Dinamika Aco.doc

  • View
    23

  • Download
    2

Embed Size (px)

DESCRIPTION

dinamika

Text of Dinamika Aco.doc

Tugas Dinamika Struktur Semester VI1. Pendahuluan Pada perencanaan suatu struktur bangunan, direncanakan berbagai beban kerja. Suatu struktur dikatakan aman dan kuat jika mampu menahan segala beban-beban di atasnya baik bersifat permanen maupun sementara. Ada kalanya sebuah struktur harus direncanakan dengan dimensi tertentu. Misalnya balok direncanakan dengan dimensi yang kecil agar ruang antara struktur semakin besar tetapi masih aman dan kuat serta memenuhi terhadap persyaratan yang telah ditentukan. Untuk mencapai nilai keamanan dan kekuatan tersebut, maka bangunan didimensi sedemikian rupa hingga memiliki kekuatan melebihi beban yang akan dipikulnya. Salah satu alternatif teknis untuk mencapai nilai keamanan dan kekuatan suatu bangunan adalah dengan menambah kekakuan pada konstruksi. Dalam hal ini, untuk menambah kekakuan pada konstruksi digunakan struktur grid, yaitu balok-balok yang saling menyilang dan menyatu pada bidang horizontal dimana gaya-gaya dominan yang bekerja adalah tegak lurus bidang tersebut. Dengan memakai struktur grid (balok silang, dapat diketahui pengaruh grid terhadap kekakuan struktur bangunan sehingga diperoleh besar defleksi/lendutan yang terjadiakibat adanya gaya-gaya yang bekerja pada bangunan. Penambahan jumlah grid(balok silang) akan membuat struktur semakin kaku sehingga besarnya defleksi/lendutan yang terjadi dapat dikurangi dan memenuhi peraturan dan keamanan konstruksi. Pada analisis struktur grid (balok silang) dengan jumlah batang yang berbeda akibat adanya penambahan jumlah grid diperoleh lendutan yang memenuhi terhadap persyaratan yang telah ditentukan. Hal ini terjadi karena penambahan jumlah batang berpengaruh terhadap lendutan yang terjadi. Analisis struktur grid diselesaikan dengan Metode Elemen Hingga (Finite Element Method ) dan selanjutnya dianalisa dengan program komputer yaitu program Matlab dan SAP 2000 untuk mempercepat perhitungan. Dari hasil perhitungan terlihat bahwa semakin banyak jumlah grid (balok silang), maka berat sendiri juga akan semakin besar yang berpengaruh terhadap besarnya lendutan yang terjadi.

Fakultas Teknik Universitas Brawijaya

Tugas Dinamika Struktur Semester VINamun karena struktur dibuat dalam bentuk elemen grid (balok silang) sehingga lendutan yang terjadi akan semakin kecil serta memenuhi terhadap persyaratan yang telah ditentukan. 2. Rumus Umum Bila system struktur sebidang dibebani sesuai dengan arah normal bidang tersebut, maka struktur itu dikatakan sebagai struktur grid. Alasan utama dalam meninjau kerangka sebidang yang dibebani sesuai arah bidang ataupun sesuai arah normal dari bidang sebagai kondisi khusus adalah terjadinya reduksi langsung dari koordinat nodal yang diketahui dari sebuah elemen balok, yang juga merupakan reduksi dari jumlah perpindahan yang tak diketahui dari sebuah system struktur. Jadi, dalam menyelesaikan masalah struktur grid sebidang sebagai sebuah kondisi khusus, kita hanya perlu meninjau tiga komponen dari perpindahan nodal pada setiap ujung dari satu bentuk anggota grid. Perpindahan nodal yang mungkin terjadi dalam system koordinat local ataupun umum, ditentukan sesuai dengan gambar. Dapat dilihat bahwa perpindahan translasi sepanjang arah sumbu z dari sumbu-sumbu local dan sepanjang sumbu z dari system sumbu utama adalah identik karena kedua sumbu ini menjadi satu. Namun, pada umumnya komponen rotasi pada koordinat nodal untuk kedua system koordinat ini akan berbeda satu sama lainnya. Jadi, diperlukan sebuah transformasi koordinat untuk mentransformasikan matriks-matriks elemen dari koordinat local ke koordinat umum.

Koordinat Titik Lokal

Fakultas Teknik Universitas Brawijaya

Tugas Dinamika Struktur Semester VIGambar (a) Komponen dari perpindahan nodal untuk sebuah anggota grid

Koordinat Titik Umum Gambar (a) Komponen dari perpindahan nodal untuk sebuah anggota grid Analisa dinamis dengan metode kekakuan untuk struktur grid, yaitu untuk kerangka sebidang yang dibebani oleh beban normal, memerlukan penentuan koefisien kekakuan torsi dan koefisien massa untuk suatu bentuk umum dari anggota suatu grid. Penurunan koefisien ini pada dasarnya identik dengan penurunan koefisien kekakuan serta massa untuk pengaruh aksial pada sebuah elemen balok. Adanya kesamaan antara kedua penurunan ini disebabkan oleh bentuk matematis yang sama dari persamaan diferensial kedua masalah ini. Untuk masalah aksial, persamaan diferensial untuk fungsi perpindahan diberikan oleh persamaan di bawah ini :

