Diktat Bu Dwi

8/17/2019 Diktat Bu Dwi

1/41

MATERI PELATIHAN

MEDAN ELEKTROMAGNETIKA

OLEH :

DRA. DWI PURWANTI, MS

JURUSAN TEKNIK ELEKTRO

FAKULTAS TEKNIK

UNIVERSITAS NEGERI SEMARANG

2007


2/41


3/41

ke$epatan $ahaya, karena pada dasarnya $ahaya adalah gelombang

elektromagnetik.


4/41

HUKUM COLOUMB

*iantara dua buah benda sangat ke$il % partikel & yang masing"masing

bermuatan listrik dan berada dalam ruang hampa serta terpisah pada !arak ynag

sangat besar dibandingkan ukurannya, akan timbul gaya yang besarnya

berbanding terbalik dengan kuadrat !arak pemisahnya dan berbanding lurus

dengan muatan masing"masing. Pernyataan ini adalah hukum Coulomb yang

diperoleh dari per$obaan"per$obaan terhadap benda"benda ke$il yang bermuatan

memakai nera$a"nera$a torsi yang peka. e$ara matematis hukum ini dinyatakan

sebagai :

+

+

-

.k./ =

$atatan :

/ 0 gaya $oloumb dalam satuan 1e)ton %1&

2 + 0 muatan yang negatif atau positif dalam satuan Coulomb %C&

- 0 !arak yang memisahkannya dalam satuan meter % m&

k 0 tetapan pembanding

edangkan tetapan pembanding k adalah :

oπε 3

k =

*alam hal ini, ε4 disebut permiti'itas ruang hampa yang besarnya dukur dalam

satuan /arad5meter :

ε4 0 6,673 ( 4"+

84.

9:

−=π

/5m. atau C+51.M+

Oleh sebab itu gaya $oloumb men!adi :

1e)ton- 3

. /

+

o

+,

πε =

Jika di$ermati lebih lan!ut, ternyata listrik dapat ber)u!ud muatan positif atau

negatif.

#esimpulan :

" ;ila kedua muatan se!enis, maka ter!adi gaya tolak menolak


5/41

" ;ila kedua muatan berla)ananan !enis, ter!adi gaya tarik menarik

ebagai ilustrasi dapat di!elaskan sebagai berikut :

Misal dua muatan 2 + muatan se!enis, masing"masing ber!arak +, r


6/41

- .+ 0 +, r


7/41

#eadaan ini dikatakan bah)a pada muatan

t menun!ukkan adanya medan gaya.

Oleh sebab itu dapat ditulisklan :

,.t,.t

+

4

+, a- 3

./t

πε =

Jika di$ari besarnya gaya yang bertumpu pada satu satuan muatan, maka :

/t5t 0 ,.t,.t+

4

+, a- 3

.

πε

;entuk ruas kanan merupakan fungsi dari dan ruas garis yang arahnya dari

ke posisi muatan u!i. ;entuk ini menyatakan medan 'ektor yang disebut

D1BE1DB= ME*=1 LDB-D#

Jadi Dntensitas Medan Listrik adalah gaya yang bertumpu pada sebuah

muatan positif. ehingga se$ara umum medan listrik adalah :

E 0t

/t 15C atau olt5m

E 0 t .,,.t+

4

, a- 3

πε

=tau biasanya dinyatakan sebagai :

ekarang bila diletakan pada pusat koordinat bola, 'ektor satuan a- men!adi

'ektor satuan radial r ar dan - men!adi r, !adi :

r +

4

ar 3

Eπε

= atau : r +4

ar 3

πε %komponen radial tunggal&

kalau ditempatkan dalam sistem koordinat Cartesian :

- 0 r 0 ( a( ? y ay ? @ a@

a- 0 +++@y(

a@&@ayya(%(

++

++

sehingga :

- +

4

a- 3

Eπε

=


8/41

E 0

+++

+++

++++ +++y

+++(

++++++

4 @y(

Fa

@y(

Ga

@y(

H

&@y(%3

πε

>aya bersifat linier

Contoh :

Hitunglah medan listrik E pada %4,4,7& m yang disebabkan oleh muatan 0

4,97 µC di %4,3,4& m dan + 0 "4,77 µC di %9,4,4& m.

Ja)ab :

- 0 %4"4& a( ? %4"3& ay ? %7"4& a@

0 "3 ay ? 7 a@

- +0 %4"9& a( ? %4"4& ay ? %4"4& a@

0 "9 a( ? 7 a@

E 0

( )

+−

+−−

&7%&3%

a@7ay3

3.49:53

4(97.4

+8

:"

π π

0 "36 ay ? 4 a@ %5m&

E+ 0 ( )

+

+−−− +

+8

:"

&7%%"9&

a@7a(9

93.,4.6:5,3

,4(77.4

π π 0 I3,8 a( A +3,8 a@ %5m&

Jadi medan listrik total :

E 0 E ? E+ 0 I3,8 a( A 36 ay A 3,8 a@

1; : *iberikan setelah materi E dari n titik muatan

MEDAN ”n” MUATAN TITIK

Pada dasarnya gaya Coloumb adalah linier, sehingga medan listrik yang

ter!adi pada t karena dua buah muatan titik dan + merupakan hasil

pen!umlahannya.

