ADEM/ISEL

GI-MOSM & CEEM

Lisboa, 02 Novembro 2016

DIMENSIONAMENTO DE UM ELEVADOR DE VEÍCULOS

AUTOMÓVEIS DE ACORDO COM A NORMA EN 1493:1998

Autor: Vítor Pereira

ADEM – Área Departamental de Engenharia Mecânica

ISEL - Instituto Superior de Engenharia de Lisboa

Rua Conselheiro Emídio Navarro, 1, 1959-007 Lisboa

e-mail: A37197@alunos.isel.pt

Palavras-chave: Dimensionamento estrutural, elevador veículos automóveis, EN 1493:1998

Resumo: Este trabalho foi elaborado no âmbito da unidade curricular de Projeto

Mecânico, da Licenciatura em Engenharia Mecânica do ISEL, no semestre de inverno do

ano letivo 2015/2016. Teve como principal objetivo o dimensionamento estrutural de um

elevador de veículos automóveis não ancorado ao solo. Este equipamento é utilizado para

efetuar as operações de manutenção e reparação de veículos automóveis.

O projeto foi feito garantindo os requisitos de segurança estabelecidos na norma EN

1493:1998 [1], que é específica para este tipo de equipamentos, e também os requisitos do

Eurocódigo 3 [3] em alguns pontos.

Foi estudada a estabilidade do equipamento para se autossustentar, não podendo ocorrer

o risco de capotamento.

Do ponto de vista dos cálculos estruturais, foram verificados todos os elementos da

estrutura, com o objetivo de garantir um projeto viável do ponto de vista económico,

otimizando-os e aproximando-os o mais próximo possível dos seus limites de utilização,

mas garantindo os requisitos de segurança.

Os cálculos foram feitos por duas vias. Por via analítica com recurso ao software de cálculo

Maple e por via numérica (elementos finitos), com recurso ao software SolidWorks

Simulation. O objetivo foi verificar a convergência dos resultados obtidos pelos dois

métodos.

Vítor Pereira

1. INTRODUÇÃO

No âmbito da unidade curricular de Projeto Mecânico da Licenciatura em Engenharia Mecânica

do ISEL, este trabalho tem como objetivo a aplicação prática de alguns dos conhecimentos

adquiridos ao longo do curso, principalmente ao nível do cálculo estrutural.

A escolha deste tema para realização deve-se ao meu gosto pela área de elevação e pelo facto

de ser um projeto que permite explorar temas interessantes no que toca ao dimensionamento

estrutural, estabilidade, otimização etc.

O tipo de equipamento pareceu-me interessante porque em conversa com mecânicos de veículos

automóveis, apercebi-me que este tipo de equipamento suscita dúvidas quanto à sua segurança

devido ao facto de não ser ancorado ao solo e também devido à sua deformada aquando da

aplicação da carga. De facto não deverá ser muito confortável trabalhar por debaixo de um

veículo de 2500 Kg, sem ter confiança no equipamento que o suporta e por isso tenho interesse

em perceber os níveis de segurança que estão em causa.

2. NOTA DE CÁLCULO

2.1. Descrição do equipamento

O equipamento em estudo é um elevador de automóveis autoportante, que tem como objetivo

ser portátil e por esse motivo não é prática a sua ancoragem ao solo. É um equipamento que

adequado para oficinas de manutenção automóvel, com espaços reduzidos.

2.2. Principais características técnicas

Capacidade de carga 2500 Kg

Velocidade de elevação 0,15 m/s

Altura máxima de elevação 1850mm

Largura 1700mm

Altura 2000mm

Profundidade 1900mm

Peso próprio 1000 Kg

Acionamento Elétrico

Potência do motor 3 kW

Necessidade de fixação ao solo Não (portátil)

Tabela 1. Principais características técnicas

Fig. 1

Vítor Pereira

2.3. Identificação dos componentes do equipamento

Fig. 2

2.4. Descrição do funcionamento

Com o elevador assente em piso firme e nivelado, o veículo é colocado sobre o braço de

elevação (4) quando este se encontra ao mesmo nível da base (2). É feito um ajuste dos braços

extensíveis (5) de modo a alcançar os pontos de elevação no chassis do automóvel. De seguida

aciona-se o mecanismo de elevação (3) que através de um motor elétrico transmite movimento

a um fuso que por sua vez faz elevar o braço de elevação (4). Quando o automóvel estiver à

altura pretendida desliga-se mecanismo de elevação e pode-se dar início aos trabalhos de

manutenção do automóvel.

