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CIRCUITOS DIGITALES – SIMPLIFICACIÓN DE FUNCIONES LÓGICAS J. Gómez-García Tema 4: Simplificación de Funciones Lógicas

Digitales Ii Tema4 Simplificacion De Funciones Logicas

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CIRCUITOS DIGITALES – SIMPLIFICACIÓN DE FUNCIONES LÓGICAS J. Gómez-García

Tema 4:

Simplificación de Funciones Lógicas

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La expresión de una función lógica como suma de minterms o producto de maxterms no es necesariamente la expresión más simple.

Ventajas de un diseño sencillo:•Menor número de puertas•Dimensiones reducidas•Más barato•Más rápido•Tiempo de diseño reducido•Menor posibilidad de fallos•Más elegante

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Dada la función F(A, B, C) en forma de tabla de verdad:

11111011110110011110001001000000FCBA

∏ == 210 M·M·M)2,1,0(MF

76543 mmmmm)7,6,5,4,3(mF

++++=

==∑

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Utilizando las propiedades del álgebra de Boole podemos simplificar el Producto de los Maxterms.

)CA)·(BA()BBCA)·(CCBA(

)CBA)·(CBA)·(CBA)·(CBA(

)CBA)·(CBA)·(CBA(

M·M·M)2,1,0(MF 210

++=++++=

=++++++++=

=++++++=

===∏

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También utilizando las propiedades del álgebra de Boolepodemos simplificar la Suma de minterms.

ABC)BB(ABC

)CC(AB)CC(BA)AA(BC

ABCABCCABCBACBABCA

ABCCABCBACBABCA

mmmmm)7,6,5,4,3(mF 76543

+=++=

=+++++=

=+++++=

=++++=

=++++==∑

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En ambos casos, los diseños son más sencillos que la suma de minterms o el producto de maxterms.

ESTRATEGIA- Factorizar términos que difieren en una variable (aparece complementada en uno y sin complementar en el otro) para eliminar ésta (Términos adyacentes).

NECESARIO-Mucha práctica para poder agrupar y llegar a la expresión simple.-Procedimiento claro y conciso para no perderse

TABLAS O MAPAS DE KARNAUGH:-Sencillos-Equivalen a una tabla de verdad-Más clara para simplificar-Procedimiento definido de simplificación-No son útiles para más de 6 variables

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Principio de la simplificación en el desarrollo por minterms o “desarrollo por unos”: A)BB(A =+

A)BB(AABBAmmF 32 =+=+=+=Ejemplo:

111101010000FBA

Los valor de B cambian en estos dosminterms.

Los valor de A no cambian en estos dos minterms.

B se elimina, A permanece

ESTRATEGIA DE SIMPLIFICACIÓN:Encontrar parejas de minterms que difieren en el valor de una sola variable Esta variable se elimina.

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Principio de la simplificación en el desarrollo por Maxterms o “desarrollo por ceros”: A)B·B(A =+

ABBA)BA)·(BA(M·MF 10 =+=++==Ejemplo:

111101010000FBA

Los valor de B cambian en estos dos Maxterms

Los valor de A no cambian en estos dos Maxterms

B se elimina, A permanece

ESTRATEGIA DE SIMPLIFICACIÓN:Encontrar parejas de Maxterms que difieren en el valor de una sola variable Esta variable se elimina.

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Ejercicio:Calcular: a) como suma de minterms; b) como producto de Maxterms; c) la expresión más simplificada de esta función expresada en la siguiente tabla de verdad:

011

101

010

100

FBA

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011101010100FBA

011101010100FBA

El valor B no cambia

El valor A cambia

El valor B no cambia

El valor A cambia

BB)AA(BABAmmF 20 =+=+=+=

B)AA(B)BA)(BA(MMF 31 =+=++==

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La tabla de Karnaugh como alternativa a la tabla de verdad:

• Es una tabla de verdad

• Correspondencia biunívoca entre las casillas de una tabla de verdad y una tabla de Karnaugh

• Ordenada “estratégicamente”

• Permite determinar “adyacencias”

Adyacencia: Cuando dos expresiones tienen las mismas variables, todas igualmente complementadas o no, excepto en una única que varía.

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Tabla de Karnaugh de una variable: (existen únicamente 4 funciones)

11

00

FAn

011

100

FAn

011

000

FAn

111

000

FAn

111

100

FAn

10

10A

1

00

0

10A

1

10

0

10A1

10

1

10A

1

00

1

10A

• Tabla de una entrada con dos casillas, siendo ambas adyacentes.• Dos casillas adyacentes son simplificables, ya se desarrolle por ceros o por unos.

