo simple através de la aplicación del principio de conservación de la energía mecánica.

Ejercicio 3.5 Obtener la ecuación diferencial del oscilador armónico en un sistema péndulo físico a travésde la aplicación del principio de conservación de la energía mecánica.

27

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4SUPERPOSICION DE M.A.S

4.1 Superposición en la misma dirección de vibración

En esta sección se estudiará la composición de dos M.A.S. cuya dirección de vibración es la misma,por ejemplo y . Primero se analizará el caso de oscilaciones con la misma frecuencia y luego con diferentefrecuencia.

Con igual frecuencia (Interferencia)

Sean dos oscilaciones armónicas expresadas así,

y1 = A1 sin(w t +ϕ01

)(4.1)

y2 = A2 sin(w t +ϕ02

)(4.2)

en donde A1,A2 corresponden a las amplitudes de las oscilaciones yϕ01,ϕ02 corresponden a sus respec-tivas fases iniciales. El movimiento resultante es,

y = y1 + y2 = A1 sin(w t +ϕ01

)+ A1 sin(w t +ϕ01

)Para realizar la simplificación de esta última expresión se expondrán tres formas: método de vectores

rotantes (o fasores), método trigonométrico y método de la variable compleja. Esto se hará con el fin deilustrar a un estudiante de ingeniería, sin embargo, el lector elegirá el que comprenda mejor.

Método de vectores rotantes En este caso, cada M.A.S se representa por un vector posición de magnitud(módulo) igual a su amplitud y girando con velocidad angular constante igual a su frecuencia angular w . Suproyección (o componente, por ejemplo en dirección y) corresponderá a la elongación del M.A.S. De estaforma el cálculo de la superposición se reducirá a una suma de vectores, figura 4.1.

29

Figura 4.1: Vectores rotantes

El resultado es otra oscilación armónica (M.A.S.) también de frecuencia angular w , con elongación y , amplitud Ay fase inicial ϕ0,

y = A sin(w t +ϕ0

)(4.3)

tal que,

A2 = A21 + A2

2 +2A1 A2 cosδ (4.4)

tanϕ0 = A1 sinϕ01 + A2 sinϕ02

A1 cosϕ01 + A2 cosϕ02(4.5)

en donde δ=ϕ1 −ϕ2 =ϕ01 −ϕ02 corresponde a la diferencia de fase inicial entre las oscilaciones armónicas quese superponen.

Método trigonométrico Las ecuaciones 4.1 y 4.2 se transforman en,

y1 = A1 sin w t cosϕ01 + A1 cos w t sinϕ01 (4.6)

y2 = A2 sin w t cosϕ02 + A2 cos w t sinϕ02 (4.7)

y por tanto,

y = y1 + y2 =(

A1 cosϕ01 + A2 cosϕ02)

sin w t + (A1 sinϕ01 + A2 sinϕ02

)cos w t (4.8)

30

Definiendo,

A sinϕ0 ≡(

A1 sinϕ01 + A2 sinϕ02)

(4.9)

A cosϕ0 ≡(

A1 cosϕ01 + A2 cosϕ02)

(4.10)

y reemplazando las ecuaciones 4.9 y 4.10 en la ecuación 4.8 se obtiene las mismas ecuaciones 4.3, 4.4 y4.5.

Método de la variable compleja Las ecuaciones de las oscilaciones a superponer se pueden escribir así,

y1 = A1 sin(w t +ϕ01

)= Im{

A1e i(w t+ϕ01)}= Re

{y1

}(4.11)

y2 = A2 sin(w t +ϕ02

)= Im{

A2e i(w t+ϕ02)}= Re

{y2

}(4.12)

en donde y1 y y2 corresponden a las variables complejas en donde y1 y y2 son su parte imaginaria deacuerdo a la maravillosa fórmula de Euler, e iθ = cosθ+ i sinθ.

Al sumar las ecuaciones 4.11 y 4.12 se obtiene,

y = Im{

y}= Im

{Ae i(w t+ϕ0)

}= Im

{y1 + y2

}= Im{[

A1e iϕ01 + A2e iϕ02]

e i w t}

(4.13)

en donde se define la amplitud compleja, A, como,

A ≡ Ae iϕ0 ≡ A1e iϕ01 + A2e iϕ02 (4.14)

y = Ae i w t (4.15)

y por lo tanto su módulo cuadrado es,

A2 = (A

)(A

)? =[

A1e iϕ01 + A2e iϕ02][

A1e iϕ01 + A2e iϕ02]?

A2 =[

A1e iϕ01 + A2e iϕ02][

A1e−iϕ01 + A2e−iϕ02]

A2 = A21 + A2

2 + A1 A2

[e i(ϕ01−ϕ02) +e−i(ϕ01−ϕ02)

]

A2 = A21 + A2

2 +2A1 A2 cos(ϕ01 −ϕ02

)que corresponde a la ecuación 4.4.

