Diferansiyel Not

DFERANSYEL DENKLEMLER

Mhendisler in

Do. Dr. Tahsin Engin

Sakarya niversitesi Makina Mhendislii Blm

Haziran 2008 SAKARYA

-1Mhendisler in Diferansiyel Denklemler Do.Dr. Tahsin ENGN

NDEKLERBLM 1 BRNC MERTEBEDEN DFERANSYEL DENKLEMLER 1.1. GR 1.2. BAZI TEMEL TANIMLAMALAR 1.3. DFERANSYEL DENKLEMLERN ZMLER 1.4. DFERANSYEL DENKLEMLERN DORUDAN NTEGRAL YOLUYLA ZMLER 1.5. PROBLEMLER BLM 2 BRNC MERTEBEDEN LNEER DFERANSYEL DENKLEMLER 2.1. GR 2.2. BRNC MERTEBE DFERANSYEL DENKLEMLERE GENEL BAKI 2.3. BRNC MERTEBE LNEER DFERANSYEL DENKLEMLER 2.4 LNEER OLMAYAN BRNC MERTEBEDEN DFERANSYEL DENKLEMLER 2.4.1. Deikenlerine Ayrlabilir Tipte Birinci Mertebeden Denklemler 2.4.2. Homojen Tipte Birinci Mertebeden Denklemler 2.4.3. Tam Diferansiyel Denklemler 2.4.4. Baz zel Tip Diferansiyel Denklemler 2.5. BRNC MERTEBEDEN DENKLEMLER N SSTEMATK YAKLAIM 2.6. BRNC MERTEBEDEN LNEER DFERANSYEL DENKLEMLERN MHENDSLK UYGULAMALARI 2.7. PROBLEMLER BLM 3 KNC MERTEBEDEN LNEER DFERANSYEL DENKLEMLER 3.1 GR 3.2. LNEER BAIMSIZLIK VE WRONSKIAN FONKSYONLARI 3.3. HOMOJEN DENKLEMLER TEORS 3.4. SABT KATAYILI HOMOJEN DENKLEMLER 3.5. HOMOJEN OLMAYAN DENKLEMLER TEORS 3.6. HOMOJEN OLMAYAN DENKLEMLER; BELRSZ KATSAYILAR YNTEM 3.7. HOMOJEN OLMAYAN DENKLEMLER: SABTN DEM METODU 3.8 EULER DENKLEMLER 3.9. KNC MERTEBEDEN SABT KATSAYILI LNEER DFERANSYEL DENKLEMLERN MHENDSLK UYGULAMALARI 3.10. PROBLEMLER BLM 4 YKSEK MERTEBEL DFERANSYEL DENKLEMLER 4.1. GR 4.2. HOMOJEN DENKLEMLER TEORS 4.3. SABT KATSAYILI HOMOJEN DENKLEMLER 4.4. HOMOJEN OLMAYAN DENKLEMLER TEORS 4.5. HOMOJEN OLMAYAN DFERANSYEL DENKLEMLER: BELRSZ KATSAYILAR METODU 4.6 HOMOJEN OLMAYAN DENKLEMLER: SABTN DEM METODU 4.7 EULER DENKLEMLER 4.8. PROBLEMLER-2Mhendisler in Diferansiyel Denklemler Do.Dr. Tahsin ENGN

BLM 5 LAPLACE DNM 5.1. LAPLACE DNM 5.2. LAPLACE DNMNN TEMEL ZELLKLER 5.3. TREVN VE DFERANSYEL DENKLEMLERN LAPLACE DNMLER 5.4. TERS LAPLACE DNM 5.5. DFERANSYEL DENKLEMLERN LAPLACE DNM LE ZM 5.6. KONVOLSYON TEOREM 5.7. PROBLEMLER BLM 6 SABT KATSAYILI LNEER DFERANSYEL DENKLEMLERN SERLER YARDIMIYLA ZM 6.1. GR 6.2. KUVVET SERLERNN GZDEN GERLMES 6.3. KUVVET SERLER LE ZM 6.4. AD VE TEKL NOKTALAR 6.5. AD BR NOKTA CVARINDA KUVVET SERS ZM 6.6. LEGENDRE DENKLEM VE LEGENDRE POLNOMLARI 6.7. BESSEL DENKLEM VE BESSEL FONKSYONLARI 6.8. PROBLEMLER BLM 7 LNEER DFERANSYEL DENKLEM SSTEMLERNN ZM 7.1. GR 7.2. LNEER DFERANSYEL DENKLEM SSTEMLERNN ELMNASYON YNTEM LE ZM 7.3. ZDEER YNTEM LE ZM 7.4. LNEER DFERANSYEL DENKLEM SSTEMLERNN MHENDSLK UYGULAMALARI BLM 8 DFERANSYEL DENKLEMLERN SAYISAL ZM 8.1. GR 8.2. SAYISAL NTEGRAL ALMA 8.3. EULER YNTEM 8.4. TAYLOR SERS YNTEM 8.5. RUNGE-KUTTA YNTEM


1. BLM BRNC MERTEBEDEN DFERANSYEL DENKLEMLER

1.1. GR Diferansiyel denklemler uzun yllardr, dnyada ou fiziksel bilimler ve mhendislik dallarnda nemli bir yer tutmaktadr. Bilim adamlar ve mhendisler genellikle deiime urayan sistemleri incelerler ve diferansiyel denklemler mhendislere bir sistemdeki anahtar deikenlerin deiimini inceleme ve fiziksel olay daha iyi anlama olana getirir. Bilim ve matematik rencilerine ynelik matematik retimi uzun sredir bilim ve mhendislik faklteleri arasnda bir anlamazlk konusu olmutur. Bilim ve mhendislik faklteleri rencilerin teorik matematikle aralarnn ok da iyi olmad konusunda hemfikirlerdir. Zira bu tarz retim rencilerin problem zme becerilerini gelitirebilmelerine yardmc olamamaktadr. Bu uygulama ou niversitede bu dersten baarszlk orann % 50lere kadar karmtr. Bu ise doa bilimleri ve mhendislik blmleri iin nemli bir kayptr. Bu tartma ve anlamazlk genellikle matematik renimi gren rencilerle doa bilimleri ve mhendislik renimi gren rencilere farkl ierikli derslerin olumasyla sonulanmtr. Bylece doa bilimleri ve mhendislik faklteleri rencilerine kendi disiplinleri ierisinde karlatklar problemleri zebilmeleri iin matematik derslerini kendileri verme yolunu benimsemilerdir. Diferansiyel denklemleri cebirsel denklemlerden ayran en nemli zellik fonksiyon trevleri iermeleridir. Diferansiyel denklemlerin incelenmesi iyi bir matematik altyaps gerektirir ve dolaysyla rencilerin bu derse balamadan nce baml ve bamsz deiken, srekli ve sreksiz fonksiyon, adi ve ksmi trevler, farklar ve artrmlar ile integral gibi temel konular gzden geirmeleri kesinlikle nerilir. 1.2. BAZI TEMEL TANIMLAMALAR Bir ya da daha fazla fonksiyonun trevlerini ieren denklemlere diferansiyel denklem diyoruz. Dier bir ifadeyle diferansiyel denklem bir takm fonksiyonlar ile bunlarn trevleri arasndaki ilikiyi temsil eder. Bu kavram ilk olarak 1676 ylnda Leibniz tarafndan kullanld ve diferansiyel denklemler uzun zamandr ok eitli pratik problemin modellenmesi ve zlmesi iin bilim adamlar ve mhendisler tarafndan kullanlmaktadr. ou bilimsel problemlerin tarif edilmesi baz anahtar deikenlerin dier deikenlere gre olan deiimlerini ierir. Genellikle bu deikenlerdeki ok kk deiimlerin dikkate alnmas daha genel ve hassas bir tanmlama salar. Deikenlerin sonsuz kk veya diferansiyel deiimlerinin dikkate alnmas durumunda, deiim hzlarn trevlerle ifade etmek suretiyle, fiziksel prensip ve kanunlar iin kesin matematiksel formlasyonlar salayan diferansiyel denklemler elde edilir. Bu yzden diferansiyel denklemler uzun zamandr doa bilimleri ve mhendislikte karlalan ok farkl problemlere baaryla uygulanmaktadr. Aratrmalar, diferansiyel denklemlerin yeni uygulamalarn kefetmeye sadece fiziksel bilimlerde deil ayn zamanda biyoloji, tp, istatistik, sosyoloji, psikoloji ve ekonomi gibi alanlarda da devam etmektedirler. Hem teorik hem de uygulamal diferansiyel denklem aratrmalar gnmzde ok aktif aratrma konular arasnda bulunmaktadr. Fiziksel kanun ve prensiplerin, gz nne alnan deikenlerdeki sonsuz kk deiimleri dikkate almak suretiyle, bir probleme uygulanmasyla diferansiyel denklemler elde edilmektedir. Dolaysyla diferansiyel denklemin elde edilmesi problem hakknda yeterli bilgi sahibi olmay, probleme dahil olan deikenleri belirleyebilmeyi, uygun basitletirmeler-4Mhendisler in Diferansiyel Denklemler Do.Dr. Tahsin ENGN

ve varsaymlar yapabilmeyi, kullanlacak fiziksel prensip ve kanunlar bilmeyi ve de dikkatli bir analiz yapabilmeyi gerektirir. Aada baz rnekler verilmitir. rnek 1-1 Newtonun hareket yasas Newtonun ikinci kanununu kullanarak dz bir izgi boyunca F kuvvetinin etkisi altnda hareket eden m ktleli bir cismin konumunu s tanmlayan diferansiyel denklemi elde ediniz. zm Dinamik derslerimizden hz ve ivme tanmlarnn ds V= dt dV d ds d 2 s a= = = dt dt dt dt 2 olarak verildiini biliyoruz. Newtonun ikinci kanunu Kuvvet = Ktle vme eklinde ifade edildiinden d 2s F ( t ) = m a( t ) = m 2 dt yazlabilir. Dzenleme yaplrsa d 2s F( t ) = diferansiyel denklemi elde edilir. m dt 2 rnek 1-2 Newtonun souma kanunu Balangta belirli scakla sahip kresel metal bir cisim scakl T0 olan scak su ierisine braklyor. Cismin balang scakl su scaklndan dk ise, cisme s transferi balayaca bilinmektedir. Buna gre cismin herhangi bir t annda scakln T(t) veren diferansiyel denklemi belirleyiniz. zm Suyun bulunduu kab mkemmel ekilde yaltlm dnelim (evreye s kayb yok) ve buna gre enerjinin korunumu prensibini uygulayalm. Cisim scak suya brakldktan t sre sonra cismin enerjisindeki art, cismin yzeyinden cisme tanmla (konveksiyon) geen s enerjisi kadar olacaktr. Buna gre mcT = hA(T ( t ) T0 )t elde ederiz. Her iki taraf tye blersek T hA (T ( t ) T0 ) = t mc Zaman dilimini sonsuz kk aldmzda (limit durumunda, yani t0) dT ( t ) hA (T ( t ) T0 ) = dt mc diferansiyel denklemi elde edilir. Bu denklem kresel cismin scakln zamann fonksiyonu olarak ifade etmektedir. Diferansiyel denklemler fiziksel olay, bamsz deiken(ler)in belirli bir aralktaki deerleri iin tanmlayabilir. rnein bu denklem kresel cismin merkezinden yzeyine kadar olan scaklk deiimini tanmlar, bu snrlarn dnda geersizdir. Ayrca denklem, cismin scak suya daldrld andan itibaren (t=0) scakln verir ve dolaysyla elde edilecek zm 0 t aralnda geerli olacaktr. Bir ya da daha fazla baml deikenin tek bir deikene gre adi trevlerini ieren diferansiyel denklemlere Adi Diferansiyel Denklem (ADD) denir. Bunun yannda ierisinde bir ya da daha fazla baml deikenin, bir ya da daha ok bamsz deikene gre trevleri bulunan denkleme ise Ksmi Diferansiyel Denklem (KDD) diyeceiz. Bu derste ADD konusu zerinde durulacak olup KDD konusu daha ok lisansst dzeylerde ele alnmaktadr. Adi bir diferansiyel denkleme rnek olarak-5Mhendisler in Diferansiyel Denklemler Do.Dr. Tahsin ENGN

y + 3 x 2 y 4 y = xe x + 2Cotxverilebilir. Bir diferansiyel denklemde en yksek mertebeli trevin mertebesi diferansiyel denklemin mertebesini verir. rnein stteki denklem 3. mertebedendir denir. Bunun yannda, mertebeyle ska kartrlan bir kavram olan dereceye de deinmek gerekir. Bir diferansiyel denklemde bulunan en yksek mertebeli trevin ssne, bu diferansiyel denklemin derecesi denecektir. Bir diferansiyel denklemdeki baml deiken ve tm trevleri birinci dereceden ise, diferansiyel denkleme lineer diferansiyel denklem denir. Dolaysyla ierisinde y 3 ,( y )2 , yy , y y , sin y , e y gibi terimler bulunan denklemler lineer deildir. Bunun yannda denklem x 2 , xy , sin x , e sin x , ln x trnden ifadeler ierebilir. Daha genel bir ifadeyle eer bir diferansiyel denklem3

y ( n ) + f 1 ( x ) y ( n 1 ) + f 2 ( x ) y ( n 2 ) + ... + f n ( x ) y = R( x )formunda ifade edilebiliyorsa denkleme lineerdir diyeceiz, aksi halde lineer olmayan bir diferansiyel denklem sz konusudur. Bu denklemde eer R( x ) = 0 ise lineer diferansiyel denklem homojendir. Aksi durumda denklem homojen olmayan diferansiyel denklem adn alr. rnek 1-3 Diferansiyel denklemlerin snflandrlmas Aadaki diferansiyel denklemleri snflandrnz. zm (1) y + 3 y = 0 (2) y + 3 y = 2 x + sin x y + 3 yy = 0 (3) (4) (2. mertebe-lineer-homojen) (2. mertebe-lineer-homojen deil) (2. mertebe-lineer deil) (3. mertebe-lineer deil-homojen deil)

y + sin x y + cos y = e 2 x

Diferansiyel denklemler baml deiken ve trevlerinin katsaylarnn durumuna gre de snflandrlmaktadr. Eer bu katsaylar birer sabitse denklem sabit katsayl diferansiyel denklem, eer bamsz deikene bal fonksiyonlar ise deiken katsayl diferansiyel denklem adn alr. rnein y + 2 y = sin x denklemi sabit katsayl, cosh x z + x 2 z = x ise deiken katsayl bir diferansiyel denklemdir. 1.3. DFERANSYEL DENKLEMLERN ZMLER Bir problem iin diferansiyel denklemin elde edilmesi genellikle kolaydr. Dier yandan bu denklemin zmnn bulunmas ise genellikle zordur. Bir diferansiyel denklemin zm bazen bir ya da birka defa integral alma ileminden ibaret olabilse de bu tr durumlar genellikle istisnadr. Tm diferansiyel denklem tiplerine uygulanabilen genel bir zm yntemi ne yazk ki mevcut deildir. eitli snflara ayrlan diferansiyel denklemler iin bunlara zg zm metotlar gelitirilmitir. Bazen bir diferansiyel denklemi zmek birden fazla tekniin beraber kullanlmasnn yan sra bu tekniklerdeki yeterli bir uzmanlk dzeyi ve hner gerektirir. Baz diferansiyel denklemler sadece ustaca yaplm bir takm maniplasyonlarla zlebilirken bazlarnn analitik zmleri imkansz olabilir. Dolaysyla bir diferansiyel denklemi zmek bilimden ziyade bir sanat dal gibidir.-6Mhendisler in Diferansiyel Denklemler Do.Dr. Tahsin ENGN

