Diferencijalna geometrija

Embed Size (px)

Citation preview

Diferencijalna geometrija Vedad Pai c9. prosinca 2009.1 Uvod1.1 Osnovni podaciOsnovni podaciIme: Vedad Pai cKabinet: PMF 313Tel.: 061-195464 (samo za hitne stvari!)Email: [email protected] (preferirani mod komunikacije)Web: http://www.vedad.com.ba/pmf/DifGeo/Organizacija3h predavanja (srijeda 11-14), 2h vjebi (?)Ima cemo sedmi cne problemske zada ce....rad na zada ci se jako preporu cuje!Kabinetski sati:Cetvrtak 10-121.2 LiteraturaLiteraturaM. do Carmo:Differential geometry of curves and surfaces; Prentice-Hall, En-glewood Cliffs (1976)Sva prava zadrana. Svako objavljivanje, tampanje ili umnoavanje zahtjeva odobrenje autora1M. Spivak: A comprehensive introduction to differential geometry; Publish orPerish, Berkeley (1979)D. J. Struik:Lectures on Classical Differential Geometry, 2ndEd; Dover, NewYork (1988)Blanka arinac-Fran cula: Diferencijalna geometrija - Zbirka zadataka i repeti-torij kolska knjiga, Zagreb 1990.Dobrivoje Mihajlovi c: Elementi vektorske analize, diferencijalne geometrije iteorije polja, Zavod za izdavanje udbenika , Beograd 1968.R. Stojanovi c: Osnovi diferencijalne geometrije, Beograd 1963.1.3 ManifestManifestNaa misija: Prou cavati geometriju krivih i povri koriste ci metode vie matem-atike, naime diferencijaciju i integraciju (stoga diferencijalna geometrija).Unaemizu cavanjugeometrijetakvihkrivihipovri, mi cemosamobitizain-teresovani za zna cajke koje su nezavisne od pozicije krivulje (ili povri) u prostoru, tj.za zna cajke koje su invarijantne pod pomjeranjima Euklidskog 3-prostora (translacije irotacije).1.4 Diferencijalna geometrija - uvodta zna ci geometrija?Geometrija dolazi od gr ckog i sloena je rije c od = Zemlja i = mjera.Stoga je geometrija potekla od nauke mjerenja zemlje (npr, kako bi se izmjerilapoljoprivredna polja).Grci su pretvorili ovu primjenjenu nauku u cistu matematiku prou cavaju ci ge-ometrijske objekte na abstraktnom nivou (Euclidovi Elementi su najpoznatiji prim-jer prvog udbenika iz ove oblasti,koji se koristio u u cionicama sve do prolog vi-jeka). Diferencijalna geometrija se razvila mnogo kasnije nakon to se razvila viamatematika u ranom 18-om vijeku: tada je bilo mogu ce prou cavati kompliciranije ge-ometrijske objekte, kao to na primjer su proizvoljno zakrivljene krive i povri u3-prostoru.Dosta ovog predmeta ce biti posve ceno opisivanju zakrivljenosti objekata (krivihi povri) u prostoru, ili generalnije, njihovom obliku.2ta su krive i povri?O krivoj se moe misliti kao o obliku koji bi poprimila savijena ica u prostoru(ili na ravni); podjednako, moemo o njoj misliti kao o tragu koji ostavlja cestica kojase kre ce u prostoru (vidje cemo poslije u kojem smislu podjednako). Jednostavanprimjer je prava linija ili krunica u prostoru (ili na ravni).O povri se moe misliti kao o sapunici ili mjehuri cu sapuna ili povrini tijela naZemlji. Jednostavan primjer je ravan ili sfera u prostoru.Ove primitivne pojmove krive i povri cemo vie precizirati kad za to dodjevrijeme.Primjer. Posmatrajmo elipsu E:E=

(x, y)

xa

2+

yb

2= 1

.Ovo je dato u implicitnoj formi, tj., pomo cu jedna cine.Moemo li je napisati u parametarskoj formi, tj.u formi E= (t) [ t I, gdjeje I neki interval?1. Kao graf: E (x, b

1 (xa)2) [ a 0;Parametarska forma: x(t) = a cos t, y(t) = b sin t, z 0;. . . duina luka je s(t) =

t0

a2(a2b2) sin2t dt,to je elipti cni integral takoda ne moemo napisati parametrizaciju duinom luka pomo cu elementarnih funkcija.Primjer - Kruni heliksParametarska forma:x(t) = r cos t, y(t) = r sin t, z(t) = ht;. . . i duina luka jes(t) =

t0

r2+h2dt =

r2+h2t;Parametrizacija duinom luka:x(s) = r cossr2+h2, y(s) = r sinsr2+h2, z(s) =shr2+h2.2.2 Stripovi i oskulatorna ravanRazmislimo o (duinom luka) parametrizovanoj krivoj s (s) kao o putu elemen-tarne cestice koja se kre ce konstantnom brzinom : bit ce korisno ne samo da opiemopravac kretanja cestice, ve c takodjer i njenu orijentaciju u prostoru - kao let avionom,kod kojeg nemamo samo pojam naprijed/nazad, ve c i gore/dole.Denicija 2.7. Neka je t (t) regularna kriva. Onda (jedini cno) glatko vektorskopolje t N(t) tako da N(t)

(t), t zovemo (jedini cno) normalno polje du .Par (, N) zovemo strip.Primjedba. U svakoj ta cki, svaka regularna kriva t (t) ima jedinstvenu normalnuravanP R3[ P (t) T(t)(5)gdje T:=

|

| ozna cava jedini cno tangentno vektorsko polje krive .8Jedini cnonormalnopoljeNdudeniehorizontalnuravan T (t)usvakojta cki (t) krive:P T (t)P (t) N(t),tj. dobivamo drugu porodicu ravni koje glatko variraju du krive. Obratno,svakatakva porodica ravni denie jedini cno normalno polje N jedinstveno do znaka.Denicija 2.8. Jedini cno normalno polje N du se zove principalno normalno poljeako

(t) span

(t), N(t) za svako t.O(t) := (t) + span T(t), N(t), (6)se onda zove oskulatorna ravan krive u(t). Ovdje jeT:=

|

|, aNprincipalnonormalno polje.Primjedba. U ta ckama (t)=(x(t), y(t), z(t)), gdje su

(t) i

(t) linearno neza-visne, oskulatorna ravan je jedinstveno odredjena:njene ta cke P=(X, Y, Z) su datejedna cinomP O(t) P (t)

(t)

(t).ili ekvivalentno sa

X x(t) Y y(t) Z z(t)x

(t) y

(t) z

(t)x

(t) y

(t) z

(t)

