Diffrazione dei raggi X - fis.uniroma3.it · Raggi X ∼ Raggi X Radiazione elettromagnetica Elevata energia, indice di rifrazione ≈1 in tutti i mezzi, v = c = 3 108 m s-1 (Å)

Marco Milanesio Diffrazione di Raggi X 1

Diffrazione dei raggi X

Marco Milanesio

Università del Piemonte OrientaleMailto: [email protected]: http://www.mfn.unipmn.it/~marcomi

Tratta dai lucidi e dalle dispense (à libro pag. 345) fatte dal Prof. Davide Viterbo


Perché diffrazione di raggi X?

Raggi X

Cr istallo

I cr istalli diffrangono, oltre ai raggi X, anche neutroni ed elettroni

Struttura 3DDiffrattogramma


Diffrazione da cr istalli di molecole “ enormi” …..


Brevi cenni stor iciRaggi X scoperti da Röntgen nel 1895

Sommerfeld (1904) dimostra che ∼ 0.4 Å

Laue e Ewald (1912): i cristalli possono diffrangere i raggi X (dimostrato speri-mentalmente daFriedrich e Knipping )

Bragg (1913) determina le prime strutture (NaCl, KBr, KCl, KI)


La diffrazione

Raggio incidente

Interferenza

Figura di diffrazione

d

Reticolo periodico con aperture a distanza d ~


Quale è stata la grande intuizione di Laueed Ewald?

Raggi X hanno ∼∼∼∼ 0.4 Å

(Sommerfeld)

I cristalli sono “ reticoli” con “ fenditure” (gli atomi diffondenti) poste a distanze adatte a dare una figura di diffrazione che contenga memoria della struttura atomica del cristallo

Distanze interatomiche circa 1Å (Teorie atomiche)


Reticoli 2DCella unitaria

T = ua + vb

u, v interib

a


Reticoli 3D

Cella unitaria

a, b, c, , costanti reticolari Assi cristallografici

T = ua+ vb +wc

u, v, w interi


Piani cr istallini

(1 0)

(0 1)

(1 1)

(2 1)

Si definiscono “piani cristallini” i piani passanti per i nodi

reticolari. Essi sono definiti dagli indici di Miller h k l

h: numero di parti in cui il piano più vicino al nodo scelto come

origine taglia il vettore a

k: idem per b

l: idem per c (per il caso 3D)

b

a

Caso 2D


Sommar io

Basi matematiche

Interazione raggi X-materia

Cenni di diffrazione da polver i

La legge di Bragg e le applicazioni pratiche

Fattore di struttura e densità elettronica

Diffrazionedei raggi X da cristallo


Funzione di Dirac

(x - x o)= 0 per x ≠ x o

= ∞ per x = x o

Caso monodimensionale (1D)

Esempio: limite di una funzione Gaussiana

=−−−

2

2

)2

)(exp

2

1lim(σπσ

δ oo

xxxx

à 0

Basi matematiche

Caso 3D Vettore czbyaxr ++=)()()()( oooo zzyyxxrr −⋅−⋅−=− δδδδ

0 xo

1)( =−∞

∞−

dxxx oδ


Funzione di Dirac Propr ietà

=−S

o Orfrdrrrf )()()( δ

−=−−S

rrrdrrrr )()()( 2112 δδδ

)()()()( ooo rrrfrrrf −=− δδ

)()( rrrr oo −=− δδ


∞

−∞=

−=n

nxxxL )()( δxn = nan intero

a costante

L(x) ≠ 0 per x = na n: -∞ à ∞

Esempio: reticolo monodimensionale di

periodo a

Funzione reticolo L – Caso monodimensionale (1D)


Funzione reticolo L – Caso tr idimensionale (3D)

a, b, c periodi di identità del reticolo

∞

∞−

−=u v w

wvurrrL )()( ,,δ

cwbvaur wvu ++=,, u, v, w interi

Vettori che individuano i nodi dove la funzione reticolo L(r) ≠ 0


Trasformata di Four ier - Definizione

Data una funzione (r) la sua trasformata di Fourier è:

⋅=S

rdrrirrF )*2exp()()*( πρ

r* è un vettore dello spazio in cui è definita la trasformata di Fourier

In altre parole la trasformata di Fourier è un operatore che collega uno spazio definito dal vettore r ad

un altro spazio definito da r*


Trasformata di Four ier

Si può dimostrare che vale la relazione di trasformata inversa per cui:

