Dinamica delle Strutture Aerospaziali - DIMA - Sapienzadma.ing.uniroma1.it/users/lsa_ds/MATERIALE/mecc-cont-din.pdf · Richiami di meccanica del continuo Diversi ppp gunti di vista

Dalla meccanica del continuo alleEquazioni di Lagrange per i solidi elasticiq g g p

Franco Mastroddihttp://www.diaa.uniroma1.it/docenti/f.mastroddi

dal corso di

Dinamica delle Strutture AerospazialiAnno Accademico 2008-2009

SOMMARIO

Ri hi i di i d i ti i ( lidi+fl idi)• Richiami di meccanica dei continui (solidi+fluidi)

Le equazioni di Lagrange per i solidi elastici lineari• Le equazioni di Lagrange per i solidi elastici lineari

• ENFASI SU:

– La scelta delle funzioni di base per le Equazioni di Lagrange FEM v.s. variabili modaliq g g

ANNO ACCADEMICO 2008-2009corso di

Dinamica delle Strutture Aerospaziali Pagina 2

Il problema elastico linearedalla meccanica del continuodalla meccanica del continuo

Struttura

Modello (Laplace Domain)



Richiami di meccanica del continuoDiversi punti di vista per la descrizione delle granedzze di stato dei continuip p g

LAGRANGIANA

EULERIANA

Legate dal “moto” del continuo

Cambio “locale”di coordinate dato dallo Jacobiano della trasformazioneCambio locale di coordinate dato dallo Jacobiano della trasformazione

Derivata “sostanziale” (lagrangiana)

Un integrale di una grandezza f su un volume di continuo che si muove può essere fatto

Proprietà del determinante dello Jacobiano (teorema del trasporto di Reynolds)



Richiami di meccanica del continuoEquazione di continuità

I postulato: per ogni volume materiale del continuo

Conseguenze (“localizzazioni”):

Conseguenza “integrale” (secondo teorema dl trasporto di Reynolds):



Richiami di meccanica del continuoConservazione della quantità di moto e delMomento della quantità di motoMomento della quantità di moto

II postulato: per ogni volume materiale del continuo

Conseguenze (“localizzazioni”): esiste il “tensore degli sforzi” tale che

III postulato: per ogni volume materiale

Conseguenze:

(applicando il Th. di Gauss )

con

Legge di conservazione dell’energia meccanica



Richiami di meccanica del continuoConservazione dell’energia

IV postulato: per ogni volume materiale del continuo

Conseguenze:

(sottraendo la legge di cons. en. meccanica)

Esiste il vettore flusso di calore tale cheEsiste il vettore flusso di calore tale che

Utilizzando le precedenti e localizzando

(1)



Richiami di meccanica del continuoPrincipio della Termodinamica per solidi

V postulato (termodinamca): esistono le varabili di stato temperatura ed entropia tali cheV postulato (termodinamca): esistono le varabili di stato temperatura ed entropia tali che per ogni volume materiale del continuo

(2)

(Clausius)

segno “=“ per trasformazioni reversibili(2)

SOLIDO: continuo il cui stato è determinato dalla grandezza tensoriale “deformazione” e da una variabile scalare (ad. es,. entropia)

L’equazione di stato che fornisce l’energia interna per un solido è

Pertanto, se si definiscono e

Poiché dalla (2) si può ricavare , l’equazione dell’energia (1) diventa per i solidi

Contributo alla crescita di entropia dovuto al lavoro fatto dalla “porzione irreversibile” del tensore degli sforzi

(3)



Richiami di meccanica del continuoSolidi elastici

Il solido è elastico se il lavoro compiuto sulla deformazione è reversibile cioè v Eq (3)Il solido è elastico se il lavoro compiuto sulla deformazione è reversibile, cioè , v. Eq. (3)

(4)

In assenza di flussi e sorgenti di calore la (3) da inoltre , cioè l’entropia non è più variabile di stato per il solido. Se si esprime allora il lavoro fatto dagli stress interni

i hsi ha

conQuindi per un solido elastico la legge di conser. dell’energia meccanica diventa:

Per solido elastico e lineare dal punto di vista costitutivo (“fisico”) in assenza di pre-stess

e l’energia elastica localeDunque per l’energia elastica totale si ha in questo caso la forma quadratica:



Equazioni di Lagrange per Solidi elastici lineari

Si id i di t ti i t li l t tt tibili i i liSi consideri un campo di spostamenti virtuali per la struttura compatibili con i vincolie lo si moltiplichi scalarmente per l’equazione di Cauchy integrando sul volume del solido

(5)

Poiché sviluppando integrando sul volume e applicando il teorema di Gauss si ha

(5)

sostituendo nella (5) si ha

Se si pone quindi per il campo di spostamenti (ed il relativo virtuale)

la (5) diviene un sistema di ODE (utilizzata l’arbitrarietà dei )

1 2 43



1 3


1 =Forze di inerzia

La velocità è data da e l’accelerazione

Per cui 1 = con

2 =Forze esterne (body-forces)

Se si assume che tali forze siano di natura conservativa (peso) allora e quindi

2 = con2 con

3 =Forze di superficie (per esempio, Aerodinamiche)

3 =NB: spetterà alla modellazione aeroelastica esprimeretali forze generalizzate di superficie in funzione del moto e cioè delle




=Forze di tensione interne del continuo elastico4

Per la simmetria del tensore degli sforzi

4 = e nell’ipotesi di cinematica linearizzata

da cui si ricava cheda cui si ricava che

Combinando quindi le precedenti e ricordando che per i solidi elastici ,

nella quale si è utilizzata la forma dell’equazione di continuità

che deriva dalla per l’indipendenza delle variabili lagrangiane.




1 2 43Assemblando i termini si ha finalmente

Se si considera elasticità lineare (fisica e geometrica) è funzione quadratica delle

I f tti il lid l ti li i h (Infatti, per il solido elastico lineare si ha (v. prec. con e con)

quindi

con

(NB: è matrice simmetrica e semidefinita positiva)




DISCRETIZZAZIONE AGLI ELEMENTI FINITI

(5)

“funzioni tenda”

Rappresentano componenti di spostamento nel nodo n imoRappresentano componenti di spostamento nel nodo n-imo

Quindi troncando la (5) ad N numero finito di gradi di libertà si ha

I C(6) + I.C.Se associamo alla (6) il problema di autovalori:

(6)

per simmetria e positività delle matrici




Allora il problema di risposta libera 0 + I.C.

se si cambiano coordinate lagrangiane

e si premoltiplicano le equzioni per , utilizzando le relazioni di ortogonalità, diventa

0

che ha come soluzione

Quindi la soluzione originaria è

Se si considerasse come condizione iniziale un autovettore m-imo

la soluzione è l’autovettore e l’autovalore coincidono con i concetti fisici di modi e frequenze proprie q p pdi vibrazione

l campo vettoriale degli spostamenti modale p-imo sarebbe dato dalla discretizzazione FEM




Parrebbe lecita la domanda: che eq di Lagrange otterrei se usassi come funzioni di formaParrebbe lecita la domanda: che eq. di Lagrange otterrei se usassi come funzioni di formale cioè i modi approssimati agli EF?

Si avrebbero in questo caso matrici di massa, rigidezza (legge Hook) e forze generalizzate:

Cioè le stesse matrici diagonali ottenute mediante il processo di cambio di coordinate q.Dunque cambiare funzioni di forma o coordinate generalizzate sono operazioni duali ed Equicalenti. Cioè

Base FEM Base modale




A parità di accuratezza, la velocità di convergenza globale della base modale (approssimata) alla soluzione esatta è maggiore della base FEM.

Poiché la stabilità e la risposta aeroelastica di una configurazioni sono caratteristiche

AD ESEMPIO:

Altra motivazione: a parità di accuratezza, si debbono calcolare meno forze generalizzateaerodinamiche essendo il calcolo aerodinamico l’onere di calcolo maggiore

globali, la base modale è la tipica base lagrangiana utilizzata in aeroelasticità.

ESEMPIO FILMATI ANALISI MODALEESEMPIO FILMATI ANALISI MODALE



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