En la ecuación 4.4 al término 2A1 A2 cosδ se le denomina término de interferencia. Como puede de-ducirse de ese término, la amplitud del M.A.S. resultante varía dependiendo de la diferencia de fase inicial,obteniendo su máximo valor cuando δ = 0 (o equivalente), es decir cuando las oscilaciones que se super-ponen están en fase, en cuyo caso se denomina a este fenómeno interferencia constructiva y A = A1 + A2.Cuando la diferencia de fase es δ = π (o equivalente), es decir cuando las oscilaciones que se superponenestán en oposición, se obtiene la denominada interferencia destructiva, y A = |A1 − A2|. Ver figura 4.2.

31

Figura 4.2: Interferencia: constructiva y destructiva

Con frecuencias diferentes (Pulsaciones)

Sean las siguientes dos oscilaciones armónicas,

y1 = A1 sin(w1t +ϕ01

)(4.16)

y2 = A2 sin(w2t +ϕ02

)(4.17)

por simplicidad se supondrá que,ϕ01 =ϕ02 = 0 y que A1 = A2 = A. Empleando el método trigonométricose obtiene,

y = y1 + y2 = 2A cos[( w1 −w2

2

)t]

sin[( w1 +w2

2

)t]

Resultando,

y = Am sin(w

)t (4.18)

en donde Am = 2A cos(wm t ) se denomina amplitud modulada, wm es la frecuencia angular de modulación de laamplitud,

wm = |w1 −w2|2

(4.19)

y w corresponde al promedio de la frecuencia angular,

w = w1 +w2

2(4.20)

32

La energía asociada con esta oscilación, por ser proporcional al cuadrado de la amplitud (la energía deun oscilador es proporcional al cuadrado de la amplitud), debe variar entre máximos y mínimos con unafrecuencia que es el doble (la función cos2 x tiene doble frecuencia que la función cos x): es decir, la energíafluctúa con una frecuencia en Hz igual al doble de la frecuencia con que fluctúa la amplitud, o sea el doblede la frecuencia de modulación de la amplitud,

fp = | f1 − f2| (4.21)

en donde fp se conoce con el nombre de frecuecnia de pulsación o de palpitación.

Si las frecuencias difieren poco entre sí, es decir, wm << w1 y w ' w1 se obtiene para la elongación,

y = 2A cos(wm t )sin(w1t ) (4.22)

es decir, el movimiento resultante es una oscilación cuya frecuencia es prácticamente igual a la de lasoscilaciones individuales, con su amplitud variando periódicamente con la frecuencia fm y con la energíapulsando con la frecuencia fp .

Dos diapasones que generan oscilaciones de frecuencias ligeramente diferentes, generan un sonido queperiódicamente crece y decrece. Para una diferencia muy pequeña se pueden contar las "pulsaciones". Porejemplo si un diapasón oscila a 330 Hz y el otro a 325 Hz, el sonido resultante que se detectará es de 5pulsaciones por segundo.

Video 4.1 Pulsaciones en péndulos acoplados.

Video 4.2 Pulsaciones en péndulos acoplados.

Video 4.3 Pulsaciones entre oscilaciones eléctricas.

Video 4.4 Pulsaciones sonoras.

Simulación 4.2 Pulsaciones de dos osciladores débilmente acoplados.

Ejercicio 4.1 Encontrar la ecuación del movimiento resultante de la superposición de dos movimientosarmónicos simples cuyas ecuaciones son x1 = 6sin(2t ) y x2 = 8sin

(2t +ϕ0

)y decir si hay interferencia con-

structiva o destructiva, si: (a) ϕ0 = 0, (b) ϕ0 = π2 , (c) ϕ0 =π.

4.2 Superposición en direcciones de vibración ortogonales

En este caso las oscilaciones armónicas a superponer están en líneas perpendiculares; por ejemplo unaen dirección x y la otra en dirección y .

Aquí se puede utilizar la independencia lineal de los movimientos ortogonales. Es decir estudiarlos porseparado y luego componerlos vectorialmente.

Se estudiará primero el caso donde las frecuencias son iguales y luego el caso de frecuencias diferentes.

33

Con igual frecuencia (Polarización)

Los M.A.S a superponer son,

x = Ax sin(w t +ϕ0x

)(4.23)

y = Ay sin(w t +ϕ0y

)(4.24)

Eliminando el parámetro tiempo se obtiene la trayectoria seguida por la partícula que está simultane-amente bajo los dos movimientos descritos por esas dos ecuaciones. Estas últimas se pueden transformarasí,

x

Ax= sin w t cosϕ0x +cos w t sinϕ0x (4.25)

y

Ay= sin w t cosϕ0y +cos w t sinϕ0y (4.26)

Combinándolas: , (4.25)×sinϕ0y− (4.26)×sinϕ0x se obtiene,

x

Axsinϕ0y − y

Aysinϕ0x = sin w t sin

(ϕ0y −ϕ0x

)(4.27)

Combinándolas: , (4.25)×cosϕ0y− (4.26)×cosϕ0x se obtiene,

x

Axcosϕ0y − y

Aycosϕ0x =−cos w t sin

(ϕ0y −ϕ0x

)(4.28)

Combinando las dos últimas ecuaciones, (4.27)2+(4.28)2, se obtiene,

x2

A2x+ y2

A2y− 2x y

Ax Aycos

(ϕ0x −ϕ0y

)= sin2 (ϕ0x −ϕ0y

)x2

A2x+ y2

A2y− 2x y

Ax Aycosδ= sin2δ (4.29)

en donde δ=ϕ0x −ϕ0y corresponde a la diferencia de fase. Esta es la ecuación de una elipse que en general estarárotada respecto a los ejes x y .

