39
! " ! #$ % ! "! &! $! # ! ’ () # *+*+,**- . ! / ! 0/ / ! 1 2 ! 2 0 3 2! ! 2 !"/ / / 1 . 0 ! / 3 4 3 ! ! 5 / ! 3 62 2 !1 & " ! ) !/ 3 ) 2 "!! !" 3 1 7 !/ / !2 !/ 2 !/ 1 8 / 3 3 0 1 9 36 2! 0/ 3 ! 31 / ) 2) 01 : ! ! ) 1 !) 6/ !2 / 3 1 # ) " ) "!!/ / ;! ! ) "!! " 1 7 , !2 " "/ ;! 0 / 3 " !2 !1 $) !2 " <

Dimensão de Hausdorff Invariância sob transformações de

  • Upload
    dangbao

  • View
    214

  • Download
    0

Embed Size (px)

Citation preview

Page 1: Dimensão de Hausdorff Invariância sob transformações de

�������� � ���� ����� ������ ��� � ����� ������ � ������������

��� ���� ��� �� ���� ���� !��� � �� �� � ���� �� �� �����"���� �!���� � �#$

% �� � �������!������ � �"!��� &�������!$ ���!�� �� � � ���� � � #������� ��������� ���� ������������� ��!� ' ������ ����� (��) #���� �����

*+�*+�,**-

� ��������

.��� � ���!�� ���/ ���� � ������! ��0������/ � ����� � ������� � ���� �/ ����� �� ����� � ��� ��!������ �� ����� � � ������1 2����� �� � ����! �� 2�� ��� � ��������� � ����� ���0����� 3�� ��� �������

� �2�!� �� �� � �� �� ������ ��� ��!� 2����� �� �!"�����/ ��/ ����� �������/ ��������1.��� ���� � ���0����� ���!� ����� ���� ������/ 3���� �� ����� ������4���� � 3���!�� ���!�� ������ ���5����� ���� ���/ ����� ��!�� � 3�� �� 62� �� � 2����� ��� �������!1&�� ������" �� � ������!������� � �)������ �!�� �������/ ��� ��� 3�� �� �)���� �

2����� �� � �"!��!� �!"������ �� ���� � �� ����3���� �� ����� �� � ������17���� � ���!��/ � ��� ���� �� ������ / ��� �!2�� ���!��/ ��� �� � �������� �� ��

������ � 2����� �� � ����!/ � ����� 18 ���� ���/ ��� ������� ��� ��� � 3������� � ������ 3�� �� �� �� ���0����

�����1 9 �� ���� � 3�����6�� �� � �2�!� ���� � �� ���0����/ 3���� ������ ������!�� ����� ��3�����1 ����/ ��� ������� ����)� �������� ���� ����� ��� � ��� �� ����� 2���)� ���� � �� ���0����1: ������� ���� �! ���� � ���!�� ) � ������� � ���� �1 !)� � ��� �6�����/

�� �� �� �������� �!2���� �� ���� � �� ����� ���� ���� ������/ ��� � �� 3���� �������� � ����� � �� ���� ����� ��� � ����� ������ � ������������1 #� �� ����)� �� ��������� �" ��� �)���� �� � � ��� �"!��!�/ ��� ����/ �;���!�� � ��!������ ������)������ �� �"!��!� �� �������� � ���� � � �" ��� � ������ ��� ���������1

7� ������ , ������� �� � ��� ����� � �!2��� ��������� � �������� �����"������"�����/ �� �;���!� � ��� �� � ���0����� � �������/ 3�� �� �� ������" ��� �� !��2�� � ���!��1 $���)� ��� ��� ������ �!2���� ����� �"����� � ��� �� � ���� �

<

Page 2: Dimensão de Hausdorff Invariância sob transformações de

��� �������� � �����/ �� 3�� ����� ��� ����������� �� ��� �� �� � ������1 .��������� �� "/ ��������!�����/ ��� �����!���� � �6������ � ���!���� �"�����/ � ����� ���!���� ������ ���� ���� � �����!�� 3����/ �� !��2� � � ���!��/ �� �� ������ ��� 4����� � �!2�� � ���� ��! �!� �;�����1

������ - �� " ����� = �� ��������� �� ��������/ ��� �!���� � ���0����� 3���4� ��� �����6����/ � �3����������/ �� ���� ��� � �� ��4����/ � ��0� ����� ������� �������!������� � 2����� �� � ����! �/ �� �� ����!� / � �� ������� �����"����� ������ ��������/ � �)������ �� � � ��� ��������� �"!��!�/ 3�� �� �� ��0���� � ����� ���������� ��2������1

.��� � �;���� ��� 2 ��� �� ���� � �6������ � �������� >� ������?/ ������������ � ���� ��� �������� � ���� � � �������� @��;��������2A 3�� ���/ �� �6������/���� ������ �/ �� �� �� ������/ �� ���� �!�������1

7� ������ B �� ��������� � �6����� � � �� ����� � ������� � ���� �/ ������� �)���� �� � � ��� �"!��!�1 �� ��� � �� �" ��� � �� ����� ���� �������/ ���������� � ���� ������ ��� � ����� ������ � ������������1C� �� ��0������� � 2����� �� � ����! ) ������ � �� ��� � �!����6�� � ������/ �

��� � ��� � �� ����� 2���)� ���� ��2��6�������1 C�� ��� �2�� �������! ) ������ � ��� ���0����� ���� D�3����!�����E �� �;���� ��� � ����� ����� � ������������ ��� � �!��� � ��� � D���� ������E �� � ���0����� �3����!�����1 C� ����� ���� ������ ) � �������1$� ������� ���� ������ ��� � �"!��!� �� �������� � ���� � � �!2��� � ��������� ������ �� ������ ���� �� 1

������� � ���� �/ 3�� �������� � ��� � / �� " � � ������! �6����� � �������� ��� 3�� ����� � ���!�� 1 7� �������/ ) ����������� �;����� �!2���� ��� ���6������/ ����)� ����� �����/ � � ���� � �!���� ��� � �����1 ����/ � ������ F ��� � "��� �6����� �!�� ������ � �������1 ���� ������6�������/ ����� ������/ ����� ���!���� �� �������� @��;��������2A/ ��� �������! ������� =� � �� ����� 3�� �!����������� �6����� � �������/ ��� � ������� � ���� �1

C�� ��� 3�� 3���� ���� �� �6������ � ������� ����� ��!� �� ��� � � ������� ����� � � � ������� @��;��������2A ���� �� / ����� ������ �� �� �� ���� �!�������1

&���!�����/ ���!�����/ �� ������ G/ �!2���� �� �)������ �"����� ����� �� � � �"!���!� � ��������/ � �" ��� �;���!�� � ��!������ �� ������1 .���� �)���� ��� �;�� �������� ���� ������/ ����/ ��� ��������� � �"!��!� � ���� � ������� � �� �� �� �6������ ���!����/ � �3����������/ ����3���1 7� H!���� ��������� �� ����������� �;���!� � ���� ������ � ������� � ���� � ��� � ����� ������ � ������������/� ���� �� � � ���� 2� �! �� ��������� B1,1

,

Page 3: Dimensão de Hausdorff Invariância sob transformações de

� �� ������� �

7���� ������ �� �� ������ �!2���� ����� � �������� �����"����� 3�� �� �� ���!����� ����������� �� ��� � � � ���!��1 #� " �� ����� � �6������ � ���!���� �"�����/����� �� �����!��� ������ 3����/ �� !��2� � � ���!��/ �� ����� �!2��� ��� 4����� �!2�� � ���� ��! �3�� �;�����1I�������� �� ��� � �!2��� ��������� �"����� � ��� �� � ���0����� � �������1

#�2��������/ � ��� ��� 3�� �� ����� � �� ��� �������� � ����� �4� �� ����! ���� ������ �� ��� �� �� � ������ �� " �3�� �� ������� �� � �������� ��3��� =� ������ �����������1 � ������ � ��� �� � ���� �� �� ������� �� ������/ �������������� 3���� ����� ��0�� ���� ��� ���� D��� �������� � �����E ��� ���0�����1 ����� ����� �;���4���� � �!2���� ����� ��� �� ��� � �� ����� >�������������� 3���� 5�����?/�������/ �����/ ������ �� �6��!��� �)������ ������ �� ��� �� � ����1

��� � ���� � ���������

3�� ��� ���� �!2���� ������ � �������� �"����� � ��� �� � ���0����� � ����!�2��1

� ���� ��� � ������� � � �� ������ � �� ����� � ���� � ��� � � �� � ��

�� ��� � �� � �� � �� � �� � ��

��� ��� � �� � �� � �� � �� � �� �

����������� � ��� �� �� �� � �� � � ���� � � � ����� � ������� �

� ���� ��� � � � � ��������� � � ��� � �!� � ����� ���� � � �� ���� � �� ����� � � � �!� � � ��� �� � � ���� ������� � � �� � ������ � � ��� � ���� �!� ������� ��� � ���"� � #��� $���� %�� � �� ��������� � � � � � �� � �!� � � ��� �� � � ���� ������� � � �� � � ���

��������������/ � ��� ��� � � ��6�� ���� �� ������ ���� � �";��� � � ������ ����0����/ �� �������/ ) ���� ����� ���� 3�� �!�� ��� � ������ � �� ����� �� ���0����1.�� ������ ���

�� ���� �� � �� ������ � ��� ��� � ���0���� �� ��� ��!�� ��!� ��

3�� � ������ � ����/ 3���� � �� �� � ��

� ���� ��� & ��'�� � � ���� � ��� ��� ���(� � � �� � ��� � �� ��� ���� ���� �� � �� � � �� � � ����� ���� �� �� � ��

� ���� ��� ) � � ��� � � � ���� �� ������� � ������ � � � � � � ��� ����� � ������ �� ���� ������ ������ *�������� � � ������� � �� �� ������+����� !��� �� ���� ���(�� � � ��� � ������ � � � ���",� � � �!� ���� ������ ) � � ��� � �� � � ���� �� � ������ ����� �

-

Page 4: Dimensão de Hausdorff Invariância sob transformações de

� ���� ��� ) ���� � ��� � � �� � � �+ � �� +��� � �� � � ��� � ���� � � ���� �� � � � � � � � � � � ��� ��� � �� ��(� �� -������������ � � ��� � � � �+ � � � � � �� � � �� .�"�/ !����� ) � � ��� �� �� �� �+ ��(�� ��� �+ � & �� � ���� � ��� � �+ � � �� � ��� � ������� � �� �� ������ � � � ��� � �+� � ��

� ���� ��� & � � ��� � � � ����� ��� �+ � � � � ��� � �+� � ����� �� � � � ������� ����� ��� � �� � )� � ���"� ������� ���� �� ��� � ������� �� ���� ������� ��� � � �� � � � � � � � � ��%�� �� ����� � � ��� � ���� ���� ��� �� � � ���� �� � � � � � � � � � �

��������� ��� � ��� ��� � �!���� � ���0�����/ ���� � � ��� �6����� � ����� ��0���� ����1

� ���� ��� # ����� � � � � ��� � � 0 �� � � � � ��� � � ����� �� � � ��� ������ � ��"� � ���� � ��� � � �� �� �������( �� �� ������� �$������

��� &� � � ��� � ���� � � ����� � �� � � ��� � � 0 ���

��� # ���� � ������"� � � ������� � ��"� ����� � ���1�� � � � ��� � �0 ��� � � � � ��� � 0 ���

� !��2� ���� � ���!��/ � ���������� ���� �� ������0����� � �� 3�� ��� ��� ����� ���� / �� �� ���0����� � J� �!1

��� ���� � ����� �

!2���� � ����� ������ >�� �������? � �� �� �� ��� 2����� �������� ��2��6�������1

���� ���� �!2���� �!��1

� ���� �� )� ������ ��"� � � �� �� ������ �� � �$��2���� � �� �

���� � ������ �� ����'������ ��� � �� ���� � ���� � ��� �� ���� �������� �� � � ���#� �� ����� ���� ������ '�$�� �� ������ �� � � ��� � ��� � $ �������� � �$������ #�$��� ��� � ����������� ������� �� �� ��������",�� �� �2 �� �� � ��� � � � �� �� ��� � ��� ���� � � � �� � ��������� � ��� �� �� � ��",�� �� �2 � ���� � ��� �� �� ���� �� � ��� �� ���� ������� � ���3�",��

� ���� ��! )� ������ ��"� � � �� �� � �� �����"� � +����� �� � ���

����� �� ��� �� �� ���� � ���� � � ��� �� ���� ������� �� � � ��� # � ������ �

������ ��(� �� �����"� �� )� �����"� ������ �� � � ��� �� � ��� � $ �������� ��������

� ���� ���" � � � �� �� � � � �� � ��� � � ��� � �� �� � � �� ������

� ��"� ����� �� ����$���� ��� ������ � � � � �� � ��� ��� � ������ �������� ��"� ���

B

Page 5: Dimensão de Hausdorff Invariância sob transformações de

� ���� ���� )� ���"� � � � � ������ ������ ��"� � 45��� � +� ���� � +����� �� � ������� �� ��� ��

�� ���� � ���� � � ��� ��� � ��� � � �� ><?

