Dinamica de Rotacion - Copia

PROBLEMA APLICATIVO

Un chofer está en una carrera de autos, de pronto se le vacían

los frenos y el chofer sabe que con la velocidad que tiene llegara

a uno de los caminos, que tienen en su inicio pendientes de

superficie lisa, el chofer tiene que elegir por qué camino ir. El

chofer sabe la pendiente y altura de cada uno de los caminos a

elegir, también sabe con qué velocidad debe llegar al final de la

pendiente para que no se lastime entonces el deberá elegir que

camino le conviene tomar para que no se lastime. El chofer en ese

momento iba con su copiloto que era físico puro inmediatamente

había que tomar una decisión rápida así que el físico dijo: con la

velocidad que tenemos en este instante sabemos que vamos a

llegar con velocidad cero al filo de alguna de las pendientes

entonces el podría aplicar la conservación de la energía para

hallar la pendiente y la altura del camino que debe elegir con la

finalidad de que el impacto no los lastime.

El físico dice: las llantas del auto podemos considerarlo como

cilindros, analizando solo a una llanta tenemos entonces que

podríamos hallar la energía de rotación en una llanta con:

Er = 1

2 𝜔2 I

Ya que se conoce la inercia de un cilindro y la velocidad angular

con que debe llegar el auto ya que la pendiente es lisa y podemos

usar la ecuación que dice que la velocidad del centro de masa es

igual al radio por la velocidad angular y la velocidad del centro de

masa de cada llanta es igual a la velocidad del centro de masa de

todo el auto.

Y podemos usar:

LABORATORIO DE FISICA FIPP 2014 2

Para una llanta

ΔU + ΔK = W FNC

No hay fuerza elástica asi que la única fuerza conservativa es la

energía potencial gravitatoria.

Mg(H-ho) + 1

2m(Vf

2-Vo2) +

1

2 𝜔2 I = Fvientod

- Mg(Hnecesaria) + 1

2m(Vf

2) + 1

2 𝜔2 I = Fvientod

Se conoce le velocidad con la que debe llegar para que el impacto

no les cause daños, se sabe la altura y pendiente (y con esto se

conoce d) de todos los caminos, sabemos que el momento de

inercia de un cilindro es 1

2MR2, sabemos la fuerza constante

promedio que ejerce el viento en ese lugar y la masa de la llanta

también es conocida, entonces podremos calcular la altura que

debe tener el camino para que el impacto no lastime al chofer.

OBJETIVOS:

Observar el movimiento de rodadura de una rueda de maxwell y a

partir de las mediciones efectuadas determinar el momento de

inercia de la rueda con respecto al eje perpendicular que pasa

por su centro de su gravedad.

FUNDAMENTO TEORICO:

Cuerpo rígido.

Un cuerpo rígido es aquel en el cual las distancias entre sus

partículas cualesquiera permanecen constantes en el tiempo. En

un cuerpo rígido se distingue dos movimientos traslación y

rotación.


Movimiento de traslación.

Es aquel movimiento en el cual todos los puntos del cuerpo se

mueven en la misma dirección, con la misma velocidad y

aceleración en cada momento.

Movimiento de rotación.

Es aquel movimiento donde las partículas del cuerpo describen

trayectorias circulares alrededor de un eje.

ENERGÍA CINÉTICA DE ROTACIÓN.

Para un cuerpo rígido formado por una colección de partículas

que gira alrededor del eje z fijo con velocidad angular ω, cada

partícula del cuerpo rígido tiene energía cinética de traslación.

Si la partícula de masa mi, se mueve con velocidad vi, su energía

cinética.


Eci= 1

2mivi

2

Cada partícula del cuerpo rígido tiene la misma velocidad angular

ω, pero distintas velocidades lineales, porque estas dependen de

la distancia r al eje de rotación, y se relacionan por vi = ω ri.

Entonces la energía cinética de la partícula i es:

Eci=

1

2mi(𝑟𝜔)2 →Eci=

1

2miri

2𝜔2

La energía cinética total del cuerpo rígido en rotación es la suma

de las energías cinéticas de cada partícula individual, esto es:

Ei =ΣEi= Σ1

2miri

2𝜔2 = 1

2Σ(𝑚𝑖𝑟𝑖2)𝜔2

Definimos → I : momento de inercia

I=∑ 𝑚𝑖𝑟𝑖2

Con esta definición, se puede escribir la energía cinética de

rotación de un cuerpo rígido como:

Ec=1

2I𝜔2

La energía cinética de rotación no es una nueva forma de energía,

sino que es el equivalente rotacional de la energía cinética de

traslación, se dedujo a partir de esa forma de energía. La

analogía entre ambas energías ½ mv2 ; ½ I𝞈 es directa, las

cantidades I y 𝞈 del movimiento de rotación son análogas a m y v

del movimiento lineal, por lo tanto I es el equivalente rotacional

de m (algo así como la masa de rotación), y siempre se considera


como una cantidad conocida, igual que m, por lo que generalmente

se da como un dato

El momento de inercia I es una cantidad que depende del eje de

rotación, el tamaño y la forma del objeto.

