1 DifferentialregningDisse noter giver en kort introduktion til differentialkvotienter og differential-regning, som er noget af det sejeste matematik, man nogensinde har fundet på,så læs grundigt og med bistert blik under brynet!

1.1 Hvad er differentialregning?Differentialregning går kort fortalt ud på at finde ud af hvor hurtigt noget ændrersig. Lad os se på et eksempel: Justin Gatlin løb til OL i 2012 100 meter på 10sekunder. Hvor langt har han løbet efter x sekunder? Hvis han løber med sammehastighed under hele turen, ser hans tilbagelagte længde som funktion af tidenud som figur 1.

Figur 1: Justin Gatlins løbedistance som funktion af tiden. Han løber 100 meterpå 10 sekunder.

Hvor hurtigt løber han? Regn det ud før du læser videre!Når Gatlin løber 100 meter på 10 sekunder, løber han 100

10 = 10 meter på etsekund, så hældningen i figur 1 må være 10. I fysikken kan man godt lide atkalde hastighed v fra velocity på engelsk, så vi har altså at

v = 10m/s. (1)

Altså bliver funktionen som fortæller os hvor mange meter Gatlin har løbet, nårder er gået x sekunder:

f(x) = 10 · x. (2)

Det var nogenlunde nemt, fordi vi antog, at Gatlin løber med samme hastighedhele tiden. I virkeligheden bruger han selvfølgelig lidt tid på at komme op i fart,

1

men det kigger vi på om lidt. Lad os først sikre os, at vi ved præcis hvordan vifinder hældningen af en linje.

1.2 Hældningen af en linjeHvordan finder vi hældningen af den linje, som er beskrevet med ligning 2? Jo,vi vælger to punkter på grafen og finder

hældning =forskel i y-værdierforskel i x-værdier

. (3)

Matematikere elsker at bruge det græske bogstav ∆ (delta) om forskelle, så lados i stedet skrive

hældning =∆y

∆x, (4)

så matematikerne ikke bliver sure. Så lad os vælge to punkter og udregne hæld-ningen. Jeg vælger x-værdierne 2 og 7. For at finde de tilsvarende y-værdier, skalvi smide x’erne ind i funktionen og se hvad, der kommer ud. Den ene y-værdibliver f(2) = 10 · 2 = 20. Den anden bliver f(7) = 10 · 7 = 70. De to punkter eraltså (2,20) og (7,70).

2

Figur 2: Illustration af hvordan man finder hældningen fra funktionen i ligning(2).

∆x og ∆y kan vi finde som vist i figur 2:

hældning =∆y

∆x

=f(7) − f(2)

7 − 2

=70 − 20

7 − 2

=50

5= 10.

Hvorfor i alverden valgte vi lige 2 og 7 som x-værdier? Det er jo ligemeget, nårGatlin løber med samme hastighed hele tiden! Se selv hvad der sker, hvis vibruger 2 og 3 i stedet:

hældning =30 − 10

3 − 1=

20

2= 10. (5)

3

Umiddelbart er det ikke sindsoprivende interessant: Vi antog at løberen heletiden løber med 10m/s, og nu fandt vi så ud af, at han overraskende nok løber10 meter pr sekund. Hvis en irriterende OL-entusiast spørger dig “Hvad er JustinGatlins fart efter præcis 2 sekunder ” tøver du ikke det mindste med at svare10m/s. Nuvel, men det var da også fjollet af os at antage at en olympisk løberhar samme fart hele tiden, så kedsommeligheden er selvforskyldt! Lad os straksse hvad der sker uden den fjollede antagelse.

1.2.1 Panik! Hvad hvis det ikke er en ret linje?

Som sagt: Det fjollet at regne med, at løberen hele tiden har samme fart. Lados se hvad der sker med en løber som først skal op i fart, og så løber hurtigereog hurtigere som tiden går. Hans tilbagelagte distance som funktion af tiden xkunne være

f(x) = x2, (6)

og se ud som vist på figur 3.

Figur 3: En mere realistisk funktion, hvor f(x) = x2. Her starter løberen medat stå stille og får derefter mere og mere fart på efterhånden som tiden går.

MEN: Nu vender den irriterende OL-entusiast frygteligt tilbage. Knæ oghjerter skælver ved hans rungende gentagelse af spørgsmålet: “Hvad er JustinGatlins fart efter præcis 2 sekunder ”.

Nu ændrer hastigheden sig hele tiden, så vi kan ikke bare sige at den er 10m/s som vi gjorde før. Lad os prøve at regne det ud med ∆x og ∆y for at værepå den sikre side. Igen starter vi med at vælge x-værdierne 2 og 7, som vist ifigur 4

4

Figur 4: Forsøg på at finde hældningen med punkterne (2,4) og (7,49).