# � ���"� �6� ������ � ���"� � 45��� � +� �� ��

� ���� ���� # ���"� � � � � � ������ ������ ��"� � 7�������( � � � ���"� �6� � ������(� ���� � � �� ���� � �� � �� ��� �� � �������( � � ���"� � 7�������(�

�� ���� � ���� � � ��� �� � ��� � � ��

& %�� � � ��� �� � � ���� � ����� ��� ���$������ � ������� ������ � ������� 7�������( � �� �� ���� � � �� �� & ���" ��� ���",� � 7�������( � � �

����� � � ��� ����� �� ��������� � � �� ��

� ���� ���� � � � � � � � � +����� � �������� �� ��� � � � �� � �� ������� ��

�� ��� �� � �� ���� � ���� � �� ��� �� � ��� � � ��

��� � ������ ������ ��"� � ���7�������(�

7������ 3�� �� ������ ��� � �� ����!������ ��� ����� �� ����!� �� �� � ����� ������� ������������1

� ���� ���� � +����� �� ������ ��"� � ���7�������( � � � �� ��� � ���(�� � � ��� � ���7�������( ���������� #��� $���� � +����� �� ������ ��"� � 7�������( ��� � �� � � ��� �� ��� ��(�� � � ��� � 7�������( ����������

� ������ � !������ � ���������� ��� ��� ���������1 K���� �3�� ��� � �������6������ � !����� ���� �� � !����� ���� �� � � ������� 6���1

� ���� ���� 8 ����� � �� ���"� � � � �� �� � � �� � � ��� # �

��� �� � � ������

�����

��������

�� ���� � ���

��������

�� ����

�����

������

�� ���� � �����

�������

�� ����

�1�� � � ���� ����� � ���� ����� � �� ���"� � � �� � ���������� � �� ���

��� ��� �� �

��� ��� � �����������

7������ 3�� ������

�� ���� �� ) �� �� ������� 3���� � �� ���� � ���!�2������ �� �

��������

�� ���� �

����/ �� !������ ���� �� � ���� �� �;����� >���� �H�� �� ���� �� ���� �� ����? �� � 3��!3�� ������ �� � � �� ����� � � �� � ��!� �� � � � 5;���� � ��

F

Page 6: Dimensão de Hausdorff Invariância sob transformações de

� ���� ���� 8����� �����"� � � � � �� �� ��������� � � � ��� �� � ������"� � ��� �� � �� ���

��� ���� �� �

��� ��� �

#� � ��� �� � �� �� ��0�/ �� �� ���

� ��� � �� �����

� ��� � ����� ����

� ��� �;���� � �������

��� ���� ��!� �����1��!��� ���� �2� � � ����� � ������� 6���1

� ���� ���� 8����� � ��� � �� �� �"� � � � � �� � ��%��� � ������ � ��%���� ���� �����"� ��(�� �� � � �� � � ��� � � �� ��

��!���������� �� ���� � ��� �������!���/ ��� ���� ������ � ��� ��� � ��!� �)��L

���#���� ��� $� �� �� �� %���� �&���' 9�� � � � � � �������1�� ��� �� �

+��� � � ��� �� � ��� �� ������������ � � � ��� �

()� �%�� ���! 8 � ����2���� � � �� � ��� � ��� � ������� ���"� ����������� � ������� ������� � ���������� �� ���"� � 7�������(�

&���!�����/ �!���������� ��� !�2� �����/ ����)� ��� � 3��/ ���� � 3�� ��� ��0������� � ��������� ����/ �� �� ������ ��� ��� ���� ���

��� * ����� ������)��� � � �����

� ����� ��� ��������"���� �� ����� � �����"���� �� � ������/ �� �������/ �� 2� �!/��� ��6������� �!2���� ����� �"�����1 ����/ ����� ���� ��� �� �;������ = ��� �� ����� ���� �)�����1I����� � ����/ ������/ ����� �� ������0����� � ��1

� ���� ���" � � � ��� 8��� � � �� ���� �� � � ������� � ��� �

�� �$���� � � ������� �� � ���� ���� � ��� � �� �������(�� �

��� � �� � �

��� � ��� � � ��� � � �

��� � ��� ��� ���� � �� ���2����� ����� � ���1��� � � � ��� �� ���

� ��

��

���

��

� �� � >,?

��� �� � �$������� �:�� ���

� ��

��

���

��

� �� �

� � � � � � � ��� � � 0 �� ��� ��� ��

8��� � � ��� � � ���� � � � ��� ��

G

Page 7: Dimensão de Hausdorff Invariância sob transformações de

()� �%�� ���� ;��� ��$ � ����� ��� � � ����"� � �� ���� +��� � ������� �� � ����� !��� � � � ����� �� 8 ���� � ���� � � �� � �� �<��� �� ��������� � ������ ���$���� �� � ��1 ������ ���� ������� � � ��� �� �� �( ��� ��� ������� � $���� ���� � �������� � � � ��� � � 0 ��� � ����� �� � �� ��� ������ � �� .����/ ��� � � ������ �� �� � ���",� ���� �� �����������

� ��������� �2� � �!2��� ���!���� 3�� �� �� ������" ��� �� !��2� ���� � ���!��1#� � � ����� � ��� ��� ��� ��� ���� � ��2����� ����� ��0����/ � � � � ����� �

!�2�/ ��!� ������� ��� � �6����� �����/ �� � � � ��� ���0����� �� �!�����/

� ����� � � ���� � ��� >-?

#� �� �� ���/ ) ��� ��3�4���� � ������� � ���0����� � J� �!/ �����

�� ��

� �� � � �

� ��

��

>B?

'� � �� �6�� ����/ ����� ���� 3���

��

� � ��� �������� �������� ���/ ���� ���� �����

��0����/ !�2� >����� ��� � ��6����� ,1,* � >-??

� ��

��

� � ���� ���

��

� �� ���� � �� � � � ���� � �����

��

��

� �� ���� � �� � � �����

� ����

���� 2� �!�����/ ��/ �� � " � �� �� ��� ���0����� � J� �! ���� 3�� ��� �� �� �� � " � "�� �����

�����

� ���� � �

��

��

��

>F?

� ���� ���� & ��� �� � �� ����� �� ��������� � � �# � � ��� ���� � � ��� ����� �� � ������ � ���� ����� ��� ��

�# � � �� � � � � ���� � � � � �� �

� ��� �� ��� �� � �� ���� � ��� � � � ��� ����� � ����� � ��� �� � � �� � ��� ���� � � ���� ������� � � �� 9�(�� �� � � �� ���� ��� � ��� � � �� � ����� ��� �� � ��

� ���� ���� )� ���� �� ���� � ��� ������ � ��� ��� �� � � � ���� � ���1 ������ �� ���������"� � ����� ���� �����"� ���� �� � � � ��� � ��� � ���� � � � ��� ��

K�0���� �2� � �!2��� �;���!�� � ����� � ��� �������� � �����1 ����� ����/��� �� ������ � ����/ � �;���4���� � ����� ��� ����� � �� �����1

M

Page 8: Dimensão de Hausdorff Invariância sob transformações de

+, �#�� ���� $* ���� �� �����- �' =��� ���� ���� � ��� � �� � �� � ���� ��� ���$ ����� �� �$���� � ��� � ��� � �!� � � �� � �� � � � ���� � � � ��� � ���1�� �

+, �#�� ���� $*���� #������' =��� � ������� � � ��� � � � ��� � � �

� $� � � ��� � � � � � �� ���� � � �� ���������"� � ����� � ��� �� ��� � ��� � ���� � �� ���� � ����� ����1���� � �������� ��

+, �#�� ���� $* ���� � . ) �-� � ��' # ���� � 7��$� � � +����

�������� � �� ����� ��� ����� � � � ��� �� � .� �� ������� ���/ �.� ����� /� % � �� .1��/ � % � � .� ��/ � % � ��� 8 � � � � �� ���� �� � ��������� ��� � .��������%�� / � � ����� ���� ��� � �� � � � � � � � � � ��� � �

&'�� ��� � ��� � ��� ��� � ��� ��� ��� � ��� �

# ���� � 7��$� ������� ���� ��� ����� � �

�� ��� � �

��

��

&'�� �� � � � ��

��

�� %�� � � �� � �� � ��� �� � ������� � � � � � ��",� ���1��� � ���������%�� ��

'�� ���� � ��� 3�� �� ��� � &'�� ��� � �� � ) �� �� �!�!������/ �� 3��!3�� ��� ����0���� ��0� ��!��� ��� �� ��!��!�� ��!�� �2 �� ������ � ������1 ����/ �� �% � �� � � � � ���� � �����2�� ��� ��� ���� � ������ ���������1 .� � � ���� ������2�� ��� �� ����� ���� � ���� ������/ � �� ����� ��� ������/ ���� ��������� ��� ��� � �� ��� � '�!� ����� ����/ ������/ �� �����/ " ����� �� ��� � �� ��� � ��!����� ��� � �� ��� � ��) ��!� ��� �� ��� � �� ���1

+, �#�� ���� $������)��� � ����� ���/��� ��� � -� ��� � � ���' � � �� �$�� � ���� � � ����� �� 9����� � ��� � �� �� � �� � ��� � ������ �� ������"� � � � �� ���� � � �� ���������"� � ���� � ��� ���� ���� �� � ��� � � � � � � � � = � � ������ �� � � ���� �� ��������%������ ��� � � �$ � �$�� � ���� ��

+, �#�� ��� $0 ������ � ��� � ����' � � � �� ���� � � � (� ���� � ��� � ����� � �� # �����"� � � � (� �� ���� ���� ����� � ����� ��� � � �� � (� � ���� ������� � � ��� � �� *��� ����� �� ��� � ������ � � ��� �� � ���� �(�

� !��2� ���� � ���!��/ �� ���� ���� ������ ����� 3�� ����� ������ � �� �� ������� � 4���� �> ������� ����/ ��/ �� ������0����� � ��/ ��� � � � %1 .���������/ 3�� �� �� ��� ������ �� ��������� B1</ ��� ��� 2��� �!������ �� ����� ������2�� �� � �������� ��� ������� ������� ����� ��1

+

Page 9: Dimensão de Hausdorff Invariância sob transformações de

� ��������� �2� � �� �)���/ � �3���������� ���!���� �� � ����� �� ��� ���� ������� � ����� ��� ������0���� � ���7�������� ���� ���� �)��� �� ������ G1 ���� �������� ����������� ��� � ������ � ��������� ��������� � ��� ��� ���

��� ����� ��!�� �� ��� � �� ���0���� �� �!���� !������1'� � � � � ������� ��� ��!����� >�������? � ������0����� � ��/ ���;�� ���

��3�4����� �������� �� � ) � � � � � � � � �� � ��� *� � '� � 3��!3�� ������� �� � ��0�� ������ � �� ������0���� !������/ ��� ����� � ��� � �/ � ����!�� � ���� ����� ����0�����1 �������� 3�� ����� ���0����� ����� � 2������� � ��2����� �� ��L

� ������ � ���

��

� ������ ��

#������ 3�� ��� ������ �

�� ���" �6��� �� � � ������ � � � / �����������

��� ������ �

��

��

��� ������ ��

�� � ��� ������� �� � ���� )/ � D�����E ��� ������ �

���" �������� ��!�� ������0���

��� � ������ �� � �� � � �� � �������� 3��/ �� � 3��!3�� ��3�4���� ��� �� ���� � ����� ������� �� �� ���0�����/

��� ������ �

�� � ���� �� ���� �����/ ��� ������ �

� ����� 2�� �� � �

3���� ) �� '� � ��� )/ �6����� (� � � ������ �� ������ � � �� ������� �� ��� ����!��

����� � ���� �� �/ �1�1 � ����(�� � �� $������ ( ���

���

(�� ���� 3��/ �� �� ���

���� ������ � ��� ��3�4���� �� ������� ���0����� ������� ��� ������/ ( ) ������ � ��������1 ��������� �� � � ��!����� �� ��� ��!�� ���0����� � � � ��!�� ����!������ ���� (��

#� �6�� ���/�� ��

��

� � � � ��������� ����� ��� ���/ ��������/ �� � ���� 2� ���/

��� ��2������ ������L

<1 � ���� � �� ��� ����� � ���� ��,1 $��� � � � ������0����� � �� � � � � �� ������

-1 ����� � ����� � ���� ��!�� ���0����� � � � �� ������ � �� �� 3�� � ���� ���

��

� �� �

B1 �!��� � ����� � ������ � ��� �� �� � �

����� �� ��/ �6����� � ��� �� � ���� �� ���0����� � �� �1$� ����� �����"��! ����� 3�� ��������� � ������ ���0�����/ ��0� �������! �����4�!�

� ��� ���� �� ��� �� �����/ �� �� � � ��� �6�� ���

� ��� � �

� �� � � � � ( � � � � � ��

) �������! ���� � � ��2����� � ��������1

N

Page 10: Dimensão de Hausdorff Invariância sob transformações de

���#���� ���! � � � ������ ��� � ��"� � � � ��� � �� � ����� ���� �� � � +������ � � � � � ���� ��� � � ��� � ����� ��� ����� �� ����� &��� �� � � ��1 � ���� ( ������ ������

����/ �� � �� �6��� ����� ���� � ������ � D��������� ���������E/ ����� ��������� ��� � ��� ���� �� (1

� ��������

: � ������! ��0������ ���� � ���!�� �� " � ����� � ������� � ���� �>�J����������?� ���� � �� �����/ ��� ��� 3�� ����/ ) �� �� � �������� ��������� ����� �� � � ������� � ������1 ��������/ �����/ ���� ������ = �� ��������� � �!���� � ���0����� 3�����" �� � �2�� � 2����� �� � ����!/ � � ���� �� ���� �� ������� �����"�����/ ���� ����!� / � D���� �������E/ ���� �� �������� � ���������� �)������ � �"!��!�/ 3������� �� �� ������� ��2������ ���� � ���!��1I��������/ �����/ �� ��� ���� � ����� � �������1 ��!�� � D������� E/ � ��������� � !���� D� �����E/ 3�� ��2��6�� D�� ���E/ ��� ��� ��

���� �� J����� ����!� ��/ �� ��� @� ���� ���������!A/ �� <NMF/ �� � ��� ��� ��0����� 3�� � �� ������� � �2�!� �� �� � �� ��3�� � �� ��� ���" �� 2���)� ���� �������!17� ���/ 0" ���������/ @� ���� � �2���!A/ ����!� �� �6��� �� � ����!/ ���� ��

���0���� ��� ������� � ���� � ��� �������� ���� 3�� � ��� ������� ����!52���1> ����� � � �<$��� � �� ���0���� ) ���� � �� �H�� � ����� �/ ���� � �� � ���0����) ����!����� ������;�/ � �� ��� ����� ��� ����������� � ��� � ������� ��3����� ���� ����� � � ������� � � ����� ��������������1 .� 2� �!/ ���� ���� 3��/ � �����������!52��� )/ �� �";���/ �2��! = ������� � ���� �1? 7� �������/ ���� �6����� ���!����� ����������5 ��/ ���� �;�!��� �" ��� ���0����� 3��/ �!� ������ ����� �� ������� ��� � ������1K" ��� ��� �� �6������ �4� ��� � �������/ ��� ���� �� ���� �� ������ ���� �����

������1'� ���� ����/ ����� � ���!��/ �� ��� � �� ������ ��� ��� �6����� � ����� �

D� ����!E/ ����� ����������� 3�� �� ���0���� + �� ������ .��!����� ) �� � ����! ���;��� ����/ �� � ���� �� �� �� ��2������ �� ���� �������L

�� + ��� ��� @6�� �� ���� �A/ �� ��0�/ ���!�� � � �2�!� ��� �� 3��!3�� ����!�>� �� � ������� ��3����?1

�� + ) ������� � �2�!� �� � �� ��� ��� ��!�� !��2��2��� � �"!��!� �� � 2����� ��� ���������/ 3�� !���!/ 3�� 2!���!�����1

�� & �3����������/ + ��� �!2�� ���� � ���������!����� �� ������6���� >+ ) �����0���� � �� ��� 3�� �� ������!��� �� ���?/ �������!����� ��� ������ ������������ �� �� �;����1

<*

Page 11: Dimensão de Hausdorff Invariância sob transformações de

�&� C���!����� � D������� � ����!E � + >�6��� � �!2�� ���? ) ��� ������������ 3�� � ��� ������� ����!52���1

�&� .� ������ �����/ + ��� ��� �6����� ����� ����!��/ �� ����� ��� ����1

�&� & �3����������/ + ��� ��� ��� 4���� ���� �!1

.;����� ������ �;���!�� � � ������/ ��� �!2���� �!����� ��� ���� ���� ��������1 !2��� � ������ ���������!������ ��� �� ����!� ����� ��� ���������/ ���� ����L � ����0���� � I���� / � ���� � � I���� / � �� �� � ��� O���/ � � ���2�!� � #�� ����P� � �@#�� ����P� �� ���A >K� 62� �� < � F?1

&�2� � <�@#�� ����P� �� ���A >� ���� �� F ������ � ��������� ����� ����?