2.5. Verificação do pior caso de carga

O pior caso de carga irá ocorrer quando o

carregamento for feito com os braços

extensíveis do equipamento na sua extensão

máxima, e com o veículo elevado na sua altura

máxima. Nessa fase irão ocorrer os maiores

momentos fletores possíveis nas vigas e coluna

da estrutura e consequentemente irão ser

observadas as maiores tensões.

Fig. 3

Vítor Pereira

Para além disso é necessário considerar os

efeitos da inclinação admissível, pois embora o

equipamento deva trabalhar em piso nivelado, é

necessário considerar uma tolerância para

garantir que se por falha de utilização, tal não

aconteça, o equipamento deve suportar as cargas

estruturais e deve ser estável. A posição

indicada na figura 4 é o pior caso de carga pois

temos 60% do peso do carro do lado esquerdo

(peso da parte frontal do veículo) e apenas 40%

do lado direito (peso da parte traseira do

veículo).

2.6. Verificação da estabilidade

A norma EN 1493:1998 [1] prevê que os elevadores que não são ancorados ao solo, como o

caso que temos em estudo, são considerados estáveis se o momento de estabilização Ms (o

somatório dos momentos que contribuírem para manter a estrutura na posição normal) for

menor ou igual que o momento de derrube Mt (somatório dos momentos que tendem a

instabilizar a estrutura) multiplicado por um fator de segurança de 1,2.

1,2 ∗ 𝑀𝑡 ≤ 𝑀𝑠 (1)

Em que Mt é momento de derrube e Ms o momento estabilizador.

Sobre o equipamento irão atuar cargas estáticas devido a componentes do elevador que não

estão em movimento e cargas dinâmicas devido ao movimento de elevação ao veículo. Serão

utilizadas nos cálculos de estabilidade as seguintes variáveis:

Aceleração da gravidade:

(2)

Ângulo de inclinação do pavimento em radianos (inclinação admissível), que irá provocar

cargas horizontais significativas na estrutura:

(3)

Velocidade nominal do equipamento:

(4)

Vista de

frente Fig. 4

Vítor Pereira

Fator dinâmico de acordo com EN1493 - 5.7.2.1 c) [1], devido ao veículo em movimento de

elevação:

(5)

Massa do veículo:

(6)

Coeficiente de sobrecarga estática conforme EN1493 - 6.1.5.3 [1]:

(7)

Carga dinâmica do veículo de acordo com EN1493 − 5.7.2.1 c) [1], devido ao veículo em

movimento de elevação. Obtêm-se multiplicando a carga estática do veículo por um coeficiente

dinâmico ϕ.

(8)

A norma EN1493:1998 [1] prevê que, se o peso do veículo contribuir para estabilizar a

estrutura, então deve-se considerar no máximo uma força de 6kN correspondentes ao seu peso

e deve ser considerada a situação de carga mais desfavorável que crie condições para

instabilizar a estrutura. Isto dá um coeficiente de segurança adicional aos 20% já considerados

na equação (1).

Deste modo o peso do veículo considerado para contribuição à estabilidade é:

(9)

Força devido à massa das partes fixas da estrutura:

(10)

(11)

Força dinâmica, devido às partes móveis da estrutura, de acordo com EN1493 - 5.7.2.1 c) [1]

(12)

(13)

Deverá ser considerado uma força de 1000N aplicada horizontalmente no ponto de suporte do

veículo apenas quando este está elevado (forças manuais aplicadas pelos utilizadores quando o

veículo está em manutenção).

(14)

A combinação de cargas que vou estudar é a B2 descrita na norma EN1493:1998 [1], que prevê

a combinação de cargas estáticas, cargas dinâmicas, carga nominal, forças manuais, efeitos de

acessórios, efeitos de inclinação. Nesta combinação de cargas não estão previstas cargas devido

às ações do vento, da ação do dispositivo de bloqueio em caso de rutura dos órgãos de

Vítor Pereira

suspensão. Num caso real estes fatores teriam que ser levados em conta e o pior caso deveria

ser considerado.

Calculando os momentos que tendem a estabilizar a estrutura:

(15)

Agora os momentos que tendem a derrubar a estrutura:

(16)

Aplicando a equação (1), verificamos que o momento de derrube Mt é superior ao momento

estabilizador Ms 1,2 ∗ 𝑀𝑡 ≤ 𝑀𝑠

1,2 ∗ 24003 > 10944 (17)

28804 > 10944

Verifica-se que não cumpre a condição de estabilidade, por isso é necessário aumentar a

dimensão da base de forma a criar um maior momento estabilizador. Esse aumento é

identificado por x1.

