Diferenciação Numérica - Departamento de Físicaarosas/FisicaComputacional/aula02...Deﬁnição Método direto Programa segunda derivada Análise do erro Extrapolação de Richardson

DefiniçãoMétodo direto

Programa segunda derivadaAnálise do erro

Extrapolação de Richardson

Diferenciação Numérica

Alexandre Rosas

Departamento de FísicaUniversidade Federal da Paraíba

19 de Março de 2009

Alexandre Rosas Diferenciação Numérica




O problema

Como calcular?

df (x)

dx= lim

h→0

f (x + h)− f (x)

h

Expansão em série de Taylor

f (x + h) = f (x) + hf ′(x) +h2f ′′(x)

2. . .

Logo, podemos estimar a derivada como

f ′c(x) ≈ f (x + h)− f (x)

h≈ f ′(x) +

hf ′′(x)

2. . .

Erro é de ordem h!





O problema

Como calcular?

df (x)

dx= lim

h→0

f (x + h)− f (x)

h


f (x + h) = f (x) + hf ′(x) +h2f ′′(x)

2. . .


f ′c(x) ≈ f (x + h)− f (x)

h≈ f ′(x) +

hf ′′(x)

2. . .

Erro é de ordem h!





O problema

Como calcular?

df (x)

dx= lim

h→0

f (x + h)− f (x)

h


f (x + h) = f (x) + hf ′(x) +h2f ′′(x)

2. . .


f ′c(x) ≈ f (x + h)− f (x)

h≈ f ′(x) +

hf ′′(x)

2. . .

Erro é de ordem h!





O problema

Como calcular?

df (x)

dx= lim

h→0

f (x + h)− f (x)

h


f (x + h) = f (x) + hf ′(x) +h2f ′′(x)

2. . .


f ′c(x) ≈ f (x + h)− f (x)

h≈ f ′(x) +

hf ′′(x)

2. . .

Erro é de ordem h!





Derivada numérica – primeira tentativa

x-2h x-h x x+h x+2h

f(x-h)

f(x)

f(x+h)





Análise do método

Usando dois pontos, podemos calcular a derivada de duasformas

f ′2(x) =f (x + h)− f (x)

h

f ′2(x) =f (x)− f (x − h)

h

Em ambos os casos, o erro é de ordem hPara f (x) = a + bx2, f ′2(x) = 2bx+h





Análise do método

Usando dois pontos, podemos calcular a derivada de duasformas

f ′2(x) =f (x + h)− f (x)

h

f ′2(x) =f (x)− f (x − h)

h

Em ambos os casos, o erro é de ordem hPara f (x) = a + bx2, f ′2(x) = 2bx+h





Simetrizando

Expandindo em série de Taylor

f±h = f (x ± h) = f (x)± hf ′ +h2f ′′

2± h3f ′′′

6+O(h4)

Subtraindo as expressões

f ′3 =fh − f−h

2h− h2f ′′′

6

Erro de ordem h2





Simetrizando


f±h = f (x ± h) = f (x)± hf ′ +h2f ′′

2± h3f ′′′

6+O(h4)


f ′3 =fh − f−h

2h− h2f ′′′

6

Erro de ordem h2





Simetrizando


f±h = f (x ± h) = f (x)± hf ′ +h2f ′′

2± h3f ′′′

6+O(h4)


f ′3 =fh − f−h

2h− h2f ′′′

6

Erro de ordem h2





Segunda derivada

Definição

d2f (x)

dx2 = limh→0

f (x + h)− 2f (x) + f (x − h)

h2


f±h = f (x ± h) = f (x)± hf ′ +h2f ′′

2± h3f ′′′

6+

h4f (4)

24+O(h5)

⇓

f ′′c (x) =f (x + h)− 2f (x) + f (x − h)

h2 +O(h2)

Erro é de ordem h2!





