DINAMICA DE FLUIDOS - · PDF fileDefinir la dinámica de fluidos en fluidos incompresibles ideales y las diferentes ecuaciones. iii. Escribir la ecuación de Bernoulli, y sus aplicaciones

CAPITULO IV TEXTO GUIA HIDRAULICA I

DINAMICA DE FLUIDO

148

DINAMICA DE FLUIDOS

El capitulo trata sobre el estudio de los fluidos, tomando en cuenta las condiciones de

inicio de movimiento. Para este estudio se analizaran lo fluidos como ideales y reales; es

decir, en los ideales no se toman en cuenta conceptos como los de viscosidad, considerando

así solo fuerzas como las de corte y fricción, en el caso de los reales se tomaran todos los

aspectos a modo de asemejar del mayor modo posible el análisis a la realidad.

El agua en movimiento presenta problemas de solución más difícil e incierta que los

problemas tratados en la estática y cinemática de fluidos a causa de la presencia de

resistencias debidas a la fricción y otras causas perturbantes cuya acción muchas veces es

difícil o imposible expresar matemáticamente. La mayoría de los problemas concernientes a

la dinámica de fluidos; es decir, al flujo de fluidos en conductos y tubos implican la

predicción de las condiciones en una sección de un sistema, cuando se conocen las

condiciones de alguna otra sección (Fig4-1), la figura muestra una parte de un sistema de

distribución de fluido con el flujo corriendo de la sección 1, en el fondo, a la sección 2, en la

parte superior. En cualquier sección de dicho sistema, generalmente nos preocupa la presión

del fluido, la velocidad y la elevación de la sección. Recuerde que la elevación es el término

usado para definir la distancia vertical desde algún nivel de referencia a un punto de interés,

y se representa con la letra z. Cuando se tratan conductos y tubos, se mide la elevación a la

línea central de la sección de interés.


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149

IV.1 OBJETIVOS DEL CAPITULO

El capitulo a continuación abarca todo lo que implica la dinámica de fluido por lo que

al finalizar el mismo al alumno podrá:

i. Definir rapidez de flujo de volumen, de peso, de masa y sus respectivas

unidades.

ii. Definir la dinámica de fluidos en fluidos incompresibles ideales y las

diferentes ecuaciones.

iii. Escribir la ecuación de Bernoulli, y sus aplicaciones.

iv. Escribir la ecuación de la energía.

v. Definir flujo por orificios y sus ecuaciones fundamentales.

vi. Escribir la ecuación de cantidad de movimiento.

vii. Definir la dinámica de fluidos reales.

viii. Describir el efecto de la viscosidad y definir lo que es el número de

Reynolds.

ix. Escribir la ecuación de Navier-stokes.

x. Definir flujo uniforme y turbulento, así como la teoría de la capa limite.

xi. Definir distribución de velocidades y pérdidas de energía.


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150

IV.2 DINAMICA DE FLUIDOS IDEALES INCOMPRESBLES

Estos flujos cumplen el llamado teorema de Bernoulli, enunciado por el matemático y

científico suizo Daniel Bernoulli. El teorema afirma que la energía mecánica total de un flujo

incompresible y no viscoso (sin rozamiento) es constante a lo largo de una línea de corriente.

Las líneas de corriente son líneas de flujo imaginarias que siempre son paralelas a la

dirección del flujo en cada punto, y en el caso de flujo uniforme coinciden con la trayectoria

de las partículas individuales de fluido. El teorema de Bernoulli implica una relación entre

los efectos de la presión, la velocidad y la gravedad, e indica que la velocidad aumenta

cuando la presión disminuye. Para el autor John Muller: "Este principio es importante para la

medida de flujos, y también puede emplearse para predecir la fuerza de sustentación de un

ala en vuelo. En el caso de la dinámica de fluidos, el autor R.L Streeter, menciona que: "las

únicas fuerzas de superficie son las provocadas por la presión, que sumadas a las demás

fuerzas, o de gravedad, son las responsables del movimiento del fluido". Bajo estas

condicione Newton represento su segunda ley, aplicada a un elemento fluido, o ecuación de

cantidad de movimiento, la que se conoce como ecuación de Euler.

IV.2.1 ECUACION DE EULER

Euler amplió y perfeccionó la geometría plana y de los sólidos, introdujo el método

analítico a la trigonometría y a él se debe el tratamiento moderno de las funciones log (x) y

exp (x). Creó una consistente teoría de logaritmos de números negativos e imaginarios y

descubrió que log (x) tiene un número infinito de valores.

En el campo de la hidráulica podemos desarrollar las ecuaciones de movimiento de

fluidos ideales (Fig.4-2), en la figura se observan las fuerzas de presión sobre un volumen de

control, la presión que siente el elemento en sus lados debido al fluido que no tomamos en

cuenta, para tomarla como fuerza debe multiplicarse por el área en contacto. Estas fuerzas

estarán en cada lado del mismo. Estas fuerzas de presione desbalanceadas en cada eje son:


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151

xyzx

PFzxy

y

PFzyx

x

PF z

z

y

yx

x

; ;

Dividiendo todas estas fuerza por unidad de masa: zyxm

1

; 1

; 1

z

PF

y

PF

x

PF zyx

zyxPe 4.2.1

Tomando esta fuerza por unidad de masa tendremos:

z

PF

y

PF

x

PF

gzyx

zyx

m

P

zyx

c

1 ;

1 ;

1

La segunda ley de Newton dice: la sumatoria de las fuerzas que actúan sobre un cuerpo

deben ser igual a su masa por su aceleración: amF , en el análisis previo pusimos

todas las fuerzas por unidad de masa, por esa razón las fuerzas que hallamos precisamente

serán iguales a la aceleración en ese sentido:


DINAMICA DE FLUIDO

152

x

PV

z

VV

y

vV

x

V

t

Vz

xy

xx

xx

1 4.2.2

y

PV

z

VV

y

vV

x

V

t

Vz

y

y

y

x

yy

1 4.2.3

z

PV

z

VV

y

vV

x

V

t

Vz

zy

zx

zz

1 4.2.4

Estas últimas son las ecuaciones de Euler del movimiento de fluidos ideales. Estas

ecuaciones se interpretan de la siguiente manera: En los ejes X e Y las aceleraciones locales

o convectivas se traducen en un cambio de presiones en esa misma dirección, es decir que

una aceleración en este sentido provoca presión. En el sentido Z toda aceleración provoca un

cambio en la presión ayudada por el peso del cuerpo, por esto se introduce un cambio en la

altura piezométrica zP /

IV.3 RAPIDEZ DE FLUJO FLUIDO

La cantidad de flujo que fluye en un sistema por unidad de tiempo, se puede expresar

mediante tres términos:

Q La rapidez de flujo de volumen, es el volumen del flujo de fluido

que pasa por una sección por unidad de tiempo.

W La rapidez de flujo de peso, es la masa de fluido que fluye por

una sección por unidad de tiempo.

M La rapidez de flujo de masa, es la masa de fluido que fluye por

una sección por unidad de tiempo.

El más importante de estos tres es la rapidez de flujo de volumen, con la cual se

establece la siguiente relación:

AvQ 4.3.1

donde A es el área de la sección y v es la velocidad promedio del flujo. Las unidades de Q se

pueden derivar de la siguiente manera:

smsmmAvQ //* 32

RAPIDEZ DE

FLUJO DE

VOLUMEN

[m3/s]


DINAMICA DE FLUIDO

153

el peso w, esta relacionada con Q y γ, donde las unidades derivan de la siguiente manera:

sNsmmNQw //*/ 33

la masa m, esta relacionada con Q y la densidad ρ, y las unidades se derivan de la siguiente

manera:

skgsmmkgQm //*/ 33

IV.4 TEOREMA DE BERNOULLI-(Ecuación)

Daniel Bernoulli, en 1738, demostró un teorema general, referente al movimiento de

los fluidos, que es probablemente el más importante de la hidráulica. Toda la Hidrodinámica

reposa prácticamente en dicho teorema; y gran número de problemas hidráulicos pueden ser

resueltos con la única ayuda de dicho teorema. Al enunciarlo y demostrarlo, será mas simple

despreciar, al principio, todas las resistencias de fricción e investigar después de la influencia

de estas resistencias en los resultados.