= 0.Primjetimo da u(v w) = det(u, v, w).Primjer - Kriva u ravniAko jet (t) kriva u ravni, recimo(t) =(x(t), y(t), 0), onda je ravanz =0oskulatorna ravan; ako kriva nije prava linija onda je ovo jedina (ksna) oskulativnaravan krive.Primjer - Kruni heliks(t) = (r cos t, r sin t, ht),

(t) = (r sin t, r cos t, h),

(t) = (r cos t, r sin t, 0)tako da O(t)=(t) + span

(t),

(t) sadri, osim tangentne linije, radijalnuliniju koja je okomita osi i koja prolazi kroz (t).Primjedba. Misle ci ponovo o krivoj t (t) kao o putu tijela u kretanju, oskulatornaravan je ravan sila koje dejstvuju na tijelo : bilo koja sila koja mijenja brzinu ili cen-tripetalna sila (koja je suprotna centrifugalnoj sili koju osjetimo kada na primjer,naglo skrenemo u autu), koja cuva tijelo na njegovoj putanji.Ako se tijelo kre ce konstantnom brzinom ova centripetalna sila je okomita na tan-gentnu liniju krive, jer je'

,

` =12

[

[2

= 0.9Geometrijski, moemo promatrati tangentnu liniju krive kao liniju kroz dvije beskonacnobliske ta cke(s) i(s + ds) (s) +

(s)ds (Ovo je bio na cin razmisljanja ge-ometara u antici).Sli cno, moemo posmatrati ravan koja prolazi kroz tri beskona cno bliske ta cke(s) i (s ds) (s)

(s)ds +12

(s)ds2.2.3 KrivinaOpet misle ci o elementarnoj cestici koja se kre ce stalnom brzinom du krive, njezinoubrzanje (koje je proporcionalno centripetalnoj sili) ce biti povezano sa zakrivljenostiputa : to je ja ca krivina, ve ce je i ubrzanje.Geometrijski, s druge strane, krivina krive bi trebala biti povezana sa krunicomkroz tri beskona cno bliske ta cke, (s) i (s ds) kao prije : to je ve ci radijus ovekrunice kriva bi trebala biti manje zakrivljena.Vidje cemo da obje ideje vode do istog pojma krivine.Primjedba. Ako je (s) parametrizovana duinom luka, onda T(s) :=

(s) denie jedini cno tangentno vektorsko polje i 0=1

=(TT)

(s) =T(s)T

(s) tako daT

(s) |N(s) iNmoe bitidenisano normalizacijom T

sve dok T

nije nestalo.Ovako se principalno normalno polje obi cno denie.Denicija krivineDenicija 2.9. Neka je s (s) kriva parametrizovana duinom luka.Onda se K(s) := T

(s) zove vektorsko polje krivine krive i(s) := T

(s)N(s) = K(s)N(s) (7)se zove njenom krivinom.Primjedba. Primjetite da je K=T

ne zavisi o izborima :ni translacija s=s + s0parametra duine luka s niti obrtanje orijentacije s = s ne uti cu na K u (s) : (s) = (u(s)) K(s) = K(u(s)).Krivina samo zavisi od izbora znaka N.Primjedba. Ako T

= 0 svugdje i N=T

|T

| onda je > 0 svugdje.10Primjer - KrunicaKrunica polupre cnika r ima krivinu 1r(zavisno od izbora principalnog normalnogpolja).Primjer - Kruni heliksSa parametrizacijom duinom luka(s) = (r cos as, r sin as, ahs),gdje a =1r2+h2, nalazimo daT(s) = a (r sin as, r cos as, h),K(s) = a2(r cos as, r sin as, 0);i sa N(s) := (cos as, sin as, 0) dobivamo da je (s) rr2+h2.Teorem 2.10. Pretpostavimo da (s0) = 0.Onda postoji jedinstvena krunica na oskulatornoj ravni O(s0) krives (s)koja ima dodir drugog reda sa krivom (tj., Taylorovi polinomi drugog reda se podu-daraju).Ovo se naziva oskulatorna krunica.Dokaz.Posmatrajmo funkcijuf(s) = [(s) c[2 r2za neku ta ckuc O(s0). elimoodrediti c i r tako da f(s) nestaje do drugog reda, to jest,0 = f(s0) = [(s0) c[2r2,0 = f

(s0) = 2((s0) c)T(s0),0 = f

(s0) = 2(1 + ((s0) c)K(s0)).S druge strane, (s0) c=T(s0) + N(s0) poto obje ta cke, (s0) ic, lee naoskulatornoj ravni. Nalazimo da = 0i 0 = 1 +(s0)tako da c = (s0) +1(s0)N(s0) i r =1|(s0)|.Akosadastavimo(s) :=c+1(s0)(sin((s0)s) T(s0) cos((s0)s) N(s0))pravolinijski se moe provjeriti da(0) = (s0),

(0) =

(s0),

(0) =

(s0),tj., da ima dodir drugog reda sa krunicom u (s0).Primjedba. U ovom trenutku moemo vidjeti, bez ra cunanja, da K i 2ne zavise odizbora parametrizacije (duinom luka), ve c su geometrijske veli cine.112.4 TorzijaKrivina mjeri brzinu promjene tangente kada se kre cemo du krive ova promjena sedeava na oskulatornoj ravni.Torzija ce biti mjera promjene oskulatorne ravni, tj., kako brzo se ona rotira okotangentne linije.Denicija 2.11. Neka su Ti Njedini cna tangentna i principalna normalna vektorskapolja krive t (t).Vektorsko polje B:= T N zovemo binormalno vektorsko polje krive.Preslikavanje sa matri cnim vrijednostimat F(t) := (T(t), N(t), B(t)) (8)zovemo principalnim okvirom krive.Primjetitedajebinormalakriveuvijekjedini cnanormalananjenuoskulatornuravan koja je jedinstvena samo ako T

=0. Sada T, Ni B deniu ortonormalnireferentni okvir koji se kre ce du krive: njihovi skalarni produkti suT NBTNB

1 0 00 1 00 0 1

ili skra ceno, (T, N, B)T (T, N, B)=I, tj., F=(T, N, B) O(3) je ortogonalnamatrica. Pomo cu ovoga nalazimo daB

B =12(BB)

= 0B

T = BT

= 0,jer je N principalna normala krive tako da T

| N B.Denicija 2.12. Neka je F:= (T, N, B) principalni okvir duinom luka parametrizo-vane krive s (s).Onda se(s) := B

