DIFFERENCIÁLSZÁMÍTÁS ALKALMAZÁSAI

Konvexitás, elaszticitás

Tanulási cél

A másodrendű deriváltat vizsgálva milyen következtetéseket vonhatunk le a függvény

konvexitására vonatkozóan. Elaszticitás fogalmának megismerése.

Motivációs példa

A közgazdászok gyakran használják a derivált helyett az elaszticitást. Arra a kérdésre keressük

a választ, hogy ha a termék árát megváltoztatjuk, akkor az hogy hat a termék iránti keresletre.

Például, ha 1euroval növeljük a termék árát, akkor mennyivel változik meg a termék utáni

kereslet. Azonban több szempont is létezik, amely szerint nem elegendő az árral szembeni

érzékenységét a keresletnek ilyen módon mérni. Ugyanis 1 kg kenyér árának 1 euros

növekedése nagyon jelentős, míg egy autó árának 1 euros növekedése jelentéktelen. Célszerűbb

tehát arra a kérdésre keresni a választ, hogy ha a termék árát 1% -kal növeljük, akkor hány

százalékkal változik a kereslet. Az így kapott számot a kereslet árelaszticitásának vagy

árrugalmasságának nevezzük.

Egy termékből eladott mennyiséget az 4000

10f xx

.függvény adja meg, ahol x a termék

ára. Hány százalékkal változik az eladott mennyiség, ha a termék 1000 Ft-os árát 2%-kal

növelik?

Elméleti összefoglaló

KONVEXITÁS

Az elsőrendű derivált előjele meghatározza a függvény monotonitását. A másodrendű derivált

előjeléből is következtetéseket vonhatunk le a függvény görbéjének alakjáról, ebben az esetben

a függvény konvexitására vonatkozóan.

Definíció: Egy intervallumon értelmezett valós függvény konvex, ha a függvénygörbe két

pontját összekötő húr a függvénygörbe felett halad. Egy intervallumon értelmezett valós

függvény konkáv, ha a függvénygörbe két pontját összekötő húr a függvénygörbe alatt halad.

Tétel: Legyen az f függvény kétszer differenciálható az ,a b intervallumon. Az f függvény

akkor és csak akkor konvex az ,a b -n, ha ( ) 0f x az ,a b intervallumon, illetve az f

függvény akkor és csak akkor konkáv az ,a b -n, ha ( ) 0f x az ,a b intervallumon.

Definíció: Legyen az f függvény folytonos az ,a b intervallumon és ,c a b . Ha f konvex

,a c -n és konkáv ,c b -n, vagy konkáv ,a c -n és konvex ,c b -n, akkor c inflexiós pontja

az f függvénynek.

Tétel: Legyen az f függvény a c hely környezetében kétszer differenciálható. Ha a c pontban

az f függvénynek inflexiós pontja van, akkor (c) 0f .

Fontos megjegyezni, hogy a tétel megfordítása nem igaz. Abból, hogy az (c) 0f , még nem

következik, hogy c inflexiós pont.

Tétel: Ha az f függvény kétszer differenciálható c -ben és (c) 0f , továbbá ,a c -n

0f x és ,c b -n 0f x , vagy ,a c -n 0f x és ,c b -n 0f x , azaz az

f x függvény c -ben előjelet vált, akkor c inflexiós pontja az f függvénynek.

A fenti tételek birtokában a következő módon vizsgálhatjuk majd a függvényeket konvexitás

és inflexiós pont szempontjából.

1. Megvizsgáljuk, mi a legbővebb halmaz, amelyen a függvény értelmezhető.

2. Kétszer deriváljuk a függvényt.

3. Megoldjuk az 0f x egyenletet. Ezzel megkapjuk azokat a helyeket, ahol inflexiós pont

lehet.

4. Az értelmezési tartományt a szakadási helyekkel és a másodrendű derivált zérushelyeivel

részekre bontjuk, s az adott részeken megvizsgáljuk a derivált előjelét. Ezt például úgy hajtjuk

végre, hogy mindegyik részből választunk egy számot, melyet a deriváltba behelyettesítünk.

5. Az értelmezési tartomány egyes részein a másodrendű derivált előjeléből következtetünk a

konvexitásra.

Az utolsó két pontban leírtakat célszerű egy táblázatban összefoglalni, mert akkor tömörebben

írhatjuk le az adatokat.

Az inflexiós pontnak van egy szemléletes jelentése is. Ha függvény az inflexiós pontja előtt és

után is növekvő, akkor ez az a pont, ahol a növekedés mértéke csökkeni kezd. Ha a függvény

csökkenve halad át az inflexiós pontján, akkor abban a pontban a csökkenés mértéke kezd

lelassulni.