De acuerdo con el teorema de Bernoulli, la carga absoluta en cualquier sección

transversal es igual a la carga absoluta en una sección de aguas abajo más las perdidas de

cargas intermedias. La carga de energía en todas las secciones es constante para corriente

uniforme y variable para corriente no uniforme.

Estrictamente hablando, el teorema de Bernoulli solo puede aplicarse a la sección

transversal de una corriente cuando la dirección transversal cuando la dirección de ésta sea

horizontal. Su deducción se basa en la hipótesis de que todas las velocidades son iguales y

que cada punto de la sección tiene el mismo contenido de energía.

Para efectos de demostración, vamos a considerar un flujo ideal, irrotacional,

permanente y unidimensional; en el que, analizaremos una línea de corriente, que coincida

con el eje de un filete o tubo de corriente, en la que consideramos un elemento diferencial de

fluido (Fig4-3).

RAPIDEZ DE

FLUJO DE PESO

RAPIDEZ DE

FLUJO DE MASA


DINAMICA DE FLUIDO

154

ds

dza

s

p

adAdsdAdAdss

pppdApdA

adAdsdAdAdss

pppdAmaF

cos0)(cos

0)(cos

)(cos

En la vena liquida considerada, ésta tiene un elemento diferencial de área ´dA´ y un

elemento longitudinal diferencial ´ds´, por lo que el peso de ella será γdAds. La fuerza que

produce la presión en la base inferior del filete será PdA y en el incremento ds la fuerza que

produce la presión en la base superior del filete será:

dAdss

pp

Entonces se puede hacer la sumatoria de fuerzas a través del eje ‘s’ considerado, y

aplicamos la segunda ley de Newton:


DINAMICA DE FLUIDO

155

02

ordenandoy fluido del especifico peso el entre dividiendo

02

V

:tendremos

eequivalent coseno ely n aceleracio la deecuacion esta doreemplazan

2

Vd

a

:finalmente obtiene se que lo de

dt

dVa

:comoexpresar puede sen aceleracio la

2

2

2

ds

zg

V

γ

pd

ds

d

ds

dz

s

p

ds

dt

dsVa

dt

dsa

ds

ds

cttezg

Vp

2

2

4.4.1

La ecuación obtenida es la ecuación de Bernoulli; la constante de integración (conocida

como constante de Bernoulli) generalmente varía de una línea de corriente a otra, pero

permanece constante a lo largo de una línea de corriente en flujo permanente, sin fricción e

incompresible. Estas cuatro suposiciones con necesarias y se deben tener presentes al aplicar

este ecuación. Cada término tiene dimensiones de (L/T2) o unidades de metros-newtons por

kilogramo.

2

22/

s

m

kg

smkgm

kg

Nm

Debido a que 1N=1Kg*m/s2, por consiguiente la Ec-1 se interpreta como energía por

unidad de masa.

Puede interpretarse como energía por unidad de peso, metros-newtons por newton.

Esta forma es particularmente conveniente para desarrollar problemas de líquidos con una

superficie libre.

Cada uno de los términos de la ecuación de Bernoulli puede interpretarse como una

forma de energía disponible.

Ec. Bernoulli


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156

Esta ecuación también se conoce como la ecuación de conservación de energía

mecánica. Es particularmente importante notar que esta ecuación de energía se dedujo de la

ecuación de momentum.

Las perdidas de energía debida a la fricción y a la transferencia de calor solamente

pueden incorporarse a la ecuación diferencial de energía completa.

Al aplicar la ecuación a dos puntos sobre una línea de corriente se obtiene,

g

vpz

g

vpz

22

2

222

2

111

4.4.2

Esta ecuación (4.4.2) muestra que lo importante es la diferencia en energía potencial,

energía de flujo y energía cinética. Por consiguiente, z1-z2 es independiente del nivel de

referencia particular, al igual que la diferencia en la elevación de los dos puntos.

Similarmente, p1/γ y –p2/γ es la diferencia en las cabezas de presión, expresada en unidades

de longitud del fluido fluyendo, y no se altera por la presión de referencia particular

seleccionada. Debido a que los términos de velocidad son no lineales, su nivel de referencia

es fijo.

Por tanto los términos de la ecuación de Bernoulli se conocen, a menudo, como

cabezas refiriéndose a una altura por encima de un nivel de referencia. El termino Z se le

llama cabeza de elevación, y el termino gv 2/2 se le conoce como cabeza de velocidad. La

suma de las tres se la conoce como cabeza total. Debido a que cada término representa una

altura, un diagrama como se presenta en la Fig4-4, la cual es la utilidad para visualizar la

relación entre los tres tipos de energía. Se observa que, debido a la suposición de que no se

pierde o se agrega energía, la cabeza total permanece a un nivel constante. Entonces, la

altura relativa de cada término de cabeza varía según lo establecido por la ecuación de

Bernoulli.

Ec. Bernoulli

desarrollada


DINAMICA DE FLUIDO

157

Como se muestra en la Fig4-3, la cabeza de velocidad en la sección 2 será menor que

en la sección 1. Esto se puede mostrar mediante la ecuación de continuidad,

)/( 2112

2211

AAvv

vAvA

4.4.3

Puesto que A1<A2, y 12 vv , como la velocidad está al cuadrado en el término

correspondiente a la cabeza de velocidad, gv 2/2

2 es mucho menor gv 2/2

1 . Así mismo

cuando se expande el tamaño de la sección como pasa en la Fig4-4, la cabeza de presión

aumenta debido a que disminuye la cabeza de velocidad. Sin embargo, el cambio real

también se ve afectado.

En resumen, la ecuación de Bernoulli explica el cambio en las cabezas de elevación,

de presión y de velocidad entre dos puntos en un sistema de flujo de fluido. Se supone que

no existen pérdidas o ganancias de energía entre los dos puntos, de modo que la cabeza total

permanece constante. Es esencial que la presión en los dos puntos de referencia se expresen,

ambas como presiones absolutas o como presiones manométricas. Es decir, deben tener las

dos la misma presión de referencia.


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158

IV.4.1 RESTRICCIONES A LA ECUACION DE BERNOULLI

Aunque la ecuación es aplicable a un gran número de problemas, es necesario

mencionar ciertas limitaciones con el fin de aplicar correctamente la ecuación.

Está será valida solo para fluidos incompresibles, dado que el peso especifico es el

mismo para las dos secciones.

No pueden haber dispositivos mecánicos entre las dos secciones tomadas en cuenta

para el análisis, estos pueden agregar o disminuir energía.

No puede haber transferencia de calor hacia adentro o fuera del fluido.

No debe haber pérdidas de energía debido a la fricción.

En la realidad ninguno de los sistemas satisfacen todas las restricciones. Sin embargo

existen muchos sistemas para los cuales solamente se tendrá un error pequeño y despreciable

al aplicar la ecuación.

PROCEDIMIENTO PARA LA APLICACIÓN DE LA ECUACION

DE BERNOULLI EN FLUJO PERMANENTE

Determine qué elementos son conocidos y qué se va a encontrar.

Decidir cuales dos secciones del sistema se utilizaran cuando se escriba la

ecuación. Se escoge una sección de la cual se conocen muchos datos.

La segunda es, por lo general, la sección en la cual se debe calcular algo.

Escriba la ecuación para las dos secciones elegidas en el sistema. Es

importante que la ecuación que la ecuación se escriba en la dirección del

flujo. Es decir, el flujo debe ir de la sección de la parte izquierda de la

ecuación a la parte derecha.

Simplifique la ecuación, si es posible, mediante la cancelación de los términos

cuyo valor es cero o de aquellos que son los mismos en ambos lados de la

ecuación.

Resuelva la ecuación algebraicamente para el término deseado.

Sustituya las cantidades conocidas y calcule el resultado, tome la precaución

de asegurar el uso de unidades consistentes a lo largo del cálculo.


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159

EJEMPLO DE APLICACIÓN La figura 4-4 muestra agua fluyendo a 10 ºC de

la sección 1 a la sección 2. En la sección 1, que tiene 25mm de diámetro, la

presión manométrica es de 345 Kpa y la velocidad de flujo es de 3.0 m/s. La

sección 2, que tiene 50mm de diámetro, esta a 2.0 m sobre la sección 1.