Cebirsel denklemlerin zmnde genellikle x 2 7 x 10 = 0 trnden bir denklemi salayan ayrk deerlerin (kklerin) bulunmas hedeflenir. te yandan bir diferansiyel denklemi zerken, belirli bir aralkta denklemi salayan fonksiyonlar aranr. Yukardaki cebirsel denklemi salayan deerler 2 ve 5 tir. Oysa y 7 y = 0 diferansiyel denklemini herhangi bir x deeri iin e7x salamaktadr. Diferansiyel denklemi salayan herhangi bir fonksiyon, diferansiyel denklemin bir zmdr. Benzer ekilde diferansiyel denklemi salayan ve ierisinde bir ya da daha fazla keyfi sabit bulunduran ve bu nedenle bir eri ailesini oluturan zme genel zm denir. Eer diferansiyel denklemin her zm genel zmdeki keyfi sabitlere deerler atanarak elde edilebiliyorsa bu genel zm ayn zamanda tam zm adn alr. Genel zmden elde edilen her bir zm ise zel veya zgl zm adn alr. Eer diferansiyel denklemin herhangi bir zm, genel zmdeki sabitlere deerler atanarak elde edilemiyorsa bu zm tekil zm adn alr. Tpk cebirsel denklemlerin zmnde olduu gibi, diferansiyel denklemlerde de, hangi isim altnda olursa olsun, bir zm diferansiyel denklemi mutlaka salar. Eer salamyorsa, elde edilen zm hataldr demektir. rnek 1-4 Bir diferansiyel denklemin zm y = e 2 x ifadesinin (-,+ ) aralnda y 2 y = 0 diferansiyel denkleminin bir zm olduunu gsteriniz. zm Verilen zm diferansiyel denklemi salamaldr. y = e2x alnarak diferansiyel denklemde yazlrsa y = 2e 2 x salanr. rnek 1-5 Bir diferansiyel denklemin zm

2e 2 x 2e 2 x = 0 olur ve denklem

y = 1 x2 ifadesinin yy + x = 0 diferansiyel denkleminin bir zm olduunu gsteriniz. Verilen zmn her x deeri iin geerli olup olmadn irdeleyiniz.zm Verilen zm diferansiyel denklemde yazlrsa 1 x 2

2x 2 1 x2

+ x = 0 elde edilir,

dolaysyla verilen zm denklemi salamaktadr. zmn tanm aral iin 1 x 2 0 olmas gerektii aktr. Buradan (1 x)(1 + x) 0 1 x ve 1 x yazlarak 1 x 1 elde edilir. rnek 1-6 Bir diferansiyel denklemin genel zm y = Cxe 2 x + 2 x 3 ifadesinin y 4 y + 4 y = 8 x 20 diferansiyel denkleminin, C sabitinin herhangi bir deeri iin, zm olduunu gsteriniz. zm y = Cxe 2 x + 2 x 3 , y = C( e 2 x + 2 xe 2 x ) + 2 = Ce 2 x + 2Cxe 2 x + 2 ve

y = 2Ce 2 x + 2C( e 2 x + 2 xe 2 x ) = 4Ce 2 x + 4Cxe 2 x bulunup denklemde yerine yazarsak, y 4 y + 4 y = ( 4Ce 2 x + 4Cxe 2 x ) 4( Ce 2 x + 2Cxe 2 x + 2 ) + 4( Cxe 2 x + 2 x 3 ) = 8 x 20 elde edilir. Dolaysyla verilen zm genel zmdr.


imdi tekrar bir su banyosuna daldrlan kresel cisim rneimize dnelim (rnek 1-2). Elde edilen diferansiyel denklemin zmnden cismin scaklnn zamanla deiimi,

T (t ) = T0 (T0 C )e

hA t mc

olarak elde edilir. Bu ifadede C bir keyfi sabittir. Kolaylkla gsterilebilir ki bu zm Cnin ald deerden bamsz olarak diferansiyel denklemi salar. Dolaysyla Cnin alabilecei sonsuz sayda deere karlk sonsuz sayda zel zm elde etme imkan vardr. Genel zm ierisinde cismin balang scakl (t=0 annda) olan Ti bulunmadndan bu sonu srpriz deildir. Dolaysyla balang scakl belirtildiinde, verilen diferansiyel denkleme olan zm de zel bir zm kimlii kazanr. Bizim ilgilendiimiz zm de, T eksenini Ti scaklnda kesen zel zm olacaktr. Buradan u nemli sonu kmaktadr: Belirli bir problemin tek bir zm olsa da, bu problemi temsil eden diferansiyel denklemlerin sonsuz sayda zme sahip olmalar mmkndr. Bunun nedeni, diferansiyel denklemin, baml deikenlerle bamsz deikenlerdeki deiimler arasndaki bir iliki olmasndan baka bir ey olmamasdr. Diferansiyel denklem, bir fonksiyon veya trevlerinin belirli bamsz deiken deerlerine karlk gelen bamsz deiken deerleri konusunda bilgi iermez. Sonu olarak ayn fiziksel olayla ilgili pek ok farkl problem ayn diferansiyel denklemle ifade edilir. Farkllk ise elde edilen genel zmden bizim ilgilendiimiz problemin zel zmne geebilmemizi salayan zel artlarn tanmlanmasdr. Eer bu artlar bamsz deikenin ayn deeri iin verilmise bu artlara balang artlar, bamsz deikenin birden fazla deeri iin belirlenmise bu artlara snr artlar diyeceiz. y 3 y + y = 2 xe 4 x balang deer problemi y ( 2) = 5, y (2) = 3 y 3 y + y = 2 xe 4 x snr deer problemi y ( 2) = 5, y (8) = 2 rnek 1-7 Serbest dme hareketi Hava srtnmeleri ihmal edildiinde, bir cismin serbest dme hareketi yerekimi kanunu ile gerekleir. z=h yksekliinden ilk hzsz olarak aaya doru braklan bir cisim dnelim. Bu hareket ile ilgili matematiksel ilikileri yaznz, problemin trn (balang veya snr deer) belirtiniz. zm Newtonun ikinci kanununa gre (yukar yn pozitif seilirse), cismin hareketi d 2z = g dt 2 diferansiyel denklemiyle belirlidir. Cisim ilk hzsz olarak brakldndan dz V (t = 0) = 0 = yazlabilir. Bir dier art ise cismin balangta h yksekliinde dt t =0 bulunmas artdr. Dier bir ifadeyle,

z (t = 0) = hHer iki art da bamsz deikenin (t) ayn deerinde verildii iin bu problem bir balang deer problemi olmaktadr. Bir diferansiyel denklemi zmede, denklemi salayan y=y(x) fonksiyonunun bulunmas arzu edilir. Ancak ou zaman bu mmkn olmaz ve yaklak zm teknikleri zm iin-8Mhendisler in Diferansiyel Denklemler Do.Dr. Tahsin ENGN

tek alternatif kalr. Saysal yntemler bu nedenle ortaya km yaklak zm yollardr. Kapal zmlerin elde edildii analitik yntemlerle bamsz deikenin sonsuz deerine karlk sonsuz sayda baml deiken deeri hesaplamak mmkndr. Yani analitik z fonksiyonu, verilen zm aralnda, srekli bir fonksiyondur. Dier taraftan saysal yntemler, ancak bamsz deikenin daha nceden tanmlanm deerlerine karlk gelen baml deiken deerlerini yaklak olarak vermektedir.1.4. DFERANSYEL DENKLEMLERN DORUDAN NTEGRAL YOLUYLA ZMLER

Baz diferansiyel denklemler lineerdir ve trevleri ieren tek bir terime sahip olup, bilinmeyen (aranan) fonksiyonun bir arpan olduu terimleri iermezler. Eer integral ilemi yaplabiliyorsa, diferansiyel denklem de dorudan integralleme tekniiyle zlebilir demektir. Bunun yannda dier baz diferansiyel denklem trleri lineer olmayan terimlere sahiptir ve bu yolla zlmeleri mmkn deildir.

y x 2 e 6 x = 0 dorudan integral yoluyla zlebilir.

y + 3 xy x 2 e 6 x = 0 dorudan integral yoluyla zlemez, nk bilinmeyen fonksiyonun bir arpan durumundan olduu 3xy terimi dorudan integrallenemez.Bir diferansiyel denklem dorudan integral yoluyla zlrken terim terim integre edilir ve bir integral sabiti eklenir. Her integrasyon admnda trevlerin mertebeleri bir drlr ve buna karlk bir baka integral sabiti eklenir. Dolaysyla bir diferansiyel denklemin genel zmnde, diferansiyel denklemde bulunan en yksek mertebeli trevin mertebesi kadar keyfi sabit elde edilir.rnek 1-8 Dorudan integrasyon ile zm Aadaki diferansiyel denklemlerin dorudan integral yoluyla zlp zlemeyeceklerini belirtiniz ve zlebilir olanlar znz.

(1) y 5 y + 3 = 0 (2) y 6 x 2 = 0 (3) 2 yy 4 = 0zm (1) Bu denklem, ikinci teriminin bilinmeyen fonksiyonu (yani baml deikeni) iermesinden dolay zlemez. (2) Bu denklem lineerdir ve trevli tek terimi bulunmakta ve dier terimlerde bilinmeyen fonksiyon y bir arpan veya faktr durumunda deildir. Bu nedenle denklem zlebilir. Denklem 2. mertebeden olduundan art arda 2 kez integral alnp her seferinde bir sabitin eklenmesi gerekir. d 2 y d dy y = 2 = yazlabilir. dx dx dx

Denklemde yerine konursa ve her iki taraf dx ile arplrsa dy dy d ( ) 6 x 2 dx = 0 denklemi bulunur. ntegral alrsak 2 x 3 = C1 elde ederiz. Bir kez dx dx 1 daha integral almak suretiyle dy 2 x 2 dx = C1dx veya y x 4 = C1 x + C 2 yazlarak 2 1 4 y = x + C1 x + C 2 aranan zm bulunmu olur. 2


(3)

Bu denklem lineer deildir ve dorudan integral yoluyla zlemez gibi grnyor. Ancak dikkatli bir kontrol ile 2 yy teriminin y 2 nin trevinden baka bir ey olmad aka grlmektedir. O halde denklem u ekilde dzenlenebilir.

d ( y 2 ) 4 = 0 . Denklemin her iki taraf dx ile arplarak d ( y 2 ) 4 dx =0 yazlp dx integral alnrsa y 2 4 x = C1 veya y = 4 x + C1 genel zm elde edilir.

rnek 1-9 Serbest dme hareketi 100 m ykseklikten braklan bir cismin 3 saniye sonraki yerden yksekliini ve hzn belirleyiniz. zm Zemini z=0 kabul edelim ve cismin brakld ykseklii de z=100 m alalm. Hava direnci ihmal edildiinde cismin bu serbest dme hareketinin z = g diferansiyel denklemiyle tanml olduunu biliyoruz. Art arda iki kez integral alarak z = V ( t ) = gt + C1 ve 1 z( t ) = gt 2 + C1t + C 2 elde ederiz. Bu zmler serbest dme hareketi yapan her cisim 2 iin ayndr. Dikkat edilirse bir diferansiyel denklemin genel zm, bilinmeyen fonksiyon ile bamsz deiken arasnda bir ilikidir ve kesinlikle bir baml deikene ait bir trev terimi iermez.

Genel zmn 2 adet keyfi sabiti bulunmaktadr ve bunlar bilmeksizin cismin 3 s sonraki konumu iin bir hesaplama yaplamaz. Bu srpriz bir durum deildir nk bu konum cismin atld ykseklie ve cismin ilk hzna bal olarak deiebilir. Oysa genel zm bunlar konusunda hibir bilgi vermez. Daha nce de belirtildii gibi bir diferansiyel denklem baml ve bamsz deikenlerdeki deiimler arasndaki ilikiyi tanmlar ve probleme zg verilen bamsz deiken deerine karlk gelen baml deiken deerlerinden etkilenmez. rnein 100 m yerine 250 m dnlseydi, elde edeceimiz genel zm yine ayn kalacakt. Ancak doal olarak cismin 3 s sonraki konumu bu durumda farkl bir yerde olacakt. Genel zm denklemini bizim problemimize uygun hale getirebilmek iin ierisindeki sabitlerin problemde verilen koullara gre belirlenmesi gerekir. Bu koullar dz V(0 ) = =0 dt t = 0 z( 0 ) = 100 olarak verilmitir. Birinci koulumuzu hz denkleminde yazalm: V ( 0 ) = 0 = g 0 + C1 , C1 = 0. kinci koulu da konum denkleminde yerine koyalm: 1 z( 0 ) = 100 = g 0 + C1 0 + C2 , C 2 = 100 . Dolaysyla aranan zel zm ifadesi 2 1 2 z = z( t ) = gt + 100 olacaktr. Hz ifadesi ise C1=0 olduundan V ( t ) = gt olur. t=3 2 saniye sonraki deerler hesaplanrsa, 1 z( 3 s ) = ( 9.81 )( 3 )2 + 100 = 55.85 m ve V ( 3 s ) = ( 9.81 )( 3 ) = 29.43 m/s (aa 2 ynl).