⋅−=*

*)*2exp()*()(S

rdrrirFr πρ

In forma abbreviata:

[ ])()*( rTrF ρ= TdF da spazio r a spazio r*

[ ])*()( 1 rFTr −=ρ AntiTdF da spazio r* a spazio r


⋅=S

rdrrirrF )*2exp()()*( πρ

Trasformata di Four ier - continua

In generale F(r*) è una funzione complessa

)*()*()*( riBrArF +=

⋅=S

rdrrrrA )*2cos()()*( πρ

⋅=S

rdrrsenrrB )*2()()*( πρ


Trasformata di Four ier di una gaussiana

Funzione Gaussiana

−==

2

2

2exp

2

1)0,()(

σπσρρ x

Nx

∞

∞−

= dxxixxxF )*2exp()(* )( ρ

[ ] 222 *2exp*)()( xxFxT σπρ −==Che è sempre una funzione gaussiana, ma con larghezza inversamente (e non direttamente)

proporzionale a


Trasformata di Four ier – Gaussiana BIS

(x) T[ (x)]= 1 è + stretta = 1 è + larga


Trasformata di Four ier di una di Dirac

(x)

(x) è infinitamente stretta

T[ (x)]F(x*)=T[ (x)] è

infinitamente larga

(x) = (x)

∞

∞−

== 1)*2exp()(* )( dxxixxxF πδ

* )2exp(*)( iaxxF π=(x) = (x-a) 0


Trasformata di Four ier di un reticolo 1D finito

−=

−=p

pn

naxx )()( δρ

Con N = 2p + 1 nodi

* )(

* )(* )2exp(* )(

-n axsen

axNseninaxxF

p

p=

==

Funzione con max/min principali di altezza ± N centrati in ax* = h (h intero) e larghezza 2/N


…….T[reticolo finito] graficamente

−=

−=p

pn

nxxxL )()( δ

T[Reticolo in x che tende a infinito] à Reticolo in x*


Trasformata di Four ier – Reticolo 1D infinito

N à ∞

∞

−∞=

−==n

naxxLx )()()( δρ

* )(

* )(lim*)(

axsen

axNsenxF

N ππ

∞→=

( )∞

−∞=

∞

−∞=

−=

−=hh

haxaa

hx

axF *

1*

1*)( δδ

è un fattore di normalizzazionea

1


Trasformata di Four ier – Reticolo 3D finito

−= −= −=

−=1

1

2

2

3

3

)()( ,,

p

pu

p

pv

p

pw

wvurrr δρ N1 = 2p1 + 1 N2 = 2p2 + 1 N3 = 2p3 + 1

)*(

)*(

)*(

)*(

)*(

)*(* )( 321

rcsen

rcNsen

rbsen

rbNsen

rasen

raNsenrF

⋅⋅⋅

⋅⋅⋅

⋅⋅=

ππ

ππ

ππ

sono i vettori base del reticolo DIRETTO:cba ,,

h, k, l interi

Con max/min a: ,* krb =⋅ lrc =⋅ *,* hra =⋅


Trasformata di Four ier – Reticolo 3D finito

I vettori base del reticolo (DIRETTO) sono: cba ,,

Vi associamo un altro reticolo (RECIPROCO) con vettori base: *,*,* cba

1*0*0*

0*1*0*

0*0*1*

=⋅=⋅=⋅=⋅=⋅=⋅=⋅=⋅=⋅

ccbcac

cbbbab

cabaaa Condizioni di reciprocità e ortogonalità

Perciò i max di F(r* ) sono agli estremi del vettore:

**** clbkahr H ++= ),,( lkhHT

=


Trasformata di Four ier – Reticolo 3D infinito

∼

(N1, N2, N3) à ∞

( ) ∞

−∞=

∞

−∞=

∞

−∞=

−=u v w

wvurrr ,,)( δρ

∞

−∞=

∞

−∞=

∞

−∞=

−=

h k l

lkhrrV

rF ,,**1

)*( δ

( ) ∞

−∞=

∞

−∞=

∞

−∞=

−=h k l

HrrV

**1 δ

Che è ancora un reticolo 3D infinito definito dai nodi del R.R.