Suponiendo que no hay pérdidas de energía en el sistema, calcule la presión P2.

Solución.

mZZ

Kpap

smv

mmD

mmD

0.2

345

/0.3

50

25

12

2

1

2

1

Debe encontrarse la presión P2. Es decir debemos calcular la presión en la

sección 2, que es diferente de la sección 1, debido al cambio de elevación y de

área de flujo entre las dos secciones.

Se conoce P1, v1 y z1. Tenemos la ecuación de Bernoulli

g

vz

P

g

vz

P

22

2

22

2

2

11

1

Despejando P2 de la ecuación tenemos:

g

vz

g

vz

PP

g

vz

g

vz

PP

22

22

2

22

2

11

12

2

22

2

11

12

Sin embargo, es conveniente agrupar las cabezas de elevación y las cabezas de

velocidad. También, como 11 )/( PP , la solución final para P2 será:

g

vvzzPP

2

2

2

2

12112


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160

Sabemos que g=9.81Kn/m3, además sabemos que esta fluyendo agua a 10ºC en

el sistema, por tanto γ =9.81KN/m3. Nos queda por determinar 2v , para esto

recurrimos ala ecuación de continuidad vista en el capitulo anterior.

m/s.v

m/s. v A

Avv

mm/mmπ/ ππ A

mm/mmπ/πD A vAvA

750

03

19634504

4914254

2

12

112

222

22

222

112211

Ahora sustituyendo en la ecuación despejada en un principio tendremos:

2

22

32/81.92

/75.0/0.30.2

81.9345

sm

smsmm

m

KnKpaP

Se sabe que mzz 0.221 , debido a que z2 es mayor a z1

KpaP

KpaKpamKNKpaP

6.329

4.15345/4.15345

2

2

2

la presión encontrada es manométrica debido a que fue calculada con respecto de

P1, que también es una presión manométrica. En siguientes ejercicios

supondremos que estas presiones son manométricas a menos que se diga otra

cosa.

EJEMPLO DE APLICACIÓN Por la tubería mostrada en la figura 4-5, circula

agua, siendo la relación entre el diámetro en el punto 1 y el diámetro en el punto

2 igual a 2 .

En 1 la presión es de 0.5Kg/cm2 y la elevación 100 m. En 2 la presión es

3.38kg/cm2 y la elevación 70 m. Calcular la velocidad en dichos puntos

despreciando las pérdidas por rozamiento.


DINAMICA DE FLUIDO

161

(1) 2

1

:luego

2

1)(

:ndosimplifica

)4

4(

:donde de

: tienese dcontinuidaPor

2

1

2

21

2

2

1

2

221

2

1

2

221

2211

vv

vvd

dvv

d

dvv

AvAv

agua de 8.33

agua de 5

2

1

mw

p

mw

p

:(1)en valor este

segmv

segmv

/ 80.2

/ 60.5

1

2

Solución.

mz

mz

cmkg

cmkg

zzw

p

w

p

g

v

g

v

zw

p

g

vz

w

p

g

v

70

100

/38.3p

/5.0p

:problema del datos losSegun

(2) 22

:dotrasponien

22

:Bernuollipor

2

1

2

2

2

1

212112

22

2

21

1

2

1

segmv

g.v

).g(vv

..g

v

g

v

/ 60.536.313

6.98.9

693

2184

2170100833582

(2)en (1)y datos estos doreemplazan

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2


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162

APLICACIÓN DEL TEOREMA DE BERNOULLI EN FLUJO

NO PERMANENTE

Se requiere a veces determinar el tiempo necesario para vaciar un reservorio, o

el tiempo empleado para que el nivel del liquido baje una cierta altura; es por ello que

es necesario determinar una expresión matemática que nos que nos determine el

mencionado tiempo. Para efectos didácticos se elige un orificio con carga variable.

Como ejemplo de aplicación de este caso podemos mencionar la aplicación del

teorema en el gasto de un orificio con carga variable.

Sea h1 la carga del orificio en el momento inicial, como se muestra en la figura

4-6, y h2 la carga, al final de cierto tiempo “t”. Supondremos como constante la sección

transversal horizontal del reservorio.

En cualquier instante determinado, la velocidad del chorro será:

ghCV v 2

donde h es la carga variable en el instante considerado. El gasto que seria descargado

por el orificio será:

ghaCQ d 2

En un tiempo infinitesimal “dt” se descargará un volumen dVol, por lo que el

caudal que desciende en el reservorio será:

dt

dVolQ


DINAMICA DE FLUIDO

163

dhhghaC

Adt

ghaCdt

Adh

dt

AdhQ

d

d

21

2

2

anteriores dos las igualando

Pero en ese mismo instante, la carga habrá disminuido una cantidad

infinitesimal dh; entonces este caudal puede ser expresado por la siguiente ecuación:

si en esta ultima ecuación, integramos en el tiempo de 0 a t e integramos h de h1 a h2,

tendremos entonces:

gaC

hhAT

d 22 21 4.4.4

EJEMPLO DE APLICACIÓN En los primeros cinco minutos un recipiente

que tiene un orificio en el fondo desciende 1 metro de su nivel inicial y en los

siguientes 6 minutos desciende otro metro. Determinar cual es el nivel inicial

del recipiente.

Solución. Se considerará como punto de referencia la altura intermedia del

recipiente entre los dos tiempos dados por el problema

21

21

12

2300 HH

gaC

A

d

21

21

12

2360 HH

gaC

A

d

Dividiendo las dos ecuaciones se obtiene:

11H1/2

-5(H-1)1/2

= 6(H+1)1/2

despejando esta ecuación obtendremos la altura del nivel inicial:

mH 82.2

[s] Tiempo de descarga


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164

IV.5 FLUJO EN ORIFICIOS-TEOREMA DE TORRICELLI

El termino orificio, según se usa en hidráulica, se aplica a cualquier abertura, con

perímetro cerrado, practicada en una pared o tabique que permite el derrame del agua

contenida en un recipiente. Los orificios entran en el diseño de muchas estructuras

hidráulicas; y se usan frecuentemente en la medición de caudales de las corrientes fluidas.

Los mas usados son lo circulares, El agua que fluye por orificios de conforme va

abandonando el orificio, el chorro va contrayéndose gradualmente, hasta formar un chorro

cuya área transversal es algo menor que el área transversal del orificio. Esto se debe a la

convergencia de las trayectorias seguidas por las diferentes partículas, conforme se acercan

al orificio. Supóngase un deposito de liquido (Fig4-7), este tiene en la parte inferior un

orificio por el que sale el liquido; el área del orificio es pequeño y el de el deposito es

suficientemente grande, y siendo el flujo permanente, de manera que el gasto que sale por el

orificio es igual al gasto que entrara en el deposito, por lo que se tendrá una altura del liquido

“h”.

Suponiendo el flujo ideal, podemos partir de la ecuación de Bernoulli entre el punto

“0” en la superficie del deposito y el punto de salida del orificio.

sss zg

VPz

g

VP

220

00

Vemos que P0=Ps; V0 =es aproximadamente cero y zs =0, tendremos:

ss

s

zzgV

g

Vh

0

2

2

2

ghVs 2 4.5.1

esta última ecuación (4.5.1) se conoce como Teorema de Torricelli.

[m/s]


DINAMICA DE FLUIDO

165

Donde la velocidad es igual a la que adquiriría una partícula de fluido al caer

libremente desde una altura “h” (velocidad ideal) y esta es independiente del peso especifico

del fluido; con alcohol y mercurio la velocidad seria la misma.

En un orificio situado en un plano horizontal (Fig4-8), todas sus partes estarán bajo las

mismas cargas, y la velocidad de todas las partículas será igual, al llegar a la sección

contraída. en este caso el chorro de agua se elevaría hasta una altura igual a la carga que

produce. Por supuesto, que la resistencia del aire impide que esto suceda en la realidad,

como también lo impiden la fricción entre el agua y el orificio, y la fricción de las partículas

de agua. Los experimentos han enseñado que, para cargas bajas (< 2 y 2.5 metros), la

discrepancia es muy pequeña, aumentando conforme aumenta la carga.