- 10 Mhendisler in Diferansiyel Denklemler Do.Dr. Tahsin ENGN

Blm 1 ile ilgili problemler

1.1. Fiziksel problemleri modellemede cebirsel denklemler neden yetersiz kalr, diferansiyel denklemlere neden ihtiya duyulmutur. 1.2. Sabit hzla (V0) dmekte olan bir paratn hareketini tanmlayan diferansiyel denklemini Newtonun ikinci kanununu ( F = m a ) kullanarak elde ediniz. 1.3. Ktlesi m olan bir ta yerden yukarya doru V0 dey hzyla atlmaktadr. Newtonun hareket kanununa gre cismin yerden yksekliini ve hzn zamann fonksiyonu olarak elde edebileceiniz diferansiyel denklemi yaznz. 1.4. Yaylar genellikle deformasyon miktarlaryla orantl ve yn srekli olarak denge konumuna doru olan bir kuvvet olutururlar. rnein x kadar gerilmi bir yayn oluturaca kuvvet F=kx ile verilir ve burada k yay katsays adn alr. Yay katsays k olan byle bir yay ucuna, yay denge konumundayken (x=0) m ktleli bir cisim balanmakta ve ktle yayn ucuna bal olarak yerekimi ve yay kuvvetinin btnleik etkisiyle salnm yapmaya terk edilmektedir. Newtonun hareket kanununa gre ktlenin konumunu, balang konumuna gre (x=0), zamann fonksiyonu olarak veren diferansiyel denklemi yaznz. 1.5. Pltonyum, Radyum ve C14 gibi Karbon izotoplarnn, baka bir element veya ayn elementin baka bir izotopunu oluturmak zere tabii olarak bozunduu bilinmektedir. Bozunma hz henz bozunmam miktar ile doru orantl olarak deimektedir. Bir radyoaktif malzemenin herhangi bir t anndaki miktarn M(t) alarak, bu ktlenin zamanla deiimini veren diferansiyel denklemi elde ediniz. Not: Bir deikenin (rnein A) baka bir deikenle(rnein B) doru orantl olmas matematiksel olarak A=kB olarak ifade edilir. Burada k orant katsays adn alr. 2.1. Baml ve bamsz deiken nedir, bir fonksiyonda bunlar birbirinden nasl ayrt edersiniz. 2.2. Trevin geometrik anlamn aklaynz. 2.3. Adi ve ksmi diferansiyel denklemler arasnda ne fark vardr. 2.4. x=5 noktasndaki teeti x eksenine paralel olan bir f(x) fonksiyonunun bu noktadaki birinci trevi konusunda ne syleyebilirsiniz. 2.5. Bir diferansiyel denklemin mertebesi ile derecesini belirtiniz. 3. mertebeden , 2. dereceden bir diferansiyel denklem rnei veriniz. 2.6. Aadaki fonksiyonlarn tanm aralklarn belirleyiniz. e2 x (b) ( x 1 ) ln x (c) 1 / x (d) cos x / x 2 (e) (a) x + 2 x( x 1 ) 2.7. Aadaki trevleri elde ediniz (x ve t bamsz deikendir). f f 1 = ? ; (b) f 2 = 7 x 4 sin 3 x 3t + t 2 e 2 x , 2 = ? (a) f 1 = 7 x 4 sin 3 x 3 + 2e 2 x , x x 2 f 3 f3 df 4 = ?, ; (d) f 4 = ( x 1 )e 3 x sin x , =? (c) f 3 = ln( x 2 t 2 ) , 2 dx x t (e) f 5 =e x tx tan x 1 x3

,

f 5 2 f5 = ?, =? ; x t 2df7 =? ; dx

(f) f 6 = sin 2 x x , (h) f 8 =

df 6 =? dx

(g) f7 = ( x 3 1 )2 e ln x ,

x cos 2t ln t2

,

f 8 =? t

2.8. Aadaki integral ilemlerini yapnz. (a) (d)

(x

2

+ e 3 x + sin 5 x dx2 tx

)

(b)

2

ln 3 x + x dx x 3

5

5

(c)

(x

2t

+ sin 2t + 3t 2 x dx

)

(y( x ) + 3e

+ cos xt dx (e)

)

( y( x ) + t ln 2 x )dx

(f)

(x 2)( x 3 1 )

dx


(g) (k)

2 x2

dx

(h)

x 2 + 1dx(l)

2t

(i)

ln xdx

(j)

x sin xdxxdx(n)

tan x sec xdx

x

2

ln x 3 dx (m)

( x 1 )( x 2 )( x 2 + 2 )

x ln xdx

2.9. Aadaki kavramlar, her birine rnekler vererek, aklaynz. (a) Adi diferansiyel denklem, (b) Ksmi diferansiyel denklem, (c) derece, mertebe (d) Homojen diferansiyel denklem, (e) Sabit katsayl diferansiyel denklem (f) Balang deer problemi, (g) Snr deer problemi, (h) Snr artlar (i) Lineer diferansiyel denklem, (j) Lineer olmayan diferansiyel denklem, (k) Genel zm (l) zel zm, (m) Tekil zm 2.10. Aadaki diferansiyel denklemlerin mertebelerini, lineer olup olmadklarn ve sabit/deiken katsayl olduklarn belirtiniz. (a) y + 3 y = 8 x , y + 3 xy y = 0 , y + 2e x y = 0 , xy + 2 xy + 5 xy = x 3 (b) y + 2 y = sin x + 1, y + e 2 x y = 0 , y + 2 y = e x cot x , yy + 2 xe x yy 5 y = 0 (c) z + xz sin x sin z = x ln x 1 3 Verilen fonksiyonlarn yanndaki diferansiyel denklemin bir zm olduunu gsteriniz. (a) y = 0 , y1 = 5 x ve y 2 = 2 x + 1 (b) y 4 y = 0 , y1 = e 2 x ve y 2 = 3e 2 x (c) x 2 y 2 xy 4 y = 0 , y1 = e ln x ve y2 = x 4 (d)

y y = 0 , y1 = e x , y 2 = e x ve y3 = cosh x

(e) y 2 y + 3 y = 0 , y1 = e x sin 2 x ve y 2 = 3e x sin 2 x + cos 2 x (f) y 4 y + 4 y = 0 , y1 = e 2 x , y2 = xe 2 x ve y3 = 5 xe ln x e 2 x

(

)

4.1. Ne tr diferansiyel denklemler dorudan integral yoluyla zme elverilidir. 4.2. nc mertebeden lineer ve homojen bir diferansiyel denklem yaznz. Bu denklemin zmnden ka tane keyfi sabit elde edilir. Bu keyfi sabitleri belirli bir problem iin bulmak isterseniz, ka adet koul belirtmelisiniz. 4.3. Aadaki diferansiyel denklemlerin dorudan integral yoluyla zlp zlemeyeceklerini inceleyiniz. zlebilecek durumda olanlar znz. (a) y = 0 , y + y = 0 , 2 yy + sin 3 x = 0 , e x y + xe 3 x = 0 (b) y 4 xe 4 x = 0 , 4 y y 8 x 3 = 0 , y xy = 0 (c) y 5 y = 0 , y y = 0 , y e y cos x = 0 , xy y 8 x 4 = 0 4.3. R=0.2 m apnda kresel ekle sahip radyoaktif bir madde ierisinde g0=4107 W/m3 s retmektedir. retilen s kararl bir rejimle kresel yzeyden ortama salnmakta, bylece yzeydeki scakln Ty=80 oCde sabit kalmas salanmaktadr. Cismin s iletim katsays k=15 W/moC olarak verilmektedir. Kresel cismin scakl yalnzca yarap dorultusunda deimektedir (T=T(r)). Kresel cisim ierisindeki scaklk dalm 1 d 2 dT g 0 =0 + r r 2 dr dr k diferansiyel denklemiyle tanmlanr. Bu denklemin lineer olup olmadn, sabit katsayl m veya deiken katsayl olduunu, mertebe ve derecesini, homojen olup olmadn- 12 Mhendisler in Diferansiyel Denklemler Do.Dr. Tahsin ENGN

belirleyiniz. Denklem zmnden gelecek ka adet sabit mevcuttur, bunlar bulabilmek iin hangi koullar nerirsiniz. Bu denklemi zerek kresel cisim ierisindeki scaklk dalm yarapn fonksiyonu olarak (T(r)) elde ediniz. Elde ettiinin ifadeyi bir scaklk-yarap (T-r) erisinde gsteriniz. 4.4. Kalnl L=0.5 olan geni bir duvar gz nne alalm. Duvarn sol yz (x=0) mkemmel ekilde yaltlm olup dier yz (x=L) niform olarak 30 oC scaklktadr. Duvar ierisinde g ( x ) = g 0 e0.02 x ifadesine gre s retilmektedir. Duvar iersinde scakln sadece x dorultusunda deitiini (T=T(x)) ve bu deiimin d 2T g ( x ) + =0 k dx 2 diferansiyel denklemi uyarnca olduu bilindiine gre duvardaki scaklk dalmn (T=T(x)) ve yaltlm yzeydeki scakl hesaplaynz. Not: Yaltlm yzeyde dT/dx=0 alnr.


2. BLM BRNC MERTEBEDEN LNEER DFERANSYEL DENKLEMLER2.1. GR

Pek ok uygulamada bir bykln deiim hz (birinci trev), bu bykln kendisine ve bamsz deikene baldr. Bu tr problemler genelde y = f ( x , y ) formunda ifade edilirler. Bu basit grnm, bu tr denklemlerin zmnn de basit olaca eklinde yanl bir anlamaya neden olabilir. Baz istisna durumlar dnda bu tr denklemleri zmede karlalan zorluklarla daha yksek mertebeli denklemleri zmede karlalan zorluklar ayn dzeyde olabilir. Birinci mertebeden diferansiyel denklemleri zmede ne yazk ki genel bir yok yoktur. Bu nedenle birinci mertebe denklemler de kendi aralarnda alt snflara ayrlm ve her bir snf iin farkl yntemler gelitirilmitir. Bu blmde birinci mertebeden denklemlerin nasl snflandrld anlatlacak, ardndan sistematik bir yaklamla her zaman zm mmkn olan birinci mertebeden lineer denklemler ve uygulamalar ilenecektir. Ardndan lineer olmayan trler iin verilen bir zm aralnda zmn var olup olmad tartlacaktr. Bu snfa giren deikenlerine ayrlabilir tip, homojen ve tam diferansiyel tipteki denklem zmleri zerinde durulacaktr.2.2. BRNC MERTEBE DFERANSYEL DENKLEMLERE GENEL BAKI

Tanmndan anlalaca zere birinci mertebeden diferansiyel denklemlerde sadece birinci trev yer alr. y baml, x de bamsz deikeni gstermek zere byle bir denklem f ( x , y , y ) = 0 formunda verilir. Bu blmde sadece birinci trevin dorudan baml ve bamsz deiken cinsinden yazlabildii y = f ( x , y ) trnden denklemler zerinde duracaz. Bylece zmy=

f ( x , y ) dx + C

eklinde ifade edilebilecektir. Ancak ou kez bu yazm tarz, verilen diferansiyel denklemin bir integral denkleme dntrlmesinden daha te bir sonu getirmez. Verilen f(x, y) fonksiyonunun sadece xe bal olduu basit durumlar ancak dorudan integral yoluyla zme uygundur. rnein y = 6 x 2 5 diferansiyel denkleminde f(x, y) sadece bamsz deikene baldr ve dorudan integral yoluyla genel zm y = 2 x 3 5 x + C olarak kolayca elde edilir. Burada u hususun altn izmek gerekir. Birinci mertebeden bir diferansiyel denklemi zerken bamsz deiken olarak x ya da y seilebilir. Bu tr bir deiim bazen zm zor olan diferansiyel denklemi, zm daha kolay bir hale getirebilir. rneindy e2 y = 2 dx ( y + 1 )x + sin 3 y + 1

diferansiyel denklemi lineer olmamasna ramen, aadaki denklem lineerdir ve kesin olan bir zm yolu vardr.

sin 3 y + 1 dx y 2 + 1 denklemi xe gre lineerdir. = 2y x + dy e2 y e


2.3. BRNC MERTEBE LNEER DFERANSYEL DENKLEMLER

Birinci mertebeden lineer bir diferansiyel denklem,

y + P( x ) y = R( x )

(2.1)

formunda verilir. Hatrlatmak gerekir ki x + P( y )x = R( y ) denklemi de xe gre lineerdir ve burada anlatlacak yntemle zlebilir. Verilen P ve R fonksiyonlar ngrlen zm aralnda xe bal srekli fonksiyonlardr. Bu trden bir denklemin zm, eer denklemin sol yan tek bir terimin trevi eklinde ifade edilebilirse, sradan bir ileme dnecektir. Bunun iin denklemin sol tarafn bir terimin trevi haline getirebilecek bir arpann aranmas gerekir. Denklemin her iki yann (x) fonksiyonu ile arpalm.

( x ) y + ( x )P( x ) y = ( x )R( x ) [( x ) y ] = ( x ) y + ( x ) y

(2.2) (2.3)

olduundan, (2.2) eitliinin sol tarafnn [( x ) y ] nin alm olabilmesi iin ( x ) = ( x )P( x ) art salanmaldr. Bulmaya altmz arpann sfrdan farkl olduu durumda, bu denklemi integre edersek

d ( x ) ln ( x) = P ( x) yazlarak = P( x ) veya ( x ) dx (x) arpan yalnz braklp ve C1 sabiti dikkate alnmayarak ( x ) = e P( x )dx

ln ( x ) = P( x )dx + C1 elde ederiz.

(2.4)

elde edilir. ntegral sabitinin bu aamada dahil edilmesi genel zm zerinde bir deiiklii yol amayacaktr. Ayrca (2.4) denkleminin sa taraf her koulda pozitif olacandan denklem,( x ) = e P( x )dx

(2.5)

olarak da ifade edilebilir. (2.5) denklemiyle tanmlanan fonksiyona integral arpan diyeceiz. (2.1) denkleminin sol taraf artk tek bir terimin trevi eklinde ifade edildiinden

[( x ) y ] = ( x )R( x )yazlarak

(2.6)

( x ) y = ( x )R( x )dx + C veya baml deikeni yalnz brakarak diferansiyel denklemin

genel zm,

y=

1 ( x )R( x )dx + C ( x )

[

]

(2.7)

olarak elde edilmi olur. Birinci mertebeden lineer bir diferansiyel denklemin (2.7) denklemine gre genel zmnn bulunabilmesi iin, verilen diferansiyel denklemin kesinlikle (2.1) denkleminde verilen ekle getirilmesi gerekir.- 15 Mhendisler in Diferansiyel Denklemler Do.Dr. Tahsin ENGN

rnek 2-1 y 3 y = 9 x, y ( 2) = 13 lineer balang deer problemini znz. zm y trevinin katsays 1 ve P(x)=-3, R(x)=-9x olduu grlmektedir. ntegral arpan,( x) = e P ( x ) dx 3dx =e = e 3 x elde edilerek (2.7) denkleminde yerine konursa,

dx + C e e 9 xe 3 x dx integralini almak iin ksmi integrasyon yntemi kullanmak zere,3x 3x

y=

1

[ e

3x

(9 x) dx + C =

]

1

[ 9 xe

3x

]

x = u, dx = du e 3 x dx = dv deiken dnm uygulanr. Bu kurala gre u dv = u v v du 1 e3x = v 3 olduundan

1 1 x x 9 xe 3 x dx = 9 e 3 x e 3 x dx = 9 e 3 x e 3 x = e 3 x (3x + 1) 3 3 3 9

Denklemde yerine konursa, y = 3 x + 1 + Ce 3 x elde edilir. Verilen balang art kullanlarak C sabiti belirlenir:

y (2) = 13 olduundan, 13 = 3 2 + 1 + Ce 3 2 C = 6e 6 . Bylece aradmz zel zm, y = 6e 3 x 6 + 3 x + 1u ana kadar yaplan ilemlerde verilen bir zm aralnda P(x) ve R(x) ifadelerinin srekli fonksiyonlar olmas gerektii vurgulanmt. Eer bu fonksiyonlardan birinin veya ikisinin sreksizlik noktalar varsa, zm blgesi srekliliin olduu alt blgelere ayrlmaldr. Bunu bir rnekle greceiz.rnek 2-2 1 y + y = 5 x 2 , y (2) = 3 balang deer problemini znz. x +1 zm