0AAF0F

==

=

AFAF

==

AFAF

=

=

1F1AAF

==+=

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Tabla de Karnaugh de 2 variables: (existen únicamente 16 funciones)

• Tabla de dos entradas con 4 casillas, siendo estas adyacentes por “vecindad” horizontal o vertical• Dos casillas adyacentes son simplificables, eliminándose una variable.• Cuatro casillas también son adyacentes, eliminándose 2 variables.

3

2

1

0

n

11011000

FBA

311

200

10AB

Page 14: Digitales Ii  Tema4 Simplificacion De Funciones Logicas

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3

2

1

0

n

011101010100FBA

3

01

01

2

10

10

10AB BF =

(B=0 en ambos casos)

3

2

1

0

n

111101010000FBA

3

11

01

2

10

00

10AB AF =

(A=1 en ambos casos)

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CIRCUITOS DIGITALES – SIMPLIFICACIÓN DE FUNCIONES LÓGICAS J. Gómez-García

3

2

1

0

n

111101110100FBA

3

11

11

2

10

10

10AB

1F =(se elimina A y B)

El que se mueva en la foto no sale.

3

2

1

0

n

111001110000FBA

1

0

10AB

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Tabla de Karnaugh de 3 variables: (28=256 casos posibles)

11117

10116

11015

10014

11103

00102

01001

00000

FCBAn

5

17

13

11

01

4

16

12

00

00

10110100AB

C

• Tabla de dos entradas con 8 casillas, siendo éstas adyacentes por “vecindad” horizontal o vertical.• Las dos primeras variables se agrupan en una entrada y se ordenana según el código de Gray.• 2 casillas adyacentes son simplificables, eliminándose 1 variable.• 4 casillas también son adyacentes, eliminándose 2 variables,• 8 casillas son adyacentes, eliminándose 3 variables.

BC

A

ABCF +=

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Tabla de Karnaugh de 3 variables: (28=256 casos posibles)

11117

10116

11015

10014

11103

00102

01001

00000

FCBAn

5

17

13

11

01

4

16

12

00

00

10110100AB

C

• Tabla de dos entradas con 8 casillas, siendo éstas adyacentes por “vecindad” horizontal o vertical. También son adyacentes por los bordes.• Las dos primeras variables se agrupan en una entrada y se ordenan según el código de Gray.• 2 casillas adyacentes son simplificables, eliminándose 1 variable.• 4 casillas también son adyacentes, eliminándose 2 variables,• 8 casillas son adyacentes, eliminándose 3 variables.

A+B A+C

)CA)(BA(F ++=

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Tabla de Karnaugh de 4 variables: (216 casos posibles)

• Tabla de dos entradas con 16 casillas, siendo éstas adyacentes por “vecindad” horizontal o vertical. También son adyacentes por los bordes.

• Las dos primeras variables se agrupan en una entrada y se ordenan según el código de Gray. Lo mismo para las otras variables.

• 2 casillas adyacentes son simplificables, eliminándose 1 variable.

• 4 casillas también son adyacentes, eliminándose 2 variables.

• 8 casillas también son adyacentes, eliminándose 3 variables.

• 16 casillas también son adyacentes, eliminándose 4 variables.

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CIRCUITOS DIGITALES – SIMPLIFICACIÓN DE FUNCIONES LÓGICAS J. Gómez-García

1111115

1011114

1101113

1001112

0110111

0010110

010019

000018

011107

101106

110105

100104

011003

101002

010001

100000

FDCBAn

10

014

16

12

110

11

015

17

03

011

9

013

15

11

001

8

012

14

10

100

10110100AB

CD

ABCBDAF ++=

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CIRCUITOS DIGITALES – SIMPLIFICACIÓN DE FUNCIONES LÓGICAS J. Gómez-García

Tabla de Karnaugh de 5 variables: (232 casos posibles)

• 2 Tablas de dos entradas, con 16 casillas cada una.• Si el orden es ABCDE, la primera tabla respresenta A=0 y la segunda A=1.• Además de las adyacencias interiores, también son adyacentes dos casillas con idénticas posiciones relativas en ambo cuadros (propiedad de traslación)• 2n casillas adyacentes forman un grupo y se eliminan n variables.