Para desarrollar este caso podemos partir de Bernoulli. Primero obtenemos una

expresión para la velocidad del chorro en el punto 2.

g

vz

P

g

vz

P

22

2

22

2

2

11

1

ghv 22

ahora se escribe la ecuación de Bernoulli entre los puntos 2 y 3 en el nivel de la superficie

libre del fluido:

g

vz

P

g

vz

P

22

2

33

3

2

22

2


DINAMICA DE FLUIDO

166

Pero 032 PP . Entonces para 3v , tendremos:

hzz

ghv

zzgvv

)(

2

)(2

32

2

2

32

2

23

Tenemos:

0)(223 hgghv 4.5.2

este resultado verifica que la corriente alcanza justamente la altura de la superficie libre de

fluido en el tanque.

Para alcanzar una altura mayor (fuentes), se puede desarrollar una mayor presión por

encima del fluido en el recipiente, o se puede utilizar una bomba para obtener una mayor

presión.

EJEMPLO DE APLICACIÓN Para el tanque de la figura, calcular la

velocidad de flujo que sale de la boquilla para una profundidad de fluido de 3.0

m.

Solución. Esta es una aplicación directa del teorema de Torricelli:

smv

msmv

ghv

s

s

s

/67.7

)0.3)(/81.9(2

2

2

[m/s]


DINAMICA DE FLUIDO

167

EJEMPLO DE APLICACIÓN Para el sistema ilustrado en la figura 4-9,

calcular la presión de aire requerida por encima del agua para hacer que el

chorro suba 40.0 desde la boquilla. La profundidad es de 6.0 pies.

Solución. Usamos la ecuación de Bernoulli para obtener una expresión para la

velocidad de flujo en la boquilla como función de la presión de aire:

g

vz

P

g

vz

P

22

2

22

2

2

11

1

vemos que 01 v y que P2 =0, tendremos:

)()/(2 2112 zzPgv

hPgv )/(2 12

Esta ecuación es parecida a la del teorema de Torricelli. Por analogía, el

sistema presurizado hará que el chorro se eleve a una altura hP /1 .

Entonces, en este problema, si deseamos una altura de 40 pies y h = 6 pies

piesP 34640/1

)34(1 piesP

)lg144/()34)(/4.62( 23

1 pupiespieslbP

relativapulbP lg/73.14 2

1

IV.5.1 TRAYECTORIA DE LA VENA LIQUIDA

En la Figura 4-10 se ilustra una vena que se derrama por un orificio vertical bajo una

carga h. La abscisa y la ordenada de un punto m, situado en la trayectoria del chorro son

respectivamente x e y. Si v es la velocidad en la vena contracta, al final del tiempo t,

entonces

vtx

por la ley de la caída de los cuerpos,

2

21 gty

igualando a t y reemplazando

yg

vx

22 2 4.5.3


DINAMICA DE FLUIDO

168

Esta es la ecuación de una parábola con su vértice en el orificio, como

ghCv v 2

la ecuación (4.5.3) podrá escribirse en la forma:

hyCx v

22 4 4.5.4

IV.5.2 COEFICIENTE DE VELOCIDAD

Este se obtiene generalmente haciendo una serie de mediciones de trayectoria del

chorro. Si una partícula sale del orificio con una velocidad Vr, y después de “t” segundos se

halla la posición en un punto determinado de la trayectoria de la vena liquida (4.5.4), de

donde tomando las ecuaciones del punto anterior,

ghCv vr 2

despejando obtendremos:

gh

y

gx

Cv2

2 4.5.5

o Vr ; velocidad real de la partícula fluida

o Cv ; coeficiente de velocidad

Ec. para calcular la velocidad real de la

partícula fluida.

Ec. de una parábola


DINAMICA DE FLUIDO

169

IV.5.3 COEFICIENTE DE CONTRACION

Como se comento anteriormente el chorro de liquido al salir del orificio se contrae de

manera que el área efectiva del chorro es ligeramente menor que el área del orificio,

entonces podemos hacer una relación de áreas, esta relación se denomina coeficiente de

contracción (Cc), este coeficiente varía ligeramente con el tamaño del orificio y con la carga

de líquido, tienen un valor promedio de 0.62 aproximadamente, para orificios Standard. Su

uso principal se halla en la determinación del área transversal de la vena liquida, en la

sección contraída (Fig4-11).

Este coeficiente será:

cc ACaA

aC 4.5.6

o a ; área de la vena liquida

o A ; área del orificio

o Cc ; coeficiente de contracción

Por relación entre las formulas vistas anteriormente, podemos relacionar directamente

los tres coeficientes vistos:

vcd CCC

se muestra a continuación una tabla donde se observan las variaciones de estos coeficientes

con el uso de esta ecuación

Cv 1 0,99 0,98 0,97 0,96 0,95

Cc 0,586 0,6 0,615 0,31 0,47 0,664

Cd 0,586 0,594 0,603 0,12 0,621 0,631

Fuente: Introducción a la Hidráulica-

Texto auxiliar de la materia


DINAMICA DE FLUIDO

170

IV.5.4 COEFICIENTE DE GASTO O DESCARGA

La cantidad o volumen “Vol” que fluye del orificio, por unidad de tiempo “t”, puede

expresarse por el producto del área efectiva “a” de la sección contraída, por la velocidad

efectiva “Vr”, adquirida por el agua al pasar por dicha sección; tenemos:

ghACCghCACaVQ vcvcrr 2)2)(( 4.5.7

Donde CcCv = Cd , por lo que la ecuación (4.5.7) puede escribirse como:

ghACQ dr 2 4.5.8

t

rd

Q

QC 4.5.9

o Qr ; caudal real

o Qt = A(2gh)1/2

; caudal teórico

este caudal teórico tendría lugar si no hubiera fricción, ni contracción de la vena liquida.

IV.5.5 PERDIDA DE CARGA EN UN ORIFICIO

A causa del rozamiento y de la viscosidad, la velocidad del agua que se derrama por un

orificio es menor que gh2 , o sea:

ghCv v 2

la carga total que produce el derrame es, por lo tanto,

g

v

Ch

v2

1 2

2 4.5.10

la carga perdida es igual a la cara total menos la carga de velocidad, o sea, si ho es la carga

perdida,

g

v

Cg

v

g

v

Ch

vv

o2

11

22

1 2

2

22

2

4.5.11

[m3/s]

[m]

[m]


DINAMICA DE FLUIDO

171

como tvvCv ; donde teoricavelocidadvt ,

hCh vo )1(2

4.5.12

Si, para un orificio de arista viva, Cv =0.98, se obtiene la siguiente relación:

hg

vho 040.0

2041.0

2

4.5.13

IV.5.6 ORIFICIO SUJETO A CARGAS BAJAS

Se tiene que, ghACQ c 2 , bajo la hipótesis de que la carga que produce el derrame

es la que obra en el centro del orificio. Cuando en un orificio vertical éste es pequeño en

relación con la altura del mismo, hay una diferencia apreciable entre el derrame teórico

verdadero y el dado por la ecuación ghACQ c 2 .

En la figura 4-12 se ilustra un orificio rectangular de ancho L y altura M. Las cargas

respectivas sobre los bordes superior e inferior del orificio son h1 y h2. Despreciando la

velocidad de llegada o acceso, el derrame teórico a través de una faja elemental de área Ldy,

bajo una carga y, es

dygyLdQt 2 4.5.14

integrada entre los límites h1 y h2,

)(2 2/3

1

2/3

232 hhgLQt 4.5.15

[m]

[m]

[m3/s]


DINAMICA DE FLUIDO

172

Cuando h1 es cero tendremos:

)(2 2/3

232 hgLQt 4.5.16

esta es la formula teórica, sin corrección Por velocidad de acceso, para el derrame de un

vertedero. La ecuación (4.5.15) es el derrame teórico para orificios rectangulares. Para

orificios circulares se puede deducir una formula semejante pero mas complicada.

IV.5.7 ORIFICIOS SUMERGIDOS O AHOGADOS

Si un orificio descarga completamente dentro del agua, recibe el nombre de

“sumergido”. Estos orificios son de uso frecuente en las obras de ingeniería como en las

esclusas, canales de escape, compuertas de marea, y muchas otras construcciones (Fig4-13).