(s)N(s) = B(s)N

(s) (9)naziva torzija krive .Primjetite da, ako T

=0 tako da je oskulatorna ravan jedinstvena, (s) ne zavisiod izbora prinipalne normale niti o izboru parametrizacije duinom luka: promjenaznaka N ili Ttakodjer se mijenja znak B.12Primjedba. Ako jet (t) parametrizovana kriva (ne obavezno duinom luka) saT

= 0, tako da moemo izabrati N=T

|T

|, onda =[

[[

[3(10) =[

,

,

[[

[2. (11)Primjedba. U smislu kojem mi posmatramo, dakle u 3D Euclidskom prostoru, torzijakrive mjeri kako se otro kriva uvija. Ona je analogna krivini u dvije dimenzije!Primjer - Kruni heliks(t) = (r cos t, r sin t, ht),

(t) = (r sin t, r cos t, h),

(t) = (r cos t, r sin t, 0),

(t) = (r sin t, r cos t, 0),tako da krivina i torzija konstante :(t) =[

(t)

(t)[[

(t)[3= [(r2, rhcos t, rhsin t)[[(r sin t, r cos t, h)[3=rr2+h2,(t) =[

(t),

(t),

(t)[[

(t)

(t)[2=hr2r2(r2+h2)=hr2+h2Primjedba. Znak sign = sign h nam govori da li je heliks s desne strane (sign > 0)ili s lijeve strane (sign < 0).Rjeavanjer =2+2h =2+2nam pokazuje da postoji ta cno jedan heliks sa datom konstantnom krivinom i torzijomi datom pozicijom s obzirom na koordinatne ose.Primjer - Kriva u ravniZa krivu u ravni, recimo(t) =(x(t), y(t), 0), binormalaB(0, 0, 1) je kon-stantna; stoga je 0.Obratno, ako je 0 (i = 0) onda [

,

,

[ 0, tj.,

zadovoljava linearnuhomogenu jedna cinu drugog reda0 = (

)

+(

)

+

( = (t), = (t)),13

(t) = a g1(t) +b g2(t), t gi(t) R, a, b R3;(t) = a

tt0g1(t)dt +b

ts0g2(t)dt +c, c R3,to je kriva u ravni P [ (P c)(a b) = 0.2.5 Frenetove formulePomislimo na trenutak o (duinom luka) parametrizovanoj krivoj kao o tragu elemen-tarne cestice u kretanju.Sta ckegledita cestice(tj., akosjedimouavionuili toboganusmrti)silekojedjeluju na nju se percepiraju u referentnom sistemu koji se kre ce sa cesticom: stogaimasmisladaopiemosile/kretanjekoriste ci kre cu ci referentni sistem/okvir F =(T, N, B).Pitanje: Moete li vizuelizirati prirodni referentni okvir vezan za avion (koji letikonstantnom brzinom) i vidjeti kako krivinu i torziju kontrolie sam pilot?Kako os-jetite krivinu i torziju, sjede ci u avionu? Stoga neka jeF=(T, N, B) principalniokvir duinom luka parametrizovane krive s (s).Krivina i torzija su date sa(s) = T

(s)N(s) i (s) = N

(s)B(s)i mi znamo da t F(t) O(3), to jest, FtF I.Diferenciraju ci dobivamo0 = (FtF)

= (Ft)

F+FtF

= (F1F

)t+ (F1F

)tako da je s (s) := F1F

(s) o(3) antisimetri cno. Vie eksplicitno, = FtF

=

0 TN

TB

NT

0 NB

BT

BN

0

=

0 0 0 0

. (12)Teorem 2.13. Kretanje principalnog okvira F=(T, N, B) duinom luka parametri-zovane krive s (s) je, zajedno sa T=

, opisano pomo cu Frenetovih jedna cinaF

= F

0 0 0 0 0

T

= NN

= T +BB

= N. (13)Primjedba. Prisjetimo se da je O(t) = P [ (P (t))B(t) = 0 oskulatorna ravankrive u (t); P [ (P (t))T(t) = 0 je normalna ravan krive u (t) (o cito: kriva je sje ceortogonalno) i14 P [ (P (t))N(t) = 0 je rektiraju ca ravan krive u (t).Primjer. Pretpostavimo da sve tangentne linije krives (s) prolaze kroz ksnuta ckuc R3(nije neophodno pretpostaviti parametrizaciju duinom luka ali to ciniargument lakim).Stoga:0 = c

= ( +T)

= (1 +

) T+Nza neku funkciju s (s).Stoga 1 +

0 i = 0 ili = 0.Kako je 1 +

0 ne moemo imati =0 (osim za jedno s) tako da je 0 ikriva je prava linija (Problem 1.4).2.6 Prirodne jedna cineUprehodnoj sekciji, derivirali smo Frenetove formule za principalni okvir krive parametri-zovane duinom luka.U ovom poglavlju elimo i ci unazad: rekonstruirati krivu iz njene krivine(s) itorzije (s) datih pomo cu duine luka s.Teorem 2.14. (Fundamentalna teorema prostornih krivih).Neka su s (s) i s (s) dvije funkcije.Onda postoji kriva parametrizovana duinom lukas (s) takva da su i njene krivina i torzija.tavie, ova kriva je jedinstvena do izbora rigidnog kretanja.Primjedba. Transformacija koja se sastoji od rotacija i translacija koja ostavlja datiargument nepromjenjenim se zove rigidno kretanje.Stoga se jedna cine = (s) i = (s) koje povezuju krivinu i torziju duini lukazovu prirodne jedna cine krive.Dokaz.Posmatrajmo (matri cnu) diferencijalnu jedna cinuF

(s) = F(s), =

0 (s) 0(s) 0 (s)0 (s) 0

. (14)Ovo je linearni sistem obi cnih diferencijalnih jedna cina prvog reda, koji ima (jedin-stveno) globalno denisano rejenjes F(s) za bilo koju datu po cetnu vrijednostF(s0) = F0, recimo F0= I.Primjetimo da je (FFt)

=F( + t)Ft=0 tako da je s F(s) O(3) cimimamo da je F0 O(3), konkretno, kada je F(s0) = I.15tavie, F(s) SO(3) za svako s ako F(s0) SO(3) jer je s det F(s) 1neprekidno.Sada uzmimoT:= F

100

, N:= F

010

, B:= F

001

i (s) :=

ss0T(s)ds. Onda je duinom luka parametrizovana kriva, [

[ = [T[ 1,sa principalnim normalnim vektorskim poljem N,

= T

= N B,sabinormalomB =T Njer SO(3)-transformacijaprezerviravektorskiproizvod,krivinom T