Kidolgozott feladatok:

1. feladat

Az ( )f x függvény értelmezési tartománya fD . Hol konvex az ( )f x függvény, ha

második deriváltja 3( ) ( 2)( 7)f x x x ?

Megoldás

Amikor egy függvényt olyan szempontból vizsgálunk, hogy hol konvex, illetve hol konkáv,

akkor ugyanúgy járhatunk el, mint a növekedés és csökkenés vizsgálatánál. Ilyenkor azonban a

második derivált előjelével kell foglalkoznunk. Ahol ugyanis pozitív egy függvény második

deriváltja, ott konvex a függvény, ahol pedig negatív a második derivált, ott konkáv a függvény.

Először meghatározzuk a második derivált zérushelyeit, azaz megoldjuk az ( ) 0f x

egyenletet. 3( 2)( 7) 0x x

Egy szorzat akkor egyenlő nullával, ha valamelyik tényezője nulla, így a szorzat két egyenletre

bontható.

2 0x vagy 3( 7) 0x

Ezen egyenletek megoldásai: 2x és 7x .

Most hasonló táblázatot készítenünk, mint amikor növekedés és csökkenés, azaz monotonitás

szempontjából vizsgáltunk függvényt. Annyi csak a változás, hogy a második sorban nem az

első, hanem a második derivált előjelét tüntetjük majd fel. Természetesen az értelmezési

tartományt most a második derivált zérushelyei bontják részekre, hiszen ezeken a helyeken

változhat meg a második derivált előjele. Ha egyelőre csak az első sort töltjük ki, akkor

táblázatunk az alábbi lesz.

x ; 7 7 7;2 2 2;

( )f x

( )f x

Ezután vizsgáljuk meg a második derivált előjelét az értelmezési tartomány egyes részein. Ezt

végrehajthatjuk úgy, hogy mindegyik intervallumból kiválasztottunk egy számot, és azt

behelyettesítjük a ( )f x függvénybe. Mivel azonban a második derivált egy szorzat, így

megtehetjük azt is, hogy külön vizsgáljuk az egyes tényezők előjelét, és ebből következtetünk

a szorzat előjelére.

Ha a ; 7 intervallumból választunk egy számot, akkor nyilván 2 0x , azaz a derivált

első tényezője negatív. Ekkor 7 0x szintén teljesül, amiből 3( 7) 0x is következik, tehát

a második tényező is negatív. Két negatív szám szorzata pedig pozitív, azaz ; 7x esetén

pozitív a második derivált, s ebből következően itt konvex a függvény.

Hasonlóan, ha 7;2 intervallumból választunk egy tetszőleges számot, akkor 2 0x és

7 0x , amiből 3( 7) 0x . Vagyis a szorzat egyik tényezője negatív, másik tényezője pedig

pozitív, tehát ekkor negatív a második derivált. Ez azt jelenti, ezen az intervallumon konkáv a

függvény.

Végül ha 2; intervallumból választunk egy számot, akkor 2 0x és 7 0x , amiből

3( 7) 0x . Tehát mindkét tényező pozitív, s így a második derivált is pozitív. Ennek

következtében ezen az intervallumon konvex a függvény.

Mivel a második derivált mindkét zérushelyében ( 7, 2)x x megváltozik a második

derivált előjele, így mindkét helyen inflexiós pontja van a függvénynek.

Ezek alapján már kitölthetjük a táblázat második és harmadik sorát is.

x ; 7 7 7;2 2 2;

( )f x 0 0

( )f x konvex

inflexiós

pont

konkáv

inflexiós

pont

konvex

Legvégül adjunk választ a feladat kérdésére. Amint a táblázatból látható, a függvény konvex az

; 7 és 2; intervallumokon. Ugyanezt úgy is írhatjuk, hogy a függvény a

; 7 2; halmazon konvex.

2. feladat

Az ( )f x függvény értelmezési tartománya \ 0,5fD . Hol konkáv az ( )f x függvény,

ha második deriváltja 6

(10 )( )

(4 2)

xf x

x

?

Megoldás

Oldjuk meg az ( ) 0f x egyenletet.

6

(10 )0

(4 2)

x

x

Tört csak úgy lehet zérus, ha a számlálója zérus, így egyszerűbb egyenletet kapunk.

10 0x

Ennek az egyenletnek a megoldása 10x .