C�� ��� 3�� �� �� ��� ��� �" ��� �����/ ������ ���� ���� ���!�������� �!2����!��L

+, �#�� ��� $( �������� � 1�����' ? � � � �������� ��� �1��� � � ���������� � � ����� � � � � �� ������� � �� � �!� � �������%������ �%������ � ��������� ? � �����%� � ������� � ������� ����1�� � ��� �� � �� �� � �� ��� � �(� ������� ��2� ����� �$����� � �$����� ������� � � � (�� � � ��� ��������� �� �����"� �� ��"� ���� ������ � � � ��� (�� ��� (� �

��� �

������ ���

#����� � �$ �� � �� ����� � ���� � � � ������� � � (� ������� � � � ��� ���� � � (�� #���� (� �

��� �

����� ��

������

����� ��� @��� � ��

�� ����� � ���� � ����������� (� � ������ �� �����"� �� ��"� ���� ������� ���� � � � ������� � � (���� #���� (� � ����� � �� ������� �� � � ����� ���� �� ���$�� � � � ������� � �1��� �� & � � ��� � 8��� �� +� � � � ��� � � �

� � � � �� � �� ��� � � � � (�� ��� + ���

���

(�� ��� � � ��� ���� � � ��

���� � ���� �� ���2���� � � � ��� � (�� ����� ) �� )� � � ��� +��"� �� �������"� $�1��� � + ��� �� ������� �� ��%�� � ���� � � �������"� � � � � (� � ) ��������� $���� ��� �$��� :��

= � �� ������ ������ ��� ���� � � ��� (�� � � ����� � ��� ����� �7��$�� ����� �

���

�� � ��������� � ����� � ��� � � � ��� � 8��� �

��1 �����

���

�� �� @��� ����� ���� � �� + � � � � ��� ����� � �� ���1���

�� � ��� ������ � �!� � ������� ��(�����"� � ���� � � � ��� � �� �� ��� ���� ���� � � � � ��� � ����� ��� �+ ��� ����"� :�A�� � � ����2���� ���� � ��"� B�66 �� �����"� B�6:� ���������� �� �����"� B�:�

<<

Page 12: Dimensão de Hausdorff Invariância sob transformações de

&�2� � , � I���� ���� � ���0���� � I����

+, �#�� ��� $2 ���%� � %�� 3��4' =��� � ������� ��� ������ ����� � � � �$��� � ����� (�� � � ����� �� & � � ��� (� � � ��� �� � ����� �$�� �� ���� ��������� �� � "� �� ��"� ���� ������ � (� ��� ���������"� �� � ��� �� �� ��� � � ���'�$�� ����1�� �� ���� � � ��� �$�� � ��� � 8 ������ �(�� �������� � �� ����� � ���� � � � �$�� � (�� ���� ������������ #���� (� � ���� ����������� � ��"� ���� ������ � ���� �$�� � ���� (��� �� � ��� � � �� ��� � � �����$�� ������� � ��� ���� # ����� � � �C ��� + � � � ����� ���� �� ���2���� � � � ��� � (�� ��1 !��� ������ �� � ������ � � C �� � � ���� � � ����� ������ ���� �� ��� ����� ������ � � � ��� � � � �� ���(��� � � � ���� � � �

�� � ��� ���� �� ������� � ������ ��

� � ��� (� � � ����� ���

� �� ������� ��(�� ) �� �� + � � ����

�� ������ � = � ��� ��� � + � 1�� (� � #���� � � 1��� � � ����� �� �������%������ ��� !��� �� �����"� ��� � � ��� �

&�2� � - � I���� ���� � �� �� � ��� O��� >���0����� (�� (�� (�� (�� (�?

<,

Page 13: Dimensão de Hausdorff Invariância sob transformações de

+, �#�� ��� $( ���5�-��� � 6� �#���7�' =��� ��� �� � � ��� � � "� � � �� ������� � ���'�$�� ����1�� � (�� 9�� ���'�$�� ����� � ���'�$�� ����1�� ������� �� � ������� �� � � �� � ��� � � ���� � � � ��� � � ���'�$�� �������� # � � ��� ��������� � ��� � � ��2� ���'�$�� � ����1�� �� ���� � (�� # ������"� ������ ��� �� ��� � � ���� � � � ���'�$�� � ��������� � ���(�� � � ���'��$�� � �������D�� & � � ��� �� ������ �� ) � �!�� ������"� � �� ��� ������ �� ����� (�� = � � �� �� �� ��� � � �������� �� ���������"� ������� � ���'�$�� ����1�� � � ��� � ��2� � ��� �� ������� # �$��� B ������� ������ � ���� ���� � �� � �����"� ��� � � ��� �

&�2� � B � I���� ���� � � ���2�!� � #�� ����P� >���0����� (�� (�� (�� (�� (�?

+, �#�� ��� $2 #� ��� � 1�����' 8 �����% � �� � � ��� ������� � � �������� � (�� �� ������ � �(����� ������� � � � ����� � � ����� � ��� ��$������� ������ � ������� � ��������� � ������ � ���� ����� � ����� �$���� �� ������� ��� � � ������� � � � �!� � �� �� �� ��� ����� � �������� �� �������� �� �$��� E�� @��� � �� �� ��� ���"� � � ������� ��� ����� �� @������ � � � (� � � ��� �� ������ �� ) � �!�� ������"� � �� ��� ������ � # � ��� � 8��� � � � � ��� �������� �� ������"� ����������� �� ����� � �� �$��� E ������� � � � � ��� � (�� (�� (� (� ���� � �� �� ��� ������ �

&�2� � F � I���� ���� � ���� � � I���� >���0����� (�� (�� (�� (�?

&���!�����/ �� � �;�!����� �� ����� ��!�� � ��2��6��� � ���������!����� ��������6���� ����������� �� �� �;���� > ��� ��� �� ����� �� � !���� � � �� ������� ���� ������� �� � ������?/ �� ���������/ �� 62� � G/ ��� D�� �� � ��� O��� �!���5 ��E� 3�� ���!�� � ����!�� / �!���� �������/ �� 3�� !�� � �� �� ���� �� ��!����� �� �������� ��2������/ �� ��� ����� � ����� ����1 7���� D�� �� �!���5 ��E � ���������!�������� ��� � �� �� � ��� O��� ) ���������� �� ��� D���������!����� �����������E1

<-

Page 14: Dimensão de Hausdorff Invariância sob transformações de

&�2� � G � DI� �� � ��� O��� �!���5 ��E

2����� �� � ����! � ��� � ����� � ���0����� ��� � �� ����� ���� �� � �&�/�����1 #���/ ������ �� 3������� � ����� �� �!���� ��� � ������/ ��"!�2�� =� 3�������3�� �4� ��� ��!�����/ �� !��2� �� �)��!��/ ��� �� �� ��0����� 2���)� ���� �!"������17� �������/ �� �)���� � 2����� �� � �"!��!� �!"������ ��� ����3���� �� ����� ��� ������/ ���� ������" ��� �)������ �!�� �������1 � ������! �� ������ � 2����� �� � ����! ) � ����� / ��� ���� �" ��� �� ���1

: ����� � ��� �� �� >�����? �� ������� �/ � ��� ���� ����� �� ������� �/ ) 0"��6����������� ��� ��������1 '� ��� � !��/ �� " ����� �!� �/ 3�� �� ���0���� �I���� ��0� �� ����� � ������� �� �

�� �� � = �� �� � ��� O��� � ������� �� �

�� �1 7�

�������/ ���� ����� 3�� ���� H!���� �H�� � ) ����������� ��� � ����� � �� �� � ���O��� �� ������� ������� ������� ���� 3�� � >�� 3�� ��� ���� ������ ��6����? ����� 3�� � >�� 3�� ��� " �� �� �?1 � !��2� ���� � ���!��/ ����� �������� �� �� ��� ��� ��� ���� �2� 1 7� �������/

� ��2����� � 2������ "���� ��� ���� � ������/ ���� � �!2� 2 ����� �/ ����� ��������/������� ���� ) 3�� �!�� �Q����� � �� ����� � ����!� � ���������!�����1I���� ���� � �������� �� � ������ ��� � 3�� �� ����� �� ���0����� ��� �������

��������1 I�������� �� ���� 3�� �� ��2����� � ���� ��� �� ��� ���� �������������� �� 3��� � �5���� � �� � 5� �� ������ �� �� ����� � �

�� C� ��2�����

��� ������� � �� �

�� ��

� �� '� ��� ���/ �� 3�� �� ) �� ��� �� 3��� � �5���� � ��

� 5� �� ������ �� �� ����� � ��>�1�1 ��� ����� � ���� ������ � !��? � ���

������� � �� �

�� ��

� �� #�2���� � ����� ���������/ � �� �� � ��� O��� ) ���������� ��

3��� � �5���� � �� � 5� ��/ ������ �� �� ����� � ��� � ��� ������� � �� �

�� ��

� �� � �� �

: ���0���� � I���� ��� �� ��� ���� ������� ��� �5���� � �� � 5� ��/ ������ �� �� ����� � �

�� ����/ �����/ ������� � �� �

�� ��

� �� � �� �

� .� 2� �!/ ��� ��� ��� 3�� �����0���� ���������� �� � �5���� � �� � 5� ��/ ������ �� �� ����� �� ��� �������� ���

�� �1 : �H�� � ����� ����� �������� @��������F ����� �A � ���0����1

I�����/ � @��������F ����� �A �5 ��� ��2��6��� �� � ��� ��3���� �!���� ����0����� ��� �������� ���������!������1 ����/ �;����� ��� �� �6������ � �������3�� ��� ��!��"���� � �� ���� �H�� � � �����1 '� �;���!�/ � ������� � ���� �� � @��;��������2 ��������A/ ��0�� �6������ � � �� ����� �� �� �;������ ��� ���������2������/ ����� �6���� �� � 3��!3�� ���0����/ ����� ���� � ��� 3�� ������ 3��� ��;���!��/ �������� ��� � @����!� ��R ��������A1

<B

Page 15: Dimensão de Hausdorff Invariância sob transformações de

� * ���� ��� ��� � 8������9

��� �" ��� D�������� � ������E �� ���/ � �6����� � ���� �/ ������ ���� ����� ����� I� ����5� R/ ) � ���� ����� � � �����!����� � ���� ���� �����1 ������� ����� � ��� �� �����2��� � ���� �6��� �� � 3��!3�� ���0���� � � �� ���������������� �����������/ �� �� ����� �� ����� 3�� ��� �!���������� �"���� � ������!� 1 ���� �������2�� ) 3��/ �� ������ �����/ ) �����! � ��!��!� �� ������ �� �)������������������1 I�����/ �� � ��� ���� ������ � �����"���� �� � ������ ) ��������!����!�� ��� ��� ��� � ���� � ������� � ���� �1

��� * ���� � 8������9

I�������� �� ��� ���� � �������� � " � �'�!�#,��1

� ���� ��� )� " � �'�!�#,�� � � � � ��� + ��� � �� � ��"� � ��1��

������ � ���1��� � ���� � ��� �� � � � � ��� � ��'�� � 1+� "� ��

� �� +� ��� + �

��

� � � � � � " ���� ���� �

���� ���� 3�� � ��'�� � �� ���0����/ �/ ) �� ��� � ��� ���� �� � �� � � ��>�� �6����� ,1-?1#�0� + �� ������0���� � �� � � �� '� � 3��!3�� " � �� �6�����L

��� �+ � � �

��

��

� �� � � � ) ��� " � �'�!�#,�� � +

>G?

:� ��0�/ ������� ���� �� " � �'�!�#,�� � + � � ��� ���� �������� � ������ ���4����� >� � �� ? �� ����� ��1 S���� � " ������/ � �!���� � ���� �� ��� + ���������� �� >G? ) �����1 I����3����������/ � ��6��/ ��

� �+ � � ������� ��� �;������ � �� !����� 3���� " �� ����/ �6�����L

�� �+ � � �����

��� �+ � � ���

������ �+ � >M?