Fig. 5

Vítor Pereira

Dimensão do braço x1

(18)

Calculando os novamente os momentos que tendem a estabilizar a estrutura:

(19)

E novamente os momentos que tendem a derrubar a estrutura:

(20)

Aplicando novamente a equação (1), verificamos que o momento de derrube Mt é inferior ao

momento estabilizador Ms, logo a estrutura está estabilizada. Com esta modificação já

cumprimos com a condição de estabilidade, por isso conclui-se que é necessário aumentar a

base 550mm.

1,2 ∗ 𝑀𝑡 ≤ 𝑀𝑠

1,2 ∗ 12415 ≤ 16509 (21)

14898 ≤ 16509

O mesmo estudo teria que ser feito com o elevador em diferentes posições de forma garantir a

estabilidade do equipamento em qualquer posição.

Fig. 6

Vítor Pereira

2.7. Modelo simplificado para cálculo global da estrutura

Para simplificação dos cálculos analíticos e numéricos, foi considerado um modelo

simplificado para análise da estrutura global. O modelo que é considerado no “Design” do

equipamento, deve ser simplificado ao máximo para obter resultados corretos nos cálculos.

Todos os componentes desnecessários para esta análise, tais como parafusos e acessórios devem

ser removidos para fazer a análise estrutural no programa de elementos finitos.

Fig. 7 . Vista de frente Fig. 8 – Vista lateral

Fig. 9 – Modelo original Fig. 10 – Modelo simplificado

Vítor Pereira

2.8. Dimensões e cargas aplicadas na estrutura

2.9. Materiais

Para os componentes de aço considerados neste projeto (estrutura metálica) foi considerado aço

estrutural S275 JR por ser um aço de utilização corrente em perfis normalizados produzidos

pelas siderurgias, assim com chapas. Foram utilizados essencialmente tubos de perfil

retangular.

2.10. Critérios de falha

Para o dimensionamento estrutural foram utilizados dois critérios, tensão de cedência e

deformada.

De acordo com a EN 1493:1998 [1] Anexo A quadro A.2, a tensão equivalente calculada

para a combinação de cargas, para a pior situação possível em cada componente, deve

respeitar sempre um coeficiente de segurança de n = 1,33 , relativamente à tensão de

cedência σced. Em relação à deformada, a norma EN 1493:1998 [1], não especifica uma

deformada máxima admissível, por isso usei como referência o REAE [2] indica uma

deformada máxima de L/200 (ver ponto 2.2, pág. 13).

2.11. Dimensionamento da viga CE

Os cálculos vigas das foram feitos por duas vias. Por via analítica com recurso ao software de

cálculo Maple e por via numérica (elementos finitos), com recurso ao software SolidWorks

Simulation. O objetivo foi verificar a convergência dos resultados obtidos pelos dois métodos.

De seguida vou demonstrar o método utilizado para o cálculo analítico da viga entre os nós C

e E. Este método foi utilizado para verificar todas as vigas da estrutura e o quadro de resumo

com os resultados está indicado no final deste documento.

Fig. 11 Tabela 2. Tabela 3.

Vítor Pereira

Primeiro comecei por definir as propriedades do Material (Aço estrutural S275JR):

(22)

(23)

(24)

De seguida os requisitos de projeto, tais como a tensão máxima admissível

=

=206 [MPa] (25)

E a deformada máxima admissível

(26)

Considerei um referencial com uma nomenclatura genérica, onde no ponto 1 temos as ações

aplicadas na extremidade da viga em análise, neste exemplo o nó C. No ponto 2 do referencial

temos as reações em qualquer ponto entre o nó C e E a uma cota x1 do nó C.

A viga é carregada no nó C com esforços transversos, momento fletor e momento torsor. No nó

E é considerado um encastramento.

Fig. 12

Fig. 13

Vítor Pereira

Ações no ponto 1 do referencial (nó C) :

𝑁 = 𝑃𝑧 + 𝐹ℎ + 𝑆𝐿𝑑𝑧 = 4889,15 [𝑁] (27)

𝐹1𝑥 = 𝑉𝑥 = −(𝑃𝑥 + 𝐹ℎ + 𝑆𝐿𝑑𝑥) = −4889,15 [𝑁] (28)

𝐹1𝑦 = 𝑉𝑦 =𝑃𝑦

2= 21069 [𝑁] (29)

𝑀1𝑥 = 13813,8 [𝑁𝑚] (30)

𝑀1𝑦 = 0 [𝑁𝑚] (31)

𝑇 = 3292,5 [𝑁𝑚] (32)

O esforço normal N, esforços transversos F1x e F1y e o momento torsor T mantêm-se constante,

mas os momentos fletores Mx e My irão aumentar em função da distância x1.