Tabla de los momentos de inercia respecto al centro de masa de

figuras geométricas conocidas, de distribución de masa

homogénea.


RELACIÓN ENTRE TORQUE Y

ACELERACIÓN ANGULAR.

Para una partícula de masa m, que gira en una circunferencia de

radio r con la acción de una fuerza tangencial Ft, además de la

fuerza centrípeta necesaria para mantener la rotación. La fuerza

tangencial se relaciona con la aceleración tangencial at por

Ft = mat.

El torque alrededor del centro del círculo producido por Ft es:

τ=Ft r = (mat)r

Como la at se relaciona con la aceleración angular por at = rα, el

torque se puede escribir como:

τ= (mxrxα)xr =(mr2)α


y como mr2es el momento de inercia de la masa m que gira en

torno al centro de la trayectoria circular, entonces:

τ= Ια

El torque que actúa sobre una partícula es proporcional a su

aceleración angular α, donde I es la constante de

proporcionalidad.

τ= Ια

Es el análogo rotacional de la segunda ley de Newton F = ma.

Se puede extender este análisis a un cuerpo rígido arbitrario que

rota en torno a un eje fijo que pase por O. El cuerpo rígido se

puede considerar formado por elementos de masa dm, que giran

en torno a O en una circunferencia de radio r, por efecto de

alguna fuerza tangencial externa dFt que actúa sobre dm.

Por la segunda ley de Newton aplicada a dm, se tiene:

dFt= (dm) at

El torque dτ producido por la fuerza dFt es:

dτ = rdFt = (rdm)at = (rdm)r𝜶= (r2dm)α


El torque neto se obtiene integrando esta expresión,

considerando que α tiene el mismo valor en todo el cuerpo rígido,

τt=∫ 𝜶𝜶 = ∫ 𝜶𝜶𝜶𝜶𝜶 = ∫ 𝜶𝜶𝜶𝜶𝜶

Pero la integral es el momento de inercia I del cuerpo rígido

alrededor del eje de rotación que pasa por O, entonces.

τt= Iα

PROCEDIMIENTO

Usando un nivel de burbuja

nivele el plano que sirve de

soporte a los rieles.


Marque los rieles los

puntos A0 , A1 , A2 , A3 , A4

separarlos unos 10 cm

entre si y fije la

inclinación de los rieles de

manera que la rueda

experimenta un

movimiento de rodadura

pura.

Mida con el pie de rey el

diámetro del eje del

cilindro, que se apoya

sobre los rieles.

Coloque la rueda en reposo

en la posición A0 , suéltela

y simultáneamente

comience a medir el

tiempo, mida los intervalos

de tiempos t1 , t2 , t3 ,t4

correspondientes a los

tramos A0A1 , A0A2 , A0A3 ,

A0A4 respectivamente.

Tome tres mediciones para

t1 , t2 , t3 y 10 para t4.


Mida la masa de la volante

y la diferencia de las

alturas entre las

posiciones G0 Y G4 .

Modifique la inclinacion de

los rieles (teniendo

cuidado de evitar el

deslizamiento de la rueda)

y mida 3 veces t4 y la

nueva diferencia de

alturas entre G0 y G4.

Mida los radios, espesores

y longitudes de la rueda de

maxwell y su eje (como

para calcular su volumen).

PREGUNTAS

1. Consideremos los tiempos promedios para t1 , t2 , t3 y t4 ,

grafique los puntos (0,0),(t1,A0 A1) …(t4,A0A4). ¿Es el

movimiento de traslación uniformemente acelerado?

2. Grafique también d vs t2


3. Suponiendo que la aceleración de traslación es constante y

aplicando la desviación estándar y programación de

errores, calcular.

a. La aceleración del centro de masa aG.

b. La velocidad de traslación, V4 del centro de masa en

posición G4.

c. La velocidad angular de la rueda en el instante t4.

d. El momento de inercia de la volante, usando la ecuación

(13.5)

e. ¿Cuáles son las mediciones que introducen mayor

incertidumbre en el cálculo del momento de inercia?

f. ¿Cómo influye la longitud del recorrido sobre el valor de

I? para responder esta pregunta, compare el valor de I

obtenido de las mediciones en los puntos G1 G2 G3 y G4.

g. ¿Cómo influye la inclinación de los rieles sobre el valor

de I?

h. Calcular en momento de inercia a partir de la definición

I=R2d(m) y las mediciones geométricas efectuadas

sobre la rueda y el eje cilíndrico.