Lad os så finde hældningen:

hældning =∆y

∆x

=f(7) − f(2)

7 − 2

=72 − 22

5

=45

5= 4.5.

Så langt så godt, men lad os lige som før prøve med x-værdierne 2 og 3 også:

hældning =32 − 22

3 − 2=

5

1= 5. (7)

Argh! Vi får to forskellige tal, men der kan jo kun være ét rigtigt svar på, hvorhurtigt Justin Gatlin løber efter 2 sekunder. Hvorfor i alverden får vi så to

5

forskellige tal?1 Den irriterende OL-entusiast har besejret os! Fordømt! Vi måstraks udvikle en metode til at besvare hans spørgsmål rigtigt for at genvindevor stolthed.

1.3 DifferentialkvotientNu er gode råd dyre, så der er intet andet at gøre end at klø sig i skægget (hvisman har et) og genoverveje grundigt hvordan man finder hældninger. Jovist,man udregner ∆y

∆x , men prøv at beskrive med ord hvad det er, vi gør for at findeen hældning, inden du læser videre. Forhåbentligt kommer du frem til noget idenne retning:

“Man finder en hældning ved at starte ved et punkt og gå et stykke (∆x) udaf x-aksen, og se hvor meget funktionen har ændret sig (∆y)”.

Lad os kalde den x-værdi, som man starter ved, for x, og det lille stykke,som man går ud af x-aksen for h og tegne det. Ligesom tidligere kan vi snildtfinde ud af, hvor meget funktionen har ændret sig ved at smide x-værdierne ind,så

∆x = (x + h) − x = h, (8)∆y = f(x + h) − f(x), (9)

hældning =f(x + h) − f(x)

h. (10)

Det kan ses i figur 5.1Svaret er, at vi i virkeligheden har udregnet to gennemsnitshastigheder for løberen - først

den fart, han i gennemsnit løb med fra der var gået 2 til 7 sekunder - bagefter gennemsnitsfartenmellem 2 og 3 sekunder.

6

Figur 5: Hældningen imellem to punkter på grafen findes ved at starte ved x oggå h ud ad x-aksen. Hældningen lige præcis i punktet x er tegnet med den blå,vandrette linje. Jo mindre man gør h, så tættere vil de to hældninger kommepå hinanden (tegn det, hvis du er i tvivl).

Vi er ude efter hældningen præcis i x. Det virker måske underligt, at grafenskulle have en hældning i kun ét punkt, men tænk tilbage på Justin Gatlin: Hvishan skal have en hastighed efter præcis 2 sekunder, skal hans distancefunktionhave en hældning lige når x = 2. Jo mindre man gør h, jo nærmere kommerman hældningen netop i x - jo mindre h er, jo gladere bliver vi.

Straks fristes vi til at bruge h = 0, MEN... Kig på ligning (10) - hvis visætter h = 0 ind bliver det 0

0 , så den går ikke. Men hvad så med at gøre huendelig lille? Med notationen fra grænseværdier, skal vi altså skrive

f ′(x) = limh→0

(f(x + h) − f(x)

h

), (11)

hvor f ′(x) (læses ’x mærke af x’) er hældningen i punktet x. f ′ kaldes ogsådifferentialkvotienten, eller den afledte eller differentierede funktion. Man kanogså skrive f ′(x) som df

dx , hvor det lille d tolkes som en uendelig lille ændring

7

af f og x, ligesom ∆ betød en ’rigtig’ ændring. Den afledte funktion af x2 kanman så skrive som (x2)′ eller d

dx (x2)Langt om længe ser det ud til, at vi kan bruge grænseværdier til noget for-

nuftigt. Straks vil vi finde differentialkvotienten for x2 og benytte hvor nyfundneinsigt til at overvinde den irriterende OL-entusiast.

1.4 Hældningen af x2

Lad os starte med at regne brøken ud og så tage grænseværdien:

f(x + h) − f(x)

h=

(x + h)2 − x2

h

=x2 + h2 + 2hx− x2

h

=h2 + 2hx

h

=2hx

h+

h2

h= 2x + h,

limh→0

(2x + h) = 2x.

Sådan! Vi har udregnet vores allerførste differentialkvotient:

(x2)′ = 2x. (12)

Nu kan vi med ro i sindet og bistert blik under brynet opsøge den irriterendeOL-fanatiker og udregne Justin Gatlins hastighed efter 2 sekunders løb (hvis duhar mod på det, så prøv det selv inden du læser videre)

f ′(x) = 2x,

f ′(2) = 4.

Endelig har vi fået vores hævn mod den irriterende sportsnørd. Til sidst skaldet tilføjes, at man kan bruge de samme beregning, hvis funktionen er gangetmed en konstant c (prøv selv at differentiere c ·x2), så vi slutter med et resultat,som er vigtigt nok til at få sin egen kasse:

(cx2)′ = 2cx.

8