Digressão por caminhos, árvores e flores João Soares Departamento de Matemática Universidade de Coimbra Hotel Quinta das Lágrimas (Coimbra), 15 de Outubro

Digressão por Digressão por ‘caminhos, árvores e flores’‘caminhos, árvores e flores’

João SoaresJoão SoaresDepartamento de MatemáticaDepartamento de Matemática

Universidade de CoimbraUniversidade de Coimbra

Hotel Quinta das Lágrimas (Coimbra), 15 de Outubro de 2003Homenagem ao Professor Doutor Mário Silva Rosa

ÍndiceÍndice

1.1. Emparelhamento Emparelhamento 1.1. Definições e motivaçãoDefinições e motivação2.2. Estrutura poliedral (Cunningham & Marsh, 1978)Estrutura poliedral (Cunningham & Marsh, 1978)

2.2. Emparelhamento de Cardinalidade MáximaEmparelhamento de Cardinalidade Máxima1.1. Em grafos bipartidos Em grafos bipartidos 2.2. Em grafos não bipartidos (Edmonds, 1965a)Em grafos não bipartidos (Edmonds, 1965a)

3.3. Emparelhamento de Peso MáximoEmparelhamento de Peso Máximo1.1. Em grafos bipartidos (Kuhn,1955)Em grafos bipartidos (Kuhn,1955)

Emparelhamento Emparelhamento (definição)(definição)

Seja Seja G=(V,E)G=(V,E) um grafo não orientado um grafo não orientado

V=V=vértices, vértices, E=E=arestas, com ‘pesos’ arestas, com ‘pesos’ ccee, e , e E. E.

Um Um emparelhamento emparelhamento de de GG é um subconjunto das arestas sem é um subconjunto das arestas sem extremidades em comum.extremidades em comum.

PesoPeso de um emparelhamento é a soma dos pesos das arestas de um emparelhamento é a soma dos pesos das arestas do emparelhamento.do emparelhamento.

Um Um emparelhamentoemparelhamento diz-se diz-se perfeitoperfeito se “cobre” todos os se “cobre” todos os vértices.vértices.

EmparelhamentoEmparelhamento(exemplos)(exemplos)

a b c d

e f g

h 1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

In Korte&Vygen (2000) In Nemhauser&Wolsey (1988)

EmparelhamentoEmparelhamento(exemplos)(exemplos)

a b c d

e f g

h 1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

In Korte&Vygen (2000) In Nemhauser&Wolsey (1988)

...de máxima cardinalidade?

EmparelhamentoEmparelhamento(motivação)(motivação)

Afectar individuos a tarefas Afectar individuos a tarefas (... perfeito de peso máximo em G bipartido (... perfeito de peso máximo em G bipartido ≡ ≡ Afectação)Afectação)

Emparelhar colegas de quarto em dormitório Emparelhar colegas de quarto em dormitório (... perfeito de peso máximo)(... perfeito de peso máximo)

Heurística para TSP Simétrico e Euclidiano Heurística para TSP Simétrico e Euclidiano (... perfeito de peso máximo)(... perfeito de peso máximo)

Problema do Carteiro Chinês Problema do Carteiro Chinês (... perfeito de peso máximo)(... perfeito de peso máximo)

Afectar alunos a Universidades Afectar alunos a Universidades (... perfeito tal que não haja nenhum par que fique melhor trocado)(... perfeito tal que não haja nenhum par que fique melhor trocado)

EmparelhamentoEmparelhamento(algebra)(algebra)

Problema de Programação Inteira:Problema de Programação Inteira:

( )

max

s.a 1 ( ) (rest. de grau)

0 ( ) (nao negatividade)

( ) (integralidade)

e ee E

ee i

e

e

c x

x i V

x e E

x e E

ou max s.a 1, 0, mcx Ax x x

com A matriz de incidência vértice-aresta de G

EmparelhamentoEmparelhamento(estrutura poliedral)(estrutura poliedral)

Cunningham e Marsh, 1978:Cunningham e Marsh, 1978:

O seguinte sistema de desigualdades é TDI:O seguinte sistema de desigualdades é TDI:

( )

E( )

1 ( )

1 ( : impar )

2

0 ( )

ee i

ee S

e

x i V

Sx i A S V S

x e E

Corolário: Emparelhamento de peso máximo é um Problema Linear, embora com um número exponencial de restrições (Edmonds, 1965b).Dificuldade: Como lidar com um tão elevado número de restrições em tempo polinomial?Vantagem: Possível explicitar uma caracterização algébrica do invólucro convexo para qualquer problema de emparelhamento de peso máximo.