%4,3,4&

%4,4,7&

%9,4,4&

E

E+

+

- +

-

@

y(

r"r a

a+

+

E

E

E+

E%r&

P

r

r +

r

@

y

(


9/41

E %r& 0 +++4

+,+

,o

, ar "r 3

a

r "r 3

πε πε +

ehingga bila ada n buah muatan titik, maka besarnya medan listrik yang ter!adi

pada muatan u!i t adalah :

E %r& 0 n+n4

n9+

94

9++

+4

+,+

,o

, ar "r 3

....a

r "r 3

a

r "r 3

a

r "r 3

πε πε πε πε ++++

=tau :

E%r& 0n

m =∑ m+

mo

ar "r 3

m

πε

MEDAN DISTRIBUSI MUATAN

MK=B=1 OLKME

Bin!au suatu ruangan berisi se!umlah muatan yang !araknya sangat

berdekatan %ruang kisi kontrol dan katoda dalam tabung elektron&. Maka muatan

yang berdistribusi dalam ruang tersebut, dapat ditukar dengan suatu distribusi

muatan malar %kontinyu& yang disebut : #E-=P=B=1 MK=B=1 OLKME

ρ', yang diukur dalam C5m9

ekarang bila se!umlah ke$il muatan ∆ berada dalam 'olume ke$il ∆' maka :

∆ 0 ρ'.∆'.

ehingga kerapatan muatan 'olume didefinisikan :

ρ' 0 &C5m%

lim 9

4:=

∆

∆∆v

oleh sebab itu, besarnya muatan total dalam 'olume :

0 ∫ ∫ =vol

v

vol

d'd ρ


10/41

Jika di$ari besarnya medan listrik yang ditimbulkan oleh setiap muatan

deferensial d, adalah deferensial medan listrik %misal pada P&

dE 0 - +o

d'

- +

o

a- 3

.a- 3

d

πε

ρ

πε

v=

Oleh karena itu total medan listrik yang ter!adi pada titik P karena se!umlah

muatan dalam 'olume tersebut :

MUATAN BIDANG

=da kalanya muatan listrik yang ditin!au berdistribusi pada suatu

permukaan bidang %surfa$e&. #emudian setiap elemen muatan d yang berada

pada permukaan bidang, akan menghasilkan elemen medan listrik pada P.

dE 0 - +o

a- 3

d

πε

sekarang, bila ∆ berada pada elemen ke$il luas bidang ∆ , maka kerapatan

muatan bidang :

E 0 ∫ vol

v d'- 3

a+

o

-

πε

ρ

d 0 ρd'

dE

P

l-

d 0 ρs.ds

-

P

dE


11/41

∆ 0 ρs ∆ → ρs 0 &5%d

d

lim +

4mC

s=

∆

∆→∆

besarnya medan listrik pada P karena muatan deferensial bidang

dE 0 - +o

s- +

o

a.3

a.3

d

R

ds

R πε

ρ

πε =

medan listrtik total di P yang disebabkan seluruh muatan bidang :

MUATAN GARIS

=da !uga kenyataan, bah)a muatan akan terdistribusi sepan!ang garis.

*engan prosedur yang sama, maka kerapatan muatan garus ρL didefinisikan

ρLs 0 &5%dL

d

L

lim

9

4mC

L=

∆∆

→

besarnya elemen medan listrik : dE 0 - +o

a

- 3

d

πε

Botal medan listrik :

0 0 r o

a3 r

L

πε

ρ

Hubungan integral 'olume dapat dilihat pada gambar di atas kerapatan

muatan 'olume adalah

E 0 ∫ s

s ds- 3

a+

o

-

πε

ρ

E 0 ∫ L

LL+

o

L d- 3

a

πε

ρ

@ 0 3 $m

d 0 + $m

ρ' 0 "7e"4 ρ@µC5m9

$m

ρ 0 $m


12/41

9

,4

57

7

mce π ρυ

ρ Ζ −

−=#arena terdistribusi dalam tabung, maka:

∫ ∫ ∫ ⋅⋅×−= −−43,4

4+,4

+

4

4,4

4

4: 747π

ρ φ ρ ρ dz d d eQ z

Pertama kita integralkan hidup Φ , karena lebih mudah dilakukan

∫ ∫ −−−=

43,4

4+,4

4,4

4

47 .47

ρ ρ π ρ d eQ z

#emudian terhadap @, agar integral terhadap p lebih mudah

∫ ==⋅−−

−−

=43,4

4+,4

43,4

4+,4

4

7

77

4

4 z z

z d eQ ρ ρ

ρ

π ρ

( ) ρ π ρ ρ d eem

∫ −−− −−=44

4

3+44

=khirnya

PC

eeQ

34

3

,

+

,,4

3+,4

4

4,4

4

3+

4

π

π

ρ ρ

π

−=

−−=

−

−−

−=

−

−−

−

FLUKS LISTRIK DAN TITIK GAUSS

ekitar 69I /araday %*irektul -oyal o$iety London& melakukaneksperimen sebagai berikut:

>aris fluks %garis induksi&"

?a

b

Dsolator 0 dielektrik


13/41

*ua bola sepusat yang dapat dibuka untuk diisi se!umlah muatan

o ;ola dalam !ari"!ari a diberi se!umlah muatan positif %?&

o ;ola luar dengan !ari"!ari b dinetralisir kebumi.

=ntara bola dalam dan bola luar diisolasi dengan dielektrik.

#esimpulan eksperimen :

etiap muatan positif pada bola dalam akan mengindukasi muatan negatif

pada bola luar.

Dnduksi tersebut tidak berpengaruh terhadap bahan medium isolainya.

Proses ini dikenal dengan proses perpindahan pergeseran fluks perpindahan

atau : /luks listrik N.

#arena fluks listrik berkesesuaian dengan muatan, maka :

0 %$oulomb&

Mengingat adalah keadaan yang ter!adi karena muatan ? menginduksi

muatan ", maka :

;ila diperhatikan, !ika muatan ? berada pada !arak tertentu terhadap "

maka, garis fluks berasal dari muatan positif dan berakhir pada muatan negatif.

edangkan !ika ada muatan positif sa!a, maka garis fluk berakhir di K.