Mivel egy függvény előjele ott is változhat, ahol a függvény nincs értelmezve az értelmezési

tartományt a szakadási helyek is részekre bontják. Tehát az értelmezési tartományt egyrészt a

második derivált zérushelye, másrészt az értelmezési tartományban levő szakadási hely osztja

részekre.

Ha elkezdjük kitölteni a szokásos táblázatot, akkor most a következőt kapjuk.

x ; 0,5 0,5 0,5;10 10 10;

( )f x X

( )f x X

Vizsgáljuk ezután az egyes részeken a második derivált előjelét. Most olyan törtünk van,

melynek nevezője minden 1

2x esetén pozitív, így csak a számlálót kell vizsgálnunk.

A ; 0,5 intervallumom 10 0x és a nevező pozitív. Két pozitív szám hányadosa pedig

pozitív, azaz ; 0,5x esetén pozitív a második derivált, s ebből következően itt konvex

a függvény.

A 0,5;10 intervallumom 10 0x és a nevező is pozitív. Két pozitív szám hányadosa pedig

pozitív, azaz ezen az intervallunom szintén pozitív a második derivált, s ebből következően itt

is konvex a függvény.

Végül ha a 10; intervallumból választunk egy számot, akkor 10 0x és a nevező pozitív.

Ebben az esetben a hányados negatív. Ez azt jelenti, ezen az intervallumon konkáv a függvény.

x ; 0,5 0,5 0,5;10 10 10;

( )f x X + 0

( )f x konvex

X konvex

inflexiós

pont

konkáv

A táblázatból kiolvasható, hogy a függvény a 10; intervallumon konkáv.

3. feladat

Az ( )f x függvény értelmezési tartománya fD . Hol van inflexiós pontja az ( )f x

függvénynek, ha második deriváltja 6( ) ( 7) ( 1)xf x x e ?

Megoldás

Oldjuk meg az ( ) 0f x egyenletet. Egy függvénynek ugyanis ott lehet inflexiós pontja, ahol

a második deriváltja 0 . 6( 7) ( 1) 0xx e

Mivel a derivált szorzat, ezt egyszerűbb egyenletekre bontjuk.

6( 7) 0x vagy 1 0xe

Az első egyenlet megoldása nyilván 7x . A második egyenletet rendezzük át.

1 0

1

x

x

e

e

Vegyük mindkét oldal logaritmusát.

ln( ) ln1xe

Mivel a bal oldalon egy függvény és az inverze áll egy összetételben, így ott valójában

egyszerűen x szerepel.

ln1 0x

A második egyenlet megoldása így 0x .

Két zérushelye van tehát a második deriváltnak, az 0x és az 7x .

Ezek után a táblázat első sora kitölthető.

x ;0 0 0;7 7 7;

( )f x

( )f x

Vizsgáljuk ezután a második derivált előjelét. Mivel a derivált olyan szorzat, aminek első

tényezője nem vesz fel negatív értéket, hiszen páros kitevőjű hatvány, így csak a második

tényező előjelével kell foglalkoznunk.

A ;0 intervallumon 1xe , ezért 1 0xe . Ekkor tehát negatív a második derivált, s itt

konkáv a függvény.

A 0;7 intervallumon 1xe , ezért 1 0xe . Így itt pozitív a második derivált, tehát konvex

a függvény.

A 7; intervallumon 1xe , ezért 1 0xe . Így itt is pozitív a második derivált, tehát itt is

konvex a függvény.

Amint látható, a második derivált zérushelyei közül az 0x helyen előjelet vált a második

derivált, így itt inflexiós pontja van a függvénynek. Viszont az 7x helyen a második derivált

nem vált előjelet, így itt nincs inflexiós pont.

Töltsük ki a teljes táblázatot.

x ;0 0 0;7 7 7;

( )f x 0 0

( )f x konkáv

inflexiós

pont

konvex

nincs

inflexiós

pont

konvex

A függvénynek tehát az 0x helyen van inflexiós pontja.

4. feladat

Adja meg a függvény értelmezési tartományát! Vizsgálja meg konvexitás szempontjából a

függvényt! Számolja ki az inflexiós pont(ok)hoz tartozó függvényértéket! 1

( ) xf x e

Megoldás

Elsőként most is a függvény értelmezési tartományát kell vizsgálnunk. Mivel nevező nem lehet

zérus, így ki kell kötnünk, hogy a kitevőben 0x , azaz \{0}fD .

Állítsuk elő a függvény második deriváltját, mert a konvexitás vizsgálatához erre lesz

szükségünk.

Először az első derivált függvényt határozzuk meg. Az első derivált előállításakor összetett

függvényt deriválunk. A külső függvény az xe , a belső függvény pedig az 1

x, azaz 1x .