EmparelhamentoEmparelhamento(Berge, 1957)(Berge, 1957)

Caminho aumentadoCaminho aumentado relativamente a um emparelhamento M: relativamente a um emparelhamento M:

Berge, 1957:Berge, 1957: Um emparelhamento M é de máxima Um emparelhamento M é de máxima cardinalidade se e só se não existe caminho aumentado cardinalidade se e só se não existe caminho aumentado relativamente a M.relativamente a M.

DEM: “DEM: “” Por absurdo. Trivial. “” Por absurdo. Trivial. “” Por absurdo, existe |” Por absurdo, existe |M’|>|M|. Então, F=MM’|>|M|. Então, F=MM’ é um conjunto de circuitos e M’ é um conjunto de circuitos e caminhos simples. Circuitos têm número par de arestas. Como caminhos simples. Circuitos têm número par de arestas. Como |M’|>|M|, existe um dos caminho simples que é aumentado(!).|M’|>|M|, existe um dos caminho simples que é aumentado(!).

IdeiaIdeia para obter emparelhamento de máxima cardinalidade: para obter emparelhamento de máxima cardinalidade: Identificar sucessivos caminhos aumentados.Identificar sucessivos caminhos aumentados.

M M M MM M M

Emparelhamento Emparelhamento

Encontrar emparelhamento de máxima cardinalidade num Encontrar emparelhamento de máxima cardinalidade num grafo bipartidografo bipartido

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10


Encontrar emparelhamento de máxima cardinalidade num Encontrar emparelhamento de máxima cardinalidade num grafo bipartido:grafo bipartido:

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

*Vértice exposto



1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

*

17



1

2

3

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5

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10

*

17

28



1

2

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*

17

28

3

3

3

Caminho aumentado: 1, 7, 2, 8, 3, 6



1

2

3

4

5

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10

*

17

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3

3

3

Rótulas permitem identificarNovo emparelhamento



1

2

3

4

5

6

7

8

9

10*Vértice exposto



1

2

3

4

5

6

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8

9

10* 5

5

5



1

2

3

4

5

6

7

8

9

10* 5

5

5

10

8

7

Não existe caminho aumentado a partir de 5!Existe a partir de 9?



1

2

3

4

5

6

7

8

9

10* 5

5

5

10

8

7

Não existe caminho aumentado a partir de 5!Existe a partir de 9?

V2+V1

+

V1-

V2-

EmparelhamentoEmparelhamento(em grafos bipartidos)(em grafos bipartidos)

Quando um vértice adquire uma posição relativa num caminho Quando um vértice adquire uma posição relativa num caminho alternado ( ou ) essa posição relativa é igual em qualquer alternado ( ou ) essa posição relativa é igual em qualquer caminho aumentado.caminho aumentado.

Por isso, qualquer rotulação de um vértice é definitiva o que Por isso, qualquer rotulação de um vértice é definitiva o que facilmente implica que averiguação de um caminho alternado facilmente implica que averiguação de um caminho alternado pode ser implementado em O(npode ser implementado em O(n22) operações.) operações.

Em conclusão, a determinação de um emparelhamento de Em conclusão, a determinação de um emparelhamento de máxima cardinalidade num grafo bipartido pode ser efectuada máxima cardinalidade num grafo bipartido pode ser efectuada em O(nem O(n33) operações.) operações.

No final, R=No final, R=V1- V2

+ é uma cobertura por vértices de G tal que |R|=|M|.