*efinisi

Gang disebut dengan fluks listrik adalah garis khayal yang melukiskan

sebuah medan listrik yang menginduksi muatan yaitu dari muatan positif ke

muatan negatif . sekarang !ika diperhatikan ternyata pada permukaan bola seluruh

muatan yang terpindahkan terdistribusi kepadanya. Jika luas permukaan bola

( )++3 mr π = maka besarnya kerapatan fluks pada permukaan bola :

? "4


14/41

+

+3 mc

r

Q D

π =

untuk bola dalam

+

+3 mcar

a

Q D

π =

untuk bola luar

+

+3 mcar

b

Q D

π =

pada !arak radial r, dengan a rb

++3 m

car r

Q Dπ

=

Jika sekarang dibuat !arak pada bola dalam makin lama makin ke$il

dengan tetap mempertahankan muatan , maka pada limitnya akan men!adi

sebuah muatan titik, tetapi rapat fluks pada r meter dari titik muatan , makin tetap

diberikan oleh :

ar r

Q D

+3π =

#embali pada rumus kuat medan listrik:

ar or

Q E

+3πε =

Maka dapat di$ari hubungan antara rapat fluk listrik dengan kuat medan listriknya

:

oE D =∈ %untuk range hampa&

-umus kerapatan fluk listrik selan!utnya dapat pula dgunakan untuk

dalam bentuk kerapatan muatan :ehingga bila muatan berada pada 'olume, kita tahu :

∫ ∈= vol aR Rd

E +43π

ϑ ρ %untuk ruang hampa&

∫ = vol aR Rd

D+3

ϑ ρ

HUKUM GAUSS


15/41

/luks listrik yang menembus setiap permukaan tertutup sama dengan

muatan total yang dilingkupi oleh permukaan tersebut.

Bin!au suatu distribusi muatan yang digambarkan sebagai a)an muatan

titik seperti gr dilingkupi permukaan tertutup yang bentuknya sembaang

Jika muatan totalnya 0 , maka akan ada Coulomb fluks listrik yang menembus

permukaan yang melindungi a)an permukaan tersebut.

Jika * adalah 'e$tor kerapatan fluks listrik, maka kerapatan fluks listrik yang

menembus permukaan 0 *esa dan arahnya akan berubah dari satu titik ke titik

yang lain pada permukaan tersebut.

ebuah unsur pertambahan yang luasnya S Λ merupakan bagian bidang

yang menyinggung pada permukaan yang ditin!au

Pada setiap titik p, tin!auan S Λ ambil *s yang membentuk sudut ?

dengan = fluks yang menembus = merupakan hasil perkalian antara * 2 =

%*s dalam hasil normal&

/luks yang menembus = adalah AS PS

DsCoetAS

DsnonuAS

.==

=∆ϖ

∫ ∫ =

==

&tan%

..4

kupi yangdiling muaQ

Ds Dsd ψ ϖ

#arena muatan yang dilingkupi terdiri dari beberapa muatan listrik maka :

∑= QnQ atau dalam muatan garis:

Q

*s

*s normal

Q

P

θ


16/41

∫ =l

dl pl Q .

atau dalam muatan permukaan

ds psQ s

.∫ =

atau distribusi muatan ruang

∫ =vol

d Q ν ϕ .

ENERGI DAN POTENSIAL

Energi adalah ker!a yang dilakukan untuk memba)a suatu muatan dari

tempat satu ketempat lainnya.

#embali pada konsep

E 0 /t5t

ekarang bila t digerakkan mela)an medan listrik, maka dikatakan kita

melakukan ker!a, yaitu perlu gaya yang sama besar untuk mela)an tetapi dengan

arah yang berla)anan dengan arah gaya yang diker!akan medan listrik. Jikamuatan dan dipindahkan tersebut dalam arah medan, maka energinya men!adi

negatif, artinya kita tidak melakukan ker!a, tetapi medan listrik yang melakukan

ker!a.

Misal dipindahkan se!auh dl dalam medan listrik E, maka gaya pada yang

ditimbulkan oleh medan listrik ialah:

/E0.E

>aya ini dalam arah dl harus dila)an ke atas:

al Qeal F F eel .. ==

>aya yang harus ditempuh berla)anan arah dengan gaya yang ditimbulkan oleh

medan listrik

al E Q Fpakai ..−=

!ika gaya dikalikan !araknya , maka ker!a yang dilakukan :

d) 0"R.E.al.dl

0" E.*l


17/41

atau d) 0".E.dl.

∫ −=akhir

aal

dl E Q! .

=da kalanya dL dinyatakan dalam bentuk :

&%.. cartesianaz dz aydya"d"dL +++=

&%.... silinder az dz ad r ar dr dL +++= φ φ

&%..sin.... bolaad r ad r ar dr dL φ φ σ φ φ ++=

φ φ ad .

Contoh:

Hitunglah ker!a yang diperlukan untuk memindahkan sebuah muatan ?+C

dari%+,4,4& m ke %4,+,4& m melalui garis yang dibentuk oleh kedua titik D bila

medan listrik E 0 +a("3y.ay %'5m&

Ja)ab :

*efeensi ker!a yang diperlukan

&...&.%.3+%+ az dz aydya"d"ay y #a"d! ++−−=

0 ay yd" " .6.3 +−

Persamaan garis melalui + buah titik :

d"dy y " −=→=+ +

sehingga

dy yd" "d .6.3 +−=

&&.%+%6.3 d" "d" " −−+−=

d" "d"d" " .6:.3 −−=

0 %3("& d(

=tau

{ } ,++

,

+

,+5,.3&,3% " "d"d"! −=−= ∫

[ ] &+.:+.+%&:.+% + +−−−=

0 %+"b?9+& A +3

Lintasan Lintasan +

%+,4,4&

%4,+,4&

∴S 0 +3 Jolule

y

(


18/41

ekarang !ika diba)a dalam melalui titik asal keposisi akhirnya maka

berpengruh pada besarnya ker!a :

dy y "d! .63 +−=

∫ ∫ +−−+−+−=4

+

+

4

6&+%3&%63% dy y yd"d" "

0∫ ∫ ++−+−+4

+

+

4

6&36%&:3% dy y yd" "

0+

4

9++

4

+

&.9

,

.9++

,

.3%&,+

,

.3% y y # " +−+−−

0 &9

9+9+

9

6.9+3.9+%&+..:3.+%&:.+% + −++−+−−− "

INTEGRAL GARIS

*alam hal ini kekuatan dan akan

disimpan lintasan yang akan dile)atiditentukan sebelumnya yaitu dari ; ke =.

