DINAMIKA FLUIDA Osnovni zakoni dinamike fluida · PDF fileMEHANIKA FLUIDA K 1 DINAMIKA FLUIDA Osnovni zakoni dinamike fluida ... Ako je izmijenjena toplina između dva stanja, izmijenjeni

MEHANIKA FLUIDA K 1

DINAMIKA FLUIDA Osnovni zakoni dinamike fluida

Dinamika plinova se temelji na osnovnim zakonima klasične fizike u koje spadaju

1. Zakon očuvanja mase, 2. Zakon očuvanja količine gibanja, 3. Zakon očuvanja momenta količine gibanja, 4. Zakon očuvanja energije, 5. Drugi zakon termodinamike.

Zakoni količine gibanja i momenta količine gibanja su konceptualno definirani u klasičnoj mehanici, a posljednja dva u termodinamici. Ovi su zakoni definirani za sustav materijalnih točaka odnosno za zatvoreni termodinamički sustav, a u dinamici fluida će biti primijenjeni na materijalni volumen VM(t), koji će u općem slučaju s vremenom mijenjati svoj položaj, oblik i veličinu, ali će se uvijek sastojati od jednih te istih čestica fluida. Strujanja fluida se mogu podijeliti na nestlačiva (u kojima je gustoća fluida konstantna, uglavnom su to strujanja kapljevina) i stlačiva strujanja (strujanja plinova pri većim brzinama u usporedbi s brzinom zvuka). Pri nestlačivom strujanju i volumeni čestica fluida ostaju konstantni, što znači da se čestice fluida ne može komprimirati (pri čemu bi se povećala unutarnja energija fluida na račun rada kompresije) niti ekspandirati (pri čemu bi se dobio mehanički rad na račun unutarnje energije), što znači da će se mehanička energija pretvarati u unutarnju samo putem viskoznih sila, što je jednosmjeran proces. U dosadašnjem dijelu kolegija smo se bavili samo nestlačivim strujanjem, te smo u modificiranoj Bernoullijevoj jednadžbi pretvorbu mehaničke energije u unutarnju nazivali gubicima mehaničke energije, jer se jednom pretvorena mehanička energija više ne može povratiti iz unutarnje energije nestlačivog fluida. Sada ćemo definirati općenitiji model stlačivog strujanja u kojem postoji dvosmjerni proces pretvorbe: iz mehaničke energije u unutarnju i obrnuto, te u energijsku jednadžbu moramo uključiti i unutarnju energiju, koja je definirana u prvom zakonu termodinamike, te ćemo prije nego definiramo osnovne zakone dinamike fluida načiniti kratak pregled osnovnih termodinamičkih relacija, te naglasiti specifičnosti njihove primjene u opisu strujanja fluida. Do sada smo se bavili integralnim pristupom, a u nastavku ćemo dati naglasak na diferencijalni pristup, koji je osnova za računalnu dinamiku fluida, danas sve rašireniji pristup rješavanju problema strujanja fluida i popratnih pojava.

MEHANIKA FLUIDA K 2

Koncept iz termodinamike

Termodinamički sustav i materijalni volumenTermodinamički sustav je volumen ispunjen materijom koji je granicom odijeljen od okoline. Granica može biti svaka geometrijski zatvorena površina (stvarna ili zamišljena) s definiranim svojstvima u svakoj njenoj točki. Granica može biti nepomična ili pomična, toplinski provodljiva ili neprovodljiva (adijabatska), a također propusna za masu (kada se govori o otvorenom sustavu) ili nepropusna za masu (kada se govori o zatvorenom sustavu). Materijalni volumen u mehanici fluida je primjer zatvorenog termodinamičkog sustava, te će se daljnja razmatranja ograničiti na takve termodinamičke sustave. Ravnotežno stanje termodinamičkog sustava i veličine stanja Svaki zatvoreni termodinamički sustav, prepušten sam sebi (bez izmjene topline i rada s okolinom), težit će uslijed spontanih procesa u sustavu (procesa koji se odvijaju sami od sebe), svom ravnotežnom stanju. Ravnotežno stanje sustava se ne može više mijenjati samo od sebe. Sve makroskopski mjerljive veličine, koje svojim vrijednostima opisuju stanje termodinamičkog sustava, nazivaju se veličinama stanja. Takve su veličine npr. tlak p , volumen V , temperatura T , unutarnja energija V , entropija itd. SVeličine stanja kojima vrijednosti ovise o količini materije unutar termodinamičkog sustava se nazivaju ekstenzivnim (npr. V , V , ) a veličine kojima vrijednost ne ovisi o količini materije se nazivaju intezivnim veličinama (