=Untuk perpindahan Torsi Keterangan : T G J = Perpindahan angular (perputaran Sudut) = Momen Torsi = Modulus elastisitas geser = Konstanta torsi dari penampang melintang (momen inersia polar untuk penampang lingkaran)

Fakultas Teknik Universitas Brawijaya

Tugas Dinamika Struktur Semester VI

Gambar (b) Koordinat Torsi nodal untuk sebuah elemen balok Fungsi perpindahan untuk pengaruh torsi adalah sama dengan fungsi yang sesuai, yang memberikan perpindahan akibat pengaruh aksial, jadi dengan cara yang sama dengan persamaan (a) dan persamaan (b) serta berdasar pada koordinat nodal pada gambar (b), kita dapatkan persamaan di bawah ini : u1 (x) = 1 (a) -

. u2 (x) =

.

( b)

= (1 . (c) Koefisien pengaruh kekakuan untuk pengaruh torsi, dapat dihitung dari persamaan : .. (e)

1(x) dan 2(x) adalah penurunan fungsi perpindahan 1(x) dan 2(x) terhadap x. koefisien matrik massa sepadan untuk pengaruh torsi, diberikan oleh : .. (f)

Dimana I

adalah momen inersia massa polar per satuan panjang

sepanjang elemen balok.

Fakultas Teknik Universitas Brawijaya

Tugas Dinamika Struktur Semester VIPenggunaan persamaan (e) dan (f) untuk sebuah balok berseragam, menghasilkan matriks kekakuan dan matriks massa sebagai berikut : = = (Matriks Kekakuan) (Matriks Massa)

3. Solusi Persamaan Matriks kekakuan torsi, dikombinasikan dengan matriks kekakuan lentur untuk mendapatkan matriks kekakuan dari sebuah bentuk umum anggota satu struktur grid. Persamaan kekakuan untuk satu anggota seragam dari satu grid dalam system koordinat local seperti yang dijelaskan gambar (a) adalah : Matriks Kekakuan Lokal :

=

Atau dalam bentuk ringkasnya Matriks Massa Lokal :

=

Atau dalam bentuk ringkasnya grid.

, dimana

adalah matriks

massa untuk satu anggota seragam yang umum dari sebuah struktur Matriks kekakuan dan matriks massa pada persamaan di atas adalah matriks dalam system koordinat local. Matriks-matriks tersebut perlu ditransformasikan dalam bentuk system koordinat umum sebelum disusun menjadi matriks-matriks struktur yang sesuai.

Fakultas Teknik Universitas Brawijaya

Tugas Dinamika Struktur Semester VI

Gambar (c) Komponen Momen, Nodal dalam Koordinat Lokal Dan Koordinat Umum Nodal 1 : P1 = P2 = P3 = Nodal 2 : P4 = P5 = P6 = Sehingga dapat ditulis dalam notasi matriks sebagai : dimana dan ,

adalah vector dari gaya-gaya nodal dari satu anggota adalah matriks komponen

grid dalam koordinat local serta umum, dan transformasi yang digunakan untuk

mentransformasi

perpindahan nodal dalam system koordinat umum ke dalam system koordinat local. Hubungan ini diberikan dalam notasi : , sehingga matriks , atau

kekakuan elemen dari system koordinat umum yaitu : karena adalah matriks orthogonal, maka didapatkan .

Fakultas Teknik Universitas Brawijaya

Tugas Dinamika Struktur Semester VI

4. Contoh Soal Dik : Dalam gambar di bawah ini terlihat sebuah struktur grid pada bidang horizontal yang terdiri dari dua elemen balok prismatic dengan tiga derajat kebebasan. L I J E G F3 = = = = = = = 60 in 100 in4 200 in4 10 lb det2/in2 30 x 106 psi 12 x 106 psi 5000 lb

Dit

:

Tentukanlah frekuensi natural dan pola perubahan bentuknya. Gunakan formula massa sepadan.

Jawab

:Matriks kekakuan untuk elemen 1 ataupun elemen 2 dari grid dalam koordinat local oleh persamaan adalah :

Fakultas Teknik Universitas Brawijaya

Tugas Dinamika Struktur Semester VIMatriks transformasi untuk elemen dengan = 0 adalah matriks satuan , jadi : , dan

untuk elemen dengan = 90 dapat dilihat matriks berupa :

Jadi, :

Matriks system adalah :

Dengan cara yang sama, kita dapatkan dari persamaan untuk matriks massa yaitu :

Frekuensi natural dan pola perubahan bentuk didapatkan dari solusi eigen problem : eigenvalues (frekuensi natural kuadrat) : ,Yang memberikan

Fakultas Teknik Universitas Brawijaya

Tugas Dinamika Struktur Semester VI

Kemudian :

Dan eigenvector (Matriks Pola) :

Eigenvector

dinormalkan

dengan

membagi

kolom-kolom

matriks polar dengan factor :

Eigenvector yang telah dinormalkan disusun pada kolom-kolom matriks modal, jadi :

Fakultas Teknik Universitas Brawijaya