En definitiva la trayectoria seguida por la partícula bajo la acción de dos fuerzas ortogonales,−→Fx =−kx

−→xy−→Fy =−ky

−→y , es una elipse o un caso particular de ella como una circunferencia o una recta. Esto dependeráde la diferencia de fase δ, figura 4.3 (en esta figura se debe tener en cuenta que δ = ϕ0x −ϕ0y y que el ejez sale ortogonalmente de la hoja). La elipse puede ser recorrida por la partícula en el sentido de las agujasdel reloj o en el sentido contrario. Esto se puede probar en la simulación que se presenta más adelante.Si es recorrida en el sentido en que la velocidad angular señale la parte positiva del eje z, se dirá que haypolarización elíptica (o circular si es del caso) levógira. En caso contrario será dextrógira.

A este fenómeno se le conoce con el nombre de polarizacón. Hay entonces: polarización elíptica dextrógiray levógira, polarización circular dextrógira y levógira. La trayectoria de la partícula también puede resultarrectilínea (caso particular de la elipse), en cuyo caso se dice que la polarización es lineal. Para definircompletamente el estado de polarización elíptico o circular, es necesario definir en que sentido gira lapartícula. Así mismo, para definir completamente el estado de polarización lineal, es necesario definir elángulo de inclinación de esta trayectoria. Estos conceptos son fundamentales para estudiar la polarización

34

Figura 4.3: Estados de polarización

de la luz y en general la polarización de las ondas electromagnéticas, fenómeno que tiene gran aplicaciónen la tecnología moderna de comunicaciones, entre muchas otras.

Ejercicio 4.2 Encontrar la ecuación de la trayectoria del movimiento resultante de la combinación de dosmovimientos armónicos simples perpendiculares cuyas ecuaciones son x = 4sin(πt )y y = 3sin

(πt +ϕ0

)cuando: (a) ϕ0 = 0, (b) ϕ0 = π

2 , (c) ϕ0 =π, (d) ϕ0 = 3π2 . Hacer un gráfico de la trayectoria de la partícula para

cada caso y señalar el sentido en cual se desplaza la partícula.

Con diferente frecuencia (Figuras de Lissajous)

Las oscilaciones a superponer son las siguientes,

x = Ax sin(wx t +ϕ0x

)(4.30)

y = Ay sin(wy t +ϕ0y

)(4.31)

En este caso si la relación entre las frecuenciaswy

wxes un número racional, la trayectoria seguida por la

partícula corresponderá a las denominadas figuras de Lissajous.

Video 4.5 Lissajous con oscilaciones eléctricas.

Video 4.6 Lissajous con luz láser modulada con espejos vibrando ortogonalmente.

Simulación 4.3 Figuras de Lissajous.

35

Figura 4.4: Señal cuadrada como una combinación de funciones seno

4.3 Análisis de Fourier

Gracias al teorema de Fourier, desarrollado por el matemático francés Fourier (1807-1822) y completadopor el matemático alemán Dirichlet (1829), es posible demostrar que toda función periódica continua, conun número finito de máximos y mínimos en cualquier período, puede desarrollarse como una combinaciónde senos y cosenos (armónicos).

Desde el punto de vista de la física, significa, que una oscilación que no es armónica se puede representarcomo una combinación de oscilaciones armónicas. Cada armónico (oscilación armónica presente) tendrásu propia amplitud, frecuencia y fase. El armónico fundamental es el de frecuencia más baja. Las frecuenciasde los demás armónicos serán múltiplos de esta. Además la periodicidad de la oscilación estará dada por elperíodo del armónico fundamental.

Un ejemplo es una oscilación cuyo cronograma es una señal cuadrada. La representación de ella comouna combinación de armónicos es la siguiente (figura 4.4):

y = sin[2π

(f)

t]+ 1

3sin

[2π

(3 f

)t]+ 1

5sin

[2π

(5 f

)t]+·· ·

Simulación 4.4 Análisis de Fourier.

36

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5OSCILACIONES FORZADAS

5.1 Oscilaciones amortiguadas

Las oscilaciones consideradas en los capítulos anteriores son de amplitud constante y se denominan os-cilaciones no amortiguadas. La constancia en la amplitud significa constancia en la energía; en la oscilaciónalternativamente la energía cinética se transforma en energía potencial y viceversa.

Cualquier fuerza de rozamiento es disipativa, es decir su trabajo disipa energía en forma de calor, o loque es lo mismo, se consume energía mecánica. Si esta pérdida no se compensa aportando energía desde elexterior, la amplitud se reduce constantemente: la oscilación es amortiguada .

Las fuerzas de rozamiento en medios fluidos se oponen a la velocidad, y a valores no muy altos de ésta,

son proporcionales a ella, es decir,−→fr = −b

−→V . Aquí b es la constante de proporcionalidad y depende de la

viscosidad del fluido y de la geometría del cuerpo: en el caso de una esfera, b = 6πRη siendo η la viscosidad delmedio fluido y R el radio (esta es conocida como la ley de Stockes).