𝑀𝑥 = 𝑀1𝑥 + 𝐹1𝑥 ∗ 𝑥1 = 13813,8 + 21069 ∗ 𝑥1 [𝑁𝑚] (33)

𝑀𝑦 = 𝑀1𝑦 + 𝐹1𝑥 ∗ 𝑥1 = −4889,15 ∗ 𝑥1 [𝑁𝑚] (34)

Somando a equação da deformada máxima devido ao esforço transverso, com a da deformada

máxima devido ao momento fletor, obtemos a deformada máxima provocada pelas força e

momentos exercidos na extremidade da viga (nó C neste exemplo)

(35)

(36)

Como a deformada máxima Y é requisito do projeto (critério de falha), então resolvendo estas

equações em ordem a Ix e Iy, ficamos com uma primeira aproximação da viga necessária para

cumprir com o critério estabelecido para a deformação máxima.

= (37)

(38)

Para o momento de inércia resultante dos cálculos, o perfil indicado seria um tubo RHS

200x100x8 (com o lado maior da secção na vertical), no entanto o critério de resistência

mecânica não seria cumprido com este perfil, por isso apresento já nos cálculos seguintes o

perfil correto que se trata de um tubo RHS 200x100x16.

Vítor Pereira

(39)

(40)

(41)

(42)

(43)

(44)

(45)

(46)

(47)

(48)

(49)

(50)

(51)

(52)

(53)

Fig. 14

Vítor Pereira

Após a seleção da viga, resolve-se a seguinte equação para determinar a deformada total.

Aplicando a equação (36) verificamos a deformada máxima em x

(54)

Agora a deformada em y aplicando a equação (35)

(55)

E assim obtemos a deformada total em x e y

(56)

Depois confirmamos se está dentro dos limites estabelecidos para a rigidez do perfil.

(57)

Verifica-se que está dentro do limite estabelecido como deformada máxima. Após a

confirmação desta condição é necessário confirmar se o critério de resistência mecânica é

respeitado. Para isso é necessário analisar a secção crítica do perfil, ou seja, a que terá tensões

máximas, que neste caso é o nó E, o ponto onde foi considerado o encastramento. Nessa secção

iremos ter tensões normais e tensões de corte combinadas. Estas são determinadas pelas

expressões a seguir indicadas.

As tensões normais devido ao esforço axial são dadas por:

(58)

Em que no numerador temos o esforço axial (normal) de tração ou compressão e no

denominador temos a área útil da secção.

As tensões normais devido ao momento fletor em x e em y:

(59)

Vítor Pereira

(60)

Em que no numerador temos o momento fletor máximo M, c é a distância entre o centro

geométrico do perfil e o seu ponto extremo, na direção do eixo correspondente (x ou y). No

denominador temos o momento de inércia do perfil no respetivo eixo.

As tensões de corte devido ao esforço transverso para secções quadradas / retangulares são

dadas por:

(61)

(62)

Em que V é o esforço transverso, I é o momento de inércia e t é a espessura do perfil na zona

de maior tensão.

Tensões de corte devido ao momento torsor para secções retangulares de parede fina:

(63)

Em que T é o momento torsor, ómega é o perímetro da linha média do perfil e t é a espessura

do perfil.

Após determinar estas tensões é necessário verificar o ponto em que a combinação de tensões

é mais desfavorável, onde se vão verificar as maiores tensões. As tensões normais que atuam

no mesmo plano somam-se ou subtraem-se dependendo do sentido de atuação, o mesmo se

passa com as tensões de corte.

Para a combinação de tensões, na teoria deveríamos analisar o estado de tensão apenas num

ponto do perfil, mas a determinação desse ponto não é fácil. Seria um ponto intermédio entre o

ponto de tensão de corte máxima e o ponto de tensão normal. Devido à dificuldade de

determinar esse ponto com precisão, considerei a sobreposição de tensões de corte máximas

com as tensões normais máximas e desse modo fico do lado da segurança, obtendo uma tensão

equivalente de von Mises um pouco superior à real.

Vítor Pereira

Assim obtemos que a tensão normal máxima é:

(64)

E a tensão de corte máxima é:

(65)

Depois de determinarmos o ponto da secção do perfil que tem as máximas tensões normais e

de corte, vamos através da equação da tensão equivalente de von Mises (66), determinar uma

tensão uniaxial equivalente à combinação dessas tensões, necessária para compararmos com os

dados de tensão de cedência e tensão de rotura fornecidos pelos fabricantes dos aços, que são

determinados na forma uniaxial. Esta expressão está definida na norma EN 1493:1998 [1] e é

válida para aços estruturais.