Segunda derivada

Definição

d2f (x)

dx2 = limh→0

f (x + h)− 2f (x) + f (x − h)

h2


f±h = f (x ± h) = f (x)± hf ′ +h2f ′′

2± h3f ′′′

6+

h4f (4)

24+O(h5)

⇓

f ′′c (x) =f (x + h)− 2f (x) + f (x − h)

h2 +O(h2)






Segunda derivada

Definição

d2f (x)

dx2 = limh→0

f (x + h)− 2f (x) + f (x − h)

h2


f±h = f (x ± h) = f (x)± hf ′ +h2f ′′

2± h3f ′′′

6+

h4f (4)

24+O(h5)

⇓

f ′′c (x) =f (x + h)− 2f (x) + f (x − h)

h2 +O(h2)






Segunda derivada

Definição

d2f (x)

dx2 = limh→0

f (x + h)− 2f (x) + f (x − h)

h2


f±h = f (x ± h) = f (x)± hf ′ +h2f ′′

2± h3f ′′′

6+

h4f (4)

24+O(h5)

⇓

f ′′c (x) =f (x + h)− 2f (x) + f (x − h)

h2 +O(h2)






Cabeçalho

#include <stdio.h>#include <stdlib.h>#include <math.h>

void initialize (double *, double *, int *);void second_derivative (int, double,double, double *, double *);

void output (double *, double *, double, int);double funcao(double);

main(){

bibliotecas

protótipo das funções





Cabeçalho

#include <stdio.h>#include <stdlib.h>#include <math.h>

void initialize (double *, double *, int *);void second_derivative (int, double,double, double *, double *);

void output (double *, double *, double, int);double funcao(double);

main(){

bibliotecas

protótipo das funções





main()

main(){int number_of_steps;double x, initial_step;double *h_step, *computed_derivative;

initialize(&initial_step, &x, &number_of_steps);

h_step=malloc(number_of_steps*sizeof(double));computed_derivative=malloc(number_of_steps*sizeof(double));

second_derivative(number_of_steps, x, initial_step,h_step, computed_derivative);

output(h_step, computed_derivative, x, number_of_steps);

free(h_step);free(computed_derivative);exit(0);

def. variáveis

inicialização

alocação de memória

cálculo de d2ex

dx2

saída de dados

liberação de memória





main()







def. variáveis

inicialização


cálculo de d2ex

dx2

saída de dados






main()







def. variáveis

inicialização


cálculo de d2ex

dx2

saída de dados






main()







def. variáveis

inicialização


cálculo de d2ex

dx2

saída de dados






main()







def. variáveis

inicialização


cálculo de d2ex

dx2

saída de dados






main()







def. variáveis

inicialização


cálculo de d2ex

dx2

saída de dados






Inicialização

void initialize(double *initial_step, double *x,int *number_of_steps)

{printf("Valor de x: ");scanf("%lf", x);printf("Valor inicial de h: ");scanf("%lf", initial_step);printf("Número de passos: ");scanf("%d", number_of_steps);

}

ponteiros endereço de armazenamento





Cálculo da segunda derivada

void second_derivative(int number_of_steps, double x,double initial_step, double *h_step, double *computed_derivative)

{int counter;double y, derivative, h;h = initial_step;for(counter = 0; counter < number_of_steps; counter++){

h_step[counter] = h;computed_derivative[counter] = (funcao(x+h)-2.0*funcao(x)

+funcao(x-h))/(h*h);h *= 0.1;

}}

h inicial

laço dos passos

armazena h

calcula derivadaobtém novo h









+funcao(x-h))/(h*h);h *= 0.1;

}}

h inicial

laço dos passos

armazena h










+funcao(x-h))/(h*h);h *= 0.1;

}}

h inicial

laço dos passos

armazena h










+funcao(x-h))/(h*h);h *= 0.1;

}}

h inicial

laço dos passos

armazena h










+funcao(x-h))/(h*h);h *= 0.1;

}}

h inicial

laço dos passos

armazena h






Saída de dados

void output(double *h_step, double *computed_derivative,double x, int number_of_steps)