N= itorzijom N

B= .Kako bismo vidjeli jedinstvenost krive do rigidnog kretanja, pretpostavimo da su FiFdva rjeenja (14); onda je( FF1)

=F

F1FF1F

F1=F( )F1= 0,to jestFF1F(s0)F1(s0)=: A je konstantna specijalna ortogonalna transfor-macija cim jeF(s0), F(s0) SO(3).StogaT= AT,N= AN,B= AB, i = A +c,gdje je c konstanta integracije: to jest, se dobiva rigidnim kretanjem iz .Primjer. Neka su > 0 i R dva broja.Onda postoji jedinstvena (do rigidnog kretanja) krivas (s) sa krivinom itorzijom po fundamentalnoj teoremi za prostorne krive.S druge strane, znamo da je kruni helikss (s) = (r cossr2+h2, r sinsr2+h2,shr2+h2),gdje jer =2+2i h =2+2,kriva sa datom krivinom i torzijom. Stoga je svaka kriva sa konstantnom krivinom itorzijom kruni heliks!16Primjer. Pretpostavimo da s (s) ima krivinu = (s) i torziju 0.Onda kriva iz Problema 3.4 daje (planarnu) krivu sa datom krivinom i torzijom;ova kriva je jedinstvena do rigidnog kretanja. Konkretno, kriva sa torzijom 0 jeplanarna.HeliksiDiskutova cemo, kao primjenu Frenetovih formula, opte helikse:Denicija 2.15. Krivut (t) zovemo (opti) heliks ako njene tangente cine kon-stantan ugao sa ksnim pravcem a R3u prostoru, tj., aT const.Teorem 2.16. Kriva s (s) sa = 0 je opti heliks ako i samo ako je odnos njenetorzije i krivine konstantan.Dokaz.Pretpostavimo da je s (s) duinom luka parametrizovan (opti) heliks. Onda0 = (aT)

= aN,to jest, ako = 0, onda je a paralelno sa rektiraju com ravni,a = T+Bsa pogodnim funkcijama i .Diferenciraju ci nalazimo da0 = a

=

T+ ( ) N+

B,to jest, i su konstantne i odnos je konstantan.Obratno, ako const za krivu s (s) biramo R tako da0 = cos sin kako bismo dobili(cos T+ sin B)

= (cos sin ) N 0.Stoga je a := cos T+ sin B je konstantan pravac koji cini konstantan ugao sa Tjer je aT cos .17Digresija: Okvirne krivePrincipalni ili Frenetovi okviri su poseban tip prilagodjenih okvira za krive. Iznovasmo nailazili na probleme pri koritenju Frenetovih okvira ili sa Frenetovim jedna ci-nama kada bi krivina krive nestajala, tj., kada bi

i

postali linearno zavisne.Ovo nije problem (regularne) krive ve c na cina kako izaberemo da na to gledamo djelimi cno smo rijeili ovaj problem tako to smo dozvolili krivini da nestane svedok smo imali dobro denisanu principalnu normalu za nau krivu. Medjutim, ovajproblem se ne moe potpuno rijeiti. Na primjer, posmatrajmo krivut (t) =

(t, e1t2, 0) ako t 0,(t, 0, e1t2) ako t 0.Ova kriva je glaka, regularna i ima tangentu (1, 0, 0) u t = 0; medjutim, nema glatkogizbora principalnog normalnog polja.Posljedi cno, poeljnojedaimamoviegeneralnuteorijukojadozvoljavadaseposmatraju proizvoljne krive. Slijede ca sekcija vodi u takvu vie generalnu teoriju iu isto vrijeme daje neto terminologije i tehnologije za kasniju upotrebu. Notacija.Ozna cavamo standarnu bazu R3pomo cu matricee1=

100

, e2=

010

, e3=

001

.Denicija 2.17. t F(t) SO(3) se zove (prilagodjeni) okvir za regularnu krivut (t) akoT(t) = F(t)e1=

(t)|

(t)|.Primjedba.N1:= Fe2i N2:= Fe3= T N1su jedini cna normalna polja du ; svako normalno polje du se moe napisati kaoN= 1N1 +2N2sa odgovaraju cim funkcijama 1 i 2.Primjedba. Piemostrukturnejedna cinezapriagodjeniokvir: jerjetF(t)SO(3) imamoF

(t) = F(t) (t) sa t (t) o(3)tako da, sa odgovaraju cim funkcijama 1, 2 i , moemo pisati = [

[

0 1210 2 0

.Teorema fundamentalnog tipa se moe dokazati koriste ci bilo koji tip okvira (specici-rajte ds = [

[ dt, i-e i ).18Denicija 2.18. Normalno polje t N(t) du t (t) se zove paralelno ako jeN:= (N

)= N

(N

T) T 0.Adaptirani okvir F= (T, N1, N2) je paralelan ako su N1 i N2 paralelni.Primjedba. Ako je N paralelno normalno polje du onda([N[2)

= 2N

N= 2(N

(N

T) T)N= 2NN 0,to jest, paralelno normalno polje ima konstantnu duinu; ako su N1, N2 paralelni onda(N1 N2)

= N1 N2 +N1 N2 0,to jest, one cine konstantan ugao ,cos =N1N2|N1| |N2| const.Lema 2.19. Ako jeFprilagodjeni okvir duiN1=Fe2je paralelno onda jeFparalelni okvir.Dokaz. Moramo pokazati da je B=TN=Fe3 paralelno: ovo prati direktno izstrukturnih jedna cina(T, N, B)

= (T, N, B)[

[

0 (s) 0(s) 0 (s)0 (s) 0

Naime, ako je Nparalelno, onda je 0 to pokazuje da je B takodjer paralelno.Pomo cu ovog dokaza smo spoznali i:Posljedica 2.20. F=(T, N, B) je paralelni okvir ako i samo akot 0, tj. ako isamo ako je (, N) strip krivine.Primjedba. Iz strukture jedna cina moemo vidjeti: Fjeprincipalni okvir ako i samo ako 2 0 iparalelni okvir ako i samo ako 0.Lema 2.21. Neka je t (t) regularna kriva i N0

(t0). Onda postoji jedinstvenoparalelno normalno polje t N(t) du sa N(t0) = N0.Dokaz.Bez gubitka optosti, neka je s (s) parametrizovana duinom luka.19Neka jeF =(T, N1, N2) prilagodjen okvir; sa ansatzomN=1N1+ 2N2izra cunat cemoN =