Sp i T ). Ekstenzivne veličine izražene

po jedinici mase se nazivaju specifičnim veličinama stanja. Npr. specifični volumen je

definiran izrazom ddVvm

1ρ

= = , što je po definiciji jednako recipročnoj vrijednosti gustoće

fluida. Spontani procesi koji dovode termodinamički sustav u ravnotežno stanje, a koji se odvijaju sami od sebe, posljedica su postojanja gradijenata fizikalnih veličina (npr. prijelaz topline s područja više na područje niže temperature je posljedica postojanja gradijenta temperature, miješanje plinova je posljedica postojanja gradijenta koncentracije). Spontani procesi su kao što je poznato iz iskustva jednosmjerni procesi (nikad se neće dogoditi da toplina sama od sebe prijeđe s hladnijeg na toplije područje, a jednom izmiješani plinovi se neće nikad sami od sebe razdvojiti). Iz rečenog je jasno da u ravnotežnom stanju, u kojem su iščezli svi spontani procesi, nema više gradijenata intenzivnih i specifičnih veličina stanja. Jednadžbe stanja – savršeni plin Svako ravnotežno stanje termodinamičkog sustava, opisano je skupom veličina stanja, pri čemu među veličinama stanja postoje veze, dane jednadžbama stanja, tako da je ravnotežno stanje jednoznačno definirano ograničenim brojem veličina stanja. Svaka homogena tvar karakterizirana je svojim jednadžbama stanja do kojih se dolazi mjerenjem, a u nekim posebnim slučajevima s pomoću statističke mehanike, odnosno kinetičke teorije plinova. Tako je npr. za model idealnog plina (koji će se u mehanici fluida zvati savršenim, jer je termin idealni rezerviran za neviskozne fluide), ravnotežno stanje određeno s dvije veličine stanja, npr. T i . Tlak je definiran toplinskom (termičkom) jednadžbom stanja v ili RTpv = p RTρ= gdje je R plinska konstanta. Unutarnja energija savršenog plina funkcija je samo temperature, što je iskazano kaloričkom jednadžbom stanja

MEHANIKA FLUIDA K 3

d d ili konst.v vu c T u c T= = +gdje je specifični toplinski kapacitet pri konstantnom volumenu. Za specifični toplinski kapacitet pri konstantnom tlaku vrijedi

vc

p vc c R= + . Za savršeni plin su

konstante. Uz oznaku vrijedi:

, i p vc c R

/p vc cκ =1pc Rκ

κ=

− i 1

1vc Rκ

=−

.

Termodinamički proces Ravnotežno stanje termodinamičkog sustava se može promijeniti samo djelovanjem iz okoline, npr. dovođenjem topline ili rada termodinamičkom sustavu, što se naziva termodinamičkim procesom. Za termodinamički proces se kaže da je ravnotežan ako termodinamički sustav tijekom procesa prolazi samo kroz ravnotežna stanja. To bi značilo da se stanje termodinamičkog sustava mijenja samo pod djelovanjem izvana, a prestankom tog procesa prestaje se mijenjati i stanje termodinamičkog sustava. Drugim riječima, ravnotežni proces ne izaziva spontane procese, što znači da se tijekom ravnotežnog procesa u termodinamičkom sustavu ne pojavljuju gradijenti veličina stanja. Iz rečenog je jasno da će svaki neravnotežni proces zbog izazvanih spontanih procesa biti jednosmjeran ili ireverzibilan. Nužan uvjet da bi se proces mogao odvijati u oba smjera je da je ravnotežan. Prvi zakon termodinamike (zakon očuvanja energije) Zakon očuvanja energije kaže da će promjena ukupne energije termodinamičkog sustava između dva stanja (npr. početnog stanja 1 i krajnjeg stanja 2) biti jednaka izmijenjenoj toplini i izmijenjenom radu s okolinom između ta dva stanja. Pod ukupnom energijom sustava podrazumijeva se suma svih oblika energije koji se tijekom procesa mijenjaju. Ako se promatra mirujući plin onda je dovoljno promatrati unutarnju energiju U , a u mehanici fluida gdje dolazi do promjene brzine strujanje plina bit će nužno uvesti i kinetičku energiju fluida. Ako je izmijenjena toplina između dva stanja, izmijenjeni rad, tada vrijedi

E 12Q 12W

( ) ( )2 2 1 1 12 12E U E U Q W+ − + = + (Napomena: Rad i toplina su definirane kao pozitivne veličine ako se dovode termodinamičkom sustavu).