{int counter;FILE *output;

output=fopen("saida.dat", "a")for(counter = 0; counter < number_of_steps; counter++){

fprintf(output, "%f %f\n", h_step[counter],computed_derivative[counter]);

}fclose(output);

}

Abrindo arquivo

Escrevendo resultado

Fechando arquivo





Saída de dados





}fclose(output);

}

Abrindo arquivo


Fechando arquivo





Saída de dados





}fclose(output);

}

Abrindo arquivo


Fechando arquivo





Função

double funcao(double x){return exp(x);

}





Erro da aproximação e erro numérico

Matematicamente, diminuir h ⇒ diminuir erroComputacionalmente, diminuir h ⇒ aumentar erro dearredondamento

f ′′c (x) =f (x + h)− 2f (x) + f (x − h)

h2 ≤ εMh2

Pois o cálculo de d2fdx2 envolve diferença de números

próximos!

Erro (definição)

ε = log10

∣∣∣∣ f ′′comp − f ′′exact

f ′′exact

∣∣∣∣Alexandre Rosas Diferenciação Numérica






f ′′c (x) =f (x + h)− 2f (x) + f (x − h)

h2 ≤ εMh2


próximos!

Erro (definição)

ε = log10


f ′′exact







f ′′c (x) =f (x + h)− 2f (x) + f (x − h)

h2 ≤ εMh2


próximos!

Erro (definição)

ε = log10


f ′′exact







f ′′c (x) =f (x + h)− 2f (x) + f (x − h)

h2 ≤ εMh2


próximos!

Erro (definição)

ε = log10


f ′′exact






-9

-8

-7

-6

-5

-4

-3

-2

-1

-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1

ε

log10(h)

x = 0x = 1x = 2x = 3x = 4x = 5

εaprox ∼ h2εarredond






-9

-8

-7

-6

-5

-4

-3

-2

-1

-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1

ε

log10(h)

x = 0x = 1x = 2x = 3x = 4x = 5

εaprox ∼ h2εarredond





Método

Objetivo: melhorar a precisãoIdéia básica: combinar o cálculo da derivada paradiferentes valores de h e extrapolar para h = 0

Exemplo

Sendo D1(h) → 1a ou 2a derivada , temos que:

D1(h) = D0 + a1h2 +O(h4)

AnalogamenteD1(2h) = D0 + 4a1h2 +O(h4)

Portanto,D2(h) =

4D1(h)− D1(2h)

3= D0 +O(h4)





Método


Exemplo


D1(h) = D0 + a1h2 +O(h4)


Portanto,D2(h) =

4D1(h)− D1(2h)

3= D0 +O(h4)





Método


Exemplo

Sendo D1(h) → 1a ou 2a derivada calculada usando ospontos x − h, x , x + h , temos que:

D1(h) = D0 + a1h2 +O(h4)


Portanto,D2(h) =

4D1(h)− D1(2h)

3= D0 +O(h4)





Método


Exemplo


D1(h) = D0 + a1h2 +O(h4)

onde D0 é o resultado exato. AnalogamenteD1(2h) = D0 + 4a1h2 +O(h4)

Portanto,D2(h) =

4D1(h)− D1(2h)

3= D0 +O(h4)





Método


Exemplo


D1(h) = D0 + a1h2 +O(h4)


Portanto,D2(h) =

4D1(h)− D1(2h)

3= D0 +O(h4)





Método


Exemplo


D1(h) = D0 + a1h2 +O(h4)


Portanto,D2(h) =

4D1(h)− D1(2h)

3= D0 +O(h4)





Método

RecursivamenteEscrevendo,

D2(h) = D(0) + a2h4 +O(h6)

D2(2h) = D(0) + 24a2h4 +O(h6)

Temos

D3(h) =24D2(h)− D2(2h)

24 − 1= D0 +O(h6)





Método

RecursivamenteEscrevendo,

Dn(h) = D(0) + anh2n +O(h2(n+1))

Dn(2h) = D(0) + 22nanh2n +O(h2(n+1))

Temos

Dn+1(h) =22nDn(h)− Dn(2h)

22n − 1= D0 +O(h2(n+1))





Implementação

O que precisamos calcular?