Fig. 15

Vítor Pereira

(66)

Após determinar a tensão equivalente de von Mises, já podemos verificar se cumpre a condição

de resistência mecânica

(67)

Este perfil fica longe da tensão máxima admissível, portanto pode ser considerado válido.

Para a análise numérica da estrutura, utilizei o módulo weldments do software SolidWorks

Simulation. Este módulo permite fazer o dimensionamento da estrutura utilizando elementos

finitos do tipo viga, simplificando a forma como damos os inputs da geometria da estrutura.

Apenas temos que definir as linhas que passam pelo centroide das secções, conhecidas

habitualmente por “wireframe”. Depois definimos a secção pretendida e a orientação de modo

que o programa possa calcular as tensões máximas e deformada ao longo das vigas. A seguir

definimos as condições de fronteira, os carregamentos, os materiais e a malha de elementos

finitos a utilizar e o problema está pronto a ser calculado.

A complexidade do problema reduz-se drasticamente ao utilizarmos este método (elementos

finitos do tipo viga) e por isso reduz-se imenso o tempo de cálculo computacional.

Mas este método tem algumas limitações que é preciso ter em conta, caso contrário o utilizador

pode retirar conclusões erradas dos resultados.

A informação indicada no “Solidworks help” diz-nos que para a formulação considerada no

software produzir resultados aceitáveis é necessário que o comprimento da viga tenha 10 vezes

a dimensão maior da secção do perfil. Relativamente aos resultados obtidos, podemos ver que

se conseguem obter tensões de corte devido ao momento torsor e esforço transverso.

Conseguem-se também obter tensões normais devido ao esforço axial, momentos fletores, e as

tensões máximas nas fibras extremas geradas pela combinação dessas duas tensões axiais. Essa

combinação de tensões é designada por “upper bound axial and bending” ou “Worst case”.

Tendo em conta que este software é bastante intuitivo, facilmente o utilizador pode pensar que

esse resultado é fruto da combinação das tensões de corte e tensões axiais o que pode levar a

conclusões erradas. O output com designação “Worst case” refere-se apenas à combinação das

tensões axiais, como comprovaremos mais adiante.

Vítor Pereira

Comparando os resultados obtidos pela via analítica e via numérica (Solidworks simulation):

A deformada máxima obtida por via analítica é de 4,45mm é muito similar à obtida por via

numérica pela equação (56) em que foi de 4,37mm

Analisando agora as tensões máximas obtidas pelos dois métodos:

Troço Tipo

cálculo

Axial

(MPa)

Flexão

Dir1

(MPa)

Flexão

Dir2

(MPa)

Tensão

normal

max

(MPa)

Torsão

(MPa)

Corte

Dir1

(MPa)

Corte

Dir2

(MPa)

Tensão

corte

max

(MPa)

SW

Worst

Case

(MPa)

Tensão

Von

mises

(MPa)

utiliz.

do

perfil

CE SW 0,6 28,1 109,4 138,0 17,0 3,9 2,5 20,9 138,0 142,7 69%

Maple 0,6 28,1 109,4 138,0 6,7 4,3 1,9 11,0 - 139,3 68%

Verifica-se que os resultados obtidos pelos dois métodos são muito parecidos no que toca a

tensões normais e tensões devido ao esforço transverso. Mas nota-se alguma diferença na tensão

devido à torsão.

2.12. Dimensionamiento da viga JK

No caso da coluna JK foi estudada a encurvadura devido ao risco de colapso devido à carga de

compressão aplicada. Trata-se de uma coluna sujeita a flexão composta com encurvadura,

encastrada na base e livre no topo.

Como se pode verificar esta coluna terá no topo (Ponto J) um carregamento de compressão,

momento torsor, momentos fletores e esforços transversos em x e y.

Fig. 16

Tabela 4.

Vítor Pereira

Ações no ponto 1 (correspondente ao nó J):

(68)

(69)

(70)

(71)

(72)

(73)

O esforço normal N, esforços transversos F1x, F1y e o momento torsor T mantêm-se constante,

mas o momento fletor irá aumentar em função da distância x1.