.��� !����� �;���� �� � 3��!3�� ������0���� + � ��� ���� � � ��� ��!� ����� �� >� ����!����� )? � �� �1�� �+ � �������� � ���� � 4���� �> � -�!%'%�� � + 1'�� ���� � ��� 3���� ) ��� ���� >�� �6����� ,1,*?1 .� �� ����!� / �� �� � �T

�� ( + ����� �� �(� � �� �+ �T ��

� �

��

+

��

��

��

�� �+ �/ �� � 3��!3�� ��!�����

����"��! � ���0����� �+ �/ �� �6������� � �2��!�� �� �� + �� �� ���0����� � J� �!��0����� >�� �6����� ,1M?1 � ����� � ���� � 2��� �!���� �� ��������� ����!�� �� � ���� ������/ " ��/

��!���/ ���1 :� ��!�� / �� ����� � ���� � 2��� �!���� �� ����� � �����2��>�� �;���!� ,1,G?1

<F

Page 16: Dimensão de Hausdorff Invariância sob transformações de

���� ���� 3��/ �� � ������0����� � ��� � ���� � ���� � % � -�!%'%�� )/� ����� � � ���� �� ��� ���������/ ������ � ���� � �����2�� %� -�!%'%��>�� ��0�/ � ��!��� %� -�!%'%��?1���� � ����������/ �� + ) �� ������0���� �� �!���� � �� >�� �6����� ,1M?/ ���

��� �� �+ � � �� �� �+ � � ��� �� � ������������

) � ���� �� � ��!��� � ��� ��!���-�!%'%�� � ����� � �1 >:� �� �+ � � ���&��� �+ �/ ��� &� ) � ��!��� ���!� ����" �� ��-�!%'%��?1>���� ���� 3��/ � ������ 2��� ) �� �� / � �#� �

���

!�����-�/ � �� �6��/ ��� � ���� ��/ �� ��2������ � �� �����L � �%� � �%� ��� �� � % � �� �� ���T � �. � �� � .� �.�/ �����

��/1?

��!�2������/ �� � ������0����� ��6����������� �2�!� �� ���/ � ������� ���� /����� 3���� �+ � ) � �H�� � � ������ �� + �� �+ � "���� � ���� ������ � ��� �� ������� + �� �+ � "���� � " �� >�� ��!����? � ��� ���� ����� �����/ �1�1 �� �+ � ���" ���+ � �� �+ � � �

���!�+ � � ���1 .� 2� �!/ �� �+ � � ����!� �+ � � �� + ) ��� ����

�� ���� ����� � �� ��� ������� �/ �1�1 ��� ���� ����� �����������! �� �������!"�����1

()� �%�� ��� 6� = � �(�� � ���� � 4���� �> �-�!%'%�� � ����������� ��$��� � ������� � � ����(�"� � ;��� ��������� ��

� �+ �� � ��� � ��

��� �+ � � �

��

��

� ��

� � ��

��� � � � �� " � �'�!�#,�� � +

��

� �� �/��

����� � ���� ��(�� � %� � � �� �� � �� �� ��� �

��

# ��������� �����$ � �����(�� ��� ����"� ����������� � ���� � � ���������� �

�� � ���� ���� � 4���� �> %�-�!%'%��� ���� ������� � ������ � ���� � 7��$�� = ��� ������� ��

�� �� � � ���� �� � ���$� ��� +�� :�:B�

�� �� � �� �� ��� +�� :�:A�

�� �� � � ��� ���� ������� � %�

:� )� ���� ������� �� ����"� � ���� � 4���� �> �-�!%'%�� �� ����� �� � � �(�� ������ � ����� � �������� �� ����"� � ��

� �+ � ����� ��� ������� � � � ��� � ��'�� � � �� "�

I����� ����/ �2� �/ �!2���� ���� ������ � �� ����� � ���� � ���� �� -�!%'%��1 � � �� ����� � ����!� >�� ��0�/ � ����� ������� ��� ���!������U ������?/ �

���� ������/ " �� � ��!��� ��� ��� ���������1 S���� �" ��� ���!�����U �����

<G

Page 17: Dimensão de Hausdorff Invariância sob transformações de

�� �� ����� 0� � ���� ������ � ��� �� �� ) ��!���!���� �� 0� � " �� � ��� �2����!��� ) ��!���!���� �� 0� � � ��!��� � �� ��0���� � �����������! ) ��!���!������ 0�� I��� ) � �������!/ ����� ��������/ � ���� � ���� � � -�!%'%�� �� "��!���!���� �� �� ����� 0�� .���� � �� ����� � ����!� ��� ����������� �� ��� ���� � ������1

���#���� ��� $���#�� ��� � �����' � + �� 0 � �� ���

�� �0+ � � 0��� �+ �

�� 0+ � �0� � � � +� � ��� � � ��� + ���������� � � � ���� � 0������� � � � � � �� "��'�!�#,�� � +� ��� �0 � � �� 0"��'�!�#,�� � 0+�

@���� ����� � �� � � � �� 0"� �'�!�#,�� � 0+� ��� ���� �

� �� "� �'�!�#,��� +� #����

���� �0+ � � �

��

��

�0 �� � � � � �� " � �'�!�#,�� � +

� �

0���

��

� �� � � � � �� " � �'�!�#,�� � +

� 0���� �+ � �

G�(�� " � �� � �� �0+ � � 0��� �+ � �

C���� �� � 2������ ����!�����/ ������� � ��2����� ���������� � ������ � � ������ ������ ���� 2� ��� >�� �6������ ,1<</ ,1<, � ,1<-?/ ��� � �� ����� � ���� � ����0�����1

���#���� ��� � � + �� � � + �� �� ���"� ��� ���

�� ���� � ���� � � ��� ��� ���� �������� �� � � + >+?

� � � � ������� � ������������ � ���� ���� �

� �� �� �+ �� � �

���� �+ � >N?

���%�� #� � � ) ��� " � �'�!�#,�� � +� �����/ ����� 3�� �� �+ � �� � � � �� ��� �+ � �� ) ��� � � �'�!�#,�� � � �+ � � ��� � � �"�� ����/

�� �+ � ���� �

���

� �� � ������� ���� �� �+ �� � �

����

� �+ � � #� " �� ����)� � �� ��������� >N?1

� ������� 3�� ���������� � ������� >+? � ������� � V!� � �;������ �/ �������������� � V!� / � ��� ������� ������� ���������1C� ���� �� ����!� ���� �����/ 0" ��� �� �� ��������� ,1,/ ) � ���� �� 3�� � � ��

�1�1

�� ���� � ���� � � ��� �� �� � 3����3�� �� � � +� ><*?

<M

Page 18: Dimensão de Hausdorff Invariância sob transformações de

7���� ��������/ � ���2����� � ����� ����� � ��������� � �� �6�����

�� �� �+ �� � ���� �+ � ><<?

7������ 3��/ ���� �����3�4���� � ��� ��� � ��!� �)�� >�� � �������� ,1<+ � ���� ������ ,1<+?/ 3��!3�� ������ ��� ����"��! ��� � ���� !������ ) ������� ������� ���� ����� ����� � ���������1 ��!�2������/ �� � � + �

� ) ��� � ����� ����� � ������������/ �1�1 �� � �!2������ �� � �/ ��� � � �� � �� ���

�� ��� �� � �� ���� � ���� � �� ��� �� � ��� � � +� ><,?

�����

����� �+ � � �� �� �+ �� � ����� �+ � ><-?

()� �%�� ��� =��� �� ��� � 6����$������ �6H� ����� ��(� � � � �� �� � ��"� B�B �������� � ��� � � �+ � +� � ���� �%�� ���� �� �� �� ���� �� � ��"� �

C� ���� �� ����!� �������! ) 3���� � ) ��� �����"� >�� �6����� ,1N? � ������ ������� �� ���� � ���� � � ��� �� �� � ���� �� � � +� 7���� ����

�� �� �+ �� � ���� �+ � �

.��� ) � � �� ���� � ����!� �� ����� � ���� �/ 3�� 2��� �!��� �� ���������� �� ����� � ����!� � ���� ������/ " ��/ ��!���/ ���17������ 3�� �� ���!������U ������ �� �� ����� 0 >������ ��� �� � �������� B1-?

��� �� ���� �� ����!� �� �����"��1 :�� �� ����� �� ����!� �� � ���� ����/ ��� �������� ��� >�� �6����� ,1+?1 #� � ) ��� ������ ��/ �1�1 �� ���� � ���� � ��� �� � ������� �� �+ �� � �� �+ �1.� �� ����!� / ���� � � � �������!/ � ���� � ���� � ) ���� ����� �� � ���!������

>�1�1 �� �+ � .� � �� �+ � � ��� + � . � ��� . � � � +�?/ � �� �������1'� � 6��!��� ���� ������/ ��� ������ ��;� � ��� � 3��/ ���� �/ �� � �� ������

� ��5�����/ ����0���� ������ ���� ������ ��� ����� � �������� � ������0����� ���/ ��� � ����� ���� ����� �� ������� �������� �� 3��!3�� ������ �)� ���1 ����/ ����� � ���� � ��-�!%'%�� 3�� �3�� �6�����/ ��� �� ����� ���� �� ������ ����!� � ��� ����� ���� ����� ���� 2� �!/ 3�� �� ��������� �� ���� ����� ��2�����1

()� �%�� ��� ;���� � 4���� �> � � �� ����� � ���� �� ����� � ������������ � �� � � � ��� � � ����� �� � � ���" ����� �� ��� �$���� � �����"� �

� � � �� ���� ����� � ���� � ��� � ���� � � �� � � �� �� ���"� � �� �$������ ������ � � 8 ����� �

0 ��� �� � �

��

��

� �� � � ��� ������ � � � �� � � �� � �� �� ��� � ��

��

<+

Page 19: Dimensão de Hausdorff Invariância sob transformações de

�� %�� � � �� � �� � ��� �� � ������� ������ � ���1��� � � � ��� �0 �� � �� � � � � ��� � � � � ��'�� �� ����� � � �� # ���� � 4���� �>�0� ������ ��� ����� � � ���"� �� � ����

0 ��� � �����

0 ��� �� �

� � � � � � ��"� � � ��� �� � ��� �� �� � ���"� ������ � � � ��� � ���� �� � �� ��� � ���� � 4���� �>� 0� � ���� ���� � �������� � ���� �4���� �> � -�!%'%�� �� �� �� � � �� �� �� �����"� B�:��

� ����� � �� �( �� �� � ������ ����� � ���� � 4���� �> �-�!%'%���� ����� �� � ��� � � �$ ��� ������� � �� .���� � 4���� �>/ ��$�����.���� � 4���� �> � -�!%'%��/�

��� ��� ��� � 8������9

���� ��� = �3����� >G? �� ����� �!� � 3��/ �� � 3��!3�� ���0���� + � 3��!3�� " � ����� �+ � ��� ) � ������� ��� 1 ����/ �� >M?/ �� �+ � ����)� ��� � ���� ��� 1 ����/

����� 3��/ �� # � � � � ) ��� " � �'�!�#,�� � + / ������

� �� � "����

� ��

����/ �� ���� ��� �� ��6��� >��� � �� " � �'�!�#,��?/ ������� ��� �+ � � "�����

� �+ � �&����� " � �� �6����� 3��/ �� �� �+ � ��/ ����� �� �+ � � � �� � # � 1 '� ��� �!��/ �3�� ��� � ����)� 3��/ �� �� �+ � � �/ ��� ������ �� �� �+ � � �/ !�2��� �+ � ��1 ����/ � �� ��������� 2 "6�� � �� �+ �/ ���� ������ � >�� 62� � M? ���� � 3��

�;���� �� ��!� � ����� � / �� 3��! �� �+ � D��!��E � � �� � ��.��� ��!� � ����� �������� ����� � 4���� �> � + / � ��� ������ ��� + 1

&�2� � M � ��� ��������� 2 "6�� � �� �+ � / ���� ������ � 1

<N

Page 20: Dimensão de Hausdorff Invariância sob transformações de

()� �%�� ��� # ����� � 4���� �> � ���� � ������ � � ����� � 4���� �>�0��� ������

&� ��!�����/

��� + � � � � � � �� �+ � � �� � ��� � � � � �� �+ � ���

�������

�� �+ � �

�� �� � ��� +� �� � ��� +

#� � ��� +� ����� �� �+ � ��� �� �� � �� ��6����/ �� �� �6�� � � �� �+ � ���>#������� 3��/ ���� �� ����/ ��� � �� ������ �;���!�� ����!�� ��1?C� ���0���� � J� �!/ �� � � 3��! �� �������� ���� H!���� �������/ �������� ��

���'%*,%#'� ���������������/ �� ���'%*,%#' ��� �� ���� ������������ �� � ����� /� ���� ���!����� ����� ��� �� ��� � �3�4����1 ������� � ���� � �������� �� ��2������ � �� ����� >3�� ���� �� ������ �

3��!3�� �6����� �����"��! � �������?L

� ; � � ���L #� +� +�� ����� ��� +� � ��� +�� : 3�� ��� �/ ������������/� � �� ���� � ���� 3�� 2� ���� �� �+�� � �� �+�� �� � ��� 1

� 8 � ��� � #��� �L #� + ) �� ������0���� ��� �� >��� �����? ���/ ����� ��� + �%� ��� ��� 3�� + ����)� ��� ��!� ��� ��!��� ��-�!%'%�� ��������1

� I������� �������1���L #� + ) ��� ����� ���� ��-�!%'%�� �������������� ��� ����"��! >�� ��0�/ ��� ���� ����� ��-�!%'%�� �����? �� �

�� �������� + � ��

.� �� ����!� / �� �� ��� ������ �4� ������� � � �� ���� ������ ������ �4� ��������1 .��� � �� ���� ��� ���� ���/ ��������!�����/ � �� �� � �!���� ��� � ������� � ���� � � � �����2��1

� ����������� �����L #� �+�� ���� +�� ) ��� ��!����� 6���� � ���0�����/ ����� ���

��

+ �

����� ��

���� + � �

� 8 � ��� � ���� �L #� + ) 6����/ ����� ��� + � �� >I����3�4���� � ���� �� �� ���� ���� �� 1?