1N1 +1N1 +

2N2 +2N2=

1N1 +1=0....(N

1 N1)N1 + (N

1 N2) N2+

2N2 +2(N

2 N1) N1 + (N

2 N2)....=0N2=

1[

[ 2 N1 +

2 +[

[ 1 N2.Stoga neka je (s) :=

ss0(s) ds; onda1= [N0[cos(0) i 2= [N0[sin(0)sa nekim 0 (N0= [N0[cos 0N1 + sin 0N2); to jest,N= [N0[cos(0) N1 + sin(0) N2je eljeno paralelno normalno polje.Primjer. Kruni heliks Parametrizacija je data sa (t) = (r cos t, r sin t, ht);T(t) =

(t)[

(t)[=1r2+h2(r sin t, r cos t, h)N(t) =

(t)[

(t)[= (cos t, sin t, 0)B(t) = T(t) N(t) =1r2+h2(hsin t, hcos t, r)je prilagodjeni okvir. Traimo paralelno normalno poljeN(t) = cos (t)N(t) + sin (t)B(t);stoga izra cunamoN= N

(N

T)T=hr2+h2BB= B

(B

T)T= hr2+h2N0(!) = N=

+hr2+h2sin N+ cos B.Stoga F= (T,N,B) saN(t) := coshtr2+h2N(t) sinhtr2+h2B(t)20B(t) := sinhtr2+h2N(t) coshtr2+h2B(t)daje paralelni okvir za .Primjetite da svaki drugi paralelni okvir se dobija konstantnom rotacijom datog:ovo se ogleda u konstantnoj integraciji za .3 Elementarna teorija povriAnaliti cka reprezentacijaDenicija 3.1. Povr je slika jedne (ili mogu ce nekoliko) glatkih preslikavanjax:U R3, gdje je U R2. Povr je regularna ako je x imerzija, tj., ako d(u,v)x : R2R3je injekcija za sva (u, v) U.Primjedba. Parametrizovana povr x je regularna ako i samo ako su xu(u, v) i xv(u, v)linearno nezavisni za sva (u, v) U, to jest, ako i samo akoxuxv = 0.Dogovor. Uvijek cemo pretpostaviti da su nae povri regularne, osim ako ne speci-ciramo suprotno.Primjer. Ravan. Ta cke P0, P1, P2 R3, koje nisu koliearne, se nalaze na jedinstvenojravni, regularno (zasto?) parametrizovanoj sa(u, v) P0 +u(P1P0) +v (P2P0).Primjer. Sfera.Cesta parametrizacija je data sa(u, v) (cos ucos v, cos usin v, sin u);ali tu postoji problem: parametrizacija prestaje da bude regularna za cos u = 0 i sin u =1 (sjeverni i juni polovi sfere); ovaj problem je simptomati can i ne moe bitirijeen: ne postoji regularna parametrizacija cijele sfere odjednom.Stoga, treba namnekolikoparametrizacijakakobismopokazalidajetoregularnapovr(naprimjer,uzmite gornju parametrizaciju i sli cnu parametrizaciju koja je rotirana tako da su njenipolovi lee na (x, y)-ravni).Primjer. Helikoid. Ovo je regularna povr, koja je iscrtana pravom normalnom linijomkoja se kre ce du heliksa:(u, v) x(u, v) := (sinh ucos v, sinh usin v, v);regularnost: za sva (u, v) R2(xuxv)(u, v) = cosh u(sin v, cos v, sinh u) = 0.21Slika 1: HelikoidDenicija 3.2. Kad jex=(x, y, z) onda se funkcijex(u, v), y(u, v), z(u, v) zovukoordinatne funkcije povri.Denicija 3.3. Reparametrizacija povri U (u, v) x(u, v) R3je nova parametri-zovana povr x( u, v) = x(( u, v)),gdje je :U U difeomorzam.Primjedba. Ako je x( u, v) = x(( u, v)), gdje je ( u, v) = (u( u, v), v( u, v)), onda x u x v=

u uu vv uv v

(xuxv) ;stoga je reparametrizacija regularne povri regularna.Implicitna forma povriPosmatrajmo skup := (x, y, z) [ F(x, y, z) = 0.Pretpostavimo da jeFz (x, y, z) =0 za sva (x, y, z) C. Onda (po teoremi implic-itnog preslikavanja) moemo lokalno rijeiti jedna cinu za z= z(x, y), to jest,C B= (x, y, g(x, y)) [ (x, y) Uza neke okoline B R3od (x, y, z) i U R2.Vie generalno, denie regularnu povr ako, za sva (x, y, z) ,F(x, y, z) = 0.22Slika 2: SferaPrimjer. Ravan. jedna cina ravni kroz tri nekolinearne ta cke P0, P1, P2 R3:P [ [P P0, P1P0, P2P0[ = 0.Primjer. Sfera. Jedini cna sfera(x, y, z) [ x2+y2+z2= 1je regularna povr: sa F(x, y, z) = x2+y2+z2[F(x, y, z)[2= [2(x, y, z)[2= 4F(x, y, z) = 4 = 0.Primjer. Hiperboloid (jednostrani). Regularna parametrizacija od(x, y, z) [ (xa)2+ (yb)2(zc)2= 1je data sa(u, v) (a cosh ucos v, b cosh usin v, c sinh u).Primjer. Hiperboloid (dvostrani). Kako bismo pokrili dvostrani hiperboliod, trebamodvije (regularne) parametrizacije jer(x, y, z) [ (xa)2+ (yb)2(zc)2= 1ima dvije konektovane komponente.23Slika 3: Jednostrani hiperboloidSlika 4: Jednostrani hiperboloid u stvarnosti24Slika 5: Dvostrani hiperboloidSlika 6: Elipsoid25Slika 7: Elipti cna kupaPrimjer. Iako je elipsoid(x, y, z) [ (xa)2+ (yb)2+ (zc)2= 1konektovan, nema (kao u slu caju sfere) globalne regularne para metrizacije (iz istograzloga); trebamo nekoliko regularnih para metrizacija kako bismo pokrili elipsoid(vidi zada cu).Primjer. Elipti cna kupa.(x, y, z) [ (xa)2+ (yb)2(zc)2= 0ima singularnost u vrhu kupe;stoga elipti cna kupa nije regularna povr ali se moeglatko parametrizovati pomo cu(u, v) (a ucos v, b usin v, c u).Krive na povrimaAko je povr data u implicitnoj formi F(x, y, z)=0 onda kriva t (t) lei napovri ako i samo ako je F 0.Akojepovrdatauparametarskojformi, (u, v) x(u, v), uvijek cemopret-postaviti da se kriva moe napisati u formit (t) = x(u(t), v(t)).26Posebne krive su onda parametarske krive, ili koordinatne krive, v const i u const.Uslovxuxv = 0kae da su parametarske krive regularne i presjecaju se trasverzalno (tj., njihove tan-gentne linije nisu paralelne).Kasnije, upozna cemo druge posebne krive, koje su denisane geometrijski i kojeogledaju aspekte geometrije povri.3.1 Prva fundamentalna formaPrva fundamentalna formaU ovoj sekciji smo zaokupljeni pitanjem kako izmjeriti duinu luka i ugao presjekakrivih na povri.Ovo ce biti dato pomo cu (variraju ceg) skalarnog proizvoda povezanog sa svakomta ckom na povri.Stoga, neka je(t) =x(u(t), v(t)) kriva na parametrizovanoj povri (u, v) x(u, v). Njena duina luka je data sas(t) =