Supóngase dos recipientes como se muestra en la figura 4-12, expuestos a la presión

atmosférica. Se tendrá entonces para los puntos “o” y “s”

2

2

1 33.102

33.100 Hg

VH s

de donde:

)(2 21 HHgVs

gHVs 2 4.5.17

Se demuestra entonces fácilmente que el valor teórico de la velocidad es gH2 ,

donde H es la diferencia entre los niveles de agua. El gasto será, como antes:

ghACQ d 2 4.5.18

[m3/s]

[m/s]

[m3/s]


DINAMICA DE FLUIDO

173

IV.5.8 ORIFICIO EN LAS TUBERIAS

En la figura 4-14 se ilustra un orificio circular de arista viva dentro de un tubo. La

velocidad en la vena contracta “2”, se obtiene por la formula,

1

2

1212

22 h

g

v

w

p

w

pgv

reemplazando el término de pérdida de energía, h1, por Cv , esta ecuación se transforma en:

g

v

w

p

w

pgCv v

22

2

1212

En los orificios de los tubos no puede omitirse el factor de corrección por velocidad de

acceso ( gv 2/2

1 ). Nuevamente, haciendo ACA c2 y vc CCC , la expresión para el

derrame o gasto se transforma en,

g

v

w

p

w

pgCAQ

22

2

121 4.5.19

En esta forma la ecuación (4.5.19) requiere una solución por aproximaciones sucesivas.

Sin embargo, sustituyendo 2

1v por su valor obtenido de la ecuación de continuidad 1/ AQ ,

donde A1, es el área del tubo, se deduce la siguiente expresión:

2

1

2

21

1

2

A

AC

w

p

w

pg

CAQ 4.5.20


DINAMICA DE FLUIDO

174

El valor de C varia no solamente con los factores que afectan a los orificios de los

depósitos, sino también con la relación del diámetro del orificio, d, al del tubo, d1, y con el

lugar donde se efectúan las tomas de presión. Los experimentos indican que la vena

contracta esta aproximadamente a la mitad del diámetro del tubo, aguas abajo del orificio.

Cuando el orificio esta en el extremo del tubo, p2 es igual a cero en la formula (4.5.20) y

solamente se requiere un injerto o toma de presión. En la figura 4-15 se muestran dos curvas

que ilustran la relación entre C y el número de Reynolds. Algunas partes de la curva

aparecen de trazos porque los valores de R son inciertos, debido a los escasos datos de que se

dispone en esta región. En los anexos del presente capitulo se presenta información adicional

relativa a los coeficientes de gato o derrame para las tomas de presión en la vena contracta y

para los injertos de brida.

IV.5.9 GASTO EN ORIFICIOS DE PARED GRUESA

Cuando el contorno del orificio en estudio no tiene aristas afiladas, se dice que el

orificio es de pared gruesa. En este tipo de orificios podemos notar que después de la sección

contraída, el chorro aun tiene espacio dentro del tubo para expandirse y llenar la totalidad de

la sección (Fig4-16). Ver Anexos

Fuente: Manual de Hidráulica-H.W. King,

E.F. Brater


DINAMICA DE FLUIDO

175

Entre la vena contraída y el final del tubo ocurre un rápido descenso en la velocidad,

acompañado de una turbulencia y una fuerte perdida de energía, en este caso la velocidad

será:

ghCV v 2 4.5.21

Donde:

o Cv =0.82 para e/D=3

o Cc =1

o Cd =0.82

Por lo que el gasto es aproximadamente, un tercio mayor que en un orificio de pared

delgada. Este se debe a que el la sección contraída se forma un vació parcial con presión

ligeramente menor a la atmosférica, lo que aumenta el valor efectivo de la carga H.

IV.6 ECUACION GENERAL DE LA ENERGIA

Cuando se desarrollo la ecuación de Bernoulli, y se mencionaron algunas restricciones,

por lo que se menciono un pequeño error despreciable en el resultado obtenido. Sin embargo

para un sistema donde existen, algunas perdidas y adiciones de energía entre las secciones de

interés, esto sucede generalmente cuando intervienen dispositivos mecánicos tales como

bombas, válvulas, conectores, etc. Para este tipo de sistemas la ecuación de Bernoulli ya no

es valida. Con respecto al efecto que tienen los dispositivo mecánicos sobre el flujo, pueden

clasificarse como dispositivos que añaden energía o succionan energía (Fig4-17)


DINAMICA DE FLUIDO

176

Los motores de fluido, turbinas, accionadores giratorios y lineales son ejemplos de

dispositivos que toman energía de un fluido y la transfieren en forma de trabajo, ocasionando

la rotación de un eje o el movimiento lineal de un pistón.

Muchos motores de fluido tienen la misma configuración básica que las bombas; la

principal diferencia entre una bomba y un motor de fluido es que cuando se pone en

funcionamiento un motor, el fluido pone elementos giratorios en funcionamiento. Las

bombas funcionan a la inversa (Fig4-18). En algunos diseños, como el de los engranajes la

bomba podría actuar como motor.

Un fluido ofrece una resistencia de fricción al fluido. Parte de la energía del sistema se

convierte en energía térmica (calor), el cual se disipa a través de las paredes del conducto en

el que el fluido se desplaza. La magnitud de la pérdida de energía depende de las

propiedades del fluido, la velocidad de flujo, el tamaño del conducto, la rugosidad de la

pared del conducto y la longitud del tubo.

Los elementos que controlan la dirección o la rapidez de flujo de un fluido en un

sistema, típicamente establecen turbulencias locales en el fluido, ocasionando que la energía

se disipe en forma de calor (Fig4-19), estas perdidas de energía se presentan siempre que

haya una restricción, un cambio de velocidad de flujo o un cambio en su dirección.


DINAMICA DE FLUIDO

177

En un sistema grande, las pérdidas debidas a la presencia de válvulas y conectores es

pequeña en comparación con las pérdidas por fricción en los conductos, estas son

denominadas perdidas menores.

IV.6.1 NOMENCLATURA DE PÉRDIDAS Y ADICIONES DE ENERGIA

Se explican las perdidas y las adiciones de energía en un sistema en términos de

energía por unidad de peso o de fluido que fluye en el sistema. A esto también se le conoce

como “cabeza”. Como un símbolo para el término cabeza usaremos la letra h, cuando se

hable de pérdidas y adiciones de energía. Específicamente, utilizaremos los términos

siguientes:

hA = energía añadida o agregada al fluido mediante un dispositivo mecánico

como puede ser una bomba.

hR = energía removida o retirada del fluido mediante un dispositivo

mecánico como podría ser un motor de fluido.

hL = perdidas de energía por parte del sistema, debidas a fricción en los

conductos, o perdidas menores debida a la presencia de válvulas y

conectores.


DINAMICA DE FLUIDO

178

No tomaremos en cuenta los efectos de la transferencia de calor hacia o fuera del

fluido, ya que son despreciables en los tipos de problemas que estamos tratando. La

magnitud de las perdidas de energía producidas por muchos tipos de válvulas y de

conectores es directamente proporcional a la velocidad del fluido. Lo anterior se puede

expresar de manera matemática como:

)2/( 2 gvKhL 4.6.1

El termino K es el coeficiente de resistencia, que por lo general se le encuentra

experimentalmente.

IV.6.2 ECUACION DE LA ENERGIA

La ecuación general de la energía, es una expansión de la ecuación de Bernoulli, que

hace posible resolver problemas en los que se presentan pérdidas y adiciones de energía.

La interpretación lógica de la ecuación de energía se puede ver en la figura 4-20, que

representa un sistema de flujo.