V2+V1

+

V1- V2

-

EmparelhamentoEmparelhamento(em grafos não bipartidos)(em grafos não bipartidos)

Vejamos se a mesma ideia funciona com grafos não bipartidosVejamos se a mesma ideia funciona com grafos não bipartidos

a b c d

e f g

h

*Vértice exposto



a b c d

e f g

h

*

a

b



a b c d

e f g

h

*

a

b

e

e



a b c d

e f g

h

*

a

b

e

e f

c



a b c d

e f g

h

*

a

b

e

e f

c

Vértice d pode receber rótulo ou .Foi encontrado circuito ímpar! Como enumerar caminhos alternados de modo eficiente?


Para Berge (1957) isso não seria problema - enfim, há um número finito de Para Berge (1957) isso não seria problema - enfim, há um número finito de caminhos alternados.caminhos alternados.

Pois, só com Edmonds (1965a) veio a primeira proposta de enumeração Pois, só com Edmonds (1965a) veio a primeira proposta de enumeração eficienteeficiente de caminhos alternados no célebre de caminhos alternados no célebre Paths, trees and flowersPaths, trees and flowers..

Edmonds (1965a) usou a palavra Edmonds (1965a) usou a palavra goodgood para se referir a funcionar em para se referir a funcionar em tempo polinomial – só mais tarde com Karp e Cook (anos 70) veio o rigor tempo polinomial – só mais tarde com Karp e Cook (anos 70) veio o rigor e o formalismo da classificação de problemas.e o formalismo da classificação de problemas.

A ideia: A ideia: Sempre que for encontrado um vértice que pode ser do tipo ou então Sempre que for encontrado um vértice que pode ser do tipo ou então

substituir todos esses vértices do circuito ímpar encontrado por um novo substituir todos esses vértices do circuito ímpar encontrado por um novo vértice e retomar a procura de um caminho aumentado.vértice e retomar a procura de um caminho aumentado.

Ilustramos esta ideia com o exemplo anterior, ...Ilustramos esta ideia com o exemplo anterior, ...


Encontrar emparelhamento de máxima cardinalidade num Encontrar emparelhamento de máxima cardinalidade num grafo não bipartido:grafo não bipartido:

a b c d

e f g

*

a

b

e

e f

ca b

a

hh

U b



a b c d

e f g

*

a

b

e

e f

ca b

a

U b

hh

U, f

Caminho aumentado encontrado: a, b, U, hMais precisamente: a, b, e, c, d, g, f, h



a b c d

e f g

h

*

a

b

e

e f

c



a b c d

e f g

h

*

a

b

e

e f

c



a b c d

e f g

h


Notação introduzida por Edmonds, 1965a:Notação introduzida por Edmonds, 1965a:

u v a

b c

dx

y



u v a

b c

dx

y

Encontrado vérticeque pode ser rotulado dedois modos diferentes



u v a

b c

dx

y

Flower: a união dos doiscaminhos alternados encontrados



u v a

b c

dx

y


Stem: o caminho comum àqueles dois caminhos alternados



u v a

b c

dx

y


Stem: o caminho coumum àqueles dois caminhos Blossom: o circuito ímpar encontrado

(que vai ser substituído por um novo vértice – shrinked).


Cada um dos vértices do Cada um dos vértices do BlossomBlossom pode ser rotulado com ou para uma pode ser rotulado com ou para uma escolha adequado da ordem pela qual o circuito ímpar é percorrido escolha adequado da ordem pela qual o circuito ímpar é percorrido alternadamente.alternadamente.

Apenas uma aresta do emparelhamento é incidente no Apenas uma aresta do emparelhamento é incidente no BlossomBlossom. Essa aresta é a . Essa aresta é a última do última do stemstem..

Por isso, podemos interpretar o Por isso, podemos interpretar o BlossomBlossom como um grande vértice rotulado como um grande vértice rotulado com . As suas arestas incidentes são as arestas incidentes de todos os vértices com . As suas arestas incidentes são as arestas incidentes de todos os vértices do do BlossomBlossom. Contraccão! Sucede-se a procura de um caminho aumentado como . Contraccão! Sucede-se a procura de um caminho aumentado como normalmente. normalmente.