CALCULO Y RESULTADOS

1° hallando los tiempos:

Teniendo los tiempos para cada tramo:

t1= (7.2; 7.17; 6.59)

t2= (10.09; 9.92; 9.47)

t3= (12.68; 13.02; 12.51)

t4= (15.53; 15.24; 15.57; 15.48; 14.81; 14.87; 14.58; 14.49; 16.14;

16.24)

Ahora el tiempo promedio será:

tm1= 6.90

tm2= 9.82

tm3= 12.73

tm4= 15.35

y = 3.5362x - 14.606

0

5

10

15

20

25

30

35

40

45

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18

grafica t vs x


¿El movimiento de traslación es uniformemente acelerado?

Ahora para ver cómo se comporta la aceleración de la volante

debemos hallar la aceleración en cada tramo.

Hallando la aceleración:

Usando la ecuación: d=v0t +(1/2)at2

Teniendo la velocidad inicial igual a cero. V0=0

Aceleración en el tramo A0 A1

10= (0).6.9 +1/2.a1.(6.9)2 entonces a1=0.42cm/s2


20=(0)9.82 + 1/2.a2.(9.82)2 entonces a2=0.41cm/s2


30=(0)12.73 + 1/2 .a3.(12.73)2 entonces a3=0.37cm/s2


40=(0)15.35 + 1/2 .a4.(15.35)2 entonces a4=0.33cm/s2


2° grafica de x vs t2

Vemos que la aceleración se asemeja a un movimiento

uniformemente acelerado. Para suponer que esto, hallamos los

cálculos con la desviación estándar.

Aplicando desviación estándar para encontrar el grado de

centralización de los datos:

S2aCG = (ai

2)/n – a2m

Hallamos am:

am= (a1 + a2 + a3 + a4)/4 =

(0.42+0.41+0.37+0.33)/4cm/s2=0.3825cm/s2

Hallamos a2: a2 = 0.1463cm2/s4

y = 0.1576x + 3.6607

0

5

10

15

20

25

30

35

40

45

0 50 100 150 200 250


Entonces:

S2aCG = (a1

2 + a22 + a3

2 + a42 )/4 - a2= 0.001275

De donde S (desviación estándar) es:

S aCG=0.035707

Se observa que la medida de centralidad es muy pequeña, esto

nos indica que la aceleración del centro de gravedad de la volante

es igual a la aceleración media.

3° - a) Hallando la aceleración del centro de masa

la aceleración media: am= (a1+a2+a3+a4)/4

am= (0.42+0.41+0.37+0.33)/4 = 0.382cm/s2

Entonces: (am)2= 0.1459 cm2/s4

Ahora hallamos esto:

∑ai2= (a1

2+ a22 +a3

2+ a42)/n

(0.422+0.412+0.372+0.332)/4 =0.1475cm2/s4

Reemplazando en la ecuación:

S2aG = 0.1475 -0.1459= 0.0016cm2/s4

SaG = 0.04cm/s2aproximadamente

am=0.382cm/s2


- b) la velocidad en G4 es:

Usando: A0A4=1/2(at2) ̭ v4=at nos da: v4= 2(A0A4)/t

Reemplazando: = 2(40)/15.35

Entonces: V4= 5.211cm/s

-c) la velocidad angular en t4 es:

Sabemos que: v4=w4.r

Reemplazando: 5.211=w4. 6.25

Entonces: w4= 0.833 rad/s

-d) El momento de inercia es:

Usando la ecuación: Mgh0 = Mgh4 + (½)MVG42+ (½)IG4.(VG

2/R2)

Reemplazando:

350x9.81x7.8 = 350x9.81x3.2 +( ½)350x5.212+

(½)IG4(5.212/6.252)

Entonces:

IG4= 0.0031786035kg.m2

-e) Mediciones que introducen mayor incertidumbre en el calculo

de Ies:

Bueno ya que la masa es fija y al igual que la gravedad nos damos

cuenta que la incertidumbre se da en las mediciones del radio, las


Alturas y en la velocidad ya que todas estas magnitudes al

calcular las en el laboratorio se dan con margenes de errores.

-f)Como influye la longitud recorrida en I.