1 fonksiyonu x=1 noktasnda sreksizdir. O halde zm 0 ). Buna gre sabit bir Qx s transferi iin duvar ierisindeki scaklk dalmn elde ediniz. 3.12. Yatayla 37 0 a yapan bir eik dzlem zerinde bulunan bir cisim, eik dzlem boyunca ve yukar doru V0 = 12 m/slik bir ilk hzla frlatlyor. Cisim ile eik dzlem arasndaki srtnme katsays = 0.25 tir. Buna gre (a) cisim eik dzlem boyunca hangi uzakla gidebilir ve (b) cisim atld noktaya geri dndnde hz ne olur? Cevap: 9 m, 8.48 m/s. 4. Birinci mertebeden homojen tipte diferansiyel denklemler 4.1. Homojen diferansiyel denklem nedir, nasl anlalr. 4.2. Aadaki diferansiyel denklemlerin homojen olup olmadklarn inceleyiniz. y3 x +1 x+ y x 3 2 xy 2 (c) y = (b) y = 2 (d) y = x 2 (a) y = x x y xy x +y 4.3. Aadaki homojen (veya homojene indirgenebilir) diferansiyel denklemleri znz. x3 4x 2 y x x + 2y x2 6 y2 (d) y = (b) y = (c) y = (a) y = x+ y x y 2 xy y3 (e) y =

y2 x4 y4 x2 + y2 3x 4 y = x+ = (f) y (g) y y x + 2y x2 y x y x + 2y (h) y = 1, y (1) = 0 (i) y = , y (0) = 0 (j) y = , y (1) = 0 x 2x y x+ y

(k) y =

2x x2 + y 2 y x2 y2 , y (2) = 6 (l) y = , y (0) = 2 y 2 xy 2x + y + 4 x + 2y 3 x + 2 y 1 (n) y = (o) y = (m) y = x y y x + 2y 3 x+ y x 2y 2 (r) y = (p) y = x4 2x 4 y 8- 41 Mhendisler in Diferansiyel Denklemler Do.Dr. Tahsin ENGN

5. Tam diferansiyel denklemler 5.1. Tam diferansiyel ne demektir. u ( x, y ) = 2 xy 2 y x fonksiyonunun tam diferansiyelini alnz. 5.2. Aadaki diferansiyel denklemlerin tam diferansiyel olup olmadklarn inceleyiniz. Tam diferansiyel olanlar znz. (a) (3 x + 1) + (3 y 1) y = 0 (c) y 2 x + 2 xy e y = 0 (e) (g)y y

( (e (x (

2

2

) ( sin x + 2) e + sin x ) (y

y

)

(b) (3 y 1) (3 x + 1) y = 0 (d)

y 2 2 xyy = 0 x y 1 x + y +1 2 xe y x 2e y + 1

cos x y = 0

(f) (2 x + y )+) + (x 2 y ) y = 0 (i)

2

cos y y = 0 (h) y =(l)

)

y =

(k) y =

2 x sin 2 y + xe x

x 2 cos 2 y e 2 y

(x + 2 y ) + (x 2 y ) y = 0

(m) x 2 e x + y + 2 xe x + y + 2 x dx + x 2 e x + y + 4 dy = 0 5.3. Aadaki zmlere sahip olan diferansiyel denklemleri elde ediniz. (a) f ( x, y ) = x 2 y sin y e x + y = 2.1 (b) f ( x, y ) = 3 tan x + y 3 x 5 y = 4

) (

)

5.4. Aadaki balang deer problemlerinin znz (a) 2 x 2 + 1 + 4 y 3 2 y 1 y = 0, y (0) = 1 (b) (c)

( ) ( ) (3x sin y + xe )+ (x cos y y2x

(d) 3x 2 y + e x sin y + x 3 + e x cos y y = 0, y ( / 2) = 0 (e)y = x e +1 y e 12 y 2 x

(

+ 1 y = 0, y (1) = 2 (2 x + 3 y 1) + (3x 2 y + 3)y = 0, y (0) = 0

3

2

)

) (

)

, y ( 0) = 4

(f) y =

2x 3y 1 , y (2) = 3 3x 2 y + 1

6. Aadaki Bernoulli tipi diferansiyel denklemleri znz. (a) y y = y 4 , y (1) = 0 (d) xy + y = y 2 ln x (b) y + 2 y = 4 y 3 , y (0) = 1 (c) y y = y 2 , y (1) = 0 x


3. BLM KNC MERTEBEDEN LNEER DFERANSYEL DENKLEMLER3.1 GR

Birinci mertebeden diferansiyel denklemler, bir integral arpan kullanlarak sistematik bir yaklamla her zaman zlebilirler. zlecek denklemin integrali alnabildii srece, sabit veya deiken katsayl olmas bu durumu deitirmez. Ancak ikinci veya daha yksek mertebeli denklemler iin ayn eyi syleyemeyiz. nk bu denklemlerin zm, byk oranda, katsaylarn sabit olmasna veya belirli artlar salayan trden deiken olmasna baldr. kinci ve daha yksek mertebeli diferansiyel denklemler iin genel bir zm yolu yoktur. ou mhendislik probleminde sabit katsayl ikinci mertebeden diferansiyel denklemleriyle karlalr. Bu nedenle bu tr denklemlerin zm yollarn iyi kavramak gerekir. kinci mertebeden lineer bir diferansiyel denklem en genel halde

y + P ( x) y + Q( x) y = R( x)formunda verilir. Burada P, Q ve R , x bamsz deikenlerine bal fonksiyonlardr. R(x) terimi ierisinde y ve trevleri bulunmayan tm ifadeleri temsil eder ve bu yzden homojen olmayan terim adn alr. R(x) =0 ise bu durumda denklem homojendir denir. kinci mertebeden diferansiyel denklemleri zerken homojen ksm ayr ele almak genellikle daha uygundur. Bunun iin ilk etapta denklemin sa yan sfrm gibi hareket edilir. Lineer denklemler ayrca sabit ve deiken katsayl olarak da snflandrlrlar.

y 2 y + 8 y = x3 + e 2 x 1 y 2 xy + 8 y = x 2

} sabit katsayl

} deiken katsayl

Teorem 3-1 zm Varl ve Teknii

x1 < x < x2 aralnda P(x), Q(x) ve R(x) xe bal srekli fonksiyonlar ve x0 bu aralkta bir nokta ise, bu durumda ; y + P ( x) y + Q ( x) y = R ( x)diferansiyel denkleminin y(x0) = y0 ve y(x0) =y0 iki adet balang artn salayan aralkta tek bir zm vardr. Ancak y(x0) =0 ve y(x0) =0 balang artlarn salayan tek zm y=0 zmdr. Diferansiyel denklemin standart formda olmas arttr. rnein;

2 xy 8 x 2 y = 6 denklemisaylmaz.

y 4 xy =

3 halinde yazlmadka standart forma gelmi x


rnek 3-1

Aadaki diferansiyel denklemin tek bir zmnn olduunu ve bu zmn zm araln gsteriniz. 3x y + y 5 y = cos x 2 x 1

y (5) = 3 ve y (5) = 1zm: Bu bir balang deer problemidir nk her iki koul da ayn bamsz deiken deerinde verilmitir. Denklem ikinci mertebeden olduu iin en yksek mertebe 2dir. Denklemde y veya bunun trevlerinin arpm ss ve lineer olmayan fonksiyonlar olmadndan, verilen denklem lineerdir. Denklemin sa yan sfr deil, dolaysyla homojen deildir. Ayrca denklem standart formdadr. Bu tahlilleri yaptktan sonra;

p ( x) =

3x Q(x) = -5 , R(x) =cosx -2 x 1

yazalm. Aka grlyor ki Q(x) ve, R(x) srekli fonksiyonlar, P(x) ise x=1de sreksizdir. Dolaysyla her ifadenin de srekli olduu - < x < +1 ve 1 < x < aralklarnda zmn olup olmad aranmaldr. Balang koulu olan x0=5 noktas ikinci aralktadr ve bu aralkta zm varl ve teklii garanti altna alnm olur. Lineer sabit katsayl homojen diferansiyel denklemlerin katsaylar zaten - < x < + aralnda srekli olduundan zm tm x deerleri iin geerli olacaktr. Ancak bir diferansiyel denklemi zme ile bir balang deer problemini zme arasndaki ayrm grmemiz gerekir. kinci mertebeden bir diferansiyel denklemin zmnden c1 ve c2nin alabilecei sonsuz deere karlk sonsuz adet zm vardr. Verilen iki koul iin bu sabitler belirlenir. Birinci olaslk bu iki art ayn noktada (ayn x0 deeri iin) vermektir. Bu bizi balang-deer problemine gtrr ve ierisinde x0n yer ald bir aralkta zmn garantisi vardr. Ancak iki art farkl x deerleri iin verilmise ki bir snr-deer problemimiz var demektir. Yukarda verilen Teorem-3-1, bu tr bir problemin zmnn olup olmad konusunda bir garanti vermez. Sadece c1 = c2 elde edilebilen artlarda snrdeer probleminin zmnn varlndan ve tekliinden sz edilebilir. rnein; y + 2 y 3 x 2 y = x3e x y(0)=2 , y (0) = 5 tekbir zm garanti olmasn karn,

y '+2 y '3 x 2 y = x 3 e x y(0)=2, y (8) = 3 denklemi iin zm tek olmayabilir, hatta hibir zm bulunmayabilir.rnek 3-2 Kararl rejimde L kalnlndaki dzlemsel bir duvar ierisindeki scaklk dalm y = 0 denklemiyle verilir. Burada y , x noktasndaki scakl temsil ediyor. Verilen denklemin genel zmn ve aadaki durumlar iin zel denklemlerini elde ediniz.

a) b) c) d)

y(0)=10 , y (0) = 5 y(0)=10 , y(L)=0 y (0) = 5 , y ( L) = 10 y (0) = 5 , y ( L) = 5


zm: zm aralmz 0 x L olacaktr. Art arda iki kez integre edersek genel zm; y = c1 x + c 2 olur. Bu ise eimi c1 olan bir doru denklemidir.

a. y(0)=-5 } c1= -5

y(0)=10 } 10=-5.0 + c2 , c2 = 10 y ( x) = 5.x + 10 elde edilir. Dier hibir koul bu artlar salayamaz. Dolaysyla verilen balang-deer probleminin tek zmdr. 10 10 bulunur. Bu durumda y ( x) = x + 10 L L Buda verilen koullar iin elde edilebilecek tek zm olduundan snr-deer problemi tek bir zme sahiptir.

b. Sabitler belirlenirse c2=10 , c1 =

c. Verilen koullar iin y(0)=-5 } c1= -5

y(L)=10 } c1= 10

bulunur ki bu imkanszdr. Dolaysyla verilen koullar iin problemin zm yoktur. Fiziksel olarak problem duvarn her iki yanndan s verilmesini ve kararl rejim olumasn ngrmektedir ki bu imkanszdr.

d. Verilen koullar iin y(0)=-5 } c1= -5

y(L)=-5 } c1= -5 dolaysyla y ( x) = 5 x + c 2 elde edilir ki bu zm c2 ye bal olduundan tek zm deildir. Fiziksel olarak bu problemin duvarn bir tarafndan verilen snn dier tarafndan ayn hzla uzaklatrld bir duruma karlk gelir. Bu ise duvar ierisindeki scaklk dalmn bulma iin yeterli bir bilgi deildir.

3.2. LNEER BAIMSIZLIK VE WRONSKIAN FONKSYONLARI

Verilen bir aralkta bir fonksiyon dier bir fonksiyonun bir sabitle arpmndan elde edilebiliyorsa bu iki fonksiyon lineer bamldr denir. Aksi durumlar iin lineer bamszlk sz konusudur. Dier bir ifadeyle iki fonksiyonun oran sabit bir say ise lineer bamllk vardr denir.

y1 = 3e x y1 3 = (lineer bamllk) y2 2 y 2 = 2e x y1 = 1 y1 1 = y 2 = x y2 x

(lineer bamszlk)

Bu ifadeyi daha genelletirmek iin c1y1 + c2y2 = 0 eklinde verilen y1 ve y2 fonksiyonlarnn lineer kombinasyonunu dikkate alalm. Eer x1 < x < x2 aralnda c1y1 + c2y2 = 0 ilikisi sadece c1=c2=0 iin salanyorsa y1 ve y2 lineer bamsz fonksiyonlardr denir.


rnek 3-3 Lineer bamsz fonksiyonlar - < x < + aralnda aadaki fonksiyon iftlerinin lineer baml veya bamsz olduklarn belirtiniz.

a) b) c) d)zm

y1=6x , y2=2 y1=x2 , y2=x3 y1=ex , y2=e-x y1=ex , y2=e2x

(a) (b)

y1 6 x = = 3x (bamsz) y2 2

y1 x 2 1 = = (bamsz) y2 x3 x y ex (c) 1 = x = e 2 x (bamsz) y2 e (d) y1 e x = = e x (bamsz) y2 e 2x

ki Fonksiyonun WRONSKIAN

Yukardaki rneklerin dnda ya da daha fazla fonksiyonun lineer bamszln bulmak durumunda kalndnda daha genel bir yola ihtiya vardr. Biz bunu y1 ve y2 eklinde iki fonksiyon iin gsterip genelletireceiz. Belirli bir aralkta verilen y1 ve y2 fonksiyonlar, tm xler iin ; W= y1 y2 0 ise

y '1 y '2

bu iki fonksiyon lineer bamszdr denir. Aksi halde lineer bamllk vardr.rnek 3-4 Aadaki fonksiyon iftleri iin lineer baml veya bamsz olduklarn gsteriniz.

(a) y1 = x + 1 , y 2 = x 2 (b) y1 = sin x , y 2 = cos x (c) y1 = x 3 , y 2 = 2 x 3zm

(a) W = y1 y2 y1 y2 = ( x + 1)(2 x) 1( x 2 ) = x( x + 2) 0 (b) W = sin x( sin x) cos x. cos x = 1 0 (c) W = x 3 (6 x 2 ) (3x 2 )(2 x 3 ) = 0 (lineer baml)


Genelletirirsek, n adet y1 , y2 , ... yn fonksiyonunun x1 < x < x2 aralnda her birinin (n-1) adet trevi varsa bunlara ait W determinant;y1 y '1 W = . .( y1 n1)

y2 y'2 . .( y 2n 1)

... ... ... ... ...

yn y'n . .( y nn1)

0 ise bu fonksiyonlar lineer bamszdr.

3.3. HOMOJEN DENKLEMLER TEORS

y = 0 diferansiyel denkleminin zmne tekrar bakalm. y = c1 x + c 2 genel zmn y1=x ve y2=1 almak suretiyle y = c1 y1 + c 2 y 2 olarak ifade edebiliriz. Buna gre aadaki sperpozisyon ilkesi yazlabilir. Eer y1 ve y2 lineer homojen bir diferansiyel denkleminin zmleriyse ( y + P ( x) y + Q( x) y = 0 ) , y = c1 y1 + c 2 y 2 de bu denklemin bir zmdr.rnek 3-5 Sperpozisyon lkesi (Homojen Denklemler)

e-2x in y- 4y = 0 diferansiyel denkleminin bir zm olduunu, ayrca 5e-2x in de ayn denklemin bir zm olduunu gsteriniz.zm y 4 y = (e-2x + e 2x ) 4(e 2 x + e2 x ) = 4e2 x + 4e2 x 4e2 x 4e2 x = 0 Ancak bu durum homojen olmayan diferansiyel denklemler ve lineer olmayan diferansiyel denklemler iin geerli deildir.

yle grnyor ki ikinci mertebeden homojen diferansiyel denklemler sonsuz sayda zme sahiptir, ancak bunlarn ou ancak bir sabit arpan ile birbirinden ayrlmlardr 1 (e-x, 3 e-x, 100 e-x , e x gibi). Yani zmlerin ou lineer bamldr. O halde bir lineer 2 homojen denklem lineer bamsz ka tane zme sahip olabilir? Bunun cevab, diferansiyel denklemin mertebesi saysncadr.Teorem: Sperpozisyon ilkesi

y '+ P( x) y '+Q( x) y = 0 denklemi , x1 < x < x2 aralnda srekli olan P(x) ve Q(x) fonksiyonlar iin, her zaman y1 ve y2 lineer bamsz iki zme sahiptir. Ayrca bu aralktaki herhangi bir zm bu iki zmn lineer kombinasyonu olarak; y = c1 y1 + c 2 y 2 eklinde ifade edilebilir.


