DIFERENSIAL FUNGSI MAJEMUKPertemuan 12

1. Diferensial Parsial

2. Derivatif dari Derivatif Parsial

3. Nilai Ekstrim; Maksimum dan Minimum

4. Optimasi Bersyarat5. Homogenitas Fungsi

SUB PEMBAHASAN

DIFERENSIAL PARSIAL

Jika sebuah fungsi mempunyai n macam variabel bebas maka ia akan memiliki n macam turunan.

Jika y = f(x,z) maka akan terdapat dua macam turunan, yaitu:

1. turunan y terhadap x 𝜕𝑦

𝜕𝑥

2. turunan y terhadap z 𝜕𝑦

𝜕𝑧

Contoh:

1.𝜕𝑦

𝜕𝑥= 3𝑟2 − 8𝑥𝑧 − 6𝑧2

2.𝜕𝑦

𝜕𝑥= 10𝑧 − 4𝑥2 −

12𝑥𝑧 − 8

1. Dalam menurunkan y terhadap x 𝜕𝑦

𝜕𝑥, hanya

suku-suku yang mengandung variabel x yang diperhitungkan. Sedangkan yang lain dianggap sbg konstanta dan turunannya adalah nol.

2. Dalam menurunkan y terhadap z 𝜕𝑦

𝜕𝑧, hanya

suku-suku yang mengandung variabel z yang diperhitungkan. Sedangkan yang lain dianggap sbg konstanta dan turunannya adalah nol.

DERIVATIF DARI DERIVATIF PARSIAL

Fungsi dengan lebih dari satu variabel bebas dapat diturunkan lebih dari satu kali.

Jika suatu turunan parsial berbentuk suatu fungsi yang masing mengandung beberapa macam variabel bebas, maka turunan berikutnya masih dapat dipecah-pecah lagi menjadi beberapa turunan parsial pula.

Contoh: 𝑦 = 𝑥3 + 5𝑧2 − 4𝑥2𝑧 − 6𝑥𝑧2 + 8𝑧 − 7

1.𝜕𝑦

𝜕𝑥= 3𝑥2 − 8𝑥𝑧 − 6𝑧2

2.𝜕𝑦

𝜕𝑧= 10𝑧 − 4𝑥2 − 12𝑥𝑧 − 8

a.𝜕𝑦

𝜕𝑥terhadap x:

𝜕2𝑦

𝜕𝑥2= 6𝑥 − 8𝑧

b.𝜕𝑦

𝜕𝑧terhadap z:

𝜕2𝑦

𝜕𝑧2= −8𝑥 − 12𝑧

“Masih dapat diturunkan secara

parsial lagi baik terhadap x

maupun terhadap z”

Masih dapat diturunkan lagi.

Silakan dilanjutkan!

NILAI EKSTRIM: MAKSIMUM DAN MINIMUM

Untuk y = f(x, z)Maka y akan mencapai titik ekstrimnya jika:

𝝏𝒚

𝝏𝒙= 𝟎 dan

𝝏𝒚

𝝏𝒛= 𝟎

Syarat di atas adalah syarat yang diperlukan (necessary condition) agar fungsinya mencapai titik ekstrim. Guna mengetahui apakah titik ekstrim itu berupa titik maksimum ataukah titik minimum, dibutuhkan syarat yang mencukupkan (sufficient condition), yaitu:

Maksimum bila 𝜕2𝑦

𝜕𝑥2< 0 dan

𝜕2𝑦

𝜕𝑧2< 0

Minimum bila 𝜕2𝑦

𝜕𝑥2> 0 dan

𝜕2𝑦

𝜕𝑧2> 0

“Jika ditemukan 𝜕2𝑦

𝜕𝑥2= 0 dan

𝜕2𝑦

𝜕𝑧2= 0, maka tidak

bisa ditegaskan mengenai nilai ekstrimnya. Untuk kasus seperti ini diperlukan penyelidikan dan pengujian lebih lanjut.”