𝑀𝑥 = 𝑀1𝑥 + 𝐹1𝑥 ∗ 𝑥1 = 64064 + 4889 ∗ 𝑥1 [𝑁𝑚] (74)

𝑀𝑦 = 𝑀1𝑦 + 𝐹1𝑥 ∗ 𝑥1 = −5520 − 4889,15 ∗ 𝑥1 [𝑁𝑚] (75)

Esta coluna tem um perfil especial, formado em chapas quinadas soldadas devido à necessidade

de ser criado um guiamento para a parte móvel do elevador (carro). A coluna é um perfil aberto

em U, com canais para o deslizamento dos rolamentos do carro elevatório. Dessa forma o

dispositivo de elevação fica só com 1 grau de liberdade (vertical).

Fig. 17 Fig. 18

Vítor Pereira

Vamos verificar se a coluna garante os requisitos do projeto à encurvadura pelo através da

equação da secante, depois pelo Eurocódigo 3 [3] e finalmente pelo modulo buckling do

Solidworks simulation. Para este estudo, apenas vou considerar a carga vertical P, a força de

corte F1x e o momento fletor M1x que são as cargas que atuam sobre o eixo de menor inércia,

onde poderá ocorrer a possibilidade da coluna instabilizar.

As propriedades geométricas do perfil original são as seguintes:

(76)

(77)

(78)

(79)

A norma EN1493:1998 [1] especifica que, para peças que estejam sujeitas a encurvadura,

a tensão admissível deverá ser

(80)

E a deformada máxima admissível

(81)

Em primeiro lugar vou verificar se o perfil é seguro à encurvadura aplicando a fórmula da

secante que admite a tal excentricidade.

Fig. 19 Fig. 20

Vítor Pereira

A referida fórmula da secante é:

(82)

Em que Pcr é a carga crítica aplicada antes do colapso da coluna, A é a área da secção transversal

da coluna, e é a excentricidade da carga em relação ao centroide da secção da coluna, r é o raio

de giração relativamente ao eixo de inércia em análise, c é a distância entre o centroide do perfil

até ao limite da coluna, E é o módulo de elasticidade do material e Le é o comprimento

equivalente da coluna.

Le depende do tipo de constrangimentos a que a coluna está sujeita

Embora a base tenha alguma deformação, vou considerar que a coluna se encontra encastrada

na base e livre no topo, logo:

(83)

A coluna em estudo, para além da excentricidade das cargas verticais ainda tem cargas

horizontais o que complica os cálculos porque a formula indicada, segundo a bibliografia

consultada, não prevê cargas horizontais, apenas prevê cargas verticais com excentricidades.

Para ultrapassar esta questão de seguida vou determinar um momento fletor aplicado no topo

da viga que provoque uma deformada igual à que seria provocada pela aplicação de uma carga

horizontal, desse modo consigo simular o comportamento que a coluna terá devido às forças

horizontais. Este raciocínio está explicado na fig. 22.

Fig. 21

Vítor Pereira

Depois disso, juntei esse momento fletor, ao momento já determinado para o nó onde ocorre o

carregamento, e determinei a força vertical que a uma determinada distancia e ,do centro da

viga provoca esse momento fletor (Mx+Mxeq).

(84)

(85)

Definição da excentricidade e

(86)

Para determinar a carga crítica resolvemos a equação (82) em ordem a Pcr obtendo

(87)

Estamos agora em condições para verificar o coeficiente de segurança resultante

(88)

Observamos que o coeficiente de segurança é de 1.33 por isso a coluna estaria válida à

encurvadura segundo este método de cálculo

Para analisar a coluna à encurvadura pelo Eurocódigo 3 [3], vou admitir uma simplificação e

substituir o perfil original por um perfil equivalente, uma viga normalizada IPE 550.

O momento de inércia da viga IPE 550 no eixo z (2.66e7 mm^4) é inferior ao da viga original

(6.67e7 mm^4) , por isso se a viga IPE 550 for válida à encurvadura para este caso, então a viga

Fig. 22

Vítor Pereira

original também será válida.

A área da secção da viga IPE 550, que vou designar por perfil equivalente, é semelhante à da

viga original, sendo que também é ligeiramente inferior. A encurvadura ocorrerá sobre o eixo

com menor momento de inércia (eixo z), por esse motivo apenas irei estudar esse caso.