3.4. SABT KATAYILI HOMOJEN DENKLEMLER

kinci mertebeden sabit katsayl homojen bir diferansiyel denklem sistematik bir yolla kolayca zlebilir. Deiken katsayl denklemler iin i daha zordur. Ve bu tr denklemler genellikle sonsuz seriler cinsinden zlrler. imdi ay + by + cy = 0 denklemini dikkate alalm. Burada a, b, c sabit katsaylardr. Dolaysyla zm aralmz - < x < + olur. Bu tr bir denklem her zaman y1 ve y2 gibi lineer bamsz iki zme sahiptir ve denklemin genel zm y = c1 y1 + c 2 y 2 eklinde ifade edilir. Peki y1 ve y2 yi nasl elde edebiliriz... ay + by + cy = 0 denklemine dikkatli bakldnda zm fonksiyonlarn ve trevlerini belirli sabitlerle arparak topladmzda tm x deerleri iin sonucun sfr olmas gerektii anlalmaktadr. Dolaysyla zm fonksiyonu ve trevleri en fazla bir sabit arpan farkyla benzer olmaldr. Buna uyan tek elementer fonksiyon emx fonksiyonudur (m=sabit). rnein; y = e mx , y = me mx , y = m 2 e mx gibi.

y = emx zm teklifi diferansiyel denklemde yazlrsa, a(m 2 e mx ) + b(me mx ) + c(e mx ) = 0 veya,

e mx (am 2 + bm + c) = 0 olur.Eitliin sfr olabilmesi iin e mx 0 olduundan; (am 2 + bm + c) = 0 olmaldr. Bu denkleme karakteristik denkleme diyeceiz. Bu denklemin kkleri olan m1 ve m2 ise karakteristik kkler olup; m1, 2 = b b 2 4ac 2a

ifadesinden hesaplanr. Dolaysyla iki kk iin elde edilecek iki zm fonksiyonu ;

y1 = e m1x ve y2 = em2 x olur.Eer m1 ve m2 farkl reel saylarsa bu iki zm lineer bamszdr. Ancak kklerin eit olma ve kompleks olma ihtimalleri de vardr.


1. Durum: Farkl iki reel kk m1 m 2

Bu durumda y1 ve y2 lineer bamsz olacandan denklemin genel zm y = c1e m1x + c 2 e m2 x olur.rnek 3.6 y + y 2 y = 0 diferansiyel denkleminin genel zmn bulunuz . zm: Karakteristik denklem m 2 + m 2 = 0 veya (m 1)(m 2) = 0, m1=1 ve m2=-2,

y = c1e x + c 2 e 2 xrnek 3.7

Silindirik yapl (D apnda L boyunda) alminyum kanatlar scak yzeylerden snn uzaklatrlmasnda yaygn olarak kullanlr. Byle bir kanat ierisindeki scaklk dalm, T=T(x) 4h >0 T ' 'T = 0 , = kD diferansiyel denklemiyle tanmlanr. Burada h kanat ile evresi arasndaki s transfer katsays, k kanat malzemesinin s iletim katsaysdr. L= 0.5 m = 4 m1 T(0) = 200 C T(0) = 480 C/m verildiine gre kanat boyunca olan scaklk dalmn ve kanat ucundaki (x=L=0,5 m) scakl belirleyiniz.zm: Bu bir balang-deer problemidir ve

T ' '4T = 0 T(0) = 200 T(0) = -480

eklinde zetlenebilir. Karakteristik denklemm 2 4 = 0 , m1=2 ve m2=-2 bulunur.

Buna gre ;

T ( x) = c1e 2 x + c 2 e 2 x elde edilir. Ayrca , T ( x) = 2c1e2 x + 2c2 e2 x yazlarak koullar yerine konulursa;T(0) = 200 c1+c2 = 200 T (0) = -480 2c1+2c2= 480- 49 Mhendisler in Diferansiyel Denklemler Do.Dr. Tahsin ENGN

sisteminden c1=220 , c2=-20 elde edilir. Bylece T ( x) = 220e 2 x 20e 2 x Kanat ucundaki scaklk iin x=0.5 alnrsa,T ( x = 0.5 m) = 220e 20.5 20e 20.5 = 26.57 C

2. Durum: Eit gerek iki kk m1 = m2

Eer b 2 4ac = 0 ise karakteristik denklemin reel ve eit iki kk olur. Bu durumda

zde iki zm vardr.

y1 = e

m1 x

=e

m2 x

=e

mx

=e

(

b )x 2a

olur.

Lineer bamsz ikinci zm elde etmek iin mertebe drme yntemi uygulanr. Bu

yntemde y2 = ( x) y olarak verilir ve ( x) =ay + by + cy = 0 diferansiyel denklemi y +

e P( x)dx y12

dx tanmlanr.

c b b y + y = 0 yazlrsa P( x) = dr. a a a

Buna gre ( x) =

e (b / a) x

b dx e a

dx = x bulunur.

Buradan y2 = xy1 olur. Dolaysyla diferansiyel denklemin genel zm

y = y1 + y2 = c1e mx + c2 xemx = e mx ( c1 + c2 x ) olur.rnek 3-8 (m1 = m2 ) durumu

y + 6 y + 9 y = 0 diferansiyel denklemini znz.zm:

Karakteristik denklem m2 + 6m + 9 = 0 , (m + 3) 2 = 0 veya m1 = m2 = 3 bulunur. Buna gre y = e 3x (c1 + c2 x) olur.Durum 3: kompleks kk durumu ( m1,2 = i )

= b 2 4ac < 0 kkler kompleks

olur.- 50 Mhendisler in Diferansiyel Denklemler Do.Dr. Tahsin ENGN

Burada i = 1 , =

b 4ac b 2 ve = dr. 2a 2a

imdi y1 ve y2 zmlerine bakalm.

y1 = em1x = e( +i ) x = e x ei x y2 = em2 x = e( i ) x = e x ei x y = y1 + y 2 = Aex e ix + Bex e ix = e x ( Aeix + Beix )burada A ve B keyfi sabitlerdir. zm fonksiyonu komplekstir ancak gerek fonksiyonlarla da ifade edilebilir.

e ix = cos x i sin x Taylor serisi almndan elde edilerek yerine konulursa; ix e = cos x + i sin x Aei x + Beix = A(cosx + i sin x) + A(cosx i sin x) = ( A + B) cosx + i( A B) sin x= C1Cos x + C 2 Sin x

olur. Burada C1 = A + B ve C 2 = i ( A B) olarak keyfi sabitlerdir. Bylece aranan genel zmy = e x (C1Cosx + C 2 Sin x ) olur.

rnek 3-9 m1, 2 = i durumu

(

)

y 2 y + 3 y = 0 diferansiyel denklemini znz.zm:

m 2 2m + 3 = 0m1,2 b b 2 4ac = = 2a ( 2 )

( 2 )2 4 1 3 i2.1

m1,2 = 1 i 2olur. Buradan = 1 ve = 2 olduundan

y = e x C 1 Cos 2 x + C 2 Sin 2 x bulunur.

(

)


3.5. HOMOJEN OLMAYAN DENKLEMLER TEORS

kinci mertebeden lineer, homojen olmayan bir diferansiyel denklem

y + P(x ) y + Q( x ) y = R( x )Bu denklemin homojen hali R ( x ) = 0 iin elde edilir. Buna gre homojen ksm

y h = c1 y 1 + c 2 y 2formunda olacaktr. Buna karn herhangi bir keyfi sabit iermeyen ve homojen olmayan denklemi de salayan zm bir zel zm olarak adlandrlr. Bir sonraki admda, elde dilen homojen ksmn zm tm denklemin zm olacak ekilde deiiklie uratlr. Bu, aadaki teorem ile yaplr:Teorem: eer y , y + P( x ) y + Q( x ) y = R(x ) denkleminin bir zel zm ise bu halde

denklemin genel zmy = y h + y = c1 y1 + c 2 y 2 + y

olur. P, R ve Q fonksiyonlar x1 < x < x2 aralnda srekli fonksiyonlardr. Burada unu belirtelim ki zel zm tek deildir. Homojen olmayan diferansiyel denklemi salayabilecek ok sayda zmler vardr ve bunlardan herhangi biri zel zmn yerini alabilir. rnein

y 4 y = 8

denkleminin

homojen

ksmnn

zm

y (x ) = c1e 2 x + c 2 e 2 x dir. Bu zmn homojen olmayan denklemin de genel zm

olabilmesi iin bir zel zme ihtiya vardr. Kontrol edilirse y = 2 nin verilen diferansiyel denklemi salad grlr. Bylece homojen olmayan diferansiyel denklemin genel zm,

y ( x ) = c1 e 2 x + c 2 e 2 x 2olur. Biz, zel zm olarak

y = 2 + e 2 x

veya

y = 2 + 4 e 2 x

hatta

y = 2 (3e 2 x + 5e 2 x ) ifadesini de sesek homojen olmayan denklemin yine salandngrrz. Bunun nedeni, iki zmn lineer kombinasyonlarnn da zm olmasdr. Burada,

y = 2 zm en basitidir. Homojen olmayan denklemin genel zm, zel zmnseiminden etkilenmez. Sonuta homojen ksmn zm y h = c1 y 1 + c 2 y 2 halinde ifade edileceinden, ortak paranteze almak suretiyle, genel zm yine y h = c1 y 1 + c 2 y 2 2 olur. Homojen olmayan terim R( x ) genellikle birka terimden oluur ve bazen her bir terime karlk gelen zel zmler elde edilerek toplanabilir.


Teorem: Sperpozisyon ilkesi

Eer, y1 , y + P(x ) y + Q(x ) y = R1 (x ) diferansiyel denkleminin bir zel zm ve y 2 ,

y + P( x ) y + Q( x ) y = R2 ( x )

denkleminin

bir

zel

zm

ise

y1 + y 2 ,

y + P( x ) y + Q( x ) y = R1 ( x ) + R2 ( x ) denkleminin bir zel zmdr.3.6. HOMOJEN OLMAYAN DENKLEMLER; BELRSZ KATSAYILAR YNTEM

Homojen olmayan bir diferansiyel denklemi zmenin en basit yolu belirsiz katsaylar yntemidir. y + P (x ) y + Q( x ) y = R(x ) diferansiyel denklemi sabit katsay halde yazlrsa,

y + by + c = R( x )

elde ederiz. R( x ) teriminin alaca baz zel haller iin bu yntem son derece kullanldr. Bunlar: 1. R( x ) = k sabit 2. 3. 4.

R( x ) = Pn (x ) xe bal bir polinom R( x ) = Ae kx stel fonksiyonR( x ) = A sin x veya B cos x

5. veya bunlarn sonlu sayda arpanndan olumu fonksiyonlar, Ae kx Pn (x ) sin x gibi. Her ne kadar R( x ) iin verdiimiz bu haller ok kstlayc grnse de uygulamada karlalan ou problem bu snfa girmektedir. Eer denklem deiken katsayl ise, metodun bir garantisi yoktur. Ayrca, 1 x veya tan x gibi sonsuz sayda lineer bamsz trevi bulunan R( x ) formlar iin de metot pratik deildir. Bu tr durumlar iin ileride grlecek olan sabitin deiimi yntemi daha uygun olmaktadr.rnek 3-10 R ( x ) = e kx

y 4 y = 10e 3 x diferansiyel denklemini znz.zm: y = Ae3x alalm ve verilen denklemi salamas iin A sabitinin ne olmas gerektiine bakalm. y = 3 Ae 3 x

y = 9 Ae 3 x

olduundan 9 Ae 3 x 4 Ae 3 x = 10 e 3 x A = 2 Dolaysyla zel zm y = 2e 3 x olur. Not: zel zmn sabit bir say ile arpm bir baka zel zm olmaz.- 53 Mhendisler in Diferansiyel Denklemler Do.Dr. Tahsin ENGN

rnek 3-11 R ( x ) = sin x y + y 3 y = 6 sin 2 x diferansiyel denklemini znz. zm:

y = A sin 2 x y = 2 A cos 2 x denklemde yazalm. y = 4 A sin 2 x

sin 2 x( 4 A 3 A) + 2 A cos 2 x = 6 sin 2 x

4 A sin 2 x + 2 A cos 2 x 3 A sin 2 x = 6 sin 2 x

6 A = , 2 A = 0 , A = 0 buluruz ki bu imkanszdr. Peki nerede hata yaplmtr? Sorunun 7 cevab basittir. nerilen zmn trevleri lineer baml olmayan fonksiyonlar tretmektedir. Dolaysyla nerinin y = A sin 2 x + B cos 2 x eklinde olmas gerekirdi. Buna gre y = 2 A cos 2 x 2 B sin 2 x y = 4 A sin 2 x 4 B cos 2 x

4 A sin 2 x 4 B cos 2 x + 2 A cos 2 x 2 B sin 2 x 3 A sin 2 x 3 B cos 2 x = 6 sin 2 x sin 2 x( 4 A 2 B 3 A) + cos 2 x( 4 B + 2 A 3 B ) = 6 sin 2 x + 0. cos 2 x 7 A 2 B = 6 ikinci eitlik 7, birincisi 2 ile arplrsa 2 A 7B = 0 14 A 4 B = 1214 A 49 B = 0 12 53 7 B 7 12 42 A= = = 2 2 53 53 6 y = ( sin 2 x + 7 cos 2 x ) 53

53B = 12 B =


rnek 3-12 R ( x ) = Pn (x )

y + 2 y 4 y = 8 x 2 diferansiyel denklemini znz.zm: zm teklifi y = Ax 2 + Bx + C eklinde olmaldr. y = 2 Ax + B y = 2 A2 A + 4 Ax + 2 B 4 Ax 2 4 Bx 4C = 8 x 2

x 2 ( 4 A) + x(4 A 4 B ) + 2 A + 2 B 4C = 8 x 2

4 A 4B = 0 denklem sisteminden A = B = C = 2 2 A + 2 B 4C = 0

4A = 8

y = 2 x 2 + x + 1

(

)teklifi yaplm olsayd a = 0 , b = c = d = 2

Not: Eer y = ax 3 + bx 2 + cx + d bulunacakt.

rnek 3-13 zel zmlerin sperpozisyonu

y + 2 y 4 y = 8 x 2 3 x + 1 + 2 sin x + 4 cos x 6 e 2 x diferansiyel denkleminin bir zelzmn bulunuz.zm: Verilen denklem y + 2 y 4 y = 8 x 2 3 x + 1 + (2 sin x + 4 cos x ) 6 e 2 x yazlrsa, aranan zel zmn

(

)

(

)

eklinde

y = A1 x 2 + A2 x + A3 + (B1 sin x + B2 cos 2 x ) + Ce 2 x formunda olacan syleyebiliriz. Bu ekilde y ve y trevlerini alarak ve verilen diferansiyel denklemde

(

)

yerine yazarak A1 , A2 , A3 , B1 , B2 ,C eklinde alt katsayy belirlemek mmkndr. Ancak bu uzun ve hata yapmaya elverili bir yol olur. Bunun yerine problemi aamada zmek ve sonuta her aamada elde edilen zel zmleri toplamak da ayn sonucu verecektir.