Contoh Soal: 1. Jika diketahui fungsi:𝒚 = −𝒙𝟐 + 𝟏𝟐𝒙 − 𝒛𝟐 + 𝟏𝟎𝒛 − 𝟒𝟓

apakah fungsi tersebut titik ekstrimnya titik maksimum atau titik minimum?

Penyelesaian:𝝏𝒚

𝝏𝒙= −𝟐𝒙 + 𝟏𝟐

−𝟐𝒙 + 𝟏𝟐 = 𝟎𝒙 = 𝟔

𝜕2𝑦

𝜕𝑥2= −𝟐

𝒚 = −(𝟔)𝟐 + 𝟏𝟐(𝟔) − 𝟓 𝟐 + 𝟏𝟎(𝟓) − 𝟒𝟓𝝏𝒚

𝝏𝒛= −𝟐𝒛 + 𝟏𝟎

−𝟐𝒛 + 𝟏𝟎 = 𝟎𝐳 = 𝟓

𝜕2𝑦

𝜕𝑧2= −𝟐

𝒚 = −𝟑𝟔 + 𝟕𝟐 − 𝟐𝟓 + 𝟓𝟎 − 𝟒𝟓

𝒚 = 𝟏𝟔

Karena 𝜕2𝑦

𝜕𝑥2dan

𝜕2𝑦

𝜕𝑧2< 0, maka titik

ekstrimnya adalah titik maksimum dengan 𝑦𝑚𝑎𝑥 = 16

Contoh Soal: 1. Jika diketahui fungsi:𝒚 = 𝟑𝒒𝟐 − 𝟏𝟖𝒒 + 𝒓𝟐 − 𝟖𝒓 + 𝟓𝟎

apakah fungsi tersebut titik ekstrimnya titik maksimum atau titik minimum?

OPTIMASI BERSYARAT

Di bidang ekonomi akan sering terjadi ketika ingin mencari nilai maksimum atau nilai minimumnya tetapi terkekang oleh suatu fungsi lain yang harus dipenuhi. Misal:• Seseorang mau memaksimumkan utilitas (tingkat kepuasan) tetapi terikat pada fungsi pendapatan.• Seseorang mau memaksimumkan labaa, tetapi terikat pada fungsi produksi.

Atau dengan kata lain fungsi yang hendak dioptimumkan malah menghadapi suatu kendala (constraint).

Pengganda Lagrange

Metode Langrange adalah suatu cara untuk menyelesaikan perhitungan nilai ekstrim sebuah fungsi yang menghadapi kendala berupa fungsi lain.

Fungsi Langrange adalah penjumlahan dari fungsi yang hendak dioptimumkan ditambah hasil kali pengganda Langrange 𝜆 dengan fungsi kendalanya.

Misal ingin mengoptimumkan fungsi z = f(x,y) dengan syarat harus terpenuhi u = g(x, y) maka fungsi Lagrangenya:

𝐅(𝐱, 𝐲, 𝝀 = f(x,y)+ 𝝀(x,y)𝝀

Nilai ekstrim F(x, y, 𝝀) dapat dicari dengan memformulasikan masing-masing derivatif-parsial pertamanya sama dengan nol.

𝑓𝑥 𝑥, 𝑦, 𝜆 = 𝑓𝑥 + 𝜆𝑔𝑥 = 0𝑓𝑦 𝑥, 𝑦, 𝜆 = 𝑓𝑦 + 𝜆𝑔𝑦 = 0

Maksimum jika 𝐹𝑥𝑥 < 0 dan 𝐹𝑦𝑦 < 0

Minimum jika 𝐹𝑥𝑥 > 0 dan 𝐹𝑦𝑦 > 0

Kemudian untuk mengetahui jenis nilai ekstrim apakah maksimum atauminimum, masih harus dicari melalui derivatif-parsial keduanya, yangmerupakan syarat mencukupkan (sufficient condition).