Convoluzione (C) – Simbolo *

∼

Operazione che si effettua su 2 funzioni (r) e g(r)

)(*)()(*)()( rrgrgruC ρρ ==

)]([)]([)](*)([ rgTrTrgrT ×= ρρ

Teorema della convoluzione

)]([*)]([)]()([ rgTrTrgrT ρρ =×

e viceversa

−==S

rdrugrrgruC )()()(*)()( ρρg(u-r)

inversa di g(r) rispetto

a u


Convoluzione con una di Dirac g(r )= (r -r o)

∼

)()(*)( oo rrrrr −=− ρρδTraslazione di (r) di un vettore ro

……mi posiziona la funzione (x) nel punto x = a


Convoluzionecon un reticolo 1D infinito L(x)

∼

( ) )()(*)( xnaxfxfxLn

ρ=−= ∞

−∞=

à funzione definita nell’ intervallo 0 ≤ x ≤ a)(xf

Si ottiene la funzione (x) che è la

ripetizione periodica di f(x)


…… (x)*L(x) graficamente

∼

……mi ripete la funzione (x) in ogni nodo del reticolo 1D


Convoluzionedi una funzione con un reticolo 2D

∼

……mi ripete la funzione “ toluene” (x) in ogni nodo del reticolo 2D

Analoga cosa (solo più difficile da visualizzare) se uso un reticolo 3D


Convoluzione di un reticolo 3D

∼

( ) )()(*)(,,

,, rrrfrfrLwvu

wvu ρ=−= ∞

∞−

à 0 ≤ x ≤ a, 0 ≤ y ≤ b, 0 ≤ z ≤ c ),,()( zyxfrf =

Si ottiene la funzione (r),

ripetizione periodica 3D di f(r)


Interazione raggi X - mater ia

∼

Diffusione

Elastico (Thompson) =0, =

Inelastico (Compton) ≠0

Assorbimento

Senza fotoemissione

Con fotoemissione

Teoria cinematica della diffrazione dei raggi X

Teoria dinamica


Raggi X

∼

Raggi X Radiazione elettromagnetica

Elevata energia, indice di rifrazione ≈ 1 in tutti i mezzi, v = c = 3 108 m s-1

(Å)

E(keV)

UVRaggi X 1000.1

∼150 ∼ 0.1

Non si possono costruire “ lenti” per i raggi X, analoghe a quelle disponibili per la radiazione

UV-Vis e per gli elettroni


Diffusione dei raggi X senza perdita di energia (coerente) àààà Scatter ing Thompson con =0

∼

Intensità diffusa:

2

2cos1eII

2

432

4

iTh

θ+⋅=

crm

Ii = Intensità raggi incidentie = carica della particellam = massa della particella2 = angolo di diffusioner = distanza a cui si misura

A causa del fattore 1/m2 diffondono solo gli elettroni

Fattore di polarizzazione per

raggi X non polarizzati


La polar izzazione della luce di sincrotrone

∼

2

)2cos(1 θ+=oPLuce non polarizzata tubo a raggi X convenzionale)2()2cos(

2

' 2 θψτsenPo ⋅= Luce parzialmente

polarizzata: sincrotroneangolo azimutale sul rivelatore

)1()1(

)1()1('

τταττατ

−++−−+=

dipende dal cristallo monocromatore: =

cos2 M con M angolo di Bragg del

monocromatore

⊥

⊥

+−=

II

II

||

||τ

grado di polarizzazione con = 0 per tubo, diverso da 0 per sincrotrone


Diffusione dei raggi X con perdita di energia (incoerente) àààà Scatter ing Compton

∼

Urto elastico tra fotone ed elettrone, che non oscilla solo ma si mette in movimento

= 0.024 (1-cos2 )


Inter ferenza delle onde diffuse

∼

Raggio incidente

Interferenza

Figura di diffrazione

Reticolo periodico con aperture a distanza d ~


Inter ferenza delle onde diffuse

( ) rrrSS o ⋅=⋅−= *22 πλπδ

Ampiezza diffusa da O à Ao

Ampiezza diffusa da O’ àAmpiezza diffusa da elettrone libero à ATh

)*2exp(' rriAo ⋅π

fj=Aj/ATh fattore di diffusione à no. elettroni nel punto j

λϑsen

r2

|*| =λ

oSSr

−=*

S, So versoriDiff. di fase funzione della

diff. di cammino ottico (d.c.o.)2 : = : d.c.o


Se i punti diffusor i sono N:

∼

Ampiezza risultante (rispetto a quella che sarebbe diffusa da un elettrone libero posto all’origine)