Quando um caminho aumentado for encontrado, recuperam-se as arestas desse Quando um caminho aumentado for encontrado, recuperam-se as arestas desse caminho usando os rótulos e escolhendo as orientações adequadas sempre um caminho usando os rótulos e escolhendo as orientações adequadas sempre um vértice associado a um vértice associado a um BlossomBlossom é encontrado. é encontrado.

Se um caminho aumentado não for encontrado deve tentar-se um outro vértice Se um caminho aumentado não for encontrado deve tentar-se um outro vértice exposto. Podem manter-se todas as contracções entretanto efectuadas. exposto. Podem manter-se todas as contracções entretanto efectuadas.

Como a rotulação de vértices é sempre definitiva, o algoritmo pode ser Como a rotulação de vértices é sempre definitiva, o algoritmo pode ser implementado em O(nimplementado em O(n33) operações – implementação mais delicada do que no caso ) operações – implementação mais delicada do que no caso bipartido.bipartido.

EmparelhamentoEmparelhamento(de peso máximo num grafo bipartido)(de peso máximo num grafo bipartido)

Encontrar Encontrar emparelhamento perfeito de peso máximo num grafo bipartidoemparelhamento perfeito de peso máximo num grafo bipartido G G (Kuhn, 1955)(Kuhn, 1955)

Sem perda de generalidade, suponhamos que G é completo (arestas Sem perda de generalidade, suponhamos que G é completo (arestas inexistentes têm peso -inexistentes têm peso -). Afectação!). Afectação!

Uma formulação é Uma formulação é

Nota: Matriz das restrições é TU.Nota: Matriz das restrições é TU.Por isso, restrições de integralidade podem ser ignoradas.Por isso, restrições de integralidade podem ser ignoradas.

1 1

1

1

max

. 1 ( 1,2, , )

1 ( 1,2, , )

0 ( , 1,2, , )

( , 1, 2, , )

n n

ij iji j

n

ijj

n

iji

ij

ij

c x

s a x i n

x j n

x i j n

x i j n

Teorema (Kuhn, 1955):Teorema (Kuhn, 1955): Um ponto X é óptimo para o problema da Um ponto X é óptimo para o problema da Afectação se e só se existirem vectores Afectação se e só se existirem vectores u,vu,v satisfazendo satisfazendo ccijij – u – uii – v – vjj 0 tal 0 tal

que X é vector característico de um emparelhamento perfeito no grafo que X é vector característico de um emparelhamento perfeito no grafo G[u,v]=(V,E[u,v]), com G[u,v]=(V,E[u,v]), com E[u,v] = {(i,j): cE[u,v] = {(i,j): cijij – u – uii – v – vjj =0 } =0 }..

DEM: Dualidade Forte da P.L. DEM: Dualidade Forte da P.L.

Ideia:Ideia: Construir G[u,v] para u,v satisfazendo c Construir G[u,v] para u,v satisfazendo c ijij – u – uii – v – vjj 0. 0.

Obter M emparelhamento de máxima cardinalidade em G[u,v].Obter M emparelhamento de máxima cardinalidade em G[u,v]. Se |M|=n Se |M|=n então parar, senão então parar, senão modificar u,v de modo a obter mais uma aresta em Mmodificar u,v de modo a obter mais uma aresta em M sem violar csem violar cijij – u – uii – v – vjj 0. 0.


Consideremos o seguinte problema de Afectação:Consideremos o seguinte problema de Afectação:

1

2

3

4

1’

2’

3’

4’


27 17 7 8

14 2 10 2( )

12 19 4 4

8 6 12 6

ijc

Como valores iniciais, considerem-se Como valores iniciais, considerem-se u=(0,-2,0,0), v=(27,19,12,8)u=(0,-2,0,0), v=(27,19,12,8)

1

2

3

4

1’

2’

3’

4’


0 2 5 0

11 15 0 4

15 0 8 4

19 13 0 2

ij ij i jc c u v

G[u,v]


1

2

3

4

1’

2’

3’

4’


0 2 5 0

11 15 0 4

15 0 8 4

19 13 0 2

ij ij i jc c u v

G[u,v]