R1 ( x) = 8 x 2 3 x + 1 iin y 1 = A1 x 2 + A2 x + A3 R2 ( x) = 2sin x + 4cos x iin y 2 = B1 sin x + B 2 cos xR3 ( x) = 6e 2 x iin y 3 = Ce 2 x

yazlarak zm yaplrsa


y 1 = 2 x 2 + 1.25 x + 0.375 2 24 y2 = sin x cos x y = y 1 + y 2 + y 3 olur. 29 29 2 2x y 3 = e 3 rnek 3-14 zel zmler (Fonksiyon arpmlar) y + 2 y 4 y = xe 2 x + 5e 2 x denkleminin bir zel zmn bulunuz. zm: nceki rneklerden farkl olarak burada xe 2 x eklinde fonksiyon arpm vardr. zel zmn yaps hakknda bir fikir edinmek iin bu fonksiyonun ilk iki trevine bakalm.

R1 (x ) = xe 2 x

R1 ( x ) = e 2 x + 2 xe 2 x ve R1 ( x ) = 2e 2 x + 2e 2 x + 4 xe 2 x

Grld gibi trevlerden e 2 x ve xe 2 x gibi lineer baml olmayan iki ifade gelmektedir. O halde nerilecek zel zm bu iki ifadenin lineer bir kombinasyonu eklinde olmaldr. Dolaysyla

y = Axe 2 x + Be 2 x = ( Ax + B )e 2 x

Denklemin sandaki 5e 2 x terimi ise Ce 2 x eklinde bir ifadeyi getirecektir. Ancak bunu da Be 2 x terimi ile zaten dikkate alm oluyoruz. Birinci ve ikinci trevleri alp diferansiyel denklemde yazalm: y = Ae 2 x + 2 ( Ax + B ) e2 x y = 2 Ae 2 x y = 4 Ae 2 x + 2 Ae2 x + 2 ( Ax + B ) e2 x denklemde yazlrsa + 4 Axe2 x + 4 Be2 x

[e

2x

(4 A + 4 B ) + 4 Axe 2 x ] + 2 Ae 2 x + 4 Axe 2 x

+ 4 Be 2 x 4 Axe 2 x 4 Be 2 x = xe 1 x + 5e 2 x

e 2 x [4 A + 4 B + 2 A + 4 B 4 B ] + xe 2 x [4 A + 4 A 4 A] = xe 2 x + 5e 2 x1 1 3 6 A + 4 B = 5 6. + 4 B = 5 B = 5 4 4 2 1 7 4A = 1 A = ve B = 4 8 7 1 Bylece zel zm y = x + e 2 x olur. 8 4Burada unun altn izmemiz gerekir: Fonksiyonlarn arpm eklinde verilen bir R( x ) iin teklif edilecek olan zel zm, arpma katlan her bir fonksiyonun zel zmlerinin arpmdr.- 56 Mhendisler in Diferansiyel Denklemler Do.Dr. Tahsin ENGN

rnein R ( x ) = xe 2 x iin x den dolay Ax + B ve e 2 x den dolay Ce 2 x nerilmelidir.

Dolaysyla xe x iin y = ( Ax + B )Ce 2 x = AC x + BC e 2 xK1 K2

y = (K1 x + K 2 )e 2 x olmaldr.

rnek 3-15 Balang-deer problemi

T (T Th ) = 0

Th

scaklndaki

hava

ortamnda

bulunan

bir

kanatktaki

scaklk

dalm

ile tanmlanr.

= 4 , T (0) = 200 0 C , T (0) = 420 0 C m ve

Th = 20 0 C verildiine gre kanatktaki scaklk dalmn bulunuz.zm: Verilen balang-deer problemiT 4T = 80 ; T (0) = 200 ; T (0) = 420 olarak zetlenebilir. Denklem ikinci mertebeden basit katsayl homojen olmayan bir diferansiyel denklemdir. Karakteristik denklem m 2 4 = 0 , m = 2 olur. Dolaysyla homojen ksmn genel zm

T (x ) = C1e 2 x + C 2 e 2 x denklemin sa yan, yani R(x) sabit olduundan y = A teklifi uygundur. y = y = 0 alarak denklemde yazalm.

0 4 A = 80 , A = 20Dolaysyla y = 20 olur. Buna gre homojen olmayan denklemin genel zm

T (x ) = C1e 2 x + C 2 e 2 x + 20Verilen koullar kullanmak zere

T ( x ) = 2C 1 e 2 x + 2C 2 e 2 x yazlarakT (0) = 200 C1 + C 2 = 200 T (0) = 420 2C1 + 2C 2 = 420

C 1 = 15 C 2 = 195 olarak elde edilir. Bylece aranan denklem

T ( x ) = 15e 2 x + 195e 2 x olur.Not: Verilen balang artlarnn problemin genel zm denklemine uygulanmas gerektii unutulmamaldr. Sadece homojen ksmn zmne veya zel zme bu artlar uygulanmamaldr.


3.7. HOMOJEN OLMAYAN DENKLEMLER: SABTN DEM METODU

Bir nceki blmde anlatlan belirsiz katsaylar metodu olduka basit ve dz bir mantkla hareket etmeyi gerektirir. Ancak iki nemli dezavantaja sahip olmas bu metodun genellemesini engellemitir. Bunlardan biri denklemin sabit katsayl olmak zorunda olmas, bir dieri homojen olmayan ksmn - R( x) - belirli tiplerde olmas gerekliliidir. Bu iki eksiklii gideren metot sabitin deiimi metodudur. Tek dezavantaj homojen ksmn zmnn yaplm olmasn gerektirmesidir. lk defa Lagrange tarafnda gelitirildii iin Lagrange Teoremi veya Green Teoremi olarak bilinir. nceki blmden bildiimiz gibi y + P (x ) y + Q( x ) y = R(x ) diferansiyel denkleminin homojen ksmnn yani y + P (x ) y + Q( x ) y = 0 denkleminin y 1 ve y 2 gibi iki tane lineer bamsz zm fonksiyonu vardr ve bu zm y h = C 1 y 1 + C 2 y 2 eklinde bu fonksiyonlarn lineer bir kombinasyonudur. Bu zm metodunun arkasndaki temel fikiry o = u1 y1 + u 2 y 2

formunda bir zel zm araydr. Bylece u sorunun cevab aranr: Homojen ksmnn zmnde yer alan C1 ve C2 sabiti nasl birer u1(x) ve u2(x) fonksiyonlar olmal ki yukardaki ifade homojen olmayan diferansiyel denklemin bir zel zm olabilsin. ki tane bilinmeyen fonksiyonu belirleyebilmek iin iki denkleme ihtiya vardr. Bunlardan biri y zmnn diferansiyel denklemi salama artndan, dieri ise bu iki fonksiyonun bizim tarafmzdan seilecek bir art salamasndan elde edilir.

yo = (u1 y1 + u2 y2 ) + (u1 y1 + u2 y2 ),imdi kendi artmz (btnler art)

u1 = u1 ( x), u2 = u2 ( x)

u1 y1 + u 2 y 2 = 0olacak ekilde belirleyelim. Bunu dikkate alarak ikinci trevi alalm. y o = u1 y1 + u 2 y 2 + u1 y1 + u 2 y 2 imdi de y o ve y o ifadelerini diferansiyel denklemde yerine koyalm. Bylece aadaki ifadeyi elde ederiz. u1 ( y1 + Py1 + Qy ) + u 2 ( y 2 + Py 2 + Qy 2 ) + u1 y1 + u 2 y 2 = R ( x )

Ancak y1 ve y2 ilgili homojen denklemin zm olduklarndan parantez ileri sfr olur. Bylece u1 y1 + u 2 y = R ( x ) 2

denklemi bulunur. Bu denklem ile btnler art olarak elde ettiimiz denklemin ( u1 y1 + u 2 y 2 = 0 ) oluturduu denklem sisteminin zmnden, u1 = y2 R ( x ) y1 y2 y1 y2 ve u2 = y1R( x) y1 y2 y1 y2


bulunur. Her iki denklemin paydasndaki y1 y 2 y1 y 2 Wronskian deeri olup, y1 ve y2 lineer bamsz olduundan her zaman sfrdan farkl deerler alr. Bylece aradmz fonksiyonlar, u1 = y 2 R ( x) dx y1 y 2 y1 y 2 ve u2 = y1 R ( x) dx y1 y y1 y 2 2

olacaktr. Buradaki integrallerin sonucunda gelecek sabitlerin dikkate alnmamas aranan genel zm etkilemez. Bu yzden integral sabitleri bu aamada dahil edilmez. Bylece zel zm elde edildikten sonar, genel zm,y = y h + y = c1 y1 + c 2 y 2 + u1 y1u 2 y 2 = (u1 + c1 ) y1 + (u 2 + c 2 ) y 2 olur.

Yukarda u1 ve u2 nin elde edilmesi srasndaki integraller bazen analitik olarak alnmayabilirler. Bu durumda saysal integral alma yoluna gidilir.rnek 3-16 Sabitin deiimi metodu ex y 2 y + y = diferansiyel denkleminin genel zmn bulunuz . x zm

m 2 2m + 1 = 0 m1 = m2 = 1 olduundan homojen ksmn zmy h = c1e x + c 2 xe x Aka grlyor ki y1 = e x , y1 = e x y 2 = e x + xe x = e x ( x + 1) olduundan

y 2 = xe x tir. Ayrca R ( x) =

ex ve x

W = y1 y 2 y1 y 2 = e x (e x + xe x ) e x xe x = e 2 x + xe 2 x xe 2 x = e 2 x olur. u1 ( x) = u2 ( x ) = y2 R ( x ) xe x e x dx = 2 x dx = dx = x W e x

Bylece

y1R ( x) exex dx dx = 2 x dx = = ln x W x e x

Dolaysyla aradmz zel zm,

y = u1 y1 + u 2 y 2 = xe x + xe x ln x ve genel zm, y = c1 y1 c 2 y 2 + y = c1e x + c 2 xe x xe x + xe x ln x y = c1e x + K 2 xe x + xe x ln x olur. K 2 = C2 1 dir.


3.8 EULER DENKLEMLER

imdiye kadar sabit katsayl lineer denklemler zerinde durduk. Katsaylarn deiken olmas durumunda ise sadece baz zel durumlar dnda, basit bir zm yolu yoktur. Sabit katsayl lineer bir denkleme dntrlebilen Euler (veya Euler-Cauchy) denklemi buna bir rnektir. Denklem,

x 2 y + bxy + cy = r ( x)formunda verilir ve b, c sabitlerdir. Euler denklemi genellikle

y +

b c y + 2 y = R( x), x x

x 0 standart eklinde verilir. Aka grlyor ki x=0 iin

zm yoktur.Dolaysyla zm aral bu noktay harite brakacak ekilde seilmelidir. Ayrca mutlak deer iaretini kullanmamak iin x > 0 durumlar incelenecektir. Ancak x0 olmak zere x 2 y 2 xy 4 y = 0 diferansiyel denklemini znz.zm Verilen denklem bir Euler denklemidir. Denklem standart formda yazlrsa,

y

2 4 y 2 y = 0 olarak , x x

2 b b = 2 x x elde edilerek c 4 2 c = 4 x2 x d2y dt2

3

dy 4y = 0 dt

Bu ise ikinci mertebeden, lineer, sabit katsayl ve homojen bir diferansiyel denklem olup karakteristik denklemi

m 2 3m 4 = 0 genel zm,

m1 = 1 ve

m2 = 4 bulunur. Buna gre dntrlm denklemin

y (t ) = c1e t + c 2 e 4t olur. Ancak t = ln x olduundan,


y ( x) = c1e ln x + c 2 e 4 ln x = c1e ln x + c 2 e ln x = c1 + c2 x 4 x1 4

Not: e ln u = u

Euler denklemlerinin genel zm, alternatif bir yol izlendiinde, aadaki gibi de zetlenebilir.

x 2 y + bxy + cy = 0 diferansiyel denkleminde y=xr dnm uygulandnda denklem,x r r 2 + (b 1)r + c = 0 halini alr. Bu denklemin r1 ve r2 kkleri iin u genellemeler yaplabilir. 1. 2. 3. y = c1 x 1 + c2 x y= xr r2 r

,

y = (c1 + c 2 ln x ) x ,

r1 r2 gerek kkler r1 = r2 = r gerek kk r1, 2 = i

[c1 sin( ln x + c2 cos( ln x )],

Burada c1 ve c2 sabit olup x>0 iin mutlak deer iaretleri kaldrlabilir. Eer zm < x < 0 aralnda aranyorsa x = x alnr. Bunlarn dnda eer Euler denklemi

( x x0 ) 2 y + b( x x0 ) y + cy = r ( x)formunda verilmi olabilir. Bu durumda; a)- y = ( x x0 ) r b)- t = x x 0 c)- x x 0 = e t dnmlerinden biri uygulanarak verilen denklem sabit katsayl hale getirilebilir.

ve

y = tr


rnek 3-18 Metotlarn karlatrlmas x 2 y 2 xy 4 y = 0 Euler denkleminin x>0 iin ve y = x r dnm yaparak genel zmn bulunuz. zm

y = xr ,

y = re r 1

ve

y = r (r 1)e r 2 elde ederek verilen denklemde yazalm.

x 2 r (r 1) x r 2 2 x rx r 1 4 x r = 0 , x r r 2 3r 4 = 0 denklemine ulalr. x>0 olduundan x r 0 , dolaysyla parantez ii sfr olmaldr. Buna gre r1 = 1 ve r2 = 4bulunarak genel zm;

[

]

[

]

[

]

y = c1 x 1 + c 2 x

r

r2

y = c1 x 1 + c 2 x 4 =

c1 + c 2 x 4 elde edilir. x

rnel 3-19 Euler denklemleri (zel zmnn bulunmas) x>0 olmak zere x 2 y 2 xy 4 y = 10 x diferansiyel denkleminin genel zmn bulunuz. zm

Bir nceki rnekten y =

c1 + c 2 x 4 olarak elde etmitik. Her ne kadar denklemin sa yan x

10x olduundan akla ilk gelebilecek zel zm teklifi y=Ax+B olsa da, bu zme belirsiz katsaylar metodu ile gitmenin bir garantisi yoktur. Dolaysyla sabitin deiimi metodu kullanlacaktr. zellikle denklemi, metodun uygulanabilecei standart hale getirmeliyiz.

y dir.