( ) ( )j

n

jjj

n

j Th

j rrifrriA

ArF ⋅=⋅=

==

*2exp*2exp)*(11

Diffusore continuo: descritto da una funzione continua di densità elettronica (r) da cui dipende l’ampiezza diffusa

)*2exp()( rrirdr ⋅πρ

L’elemento di volume dr in r contiene (r)dr elettroni e

diffonde con ampiezza:


Ampiezza totale diffusa è l’ integrale su tutto il volume vdel diffusore continuo descr itto da (r ):

∼

( ) [ ])(*2exp)()*( rTrdrrirrF j

v

ρπρ =⋅=

( ) [ ])*(**2exp)*()( 1

*

rFTrdrrirFr j

v

−=⋅−= πρ


Consider iamo diversi tipi diversi di diffusor i (r)

∼

Elettrone in un atomo.....

Si assume una simmetria sferica:

drrr

rrsenrrfe

∞

=0

e*2

*)2()(U*)(

ππ

|)|( rr =

)(4)(U 2e rrr eρπ=

Funzione radiale di densità elettronica

2

)()( rre ψρ =


….Atomo “ fermo” con più elettroni.....

∼

Si assume una simmetria sferica:

=

∞

==Z

jea j

fdrrr

rrsenrrf

10

a *2

*)2()(U*)(

ππ

)(4)(U 2a rrr aρπ=

Z=n. di elettroni (numero atomico)


….Atomo “ con moto termico” isotropo.....

∼

−=

2

2

exp*)(* )(λ

θsenBrfrf a

oa

T

28 uB π= à Fattore di temperatura

u2 à spostamento quadratico medio


Fattor i di diffusione atomici vs. angolo di diffusione

∼

Atomo “ fermo”

Atomo con moto termico

Angolo di diffusione crescente


….Atomi o molecole in una cella elementare

∼

N atomi in posizioni Njrj ,1, =

Ogni atomo ha densità elettronica )( jj rr −ρTrascurando la densità elettronica di legame

(Indipendent Atom Approximation- IAM)

)()(1

j

N

jM rrr

=

−= ρρ

)*2exp()*()*(1

rrirfrFN

jjM ⋅=

=


….diffrazione dei raggi X da un cr istallo infinito….

∼

Cella elementare ripetuta in un reticolo infinito

)()()( rLrr M ∗=∞ ρρ

∞

∞−

∞ −=lkh

HM rrV

rFrF,,

)**(1

)*()*( δ

**** clbkahrH ++=

Ampiezza diffusa

???)]([)]([)*( =×=∞ rLTrTrF Mρ


QUINDI :

∼

∞

∞−

∞ −=lkh

HM rrHFrF,,

)**()()*( δ

Diverso da zero solo ai nodi del reticolo reciproco dove viene campionata la

funzione continua

)*(rF∞

)*(rFM


Equazioni di Laue

∼

**** clbkahrH ++=

λ

λ

λ

lSSc

kSSb

hSSa

o

o

o

=−⋅

=−⋅

=−⋅

)(

)(

)(Valori discreti di S per

cui si hanno raggi diffratti

Moltiplicando rH* = (S-So)/ per a, b, c si ottengono le condizioni di Laue per la diffrazione


∼

.

)()()( rrrcr Φ×= ∞ρρFunzione di forma )(rΦ

=1 nel cristallo

=0 fuori dal cristallo

)(*)()]([*)]([)( *** rDrFrTrTrFcr ∞∞ =Φ= ρ

Ω

⋅= rdrrirD )2exp()( *π

∞

∞−

−=lkh

cr HM rrDHFV

rF,,

*** )()(1

)(

….Cristallo finito di volume gener ico

∞

∞−

∞ −=lkh

HM rrHFrF,,

)**()()*( δ


∼

*

*3

*

*2

*

*1* )()()(

)(z

zAsen

y

yAsen

x

xAsenrD

ππ

ππ

ππ ⋅⋅=

A1

A3

A2

Massimi con ampiezza (A1-1)•(A2

-1) •(A3 -1)

I nodi del reticolo reciproco diventano domini con larghezza Aj

-1 (j=1,2,3) nelle tre direzioni x, y, z

….Cristallo finito di volume : un

parallelepipedo.


∼

Figura di diffrazione di un cr istallo reale 1D e 2D.

1D

2D


∼

Figura di diffrazione di un cr istallo reale 3D.