Supóngase por ejemplo, el sistema masa-resorte sumergido en un medio viscoso (aire, aceite, ...). En lafigura 5.1 se ilustra este sistema sumergido en un fluido de baja viscosidad, de tal forma que logre oscilar. Enla figura 5.1 A se ilustra el resorte con su longitud original; en la figura 5.1 B el sistema con la masa acopladay en situación de equilibrio dentro del medio viscoso; en la figura 5.1 C la masa se ha retirado de la posiciónde equilibrio.

En la figura 5.2 se ilustran los diagramas de fuerzas para la masa, en las situaciones B (equilibrio) y C (no

equilibrio):−→E corresponde a la fuerza Arquimediana, kξ y k

(ξ+ y

)corresponden a la fuerza Hookeana y fr

corresponde a la fuerza de rozamiento.Aplicando la primera ley de Newton, en la situación de equilibrio (B), se obtiene,

+ ↓∑Fy = 0 ⇒ mg −E −kξ= 0 (5.1)

si se define como peso aparente, Pa = mg −E , la ecuación anterior toma la forma,

Pa = kξ (5.2)

Aplicando la segunda ley de Newton, en la situación de no equilibrio (C), se obtiene,

+ ↓∑Fy = my

Pa −k(ξ+ y

)− fr = my (5.3)

37

Figura 5.1: Sistema masa-resorte sumergido en un fluido

Figura 5.2: Diagramas de fuerzas sobre la masa en el sistema masa-resorte sumergido en un fluido

38

Figura 5.3: Oscilador forzado

como Pa = kξ y fr = by la ecuación se reescribe así,

y + b

my + k

my = 0 (5.4)

que corresponde a la ecuación diferencial del oscilador armónico amortiguado. En ella se define como

constante de amortiguamiento a γ = b2m . Además w =

√km es la frecuencia angular propia con la cual os-

cilaría el sistema sin amortiguamiento. Con base en esto la ecuación se puede escribir así,

y +2γy +w2 y = 0 (5.5)

Sólo, en el caso en que γ < w , habrá oscilación. La oscilación en este caso, es tal que su amplituddecrece exponencialmente, y aunque el movimiento ya no es periódico, si es aproximadamente isocróni-co. Cada oscilación se hace en el mismo tiempo, pero con menos amplitud y con una frecuencia angular,w ′ =

√w2 −γ2, donde w ′ < w . A estas oscilaciones se les denomina subamortiguadas, y la solución de la

ecuación diferencial es,

y = Ae−γt sin(w ′t +ϕ0

)(5.6)

Simulación 5.1 Oscilaciones amortiguadas.

5.2 Oscilaciones forzadas

En la oscilaciones amortiguadas, se observó que para bajos rozamientos, el sistema oscilante se amor-tiguaba exponencialmente.

Si se desea que la partícula mantenga la oscilación se le debe entregar energía. La mejor forma de hacerloes mediante una fuerza externa oscilante (imaginarse "columpiando" a un niño). En la figura 5.3 se ilustraun sistema físico que puede oscilar forzadamente. Lo componen un amortiguador, un resorte y una masa.

El diagrama de fuerzas de la masa está ilustrado en la figura 5.4.Si se supone que la fuerza externa tiene la forma, f (t ) = f0 sin

(w f t +ϕ0

), y que la fuerza de rozamiento

(viscosa) tiene la forma, fr =−bx , se obtiene aplicando la segunda ley de Newton,

+→∑Fx = mx

x +2γx +w2x = f0

msin

(w f t +ϕ0

)(5.7)

39

Figura 5.4: Diagrama de fuerzas en el oscilador forzado

en donde w f corresponde a la frecuencia angular del la fuerza oscilante externa, f0 la amplitud de dicha

fuerza, γ= b2m la constante de amortiguamiento y w =

√km la frecuencia propia del oscilador (recordar que

la constante del oscilador armónico es , k = mw2).

La solución corresponde a una superposición de la solución a la ecuación diferencial homogénea (xh),con una solución particular (xp ) :

x = xh +xp (5.8)

La solución de la homogénea corresponde a la del oscilador amortiguado,

xh = Ae−γt sin(w ′t +β0

)(5.9)

donde w ′ =√

w2 −γ2 y donde la amplitud A y la fase inicial β0 dependen de las condiciones iniciales dela oscilación.

La solución de la homogénea se denomina transitoria ya que a medida que avanza el tiempo va decayen-do en forma exponencial hasta anularse. En definitiva permanece la solución xp , a la cual se denominasolución estacionaria.

La solución particular, que se asumirá oscilante es,

x = xp = Ap sin(w f t +ϕ0 −δ

)(5.10)

con,

Ap = F0

m

√(w2 −w2

f

)2 +4γ2w2f

(5.11)

tanδ= 2γw f

w2 −w2f

(5.12)

donde la amplitud Ap y la fase δ no dependen de las condiciones iniciales sino de que tan cerca seencuentren las frecuencias w y w f . Se observa además que δ corresponde a la diferencia de fase entre laelongación y la fuerza externa oscilante.

