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7/23/2019 Diferencias Divididas
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DIFERENCIACION E
INTEGRACION NUMERICA
Diferencia finita y dividida. Diferencia
finita, progresiva, central, regresiva.Diferencia dividida.
Lic. Walter Antonio Huallpa Gutiérrez
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Sea f(x) una relación o sea (xi
, f i
(x)) una lista de valores
tomados experimentalmente, se define las diferencias
hacia adelante, hacia atrás y diferencia central.
xi f i
X1 f 1
X2 f 1
: :
Xi-1 f i-1
Xi f i
Xi+1 f i+1
: :
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DIFERENCIAS FINITA
Una diferencia finita es una expresión matemática de laforma f ( x + b) − f ( x +a).
Diferencia progresiva, adelantada o posterior
Diferencia regresiva, atrasada o anterior
Diferencia central
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DIFERENCIA DIVIDIDA
Si una diferencia finita se divide por b − a, se
obtiene una expresión similar al cociente
diferencial, que difiere en que se emplean
cantidades finitas en lugar de infinitesimales. La
aproximación de las derivadas por diferencias
finitas desempeña un papel central en los
métodos de diferencias finitas del análisisnumérico para la resolución de ecuaciones
diferenciales.
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DERIVADA - DIFERENCIA
ADELANTADA
Es posible calcular numéricamente la derivada de una
relación o la variación de una magnitud respecto,
utilizando la diferencia adelantada.
Xi Xi+1Xi-1
f i+1f i
f i-1
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ERROR EN LA DERIVADA POR
DIFERENCIA DIVIDIDA ADELANTADA
El error de esta aproximación puede derivarse del
teorema de Taylor.
Desarrollemos la serie de Taylor hasta su tercer término
http://proton.ucting.udg.mx/posgrado/cursos/metodos/diferenciacion/
Despejemos la primera derivada de f(x),
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DERIVADA - DIFERENCIA ATRASADA
Es posible calcular numéricamente la derivada de una
relación o la variación de una magnitud respecto,
utilizando la diferencia atrasada.
Xi Xi+1Xi-1
f i+1f i
f i-1
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ERROR EN LA DERIVADA POR
DIFERENCIA DIVIDIDA ATRASADA
Desarrollemos la serie de Taylor hacia atrás hasta su
tercer término.
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DERIVADA DIFERENCIA CENTRAL
Es posible calcular numéricamente la derivada de una
relación o la variación de una magnitud respecto,
utilizando la diferencia central.
Xi Xi+1Xi-1
f i+1f i
f i-1
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ERROR EN LA DERIVADA POR
DIFERENCIA DIVIDIDA - CENTRAL
La diferencia central lleva a una aproximación más ajustada.
Su error es proporcional al cuadrado del espaciado.
Restando el desarrollo de Taylor hacia atrás y hacia
adelante.
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Ejercicio: Deducir la expresión de la primera derivada
con un error h4
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APROXIMACION PARA DERIVADAS DE
ORDEN SUPERIOR
Segunda derivada
Desarrollemos la serie de Taylor hacia adelante para f i+2
en términos de f i, el paso será 2h.
Anulemos la primera derivada restando el doble del
desarrollo de Taylor hacia adelante.
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Despejando,
Ejercicio: Deduzca la expresión de la segunda derivada
con un error proporcional a h2.
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DERIVADAS DE ORDEN SUPERIOR
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DIFERENCIA DIVIDIDA
La notación para las diferencias divididas de una
función ƒ( x ) o de una lista de pares ordenados (xi, f i)
están dadas por
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