Los términos '

1E y '

2E denotan la energía que posee el fluido por unidad de peso en las

secciones 1 y 2, respectivamente. También se muestra las adiciones, remociones y

pérdidas de energía, hA, hR y hL. Para tal sistema, la expresión del principio de

conservación de energía es:

'

2

'

1 EhhhE LRA

la energía que posee el fluido por unidad de peso es:

g

vz

PE

2

2'

4.6.2

[m]


DINAMICA DE FLUIDO

179

la ecuación 4.6.2 queda entonces:

g

vz

Phhh

g

vz

PLRA

22

2

22

2

2

11

1

4.6.3

Esta es la forma de la ecuación de energía que utilizaremos con más frecuencia en

el libro. Al igual que la ecuación de Bernoulli, cada término de la ecuación representa una

cantidad de energía por unidad de peso de fluido que fluye en el sistema. Las unidades SI

típicas son N. m/N o metros. Las unidades en el Sistema Británico de Unidades son lb-

pie/lb o pie.

Es de suma importancia que la ecuación general de energía esté escrita en la

dirección de flujo, es decir, desde el punto de referencia, en la parte izquierda de la

ecuación, al punto correspondiente, en el lado derecho. Los signos algebraicos juegan un

papel crítico, debido a que el lado izquierdo de la ecuación establece que un elemento de

fluido que tenga una cierta cantidad de energía por unidad de peso en la sección 1, pueda

tener una adición de energía (+hA), una remoción de energía (-hR) o una pérdida de energía

(-hL), antes de que alcance la sección 2. En tal punto contiene una cantidad diferente de

energía por unidad de peso según lo indican los términos de la parte derecha de la

ecuación.

Por ejemplo, en la figura 4-20, los puntos de referencia son 1 y 2, y en cada uno de

estos se indican las cabezas de presión, de velocidad y de elevación. Después de que el

fluido abandona el punto 1, entra a la bomba, donde se le agrega energía. Un movilizador

principal, que podría ser un motor eléctrico, hace funcionar la bomba y su movilizador

transfiere la energía al fluido (+hA). Entonces el fluido fluye por un sistema de conductos

compuesto por una válvula, codos y tramos de conducto en los que la energía se disipa (-

hL). Ante de alcanzar el punto 2, el fluido fluye a través de un motor de fluido que retira

algo de la energía para hacer funcionar un dispositivo externo (-hR). La ecuación general

de la energía toma en cuenta todas esas energías. En caso de no tener alguno de los

dispositivos, estos serán cero, y pueden sacarse de la ecuación.

EJEMPLO DE APLICACIÓN De un recipiente grande fluye agua con una

rapidez de 1.2 pies3/s a través de un sistema de conductos (Fig4-21). Calcular la

cantidad total de energía perdida en el sistema debido a la presencia de la

válvula, los codos, la entrada del tubo y la fricción del fluido.


DINAMICA DE FLUIDO

180

Utilizando un planteamiento similar al usado con la ecuación de Bernoulli, elija

las dos secciones de interés (1 y 2).

Las secciones en las que conocemos la mayor información sobre presión,

velocidad y elevación son la superficie del recipiente y la corriente libre del

fluido a la salida del conducto, determinamos cuales términos de la ecuación de

la energía son cero:

g

vz

Phhh

g

vz

PLRA

22

2

22

2

2

11

1

o P1 = 0 ; superficie del recipiente expuesta a la atmósfera

o P2 = 0 ; corriente libre de fluido expuesta a la atmósfera

o V1= 0 ; (aproximado) el área superficial del recipiente es grande

o hA = hR = 0 ; no hay dispositivos mecánicos

Entonces nuestra ecuación se resume a:

g

vzhz L

2

2

221

Puesto que estamos buscando la perdida de energía total del sistema hallamos

hL

g

vzzhL

2)(

2

221

pieszz 2521

22 / AQv


DINAMICA DE FLUIDO

181

Puesto que Q = 1.2pies3/s y el área de un chorro de 3 pulgadas de diámetro es

de 0.0491 pies2,

spiespiess

pies

A

Qv /4.24

0491.0

1*

2.12

3

2

2

piesg

v25.9

)2.32(2

)4.24(

2

22

2

Entonces la cantidad total de energía perdida por el sistema será:

piespiesgvzzhL 25.9252/)( 2

221

pieshL 75.15

IV.7 FLUJO LAMINAR Y FLUJO TURBULENTO

Cuando se analiza un fluido en una corriente de flujo, es importante ser capaces de

determinar el carácter de este flujo. En algunas condiciones, el fluido parecerá que fluye en

capas, de una manera uniforme y regular. Además se puede observar este fenómeno cuando

se abre un grifo de agua lentamente, hasta que el chorro es uniforme y estable. Este tipo de

flujo se lo conoce como flujo laminar.

Dirección del flujo por láminas


DINAMICA DE FLUIDO

182

Experimento para determinar flujo laminar

En la figura 4-24, se muestra una manera de ver al flujo laminar, en un conducto

circular. Anillos concéntricos de fluido se trasladan siguiendo una trayectoria recta y

uniforme. Hay poca mezcla del fluido a través de los “limites” de capa a capa, conforme el

flujo se desplaza por el conducto.

En realidad, el fluido esta conformado por un numero infinito de capas. Otra forma de

ver al flujo laminar es en un tubo de vidrio donde fluye agua, donde se inyecta una partícula

o una corriente de otro fluido (Fig4-25), esta se desplazara en una línea recta no se mezclara

con el volumen del fluido siempre y cuando este flujo siga siendo laminar. El flujo laminar

en un canal abierto (Fig4-26), se le llama flujo tranquilo. Un flujo tranquilo sobre un muro

aparece como una lamina uniforme de fluido, lo cal se utiliza a menudo en fuentes de ornato.

Flujo laminar en canal abierto


DINAMICA DE FLUIDO

183

Experimento para determinar flujo turbulento

El flujo laminar esta gobernado por la ley que relaciona la tensión cortante con la

velocidad de deformación angular, es decir, la tensión cortante es igual al producto de la

viscosidad del fluido por el gradiente de las velocidades o bien dydv / . La viscosidad

es la magnitud física predominante y su acción amortigua cualquier tendencia a la tubería.

El flujo turbulento es un movimiento no uniforme de las partículas, de forma

desordenada en todas las direcciones. Es imposible conocer la trayectoria de una partícula

individualmente (Fig4-27). La tensión cortante en el flujo turbulento puede expresarse como:

dy

dv 4.7.1

Donde η(eta) = un factor que depende de la densidad del fluido y de las características

del movimiento. El primer término entre paréntesis (μ) representa los efectos debidos a la

turbulencia.

Mediante los resultados obtenidos experimentalmente puede obtenerse la solución de

las tensiones cortantes en el caso de flujos turbulentos. Prandtl sugirió:

2

2

dy

dvl 4.7.2

Para expresar las tensiones cortantes en flujos turbulentos. Esta formula tiene el

inconveniente de que la longitud de mezcla (l) es función de y. Cuanto mayor es y, distancia

de la pared a la tubería, mayor es el valor de l. Posteriormente Von Karman sugirió:

222

4

2

0

0

/

/1

dyvd

dydvk

r

y

4.7.3

Aunque k no es una constante, este número adimensional se mantiene

aproximadamente igual a 0.40.


DINAMICA DE FLUIDO

184

IV.8 NÚMERO DE REYNOLDS

El comportamiento de un fluido, particularmente con respecto a las perdidas de

energía, depende bastante de si el flujo es laminar o turbulento. Por esta razón deseamos

tener medios para predecir el tipo de flujo sin necesidad de observarlo. En efecto, la

observación directa es imposible para fluidos que se encuentran en conductos opacos. Se

puede mostrar experimentalmente y analíticamente que el carácter del flujo en un conducto

redondo depende de cuatro variables.

Este número viene de la relación entre las fuerzas inerciales (FI) y las fuerzas de

viscosidad (FV):

T

LV

T

L

T

LLMaF

dd

I

3

2

4

2

3

;

T

LL

L

T

L

Ady

dvAF

ddd

V

22

LV

T

LT

LV

F

F

V

I 2

3

VLLVRe 4.8.1

donde:

L ; longitud característica del campo de flujo, en caso de tuberías el diámetro, en caso

de placas paralelas, la separación entre ellas.

V ; velocidad media del campo de flujo.

ρ ; densidad del fluido.

μ ; viscosidad del fluido.

υ ; viscosidad cinemática del fluido.