40

Figura 5.5: Amplitud vs Frecuencia de la fuerza externa

Estudio de situaciones especiales en el estado estacionario

De lo explicado en el párrafo anterior se deduce que el sistema siempre termina oscilando con la frecuen-cia del agente externo, w f . Es decir la respuesta del sistema que permanece es simplemente la particular,

x = Ap sin(w f t +ϕ0 −δ

)(5.13)

Resonancia en la amplitud Surge la siguiente pregunta: ¿Para qué valores de la frecuencia externa se ob-tiene el máximo valor en la amplitud? A esta situación se le conoce con el nombre de resonancia en la am-plitud . Para responder a esta pregunta se debe calcular los puntos críticos de la ecuación 5.11,

d Ap

d w f= 0

w f =√

w2 −2γ2 (5.14)

Evaluando la segunda derivada en este punto crítico se obtiene,

d 2 Ap

d w2f

∣∣∣w f =

pw2−2γ2 < 0

Es decir, en w f =√

w2 −2γ2, hay máxima amplitud Ap , que es:

(Ap

)máx =

(F0m

)2γ

√1+w2

f

(5.15)

En el caso ideal de que no existiese la fuerza de amortiguamiento, γ = 0, la amplitud de la oscilaciónforzada se haría muy grande, tendería a infinito, y la frecuencia w f de la fuerza oscilante es igual a la fre-cuencia propia del oscilador w

En la figura 5.5, se muestra la amplitud vs la frecuencia de la fuerza externa, en estado estacionario.Como se observa en la gráfica, la amplitud de la oscilación forzada en el estado estacionario disminuye

rápidamente cuando la frecuencia w f de la fuerza oscilante externa se hace mayor que la frecuencia propiade la fuerza recuperadora del oscilador w .

41

Ejercicio 5.1 Demostrar la ecuación 5.14.

Resonancia en la energía Otra pregunta que surge es la siguiente: ¿Para qué valores de la frecuencia exter-na w f se obtiene el máximo valor en la amplitud de velocidad? A esta situación se le conoce con el nombrede resonancia en la energía. Para responder a esta pregunta se debe tener en cuenta que la velocidad deloscilador forzado en el estado estacionario es,

Vx = w f Ap cos(w f t +ϕ0 −δ

)(5.16)

Por tanto la amplitud de la velocidad es igual,

V0 = w f Ap = w f f0

m

√(w2 −w2

f

)2 +4γ2w2f

En w f = w , hay un máxmo en la amplitud de velocidad, es decir también hay un máximo en la energíacinética, lo que se denomina resonancia en la energía cinética.

Ejercicio 5.2 Demostrar que si w f = w , V0 es máximo.

De la ecuación 5.12, se deduce que cuando hay resonancia en la energía cinética, δ= π2 , es decir en esta-

do estacionario, en resonancia en la energía, la velocidad y la fuerza externa f = f0 sin(w f t +ϕ0

)oscilante

están en fase:

Vx = w f Ap cos(w f t +ϕ0 − π

2

)= w f Ap sin

(w f t +ϕ0

)Cuando la constante de amortiguamiento es pequeña (γw 0) y hay resonancia en la energía w f = w se

da simultáneamente la resonancia en la amplitud.

Simulación 5.2 Oscilaciones forzadas.

Algo más sobre el fenómeno de resonancia El fenómeno de resonancia es muy importante para explicarmuchos avances tecnológicos como: la televisión, la radio, los espectros de la luz, la construcción de edificiossismoresistentes, el laser, las cajas de resonancia en los instrumentos musicales, ...

Un ejemplo clara del fenómeno de resonancia es el desafortunado colapso del puente de Tacoma: en elaño de 1940 en un puente en Tacoma, EUA, unos meses después de haber sido completado, un temporalazotó la región, y una de las componentes de la fuerza del viento fue de frecuencia justamente igual a unade las frecuencias características del puente (más exactamente fue debido a los efectos periódicos de laturbulencia del aire generada en el puente). El puente entró en resonancia con el viento y empezó a oscilarcon una amplitud muy grande que lo destruyó. Este hecho es general: si un sistema mecánico entra enresonancia puede ocurrir que se destruya.

Video 5.1 Caída del puente de Tacoma por el efecto de la resonancia (un famoso desastre de la ingeniería).

Video 5.2 Resonancia en un oscilador mecánico.

Video 5.3 Péndulos resonando.

42

Video 5.4 Resonancia en varillas en voladizo (cantilever).

Video 5.5 Haciendo cantar copas.