As propriedades geométricas do perfil equivalente são as seguintes:

(89)

(90)

(91)

(92)

(93)

(94)

Propriedades do Material (Aço estrutural S275JR):

(95)

(96)

Dados do problema

Comprimento da coluna: (97)

Carga axial aplicada: (98)

Momento fletor aplicado no eixo z: (99)

Fig. 23

Vítor Pereira

Na secção 6.3.3 do Eurocódigo 3 [3] está definida a condição de validação à encurvadura em

elementos uniformes em flexão composta com compressão, que prevê carga axial e momentos

fletores nas extremidades em ambos os eixos principais de inércia. Como eu vou estudar a

encurvadura apenas no eixo z, a expressão fica simplificada

Para definir a classe do perfil, do quadro 5.2 do Eurocódigo 3 [3] retiramos que para a alma

(100)

(101)

(102)

Para classe 1

(103)

Verifica-se a condição, agora verificando para o banzo

(104)

Fig. 24

Fig. 25

Vítor Pereira

(105)

Para classe 1

(106)

Verifica-se a condição, logo esta viga pertence à classe 1

Do quadro 6.7 verificamos que para classe 1

Logo podemos simplificar novamente a expressão da condição de validação à encurvadura

Então a nossa expressão da condição de validação à encurvadura fica:

(107)

As resistências características da secção são dadas por:

(108)

(109)

O coeficiente χz é dado por

(110)

Fig. 26 – Quadro 6.7 do Eurocódigo 3 [3]

Vítor Pereira

em que Փ é dado pela seguinte expressão

(111)

O coeficiente α necessário na expressão (111) é dado pelo quadro 6.1, mas antes disso é

necessário verificar qual a curva de encurvadura normalizada deste tipo de perfil no quadro 6.2

Então sabemos que α para a expressão (111) é:

(112)

Agora para definir para as secções transversais das classes 1,2 e 3 necessário para as

expressões (110 e 111)

(113)

Para definir Le , o comprimento de encurvadura equivalente para condição de encastramento,

para aplicar na expressão (115) temos:

Fig. 27 – Quadro 6.2 Eurocódigo 3 [3] Escolha da curva de encurvadura

em função da secção transversal

Fig. 28 – Quadro 6.1 Eurocódigo 3 [3] Fatores de imperfeição para as

curvas de encurvadura

Vítor Pereira

(114)

A carga crítica para a expressão (117) é

(115)

O raio de giração para a expressão (113) é

(116)

O comprimento de encurvadura para a expressão (113) é

(117)

O coeficiente λ1 para a expressão (113) é

(118)

Já podemos calcular a expressão (113)

(119)

Já estamos em condições de calcular a expressão (111)

(120)

E também já podemos calcular a expressão (110)

(121)

O fator de iteração kzz pode ser definido por 2 métodos alternativos, que podem ser localizados

no anexo A ou B do Eurocódigo 3 [3]. A determinação deste coeficiente é algo extensa e obriga

a muitos cálculos parciais que considerei não ser relevante neste estudo investir muito tempo.

Por esse motivo utilizei o coeficiente kzz determinado no programa computacional COLBEAM

[5] especializado na verificação da encurvadura de acordo com o Eurocódigo 3 [3].

(122)

Do ponto 6.1 sabemos que o coeficiente parcial de segurança recomendado em relação à

encurvadura é:

=1.08

=0.624

Vítor Pereira

(123)

Então a nossa expressão da condição de validação à encurvadura (107) fica:

(124)

Logo conclui-se que a viga equivalente é válida à encurvadura pelo critério do [3] Eurocódigo

3.

Aplicando as mesmas condições que foram aplicadas no estudo anterior (Eurocódigo 3 [3]),

vou então analisar a coluna equivalente com o módulo de buckling do Solidworks simulation.

Podemos ver no resultado que esta coluna tem um coeficiente de segurança de 45, ou seja, posso

aumentar 45 vezes a carga de 42kN aplicada.

Conclui-se que o método mais conservador de todos é o método da secante e o menos

conservador é o do Solidworks. Com isto conclui-se também que o perfil original é válido à

encurvadura, visto que é válido pelo método da secante e este é o método mais conservador,

por isso estamos do lado da segurança.

Fig. 29

Vítor Pereira

2.13. Resultados dos cálculos

Foram feitos os cálculos analíticos e numéricos para cada perfil individualmente. Na tabela 5

está apresentado um quadro com as vigas selecionadas para cada troço e na tabela 6 está

apresentado um resumo dos valores das tensões obtidas em cada viga.

Vigas definidas

AB Tubo quadrado 70x70x5

BC Tubo quadrado 100x100x6,3

CE Tubo retangular 200x100x10

EJ Tubo retangular 250x100x10

JK Viga especial em chapa quinada

KL Tubo retangular 200x100x12,5

LQ Tubo retangular 200x100x10

Troço Tipo

cálculo

Axial

[MPa]

Flexão

Dir1

[MPa]

Flexão

Dir2

[MPa]

Tensão

normal

máx.