2 4 10 y 2 y = x x x

,

yh =

c1 10 1 + c 2 x 4 olduundan R ( x) = , y1 = , y 2 = x 2 x x x

Wronkskian ise; W = y1 y y1 y 2 = 2 u1 = u2 = Bu

1 1 (4 x 3 ) ( 2 ) x 4 = 5 x 2 olur. Bylece; x x

y 2 R( x) 10 x 4 dx = dx = x 2 W 5x 2 y1 R( x) 1 1 2 dx = dx = 3 2 W x 5x 3xgre

duruma

y = u1 y1 + u 2 y 2 = x 2

1 2 5 3 4 = x x 3x x 3

ve

genel

zm

y = y h + y =

c1 5 + c 2 x 4 x olacaktr. 3 x


3.9. KNC MERTEBEDEN SABT KATSAYILI LNEER DFERANSYEL DENKLEMLERN UYGULAMALARI

rnek 3-20 Snmsz Serbest titreimler

k x mStatik durum

k

m

t=0

Srtnmesiz bir yay-ktle sistemi denge halindeyken ktle aa doru X0 mesafesine kadar ekilip V0 hzna ulatktan sonra t=0 annda serbest braklmtr. Yayn deforme olmam konumu x=0 olarak ve aa yn pozitif kabul ederek ktlenin konumunu zamann fonksiyonu x(t) olarak elde ediniz. Ayrca titreimin genliini ve periyodunu belirleyiniz.

zm: Yay-ktle-snmleyiciden oluan bir sistemin hareket denklemi Newtonun ikinci kanunundan dx + kx = Fd diferansiyel denklemi olarak elde edilir. Burada m yaya bal dt dt cismin ktlesi, c snmleme katsays ve k yay sabitidir. Fd ise zorlanm snmleme durumlar hari sfrdr. Verilen problemde snmleme eleman yoktur (c=0). Ayrca d kuvvet, srtnme veya bakaca bir snmleme kuvveti bulunmadndan denklem m2

d 2x

+c

mx + kx = 0halini alr. artlar olarak x(0) = x0 ve x(0) = v0 yazlabilir. Bu denklem ise lineer, homojen ve sabit katsayldr. Denklemi standart hale getirmek iin m ile blersek, x+ k x=0 m veya2 x + 0 x = 0 bulunur. Bylece karekteristik denklemimiz,

2 r 2 + 0 = 0,

r = i 0 ve

x(t ) = c1 cos 0 t + c 2 sin 0 t

c1 ve c2 sabitleri balang

artlarndan belirlenirse,

c1 = x0 c2 =

v0

0v0

elde edilir. Buna gre x(t ) = x0 cos 0 t +

0

sin 0 t

bulunur. Aka grlyor ki bir

periyodik harekettir. rdeleme asndan daha uygun olmas nedeniyle bu ifade trigonometrik bir dnmle,

x(t ) = A cos( 0 t ) eklinde verilir. A ve nn belirlenmesi iin cos(a-b) zdeliindenyararlanlarak bu ifade alr ve yukardaki ifadeyle karlatrlarak,


2 + x0 v = tan 1 0 0 x0 olup faz as adn alr. Elde edilebilir. Buradaki deerinin A sin = salamas gerekir.

v A= 0 0

2

v0

0

ifadesini

x(t ) = A cos( 0 t ) basit harmonik hareketi tanmlar. cos(x) fonksiyonunun alabileceimaksimum deer 1 olduundan buradaki A maksimum genliktir. Bylece ktle A ve +A arasnda salnm yapar. cos fonksiyonu 2n (n tamsay) alarnda 1 deerini alacandan 2n + , n = 0,1,2,3,.... olarak ktlenin maksimum genlik 0 noktalarndan geecegi zamanlar hesaplanabilir. Ardk iki maksimum nokta arasnda geen sreye periyot (T ) denildiini biliyoruz. 0 t = 2n t = Buna gre,

0 2 + 2 n =1 iin t 2 = = + 0 0 0 2 1 T = t 2 t1 = olur. Peryodun (T) tersi ise frekanstr (f) ve f = = 0 eklinde ifade T 2 0n=0 iin t1 =k ifadesi ise m

edilir. Frekansn birimi evrim/s olup ksaca Hz. ile gsterilir. 0 = sistemin doal frekansdr.


rnek 3-21 Snmsz Zorlanm Titreimler: Bazen yay-ktle-snmleyici sistemleri mekanik sistem zerine etki eden d kuvvetlere maruz kalr. Bu tr kuvvetler genel olarak periyodik karakterli olup F0 cos t veya F0 sin t gibi fonksiyonlarla temsil edilirler. Balangta hareketsiz bulunan ( x(0) = 0, x (0) = 0) bir ktle-yay sistemini dikkate alalm. D kuvvet ise F0 cos t uyarnca zamanla deimektedir. Sistem srtnmesiz olup snmleme eleman yoktur. (c=0) 0 durumu iin ktlenin konumunu zamann fonksiyonu olarak elde ediniz. zm Hareketi tanmlayan diferansiyel denklem mx + kx = F0 cos t olur. Standart formda ise k F 2 x + 0 x = 0 cos t Denklemin homojen ksmnn m 0 x ( 0) = 0 zm x h = c1 cos 0 t + c 2 sin 0 t olurken zel zm m F0 / m x(0) = 0 x iin x = 2 cos 0t elde ederiz. Bylece genel 0 Fnet = F0 cos t F /m cos 0 t zm x(t ) = c1 cos 0 t + c 2 sin 0 t + 20 0 0 F0 Balang artlarn dikkate aldmzda ise; c1 = ve c 2 = 0 elde edilir. Sonu 2 m( 0 2 ) olarak aranan genel zm,

x(t ) =

F0 / m2 0 2

(cos t cos 0 t ) olarak elde edilir.

rnek 3-22 Snml Serbest titreimler Snml serbest titreim hareketini tanmlayan diferansiyel denklem mx + cx + kx = 0 olrak verildiine gre, x(0) = x 0 , x (0) = v 0 olarak bir ktle-yay snmleyici sistemindeki ktlenin konumunu

a) c)

c 2 4mk > 0c 2 4mk < 0

b) c 2 4mk = 0

durumlar iin elde ediniz. Her eriyi bir x-t grafiinde gsteriniz.rnek 3-22 Snml Zorlanm titreimler

Yukardaki rnein diferansiyel denklemin

mx + cx + kx = F0 cos t olmas halinde c 2 4mk > 0 durumu iin znz.


zm

x = A cos t + B sin t A=2 F0 m( 0 2 ) 2 m 2 ( 0 0 ) + c 2 2

B = Ac x h = c1e r1t + c 2 e r2trnek 3-23 Elektrik Devreleri kinci mertebeden, lineer, sabit katsayl diferansiyel denklemlerin nemli bir uygulama alanda,elektrik mhendisliinde sklkla karlalan, basit RLC devreleridir. Bu tr bir devre R direncine sahip bir rezistr, C sasna sahip bir kapasitr (veya kondansr) ve L indktansna sahip bir bobinden oluur.

R ()

S Gerilim(V)

Uygulanan

C (Farad)

L(henry)Devreye elektrik enerjisi bir batarya, bir jenaratr, radyo veya TV sinyali, veya basit olarak ev cereyanndan salanr. Bir batarya E0 gibi sabit bir gerilim retirken bir jenaratr E 0 cos t veya E 0 sin t eklinde periyodik gerilim retir. Bu durumlarda E0, Volt olarak gerilim genlii olur. Bir elektirik devresindeki ana byklk devreden geen akmdr ve birim zamanda akan dQ elektrik yk olarak I = ile tanmlanr. dt Bir elektrik devresindeki gerilim dmleinin toplam uygulanan gerilime eittir (Kirchhoff kanunu). Bu gerilim dmleri, R direnci iin E R = I R dI L bobini iin E L = L dt Q C eklinde ifade edilir. Buna gre Kirchhoff kanunundan C kondansatr iin E C = dI 1 + RI + Q = E (t ) elde edilir. Burada E(t) devreye uygulanan gerilimdir. Ancak dt C denklemin bu hali, iki taraf baml deiken; I,Q ierdiinden, kullanl deildir. Bunun dQ yerine denklem I = olduu dikkate alnarak, dt L


L

d 2Q dt2

+R

dQ 1 + Q = E (t ) dt C

eklinde sadece Qya bal olarak elde edilebilir. Ayrca yukarda I ya gre verilen denklemi t ye gre treterek, L d 2I dt2

+R

dI 1 dQ dE (t ) + = dt C dt dt

veya

I=

dQ alarak dt

dE (t ) dI 1 + I= elde edilir. Bu denklemin genel zmnden c1 ve c2 gibi iki dt C dt dt keyfi sabit gelir. Bunlar belirlemek iin genelikle L2

d 2I

+R

Q (0) = I (0) = I 0 eklinde iki balang art tanmlanr. Eer Qya gre dQ ifadesinden akmda zlr. Dier ifadde edilen diferansiyel denklem zlrse, I = dt yandan nce I akm belirlenmise ayn ifadeden integrasyon yoluyla Qya geilebilir. vernek 3-24 Basit Elektrik Devreleri

Q (0) = Q0

Bir RLC devresine uygulanan E (t ) = E 0 sin t periyodik gerilimi iin devreden geen E 0 cos(t ) RC , = tan 1 ifadesine gre deitiini akmn I (t ) = 1 2 1 LC 2 2 R + (L ) C gsteriniz. Akm ifadesinin paydas genelde uygulamada empedans olarak tanmlanr ve1 Z = R 2 + L eklindedir. Empedans bir RLC devresinin etkin direncini temsil C 1 olduundan minimum olur, dolaysyla maksimum akm devreden eder ve r = LC dz = 0 dan bulunur) Frekansn bu deerine ( r ) zel olarak gemeye balar. ( d rezonans frekans denir. Rezonans ou mekanik sistemler iin ykc etkisi olan ve kanlmas gereken bir olay olmasna karn elektrik sistemlerinde ou cihazlar rezonans esasna gre alrlar ve bu durum istenen bir durumdur.2


Blm 3 ile ilgili problemler

3.1 a) b) c) d)

Bir dif. Denklemin lineer olup olmadn nasl anlarsnz. Sa taraf sabit olmayan bir diferansiyel denklem sabit katsayl olabilirmi? Hangi koullarda bir lineer balang-deer probleminin kesin bir zm vardr. Hangi koullarda bir ikinci mertebeden lineer snr-deer probleminin tek bir zm vardr.

3.2. Aadaki denklemlerin lineer olup olmadklarn, homojen olup olmadklarn, sabit veya deiken katsayl olup olmadklarn belirtiniz. a) y + 3 yy = 6 x 2 b) y + xy 3 y = sin 2 x c) d) e) f) g) h) i) j) y + 2 y 2 y + 2 y = xe 3 x y + y = x 2 cos x 1 y + e x y = x y y + e y 2 y = 6 1 y + = 1 y y 8 y e ln y = 0 y 5 y + cos y = x 1 y sin 2 xy + y = 0

3.3. Aadaki balang deer problemlerinin tek bir zme sahip olduu aral belirleyiniz. a) y + 3 y = cos x, y ( ) = 0 ve y ( ) = 2 b) c) x 2 y + 2 xy y = e x , ( x 1) y + 2 xy y = e2

y (0) = 2 ve y (0) = 5x

,

y ( 2) = 3 ve y (2) = 7

d) ( x 2 4) y 3xy 2 y = 0,

y (1) = 0 ve y (1) = 7

3.4. Aada genel zmleri verilen diferansiyel denklemleri elde ediniz.(ipucu: verilen ifadeyi iki kez tretip c1 ve c2 yi yok ediniz.) a) b) c) d) e) f)

y = c1e 2 x + c 2 e 2 x y = c1 x + c 2 y = c1 sinh 2 x + c 2 cosh 2 x sin x cos x y = c1 + c2 x x c1 ln x y = + c2 x x 2 y = c1 x + c 2 x


3.5. lineer Bamllk ve Wronskian Fonksiyonlar a) y1 = 0 ve y 2 = f ( x) lineer bamlmdr. b) 5 ayr fonksiyonun wronskian baz x deerleri iin sfr olurken bazlar iin deildir. Bu fonksiyonlar lineer baml m lineer bamsz mdr? 3.6. Aadaki fonksiyonlarn (1) kontrol yntemiyle (2) Wronskian deerleri yardmyla lineer baml olup olmadklarn belirleyiniz. a) b) c) d) e) f) g) y1 = x + 1 y1 = e x + e x ve y2 = x 2 1 ve y 2 = cosh x

y1 = x

3

ve

y2 = x3ve y 2 = e x cos 2 x ve y 2 = x + 2 ve y 2 = sin + sin

y1 = e x sin x y1 = x + 2 y1 = sin( + )

y1 = x

2

ve y 2 = 2

3.7. Wronskian Deerlerini hesaplayarak aadaki fonksiyonlarn lineer baml olup olmadklarn gsteriniz. a) b) c) d) e)

y1 = x + 1,y1 = x 2 , y1 = x ,

y2 = x3 ,y 2 = 5, y 2 = x,

y3 = x 2 1

y3 = x 2 1 y3 = 1 y3 = e x

y1 = e x sin x,

y 2 = e x cos x,

y1 = e x ,

y 2 = xe x ,

y3 = x 2 e x

3.8. Homojen Denklemler Teorisi a) Sperpozisyon ilkesinin uygulanabilmesi iin bir diferansiyel denklemin lineer ve homojen bir diferansiyel denklem olmas art mdr? b) Hangi tr diferansiyel denklemler iin bir zmn sabit bir sayya arpm da zmdr. 3.8.1. y1 aada verilen diferansiyel denklemlerin bir zmyse ky (k=sabit) ifadesin de verilen denklemin zm olup olmadn gsteriniz. a) y + e y y 2 y = 6 b) y 2 y + 3 y = 0 c) d) e) f) y 2 y + y = x 3 cos 2 x y x 2 y = x + 1

x 2 y + ( x 1) y = 1x 2 y 5 y = 0

3.8.2.Aadaki diferansiyel denklemlerin iki zm (y1,y2) yanlarnda verilmitir. Hangi zm iftleri iin W(y1,y2)nin x>0 olmak zere hi bir zaman sfr olamayacan syleyiniz. W(y1,y2) Deerinin her bir ift iin hesabn yaparak dncenizin doruluunu kontrol ediniz. y1 = e 2 x y2 = 3e 2 x a) y 4 y = 0 b)

y 4 y = 0

y1 = 3e 2 x

y2 = e3 2 x


c) d) e) f) g)

y + 5 xy 3 y = 0 y + 5 xy 3 y = 0 x 2 y 2 xy 4 y = 0 y + y = 0 x 2 y + 5 xy + 4 y = 0

y1 =

1 x3 1

ve ve ve ve

y2 =

2 x 1 x1 3

y1 = 3 x 3 y1 = 2 x 4 y1 = sin x y1 =

y2 =

y2 = 4e 4 ln x y2 = cos x ve y2 = ln x 3 x2

5 ln x x2

3.8.3. x>0 iin y1 ve y2 gibi iki zm verilen aadaki diferansiyel denklemleri gz nne alarak bu iki zmn genel bir zm seti oluturup oluturamayacan belirleyiniz. Oluturulabilen zm iftleri iin bu seti oluturunuz. y 9 y = 0 da y1 = e3 x ve y2 = e 3 x lineer bamsz olduklarndan rnein,