Misal sekarang lintasan tersebut dibagi"

bagi men!adi lintasan"lintasan pendek

=L,=L+,=L9,=L3 dan seterusnya

sedangkan komponen E dibagi"bagi

men!adi segmen"segmen EL, EL+, EL9,

dan seterusnya

= akhir

; a)al

∆ L+

∆ L9

∆ L

E L

E L+

E L9

E

E

E


19/41

;esarnya ker!a yang diperlukan untuk memindahkan dari ; ke =.

S0" %EL. =L?EL+.Q?EL9.QL9?ELn. QLn?T..?QELn. QLn

*engan notasi 'e$tor dapat pula dinyatakan :

S0" %E. =L?E+.QL+?E9.QL9?T..?EnLn.=lam

Jika diperhatikan ternyata kita men!umlahkan medan listrik yang serba sama

maka :

S0E+0E90T.0En

ehingga

S0"E %S0" E. =L?=L+.?=L9?T..?=Ln

0".E.L;=

*engan mengingat interprestasi pen!umlahan dari integral aris dan medan

serbasama maka :

S0".E ∫ A

$

dL

Kntuk medan homogen maka :

∫ −= A

$

dL E Q! .

Hasil integral, maka dihasilkan L;=, :

&..%.. serbasama E L E! Q! $A−=

#esimpulan:

#er!a yang diperlukan tidak tergantung pada bentuk lintasan

*apat ditempuh se$ara berliku"liku sesuai lintasan atau pada !arak lurus dari ;

ke =.

Jika ker!a yang dilaukan dari ; ke = dan kembali ke ;, maka

QdLQE =−= φ .

DEFINISI BEDA POTENSIAL DAN POTENSIAL


20/41

#embali pada konsep ker!a yang mendefinisikan sebagian usaha yang

dilakukan oleh gaya luar untuk memindahkan muatan dari satu titik lain dalam

medan listrik :

∫ −=akhir

aal

dL E Q! .

Menga$u pada prinsip perpindahan posisi muatan, maka !enis pada

masing"masing titik memiliki potensi, sehingga :

∫ −= A

$

A$ dL E % . %!oule5 $oulom 0 'olt&

=; adalah beda potensial dan antara titik = dengan titik ;, yaitu sama

dengan ker!a yang diperlukan untuk memindahkan muatan setahun dari ; %disebut

belakang& ke = %disebut lebih dahulu&

=; akan positif, !ika ker!a diperlukan untuk memba)a muatan positif dari

; ke =.

ekarang !ika masing"masing titik ber!arak radial r= 2 r; untuk = dan ;

maka :

dr r o

Qdr

rA

r$

+=

;

B=

r;

+ 3r o3

"E.dL";= −∫ ∫ ∫ ∈−=∈== π π

−

∈=

r$rAo

Q ,,

3π

!ika:

r =Ur ;, maka beda potensialnya adalah positif.

Pada umumnya kita sering menyatakan POBE1D=L atau

POBE1D=L MKBL=# ada suatu titik sebagai ganti dari beda potensial +

bahan titik dengan menggantikan a$uan tertentu dan biasanya titik ε %bumi sebagai

a$uan&

*ari persamaan terakhir dapat ditulis :

=; 0=";

$ A r

Q

r

Q

44 33 ∈−

∈=

π π


21/41

A

Ar

Q%

43 ∈=

π dan

$

$r

Q%

43 ∈=

π

se$ara umum, maka potensial :

Q

Q%

43 ∈=

π dengan !e!ari r di ∼ sebagai a$uan %4&

MODEL POTENSIAL SISTEM MUATAN.

Medan potensial sebuah muatan titik bermuatan yang terletak pada r ,

besarnya potensial pada sebuah titik yang ber!arak r hanya ditentukan oleh Vr"nW

untuk a$uan nol di tak terhingga, maka :

3

&%

r r

Qr %

−Ο∈=

π

ekarang bila ada muatan dan r dan + dan r + maka potensial

ditimbulkan merupakan fungsi Vr"r W dan Vr"r +W yang masing"masing merupakan

!arak dari dan + ke titik medan

+3

+

3

&%

r r

Q

r r

Qr %

−Ο∈−

−Ο∈=

π π

;ila !umlah muatan terus ditambah, maka potensial yang ter!adi ditik !arak r,

adalah :

rnr

Qn

r r

Q

r r

Q

r r

Qr %

−Ο∈++

−Ο∈+

−Ο∈+

−Ο∈=

π π π π 3....

93

9

+3

+

3

&%

∑= −Ο∈

=n

m rmr

Qmr %

, WV3&%

π

( ) ( ) ( )

rnr

vr

r r

vr

r r

vr r %

o

nn

oo −∈

∆++

−∈

∆+

−∈

∆=

π

ρ

π

ρ

π

ρ

3....

+3,3&% +,+,,

Botal tegangan5 potensial:

( )∫ −∈

=v o

v

r r

dvr r %

,

,,

3&%

π

ρ

Jika distribusi muatan berbentuk muatan garis, maka:


22/41

( )∫ −∈

= L o

L

r r

dLr r %

,

,,

3&%

π

ρ

edangkan untuk muatan berbentuk muatan bidang, maka:

( )∫ −∈

=S o

s

r r

dS r r %

,

,,

3&%

π

ρ

#esimpulan:

. Potensial yang ditimbulkan oleh sebuah muatan titik ialah ker!a yang

diperlukan untuk memba)a satu satuan muatan positif dari tak terhingga ke

titik yang di$ari potensialnya dan ker!a tersebut dapat bergantung dari lintasanyang diambil antara kedua titik tersebut.

+. Medan potensial yang ditimbulkan oleh se!umlah muatan titik merupakan

!umlah dari medan potensial masing"masing muatan tersebut.