� ����������� ���1�� L #� +�� +������ ) ��� ��3�4���� >���� "��!? � ���0�����/

����� ���

��

+ � ����� ��

���� + �1 '� � ���� � ��� ���� � �� ���� �������

� ����� ��

���� + � � '� �� !��/ ��!� � �� ���� � ��������� ���

��

+ �

��� +� �� � ��� *� !�2� ���

��

+ � 1 '� ��� � !��/ �� � � ��� + �� �

,*

Page 21: Dimensão de Hausdorff Invariância sob transformações de

3��!3�� � ����� �� �+ � � �� � �����3���������� ��

� �

��

+

�� �� ��������� �

���2��!� ���� " ��1

� 8 � ��� � ���1���L #� + ) ���� "��!/ ����� ��� + � �� '���/ �� + �� �� H���� �����/ �� �+ � � � � ��� + � �� �����/ ��!� ������!��� ���� "��!/

��� + � ���

��

+ � ��

S����� =� � �� ����� 3�� �Q����� � ����� ������� � ������� � ���� �/ ��� ���0����/ ��� �� ��� � ����� ������/ ����� ��� �� �� � �� ����� �� ����������� ���� � ���� �1

���#���� �� � � + �� ��� ��� � �� � � + �� �������( �� � ���"� �

45��� ��� �J��� ���� ��� � �+ � � ���� ��

���%�� #� � ��� +� �����/ ��!� � �������� B1B/ � �� �� �+ �� � �

���� �+ � � �� �

3�� ���!��� 3�� ��� � �+ � � ���� � 3��!3�� � ��� + 1

1����:��� ��!

��� � � � + �� � �� ������ ��"� � 7�������( ��� �6K��� ���

��� � �+ � � ��� +�

��� � � � + �� � �� ������ ��"� � ���7�������( ��� �6:��� ���

��� � �+ � � ��� +�

���%�� �� �� ��� ��� � � � �������� B1+/ ������ � � �1 #�2���� � ��������� � ���� ����� B1F/ �1�1 ��!����� � �� �� ��� � ��� � � �+ � + / ������� � ��� ����2��!�� ������" �� �� � � ��� ���1

()� �%�� ���"

6� �� �����"� A�: ��1 �������� � +�� � ���� �� �� ����� �� �������� ����� � � �� ��� � � � ��� � ���7�������( ��������� ��� ����"� :�6B� �2� �� ����� � 4���� �>� �� �� � �� � ������ � � �1�� ��� � �� � ������� � �� � � �����%�� �� ��"� ������ � �� �������� � � �����%��� � ���������"� � ���� ��� � ��"� A�:� �� ��1 �������� ���� ��"� �=� ����� �� � �� +�� +�������� ���� �%�� ���� �� �� �� �����

:� & ������� �� ��%�� ��� ������ �1��� � + �� � � � � � ��� ���� �� ����� � � � �

�� � �������1�� � ������� �������� �? �� � ����2����� � �� � ��� � ��� ��� �� � ��"� :�6J �����"� :�6J���

,<

Page 22: Dimensão de Hausdorff Invariância sob transformações de

H� 8 ��� ���������� �� ����� ��� � � ��� � � � �� �����"� ��� ����",�:�L�� ��� ��� � �+ � � ��� + �

B� #�� ��� �� ������� �� ����� � 4���� �> ���� ����������� +��� ������� �� ����� �� ������ � ����",� ��� ��� ����� ����",� ������ � ����� �� ������� ��� ���������� ����� �� ��"� �$����� ���( ������� �� ����,� M� +�� �����$N�

: �� �!" �� B1N ���!� ��� � �� ���� ���������! � ������� � ���� �L

# ����� � 4���� �> � ��������� � � ������ ��",� � ���7�������(1

����/ �� ��� ���0����� �4� �������� � ���� � ��� �����/ ��� ��� �;���� ���� ����� ����� � ������������ 3�� � ����� �� �� �� ��� �1'�� ���� ��� ��� ���!�2�� ��� � �������� 3�� ��� � �� ����!�2��/ ��� �" ��� D���� ��

�����E >���� �� 2 ���� � ����!�2�� �� � ���������? �� ����� �����2�� ��� ���0�������� ������� ��� >�� ��������� ,1,?1 #� �� ���� ������ ����!52���� � ��� ���0����� ������ �����/ ����� ��� ��� �;���� �� ������� 6��� ��� � �!��17� ����!�2��/ ��� ���0����� ��� ������ ���� D� �����E �� �;���� �� ������� 6���

��� � �!��1 C�� �������! �� �� � ��� � � 2����� �� � ����! ) D�����6�� E ��� ���0������ >���� )/ ������ "�!�� ���� D� �����E?/ �� �;���� ��� � ����� ����� � ��������������� � �!��1 �� ����� �� �� 3�� �� ���� ������ ����!52���� ��� ����� �� � �����2�� ���0����� ��� ������� ���/ ������ � ��� � �� ���� �� 3�� �� ����� �����2�� ����0����� ��� ������������ �3����!����� >�� �6����� ,1<B?1 ������� � ���� � ) ������� �� ���� ��/ ���� � ��� ��0� �� D���� ����� ����!���E/ ����/ �;����� �� � �!2�����!����� ������6��� � ���0�����/ ���� �;���� ���0����� 3�� ��� ��� ������������ �3�����!����� ��� �4� � ����� �������1 :�� �� ���� ������/ ���� �� 2� � ��� �� �6������� ������� >���� �� ���� �� ������ ��2�����/ �� �������� @��;��������2A ����)��� �6��� ���� � �� ����? � � ����!�2��/ ���� �� ����� 3�� ��� � ����� ����� ������������� ) ������� ������� ��������1C�� ��� 3�� ������� � �!������ � ������� � ���� � � � ����!�2��/ ����)�

���� 3��/ �� �� �5/ � ������� � �� ���0����/ ��� ��� � ������� ����� ���� �������� � �� ���� � �� ����� ����!52����1 7� �������/ � � �������� ��2����� ������ 3��3��!3�� ���0���� ��� ������� � ���� � ���� 3�� � ) ������� ������� D���� ��E�� ����� � �� ����!����� ������;�/ ���� )/ ������ �� � ������ �� ����� = ��������������� ����;� >�� �6����� ,1G?1

���#���� ���� ) � � ��� + �� � ��� + � � � � ����� ��� �+ �

���%�� #�0�� �� � � +� ��� � �� �1 I����� ���� � ��!������ � � �� �����/�6��� �� � �.� � �. � ��1 I��� � ��� ������� �� ���������/ �1�1 �� �.�� � �1�� ��. � 1� � � �!���� ��� � �� �!" �� B1N 2� �������� 3�� ��� � �+ � � ��� + � �� �����/ � �+ � ) �� ������0���� � � ��� ���� ��� �� ���� ������/ �� �/ !�2� ��� ������!������ ����1 .���!���� �� ��! 3�� � $� � �+ � � � � � � � ��� ��� � 3��

+ � �. � + � �. � �� � �� � �. � + � �. � �� � �� �

,,

Page 23: Dimensão de Hausdorff Invariância sob transformações de

$������ �����/ 3�� + ���" ������ �� ��� ���0����� ��� ��� ��0�����/ ��� � ��� �!��� � �� ��� �1 &��� ����� � ���� � � � ����� �� ��� ����� ����������� ����;�� � +�

()� �%�� ���� 8 �� � ��� ������� � +�� B�6B� � � ��� � 8��� �� ����� � 4���� �> �� �

�� �� ����� � �� � $ � ��� �� � ��"� ����� �� �� � � ���

� � ����� ��� �+ �

��� +, �#��� ���#� � �� �:����� �� ��� ��� � 8������9

7���� ��������� �� " ��!��!�� � ������� � ���� � � �!2��� � ������ ����!��/ ��3���� 0" �� �� �� �������� �� ������ -1 � !��2� � � ���!�� �� �� �� �������� ��� ���)���� �� � � �"!��!� � ������� � ���� �1

+, �#�� ���� � � + � � ��� � 8��� �� � ��������� � ������ � +�� H�B� ������� � ������� ����1�� ��� �$��� E�� ���� � � �� �+ � � �� � $ ��� + � ��

81���� L $����� � ���� �� � 5���� � +� �� �� 3�� ��� � !�� ��� >�� ��0�/ ������ � " � ���

��? �� (� >����� �� � ����� ����� �� ������� �� ������ -?/ �������

� ���������� ��� �+ � � �����

�� �� � � ��6�� �� >G?1 S���� ) �� " �� ���������

�� �+ � ���1

'� � � D���������� ���� �� E/ �������� �� ��'*� � � �0����� � ��2���! ��� � � ��;��� ��1 � �0����� � ��2���! ��� ������� �� ���������/ �1�1 ���'* �� ��'* �� � ��� ���� �� � � ��/ !�2� ��'* ) ��� � ����� ����� � ���������1 '�!� ����� ����� � + / �� �0����� � + �� ��;� �� ��/ ��'* + / ) � ���� ��!� ����" �� ��� ��1 C���� ><<?/

� � �'����!%#' ���� ��� � �� ���� ��� � �� ���'* + � � �� �+ � � �

7������ 3��/ � ����� � 2������ � ���!��� ����4���� �"!���/ �� � �� ���0��������� �� ������ ����������� � 3�� ���/ ���� 3�� ��� ��� ���� ������ � !���� �� �

�� ���� ������ � !�� � 3�� �� ������!/ ���� ���� �� 3�� �� ��

��� ��!���1.��� � ������/ � ��� � � �0����� � ��2���! �� � ���� ��� D���������� ���� �� E �� �

� ���� � ���� �/ �5 �������� �� �� ����������� ���������/ ��� �� ���� � ���� �� ��� �)��� 2� �!1 C���!����� ) ������" �� ��� � � �)���� ���� ����!�;��1

+, �#�� ���� � � + � � ��� � 8��� �� �������� � +�� H�6 ��� �$��� :��� � �� �

�� �� ��� ��� + � �

�� �� �+ � � ��

81���� 4��%���� L : ���0���� � I���� ��� ������ � ��� ����� �� ��� �� ���L�� �� ��3�� �/ +� � + �

��� �

�� � �� �� � ����/ +� � + �

���� ��� ���� ����� �� ���

��� ����!������ � + ��� ������ �� �� ����� � ��� � + � +� �+�� ���� ���� �����

��0����1 ����/ ��!�� � �� ����� � ��� ���� >�� �6����� ,1,*? � ��!� � ��������B1-/ �� � 3��!3�� /

�� �+ � � �� �+�� ��� �+�� �

��

���� �+ � �

��

���� �+ � �

,-

Page 24: Dimensão de Hausdorff Invariância sob transformações de

������� 3��/ �� ��!� � ����� � ��� +� ����� � � �� �+ � � �/ ������ ���� �� �� �+ � � ���������L � � �

���

�� �� ��0�/ � �� � � � �� �

�� ��

81���� @�$ � � L ������� �� ���2������ �����/ �� ����� ����� � ���0���� �I���� / �� ������� �� ������ -1 ���� �� � � � � + �� ��� ��!�� �� ���� ��!��>�"�����? � (�� � ���� ������ ��� "���� 3�� ��

��� �+ � � �

� �� � ������ � �� ��

� �� � �� �

� &����� ) �� ������� �� �+ � � �1'� � � ��� 3�� �� �+ � � �

����� ���� 3��

� �� ��

�� ��� ><B?

�� � 3��!3�� ���� �� � � � � + 1 9 ��6������ ������ 3�� �� ��� ���� ��!�� �/�;��������� �� ����� � ����� � ����� � + �� �������� >�� ��������� ,1<?/ ��������� �� �6�� ><B? �� � � ���� �� 3�� � � ) ��� ��!����� 6���� � ������� ��!�� �������� ��� �� � '� � ��� � ��0� )� � ����� �/ ��! 3��

������� � � � � ���� ><F?

.���� ���� �����/ �� �";���/ �� ���� ��!� �"���� � (�� ����� 3��/ � ���� ���� ��� ������ ���� ��!�� �"����� ) � ���� #� * � )� ����� ���� �����/ �� �";���/ ���� ������� � ���� � �� ���� ��!�� �"����� � (� � ����� ><F?1 #� ����!�� ��� * ��6�����������2 ���/ ��! 3�� ������� � � � �� � ���� �� � �����/ ����� 3�� � � ���� ����� ���� �� ������ ��!�� �"����� � ���� ������ ���/ � �����2�� � ���� ��!��/ "���� �� ��

���� � �� �3�� �� ��� � ><B?1 �

� ��L .��� �"!��!� ��� �� ������ �� � ���� � 3�� �� �+ � � ��(" ������ � �� �� ��� ������� 3�� � �"!��!�/ � ����� � �������� � ���� �/

��� �� �������� �� ���/ ����� �� � ���0����� ����!��1 C���!�����/ � ���� �6��!��� ���� �� �������� � ���������� ���� �� 1: �)��� ��� ������ � �"!��!� ���� �� �;���!� B1<B ) ��3��� �� � � �"!��!� �

������� � ���� � � ������ ���0����� ���������!������1 '� �;���!�/ � �� �� ���� O��� ) ���������� �� 3��� � �5���� � �� � 5� ��/ ������ �� �� ����� � �

�/

����/ �����/ ������� � ���� � �� � �� �1

���� 2� �!�����/ �� + ��

��

+ � ��� ��� + ) 2����� �������� ����!����� � +�

��� ����� �� �� ����� � � �����/ ��� 3�� �� + ��� �� ��� ������� D�������E/

� � 2������ ��� ������ ������ 3�� ��� + ) � �H�� �/ � 3�� ����������

��

�� � �1 .�

�� ����!� / �� ���0���� ���������� �� � �5���� � �� � 5� ��/ ������ �� �� ����� �� ��� ������� � ���

�� �/ ���� ��� ��� �� �� ������ -/ ��� ���2����� �� @��������F

����� �A/ � �H�� � ����� �����1

,B

Page 25: Dimensão de Hausdorff Invariância sob transformações de

� ��� ��� � ;)�,<�������-=

.��� � � ���� ���� �! ���� � ���!�� ��0� � ������� � ���� �/ ) ��������"��!���!�� ��� ������ ����� � ��� �6����� �!�� ������ � �������L � ������� @��;��������2A1C�� ��� 3��/ �;����� �!2���� � �� �����/ 3�� �!������� ����� ��� ��������/ �

�� ��� � ���� =� � ���� � �!2��� ���!����/ �� ����� ��������"��! �� ������ �3�� ��6����� � �!2���� � �� ����� � ������� @��;��������2A1 .� 2� �!/ �� �� ��������� � ���� �� ������ �3�� �;������ ����/ �� � �� ������ � ��5�����/ ��� ��� �� ����!� �����H����1'�������/ �����/ = �6����� � ������� @��;��������2A/ ��� ����� �� O�!��2� ��1

� ���� ��� � � + � ���� � ��� � ������ �� ��(� � � ��� ��� � 2� �+ � � � � �!� � � � ��� �� � ��'�� �� �� �� �������� ���� � ���� + � #�����,� M� +�� �����$N ����� � ����� � � + � �� ����� � �

���+ � �� ����

�� 2� �+ �

� �� �><G?