Dn+1(h)

Dn(h)

Dn−1(h)

Dn−2(h)

Dn−2(2h)

Dn−1(2h)

Dn(2h)

Dn−1(2h)

Dn−2(2h)

Dn−2(4h)

Dn−1(4h)

Dn−2(4h)

Dn−2(8h)

D1(h), D1(2h), D1(22h), . . . , D1(2nh)Alexandre Rosas Diferenciação Numérica




Implementação

O que precisamos calcular?

Dn+1(h)

Dn(h)

Dn−1(h)

Dn−2(h)

Dn−2(2h)

Dn−1(2h)

Dn(2h)

Dn−1(2h)

Dn−2(2h)

Dn−2(4h)

Dn−1(4h)

Dn−2(4h)

Dn−2(8h)

D1(h), D1(2h), D1(22h), . . . , D1(2nh)Alexandre Rosas Diferenciação Numérica




Implementação

double **D;

D=(double **)malloc(number_of_steps*sizeof(double));

for(k=0; k<number_of_steps; k++)

D[k]=(double *)malloc((number_of_steps-k)*sizeof(double))


{

h=(1«k)*initial_step;

D[0][k] = (f(x+h)+f(x-h)-2.0*f(x))/(h*h);

}

Alocando memória para DD[n][k] ≡ Dn(2k h)

Dn(2k h) = f (x+h)−2∗f (x)+f (x−h)

h2





Implementação

double **D;





{


D[0][k] = (f(x+h)+f(x-h)-2.0*f(x))/(h*h);

}


Inicializando Dn(2k h)

Dn(2k h) = f (x+h)−2∗f (x)+f (x−h)

h2





Implementação

double **D;





{


D[0][k] = (f(x+h)+f(x-h)-2.0*f(x))/(h*h);

}



h← 2k h

Dn(2k h) = f (x+h)−2∗f (x)+f (x−h)

h2





Implementação

double **D;





{


D[0][k] = (f(x+h)+f(x-h)-2.0*f(x))/(h*h);

}



Dn(2k h) = f (x+h)−2∗f (x)+f (x−h)

h2





Resultado

x n = 1 n = 2 n = 3 log10

˛̨̨̨f ′′comp−f ′′exact

f ′′exact

˛̨̨̨0.000000 1.00005208 1.00000000 1.00000000 -11.927158611.000000 2.71842341 2.71828182 2.71828183 -11.915192962.000000 7.38944095 7.38905607 7.38905610 -12.167809763.000000 20.08658307 20.08553684 20.08553692 -11.991900754.000000 54.60099375 54.59814980 54.59815003 -11.662923275.000000 148.42088912 148.41315846 148.41315910 -12.17189689





Resultado

x n = 1 n = 2 n = 3 log10

˛̨̨̨f ′′comp−f ′′exact

f ′′exact

˛̨̨̨0.000000 1.00005208 1.00000000 1.00000000 -11.927158611.000000 2.71842341 2.71828182 2.71828183 -11.915192962.000000 7.38944095 7.38905607 7.38905610 -12.167809763.000000 20.08658307 20.08553684 20.08553692 -11.991900754.000000 54.60099375 54.59814980 54.59815003 -11.662923275.000000 148.42088912 148.41315846 148.41315910 -12.17189689





Alocação dinâmica de memória

Processo de solicitar e utilizar memória durante execuçãode um programaÚtil quando não se sabe tamanho de um vetor na hora decompilaçãoFunção para alocação de memória:void malloc (tamanho da memória em bytes)

ponteiro_int = (int *) malloc (N * sizeof(int))

Função para liberar memória: void free(ponteiro)
























castingFunção para liberar memória: void free(ponteiro)








operador tamanho de variável ou tipoFunção para liberar memória: void free(ponteiro)








tamanho da memória alocadaFunção para liberar memória: void free(ponteiro)









De volta ao programa


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