9. Medan potensial yang ditimbulkan oleh se!umah muatan titik atau distribusi

muatan malar dapat diperoleh dengan memba)a satu satuan muatan dari tak

terhingga ke titik yang di$ari potensialnya sepan!ang lintasan sembarang yang

dipilih

#ata lain, potensial %dengan a$uan nol dan ∼&

= 0 " ∫ A

dl E

.

;eda potensial :

=; 0 ="; 0 " ∫ A

$

dl E .

*ari rangkaian disamping, maka :

∫ =4dl E

inilah yang lebih dikenal dengan hukum

#ir$hoff DD

-

+-

3

"

?

;


23/41

KERAPATAN ENERGI

#ita dapat mulai membayangkan, bah)a dalam alam semesta yang kosong

bila kita memba)a sebuah muatan dari !arak kemana sa!a tidak diperlukan

ker!a, karena tidak ada medan.

ekarang kita akan melakukan eksperimen untuk memindahkan 9 buah

muatan dari ke tempat tertentu sepeti pada gambar diatas. Mula"mula muatan

dipindahkan dan ditempatkan pada posisi , maka dalam hal ini tidak diperlukan

ker!a, karena tidak ada medan listrik. #emudian + dipindahkan untuk

ditempatkan pada posisi +, maka untuk hal ini diperlukan ker!a, karena

menimbulkan medan listrik. Pada saat 9 dipindahkan untuk ditempatkan pada

posisi 9 !elas memerlukan ker!a karena ada medan listrik yang diakibatkan oleh

dan +.

;ila masing"masing ker!a diperlukan dinyatakan dengan : S,S+, dan S9,

maka ker!a total.

SE 0 S? S+? S9

0 4 ? %+.+.& ? %9.9. ? 9.9.+&

Potensi +. adalah potensi pada titik + yang disebabkan oleh S pada titik.

ekarang apabila medan tersebut diba)a kembali ke , maka total ker!a yang

diperlukan :

SE 0 S? S+?S9

0 4 ? %+.+.9& ? %..9? ..+&

SE 0 X ∑=

m

m

%mQm

.

+

9

+

9


24/41

uatu muatan terorientasi dengan sisinya 55 sumbu koordinat dan hanya

memiliki komponen ke$epatan dari arah . ;ila unsur tersebut mempunyai

elemen luas Q dan elemen pan!ang QL, maka unsur elemen muatannya

vQ ∆⋅=∆ ρν

ekarang !ika muatan Q bergerak se!a!ar sumbu dengan arah tegak

lurus bidang a$uan se!a!ar ∆ dalam selang )aktu ∆t, maka besarnya arus

resultante :

t S v

t

Q

∆

∆Χ⋅∆⋅=

∆

∆=∆Ι ρ

Jika diambil nilai limit terhap fungsi )aktu, didapatkan :

t S v

&t ∆

∆Χ∆⋅=∆Ι

→∆

lim

. ρ

dt

d# S ⋅∆⋅= ρν

%# vS

⋅=∆

∆Ι ρ

∫ ⋅=Ι→

Ι=

∆

∆Ι=

→∆ S &S dS '

dS

d

S

'

lim

%# v ' ⋅= ρ

*alam hal ini ( 0 ke$epatan pada arah

ehingga se$ara umum :

v ' . ρ =

;entuk terakhir !elas menun!ukkan bah)a muatan yang bergerak menimbulkan

arus.

#ita akan menamakan arus yang demikian adalah arus #O1E#D danv⋅ ρ merupakan kerapatan arus kon'eksi. ehingga dalam menggambaran :

MEDAN MAGNET

-

- +

D

J


25/41

/enomena kemagnetan mula"mula diamati oleh orang Bionghoa yang

menemukan bah)a bila sebatang besi didekatkan pada sebatang magnet alam

akan menarik batang besi tersebut.

ekitar tahun 68 diketahui hubungan antara fenomena kelistrikan

dengan fenomena kemagnetan.

;eberapa ahli yang termasuk memberikan sumbangan besar adalah :

. Cristian Oersted %II4"67& yang mengamati bah)a magnet yang berputar

%!arum kompas& akan mendeteksi apabila benda dekat ka)at berarus listrik.

+. Mi$hael /araday %I8"6I& menemukan akan timbul arus sesaat dalam

sebuah rangkaian, apabila arus yang ada pada rangkaian didekatkan mulai

diputus atau disambung.

9. Josep Henry %I8I"6I6& menemukan hal yang sama, apabila sebuah magnet

digerakkan mendekati dan men!auhi rangka tersebut : ke!adian ini ditemukan

Y + bulan sebelum /araday, tetapi karena /araday yang mengumumkan hasil

temuannya, maka dianggap dia sebagai penemu.

#esimpulan:

Oersted menemukan bah)a efek kemagnetan dapat ditimbulkan oleh muatan

lisrik yang bergerak.

/araday dan Herry menun!ukkan bah)a arus listrik dapat ditimbulkan dengan

menggerak"gerakkan magnet.

#arena yang ter!adi:

#emagnetan yang akan ter!adi harus ada muatan listrik yang bergerak sehingga

timbul gaya listrik yang bergerak akan menimbulkan medan magnet dan

medan listrik

Medium tempat muatan listrik yang bergerak akan sangat menentukan efek

pada gaya magnet yang te!adi pada muatan tesebut.

#embali pada konsep hukum Coloumb, bah)a apabila ada suatu muatan,

tak peduli apakah muatan itu diam atau bergerak akan timbul medan listrik.

edangkan bila muatan itu bergerak, disamping menimbulkan medan listrik, !uga

menimbulkan medan magnet.


26/41

*i suatu titik dikatakan ada medan magnet, bila ada gaya %disamping gaya

elektronik, kalau ada& beker!a terhadap sebuah muatan bergerak di titik itu. Medan

magnet pada dasarnya merupakan besaran 'ektor yang mana besar dan arahnya

disembarang titik diperlukan berdasarkan sebuah 'e$tor ; yang dikenal dengan

induksi kemagnetan.

