Presentacin de PowerPoint

INSTITUTO UNIVERSITARIO DE TECNOLOGA ANTONIO JOS DE SUCREEXTENSIN BARQUISIMETODinmica rotacional Gnesis Mosquera C.I: 21.140.424Seccin: s3

Momento angular de una partcula Se dene momento angular de una partcula respecto de del punto O, como el producto vectorial del vector posicin r por el vector momento lineal mv: L = r m v. El momento angular o momento cintico es una magnitud fsica importante en todas las teoras fsicas de la mecnica, desde la mecnica clsica a la mecnica cuntica, pasando por la mecnica relativista. Su importancia en todas ellas se debe a que est relacionada con las simetras rotacionales de los sistemas fsicos. Bajo ciertas condiciones de simetra rotacional de los sistemas es una magnitud que se mantiene constante con el tiempo a medida que el sistema evoluciona, lo cual da lugar a una ley de conservacin conocida como ley de conservacin del momento angular. El momento angular para un cuerpo rgido que rota respecto a un eje, es la resistencia que ofrece dicho cuerpo a la variacin de la velocidad angular. En el Sistema Internacional de Unidades el momento angular se mide en kgm/s.

Momento angular de un slido rgido Tenemos que en un sistema inercial la ecuacin de movimiento es:

Donde:es la velocidad angular del slido.es eltensor de inercia del cuerpo.Ahora bien, normalmente para un slido rgido el tensor de inercia, depende del tiempo y por tanto en elsistema inercial generalmente no existe un anlogo de la segunda ley de Newton, y a menos que el cuerpo gire alrededor de uno de losejes principales de inercia sucede que:

Dondees laaceleracin angulardel cuerpo. Por eso resulta ms til plantear las ecuaciones de movimiento en un sistema no inercial formado por los ejes principales de inercia del slido, as se logra que, aunque entonces es necesario contar con las fuerzas de inercia:

Teorema de Steiner

El teorema de Steiner es una frmula que nos permite calcular el momento de inercia de un slido rgido respecto de un eje de rotacin que pasa por un punto O, cuando conocemos el momento de inercia respecto a un eje paralelo al anterior y que pasa por el centro de masas. El momento de inercia del slido respecto de un eje que pasa por O es

Ecuacin de la dinmica de rotacin

Consideremos unsistema de partculas. Sobre cada partcula actan las fuerzas exteriores al sistema y las fuerzas de interaccin mutua entre las partculas del sistema. Supongamos un sistema formado por dos partculas. Sobre la partcula 1 acta la fuerza exteriorF1y la fuerza que ejerce la partcula 2,F12. Sobre la partcula 2 acta la fuerza exteriorF2y la fuerza que ejerce la partcula 1,F21.Por ejemplo, si el sistema de partculas fuese el formado por la Tierra y la Luna: las fuerzas exteriores seran las que ejerce el Sol ( y el resto de los planetas) sobre la Tierra y sobre la Luna. Las fuerzas interiores seran la atraccin mutua entre estos dos cuerpos celestes.

Para cada unas de las partculas se cumple que la variacin del momento angular con el tiempo es igual al momento de la resultante de las fuerzas que actan sobre la partcula considerada.Ecuacin de la dinmica de rotacin Energa cintica de rotacinLas partculas del slido describen circunferencias centradas en el eje de rotacin con una velocidad que es proporcional al radio de la circunferencia que describenvi=wRi. La energa cintica total es la suma de las energas cinticas de cada una de las partculas. Esta suma se puede expresar de forma simple en trminos del momento de inercia y la velocidad angular de rotacin.

Principio de conservacin del momento angularEl principio de conservacin del momento angular afirma que si el momento de las fuerzas exteriores es cero (lo que no implica que las fuerzas exteriores sean cero, que sea un sistema aislado), el momento angular total se conserva, es decir, permanece constante.

Consideremos el sistema de dos partculas de la gura anterior. El momento angular total del sistema respecto del origen es : L=r1 m1v1+r2 m2v2Calculamos el momento angular respecto del centro de masas: r1cm=r1-rcmr2cm=r2-rcmv1cm=v1-vcmv2cm=v2-vcmEl momento angular respecto del origen es la suma de dos contribuciones:L=(r1cm+rcm) m1(v1cm+vcm)+ (r2cm+rcm) m2(v2cm+vcm)=(r1cm m1v1cm)+ (r2cm m2v2cm)+ rcm (m1v1cm+ m2v2cm)+ (m1r1cm+ m2r2cm) vcmDe la definicin de posicin y velocidad del centro de masas, tenemos quem1v1cm+ m2v2cm=0, m1r1cm+ m2r2cm=(m1+m2)rcmL=Lcm+(m1+m2)rcm vcmEn general, para un sistema de partculas de masa total mL=Lcm+mrcm vcmEl primer trmino, es el momento angular interno relativo al sistema c.m. y el ltimo trmino, el momento angular externo relativo al sistema de laboratorio, como si toda la masa estuviera concentrada en el centro de masa.

Momento angular de un sistema de partculas Trabajo y energa en el movimiento de rotacin

Considrese un cuerpo rgido que puede girar alrededor de un eje fijo tal como se indica en la figura. Supongamos que se aplica una fuerza exteriorFen el punto P. El trabajo realizado por dicha fuerza a medida que el cuerpo gira recorriendo una distancia infinitesimalds=rd en el tiempodt es

senfes la componente tangencial de la fuerza, la componente de la fuerza a lo largo del desplazamiento. La componente radial de la fuerza no realiza trabajo, ya que es perpendicular al desplazamiento. El momento de la fuerza es el producto de la componente tangencial de la fuerza por el radio. La expresin del trabajo la podemos escribir de forma alternativa

En la dinmica de una partcula vimos el concepto de impulso lineal. Una fuerza aplicada durante un tiempo modifica el momento lineal (la velocidad de la partcula).