∼

Fattore di struttura e densità elettronica

∞

∞−

−==lkh

HMcr rrDHFV

rFrF,,

**** )()(1

)()(

Fattore di struttura)(HFM

Vettore (matrice 1 x 3) il cui trasposto vale)(H ),,( lkhH

T=


∼

Reciprocità tra (h,k,l) e (x,y,z)

ANALOGAMENTE

Vettore (matrice 1 x 3) il cui trasposto vale

)( jX),,( jjjj zyxX

T

=

Componenti del vettore rH* (spazio reciproco)

Componenti del vettore rj (spazio diretto)

Vettore (matrice 1 x 3) il cui trasposto vale)(H ),,( lkhH

T=


Utilizziamo i due vettor i per rappresentare FH

jjjj

T

jH lzkyhxXHrr ++=⋅=⋅*

=

⋅=N

jj

T

j XHifHF1

)2exp()( HH iBA +=

)2cos(1

=

⋅=N

jj

T

jHXHfA

)2(1

=

⋅=N

jj

T

j XHsenfB π

)*2exp()*()*(1

Hj

N

jHjHM rrirfrF ⋅=

=

π)*2exp()*()*(1

rrirfrFN

jjM ⋅=

=


…..GRAFICAMENTE

H

H

A

Btg

H=ϕ

)exp(||HHH

iFF Φ=

( )[ ] [ ]==

=++==N

jjj

N

jjjjjhkl iflzkyhxifHFF

11

exp2exp)( απ

AMPIEZZA DIFFRATTA STRUTTURA

2

122

||

+=

HBAF HHAH

BH


Sintesi di Four ier

⋅−=*

*)*2exp()*()(S

rdrrirFr πρ

)*(rF Campionato ai soli nodi del reticolo reciproco

)2exp(1

)(,,∞

∞−

⋅−=lkh

T

HXHiF

Vrρ Serie di Fourier

( )[ ]∞

∞−

++−==lkh

lzkyhxiFV

zyxr,,

hkl 2exp1

),,()( ρρFunzione

reale( )[ +++= ∞

=

∞

=

∞

=

⋅

0 0 0hkl 2cos

2)(

h k l

lzkyhxAV

r πρ( )]lzkyhxsenB +++ ⋅ π2hkl


Problema della fase

( )[ ]∞

=

∞

=

∞

=

−++=0 0 0

hkl 2cos2

)(h k l

hkllzkyhxFV

r ϕπρ

|Fhkl|∝Ihkl1/2 che si ottiene

dalla misura dell’ intensità

Manca invece la fase hkl

(Problema della fase)

Poiché la funzione è reale e il sen è una funzione dispari i termini in sen si elidono essendo (legge di Friedel)hklhkl FF =


Problema della fase – in pratica

Non si può ricavare la struttura in maniera immediata dai valori di Ihkl misurati

Pattern di diffrazione

Spazio reciproco

Struttura 3D

Spazio diretto

Mancano le fasi


dH

Differenza di cammino ottico=??

Legge di Bragg e le applicazioni pratiche

Piani cristallografici di

indici hkl

Raggio incidente Raggio

“ riflesso”

Raggi X “ riflessi” da piani in fase se:

??=+ BCAB ??2 =ϑsendH λ

Hd

senr

12|*| ==

λϑ


Sfera di r iflessione e sfera limite

λϑϑ sen

IOsend

rOPH

H

21* ====

Sfera di raggioλ1

Se un punto P (del R. R.) è sulla sfera di riflessione allora

“ riflessione” lungo AP

Se OP > , P non può mai

essere sulla sfera di

riflessione: sfera limite di raggio λ2

λ1


Risoluzione

minmax d

1=

λϑsen dmin: risoluzione

dmin: “cosa più piccola” che posso distinguere con una determinata

Alti à alti hklà dmin piccolo

hx+ky+lx

Sensibili a errori su x,y,z e ai particolari più

dettagliati della (r)


Risoluzione - EsempioPer Cu(K ): = 1.54 Å

λϑ =sendH2 1max =ϑsen

5.0max =ϑsen Å54.15.02min =

⋅= λ

d

Risoluzione atomica??2min =

⋅=

MAXsend

ϑλ

Å77.0


Risoluzione – Casi reali

Proteine Risoluzione di 2-5Å è la norma, <1.0Å il limite

Materiali Risoluzione di 0.9-1.0Å èla norma, <0.8Å il limite

Raggi X “meno energetici” , usata: 0.8-1.6Å

Raggi X “più energetici” , usata: 0.4-0.9Å


Dal punto di vista operativo:

( )[ ]∞

=

∞

=

∞

=

−++=0 0 0

hkl 2cos2

)(h k l

hkllzkyhxFV

r ϕπρ

Per ottenere una buona rappresentazione della (r)

Misura delle intensità del maggior numero di

riflessi (Ihkl)

Muovere un cristallo singolo in un fascio di raggi X monocromatici

Polvere in un fascio di raggi X monocromaticiCristallo singolo in un

fascio di raggi X policromatici (metodo

di Laue)

M. Nardini, 24 settembre

G. Artioli, 17 settembre

Modulo quadro


Tecniche “ parenti”

Diffrazione di superfici

A. Ruocco 18 settembre

Diffrazione di fotoelettroni

G. Paolucci 18 settembre

SAXSP. Riello

17 settembre


Detector per i raggi diffratti (I hkl) BM01 a ESRF

Ihkl=K |Fhkl|2 K comprende vari fattori

tra cui L, P, 3, Io, e Vcr

( )[ ]∞

=

∞

=

∞

=

−++=0 0 0

hkl 2cos2

)(h k l

hkllzkyhxFV

r ϕπρ

Detector puntuali

Detector bidimensionali (Image plate o CCD)

Detector mono-dimensionali


Diffrazione da mater iali policr istallini

Polvere cristallina

Campione formato da un grandissimo numero di cristalli (cristalliti) orientati casualmente

Grandissimo (à infinito) numero di reticoli reciproci orientati casualmente con l’origine in comune

T[polvere cristallina]

Inoltre tutti i riflessi sono in condizioni di riflessione in ogni istante dell’esperimento


Cosa comporta ciò:

Ogni vettore di reticolo reciproco assume tutte le possibili orientazioni con un origine in comune


Quindi:Nodi di R.R. giacciono su una sfera di raggio |rH* | che

taglia la sfera di riflessione in un cerchio

I riflessi sono su un cono assiale ai raggi X con apertura 4


Misurando l’ intensità delle linee su film:

Caratteristiche del pattern:

dH posizione della linea (2 , sen / , Å)

IH : Intensità della linea (conteggi, colpi….à A.U.)

∝2

0

10

20Camera di Debye-Scherrer

(film, ormai obsoleta) e campione in capillare cilindrico che ruota


…..versione moderna della geometr ia Debye-Sherrer al sincrotrone (ID31 a ESRF)


Geometr ia Bragg-Brentano

Campione piatto, con polvere schiacciata su un

supporto

Position sensitive detectors permettono di registrare contemporaneamente i massimi di diffrazione entro un dato intervallo

angolare


ANALISI DEI DIFFRATTOGRAMMIRiconoscimento fasi presenti

Ogni fase cristallina ha il suo pattern di diffrazione caratterizzato da dH e IH

per ogni riflesso H=(h k l)Banca dati ICPD

(PDF2,3,4) permette di confrontare dH, IH EXP

con dH, IH ICPD per riconoscere le fasi

Metodi di aff. di profilo (Rietveld) à An . quantitativa


Studio transizioni di fase

Quando una sostanza cristallina subisce una

transizione di fase il suo diffrattogramma cambia

Si usano dispositivi per variare la temperatura del campione in situ, durante

la misura XRPD

(a)

4 6 8 10 12

(b)

(040)(202)

(301)(102)

(002) (053)(352)(133)

(303)(501)

(200)(011)

Cou

nts

(a.u

.)

T(K)

2θ(°)

973

573


Analisi ed affinamento strutturale

Risoluzione di strutture ab initio (se si risolve il problema della fase)

Affinamento “Rietveld” per analisi di tipo

strutturale

min2

→−=i

Ci

Oii yywSCurva

viola


Dimensioni dei cristalliti e deformazioni …..

Cristallo “perfetto” Infinito e senza difetti

Cristallo “ reale” Finito e con difettiEsistono relazioni tra larghezza del picco a

mezza altezza (FWHM) (2 ) e

dimensione media dei cristalliti (D)

)2(cos9.0

θθλ∆⋅

=D

Massimi di diffrazione allargati

Dalle variazioni dei parametri di cella sotto stress si può ricavare il tensore di deformazione


…… orientazioni preferenziali

Cristalliti non orientati a caso à intensitànon uniforme lungo il cono di diffrazione à Figure polarià direzioni di orientazione preferenziale

Alluminio con orientazioni preferenziali

Olivina sintetica senza deformazioni

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