1

2

3

4

1’

2’

3’

4’


0 2 5 0

11 15 0 4

15 0 8 4

19 13 0 2

ij ij i jc c u v

*

G[u,v]


1

2

3

4

1’

2’

3’

4’


0 2 5 0

11 15 0 4

15 0 8 4

19 13 0 2

ij ij i jc c u v

*

2

3’

G[u,v]


1

2

3

4

1’

2’

3’

4’


0 2 5 0

11 15 0 4

15 0 8 4

19 13 0 2

ij ij i jc c u v

*

2

3’

V1+={2,4}, V2

-={1’,2’,4’},

G[u,v]


1

2

3

4

1’

2’

3’

4’


0 2 5 0

11 15 0 4

15 0 8 4

19 13 0 2

ij ij i jc c u v

*

2

3’

V1+={2,4}, V2

-={1’,2’,4’},

G[u,v]

Após adequada modificação: u=(0,-4,0,-2), v=(27,19,14,8)Após adequada modificação: u=(0,-4,0,-2), v=(27,19,14,8)

1

2

3

4

1’

2’

3’

4’


0 2 7 0

9 13 0 2

15 0 10 4

17 11 0 0

ij ij i jc c u v

*

2

3’

G[u,v]

Nota importante: os rótulos anteriores permanecem válidos

Após adequada modificação: u =(0,-4,0,-2), v=(27,19,14,8)Após adequada modificação: u =(0,-4,0,-2), v=(27,19,14,8)

1

2

3

4

1’

2’

3’

4’


0 2 7 0

9 13 0 2

15 0 10 4

17 11 0 0

ij ij i jc c u v

*

2

3’

G[u,v]

4

Caminho aumentado encontrado!


1

2

3

4

1’

2’

3’

4’


0 2 7 0

9 13 0 2

15 0 10 4

17 11 0 0

ij ij i jc c u v

*

2

3’

G[u,v]

4

Caminho aumentado encontrado!


1

2

3

4

1’

2’

3’

4’


G[u,v] Portanto, pelo Teorema de Kuhn, encontrámos solução ‘optima x11 = x21 = x32 = x44 = 1,

de valor (0-4+0-2)+(27+19+14+8)=62.

No final de cada iteração (após modificacao de No final de cada iteração (após modificacao de uu e de e de vv):): Os custos reduzidos permanecem não positivos. Os custos reduzidos permanecem não positivos. Os rótulos permanecem válidos.Os rótulos permanecem válidos. O emparelhamento de máxima cardinalidade permanece O emparelhamento de máxima cardinalidade permanece

emparelhamento no novo G[u,v].emparelhamento no novo G[u,v]. É criada pelo menos uma aresta (i,j) com É criada pelo menos uma aresta (i,j) com i i VV11

++ e e j j VV22--

Por isso, no final de cada iteração, um dos seguintes acontece: Por isso, no final de cada iteração, um dos seguintes acontece: É encontrado um emparelhamento com mais uma aresta, É encontrado um emparelhamento com mais uma aresta, ouou O conjunto VO conjunto V22

++ fica com mais um vértice. fica com mais um vértice. Por isso, o esforço computacional envolvido em aumentar uma Por isso, o esforço computacional envolvido em aumentar uma

unidade ao emparelhamento é O(nunidade ao emparelhamento é O(n22). ). O método Húngaro termina após O(nO método Húngaro termina após O(n33) operações.) operações.


ConclusãoConclusão

1.1. Recordámos os métodos clássicos para a determinação de Recordámos os métodos clássicos para a determinação de um emparelhamento de cardinalidade máxima.um emparelhamento de cardinalidade máxima.

2.2. Procurámos justificar o desempenho desses métodos Procurámos justificar o desempenho desses métodos (detalhes no documento em papel) recorrendo a imagens e (detalhes no documento em papel) recorrendo a imagens e exemplos. exemplos.

3.3. Recordámos o método Húngaro usando uma notação que o Recordámos o método Húngaro usando uma notação que o torna uma extensão do método anterior para o caso torna uma extensão do método anterior para o caso bipartido.bipartido.

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