En el caso de un slido en rotacin la magnitud equivalente se denomina impulso angular.

El momento de las fuerzas que se aplican durante un tiempo t a un slido rgido en movimiento de rotacin alrededor de un eje fijo, modifica el momento angular del slido en rotacin.

Impulso angular El sistema de la figura est inicialmente en reposo. El bloque de 30 kg est a 2 m del suelo. La polea es un disco uniforme de 20 cm de dimetro y 5 kg de masa. Se supone que la cuerda no resbala sobre la polea. Encontrar:La velocidad del bloque de 30 kg justo antes de tocar el suelo.La velocidad angular de la polea en ese instante.Las tensiones de la cuerda.El tiempo que tarda el bloque de 30 kg en tocar el suelo.(Resolver el problema por dinmica y aplicando el balance energtico)

Ejercicio 1Solucin 1

Ejercicio 2Solucin 2

Ejercicio 3

Solucin 3

Movimiento giroscpico El girscopo o giroscopio es un dispositivo mecnico que sirve para medir, mantener o cambiar la orientacin en el espacio de algn aparato o vehculo.

Est formado esencialmente por un cuerpo con simetra de rotacin que gira alrededor del eje de dicha simetra. Cuando el girscopo se somete a un momento de fuerza que tiende a cambiar la orientacin de su eje de rotacin, tiene un comportamiento aparentemente paradjico, ya que cambia de orientacin (o experimenta un momento angular en todo caso, si est restringido) girando respecto de un tercer eje, perpendicular tanto a aquel respecto del cual se lo ha empujado a girar, como a su eje de rotacin inicial. Si est montado sobre un soporte de Cardano que minimiza cualquier momento angular externo, o si simplemente gira libre en el espacio, el girscopo conserva la orientacin de su eje de rotacin ante fuerzas externas que tiendan a desviarlo mejor que un objeto no giratorio; se desva mucho menos, y en una direccin diferente.Algunos Conceptos previos necesarios para entender el efecto giroscpico.Descripcin del efecto giroscpico

Supongamos un girscopo formado por un disco montado sobre un eje horizontal, alrededor del cual el disco gira libremente a gran velocidad, como se observa en la figura de la derecha. Un observador mantiene el eje del fondo con la mano izquierda y el eje de delante con la mano derecha. Si el observador trata de hacer girar el eje hacia la derecha (bajando la mano derecha y subiendo la mano izquierda) sentir un comportamiento muy curioso, ya que el girscopo empuja su mano derecha y tira de su mano izquierda. El observador acaba de sentir elefecto giroscpico. Es una sensacin muy sorprendente porque da la impresin de que el girscopo no se comporta como un objeto normal

Descripcin DETALLADA del efecto giroscpicoSea el objeto dibujado en la imagen de la derecha, formado por dos masas (en negro) de pequeas dimensiones sujetas por una barra (en verde) en forma de T de masa despreciable y total rigidez. El centro de la T est fijado a un soporte por medio de unartulaque permite que la barra en T gire libremente alrededor de cualquier eje.Las masas giran rpidamente alrededor del punto fijo con unavelocidad tangencial. En el momento en que las masas pasan por la posicin del dibujo se da unimpulsohacia abajo en la extremidad libre de la T. La barra verde transmite ese impulso a las dos masas y le da a cada una, una pequea velocidad horizontal perpendicular a su velocidad actual. Hacia la derecha en la masa de arriba y hacia la izquierda en la masa de abajo; es decir, la barra gira un poco respecto del eje longitudinal.

Descripcin DETALLADA del efecto giroscpico

En el dibujo de la derecha aparecen las dos masas vistas desde arriba. Las velocidades comunicadas por el impulso se suman a las velocidades corrientes. La consecuencia inmediata es que la velocidad de la masa de arriba se desva ligeramente hacia la derecha y la velocidad de la masa de abajo se desva hacia la izquierda. Sorprendentemente, el resultado final es que el plano de rotacin de las dos masas ha girado (aparte de respecto del eje longitudinal, tambin respecto del eje vertical) O, dicho de otra manera, el eje de rotacin de las dos masas ha girado respecto de dos ejes, y no slo respecto del que intentbamos hacerlo girar.En un girscopo no se trata de dos masas puntuales sino de masas distribuidas sobre todo el disco o el cilindro, pero eso no cambia el fondo de la explicacin. Y cuando, en lugar de darle un impulso a un girscopo, se le aplica un momento, se puede considerar este momento como una sucesin de cortos impulsos. Cada una de ellos aade a las masas una nfima velocidad perpendicular a sus velocidades. Eso hace que la velocidad cambie de direccin sin cambiar de mdulo.

Explicacin intuitiva de la causa del efecto giroscpico Supongamos frente a nosotros un girscopo, un disco atravesado por un eje. Imaginmoslo de forma tal que el eje se encuentre en horizontal, frente a nuestros ojos, y nuestras dos manos agarren los extremos; por tanto, veremos el "canto" del disco en vertical. Imaginemos ahora que el disco comienza a girar en el sentido en el que su parte superior se "aleja" de nosotros y la inferior se "acerca" a nosotros. La causa del efecto giroscpico es el cambio en la direccin de desplazamiento de la masa del disco, con una componente paralela al eje de rotacin inicial, de sentido contrario en cada extremo del disco. sta nueva componente del movimiento implica una reaccin de sentido contrario (3a Ley de Newton), que se manifiesta en el momento angular que experimenta el girscopo.