=rah gerak sebuah muatan terhadap medan magnet tidak menger!akan

gaya ditentukan sebagai arah 'e$tor ;.

Dlustrasi selengkapnya dapat dilihat pada gambar berikut.

Muatan R yang bergerak dengan ke$epatan , akan mendapatkan gaya /.

/ 0 R.' ( ;

Kntuk arah yang sembarang maka

/ 0 R .;. sin φ

*alam hal ini :

/ 0 gaya magnet %1e)ton&

R 0 muatan listrik %Coulomb&

0 ke$epatan gerak muatan %m5detik&

; 0 medan magnet %15$m5detik& 0 Seber5m+ 0 tesla

Dtu di$atat dalam medan magnet ; didefinisikan sebagai fungsi muatan sehingga :

>aris 'e$tor ; ditentukan oleh !enis muatan yang diamati

;ila :

R 0 ?, maka gaya / mempunyai arah 0 hasil kali 'e$tor ( ;

R 0 " , maka gaya / mempunyai arah UZ hasil kali 'e$tor ( ;

=rah medan magnet

/ 0 R.'.; sin θ

' sin θ

θ 'R

;

θ

;/


27/41

Catatan :

Kntuk satuan ;, sering dinyatakan dalam bentuk yang berma$am :

)eber5m+ 0 15$oulomb5detik

#arena :

Coulomb5detik 0 =mpere meter

Maka :

Seber5m+ 0 1e)ton5 =mpere Meter 0 Besla

Jika diukur dalam $.g.s maka :

Seber5m+ 0 43 >auss

=tau :

>auss 0 ma()ell5$m+ 0 43 )eber 5 m+

GARIS INDUKSI FLUKSI KEMAGNETAN

ebuah medan magnet, sama halnya dengan medan listrik, dapat

digambarkan dengan garis khayal yang disebut dengan garis induksi, dimana

arahnya disetiap titik 0 arah 'e$tor induksi kemagnetan atau fluksi kemagnetan.

/luksi kemagnetan φ yang menyebar ke sebuah permukaan dide'iniskan dengan

$ara yang sama seperti fluksi listtrik ψ , yaitu matrial permukaan komponen

normal pada permukaan tersebut.

Jadi fluksi dφ yang menyebar kepermukaan seluas d=, ialah :

Dφ 0;n.d=0 ∫ s

dA $.

*alam hal khusus dimana ; merata dan tegak lurus %⊥& pada suatu daerahterbatas =, fluksi yang menyebar ke daerah tersebut adalah :

φ 0fluksi kemagnetan %)eber&. *an 1m5ampere.

;ila elemen d= ⊥ pada garis induksi ;n0;

Oleh sebab itu:

dAnd $ 5φ =

=rtinya induksi magnet 0 fluksi atau satuan luas yang ⊥ pada medan magnet.

0 kerapatan fluksi


28/41

=tau :

∫ = s dA $n.φ

MAGNET PADA KONDUKTOR PEMBAWA ARUS

Pada konduktor pemba)a arus

ebuah penghantar yang

pan!angnya L dengan luas penampang

=, rapat arus J mengalir didalamnya

dari kiri ke kanan. Penghantar berada

pada suatu medan magnet dengan rapat

fluksi ; dengan arah tegak lurus

bidang.

Berhadap muatan R %positif& yang bergerak kekanan dengan ke$epatan '

%ke$epatan denyut& beker!a gaya / dan untuk muatan negati'e R+ yang bergerak

berla)anan dengan ke$epatan R beker!a gaya /+

edangkan:

/ 0 R. ( ;

/+ 0 R+.+ ( ;

#arena R UZR+, maka arah / dan /+ sama"sama keatas.

ekarang bila n dan n+ masing"masing menyatakan banyaknya muatan

positif dan negatif persatuan 'olume %ke$epatan muatan 'olume&, maka !umlah

pemba)a muatan dalam potongan ka)at :n.=.L dan n+.=.L

edangkan gaya total

/ 0 %n=.L& %R..;& ? %n+.=.L& %R+.+.;& 0 %n R ? n+ R+ +& =.L.;

;ila diperhatikan :

%n R ? n+ R+ +& 0 ∑ n.R.' 0 J.dan J.= 0 D

edangkan :

/ 0 D l.;

?"

( ( /+ ( ( /

( (

( ( ( ( R

( (

(

( '+ ( R

+ ( ( '

(

( ( ( ( L ( ( ( (

( ( ( ( ( ( ( (

;

J


29/41

=tau sering ditulis :

/ 0 D %l ( ;&

*alam keadaan umum dimana sebuah konduktor dapat berbentuk

begaimana sa!a dan membentuk sudut sembarang dengan medan, maka gaya pada

suatu pemba)a arus ialah R %' (;&

Jadi gaya pada sebuah eleman dari sebuah konduktor yang pan!angnya dL

d/ 0 D %dL ( ;&

edangkan total pada gaya konduktor yang pan!angnya L

/ 0 i ; dL

b

a∫

GAYA DAN TORSI TERHADAP RANGKAIAN LENGKAP MOMEN

MAGNET

ebuah lintasan tertutup dari ka)at, berbentuk persegi pan!ang setengah

pan!ang sisi"sisi adalah a dan b. garis normal yang ⊥ pada bidang lintasan

tertutup membentuk sudut ∝ dengan arah medan magnet ; yang merata dan

lintasan tertutup dile)ati arus D

>aya d/ terhadap eleman dL

d/ 0D %aL ( ;& dengan arah 55 sumbu ( kekanan

y

@

;

/

(

/

/

/

; =

D

b

α

αα

m

a


30/41

total gaya / terhadap sisi a adalah :

/ 0 D.a.; %gaya ini terdistribusi sepan!ang sisi a& ektor / merupakan

resultantenya.

ebuah gaya yang sama namun arahnya berla)aan beker!a terhadap sisi

diseberangnya .