tt0ds =

tt0[

(t)[ dt,gdjeds2= =:E. .. .(xu xu)u2+ 2=:F. .. .(xu xv)u

v

+=:G. .. .(xv xv)v2 dt2= E du2+ 2F dudv +Gdv2.Denicija 3.4. Neka je (u, v) x(u, v) (regularna) parametrizovana povr;I = E du2+ 2F dudv +Gdv2,gdje su E= [xu[2, F= xu xv i G = [xv[2, se zove prva fundamentalna forma povrix.Primjedba. Prva fundamentalna forma se cesto ozna cava sa ds2.Primjedba. Nekad je korisno pisati prvu fundamentalnu formu u matri cnom obliku:ako je (t) = x(u(t), v(t)) onda je[

[2= E u2+ 2F u

v

+Gv2=

u

v

T E FF G

u

v

Takodjer, ako se dvije krive t i(t)=x(ui(t), vi(t)) sijeku u, recimo,t=0onda njihov ugao presjeka se moe izra cunati iz'

1(0),

2(0)` =

u

1(0)v

1(0)

T E FF G

u(0),v(0)

u

2(0)v

2(0)

.27Trebate misliti o prvoj fundamentalnoj formi kao o R3-skalarnim proizvodom koji jeograni cen, u svakoj ta cki, na tangentni prostor povri; gornja forma E du2+2F dudv+Gdv2je njegova reprezentacija u koordinatama povri(u, v). Kao posljedica, prvafundamentalna forma je pozitivno denitna (za regularnu povr), tj.,E u2+ 2F u

v

+Gv2=

u

v

T E FF G

u

v

je uvijek pozitivna osim ako u

= v

= 0.Ovo takodjer moemo vidjeti iz0 < [xu[2= E,0 < [xuxv[2= EGF2.Primjer. Cilindar. Neka (u, v) (x(u), y(u), v); ondaE(u, v) = (x2+y2)(u), F(u, v) = 0, G(u, v) = 1.Konkretno, ako je planarna krivau (x(u), y(u)) parametrizovana duinom lukaonda E= G = 1 i F= 0, to jest,I = du2+dv2i povr je parametrizovana izometri cno.Primjer. Helikoid. (u, v) x(u, v) = (sinh ucos v, sinh usin v, v) tako daxu(u, v) = (cosh ucos v, cosh usin v, 0)xv(u, v) = (sinh usin v, sinh ucos v, 1)iI[(u,v)= cosh2udu2+ (1 + sinh2u) dv2= cosh2u(du2+dv2);to jest, helikoid je parametrizovan konformalno.Primjer. Povr revolucije. Posmatramo generalnu povr revolucije(u, v) x(u, v) = (r(u) cos v, r(u) sin v, h(u));ovdjexu(u, v) = (r

(u) cos v, r

(u) sin v, h

(u))xv(u, v) = r(u) (sin v, cos v, 0)tako daI[(u,v)= (r2+h2)(u) du2+r2(u) dv2.Denicija 3.5. Paramterizacijapovri(u, v) x(u, v)sezovekonformalnomakoE= G i F= 0. Zove se isometri cnom ako I = du2+dv2.28Slika 8: Dio krive x = 2 + cos z rotiran oko z osePrimjedba. Parametrizacija je konformalna ako i samo ako prezervira uglove, tj., akose ugao presjeka dvije krive na povri moe izmjeriti u koordinatnoj (u, v)-ravni.Primjedba. Dvije parametrizovane povri (u, v) x(u, v), x(u, v) se zovu isometri cneakoI = I, to jest akoE= E,F= F,G = G.Primjedba. Izometri cna parametrizacija je poseban slu caj izometri cnih parametri-zovanih povri, kada posmatramo (u, v) R2 R3pomo cu, na primjer, x(u, v)=(u, v, 0).Viegeneralno, dvijepovrisuizometri cneakoisamoakosuduine(iugloviizmedju) krivih t x(u(t), v(t)) i t x(u(t), v(t)) iste na obje povri.Primjedba. Svaka povr prima (lokalno) konformalnu parametrizaciju ali generalno neizometri cnu parametrizaciju (u suprotnosti sa krivim koje uvijek mogu biti parametri-zovane duinom luka): vidje cemo razlog za ovo kasnije.3.2 Normala, tangentna ravanNormala i tangentna ravanSvaka (regularna) povr ima (jedinstvenu) tangentnu ravan u svakoj ta cki: ravankoja sadri sve tangentne linije na krive na povri koje prolaze kroz ovu ta cku.Kako dvije sijeku ce linije ve c deniu ravan, moemo denisati tangentnu ravanna slijede ce na cin:Denicija 3.6. Neka je (u, v) x(u, v) regularna povr; ravan(, ) x(u, v) +xu(u, v) +xv(u, v)29je tangentna ravan povri u x(u, v). Ozna cavamo je sa T (u, v).Primjedba. Ta cka P R3je tangentna ravan od x u x(u, v) akk(P x(u, v)) xu(u, v) xv(u, v) = 0.Stoga su njene ta cke P= (X, Y, Z) date jedna cinom

X x(u, v) Y y(u, v) Z z(u, v)xu(u, v) yu(u, v) zu(u, v)xv(u, v) yv(u, v) zv(u, v)