IV.8.1 NUMEROS DE REYNOLDS CRITICOS

Para aplicaciones practicas en flujos de conductos, tenemos que si el numero de

Reynolds para el flujo es menor que 2000, el flujo será laminar. Tenemos también que si el

numero de Reynolds es mayor que 4000, se puede suponer que el flujo es turbulento. En el

intervalo de números de Reynolds comprendido entre 2000 y 4000, es imposible predecir

que tipo de flujo existe; por consiguiente, este intervalo se lo conoce como región critica.

Las aplicaciones típicas involucran flujos que e encuentran bien colocados en el intervalo de

los flujos laminares o en el intervalo de los flujos turbulentos, de modo que la existencia de

esta región de incertidumbre no ocasiona gran dificultad.


DINAMICA DE FLUIDO

185

Mediante una cuidadosa minimización de las perturbaciones externas, es posible

mantener un flujo laminar para números de Reynolds hasta de 50000. Sin embargo, cuando

NR es mayor que aproximadamente 4000, una perturbación menor ocasionaría un cambio

súbito en el flujo de laminar a turbulento. Es por esta razón, y por que estamos tratando con

aplicaciones prácticas supondremos:

Si NR < 2000, el flujo es laminar

Si NR > 4000, el flujo es turbulento

EJEMPLO DE APLICACIÓN Determinar si el flujo es laminar o turbulento,

si fluye glicerina a 25 ºC en un conducto cuyo diámetro inferior es de 150 mm.

La velocidad promedio de flujo es de 3.6 m/s.

Solución. Se debe evaluar Reynolds,

dNR

)(1060.9

)(/1258

15.0

/6.3

1

3

anexossPa

anexosmkg

md

smv

Entonces tendremos:

7081060.9

)1258)(15.0)(6.3(1

RN

debido a que NR = 708, menor que 2000, el flujo será laminar. Obsérvese que

todos los términos fueron convertidos a unidades SI antes de evaluar NR.

IV.9 DINAMIC A DE FLUIDOS REALES

Al incluir el análisis del movimiento de los fluidos, se debe tomar en cuenta varios

factores que interviene en el movimiento de estos fluidos, uno de estos factores es la

viscosidad, está influye en la velocidad directamente, de tal manera que los flujos son

rotacionales, por lo tanto las deformaciones mencionadas anteriormente juegan un papel

importante en el estudio de estos.

Los fluidos reales se mueven generalmente bajo dos tipos de flujo, estos son el laminar

o viscoso, donde el flujo es dominado por las acciones de la viscosidad, es decir , esta se

mueve en capa paralelas, y el otro tipo de flujo turbulento (se vieron anteriormente en el

punto IV.9 del presente), además de las fuerzas debidas a la viscosidad, actúan otras

originadas por el intercambio aleatorio y permanente de cantidad de movimiento dentro del

campo de flujo, produciendo así un movimiento inestable.


DINAMICA DE FLUIDO

186

IV.9.1 EFECTO DE LA VISCOSIDAD

Si se considera la deformación de dos fluidos newtonianos diferentes, por ejemplo,

glicerina y agua, se encontrará que se deforman con diferente rapidez para una misma fuerza

cortante. La glicerina ofrece mucha mayor resistencia a la deformación que el agua; se dice

entonces que es mucho más viscosa.

En la mecánica de fluidos se emplea muy frecuentemente el cociente de la viscosidad

absoluta, “μ”, entre la densidad, “ρ”. Este cociente recibe el nombre de viscosidad

cinemática y se representa mediante el símbolo v. Como la densidad tiene dimensiones

[M/Lt], las dimensiones que resultan para v son [L2/t]. En el sistema métrico absoluto de

unidades, la unidad para v recibe el nombre de stoke = cm2/s.

La viscosidad es una manifestación del movimiento molecular dentro del fluido. Las

moléculas de regiones con alta velocidad global chocan con las moléculas que se mueven

con una velocidad global menor, y viceversa. Estos choques permiten transportar cantidad de

movimiento de una región de fluido a otra. Ya que los movimientos moleculares aleatorios

se ven afectados por la temperatura del medio, la viscosidad resulta ser una función de la

temperatura.

Cuando el fluido se mueve, se desarrolla en él una tensión de corte, cuya magnitud

depende de la viscosidad del fluido. La tensión de corte, denota con “τ” (tao), puede

definirse como la fuerza requerida para deslizar una capa de área unitaria de una sustancia

sobre otra capo de la misma sustancia. Así pues, “τ” es una fuerza dividida entre un área y

puede medirse en unidades de newtons por metro cuadrado (Cap I). En un fluido como el

agua, aceite, alcohol o cualquier otro liquido común, encontramos que la magnitud de la

tensión de corte es directamente proporcional al cambio de velocidad entre diferentes

posiciones del fluido.


DINAMICA DE FLUIDO

187

Se muestra en la figura 4-28 el concepto de cambio de velocidad en un fluido mediante

la exhibición de una capa delgada del fluido situada entre dos superficies, una de las cuales

esta estacionaria, mientras que la otra se esta moviendo.

Una condición fundamental que se presenta cuando tenemos un fluido real en contacto

con una superficie frontera, es que el fluido tiene la misma velocidad que la frontera, el

fluido que esta en contacto con la superficie inferior tiene velocidad cero y el que esta en

contacto con la superficie superior tiene velocidad v. Si la distancia entre las dos placas es

pequeña, entonces la rapidez de cambio de velocidad con respecto de la posición “y” es

lineal. El gradiente de velocidad es una medida del cambio de velocidad y se define como

yv

.

Conocida como rapidez de corte, el hecho de que la tensión de corte del fluido es

directamente proporcional al gradiente de velocidad puede establecerse, matemáticamente

como:

yv 4.9.1

En la que la constante de proporcionalidad “μ”, se conoce como viscosidad dinámica

del fluido. La acción de revolver hace que se cree un gradiente de viscosidad en el fluido. Se

requiere una mayor fuerza para revolver un aceite frió, que tiene una viscosidad mayor, que

la requerida para revolver agua, cuya viscosidad es menor. Esto es una indicación de la

mayor tensión de corte en el aceite frío.

IV.9.2 ECUACION DE NAVIER-STOKES

Navier y Stokes terminaron la deducción relacionando el campo de esfuerzos con la

deformación del campo resultante del campo de velocidad variable en el espacio y tiempo.

Aquí se invoca la ley de viscosidad de Stokes, una generalización de la ley de viscosidad de

Newton. Si se supone que el fluido es incompresible, entonces se pueden mantener las

siguientes relaciones:

xxx

2 ;

yyy

2 ;

zzz

2

x

v

y

uzyxxy 2 ;

z

u

x

wyzxxz 2

y

w

z

vxzyyz 2


DINAMICA DE FLUIDO

188

Por consiguiente, el núcleo de la relación de esfuerzo cortante es la dependencia lineal

del esfuerzo cortante con respecto a la tasa de deformación, en donde el coeficiente de

proporcionalidad es el coeficiente de viscosidad de Newton.

vphgvvt

v

Dt

Dv 2)(

4.9.2

en forma de componentes:

2

2

2

2

2

2

z

u

y

u

x

u

x

p

x

hg

z

uw

y

uv

x

uu

t

u

Dt

D

2

2

2

2

2

2

z

v

y

v

x

v

y

p

y

hg

z

vw

y

vv

x

vu

t

v

Dt

Dv

2

2

2

2

2

2

z

w

y

w

x

w

z

p

z

hg

z

ww

y

wv

x

wu

t

w

Dt

Dw

Si todo el movimiento del fluido se detiene (v=0 ; a=0 ) y “z” se selecciona

verticalmente hacia arriba en la línea de acción de la gravedad, la ecuación hidrostática

emerge como un caso especial del caso general de un movimiento completo de fluidos.

Ciertamente, el estudio de las ecuaciones de Navier-Stokes se debe concentrar en conjuntos

de soluciones especializadas tales como esta para condiciones de flujo especificas por la

siguiente razón. Debido a la no linealidad de estas ecuaciones, existe una desconcertante

variedad de posibles resultados, tanto, que estas ecuaciones nunca han sido resueltas en

forma completa de manera analítica general.