Video 5.6 Figuras de Cladni en placa circular

Video 5.7 Figuras de Cladni en placa rectangular

Promedio de la potencia recibida en estado estacionario El sistema físico recibe energía de la fuerza os-cilante externa. La potencia recibida en estado estacionario es,

Pr eci bi d a =(−→

f)•(−→Vx

)= f Vx

Pr eci bi d a = [f0 sin

(w f t +ϕ0

)][w f Ap cos

(w f t +ϕ0 −δ

)]promediando en un período de oscilación P ,

P r eci bi d a = 1

P

∫ P

0(Pr eci bi d a)d t = 1

2f0w f Ap sinδ

P r eci bi d a = 1

2f0w f

f0

m

√(w2 −w2

f

)2 +4γ2w2f

2γw f√(

w2 −w2f

)2 +4γ2w2f

P r eci bi d a =f 2

0 γw2f

m

[(w2 −w2

f

)2 +4γ2w2f

] (5.17)

Promedio de la potencia disipada en estado estacionario El sistema físico disipa energía debido al trabajorealizado por la fuerza de amortiguamiento,

Pdi si pad a =(−→

fr

)•(−→Vx

)=

(−b

−→Vx

)•(−→Vx

)=−bV 2

x

Pdi si pad a =−bw2f A2

p cos2 (w f t +ϕ0 −δ

)P di si pad a =−1

2

(2mγ

)w2

f A2p

P di si pad a =−f 2

0 γw2f

m

[(w2 −w2

f

)2 +4γ2w2f

] (5.18)

En el estado estacionario, el valor medio de la energía por unidad de tiempo suministrada por la fuerzaexterna oscilante, es igual al valor medio de la energía por unidad de tiempo que disipa el oscilador a causade su interacción con el medio que le rodea. De esta forma se mantiene la energía del oscilador forzadoconstante en valor medio.

43

Caso 1 w f << w Ap wf0

mw2 tanδw+0 ⇒ δw 0 x = f0

mw2 sin(w f t +ϕ0

)Caso 2 w f >> w Ap w

f0

mw2f

tanδw−0 ⇒ δwπ x = f0

mw2f

sin(w f t +ϕ0 +π

)Caso 3 w f ww Ap w

f0

bw2f

tanδ→∞⇒ δ→ π2 x = f0

bw fsin

(w f t +ϕ0 + π

2

)Tabla 5.1: Aproximaciones

En resonancia de energía la potencia obtiene su mayor valor promedio,

P r eci bi d a = 1

2f0w f Ap (5.19)

que corresponde al valor máximo de energía recibida por el oscilador. Es decir, en resonancia de energía(w f = w ), la fuerza oscilante externa realiza la máxima transferencia de potencia al sistema.

Resumen Cuando un oscilador es forzado por una fuerza oscilante externa:

El oscilador termina oscilando con la frecuencia del agente externo (de la fuerza oscilante externa).

Al comienzo del forzamiento, el oscilador entra en un transiente. No "sabe" cómo acomodarse a lavibración que le están imponiendo, que generalmente es a una frecuencia que no es la propia.

Si la frecuencia de la fuerza oscilante externa es igual a la frecuencia propia del oscilador (o al menosestá muy cerca), éste adquiere oscilaciones de muy buena amplitud y a este estado se le denominaRESONANCIA.

En resonancia, la fuerza oscilante externa y la velocidad del oscilador quedan en fase, permitiendomáxima transferencia de energía en la unidad de tiempo (máxima potencia).

Una discusión interesante

En un parágrafo atrás, se ilustró que la solución de la ecuación diferencial del oscilador armónico forzadoes,

x = Ap sin(w f t +ϕ0 −δ

)(5.20)

con Ap y δ dadas por las ecuaciones 5.11 y 5.12.Se discutirá los siguientes casos especiales: w f << w , w f >> w y w f ww .Analizando la ecuación de la dinámica del oscilador forzado,

mx +bx +kx = f0 sin(w f t +ϕ0

)(5.21)

según la solución, se tiene para las derivadas,

x = w f Ap cos(w f t +ϕ0 −δ

)(5.22)

x =−w2f Ap sin

(w f t +ϕ0 −δ

)(5.23)

considerando que el orden de magnitud de las funciones seno y coseno es uno y que todos los términosde la ecuación 5.21 los contienen como factores. Por lo tanto, se puede decir que los ordenes de magnitudpara los términos del miembro izquierdo de dicha ecuación son los siguientes,

44

Para la fuerza de inercia,mx wmw2

f Ap (5.24)

Para la fuerza amortiguadora,bx ' bw f Ap (5.25)

Para la fuerza recuperadora,kx ' k Ap (5.26)

Estos tres términos deben compensar la fuerza externa oscilante cuyo orden de magnitud es f0. Con baseen esto se puede concluir:

Caso 1 w f << w La fuerza de inercia y la fuerza amortiguadora son despreciables frente a la fuerza re-cuperadora. En este caso la fuerza externa oscilante se compensa con la fuerza recuperadora. El sistemaes estirado y distendido por la fuerza exterior de forma “cuasiestática” , sin tener en cuenta la masa ni elrozamiento. Los efectos de inercia y rozamiento son pequeños por que las aceleraciones y velocidades sonpequeñas. No existe diferencia de fase entre la elongación y la fuerza oscilante, δ= 0. Esto corresponde a lasolución,

x = f0

ksin

(w f t +ϕ0

)(5.27)

tal y como se dedujo en la tabla ya, tabla 5.1.En cuanto a la absorción de energía del sistema: la fuerza exterior solamente aporta energía al cuerpo

cuando se mueve en la misma dirección que la velocidad (potencia positiva). Por lo tanto el sistema absorbeenergía en el primer y cuarto cuarto del periodo, mientras que en el segundo y tercero, donde la fuerzay velocidad son antiparalelas, devuelve la misma cantidad. Es decir la recepción de potencia total por elsistema es nula en un periodo.