= 0.Gaussovo preslikavanjeDenicija 3.7. Linijat x(u, v) + t (xuxv)(u, v) se zove normalnom linijompovri x u x(u, v);jedini cno normalno vektorsko poljen =xuxv[xuxv[=xuxvEGF2se zove normalom ili Gaussovim preslikavanjem od x.Primjer. Posmatrajmo povr revolucije(u, v) x(u, v) = (r(u) cos v, r(u) sin v, h(u)).Svaka meridijanska kriva v const je ortogonalni presjek povri sa ravni xsin v=y cos v; stogasendobijarotacijomjedni cnogtangentnogvektorskogpoljameridi-janske krive za 90:(u, v) n(u, v) =1

r2(u) +h2(u)(h

(u) cos v, h

(u) sin v, r

(u)).Primjedba. Gaussovo preslikavanje parametrizovane povri je geometrijski objekt doznaka: ako promjenimo (druga cije ozna cimo) koordinate, Gaussovo preslikavanje mi-jenja pravac.Moemo nai ci na probleme kada povr nije orijentabilna, to jest, ako ne moemoizabrati jedni cno normalno vektorsko polje globalno:Primjer. Posmatrajmo Mbiusovu traku(u, v) x(u, v) := ((r +v cos u2) cos u, (r +v cos u2) sin u, v sin u2).Ovdjexu(u, 0) = r (sin u, cos u, 0)xv(u, 0) = (cos u2cos u, cos u2sin u, sin u2)ixuxv(u, 0) = r (sin u2cos u, sin u2sin u, cos u2)30Slika 9: Mbiusova traka radijusa 2Primjer - nast.i [xuxv(u, 0)[ r tako daN(u, 0) = (sin u2cos u, sin u2sin u, cos u2).Konkretno,N(0, 0)=(0, 0, 1) iN(2, 0)=(0, 0, 1) iako jex(2, 0)=x(0, 0):jedni cna normala se okre ce kada idemo oko Mbiusove trake jednom Mbiusovatraka nije orijentabilna.Dogovor. Uslijede cimpoglavljima cemouvijekpretpostavitidasunaepovriorijentabilne osim ako nije re ceno suprotno.3.3 Razvojne povriSada cemo raspravljati o posebnoj klasi povri kao o primjeni dosadanjeg materijala.Denicija 3.8. Povr R3se zove linijska povr ako prima (lokalno) parametrizacijux forme(u, v) x(u, v) = (u) +v (u),gdje je u (u) regularlna kriva u R3i u (u) S2jedini cno vektorsko poljedu .Primjedba. Linijska povr je trag linije koja se kre ce du prostorne krive.Primjedba. Povr je linijska ako kroz svaku ta cku na prolazi prava koja se nalazina .31Primjer - RavanKada su date tri nekolinearne ta cke P0, P1, P2 R3uzimamo (u) := P0+u(P1P0)i (u) :=P2P0|P2P0| kako bismo dobili(u, v) (u) +v(u) = P0 +u(P1P0) +v[P2P0[(P2P0).Primjer - HelikoidUzmemo li (kruni) heliks (v):=(cos v, sin v, v) i (v):=(cos v, sin v, 0) (prom-jenimo parametre) dobijemo linijsku povr(u, v) ((1 +u) cos v, (1 +u) sin v, v);sa reparametrizacijom (u, v)=(sinh u 1, v) dobijemo uobi cajenu parametrizacijuhelikoida.Primjer - 1-strani hiperboloid = (x, y, z) [ x2+y2z2= 1 je linijska povr:sadri linije y= 1, z= x i ima rotacionu simetriju (jer je povr revolucije);stoga moe biti zapsana kao povr revolucije na dva na cina (vidi vjebe).Denicija 3.9. Razvojna povr je linijska povr (u, v) (u)+v (u) cije je Gaussovopreslikavanje n(u, v) = n(u) jedino zavisno o u, tj.,nv 0.Primjedba. Razvojnapovrjepovrkojasemoeizravnatinaravanberdistorzije(tj. bez "razvla cenja" ili "kompresije"). Obratno, ona je povr koja se moe napravititrasformacijama ravni (tj. "preklapanjem", "savijanjem", "okretanjem", "sje cenjem"i/ili "lijepljenjem").Primjedba. Razvojna je povr je koverta 1-parametarske porodice ravnih (njene tan-gentne ravni):Prvo, primjetimo da su tangentne ravni razvojnih povriT (u, v) = P R3[ (P x(u, v))n(u, v) = 0= P R3[ (P (u))n(u) = 0i samo zavise o u, tj., ne mijenjaju se sa v.Obratno, pretpostavimo da tangentne ravni povri samo zavise o jednom od param-etara povri (recimo, u), tj., da povr kovertira 1-parametarsku porodicu ravnih. Onda,kako x(u, v) T (u)x(u, v)n(u) = d(u),32Primjedba - nast.gdjejen(u)jedini cnanormalaod T (u)i d(u)njenaudaljenost odkoordinatnogpo cetka (u ovom momentu ve c saznajemo da kriva v x(u, v) lei na ravni T (u)).Uzimaju ci izvod nalazimoxu(u, v)n(u) +x(u, v)n

(u) = x(u, v)n

(u) = d

(u).Stoga (pretpostavljaju ci da je n

(u) = 0) v x(u, v) je prava linija (kao presjek dvijeravni). Konsekventno, x je linijska povr i jer je nv 0, razvojna.Primjer. Cilindar. Cilindar(u, v) x(u, v) = (x(u), y(u), v) ==:(u). .. .(x(u), y(u), 0) +v=:(u). .. .(0, 0, 1)ima Gaussovo preslikavanjen(u, v) =1x2(u)+y2(u)(y

(u), x

(u), 0),koje ne zavisi o linijskom parametruv. On je izometarski parametrizovan cim jeparametrizovana duinom luka to jest: cilindar je izometri can ravni.Primjer. Kupa. Uzmimo regularnu krivuu (u) S2i (u) :=(u); ondalinijska povr(u, v) x(u, v) = (u) +v(u) = (1 +v)(u)ima v-nezavisno Gaussovo preslikavanjen(u, v) = 1|

(u)|

(u).Moe biti pokazano (najlake koritenjem polarnih koordinata za ravan) da je kupaizometri cna ravni cim je parametrizovana duinom luka.Primjer. Tangentnarazvojnapovr. Nekajeu (u) R3regularnakrivasajedini cnim tangentnim vektorskim poljem u T(u) i = 0; onda linijska povr(u, v) x(u, v) = (u) +v T(u)ima Gaussovo preslikavanjen(u, v) =T