Contoh:Tentukan nilai ekstrim x dari fungsi z = 2x + 2y dengan syarat 𝑥2 + 𝑦2 = 8

Penyelesaian:

Fungsi Lagrange:𝐹 = 2𝑥 + 2𝑦 + 𝜆(𝑥2 + 𝑦2 − 8)= 2𝑥 + 2𝑦 + 𝜆𝑥2 + 𝜆𝑦2 − 𝜆8

Agar F ekstrim, F’= 0

𝐹𝑥 = 2 + 2𝜆x = 0, diperoleh 𝜆 = −1

𝑥.........(1)

𝐹𝑦 = 2 + 2𝜆y = 0, diperoleh 𝜆 = −1

𝑦.........(2)

Berdasarkan (1) dan (2)

−1

𝑥= −

1

𝑦atau x = y

Menurut funsgi kendala:𝑥2 + 𝑦2 = 8𝑦2 + 𝑦2 = 8

2𝑦2 = 8𝑦2 = 4y = ±2

Karena y = ±2, 𝑥 = ±2𝑧 = 2𝑥 + 2𝑦 = ±8

Jadi nilai ekstrim z = ±𝟖

Lanjutan...Penyelidikan nilai ekstrimnya:

• Untuk x = 2 dan y = 2, 𝜆 = −1

2

𝐹𝑥𝑥 = 2𝜆 = 2 −1

2= −1 < 0

𝐹𝑦𝑦 = 2𝜆 = 2 −1

2= −1 < 0

Karena 𝐹𝑥𝑥 dan 𝐹𝑦𝑦 < 0, nilai ekstrimnya

adala nilai maksimum dengan 𝑍𝑚𝑎𝑥 = 8 • Untuk x = -2 dan y = -2, 𝜆 =1

2

𝐹𝑥𝑥 = 2𝜆 = 21

2= 1 > 0

𝐹𝑦𝑦 = 2𝜆 = 21

2= 1 > 0

Karena 𝐹𝑥𝑥 dan 𝐹𝑦𝑦 > 0, nilai ekstrimnya

adala nilai minimum dengan 𝑍𝑚𝑖𝑛 = −8

HOMOGENITAS FUNGSI

Suatu fungsi dikatakan homogen berderajat n jika hasil kali setiap variabel bebasnya dengan sembarang bilangan 𝜆 menyebabkan nilai fungsinya menjadi 𝜆” kali. Dengan demikian, z = f(x,y) dikatakan homogen jika 𝜆"𝑧 = 𝑓(𝜆x, 𝜆𝑦)

1. 𝑧 = 𝑓 𝑥, 𝑦 = 2𝑥3 − 4𝑥3 + 𝑦3

Adalah fungsi homogen berderajat 3, karena:

𝑓 𝜆x, 𝜆𝑦 = 2𝜆3𝑥3 − 4𝜆3𝑥3𝑦 + 𝜆3𝑦3

= 𝜆3(2𝑥3−4𝑥3 + 𝑦3)= 𝜆3𝑓 𝑥, 𝑦= 𝜆3 𝑧

2. 𝑧 = 𝑓 𝑥, 𝑦 = 5𝑥2 − 𝑥𝑦 + 3𝑦2

Adalah fungsi homogen berderajat 2, karena:

𝑓 𝜆x, 𝜆𝑦 = 5𝜆2𝑥2 − 𝜆2𝑥𝑦 + 3𝜆2𝑦2

= 𝜆2(5𝑥2−𝑥𝑦 + 3𝑦2)= 𝜆2𝑓 𝑥, 𝑦= 𝜆2𝑧

Homogenitas fungsi merupakan bahasan penting dalam teori produksi. Dengan diketahui derajathomogenitas suatu fungsi produksi, akan dapat diketahui pula tingkat penambahan hasil produksiatas penambahan faktor produksi yang digunakan.

TERIMA KASIH