Dinamika Aco.doc

Tugas Dinamika StrukturSemester VI

1.Pendahuluan

Pada perencanaan suatu struktur bangunan, direncanakan berbagai

beban kerja. Suatu struktur dikatakan aman dan kuat jika mampu

menahan segala beban-beban di atasnya baik bersifat permanen maupun

sementara. Ada kalanya sebuah struktur harus direncanakan dengan

dimensi tertentu. Misalnya balok direncanakan dengan dimensi yang kecil

agar ruang antara struktur semakin besar tetapi masih aman dan kuat

serta memenuhi terhadap persyaratan yang telah ditentukan. Untuk

mencapai nilai keamanan dan kekuatan tersebut, maka bangunan

didimensi sedemikian rupa hingga memiliki kekuatan melebihi beban

yang akan dipikulnya. Salah satu alternatif teknis untuk mencapai nilai

keamanan dan kekuatan suatu bangunan adalah dengan menambah

kekakuan pada konstruksi.

Dalam hal ini, untuk menambah kekakuan pada konstruksi digunakan

struktur grid, yaitu balok-balok yang saling menyilang dan menyatu pada

bidang horizontal dimana gaya-gaya dominan yang bekerja adalah tegak

lurus bidang tersebut. Dengan memakai struktur grid (balok silang, dapat

diketahui pengaruh grid terhadap kekakuan struktur bangunan sehingga

diperoleh besar defleksi/lendutan yang terjadiakibat adanya gaya-gaya

yang bekerja pada bangunan. Penambahan jumlah grid(balok silang)

akan membuat struktur semakin kaku sehingga besarnya

defleksi/lendutan yang terjadi dapat dikurangi dan memenuhi peraturan

dan keamanan konstruksi.

Pada analisis struktur grid (balok silang) dengan jumlah batang yang

berbeda akibat adanya penambahan jumlah grid diperoleh lendutan yang

memenuhi terhadap persyaratan yang telah ditentukan. Hal ini terjadi

karena penambahan jumlah batang berpengaruh terhadap lendutan yang

terjadi. Analisis struktur grid diselesaikan dengan Metode Elemen Hingga

(Finite Element Method ) dan selanjutnya dianalisa dengan program

komputer yaitu program Matlab dan SAP 2000 untuk mempercepat

perhitungan. Dari hasil perhitungan terlihat bahwa semakin banyak

jumlah grid (balok silang), maka berat sendiri juga akan semakin besar

yang berpengaruh terhadap besarnya lendutan yang terjadi.

Fakultas TeknikUniversitas Brawijaya


Namun karena struktur dibuat dalam bentuk elemen grid (balok

silang) sehingga lendutan yang terjadi akan semakin kecil serta

memenuhi terhadap persyaratan yang telah ditentukan.

2.Rumus Umum

Bila system struktur sebidang dibebani sesuai dengan arah normal

bidang tersebut, maka struktur itu dikatakan sebagai struktur grid. Alasan

utama dalam meninjau kerangka sebidang yang dibebani sesuai arah

bidang ataupun sesuai arah normal dari bidang sebagai kondisi khusus

adalah terjadinya reduksi langsung dari koordinat nodal yang diketahui

dari sebuah elemen balok, yang juga merupakan reduksi dari jumlah

perpindahan yang tak diketahui dari sebuah system struktur.

Jadi, dalam menyelesaikan masalah struktur grid sebidang sebagai

sebuah kondisi khusus, kita hanya perlu meninjau tiga komponen dari

perpindahan nodal pada setiap ujung dari satu bentuk anggota grid.

Perpindahan nodal yang mungkin terjadi dalam system koordinat

local ataupun umum, ditentukan sesuai dengan gambar. Dapat dilihat

bahwa perpindahan translasi sepanjang arah sumbu z dari sumbu-sumbu

local dan sepanjang sumbu z dari system sumbu utama adalah identik

karena kedua sumbu ini menjadi satu.

Namun, pada umumnya komponen rotasi pada koordinat nodal untuk

kedua system koordinat ini akan berbeda satu sama lainnya. Jadi,

diperlukan sebuah transformasi koordinat untuk mentransformasikan

matriks-matriks elemen dari koordinat local ke koordinat umum.

Koordinat Titik Lokal



Gambar (a)Komponen dari perpindahan nodal untuk sebuah anggota grid

Koordinat Titik UmumGambar (a)

Komponen dari perpindahan nodal untuk sebuah anggota grid

Analisa dinamis dengan metode kekakuan untuk struktur grid, yaitu

untuk kerangka sebidang yang dibebani oleh beban normal, memerlukan

penentuan koefisien kekakuan torsi dan koefisien massa untuk suatu

bentuk umum dari anggota suatu grid.