Y ( x) = c1e3 x + c2e 3 x tm zmlerin elde edilebilecei bir zm seti olur.a) b) c) d) e) f) g) y y = 0 y y = 0 x 2 y + 3 xy + y = 0 x 2 y + 3 xy + y = 0 y 4 y + 4 y = 0 y 2 y + 3 y = 0 y1 = e x ve y2 = e x y1 = sinh x ve y2 = cosh x 1 ln x y1 = ve y2 = x x 1 3 y1 = ve y2 = x x y1 = e 2 x ve y2 = xe 2 x ve y2 = e x cos 2 x y1 = e x sin 2 x

y 9 y = 0

y1 = e3 x

ve

y2 = e 5 3 x

3.9.Baz durumlarda, zmlerden biri bilinen ikinci mertebeden lineer ve homojen bir denklem ( y + P ( x) y + Q ( x) y = 0 ) birinci mertebeden hale getirilebilir. Bilinen zm y1 0 olmak zere aranan dier zm y2 = v( x) y1 , burada P ( x ) dx e dx v( x) = 2 y1

ile verilir. Bylece bata verilen denklemin genel zm y = c1 y1 + c2v( x) y1 olur. Bu metod mertebe drme metodu olarak bilinir. Buna gre aadaki denklemlerin ikinci lineer bamsz zmlerini elde ediniz. a) y y = 0 , y1 = e x b) y + 4 y = 0 , y1 = cos 2 x c) d) e) f) g) y 4 y + 4 y = 0 , y1 = e 2 x y 9 y = 0 , y1 = sin 3x 1 cos x x 2 y + xy + ( x 2 ) y = 0 , y1 = 4 x 1 x 2 y + 3 xy + y = 0 , y1 = x1

x 2 y + 5 xy 3 y = 0

,

y1 = x 3


3.10. Sabit Katsayl Homojen Denklemler 3.10.1. Aadaki Denklemlerin genel zmlerini bulunuz. a) y + y = 0 b) y + 2 y + y = 0 c) d) e) f) g) h)

y + 2 y = 0y 2 y = 0 y + 5 y + 4 y = 0 y + 3 y + 4 y = 0 y + 10 y 25 y = 0 y + 5 y + 25 y = 0

3.10.2. Aadaki balang deer problemlerini verilen koullar iin znz. a) y + 4 y = 0; y ( ) = 0 ve y ( ) = 1 y (0) = 0 ve y(0) = 1 b) y + 3 y 5 y = 0; y (0) = 5 ve y(0) = 6 c) 2 y + y y = 0; d)y + 4 y + 20 y = 0; y( ) = 0 2

ve

y( ) = 2 2

3.10.3.Aadaki snr-deer problemlerini verilen koullar iin znz. a) y y = 0; y (0) = 100 ve y (5) = 0 y ( 0) = 0 ve y (2) = 6 b) y + 2 y + y = 0; y (1) = 1 ve y (4) = 10 c) y 3 y 4 y = 0; y (0) = 6 ve y (10) = 0 d) y 9 y = 0;

3.11. Homojen Olmayan Denklemler Teorisi 3.11.1. a) Verilen bir homojen olmayan diferansiyel denklemini salayan ve ierisinde bir sabit olan bir fonksiyon bu denkleme ait bir zel zm olabilir mi? Aklaynz. b) Homojen ksmn zm olan bir ifade homojen olmayan denklemin de bir zel zm olabilirmi? Aklaynz. c) zel zmler iin sperpozisyon ilkesinin nemi nedir? 3.11.2. Aadaki denklemlerin, verilen zel zmleri kullanarak genel zmlerini elde ediniz. Bu zmleri olabilecek en basit formda yaznz. y = 2 a) y y = 2; b) c) d) e) f) g)

y + y = 4e x ;y y = 2;

y = e xy = 2 + 3e x y = x 2e 2 x

y + 4 y + 4 y = 3e 2 x ;

y + 4 y + 4 y = 3e 2 x ;y = x 2 1;

y = x 2 1;

y = x(1 x)e 2 x 1 1 y = x 4 x 2 12 2 1 4 1 3 y = x x + 3 x 5 12 2


3.11.3. a) Eer 1 yz = , 3 y 9 y = 3 denkleminin bir zel zm ve

x yz = `da y 9 y = x denkleminin bir zel zmyse 9 y 9 y = 3 + x denkleminin genel zmn bulunuz. b) Eer yz = 2 sin 2 x, y + y = 6 sin 2 x in ve yz = 2 , y + y = 2 nin birer zel zmleriyse y + y = 6 sin x + 2 diferansiyel denkleminin genel zmn bulunuz. 3.12. Homojen Olmayan Denklemlerin Belirsiz Katsaylar Metodu: 3.12.1. a) Hangi koullarda bir diferansiyel denklemin homojen olmayan R(x) terimine karlk gelen zel zm AR(x) olur. b) Hangi koullarda AxR(x) olur. c) Hangi koullarda Ax2R(x) olur. d) Homojen olmayan x3 ve x 3 4 x + 2 terimleri iin nerilecek zel zm hangi formda olur. e) Belirsiz katsaylar metodu neden R(x)=lnx iin uygun deildir. f) R(x)=x5e karlk gelen bir zel zm teklifi neden sadece Ax5 eklinde yazlamaz. 3.12.2.Belirsiz katsaylar Metodunu Kullanarak aadaki diferansiyel denklemleri znz. y 4 y = 3x 2e3 x a) y 4 y = 4e3 x b) c) e) g) i) y 4 y = 2e 2 x y + 9 y = 3 cos 3 x d) f) h) j) l) n) p) s) u) y + 9 y = 2 x cos x y + 9 y = xe x sin 2 x 5 sin 2 x + 3 cos x

y 4 y + 4 y = 2e3 xy 4 y + 4 y = 5 xe 2 x

y 4 y + 4 y = 2e 2 x + 3y 4 y + 4 y = e x cos 2 x y 2 y + 2 y = x 3e x

k) y 2 y + 2 y = e x sin x m) y 3 y = x 2 o) t) y 6 y + 10 y = 20 r) y 6 y + 10 y = e3 x cos x

y 3 y = ( x 1)e xy 6 y + 10 y = x 2e x

y 6 y + 10 y = x 2 sin 2 x + cos 2 x

y + y = 2 sin x 3 cos x

y + y = e 2 x sin 3x

3.12.3. Aadaki balang deer problemlerini belirsiz katsaylar metoduyla znz. a) b) c) d) y + 16 y = sin 2 x 3 cos 2 x; y 3 y = x + 3 2e 2 x ; y y = 4e + x cos x; y + 4 y = 3 sin 2 x;x

y( ) = 1 2 ve ve ve

ve

y( ) = 0 2

y ( 0) = 0 y (0) = 1 y ( ) = 0

y(0) = 0 y(0) = 2 y( ) = 1

3.13. Homojen Olmayan Denklemler Sabitin Deiimi 3.131. a) Belirsiz katsaylar metodunun kstlar nelerdir. b) Sabitin deiimi metodunun esas nedir?


3.13.2. Aadaki diferansiyel denklemleri sabitin deiimi metodu ile znz. Belirsiz katsaylar metodu ile zlebilecekleri de zerek sonular karlatrnz. 1 y y 2 y = b) a) y y 2 y = e3 x sin x 2x e c) y y + 2 y = x 3 5 d) y 4 y = x 1 y 9 y = e) y + 9 y = cos 2 x f) cos 2 x 2x g) y 4 y + 5 y = e cos 3 x h) y 4 y = ln x i) k) y = x 2e x y 2 y + y = e 2 x + 8 j) l) y = 1 x2 ex x

y 2 y + y =

3.14. Euler Denklemleri 3.14.1. a) Euler denklemini nasl ayrdedersiniz b) Euler denklemi her zaman sabit katsayl lineer bir denkleme dntrlebilir mi? c) Euler denklemlerinin zm neden x = 0 da geersizdir. 3.1.4.2. Aadaki Euler denklemlerini znz. Bulduunuz zmn zm araln belirtiniz. a) x 2 y + y = 0 b) x 2 y xy = 0 c) xy y = 0 d) x 2 y + xy = 0 f) 2 x 2 y + xy 2 y = 0 h) 2 x 2 y + 6 xy 12 y = 0 j) x 2 y + 5 xy + 4 y = 0 e) ( x 1) 2 y + 3( x 1) y 2 y = 6 g) 2 x 2 y + 6 xy + 2 y = 4 x 2 1 i) 2 x 2 y + 6 xy 12 y = x 2 x k) x y + 5 xy + 4 y = xe

3.15. kinci Mertebeden Lineer sabit katsayl Denklemlerin Uygulamalar 3.15.1. Yatay konumlandrlm bir yay-ktle-snmleyici sisteminin hareketini tanmlayan diferansiyel denklemi yaznz. 3.15.2. a) Yay sabiti k=500 N/m olan bir yayn ucuna m=0.2 kglk ktle balanp denge konumundan 1 cm aadayken serbest braklyor. Sistemi srtnmesiz kabul ederek, titreime ait doal frekansn, peryodunu ve genliini bulunuz. b) m=0.5 kglk bir ktle bir yayn ucuna asldnda yay aa doru 0.2 cm uzatlmtr. Ktle bu konumdayken ekilip serbest braklyor. t=0 annda ktlenin x=0 konumundan 10 m/s hzla getii gzlenmitir. Srtnmeyi ihmal ederek titreimin doal frekansn, peryodunu ve genliini belirleyiniz. c) k sabitli bir yay ucuna m ktlesi balanm ve balangta statik halde bulunan ktleye F (t ) = F0 cos t + F1 kuvveti uygulanmaya balanmtr. Srtnmeyi ihmal ederek x(t)=? Ayrca rezonansn oluaca frekans ( ) belirleyiniz. d) m=5 kg ktleli bir cisim bir yaya balandnda yay 2 cm germitir. Ktle bir anmleyiciye bal olup snmleme katsays c=200 Ns/m dir. Ktleye balangta statik haldeyken F (t ) = 200 cos t uyarnca kuvvet uygulamaya balyor. x(t)=? Ayrca genliin maksimum olaca deerini belirleyiniz.- 73 Mhendisler in Diferansiyel Denklemler Do.Dr. Tahsin ENGN

3.15.3. a) Bir RLC devresinin rezonans frekans nasl tanmlanr. b) Bir RLC devresinden geen akm fonksiyonu I(t) bilindiinde kondansatrdeki elektrik yknn zamanla deiimini nasl belirlersiniz. c) Bir RLC devresinde R ihmal edilebilir dzeyde kktr. ( R 0) , ve uygulanan 1 2 almak suretiyle ilgili gerilim E (t ) = E0 cos t uyarnca deimektedir. 0 = LC diferansiyel denklemi zerek Q(t ) yi belirleyiniz. = 0 olduunda t durumu iin ne sylenebilir. d) Bir RLC devresinde gerilim yokken Q(t ) yi 4L R2 0 C iin elde ediniz. e) Bir nceki problemi I(t) iin znz.


4. BLM YKSEK MERTEBEL DFERANSYEL DENKLEMLER 4.1 GR

n. mertebeden lineer bir diferansiyel denklem,

y ( n ) + P1 ( x) y ( n 1) + ... + Pn 1 ( x) y + Pn ( x) y = R( x)eklinde verilir. Burada P, ler xe bal olabilen fonksiyonlardr. Eer R(x)=0 ise denklemin homojen olacan biliyorum. kinci mertebeden denklemlerde olduu gibi homojen ksm zmn ayr yaplmas daha uygundur. Bir nceki blmde ikinci mertebeden bir diferansiyel denklemin x0 , x1 < x < x 2 aralnda bir nokta olmak zere bu noktada iki balang koulunun salanmas durumunda tek bir zmn olaca ifade edilmiti. Benzer ekilde bu durum n. mertebeden bir denklem iin aadaki teoremle ifade edilir.Teorem: y ( n) + P1 ( x) y ( n 1) + ... + Pn 1 ( x) y + Pn ( x) y = R ( x) denklemi iin,

P1 ( x), P2 ( x),..., Pn ( x) ve R(x) x1 < x < x 2 aralnda srekli fonksiyonlar ve x0 bu aralkta bir nokta ise ;

y (0) = y 0 , y (0) = y 0 ... y ( n1) ( x0 ) = y 0 ( n1)balang artlarn salayan tek bir zm vardr.rnek 4.1 zm varl

y

2x2

x 4 y (1) = 0 y (1) = 3 y (1) = 5

y + 3 y =

x +1 x2

+ e x diferansiyel denkleminin ;

balang artlar iin tek bir zm olduunu ve bu zmn hangi aralkta olduunu gsteriniz.zm:

x 4 x x=-2 sreksiz olduu, ayrca R(x)in x=0 da sreksiz olduu anlalmaktadr. O halde denklemin, bu noktay darda brakan bir aralkta zm vardr. Bu aralklar ise, < x < 2 2< x 0 iin zmlerini gz nne aln. Wronskian deeri x>0 iin kesinlikle sfr olmayan zmleri belirtiniz.

a) b) c) d)

y 3 y + 3 y y = 0 ; e x , xe x ve x 2 e xx 3 y 3 x 2 y + 6 xy 6 y = 0 ; x, x 2 ve x 3 x 3 y + 2 x 2 y 2 xy = 0 ; e ln x , x 2 ve 5 1 ln x ve x 2 x 3 y + 3x 2 y 2 y = 0 ; , x x

4.3 Aadaki lineer homojen denklemleri ve zmlerini inceleyin (x>0). Verilen zmlerin bir esas zm seti oluturup oluturulamayacan belirleyiniz. Oluturan seti kullanarak her bir denklemin genel zmn yaznz.

a) b) c) d) e) f)

y (iv ) y = 0; 1, e x , e x

y (iv ) y = 0; 1, sinh x, cosh xy y + y y = 0 ; e x , xe x , e x 2 x 3 y + 3x 2 y 6 xy 6 y = 0 ; , x 4 e ln x , x 3 x ex x + ln x y y y + y = 0 ; x , e ,3e x y 4 y + 4 y = 0 ; 5, , e 2 x +1 , e 2 x + 15

4.4 Sabit katsayl homojen denklemler

a) nc mertebeden lineer sabit katsayl bir homojen denklemini y1, y2 ve y3 fonksiyonlarnn salyorsa, bunlarn herhangi ikisinin lineer kombinasyonunun da bir zm olduu sylenebilir mi? b) x, x+1 ,x2 ve x2+5 fonksiyonlarnn salad nc mertebeden lineer homojen bir denklem bulunabilir mi?4.5 Aadaki denklemlerin genel zmlerini bulunuz.

a) b) c) d)

y (iv ) y = 0 y + 2 y + y = 0 y + 3 y + 3 y + y = 0 y + 6 y + 9 y = 0- 85 Mhendisler in Diferansiyel Denklemler Do.Dr. Tahsin ENGN

e) f)

y 2 y + y + 4 y = 0 y y + 5 y + 25 y = 0

4.6 Aadaki balang deer problemlerinin zel zmlerini bulunuz.

a) b) c) d)

y (iv ) 81y = 0 ; y ( ) = y ( ) = y ( ) = 0, y ( ) = 1 y 4 y + 4 y = 0 ; y (0) = 0, y (0) = 1, y (0) = 0 y y = 0 ; y (0) = 1 , y (0) = y (0) = 0 y 3 y + 3 y y = 0 ; y (0) = 1, y (0) = y (0) = 0

4.7 Homojen olmayan denklemler: Belirsiz Katsaylar Metodu

a) Belirsiz katsaylar metodunun ikinci ve daha ykse

Documents

Diferansiyel Not