IV.9.3 FLUJO ENTRE PLACAS PARALELAS

La figura 4-29 muestra dos placas paralelas separadas una distancia B e inclinadas un

ángulo “α”. En el sentido normal a la figura, las placas tienen una longitud infinita, entre

ellas se mueve un fluido de densidad y viscosidad constante y el gasto también constante.

Las líneas de corriente serán rectas y paralelas a los bordes y entre sí.


DINAMICA DE FLUIDO

189

Dentro este flujo aislamos un volumen de control diferencial bidimensional de

dimensiones ds por dn. El equilibrio según las líneas de corriente:

0

dsdn

ndsendsdndnds

s

PPPdn

0

dnds

ndsdnsendsdn

s

P ;

s

zsen

0)(

dnds

ndsdnzP

s

P

si no existe aceleración normal entonces el valor zP es constante, si no hay movimiento

en el sentido normal no habrá variación longitudinal del esfuerzo de corte, por lo que la

ecuación será:

dn

d

ds

dh ; capiezométriAlturaz

Ph

Integrando la ecuación:

dnds

dhdn

dn

d

la expresión ds

dh no varia con n, entonces se tendrá:

Cnds

dh 4.9.3

El esfuerzo cortante varia linealmente con “n”, puesto que el flujo entre las dos placas

es simétrico, no queda otra que las magnitudes de los esfuerzos cortantes en los contornos

sean iguales, dado que en el punto medio n=B/2, el esfuerzo cortante es nulo:

CB

ds

dh

20

2

B

ds

dhC


DINAMICA DE FLUIDO

190

Sustituyendo tendremos:

n

B

ds

dh

2 4.9.4

de la ecuación diferencial de la viscosidad y sustituyendo en la ecuación tendremos:

dy

dv

n

B

ds

dh

dn

dv

2

dnnB

ds

dhdv

2

dnnB

ds

dhdv

2

1

2

2CnBn

ds

dhv

4.9.5

la constante de integración puede obtenerse de la condición que en los contornos la

velocidad de estos y la del fluido es la misma, es decir, si son estos estacionarios, v= nula

para n =0 ó B, por lo que C1 también será cero, entonces:

2

2nBn

ds

dhv

4.9.6

Esto implica que la ecuación será parabólica.

Como la distribución de velocidades es parabólica, la velocidad máxima se dará en la

mitad de la separación “B/2”, por lo que la ecuación máxima será:

2

max8

Bds

dhv

4.9.7

en el caso de una distribución parabólica la velocidad media será 2/3 de la máxima:

2

max123

2B

ds

dhvv

2

12

B

V

ds

dh

ds

B

Vdh

2

1

2

2

1

12


DINAMICA DE FLUIDO

191

Considerando que la velocidad media es un valor constante:

221

12

B

Vhhh

4.9.8

esta ecuación permite calcular la variación de la altura piezométrica a lo largo del conducto.

Si el flujo es uniforme energía de perdida la h .

IV.9.4 FLUJO EN TUBERIAS CIRCULARES DE SECCION CONSTANTE

Tomando un volumen de control concéntrico (Fig4-30) con el tubo de forma cilíndrica,

la ecuación de equilibrio en el sentido del flujo será:

0 2 222

srsensrrs

s

PPrP

El esfuerzo cortante a una distancia r del centro es constante, por cuanto el flujo es

axialmente simétrico, por tanto ds

dzsen , por lo que la ecuación se convierte en:

ds

dhrzP

ds

dr

2)(

2

igualando la ecuación:

ds

dhr

dn

dv

2

dnds

dhdv

2 4.9.9

integrando a lo largo de “n”, donde dndrds

dh y constante es .


DINAMICA DE FLUIDO

192

IV.9.5 TEORIA DE LA CAPA LIMITE

La teoría de la capa limite fue introducida por Prandtl. Esta teoría establece que, para

un fluido en movimiento, toda las perdidas por fricción tienen lugar en una delgada capa

adyacente al contorno del solidó (llamada capa limite), y que el flujo exterior a dicha capa

puede considerarse como carente de viscosidad.

La distribución de velocidades en la zona próxima al contorno es influenciada por la

tensión cortante en el contorno. En general, la capa limite es muy delgada en la parte de

aguas arriba del contorno y va aumentando su espesor hacia aguas abajo por la acción

continuada de las tensiones cortantes.

Para números de Reynolds bajos, toda capa limite es gobernada por la acción de las

fuerzas viscosas y en su interior el flujo es laminar. Para valores intermedios del numero de

Reynolds la caspa limite es laminar cerca de la superficie del contorno y turbulenta en las

zonas algo mas alejadas. Para valores del números Reynolds muy elevados la capa limite es

totalmente turbulenta.

IV.10 TURBULENCIA

El fenómeno turbulento es ocasionado por la inestabilidad del flujo laminar, creando

pequeños remolinos que se mueven de manera aleatoria a lo largo y ancho del campo de

flujo. Esta situación ocasiona un cambio constante de la magnitud y dirección del vector

velocidad en cualquier punto. La turbulencia es un intercambio continuo y aleatorio de masa

entre las diferentes zonas del campo de flujo que propicia la mezcla. Esto implica que

materia de mayor energía cinética que pasa por el centro de la tubería pase a las zonas

laterales y viceversa ocasionado una mayor uniformidad de las velocidades promedio en

sentido del movimiento general (Fig4-31)


DINAMICA DE FLUIDO

193

El flujo turbulento representa un incremento sustancial en la perdida de energía. En

resumen, la turbulencia se caracteriza por su condición aleatoria en el tiempo y en el espacio,

un rápido proceso de mezcla, la fluctuación tridimensional de las velocidades y la alta

disipación de energía, y por eso un fenómeno controlado por las características del flujo

como por las del fluido. La turbulencia se presenta para números de Reynolds elevados y es

un movimiento macroscópico de pequeños remolinos.

Para la determinación de esfuerzos cortantes en flujo turbulento se parte de la

ecuación,

dh

dV

pero esta deja de tener validez, por lo que debe definirse como un promedio, pues tiene

características aleatorias,

dh

Vd 4.10.1

o η ; viscosidad del remolino

o V ; velocidad promedio

La naturaleza de esta viscosidad de remolino “η”, presenta toda la dificultad del

análisis de flujo turbulento, pues este será función no solo del fluido, sino también de las

características del flujo.

Para situaciones intermedias donde la viscosidad y la turbulencia tiene influencia, el

esfuerzo cortante se puede expresar como:

dh

Vd)( 4.10.2

o μ ; viscosidad dinámica ya conocida

IV.11 DISTRIBUCION DE VELOCIDADES

La distribución de velocidades en una sección recta seguirá una ley de variación

parabólica en el flujo laminar. La velocidad máxima tiene lugar en el eje de la tubería y

es igual al doble de la velocidad media.

Para el flujo turbulento resulta una distribución de velocidades mas uniforme. A

partir de los datos experimentales de Nikuradse y otros investigadores, se dan a

continuación las ecuaciones de los perfiles de velocidades en función de la velocidad en

el eje de la tubería “ cv ” o en función de la velocidad de corte “ cortev ”


DINAMICA DE FLUIDO

194

Una formula experimental es:

n

oc ryvv )/( 4.11.1

donde: n=1/7; para tuberías lisas hasta RE=100000

n=1/8; para tuberías lisas RE= 100000 a 400000

(a) Para tuberías lisas,

)/log75.55.5( vyvvv cortecorte 4.11.2

(b) Para tuberías lisas (5000 < RE < 3,000.000) y para tuberías rugosas en la zona de

exclusiva influencia de la rugosidad,

00 /ln/5.2)( ryvvvc 4.11.3

en función de la velocidad media, Vennard ha sugerido que cv

V puede escribirse como:

8/07.41

1)(

fvvc

4.11.4

(c) Para tuberías rugosas,

/log75.55.8( yvv c 4.11.5

Donde:

; rugosidad absoluta de la pared de la tubería.

(d) Para contornos rugosos o lisos,

32.1/log2 0

ryfV

Vv 4.11.6

donde: f ; Coeficiente de rozamiento de Darcy.

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DINAMICA DE FLUIDOS - · PDF fileDefinir la dinámica de fluidos en fluidos incompresibles ideales y las diferentes ecuaciones. iii. Escribir la ecuación de Bernoulli, y sus aplicaciones