Penurunan koefisien ini pada dasarnya identik dengan penurunan

koefisien kekakuan serta massa untuk pengaruh aksial pada sebuah

elemen balok. Adanya kesamaan antara kedua penurunan ini disebabkan

oleh bentuk matematis yang sama dari persamaan diferensial kedua

masalah ini. Untuk masalah aksial, persamaan diferensial untuk fungsi

perpindahan diberikan oleh persamaan di bawah ini :

Keterangan :

Φ = Perpindahan angular (perputaran Sudut)

T = Momen Torsi

G = Modulus elastisitas geser

J = Konstanta torsi dari penampang melintang (momen inersia polar

untuk penampang lingkaran)


=

Untuk perpindahan Torsi


Gambar (b)Koordinat Torsi nodal untuk sebuah elemen balok

Fungsi perpindahan untuk pengaruh torsi adalah sama dengan fungsi

yang sesuai, yang memberikan perpindahan akibat pengaruh aksial, jadi

dengan cara yang sama dengan persamaan (a) dan persamaan (b) serta

berdasar pada koordinat nodal pada gambar (b), kita dapatkan

persamaan di bawah ini :

Koefisien pengaruh kekakuan untuk pengaruh torsi, dapat dihitung

dari persamaan :

φ’1(x) dan φ’2(x) adalah penurunan fungsi perpindahan φ1(x) dan φ2(x)

terhadap x. koefisien matrik massa sepadan untuk pengaruh torsi,

diberikan oleh :

Dimana I adalah momen inersia massa polar per satuan panjang

sepanjang elemen balok.


u1 (x) = 1 -

…………. (a)

u2 (x) =

…………. (b)

….. (e)

….. (f)


Penggunaan persamaan (e) dan (f) untuk sebuah balok berseragam,

menghasilkan matriks kekakuan dan matriks massa sebagai berikut :

3.Solusi Persamaan

Matriks kekakuan torsi, dikombinasikan dengan matriks kekakuan

lentur untuk mendapatkan matriks kekakuan dari sebuah bentuk umum

anggota satu struktur grid. Persamaan kekakuan untuk satu anggota

seragam dari satu grid dalam system koordinat local seperti yang

dijelaskan gambar (a) adalah :

Matriks Kekakuan Lokal :

=

Atau dalam bentuk ringkasnya

Matriks Massa Lokal :


= (Matriks Kekakuan)

= (Matriks Massa)


=

Atau dalam bentuk ringkasnya , dimana adalah matriks

massa untuk satu anggota seragam yang umum dari sebuah struktur

grid.

Matriks kekakuan dan matriks massa pada persamaan di atas adalah

matriks dalam system koordinat local. Matriks-matriks tersebut perlu

ditransformasikan dalam bentuk system koordinat umum sebelum

disusun menjadi matriks-matriks struktur yang sesuai.

Gambar (c)Komponen Momen, Nodal dalam Koordinat Lokal

Dan Koordinat Umum

Nodal 1 :

P1 =

P2 =



P3 =

Nodal 2 :

P4 =

P5 =

P6 =

Sehingga dapat ditulis dalam notasi matriks sebagai : ,

dimana dan adalah vector dari gaya-gaya nodal dari satu anggota

grid dalam koordinat local serta umum, dan adalah matriks

transformasi yang digunakan untuk mentransformasi komponen

perpindahan nodal dalam system koordinat umum ke dalam system

koordinat local.

Hubungan ini diberikan dalam notasi : , sehingga matriks

kekakuan elemen dari system koordinat umum yaitu : ,

karena adalah matriks orthogonal, maka didapatkan atau

.



4.Contoh Soal

Dik : Dalam gambar di bawah ini terlihat sebuah struktur grid pada

bidang horizontal yang terdiri dari dua elemen balok prismatic

dengan tiga derajat kebebasan.

L = 60 inI = 100 in4

J = 200 in4

= 10 lb det2/in2

E = 30 x 106 psiG = 12 x 106 psiF3 = 5000 lb

Dit : Tentukanlah frekuensi natural dan pola perubahan bentuknya.

Gunakan formula massa sepadan.

Jawab :Matriks kekakuan untuk elemen 1 ataupun elemen 2 dari grid

dalam koordinat local oleh persamaan adalah :



Matriks transformasi untuk elemen dengan θ = 0° adalah

matriks satuan , jadi : , dan

untuk elemen dengan θ = 90° dapat dilihat matriks berupa :

Jadi, :

Matriks system adalah :

Dengan cara yang sama, kita dapatkan dari persamaan untuk

matriks massa yaitu :

Frekuensi natural dan pola perubahan bentuk didapatkan dari

solusi eigen problem : ,Yang memberikan

eigenvalues (frekuensi natural kuadrat) :



Kemudian :

Dan eigenvector (Matriks Pola) :

Eigenvector dinormalkan dengan membagi kolom-kolom

matriks polar dengan factor :

Eigenvector yang telah dinormalkan disusun pada kolom-kolom

matriks modal, jadi :


Documents

Dinamika Aco.doc