A=0

10

114

16

02

110

11

015

17

03

111

9

013

15

11

001

8

112

14

10

100

10110100BC

DE

A=1

10

014

16

12

110

11

015

17

03

011

9

013

15

01

001

8

012

14

00

100

10110100BC

DE

Page 21: Digitales Ii  Tema4 Simplificacion De Funciones Logicas

CIRCUITOS DIGITALES – SIMPLIFICACIÓN DE FUNCIONES LÓGICAS J. Gómez-García

A=0

10

114

16

02

110

11

015

17

03

111

9

013

15

11

001

8

112

14

10

100

10110100BC

DE

A=1

10

014

16

12

110

11

015

17

03

011

9

013

15

01

001

8

012

14

00

100

10110100BC

DE

- Se eliminan ADE - Se eliminan BE - Se eliminan BD - Se eliminan AD - Se elimina E - Se elimina C EDBA

DCBAECBECADCA

BC

EDBADCBAECBECADCABCF

+++

+++=

Page 22: Digitales Ii  Tema4 Simplificacion De Funciones Logicas

CIRCUITOS DIGITALES – SIMPLIFICACIÓN DE FUNCIONES LÓGICAS J. Gómez-García

18

122

130

126

010

114

16

02

110

19

023

031

127

011

015

17

03

111

17

021

029

125

09

013

15

11

001

16

120

028

124

08

112

14

10

100

100101111110010011001000ABC

DE

- Se eliminan ADE - Se eliminan BE - Se eliminan BD - Se eliminan AD - Se elimina E - Se elimina C EDBA

DCBAECBECADCA

BC

EDBADCBAECBECADCABCF

+++

+++=

Tabla de Karnaugh de 5 variables (alternativa): (232 casos posibles)

Page 23: Digitales Ii  Tema4 Simplificacion De Funciones Logicas

CIRCUITOS DIGITALES – SIMPLIFICACIÓN DE FUNCIONES LÓGICAS J. Gómez-García

Tabla de Karnaugh de 6 variables (alternativa): (232 casos posibles)

10146210

11157311

9135101

8124000

10110100CD

EF

5862545010

5963555111

5761534901

5660524800

10110100CD

EF

2630221810

2731231911

2529211701

2428201600

10110100CD

EF

4347393410

4246383511

4145373301

4044363200

10110100CD

EF

B=0 B=1

A=0

A=1

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CIRCUITOS DIGITALES – SIMPLIFICACIÓN DE FUNCIONES LÓGICAS J. Gómez-García

Ejercicios:

101

100

10A

B

11101

11000

10110100AB

C

111

000

10A

B

10101

10100

10110100AB

C

00111

01100

10110100AB

C

11001

10010

10110100AB

C

111110

111111

001001

100100

10110100AB

CD

111110

111111

001001

100100

10110100AB

CD

111110

100111

100101

111100

10110100AB

CD

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CIRCUITOS DIGITALES – SIMPLIFICACIÓN DE FUNCIONES LÓGICAS J. Gómez-García

Funciones incompletamente especificadas:

• Algunos problemas o diseños no definen completamente una función lógica.

• Los casos no especificados no son “0” ni tampoco “1”. Pero pueden ser cualquiera de los dos.

• Se marcan como “X” en las tablas.

• Se convierten a “0” o a “1” según interese a la hora de simplificar.

Page 26: Digitales Ii  Tema4 Simplificacion De Funciones Logicas

CIRCUITOS DIGITALES – SIMPLIFICACIÓN DE FUNCIONES LÓGICAS J. Gómez-García

Ejemplo: circuito que detecta si un número en BCD es par (F=1) o impar (F=0)

XX1110

XX0011

0X0001

1X1X00

10110100AB

CD

X111115

X011114

X101113

X001112

X110111

X010110

010019

100018

011107

101106

010105

100104

011003

101002

010001

X00000

FDCBAn

DF =

Page 27: Digitales Ii  Tema4 Simplificacion De Funciones Logicas

CIRCUITOS DIGITALES – SIMPLIFICACIÓN DE FUNCIONES LÓGICAS J. Gómez-García

Criterios de Simplificación:

• Marcar y aceptar las casillas no combinables.

• Marcar y aceptar las casillas que se pueden combinar en grupos de 2 de una sola forma.

• Marcar y aceptar las casillas que se pueden combinar en grupos de 4 de una sola forma.

• ......

• Las casillas aún libres se agrupan con otras aunque ya estén marcadas, formando el menor número de grupos posible pero del máximo tamaño posible.

Page 28: Digitales Ii  Tema4 Simplificacion De Funciones Logicas

CIRCUITOS DIGITALES – SIMPLIFICACIÓN DE FUNCIONES LÓGICAS J. Gómez-García

Ejemplo de desarrollo por unos:

10

014

16

12

010

11

015

17

X3

011

9

113

05

11

001

8

012

14

10

100

10110100AB

CDCasilla 9 no combinable: DCBA

Casilla 0 sólo combinable con 4 para grupo de 2. Las demás admiten al menos 2 posibilidades:

DCA

Casilla 5 sólo combinable con 4, 6, 7 para grupo de 4: BA

Casilla 12 sólo combinable con 4, 6 y 14 para grupo de 4: DB

Casilla 15 sólo combinable con 6, 7 y 14 para grupo de 4: BC