T|T

T|(u) = 1|

(u)| (u)T T

(u),koje, opet, ne zavisi o v. Moe, ponovo, biti pokazano (zna cajno komplikovanije negodruga dva slu caja) da je tangentna razvojna povr izometri cna ravni.Primjedba. Gornjatri primjerasa cinjavaju(manjeili vie) sveprimjererazvojnihpovri (tj.: svaka razvojna povr se pravi iz gornja tri primjera).Primjedba. Razvojne povri su izometri cne (potskupu) ravni. Ovo opravdava pojamrazvojna: razvojne povri mogu biti savijene (bez rastezanja) kako bi postale pla-narne, one mogu biti razvijene u ravan ili druga cije re ceno, razvojne povri semogu napraviti od listova papira.333.4 Druga fundamentalna forma, Meusnierova teoremaDruga fundamentalna formaGeometrijom povri vladaju dvije fundamentalne forme, I i II. Prva fundamentalnaforma I se koristi kako bi se ozmjerile duine i uglovi na povri. Drugu fundamentalnuformu cemo korstiti kako bismo izmjerili kako je povr zakrivljena u prostoru, tj. kakobismo opisali njen oblik.Stoga neka je(s) =x(u(s), v(s)) kriva na parametrizovanoj povri (u, v) x(u, v). Pretpostavimo bez gubitka generalnosti, da jeparametrizovana duinomluka tako da su T=

i njeno vektorsko polje krivine dati saT

= K=: Kn +Kg=: nN+g N T,gdje N(s)=n(u(s), v(s)) i Kn i Kgozna cavaju normalne i tangentne komponenteK, respektivno. Uzimaju ci djelimi cnodruk ciji pristup: N(s) =n(u(s), v(s))denie kanoni cno normalno polje du na povri.NekaF=(T, N, TN) ozna cava odgovaraju ci prilagodjeni okvir.Onda struk-turne jedna cine F

= F imaju formu =

0 ngn0 g 0

ili ekvivalentno,

T

= nN +g N TN

= nT N T(N T)

= g T + N.Denicija 3.10. Neka jes (s)=x(u(s), v(s)) duinom luka parametrizovanakriva na prarametrizovanoj povri, tj,

u

v

T E FF G

u

v

1.Onda sen:= T

N i g:= T

(N T)zovu normalnom krivinom i geodezijskom krivinom krive , respektivno.U ostatku ovoga poglavlja, bi cemo zainteresovani zan. Prvo, traimo zgodananaliti cki opis:n= T

N= (xuu

+xvv

)

n= (xuuu2+ 2xuvu

v

+xvvv2)n +=0. .. .(xuu

+xvv

)n= (xuuu2+ 2xuvu

v

+xvvv2)n= (xuu n). .. .=:eu2+ 2 (xuv n). .. .=:fu

v

+ (xvv n). .. .=:gv2.34Denicija 3.11. Neka je (u, v) x(u, v) (regularna) parametrizovana povr;II = e du2+ 2f dudv +g dv2,gdje e = xuu n, f= xuv n i G = xvv n,se zove druga fundamentalna forma povrix.Trebate misliti o drugoj fundamentalnoj formi II, sli cno prvoj fundamentalnoj formiI, kao o (simetri cnoj: xuv=xvu) bilinearnoj formi za svaki tangenti prostor (kaolinearni podprostor R3) povri. Vano: Uvijek se sjetite da obje fundamentalne formezavise o ta ckix(u, v) na povri: I = I[(u,v) i II = II[(u,v).Primjedba. Koecijenti druge fundamentalne forme se mogu zapisati kao:e = xuu n = (xu n)uxu nu= xu nu,f= xuv n = (xu n)vxu nv= xu nv,g= xvv n = (xv n)vxv nv= xv nv;primjetite, konkretno, da je f= xu nv= xv nu. Sa ovimII = (xudu +xvdv)(nudu +nvdv) = dxdn.Sa drugom fundamentalnom formom, normalna krivina duinom luka parametri-zovane krive na povri postajen=

u

v

T e ff g

u

v

= II(

u

v

,

u

v

).Primjetitedanormalnakrivinasamozavisi opravcutangente(u

, v

)krivei neonjenim drugim izvodima:Lema 3.12. Normalna krivina krive na povri samo zavisi o pravcu tangente krive uta cki.Stoga cemo takodjer govoriti o normalnoj krivinintangentnog pravca u ta ckix(u, v) na povri.Kao posljedicu takodjer izvodimo slijede ci rezultat.Lema 3.13. Neka je t (t) = x(u(t), v(t)) (regularna) kriva na parametrizovanojpovri x; normalna krivina krive je onda data san=II(

u

v

,

u

v

)I(

u

v

,

u

v

)=e u2+ 2f u

v

+g v2E u2+ 2F u

v

+Gv2.35Dokaz. Ako je (s) =x( u(s), v(s)) =x(u(t(s)), v(t(s))) reparametrizacija dui-nom luka krive, ondae u2+ 2f u

v

+g v2E u2+ 2F u

v

+Gv2=e u2+ 2f u

v

+g v2 t2E u2+ 2F u

v

+Gv2 t2=e u2+ 2f u

v

+g v2E u2+ 2F u

v

+G v2= n1= n.jer je n(t) = n(s) (po deniciji).Denicija 3.14. Pravacd(u,v)x(, )=xu(u, v) + xv(u, v) =0 na povrix sezove asimptotski pravac ako njegova normalna krivina nestaje, tj, akoII[(u,v)(

,

) = e(u, v) 2+ 2f(u, v) +g(u, v) 2= 0;kriva t (t) = x(u(t), v(t)) se zove asimptotska linija ako su njene tangente asimp-totski pravci,0 e u2+ 2f u

v

+g v2.Primjer. Prave linije na linijskoj povri su asimtotske linije.Meusnierova teormaNeka je s (s)=x(u(s), v(s)) kriva na povri x, i bez gubitka generalnosti,parametrizovana duinom luka; neka s N(s) ozna cava principalno normalno poljei krivinu krive .Onda T

= N in(s) = T

(s)n(u(s), v(s)) = (s) cos (s),gdje je(s) [0, ] ugao izmedjun(u(s), v(s)) iN(s), to jest,cos (s)=N(s) n(u(s), v(s)). Ova se jedna cina moe koristiti kako bi se izra cunala krivina krivekoju dobijemo presjekom povri =x(U) u ta cki (x, y, z) sa ravni koja sadridatu tangentnu liniju u ta cki (x, y, z): =1cos ngdje je =2ugao izmedju normale povri n u (x, y, z) i normale N na dati tangentnipravac u ravni.Konkretno, ako ravan sje ce povr okomito (=0 ili = onda je krivanormalni odsje cak) ondan= . Akoxuu

+ xvv

nije asimptotski pravac,dobivamo tvdrnju o radijusima krivine oskulatornih krunica ovih krivih:R = Rn cos ;za oskulatorne krunice ovo zna ci:36Teorem 3.15. Oskulatorne krunice presje cnih krivih povri i ravni koja sadri datune-asimptotski tangentni pravac povri u(x, y, z) su sadrani na sferi kojadoti ce u (x, y, z).Dokaz. ...elementarnom trigonometrijom i koriste ci Thalesovu teoremu.37