>aya yang beker!a pada sisi"sisi b ditun!ukkan oleh / yang besarnya :

/ 0 D.b.; $os ∝ kedua gaya / yang berla)anan arah tersebut terletak pada garis

ker!a yang sama sehingga saling meniadakan %pada sumbu y& sehingga total / 0

&

ekarang masih ada sepasang gaya yang beker!a pada posisi a yang

mempunyai garis ker!a yang tidak sama dan merupakan kopel %pasangan&.

#edua garis itu saling memutar sisi a sehingga ter!adi momen kopel

B 0 / b sin ∝

0 D.a.b.; sin ∝

Bernyata :

= 0 a.b %luas lintasan tertutup&, sehingga

B 0 D.=.; sin ∝

*alam bentuk 'e$tor

B 0 D%=(;&

#opel momen B inilah yang sering dinamakan BO-D. Jadi arah ektor torsi B

adalah pada hasil kali 'e$tor = ( ;. bila diperhatikan lebih lan!ut ternyata hasil

kali antara D. *ikenal dengan momen magnet m lintasan tertutup sehingga:

B 0 m ( ;

ekarang bila lintasan tersebut terdiri dari 1 buah lintasan yang sama

%seperti selenode& maka:

B 0 1.D.=.;. sin ∝

Contoh :


31/41

Hitunglah gaya yang dialami oleh sebuah pertikel yang ber'ariasi ,I4(4"

+I kg dan mempunyai muatan sebesar ,4(4"8 C. Jika dimasukkan kedalam

medan magnet ; 0 7 mB dengan ke$epatan 89,7 #m5s.

=pabila arah dari ; dan o tak diketahui, maka kita tidak dapat

menghitung besarnya gaya. Oleh karena itu dengan suatu asumsi bah)a ; dan o

⊥ maka dapat diilustrasikan sebagai berikut:

*alam hal ini arah ; menembus

bidang maka:

( "

" " "

$) F

I

998

4:6,:

&47&%47,69&%4:4,%

.WV

−

−−

=

=

= ϑ

MEDAN MAGNET ARUS

Medan magnet elemen arus

uatu arus mengalir sepan!ang lintasan L sebesar i. =kibatnya adalah bah)adisekeliling lintasan akan timbul medan magnet induksi ; dengan arah seperti

gambar. Misal sekarang lintasaan tersebut dibagi se$ara merata dengan besar dL,

maka akibat adanya muatan yang bergerak pada setiap elemen, maka sepan!ang

elemen"elemen lintaasan !uga timbul medan magnet sebesar d;.

Jika di$ari besarnya medan magnet dititik P oleh elemen arus sepan!ang dL adalah

d; seperti pada gambar.

;esarnya d; ditentukan oleh :

( ( ( (

( ( ( (

( ( ( (

( ( ( (

( ( ( (

/

o

;idang yang

dibentuk r dan dl

;id ⊥ sumbu dl

sumbu dl

>aris induksi

d;P

r

idl

θ


32/41

d; 0π

µ θ θ

π

µ

3k

r

sini.dLk

sini.dL

3

4,

+

,

+

4 =→=r

*alam hal ini :

r : !arak antara dL dan titik P

θ : adalah sudut antara r dan dL.

Persamaan diatas dikenal dengan HK#KM =MPE-E ., tetapi penghargaan

untuk formula diatas diberikan kepada ;DOB %6+4& yang sebagai orang pertama

yang mengumumkannya.

*engan menggunakan hasil perkalian silang 'ektor, maka hukum ;iot

dapat ditulis :

d; 0+

4

r

r


33/41

d/ 0+

++,,

r

sindlD..dlD

3

4 α

π

µ

atau :

d/ 0+

+,+,+,

r

sindl.dl.''.RR

3

4 α

π

µ

rumus ini analog dengan hukum

Coloumb.

ehingga se$ara umum dituliskan :

/ 0 k +

,,

r

&r


34/41

sumbu o dan elemen tersebut membantu sudut θ pada !arak s pada sebuah titik P

berdasarkan konsep sebelumnya dan dengan $ara mengganti notasi"notasi :

d; 0 dy s

i s

.sin..

3.

sindyi

3 +4

+,4 θ

π

µ θ

π

µ =

Dnduksi d; yang ditimbulkan dititik P oleh sembarang elemen lain konduktor itu

paralel degan 'ektor dalam diagram.

ekarang, bila diperhatikan :

dy 0 " r $ose$+ θ dθ → y 0 ? r $otg θ

s 0 r $ose$ θ

dengan $ara subtitusi, maka :

d; 0 " θ θ π

µ d

r

i.sin.

3

4

;ila konduktor diasumsikan sangat pan!ang, kita dapat asumsikan batas"batas

integral diambil dari " ∼ sampai ? ∼.

Cara mengartikan dengan batas"batas atas dasar sudut, berati dari DD ke 4, sehingga

:

; 0 [ ] 444

4 $osr

i

3.sin.

3 π

π π

µ θ θ

π

µ −−=∫ d r

i

; 0r

i+.

3

4

π

µ

-umus ini direduksi oleh ;DOB dan ==-B yang meneliti tentang medan

magnet disepan!ang konduktor lurus dan pan!ang.

Lain halnya dengan medan listrik, dimana ada suatu batang muatan

%muatan distribusi garis&, dimana medan listrik yang timbul mempunyai arah

radial, maka medan magnet yang ditimbulkan oleh arus yang mele)ati penghantar

lurus dan pan!ang adalah sebagai berikut :


35/41

GAYA ANTARA DUA KONDUKTOR PARALEL

*ua buah konduktor paralel lurus dan pan!ang ber!arak a, masing"masing

dile)ati arus i dan i dengan arah yang sama. #edua konduktor bahkan berada

pada pengaruh medan magnet yang dibagkitkan oleh masing"masing konduktor

yang berarti akan menimbulkan gaya.