Hallemos I en G1

para esto usamos:

V1 = (2 A0A1)/ty Mgh0 = Mgh1 + (½)MV12+ (½)I1.(V1

2/R2)

reemplazando:

v1=2.89cm/s

350x9.81x7.8 = 350x9.81x6.6 +( ½)350x2.892+

(½)I1(2.892/6.252)

Entonces:

I1=0.0024868207kg.m2

Hallemos I en G2

Usamos:

V2 = (2 A0A2)/t y Mgh0 = Mgh2 + (½)MV22+ (½)I2.(V2

2/R2)

Reemplazando: v2=4.06cm/s y

350x9.81x7.8 = 350x9.81x5.4+( ½)350x4.062+

(½)I2(4.062/6.252)

Entonces: I2= 0.0025385614kg.m2

Hallemos I en G3

Usamos:

V3 = (2 A0A3)/ty Mgh0 = Mgh3 + (½)MV32 + (½)I3.(V3

2/R2)



350x9.81x7.8 = 350x9.81x4.3 +( ½)350x4.712+ (½)I3(4.712/6.252)

Entonces: I3=0.00286488707kg.m2

Hallemos I en G4

Usamos: V4 = (2 A0A4)/ty Mgh0 = Mgh4 + (½)MV42 +

(½)I4.(V42/R2)


350x9.81x7.8 = 350x9.81x3.2 +( ½)350x5.212+ (½)I4(5.212/6.252)

Entonces: I4= 0.0031786035kg.m2

Ahora nos damos cuenta que cuando la volante recore mayor

longitud sumomentoinercialcrece

Momento inercial recorrido

I1=0.0024868207kg.m2

A0A1=10

I2 = 0.0025385614kg.m2 A0A2=20

I3=0.00286488707kg.m2 A0A3=30

I4= 0.0031786035kg.m2 A0A4=40

g)Como influye la inclinacion del riel sobre I

para esto calculamos en el tramo A0A4 pero con mayor altura

inicial h4 con respecto a la anterior veamos que pasa:

usando: V4 = (2 A0A4)/t y Mgh0 = Mgh4 + (½)MV42 +

(½)(I)’4.(V4

2/R2)

reemplazando: v4=5.61cm/s y


350x9.81x9.1 = 350x9.81x3.2 +( ½)350x5.612+

(½)(I)’4(5.612/6.252)

Entonces: (I)’4=0.003652537401kg.m2

Como podemos comparar con el momento inercial anterior que

calculamos la cual I4= 0.0031786035kg.m2nos damos cuenta que

A mayor ángulo de elevación con respecto a la horizontal,

menor momento de inercia.

h) halle el I a partir de la definicion I=R2 d(M)

Considerando al borde de la rueda como un cilindro hueco.

. usamos:

I=r2 d(M)……..(1) , ρ=m/v = dm/dv un diferencial dv=2πrHdr

Reemplazando en (1)I=∫r2(ρ2πrHdr)=2πρH∫r3dr

I=2πHρ(R42-R4

1)/4 ……(2)

Como: ρ=m/π(R22-R2

1)H ,

reemplanzando en (2)

Considerando el eje como un cilindro.

. ρ=m/v=dm/dvpara un diferencial dv=πr2dy

Usando: I=r2d(M)…….(1) , ρ=m/v = dm/dv un diferencial

dv=2πrHdr

Reemplazando en (1) I=r2(2mr/R2)dr

I1=1/2M(R22+R2

1)


I=2m/R2R0r3dr efectuando

I2=1/2MR2

Considerando la barra que une al eje con el borde (barrita).

Usando: I=r2d(M)…….(1) , ρ=m/v = dm/dv un diferencial dm=abdx

y dv=abdx

Reemplazamos en (1) I=R0m/R.r2dr

Ahora reemplazando con las mediciones dadas del laboratorio

teniendo en cuenta masas proporicionales con la misma densidad

del material.

hallemosI1 :

I1=1/2(271.75)x(6.252+5.152)= 0.00089115914kg.m2

hallemosI2 :

I2=1/2(47.14)x(1.475)2= 0.000005128709kg.m2

hallemosI3 :

I3=1/3ML2


I3=1/3(5.18)x(4.1)2== 0.000002903087kg.m2

Ahora si hallamos el momento inercial de la rueda seria:

IR= I1+I2+6I3

IR=( 0.00089115914+0.000005128709+0.000017418522)kg.m2

IR=0.00091370637kg.m2

Ahora si hallamos el momento inercial del borde de la rueda

mas el eje (sin considerar las barritas internas) seria asi:

IR= I1+I2

IR=( 0.00089115914+0.000005128709)kg.m2

IR=0.00089628784kg.m2

BIBLIOGRAFIA:

FÍSICA UNIVERSITARIA, Volumen 1. Sears – Zemansky.

FÍSICA Para Ciencias e Ingeniería. Serway – Jewett.

Clase del profesor física 1 “Brocca”.

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