���+ � �� ������

�� 2� �+ �

� �� �� ><M?

����������� � ��� ����� � � �$����� ��� � � � ������ ����� M� +�� �����$N � M� + ����� �N � +

��� + � �����

�� 2� �+ �

� �� �� ><+?

.;����� ��� �� �� ��� �3����!����� ���� �6�����1 : ��!� �� !������ ><G?�><+? ����� �!�� � �� ���� ���/ �� � 2� �+ �/ 3��!3�� �� �� ��2������ �H�� ��L

�� � ���� �H�� � � ���0�����/ � ����� � �/ 3�� ��� ��6������� �� � ��� � + /

�� � ���� �H�� � � ��!�� �������/ � ��� �/ 3�� ��� ��6������� �� � ��� � + /

�� � ���� �H�� � � �����/ � !�� �/ 3�� ��� ��6������� �� � ��� � + /

�&� � ���� �H�� � � ��!�� ��0�����/ � ��� �/ ��� ���� �� �� + /

�&� � �H�� � � ����� !���!3" 3�� ���� ������ + 1 >#��� ���� ����!�� �� � 2� �+ �/� 3�� � �2���� � ���� @��;��������2A?1

>C� ���� !� ��!3" ) �� ���� � �� �� ����� ��� � �� ��� ���� ����� ��� � �� ��/��� ��� ������ ��� ����� ��?1 �3����!4���� ����� ��� ����� �� ��� � �6�����/ ��� � � ����� ����/ ��� � ��

��!� �� � 2� �+ � � �� ��� ����1 � �������� M� +�� �����$N ����� � ����� �/ �4�/ �� ����� ��� � ������� �

���� � >�� ��������� B1,?/ �� ��2������ � �� ����� >��� �� �� ������ ���+ �����+ ?L

,F

Page 26: Dimensão de Hausdorff Invariância sob transformações de

� ; � � ���L #� +� +�� ����� ��+� � ��+�1

� 8 � ��� � ���� �L #� + ) 6����/ ����� ��� + � �1

� 8 � ��� � #��� �L #� + ) �� ������0���� ��� �� >��� �����? � ��/ ����� ��+ �%1

� I������� �������1���L #� + ) ��� ����� ������-�!%'%�� ���������������� ����"��! �� �

�� ����� ��+ � �1

� *����� ��",� � 7�������( L #� � � + �� ) ��� ������ � ��������� >��

�6����� ,1<,?/ ����� �� � �+ � � ��+ 1 7������ 3�� ���� ���!��� ����)������ ��� � �� + �� ��� � �� ���0���� ��� ��/ �� 3��!/ � � � �

�/ ) ��� �����"��! ��� � ���� !������ >����� � ��� ��� � ��!� �)�� >�� � �������� ,1<+� ���� ����� ,1<+??1 :��� ����� ����)�/ 3�� ��� ����� �6������ � ����������� � ���� ���� ���� ����� �!���������� ��� ���0����� ��������� �3����!�����>�� �6����� ,1<B?1

� *����� ��",� � ���7�������( L #� � � + �� ) ��� ������ � ������������>��

�6����� ,1<-?/ ����� �� � �+ � � ��+ 1 C� ���� �� ����!� ���� � �� ���� )� ������'���� $ ������/ �1�1 �� � �� ��� ����!����� �� ��� � ����� ����� �6�>�� �6������ ,1N � ,1<*?/ ����� �� � �+ � � ��+ 1

������� M� +�� �����$N ����� � �� �6�� ����/ � ��2����� � �� ����L

� ����������� �����L #� �+�� ���� +�� ) ��� ��!����� 6���� � ���0�����/ ����� ���

��

+ �

����� ��

����+

��

C�� �� � �������� �����2��� � ������� � ���� � �� ����� ���� ��� �� ��������� M� +�� �����$N/ ) � ����� � �� �6�� � ���������� ���1��/ 3��/ �� �� ����!� /2� ���� 3�� �� ���0����� ���� "���� ��� ������� � ���� � �� �1$���� ���� 3��/ ���+ � ���

�+ � ���+ � ����+ / ��� �+ ) � ����� � + 1

#��� ���� ��� �������2�� �� �������� M� +�� �����$N/ ����� 3��/ � �3����������/��������� � ������ 3�� ��� ����� ���� �2��� ��� �� � ��/ ����/ �����/ �������M� +�� �����$N ��!�1&���!�����/ ) ���� ����� ���� ���� � �!���� ��� � �� �������� M� +�� �����$N

� � ������� � ���� �1 ����/ �������� � �� ������ �� ���2��!��� �"����� 3�� �!������� �� �������� M� +�� �����$N � � ������� � ���� �1I����� ���� �� ���0���� !������ � ��� �����/ + 1 #� + / ��� �� ���� �� �� 2� �+ �

���0����� � ����� � �/ �����/ ��!� �6����� >G?/

��� �+ � � 2� �+ � ��1

,G

Page 27: Dimensão de Hausdorff Invariância sob transformações de

#� � � �� �+ � � �����

��� �+ �/ ����� �� 2� �+ � � �� � � �/ �� � � ��6�����������

��3����1 ����/ � �� ����

������ �� �� � / !�2�

��� + � ���+ � ���+ ><N?

�� � 3��!3�� ���0����/ ��� ����� � !������/ + ��1.��� � �� �������� � ���� � � M� +�� �����$N ��������/ �� �" ��� ���0�����

D��6����������� �2�!� ��E/ �� 2� �!/ � � ���� � ���2��!��/ �� ><N? ) ��� ���17� � "����/ � ���� �� �� �� �6������ � �������/ ����� ��!� �� ��� � � �������

� ���� � � � ������� M� +�� �����$N ����� �1 ����/ �� �� ���� � 3�� / ��� + ����+ / �����/ �� �6������ ���� ������ � ������� ���� �� ���� ��!� �����/ �����0���� + 1 $������ 3�� ���� �2��!�� ) �� �6��� �� ������ � ������ ��� ���������/���� �� �;���!� � �� �� � ��� O���18 ���� ���/ � �6����� ><+? "���� 3�� � ���� �H�� � � ���0�����/ � ����� � �/

��6������� �� � ��� � + / 2� �+ � � ) �� �;��������� � � �� � ���/ �1�1 2� �+ � � ���/��� � ��� + 1 ���� � ����������/ ������ 3��

2� �+ � �� � �� � ��� +

2� �+ � �� � �� � ��� + 1

�������/ �����/

��� + � �� � � � ��

���2� �+ � �� � �

���

2� �+ � �� � �

�� � � � ) ��� � � �'�!�#,�� >6����? � +

/

3�� �� ��� ����� � ���

��� �+ � � �

��

��

� �� � � � ) ��� � � �'�!�#,�� � +

/

3�� ��� � ��� �6������ � ���� � ������� � ���� �1 :��� �����/ �����/ 3��/�� ��!��!� � ������� � ���� �/ �� ������� ��� ����� ����� � �� � ��� ���0���� ����� �� �/ � �/ ��3����� 3��/ ��� �������� M� +�� �����$N/ ������ � ����� ����/ ��/�� � 3��!3�� ���0���� � ���� �� �1 � �������� M� +�� �����$N ���� �� ��� ���� ��� �� �� � 3�����6�� � �6��4����

��� 3�� ������ ��� � �� ���0���� �� ��3����� ���0�����/ � ����� �������1 '� ��� � !��/ � ������� � ���� �/ ����!�� ���� �� �� �� ���0����� ��3����� ���/��� ��������/ �������!�����/ �������� �� �"����1'�!� ����� � �� �� ��� ������ �� ���� �� ��/ �� ���� �� ���0����� ��� �

����� �������/ �� �������� M� +�� �����$N ������ �� �� ���� ����!�� � ��!��!� � 3�� � ������� � ���� �1 I����� ���� � ��2����� �;���!�1

,M

Page 28: Dimensão de Hausdorff Invariância sob transformações de

+, �#�� ��� � � + � � ��� � 8��� � ��� +�� H�6�� ���� ���+ � ���+ � �� � �� �

���%�� ���� �� � 5���� � + / ��!�� �� ���� ��!�� � (�/ � ���� ������ ���/"���� 3�� 2� �+ � � �� �� ��� � � � �����1 '� ><M?

���+ � �� ������

�� 2� �+ �

� �� �� �� ���

���

�� ��

�� �����

�� �

�� �1

'� � ���� � ��� � ���2��!��/ ����� ���� �� 3��/ 3��!3�� ���� ��!� � ���� ������ �/��� ����� � � � ���/ ���� �����/ �� �";���/ �� �� ���� ��!�� �"�����/ � ���� ���������/ ����� �� ����� ���� � + 1 .;����� �� ���� ��!�� �"����� ������ ��������/ !�2�/��� ������" ���/ ��!� �����/ �� ���� ��!�� � ���� ������ �/ �� � ��� � + 1 ����/2� �+ � � ��/ ��������� 3��/ ���+ � �� �

�� �1

()� �%�� ��� #���� �� ����� � ������� ��� � ��� � � � ��� � 8��� ����� + � ��� + � �I� +�� B�6B��

� �&������ #��� � �:����� � ��� ��� �

'� � � ���� �� �� ���0�����/ ��� ��������� � �"!��!� � �������/ �� �� ����!� � �������� � ���� �/ �� �� �;�!������ �� !��������� � "����� � ��� � ���� �� �6������1: �"!��!� �2� ��� � ��������/ 2� �!�����/ ���!��� �" ��� �"2���� � ������!����� �����!����� � ����� ����������17���� ������ ��� �������� �!2���� �� �)������ �"����� ����� �� � � �"!��!� �

��������1 ���� � ����������/ �� � ���� � ���������/ ��� ������� �� �)���� � ���� ������� � ����� � ���!������ �!2��� �;���!�� � ��!������ ����� �)������1 7� H!������������� ) �� ������� �� �;���!� �!�������� � ���� ������ � ������� � ���� ���� � ����� ������ � ������������1

��� *&����� � ������)��� � �����

'� � � ���� �� �� � ������/ ) ����!�� ���� ����������� ���� �� �� �� � � �������/ ��������� �� �� ���� ���/ �� ���0����� ��3�����1

���#���� ��� � + ���� �� � ������ � %� � � ��� �� � ��'�� ����� � ��$��� � "�� � "� � ����� ) �� ����

��� + � ���+ � �� ����

�� %�� �� "�

� � "��� � �"� ���� ��$� � � � � ��

���+ � �� ������

�� %�� �� "�

;���� � %�"�� � ��� ������� ����� ) ����� �� �+ � ���

,+

Page 29: Dimensão de Hausdorff Invariância sob transformações de

���%�� � ���2��!��� �� � �� �������� M� +�� �����$N ��� ��/ ������������/�� �6������1'� � � H!���� �� ��/ ��

���+ � � %�"

��� !�2�/ ��

���+ � ���� �� � �� !����� 6����/

�� �+ � � 3���� ) �1 ����/ ���� 0" ����� >�;���!� B1<B?/ �� ���� � ���0���� � I���� / +� �� ���� �� ��

���� ���/ �� �� ���� ��!�� � ���� ������ ��� ������ ��� + � �� � �� �

������� �����/ � D���������� ���� �� E/ ����� �����/ �� � � ������� � ���� � �

�� ���0����/ ����� �� �� � �� ��� � ��!� 1 I�����/ ��� ��� �� �"��! ������ "�!�17� ��!�����/ ) ���� �����! ������ � ��� D���������� ���� �� E1 .�3����� 3�� �� �

��� ���������� ���� �� / ����� ���!�� ����� � �� ��/� � �� � �� � ���� �� �� �������

6���/ � � � � + / �� � ���� ��� ���������� ���� �� / ����� 3�� ���� � 3��/� � �� � )

���� 3�� �!2��� ��������� ��������/ �� � 3��!3�� "��'�!�#,�� � +� .;������/ �������������/ ������� ���� �� �� ������ ��������1 .� �� ����!� / 3���� � ���!����� ���� ������� � ���� �/ �� ���� " �� � 3�� �� ����� 3���� ������ �� �������� M� +�� �����$N/ ����� 3�� �� �� ����� �� ���� �� �� �� 3�� �!2��� ��� ����� ��3�����/� ��� �� �4� �� ����� � �!���������� 2 ���/ � 3�� ��� ���������!��� � �������� ������������ ���� �� �� �� �

� � �� � �� �� � ������ ����!����� �� 3�� ������ �� � ������� � �� ����������� ���� �� ��1C� �)��� �� � ����� �� ����� �6��!���/ ) ���� � 3�� ������ ���0���� ����

����!/ / ��� ��� � ��� �� �� ������� 2 ��� � + / �� ����� ���� ��� � ����������/ ���� ���� � ��1 .����/ �� � � ��� � ��� � ���0���� +� � ����/

� � �� ���� ��� �� ����� ��3����1: �)��� ����! �� � ���� ����/ ) ������ � / �� + / ��� ��� ������� � ����� ���

3���/ �/ � ����� � � �����/ � � �/ ���� �� �� � ��� � �� � �� � ��� 1 >���� ����3��/ ��� ��� ������� � ����� �� + / ) ��� ����/ ��0� ���� �� ���" ������ �� + /��! 3�� � � � �+ � ��/ �� �6������ ,1,, � ,1,-1?

���#���� ��� $�����>#�� � ������)��� � �����' � � + �� � �� ����

������"� � ���� +� �� ���� ��$� � �� +��� �!� � � � � " � � ������

� � � � � � �� >,*?