Primjeri primjene prvog zakona termodinamike Primjer 1. Jouleov pokus Termodinamički sustav se sastoji od toplinski izolirane posude, mirujuće viskozne

kapljevine i sustava utega, kolotura i lopatica. Uteg svojim spuštanjem za visinu h vrši rad kojim se putem užeta i kolotura pokreću lopatice i fluid, čime im se povećava kinetička energija. Ako se zanemari utjecaj trenja u sustavu kolotura i užeta, sav izvršeni rad će se predati lopaticama i fluidu. Uslijed viskoznosti fluida on će se nakon određenog vremena spontano zaustaviti i tako ponovo doći u ravnotežno stanje. Ako je posuda bila toplinski izolirana,

Gh

hGW ⋅=12

MEHANIKA FLUIDA K 4

zaključuje se da se sav rad utega pretvorio u unutarnju energiju fluida, lopatica i posude, što se očituje kroz porast njihove temperature. Treba primijetiti da je termodinamički sustav između početnog i krajnjeg ravnotežnog stanja prolazio kroz neravnotežna stanja u kojima se fluid gibao, uslijed čega su postojali gradijenti veličina stanja. Zakon očuvanja energije primijenjen između početnog i krajnjeg ravnotežnog stanja mirovanja glasi:

1212 WUU =− ili 1212 wuu =− Primjer 2. Stlačivanje plina u toplinski izoliranom cilindru Termodinamički sustav sadrži plin, koji se nalazi u toplinski izoliranom cilindru s pomičnim stapom. Pretpostavlja se da plin u početnom trenutku miruje, te da ga se polako stlačuje putem stapa, kojeg se pomiče bez trenja, silom F koja je u svakom trenutku u ravnoteži sa silom tlaka unutar cilindra, dakle, F=pA (pretpostavlja se da je vanjski tlak

jednak nuli). Budući je suma sila na stap jednaka nuli, on se po prvom Newtonovom zakonu može gibati jedino konstantnom brzinom. Neka se stap giba beskonačno malom brzinom, tako da se kinetička energija čestica plina u cilindru može zanemariti. Budući da nema izmjene topline, sav rad koji se ulaže putem sile F pA=

s

F A

pA

A

1 2

2 2 2

1 11

s V

12ds V

d dS

s

V

W F s p A s p−

= = = − dV∫ ∫ ∫

troši se na promjenu unutarnje energije plina, tj. vrijedi: 2 2

1 1

2 1 2 1d ili dV v

V v

U U p V u u p v− = − − = −∫ ∫

Primjer 3. Grijanje plina pri konstantnom volumenu Termodinamički sustav sastoji se od zadane količine plina, početne temperature T0, smještene u krutu posudu zadanog volumena, kroz čiju se stijenku plinu dovodi toplina od

ogrjevnog spremnika temperature T1. Budući da je posuda stalnog volumena, pri grijanju plina ne dolazi do pomicanja stijenki posude prema okolini što znači da plin ne vrši nikakav rad, pa sva dovedena toplina Q12 prelazi u unutarnju energiju termodinamičkog sustava, tj. vrijedi

V=konst.

T0

ogrjevni spremnik, T1

1212 QUU =− ili 1212 quu =− Specifični toplinski kapacitet je toplina koju treba dovesti jedinici mase tvari da bi joj se temperatura povisila za 1 K. Specifični toplinski kapacitet cv pri konstantnom

volumenu se definira kao vkonst.

d dd dv v

q ucT T=

⎛ ⎞ ⎛ ⎞= =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

.

MEHANIKA FLUIDA K 5

Primjer 4. Grijanje plina pri konstantnom tlaku

Termodinamički sustav sadrži plin konstantne početne temperature, koji je zatvoren u cilindru s pomoću pomičnog stapa (koji idealno brtvi, a pomiče se bez trenja), čija je površina A, a težina zajedno s utegom G, tako da je konstantni tlak u plinu p=G/A (pretpostavlja se da je vanjski tlak jednak nuli). Dovođenjem topline termodinamičkom sustavu mijenja se volumen plina te dolazi do pomicanja stapa s utegom prema gore, što znači da termodinamički sustav vrši mehanički rad, koji je jednak umnošku težine G i visine h pomaka stapa. Ako se težina G izrazi s pomoću tlaka plina G=pA, tada izraz za izvršeni rad termodinamičkog sustava glasi:

ogrjevni spremnik, T1

G

A 1

2

h

p=G/A=konst.