1 1

2

2

1( ) x xf x e x e

x

A második deriválás során a szorzatra vonatkozó szabályt használjuk.

1 1 1 1 1 1

2 2 3 4 3

4 3

1 1( ) 2 2 2x x x x x xf x e x x e x e x e x e e

x x

Ilyenkor célszerű kiemelni, amit csak lehet. 1

3

1 1( ) 2xf x e

x x

Miután a második deriváltat sikerült egyszerűbb alakra hozni, oldjuk meg az ( ) 0f x

egyenletet.

1

3

1 12 0xe

x x

Az első tényező nem lehet egyenlő nullával, hiszen az exponenciális függvény csak pozitív

értékeket vesz fel. A második tényező szintén nem lehet nulla. Ennek következtében elég csak

a harmadik tényezőt vizsgálnunk.

12 0

x

Mivel 0x , ezért az egyenlet a következő alakra hozható.

1 2 0x

Ennek megoldása pedig 0,5x .

Ezután elkészíthetjük a táblázatot, kitöltve az első sort. Az értelmezési tartományt egyrészt a

második derivált zérushelye, másrészt az értelmezési tartományban levő szakadási hely osztja

részekre.

x ; 0,5 0,5 0,5;0 0 0;

( )f x X

( )f x X

Vizsgáljuk ezután a második derivált előjelét a különböző részeken. Vegyük figyelembe, hogy

az 1

xe csak pozitív értékeket vehet fel.

Töltsük ki a teljes táblázatot.

x ; 0,5 0,5 0,5;0 0 0;

( )f x 0 X

( )f x konkáv

inflexiós

pont

konvex

X konvex

Ezután már csak az inflexiós ponthoz tartozó függvényértéket kell meghatároznunk. Ehhez

helyettesítsük be a függvénybe az 0,5x értéket.

1

20,5

2( 0,

15)f e e

e

5. feladat

Adja meg a függvény értelmezési tartományát! Vizsgálja meg konvexitás szempontjából a

függvényt! Számolja ki az inflexiós pont(ok)hoz tartozó függvényértéket! 3( ) lnf x x x x

Megoldás

Elsőként most is a függvény értelmezési tartományát kell vizsgálnunk. A logaritmus

argumentuma kizárólag pozitív valós számok szerepelhetnek, tehát a kikötés 0x , azaz

0;fD .

Először az első derivált függvényt határozzuk meg. Az összeg második tagja egy szorzat (itt a

szorzatra vonatkozó szabályt alkalmazzuk).

2 21( ) 3 1 ln 3 ln 1f x x x x x x

x

A második derivált előállítása:

1( ) 6f x x

x

Oldjuk meg az ( ) 0f x egyenletet.

16 0x

x

Mivel az értelmezési tartományból tudjuk, hogy x csak pozitív szám lehet, ezért az egyenlet a

következő alakra hozható: 26 1 0x

Ennek az egyenletnek a valós számok halmazán nincs megoldása. Ugyanis x most csak pozitív

szám lehet, akkor 2x és 26 1x is csak pozitív lehet. Ez pedig azt jelenti, hogy az f x

függvénynek nincs inflexiós pontja. A 0; intervallumon 26 1 0x , tehát a függvény ezen

az intervallumon konvex.

6. feladat

Adja meg a függvény értelmezési tartományát! Vizsgálja meg konvexitás szempontjából a

függvényt! Számolja ki az inflexiós pont(ok)hoz tartozó függvényértéket! 2( ) ln( 2 2)f x x x

Megoldás

Először az értelmezési tartományt kell meghatároznunk. Tudjuk, hogy a logaritmus

argumentuma kizárólag pozitív valós számok szerepelhetnek, tehát a kikötés 2 2 2 0x x .

Ez az egyenlőtlenség bármely valós számra fennáll, mivel a polinomnak nincs zérushelye

(diszkrimináns negatív). Tehát a függvény minden valós számra értelmezhető, fD .

Először az elsőrendű deriváltat számoljuk ki. Az összetett függvény deriválási szabályát

felhasználva kapjuk, hogy

2 2

1 2 2( ) (2 2)

2 2 2 2

xf x x

x x x x

A másodrendű derivált kiszámolásánál a hányadosszabályt alkalmazva kapjuk, hogy

2 2 2

2 2 2 2

2( 2 2) (2 2) 2 4( )

( 2 2) ( 2 2)

x x x x xf x

x x x x

Alkalmazva, hogy a tört csak úgy lehet nulla, ha a számlálója nulla, így a következő egyszerűbb

egyenletet kapjuk. 22 4 0x x

( )f x zérushelyei: 2;0

Készítsük el a táblázatot, majd vizsgáljuk ezután az egyes részeken a második derivált előjelét.