[MPa]

Torsão

[MPa]

Corte

Dir1

[MPa]

Corte

Dir2

[MPa]

Tensão

corte

max

[MPa]

SW

Worst

Case

[MPa]

Tensão

von

Mises

[MPa]

Utiliz.

do

perfil

AB SW 0,0 163,4 0,0 163,4 0,0 21,5 0,0 21,5 163,4 167,6 81%

Maple 0,0 163,4 0,0 163,4 0,0 21,7 0,0 21,7 - 167,6 81%

BC SW 0,0 185,8 0,0 185,8 0,0 11,8 0,0 11,8 185,8 186,9 91%

Maple 0,0 185,7 0,0 185,7 0,0 12,1 0,0 12,1 - 186,9 91%

CE SW 0,6 28,1 109,4 138,0 17,0 3,9 2,5 20,9 138,0 142,7 69%

Maple 0,6 28,1 109,4 138,0 6,7 4,3 1,9 11,0 - 139,3 68%

EJ SW 0,7 22,2 134,0 156,9 11,8 9,6 2,4 21,4 157,0 161,2 78%

Maple 0,6 21,2 126,1 147,9 7,8 10,3 1,9 18,1 - 151,2 73%

JK SW 3,2 146,3 12,5 162,0 54,0 1,4 0,9 55,4 161,7 188,3 98%

Maple - - - - - - - - - - -

KL SW 0,7 42,5 43,3 86,5 177,0 6,6 3,2 183,6 81,2 329,6 160%

Maple 0,7 43,0 42,5 86,2 178,0 7,4 2,4 185,4 - 332,5 161%

LQ SW 0,0 50,5 91,9 142,4 0,0 3,0 3,0 3,0 142,0 142,5 69%

Maple 0,0 50,5 91,8 142,4 0,0 3,5 2,2 3,5 - 142,5 69%

Podemos ver que o troço KL apresenta uma tensão de 332 MPa, que é superior ao máximo

admissível que é de 206 MPa. Essa zona teria que ser reforçada.

Tabela 6.

Tabela 5.

Fig. 30

Vítor Pereira

Relativamente aos resultados obtidos no Solidworks simulation, de seguida podemos ver os

resultados globais das tensões normais e tensões de corte

Analisando a figura 31, consegue-se perceber que o troço BC é o que apresenta a tensão normal

mais elevada de 185 MPa e pela figura 32 percebe-se que o troço KL apresenta a maior tensão

de corte de 177 MPa. Como o método de cálculo do Solidworks não combina as tensões de

corte com as tensões normais (apenas as podemos ver em separado), não é evidente apenas pela

Fig. 31 – Tensões normais

Fig. 32 – Tensões de corte

Vítor Pereira

análise destes gráficos que nesse troço temos uma tensão combinada de 332,5 MPa (ver tabela

6) que é muito superior ao máximo admissível (206 MPa).

Utilizando elementos finitos do tipo sólido, para fazer uma análise de pormenor da zona critica,

verificamos na fig. 33 que a tensão equivalente de von Mises (combinação das tensões normais

e de corte) é efetivamente 350 MPa e essa zona teria que ser reforçada, de forma que a tensão

máxima não ultrapassasse a tensão admissível

3. CONCLUSÕES

Com a elaboração deste trabalho consegui entender bem as vantagens da utilização dos

programas de cálculo automático pelo método dos elementos finitos, mas fiquei com a

sensibilidade para perceber que é sempre necessário ter uma análise crítica dos resultados.

Fiquei bastante surpreendido quando percebi que o módulo de cálculo de elementos finitos

do tipo viga do Solidworks simulation, versão 2015, não combina as tensões axiais com as

tensões de corte e que identifica o resultado da combinação das tensões axiais como “worst

case”, o que pode facilmente levar o utilizador a pensar que esse resultado é fruto da

combinação das tensões de corte e tensões axiais, podendo interpretar os resultados

incorretamente. Em relação ao fenómeno de encurvadura comparando vários métodos de

cálculo, foi possível entender qual deles é o mais conservador.

REFERÊNCIAS

[1] EN 1493:1998, Norma Europeia de Elevadores de Veículos.

[2] REAE - Regulamento de Estruturas de Aço para Edifícios

[3] EN 1991-1-3, Eurocódigo3 : Projeto de estruturas de aço - Instituto Português da

Qualidade, ENV 1993-1, 201

[4] Beer, F. P. e Johnston, E. R. (1992). Mechanics of Materials. 2ª edição, Mc Graw Hill.

[5] http://www.struprog.se/Colbeam.htm

Fig. 33 – Análise de pormenor com elementos finitos do tipo sólido