Caso 2 w f >> w La fuerza amortiguadora y la fuerza recuperadora son despreciables frente a la fuerza deinercia. En este caso la fuerza externa oscilante se compensa con la fuerza de inercia. El sistema es "cuasili-bre". La aceleración y la fuerza están en fase, δ=π . Esto corresponde a la solución,

x = f0

mw2f

sin(w f t +ϕ0 +π

)(5.28)

tal y como se dedujo en la tabla ya, tabla 5.1.En cuanto a la absorción de energía del sistema: En el primer y cuarto cuarto del periodo, la fuerza y la

velocidad son antiparalelas y el sistema cede energía; en el segundo y tercer cuarto del periodo absorbe lamisma cantidad. El efecto total en un periodo vuelve a ser nulo.

Caso 3 w f w w La fuerza de inercia se compensa con la fuerza recuperadora. Por tanto la fuerza externaoscilante se compensa con la fuerza amortiguadora. Esto corresponde a la solución,

x = f0

bw fsin

(w f t +ϕ0 + π

2

)(5.29)

tal y como se dedujo en la tabla ya, tabla 5.1.En cuanto a la absorción de energía del sistema, como la velocidad estará en fase con la fuerza oscilante,

el sistema absorberá potencia constantemente. Sin embargo como se demostró arriba, ecuación 5.19, elsistema disipará esa misma cantidad de energía: hay equilibrio energético entre lo que entra de energía porunidad de tiempo y lo que sale.

45

CA

PÍ

TU

LO

6OSCILACIONES ELECTRICAS

6.1 Circuitos LC : Oscilaciones eléctricas

El equivalente mecánico del circuito LC (L: Inductancia, C : Capacitancia) son las oscilaciones de unsistema masa-resorte.

En primer lugar, se estudiará las oscilaciones que se producen en un circuito LC , figura 6.1.

La diferencia de potencial entre las placas de un condensador es igual a,

Vc = q

C(6.1)

Para aplicar la ley de Kirchoff de las mallas, es necesario adoptar una convención para el signo de estadiferencia de potencial. Para comprender esto, se debe pensar que es claro que transportar una carga pos-itiva desde la terminal negativa a la terminal positiva debe representar un aumento en la energía potencialdel circuito, es decir la diferencia de potencial es positiva. Recorrer el condensador en la dirección opuestadaría lugar a una disminución de la energía potencial, es decir una diferencia de potencial negativa. En elcaso de la situción instantánea de la figura 6.1, debe deducirse que para el sentido de corriente ilustrado,

Vc =− q

C(6.2)

Para el caso de la diferencia de potencial en la bobina de inductancia L, se tiene que,

VL =−Ldi

d t(6.3)

Figura 6.1: Circuito LC

47

ya que la inductancia en la bobina es una medida de la inercia de éste; es decir a mayor inductancia, serámás complicado cambiar la corriente que circula en el circuito. Si la corriente va en aumento,

di

d t> 0 (6.4)

y

VL ,0 (6.5)

lo que corresponde a una caída de potencial entre a y b a través del inductor. Por esta razón, el punto atiene mayor potencial que el punto b, como se ilustra en la figura 6.1.

Aplicando la ley de las mallas de Kirchoff,

Vc +VL = 0 (6.6)

se obtiene,

− q

C−L

di

d t= 0 (6.7)

Como i = d q/d t , llegamos a la siguiente ecuación diferencial de segundo orden,

d 2q

d t 2 + 1

LCq = 0 (6.8)

Esta ecuación diferencial describe un Movimiento Armónico Simple (M.A.S.) de frecuencia angular propiao natural,

w = 1pLC

(6.9)

La solución de la ecuación diferencial es,

q =Q sin(w t +ϕ0

)(6.10)

donde la amplitud Q y la fase inicial ϕ0 se determinan a partir de las condiciones iniciales: la carga delcondensador q y la intensidad de la corriente eléctrica en el circuito d q/d t en el instante inicial t = 0.

La energía del circuito en el instante t es la suma de la energía almacenada en campo eléctrico en elcondensador más la energía almacenada en el campo magnético en la bobina,

E = Eel éctr i ca +Emag nét i ca = 1

2

q2

C+ 1

2Li 2 (6.11)

La energía almacenada en la bobina tiene "naturaleza" de energía cinética, y la almacenada en el con-densador, tiene "naturaleza" de energía potencial. Esto se concebirá con mayor claridad un poco más ade-lante, donde se hará una analogía mecano-electromagnética entre un sistema masa-resorte y un circuitooscilante LC.

Una breve descripción de este proceso cada cuarto de período, es la siguiente,

Inicialmente el condensador está completamente cargado con una carga Q . Toda la energía está al-macenada en el campo eléctrico existente entre las placas del condensador.