Most olyan törtünk van, melynek nevezője minden x esetén pozitív, így csak a számlálót kell

vizsgálnunk.

x ; 2 2 2;0 0 0;

( )f x 0 + 0

( )f x konkáv

inflexiós

pont konvex

inflexiós

pont

konkáv

Még az inflexiós pontokhoz tartozó függvényértékeket kell meghatároznunk.

( 2) ln 2 0,693

(0) ln 2 0,693

f

f

Elméleti összefoglaló

ELASZTICITÁS

A közgazdászok gyakran használják a derivált helyett az elaszticitást.

Arra a kérdésre keressük a választ, hogy ha a termék árát megváltoztatjuk az hogy hat a

termék iránti keresletre. Például, ha 1euroval növeljük a termék árát, akkor mennyivel

változik meg a termék utáni kereslet. Azonban több szempont is létezik, amely szerint nem

elegendő az árral szembeni érzékenységét a keresletnek ilyen módon mérni. Ugyanis 1 kg

kenyér árának 1 euros növekedése nagyon jelentős, míg egy autó árának 1 euros növekedése

jelentéktelen. Célszerűbb tehát arra a kérdésre keresni a választ, hogy ha a termék árát 1% -

kal növeljük, akkor hány százalékkal változik a kereslet. Az így kapott számot a kereslet

árelaszticitásának vagy árrugalmasságának nevezzük.

Az elaszticitás megmutatja, hogy a független változó x értékét 1%-kal növelve, hány

százalékkal változik a függő változó f x .

Az elaszticitást a következő módon tudjuk definiálni:

( )x

E xf x

f x

Kidolgozott feladatok:

1. feladat

Határozza meg az 3

3( )f x

x függvény elaszticitását!

Megoldás

Első lépésként határozzuk meg az ( )f x függvényt.

4

4

9( ) 3 3f x x

x

4

4 4

3

9 9( ) 3

3 3

xE x

f x

x xf x

x x

x

2. feladat

Egy termék iránti keresletet az x ártól függően az 100

8f x

x

függvény adja meg. Hány

százalékkal változik a kereslet, ha a termék 200 Ft-os árát 1%-kal emelik?

Megoldás

Első lépésként határozzuk meg az ( )f x függvényt.

2

100( )

8f x

x

2 2

8 100 100( )

100 100 88 88

xE x

f x

x xx xf x

xx xx

Az elaszticitás azt mutatja meg, hogy ha a termék árát 1% -kal növeljük, akkor hány

százalékkal változik a kereslet. Most a termék ára 200 Ft, tehát

200

200 0,9615 0,96200 8

E

A kereslet tehát 0,96 százalékkal csökken.

3. feladat

Egy termék iránti keresletet az x ártól függően az 100

8f x

x

függvény adja meg. Hány

százalékkal változik a kereslet, ha a termék 200 Ft-os árát 4%-kal csökkentik?

Megoldás

Az előző feladat eredményeit felhasználva tudjuk, hogy 200 0,96E .

Az elaszticitás az 1%-kos növeléshez tartozó változást írja le, a 4 százalékkal való csökkentést

az elaszticitás (−4)-szerese adja.

4 200 4 0,96 3,84E

Ha a termék ára 4 százalékkal csökken, akkor a kereslet 3,84 százalékkal nő.

4. feladat

Egy termékből eladott mennyiséget az 4000

10f xx

függvény adja meg, ahol x a termék

ára. Hány százalékkal változik az eladott mennyiség, ha a termék 1000 Ft-os árát 2%-kal

növelik?

Megoldás

Az elaszticitás segítségével tudjuk meghatározni, hogy hány százalékkal változik az eladott

mennyiség, ha a termék 1000 Ft-os árát 2%-kal növelik.

Első lépésként határozzuk meg az ( )f x függvényt.

2

4000( )f x

x

2

2 2

4000 4000 4000 ( )

4000 10 4000 10 400010

x xxE x

f xf x

x x x x

x

A termék ára 1000 Ft, tehát

4000

0,2857 0,2910 1000 4 00

10000

E

Az elaszticitás az 1%-kos növeléshez tartozó változást írja le, akkor a 2 százalékkal való

növekedést az elaszticitás 2-szerese adja.

2 1000 2 0,29 0,58E

Ha a termék ára 2 százalékkal nő, akkor a kereslet 0,58 százalékkal csökken.