���� ������� � � ��� � � � � � "� ��� �� �+ � � ��� ��

� ��� + � ���+ � ���+�

���%�� #�0� � � ��� 3��!3�� ���� �� � � + / �����

� � � �+ � � �

��

��

� � � � ��

� �� 1

$����� � ��6��/ ������� ��� �+ � � ��� �

�/ �� � " ��6����������� ��3����1 I�����

3���������� �� �+ � � ��� ��

,N

Page 30: Dimensão de Hausdorff Invariância sob transformações de

7������ 3�� � ����!����/ �� �+ � � ��� ��/ ����)���� �� ��� � �� � �� ��� ���

� ������� � ����� �� ��� � + �� 3��!3�� ������0����1 :��� �����/ ����)�/ 3�� ����

� �������/ �!)� � ��� � ��� ���������� ���� �� �� � � ������� � ���� � � �����0����/ ���������/ ���� �� � ��� 3�� ���� ���������� ������� ��� � ��!� ��!/ 3�� ��������� ���0���� ��� ���� �� ��� ��!�1: � ������� � ��� ������� � ����� >� �������� G1,? "���� �� � ������ �� � ����

��� ���������� ���� �� �� � � ������� � ���� � � ���0���� � I���� / + >�� �;���!� -1<?/ � �� �� ��� ���� � 3�� ��� �� ������� �� �;���!� B1<B1#�0� �/ � ��� ������� � ����� ���� �! �� + / ��! 3��/ � ��� �� �� �� ���� ��!��

�"�����/ � ���� ������ ���/ �� (� >������� �� �������� ����� �� �;���!� -1<?/ )�� ����� � �����/ ���1 >'����� �����!��� ���� ��� ������� � �����/ ������� 3��/��������� �� �� ���� � (� � ����� � � �������/ ��������������/ � ����� � ������� ��!� � (�/ �3�������������/ ��!�� ���� ��� ������� ��!�� �� (��� >�� � ��������,1,N?1?#�0� �� ���0����/ ��� � � � � � ��0� )/ � ����� � ��! 3��/ ������� � � � � ���1

$���� 3��/ ���� �����/ �� �";���/ �� �� ���� ��!�� � (�1 .����/

� � � � ��� ����� ��� ���� � � �� � ��

��� �

��� � /

�/ �����/ ��!� � ������� � ��� ������� � �����/ � ��� ���� � �+ � � � � ��� + � �� �

�� �1

+, �#�� ��� � � +� � + � ��� �� ��� �� ��� � � � ��� � 8��� �� +� ��

������� ����1�� � ���� � ��� +� � ��� +� � � � �� � �� �

� � � � � �� �+�� ���

���%�� #�0� � � � �� � �� �

� '� � ��� )� ����� ��� ���� �� � >���� �!? � +� �� ��

���� ��!�� � ���� ������ ���� C�� ��!��� � �� 3�� ��� � !�� ��� >��� ����� ������? ��� �/ � �� �� � +�/ 3�� ���" ��� � ��� �� ����� ���� ��!��1 ����/ +�/ ���

�� ���� �� �� ���� 3�� ��� � !�� ���1 .���� �����

���+�� � ����

������ �

� ��� /

!�2� �� �+�� � ��� � ��� +� � ���+� � ���+� � �

��6�����/ �2� �/ ��� ��� ������� � �����/ �/ �� +�� ������ � ��� ������� ������/ ���� �����/ �� � � ���0���� � I���� >� ��� ���� ��!� �"���� � (�/ �� �������� ����� ���?/ � ��� ��������/ ����� �������/ �� !��2� �� �����2�!�� ��� � + 1 ����/�� ) �� �����2�!�/ ��� !��� �� �!�!�� ��� ��;�� ��� �����/ � �!�� � 3/ 3�� ���"��� � �� �� ���� ��!�� �"����� � +� � !�� ���/ �����/ � � � � 3���1S��!3�� ���0����/ / ���" ������ ��� 3�� �� � !�� � � � ��� !��� �� �!�!��

��� ��;�� ��� �����/ !�2�/ ����� �� �6�� �� �� �������� � � ������� � ��� ������� ������/ ��� ����������� �� 3�� ��� ���� �� ��1#� ������� � � � � ���/ ����� ��� �/ �� �";���/ �� ���� ��!� �"���� � + � !��

���/ !�2�

� � � � � � ��� � � � ��� ��� ���� � � � � �� � ����� �

��� � � ���� �

��� � � �� 1

'�!� � �������� G1, >� ������� � ��� ������� � ����� ?/ �� �+�� � �1

-*

Page 31: Dimensão de Hausdorff Invariância sob transformações de

7������ 3��/ ����� �;���!�/ � ������� � � ���� � ��� ���0�����/ ������� ��� ����� �� �������� �� ���0�����1I����� ����/ �2� �/ ��� �� �� 2� �! �� � ����� ���� � ������0����� � �/ 3��

2��� �!��� � ����� ���� � ���0���� � I���� 1#�0� ��� �� � (� � (� � (� � ���/ ��� ��3�4���� �� ������� � ���0�����/ ����/

��� (�� ��� ����� 6���� � ���� ��!�� ������� ��0����� >������� ������� � �1��� �?/�������/ ��� (�� ��!� �����/ ��� ���� ��!�� � (���/ ��� � ���� ������ �";���/ ������ ��!�� � (�/ � ���� �� � �/ 3���� ) �� 7����� ��������/ � ���0����

+ ���

���

(�/ >,<?

) �� ������0���� ����!����� ������;� � ��� ��/ 3�� )/ �� 2� �!/ �� � ����!1 � ����������� ���� �� ��/ �� � � ������� � ���� � � + / ���4���� ������

�� ���� ��!�� � (�� ���� ��� �������! ���� �� �/ �� � ��� )1 ���/ ���� ) ����!/ ������������� ���� �� ��/ ��� ���� ������� � ������ � 1I����� ���� �2� � �!2��� �;���!�� � ���0����� ����� ���� �� ���� � ������1:��� ����� 3��/ ��� �;���!�� 3�� �� ��2���/ �� ����������� ���� �� ��/ �� � � �����

���/ ������ � �H�� � � ������� �� ���� ��!�� �"�����/ ��3����� 3��/ �� ��������������� �� ��/ ������ � ����������� >��� � �� ���� ��!�� �"�����?1 '� � ����� �����������>���� �� � ���� �� ? ������� ��/ �� ���� ��!�� � (��� �4� 3�� ���� / D�� �;�������������� ������� ��� ������E/ ��� � �� ���� ��!�� � (�1

+, �#�� ��� � � � �!� �������� ��� � �� �� �� � ������"� $��� �:6��� + � ���� ���� ������� �1��� � 4� � (�� � ������� �� 4�� ���� 4� �� � �� � � (����� ���� � 4� ���� � � ����� � ���"��� ��� ��� ��� �� ����� � ��� � � �

�4 �� ��4���

�� � � �� � >,,?

� � +������ ������ � 4� � � ������� � � +������ ������ � 4 ��� ������ � � ��������� ��� �� +������� ������� � 4� 4� ���� ��� + � � � �� �+ � ���

���� � ����� ��� = � ���/ ���� ����� 3��/ ��2��� � ����� ����� �� ������� ������;���!�/ � ��� �� ��� ����/ �� � ��� ����� ���� ��!��/ 4� � ��� 3��/ �� ���� ��!��� (� ���� �� ���� ������� �������� ��� �����1

���%�� $������ 4� 4 / ��� �������� �����/ ����� 3��

�4�� ���

��

�4 �� 1 >,-?

�!����� ����/ ������������/ ��� ���� ��!�� � (� �� � ���������� )/ ��� � 3��/ �� ���� )/ � � ���� ���� �� �4 ��/ ��� � �����5 �� ) ����� ��� � ���� �� ���� ��!�� �� (�1:� ���� ��!�� ��(� ��� �� + 1 K���� 3�� � �";��� �� ���� ������� �� ���� ��!�� ����

-<

Page 32: Dimensão de Hausdorff Invariância sob transformações de

�� � � 3���� ) �/ ����� ��� �+ � � �� �� � " ��6����������� ��3����/ ���������

�� �+ � � �1 2� � ������ ���� ��� �����/ �/ ��� ����� �� +� � �� �� 3�� � �4� � �4��/ �� �

3��!3�� ���� ��!� �"����/ 41 ����/ �������� ��� ����� �/ �� ��� ��/ �������!�/�3�������������/ ��!�� ���� ��!�� � (�� ����� ��!������ � ����� � ��������� � ������� ��!� � (�� � ����� ��������������T �� � �������� ,1,N1 �3����� >,-? 2� ���� 3���� ����� ��� ��� ������� � ����� �� + / ��� � �4� � �4�� �� � ��� ���� ��!� �"����/41K���� �2� � ������ � � �/ �� � �� 3��!3�� ���� ��!�/ / ��� �;� ������ �� + 1#�0� 4� � ���� ��3���� ���� ��!� �"���� 3�� ����)� / ��0� ) � ����� �/ ��! 3��/ 4 )

�� ���� ��!� � (�/ � ��0�� 4�� ���� 4� �� ���� ��!�� � (��� ������� �� 41.����/ ���� �����/ ��!� ����� ��� �� 4 / ���� ���� " ��/ ���� �� ������ ���

���� ��!� �"���� ���� ��3����1 #�0� * �� �� � �H�� � � 4 / 3�� ���� �����1: ����������� ��� � 4 W� ������������ ) >����� >,,??L

�4� �� �4 ��� �

��4����� ���

���

�� ���4��������

�� �� ��

�4��

��� �� ���� ���

��

�1

����/ ����� 3�� ���� ����� ��!� ����� * � � D�������E/

� � � * � �

��� �4� �

*

���� �4� 1 >,B?

I��� � � � )/ �� �";���/ �2��! = ���� �� ����� �� ������!�� �"����� 4 / 3�� ���� �����/ � ����� >,-? � >,B?/ ����� 3��L

� � � � *� �4 � � * �4 �� �*

��4�� � ������

�*

����� �� � ������ � �� >,F?

���� ) �� ��� � �� � 3��!3�� ���� ��!�/ / ��� �;� ������ �� + / �/ �����3�����������/ �� � 3��!3�� ���0���� >��!����� >,F? �� ���� ���� ��!� 3�� ����)� �+ ?1I���!�������/ ��!� � �������� G1,/ 3�� �� �+ � � �1C�� ���������� ���� ������� � � � � ������ �� � �� �+ � � �1:� ���0����� 3�� �� ���4�/ ��!� � ������ � �;���!� ���� �� / ��� ������� � �����

�����/ ��������� ���0����� � I���� ����� ���1 .���� ��� ��� 2��� �!������ ���� �!� ���0���� � I���� >�� ������� �� �;���!� -1<?1

+, �#�� ��� $1�������� � 1����� ���/��� �' � � � � � � ����� � � 0 ���

� � � +� � � ��� ���� ����������� � ���� ������� �1��� 4� � � � ���������� ���$����� ���"�� �� � � ����� 0 �4�� � �� +������� � 4� � �������� � �� +�������� ���������� � � ���������� � +�� �� ���� ��� + � ��� + � ���� ��� � � �

���

� ��� � �+ � ���

-,

Page 33: Dimensão de Hausdorff Invariância sob transformações de

���%�� : ���0���� + ��� ���� ���/ ������ � ��������� � � ���� ��� / �� �;���!�

G1B1 �3����� >,,?/ �� ����� �0 �4��� � ���4�� � ) ����������/ �����/ ��!� ��� �� �;���!�/

� � ����

� ��� � �+ � �� � ��� + � 1'� � � ������� M� +�� �����$N/ ������� 3��/ + ��� �� ���� �� ��!�� �� ���� ��!��

�"�����/ � ���� ������ 0��/ �� (�/ �� � ��� )/ ��������� ���+ � ���� �� � / � ����� �

����!1: �;���!� ��2�����/ ) ��� � ���� �� ����!� � ����� ���� 2� �!1

+, �#�� ��� ��� ��� � ��� �� � ������"� $��� �:6�� ���� ������� � (��� � ����� �� � �� �� ������� � � (� �) � �� �� ����� ������ � � � ���" � �� �� � ����� � � � ���� � �� ���� ���� )� ����

��� + � �� ����

�� �����������

� �� ������>,G?

���%�� '����� ���� 3�� ��� ���0����/ (���/ ����)� �;��������� �� ���� ��!��� (�T ���� ���� " ��/ ������ �2�� � �� ���� ��!�� �� �;����� � ����� � ������ � ���0�����/ (� � + / ���� ��3�����/ �� � �� 3���� ���� ) �� ��1'����� �6�� / �� + / ��� ��� ������� � �����/ �/ �� ������ � ����� �

�������� �

��� �� �� ������� ���� ��!�� �"����� � (�1.��������/ �2� �/ � � �/ �� � �� ���� ��!� / ��� � � � � � ��1 #�0� )/ � ����� �/

��! 3��/ �� � � � � ����1 : �H�� � � ���� ��!�� � (� 3�� ���� ������ / )L

�� 7� �";��� ��/ �� 3�� ��� ���� ����� ���� � 3�� �� ���� ��!� � (���1

�� 7� �";��� � ���

� � � � � ���/ ����� 3��/ �� ���� ��!�� � (� �4� D�������E �/ ��!�

�����/ ��/ ��� � �!��1

I�� ���� ��!� � (� ��� � ����� � ��������

/ !�2�

� � � � �

�������

��� ���

���

�� �

�������

��� ���

�������

�� � 3��!3�� � � � �1 ����/ �� �� �� � ��

�����������������

3�� ) !������ ���� �� ����� �� ��� ���������/ ���

3�� � �� ����

�������������

� ��������1 : ���!��� ��� � � � ������� � ��� ������� � �����

>� �������� G1,?1#��������� �2� � 3��/ �� �;���!� G1G/ ���� �� ���� ��!�� � (� �4� ���� ������

"�/ � 3��/ ��� ���� ��!� � (���/ ������/ �;���������/ �� ���� ��!�� � (�/ 3�� �����D�� �;��������� �2��!����� ��������E/ �� ������ 3�� ���� � �"���/ ��� � � � )��� ���������1 .����/ >,G?/ �� �����

��� + � �� ����

�� �����������

� �� �� �� �"����� �� �

���

�� �����������

� �� �"����

--

Page 34: Dimensão de Hausdorff Invariância sob transformações de

��� (��� ������ ��������� ���� ��!�� � ���� ������ "���/ ������� 3��/ ���� �;�� ����� ) �2��! = ���������� ���� �� �� ��!� � �������� G1<1 ����/ �� ���� � �� ���� ��!�� ���� �� D����������������E ��������/ ������� �

�2��!�� �� >,G?1

(" ����� 3��/ � � ������� � ��� ������� � ����� >� �������� G1,?/ ���� � ������ ���� ��� ���� ����!��/ ��� �� ����� H��! �� �"!��!� �� �������� � ���� � �M� +�� �����$N1I����� ����/ �2� �/ ��� �� ����� ���� �)���1 � �������� G1M ���/ ����;�/ �;� ���� 3��/ ) ��6������ 3�� � ������� >,*?/ �� �� �63��

������ �� � ��!��/ ��6����������� ��3�����/ ���� ��� �� ��� ����� � + 1.��� � �� �)���� � ��� ������� � ����� ��0�� ����� ���!����� �� � ��� � �

����������� ���� �� ��/ ���!����� �� � �������� G1M/ ��� �� �� ��� 3�� )/ �� �� �� ������/��! = ���1 7�� �� "/ �� �������/ �� ������� � � ��� � �!���� ���1

���#���� ��� � � � �� ���������"� � ���� ��� + �� � � � ��� � 0 ��

� � �� �� � �������

��� � �� ������

���������

� � ���� ������� � � + � ��� �� �+ � � ��� ��

��� � �� ������

���������

� � ���� ������� � � + � ��� �� �+ � � �� ������

���%��

��� '� � ��� " � �/ ��0�

+� � �� � + � � ��� ���� � ��� �� �� �� � 3��!3�� � � � � "/ �� � �!2�� � � �� 1

#�0� � � ��� " � �'�!�#,�� � + �/ �����3����������/ � +�1 '� � ��� / 3���������� �� ����� � � +�/ � ��!� �� � ��� ������ 1'� �6����� � +�/

� � � � ���� � ���

� � � �� /

!�2�/

� �+�� ��

� �� ��� � � � � �

� �� 1

I��� � � ) ��� " � �'�!�#,�� 3��!3�� / � + / ��� � 3��

� �+�� � ���� �+ � � ��� �+ � 1

I��� +� D���� �� �E + / 3���� " �� ���� �� � �/ �����/ �� >F?/ 3�� � �+ � ���� �+ �1

-B

Page 35: Dimensão de Hausdorff Invariância sob transformações de

��� +, �#�� ��������%� �� ��%���5���� �� ��� ��� � 8���<���9 ��) ����/����� � � )�<.�#��4��?