48

Figura 6.2: Circuito RLC

El condensador se empieza a descargar, la corriente aumenta y en la bobina se produce una fem(fuerza electromotriz) autoinducida que se opone al incremento de la corriente. Al cabo de un cuartode periodo, se alcanza la corriente máxima,

imáxi ma =Q w (6.12)

La corriente empieza a disminuir y en la bobina se produce una fem que se opone a que la corrientedisminuya. El condensador se empieza a carga y, el campo entre las placas del condensador cambiade sentido. Al cabo de un cuarto de periodo más, el condensador ha adquirido la carga máxima Q , yla corriente en la bobina se ha reducido a cero.

Ahora comienza de nuevo a descargarse el condensador, la corriente aumenta, el campo en la bobinacambia de sentido. Al cabo de un cuarto de periodo más, la corriente alcanza su valor máximo.

La corriente decrece, el condensador empieza a cargarse, el campo eléctrico entre las placas del con-densador cambia de sentido. Al cabo de un cuarto de periodo más, se ha alcanzado la situación inicial.

6.2 Circuitos RLC : Oscilaciones eléctricas amortiguadas

Las oscilaciones libres no se producen en un circuito habitual ya que todo circuito presenta una resisten-cia, figura 6.2.

Aplicnado la ley de las mallas de Kirchoff,

VR +Vc +VL = 0 (6.13)

como i = d qd t ,

d 2q

d t 2 + R

L

d q

d t+ 1

LCq = 0 (6.14)

que corresponde a la ecuación diferencial de las oscilaciones amortiguadas, cuya solución es,

q =Qe−γ t sin(w ′t +ϕ0

)(6.15)

con, w ′ =√

w2 −γ2 y γ = R2L . La amplitud Q y la fase inicial ϕ0 se determinan a partir de las condi-

ciones iniciales: la carga del condensador q y la intensidad de la corriente eléctrica d q/d t en el circuito enel instante inicial t = 0.

En las oscilaciones amortiguadas la amplitud disminuye exponencialmente con el tiempo. La carga máx-ima del condensador va disminuyendo. La energía del sistema disminuye debido a que se disipa en la re-sistencia por efecto Joule.

En el caso en que γ = w , o que γ > w , no habrá oscilaciones. Corresponden respectivamente al amor-tiguamineto crítico y al sobreamortiguamiento.

49

Figura 6.3: RLC forzado

6.3 Oscilaciones eléctricas forzadas

Las oscilaciones amortiguadas desaparecen al cabo de cierto tiempo. Para mantener la oscilación en elcircuito es necesario conectarlo a una fem alterna de frecuencia w , figura 6.3.

La ecuación del circuito es,

VR +Vc +VL =V0 sin(w f t +ϕ0

)−Ri − q

C−L

di

d t=V0 sin

(w f t +ϕ0

)Como i =−d q/d t , si la carga q disminuye con el tiempo, se obtiene la siguiente ecuación diferencial de

segundo orden,

d 2q

d t 2 + R

L

d q

d t+ 1

LCq = V0

Lsin

(w f t +ϕ0

)(6.16)

Ecuación similar a la estudiada para describir las oscilaciones forzadas en un sistema masa-resorte.

6.4 Antenas: radio y televisión

Formalmente una antena se define como un dispositivo que sirve para transmitir y recibir ondas deradio. Convierte la onda guiada por la línea de transmisión (el cable o guía de onda) en ondas electromag-néticas que se pueden transmitir por el espacio libre. A su vez esta ondas pueden ser absorbidas por otrodispositvo de estos.

Las antenas están hechas de alambre ó tubos de metal, asi que tienen inductancia (L) y resistencia (R).La antena tiene capacitancia (C ), debido a la cercanía con la tierra y los objetos a sus alrededor, incluyendolos soportes, como: la torre y la cama que la sustenta .

En la figura 6.4se ilustra una antena dipolo radiando ondas electromagnéticas.En la figura se ilustra el proceso de sintonización (resonancia) del radio o la televisión. Variando la ca-

pacitancia del circuito RLC receptor (antena receptora), se logra variar su frecuencia de resonancia, permi-tiendo sintonizar la emisora (onda) deseada. Las ondas de las emisoras se están transmtiendo por el espaciolibre y generan oscilaciones forzadas de los electrones en la antena receptora. Es decir, estas ondas hacen elpapel de la fuente de corriente alterna ilustrada en el parágrafo anterior.

6.5 Analogía mecano-electromagnética

Ver la tabla 6.1.

50

Figura 6.4: Antena dipolo emisora (radiando)

Figura 6.5: Antena dipolo receptora

Sistema mecánico (Sistema masa-resorte) Sistema electromagnético (Circuito RLC )m: masa L: Inductancia

x: Elongación q : Carga eléctricaVx : Velocidad i : Corriente eléctrica

k: constante de rigidez 1C

Frecuencia angular propia: w =√

km Frecuencia angular propia: w = 1p

LCEnergía Cinética:K = 1

2 mV 2x Energía Magnética:Emag n = 1

2 Li 2

Energía Potencial:U = 12 kx2 Energía Eléctrica:Eel ect = 1

21C q2

Tabla 6.1: Analogía mecano-electromagnética

51