Pada diagram terlihat bah)a beberapa garis induksi berbentuk melingkar

dalam suatu bidang yang tegak lurus terhadapnya, dimana garis induksi ini

merupakan garus tertutup, sedangkan ada garis medan listrik berasalan dari

muatan positif dan berakhir muatan negatif.

ekarang ditin!au, misal garis induksi mula"mula ter!adi karena arus i yang

mengalir pada konduktor ba)ah, maka besarnya ; pada konduktor atas :

; 0r

i+.

3

4

π

µ

;ila pan!ang konduktor atas adalah L, maka :

/ 0 i ; L 0 ; 0a

ii 4 ..+L..3π

µ


36/41

;esarnya gaya persatuan pan!ang :

/5l 0 ; 0aii

4 ..+.3π µ

=rah gaya yang beker!a terhadap konduktor atas ke ba)ah. Berhadap

konduktor sebelah ba)ah beker!a gaya yang besarya sama persatuan pan!ang,

tetap berla)anan arahnya.

;ah)asannya dua konduktor lurus dan paralel menger!akan gaya saling

tarik menarik atau tolak menolak di!adikan pendefisnisan ampere menurut sistem

mks$.

Jadi :

=rus satu ampere ialah arus tak berubah"ubah yang bila ada dalam dua

penghantar paralel yang pan!angnya tak terbatas dan masing"masing terbatas 5

terpisah oleh !arak m dalam ruang hampa, menyebabkan masing"masing

konduktor megalami gaya tepat sebesar + ( 4"I n5m.

*ari sini didapatkan definisi k dalam ukuran 4"I 15=+

#emudian dari definisi satu ampere diatas, maka sekarang kita dapat

mendefinisikan satu Coloumb yaitu :

#uantitas muatan yang dalam satu detik mele)ati penampung sebelum

rangkaian berarus konstan sebesar satu ampere

MEDAN MAGNET LILITAN MELINGKAR

*alam se!umah peralatan dimana arus ditetapkan sebagai elemen untuk

membangkitkan medan magnet : seperti sistem elektromagnetik atau

transformator, maka ka)at penghantar di)u!udkan dalam bentuk kumparan.

Kntuk memudahkan pemahaman, berikut diberikan sebuah gulungan ka)at

pemba)a arus sebagai berikut :

θ 0 844

α ; sin α

α

(

y

@

s

r

-

4d;

α 844

dl


37/41

ebuah gulungan ka)at dengan radius - memba)a arus i terletak ada titik

y@. Bitik P terletak pada sumbu ( dari kumparan, ber!arak s dari pusat kumparan

serta ber!arak r dari elemen dL.

udut θ yaitu antara dl dan r 0 844

*engan hukum ;DOB :

d; . +4

.3 r

dl

iπ

µ

ekarang kita perhatikan, α adalah sudut yang dibentuk oleh r dan sb (. ektor d;

dapat diuraikan men!adi komponen d; sin α sepan!ang sb ( dan komponen d;

$os α pada posisi sudut lurusnya %saling meniadakan&. Bernyata setiap elemen

komponen d; sin α sepan!ang sb ( sa!a yang ada.

;ila di$ari totalnya :

; 0 ∫ ∫ = dlr sini

3 sind; +4 α βπ µ α

Jika dikondisikan r dan α tetap, maka dapat diletakan diluar integral sehingga

integral yang ada ialah lingkaran lilitan +π-, sehingga :

; 0 Rr

iπ

α

π

µ +

sin.

3 +4

0 +4 sin..

+ r

Ri α µ


38/41

dititik pusat lingkaran , maka α 0 844 dan r 0 -, maka :

; 0- i.

+84sin.

+444 µ µ =

Ri

Jika sekarang lilitan tersebut tidak hanya satu, tetapi terdiri dari 1 !umlah lilitan

maka :

; 0-

1.i.

+

4 µ

ehingga bila medan magnetnya digambarkan, dapat dituliskan sebagai berikut :

PERMEABILITAS MAGNET

Jika di$ermati ternyata seluruh rumus"rumus tentang medan magnet yang

diturunkan dari hukum ;DOB mempunyai tetapan [4 yang dikenal dengan

permeabilitas ruang hampa.

ekarang apabila beberapa gulungan yang ditempatkan pada medium lain,

maka media tersebut mempunyai permeabilitas yang berbeda.

Permeabilitas dari beberapa media yang hendak diukur pada prinsipnya adalah

dengan !alan menempatkan suatu ka)at yang lurus dan pan!ang, atau dalam

gulungan yang melingkar namun sebuah solenoida dalam media yang

dipertanyakan, mengukur resultante induksi kemagnetan, dan !a)abannya adalah

sebuah tetapan baru [ yan diturunkan kita menggunakan pemeabilitas relatif #m.

#m 04 µ

µ

#m 0 untuk 'a$um

U untuk bahan paramagnetik


39/41

Z untuk bahan diamagnetik

UU untuk bahan ferromagnetik

INTENSITAS MAGNET

eluruh pernyataan untuk mengukur induksi kemagnetan atau medan

magnet ; dikembangkan melalui permeabilitas media [, serta arus dan faktor"

faktor geometrik.

Kntuk itu hal tersebut seringkali digunakan untuk mendefinisikan sebuah

'ektor baru H 0 ;5[ yang tidak tergantung pada media.

Hal inilah yang dikenal dengan D1BE1DB= M=>1EB

;erdasarkan hukum ;DOB :

dH 0+r

r


40/41

dΦ5dt 0 ";.l.'

kita sudah tahu :;.l.' 0 ggl 0 ε

Maka :

ε 0 "dt

dΦ

artinya :

;ila sebuah sirkuit bergerak dalam medan magnet, maka ggl bergerak

dalam )aktu itu, sama dengan la!u penurunan fluksi yang menentu daerah yang

dibatasi oleh rangkaian tersebut.

;ila sekarang lintasan ada 1 buah, maka :

ε 0 " 1dt

dΦ


41/41

Documents

Diktat Bu Dwi