$� ������� ���� � ���!�� ��� ��� ��������� ����� = ���� ������ � ������� ����� � ��� � ����� ������ � ������������/ ��� ��� 3�� ���� � � ��� �� � ��������� �� ����� >���� �������? 3�� � ��������� � ������� � ��0� ���� ������ ��� �������� �� ��������� B1,1���� ���� ��������/ 6��!������ ��� �� �;���!�/ ��� � 3��! � �������� ���� �

���� �� ��!���/ �� � "����/ � �)��� 3�� ��� �� ����� � ��� / �� ��������� ��� ��/ ������� � ����� ��5 ���/ � �2��!�� �� �������� � ���� � � ���0����� �������������3����!�����1#� �� ����������� ��!��� ���� �;���!� !�2� ��5� � � ��� � �� �!" �� B1N/ 3�� �6 ��

3�� ���0����� ������������ �3����!����� �4� � ����� ������� � ���� �/ �� �������/���� !" ��� ���!� ����/ ������� � ���!���!� ����� ������ ���� ���� �3�� � ���!������ �� ������� � ��� ������� � ����� >� �������� G1,? �� ������� �� ��������� ���� �� 1.������/ �����/ �� �������� � �� ������ / �� �;���!� ���� ��� � ���� ������

� ������� � ���� � ��� � ����� ������ � ������������1 C�� ���� � � ���2�!�� #�� ����P�/ �� ������� �� �;���!� -1-/ � � � ����� ����� � ������������ � � � �/ �6��� �� � ��� � �� >������� 3�� � ) ��� ����!����� >�� �6����� ,1N?/ ����� ���������� �� ���� � ���� � � ��� ��?1 � ��� �� " ������ �� ��������� ����/ �� ��������� B1,/ �� � ���� � � ���� ������

� ������� � ���� � ��� � ����� ������ � ������������ �� ���� 2� �!1 ' ��������������/ ��� ��� ���� ��� � ��� ���� ����!�� >�� ���� ����� G1N/ ����;�?/ � ��� ���/�����/ ��� ���� �;���!� >� "����?/ �� � �!� �6�� � � ������ 3�� ���" ���!����� �� � ���>� �!���� ���? � �� �!" �� B1N1

+, �#�� �� � � + ���'�$�� � �������D�� � ������� � +�� H�H ��� �$���B�� � ��� � ���� (� ���'�$�� ����1�� � ��� �� � � � � � � � ������ ��"� � ���7�������( ���� � � � ��� � ��� ���� ��� � �+ � � ��� + � �� �

�� ��

���%�� I�������� �� ��!��!� � ������� � ���� � � � ���2�!� � #�� ����P�/+ 1C���� �� ����������� ��� ������ 3���� ������ ���� � � ���2�!� � #�� ����P�/

�� ������ -1 $���� 3��/ �� � ��� )/ �� �� � ���2�!�� �3��!"�� ��/ � !�� ���/ 3������������ � ���0���� (�/ ��� �� � ���0���� + / ���� ��� �� �!�� ����� � ���1 ����/ ��

����+ � � ������ � �/ �� � �� �

�� �1 &����� ) �/ ������� �� �+ � � �/ !�2�

��� + � 1'� � ���� � ���������� ���� �� / ����� ��� � � ������� � ��� ������� � �����

>� �������� G1,?1I�������� �� �6�� �� + ��� ��� ������� � �����/ �/ � ��2����� �� ��L

� ������� �� � ���2�!� ������!/ (�/ � ����� �/ � �������/ ��������������/ � ����� ���� � ���2�!� � (�/ �3�������������/ ��!�� ���� � 4� D����� ���2�!��E �� (���1 ����/� ��� �� �� �� � ���2�!�� 3�� ���������� (�/ ) �� ����� � ����� ���1#�2�������� ������� 3��/ 3��!3�� ���0����/ / ���" ������ ��� 3�� �� � !��

� � � ��� !��� �� �!�!�� ��� ��;�� ��� �����1 #� ������� � � � � ���/ ����� � " �� �

-F

Page 36: Dimensão de Hausdorff Invariância sob transformações de

3�� �� � !�� � � ) ���� �� � ����1 '� ��� � !�� ��� �� �� � ���2�!�� �3��!"�� ��/� !�� ���/ �� (�/ ��� " ��

��������1 $����/ �����/ 3�� � " �� � 3�� �� )/ ��

�";���/ �2��! � ���� " �� � �� � ���2�!� � (�1 I��� � ��� �� ����� � ���2�!��

�� ������� � ����� ���/ �������

� � � � ������ �

������

��� �

��� � � ����� � ��

��� �

��� � ������ � �� 1

I���!�������/ ��!� � �������� G1,/ 3�� �� �+ � � � � ��� + � 1I����� ���� �2� � � ���0���� � �+ � � �+ / � ���� ���� 3�� ���� ��� ������� �������

� ����� ������� � ���� � 3�� � ���0���� + / �1�1 ��� � �+ � � �� � �� �1 '� � ����/

����� ��� � ��������� ��!���� �� � ��� � �� �!" �� B1N1 ������� � �� �6�� 3�� ��� + � �� �

�� �� 1 ����/ � ������ 3��

� � �� �+ � �� >,M?

:��� ����� �2� � 3��/ �� � � ) ��� " � �'�!�#,�� � + / ���� �� �+ � �� � � � �/����� �� �+ � �� ) ��� �� �'�!�#,�� � � �+ � � ��� � � �"1 ����/

�� �+ � ��� ����

� �� � �������

��� �� �+ �� � �

��

��

�� �� � �� � ) ��� �� �'�!�#,�� � � �+ �

� �

�� �+ � ��� � � � ) ��� " � �'�!�#,�� � +

� �

���

� �� � � � ) ��� " � �'�!�#,�� � +

� ����� �+ �

����� ���� �� 3��/ �� " �� ����)� � �� ��������� 3�� �� �� �+ �� � ���� �+ � ��>�� >,M??/ ���!���� 3�� ��� � �+ � � 1'� ��� � !��/ ���� �� ����� 3�� � ������ ���� �� � � / ) �� �� ��� ��� �

�/

������� 3��/ �� �� � �� ��� � � �'�!�#,�� � � �+ �/ ����� ���� �� �+ � � � �� � ���� �/

!�2� ���� �� �+ � � � �� ) ��� " � �'�!�#,�� � + / ��� " � ��1 K��� 3��

��� �+ � � �

� �� � � � ) ��� " � �'�!�#,�� � +

� �

����� �� �+ � � � ���� � �� � ) ��� �� �'�!�#,�� � � �+ �

� �

��

�� �� � �� � ) ��� �� �'�!�#,�� � � �+ �

��

����� �� �+ ��

&����� � �/ ����� 3�� " �/ � ������� �� �� �+ �� � ���� �+ � � � >�� >,M??1 ���� ��� � �+ � � 1 I���!�������/ �����/ 3�� ��� � �+ � � ��� + � �� �

�� �1

-G

Page 37: Dimensão de Hausdorff Invariância sob transformações de

()� �%�� ��! # �� �� �� �$������ ��� � �+ � � ��� + � ���� ��(��� � ��� �� ��� ����� � � ������� � � � �� ��� � �$������

6� 8�������� ���������� �� ����,� � 4���� �> � + � �+ �

8 ��� � �� ������ ���� �� �� �� ���� ������� � ��� + � �� � �� �

� = � �������� � ���� �%�� ���� ��� ��� � �+ � �

8 " � � � ������ �� � � ��� � �+ � � ������� �� �����"� � + �= � � �2�� � ��� ���'�$�� � �������D�� � �����%� � � +�� H�H� ����� � ���'�$�� �������� ���'�$�� ����1�� � (�

�� � ��� �� =��� ���������� ��� � ��",� ������� �� �� �� ����� �� ���� � � ��� + � �� � ���$��� � � ��� �������� � ) � �!�' ���� �� � ������"� � � �+ �� � � (�

��

* � ��� ���� ���� )� � �� ���'�$�� � ����1�� �� � ��� ��'�� � � ������ � ������ � � ��� (�

�� � �� � � ��� � �+ �� #���� ������ �� �+ �� �

�������� � ��� � � �� � �� �

� G�(�� ) �� �� � �� �� �+ �� � ��� � $ ��� � �+ � � �

)�� �� �$ ��� �����%�� � ���������"� � ���� ��� � ��"� A�:� ���� ���� �������� ����� �� =��� ��� � ���� � �+ �� ���������"� � ����� 5�� � �� ��1� $� O �� �����(� �� �� �� �� ����� ���� ����� � ���������"� ����� �� #���� � ���� � � � �� ���'�$�� � �� � ������ (�

�� � ������%�� ����� ����

8 ����� �� �$ ��� � � � ��� � � � ������� � � � � ���� * � �� ��1 � ���� �� ������� � ��� � � �� � 1�� � ����� � � ����� = � ��� ��� ���� � � � ���'�$�� � ����1�� �� � ��� �� ���� (�

�� � 1�� �����������

* �� ����� �� � 1�� � ������� � ����� � O 1�� � ���� ���'�$�� � (���

� ��������� � 1�� �� ������"� � � � ��� � (��� �� � � �� �� �

�� � 1�� � ���� � � � ���'�$�� � � ( ��� 8 � ���� � ���� ���'�$�� �

������% � � ���� ���� �� �

5 � � � ��� � ������ �

��� � � �� � ����� �

��� � � �� � �� �

8 ������� ��� ��� �� � ��"� A�:� �� ��� � �+ � � � 7 $ � ��� � �+ � � ���� + �

:� 9��� � �������������� �� ������ ��"� � ���7�������(� � ��������� � �� ��� ��� ����� ���� �� ��� �� ��� � �+ � � ��� + � ���� ���� � �� ������ ������ ��� � ��"� B�H� �� ���� � 4���� �>�

)� �( ��������� � ����� � 4���� �> � + � ��� + � �� � �� �

� � �� ��� ���� � �� � � �� �+ � � �� ��� � � � ��� �� ������ ���� �� �� �� � +�� A�J� ���� ����� � �$������ ��� ����,� � 4���� �> � + � �+ ������ ������� ���� � �� � ��"� B�H� ���� ��� �� �� �+ �� � �� ��+ � � ���� �+ ����� ��� ����� � � �� �� �+ �� ��� � �������� ��� � �+ � � �

-M

Page 38: Dimensão de Hausdorff Invariância sob transformações de

7���� �;���!�/ � ��� ��� 3��/ � �������������/ �� � ��� ��� �� �� ������� �� ����� ��/ �������� �� ���� �� ���!���� � �6������ ���� �!������� ��� ��� ������ ���!��/ �� 3���� �� ������ � ���� ������ � ������� � ���� � ��� � ����� ������� ������������1

@�)���-����

X<Y &�!���� / O1 (1/ G������ P ��F � ;��������� G ������ �� ��� #�������� ��� (���Z�!�R [ #���/ <NN*1

X,Y &�!���� / O1 (1/ *������� �� G������ P ��F1 (��� Z�!�R [ #���/ <NNM1

X-Y #� V��� 2/ &1/ -����� ������ � �F���� �� ��� � $� ��� ��������� ����������� E� ������/ C����!� C���� ���R/ <NN+1

XBY O��������P/ $1/ 8�� � � � ��$���� � *� �F� #�������� �� ��� 8 ��� �1 #����/������ .�����1 #� ��2� �K� !�2/ ,***1

XFY ���F�� ����� � ;��������1 O!�\� ������ '��!���� �/ �� ����/ �!!��/<N+N1

-+

Page 39: Dimensão de Hausdorff Invariância sob transformações de

]����

� �������� �

� �� ������� � �

,1< $�� �� � ���0����� -

,1, &������ � !������ B

,1- ����� � ��� �������� � ����� G

� �������� �"

� * ���� ��� ��� � 8������9 ��

B1< ���� � ���� � <F

B1, �������� � ���� � <N

B1- .;���!�� ����!�� � �"!��!� � ������� � ���� � ,-

� ��� ��� � ;)�,<�������-= ��

� �&������ #��� � �:����� � ��� ��� � �

G1< �)���� � ��� ������� � ����� ,+

G1, .;���!� �!�������� � ���� ������ � ������� � ���� ���� � ����� ������ � ������������ -F

@�)���-���� �

-N