( )12 2 1W pAh p V V= − = − − gdje su V1 i V2 volumeni plina u početnom i krajnjem

ravnotežnom stanju. Prema tome ako je Q12 toplina dovedena između početnog i krajnjeg stanja, prvi zakon termodinamike poprima oblik ( ) ( )2 1 12 2 1 2 1 12 2 1 ili U U Q p V V u u q p v v− = − − − = − − Treba ponovo naglasiti, da će termodinamički sustav pri prijelazu iz stanja 1 u stanje 2 prolaziti kroz niz ravnotežnih stanja samo ako se dovođenje topline odvija vrlo sporo. U tom se slučaju prvi zakon termodinamike može postaviti za dva vrlo bliska stanja između kojih je dovedena diferencijalno mala količina topline dq, izvršen je infinitezimalno mali rad dw=-pdv, pa je i promjena unutarnje energije du infinitezimalno mala. Time se dolazi do diferencijalnog oblika prvog zakona termodinamike, koji glasi vpqu ddd −=Treba još jednom naglasiti da gornji oblici prvog zakona termodinamike vrijede samo za ravnotežne promjene stanja. Kod brzog dovođenja topline, u plinu bi se pojavio gradijent temperature, gibanje plina i gradijent tlaka, te za stap više ne bi vrijedila mehanička ravnoteža (G=pA), jer bi se on mogao gibati ubrzano, te postići konačnu brzinu. U tom slučaju ne bi vrijedio izraz za izvršeni rad pa zbog toga ni dani izraz za prvi zakon termodinamike. Entalpija Iz diferencijalne formulacije prvog zakona termodinamike vpqu ddd −= , jasno je da za v=konst. sva dovedene toplina prelazi u unutarnju energiju, pa slijedi jednostavni izraz za specifični toplinski kapacitet cv. Za procese pri konstantnom tlaku zgodno je uvesti entalpiju h u obliku . Držeći p=konst. (dp=0) jasno je da se sva dovedena toplina pretvara u entalpiju, pa se dobije jednostavna definicija specifičnog toplinskog

kapaciteta pri konstantnom tlaku

pvqh ddd +=

pcpT

hTqc ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

dd

dd

pp .

Veza između entalpije i unutarnje energije se dobije ako se desnoj strani izraza kojim je definirana entalpija doda i oduzme član pdv, te slijedi izraz

, a nakon integracije slijedi

( )pvpvvp

uvpqh

ddd

dddd ++−=

MEHANIKA FLUIDA K 6

ili pvuh += pVUH += U gornjim relacijama entalpija je izražena samo veličinama stanja pa je ona također veličina stanja. Povratni, nepovratni procesi i entropija Ako se sustav određenim procesom dovede iz jednog u drugo ravnotežno stanje i ako bi se sustav mogao vratiti u početno ravnotežno stanje bez da u okolini ostane trajnih i zamjetljivih promjena, proces je povratan ili reverzibilan. Svi prirodni ili spontani procesi posljedica su postojanja gradijenata fizikalnih veličina u termodinamičkom sustavu i nepovratni su ili ireverzibilni. Prema tome, nužan uvjet da bi proces bio reverzibilan je da je ravnotežan. Primjer reverzibilnog procesa je polagana kompresija plina bez trenja u toplinski izoliranom cilindru, kao što je opisano u primjeru 2. Iz tog je primjera vidljivo da u adijabatskom procesu bez trenja i pri polaganoj kompresiji (koja se odvija pri mehaničkoj ravnoteži) unutarnja energija predstavlja potencijal za silu tlaka (odnosno tlak) jer se uloženi mehanički rad kompresije može putem polagane ekspanzije u potpunosti povratiti. Iz prvog zakona termodinamike za taj slučaj očito je da vrijedi:

bez izmjene topline, bez trenja i u ravnotežnom procesu

ddupv

= −

gdje se gornja derivacija odnosi na slučaj ravnotežnog procesa bez trenja i bez izmjene topline. Da ne bismo morali opisno davati uz koje uvjete vrijedi gornja jednadžba, uvodi se nova veličina stanja, entropija s, koja pod danim uvjetima ostaje konstantna. U općem slučaju unutarnja energija je funkcija dviju veličina stanja, te se gornja jednadžba piše

sv

up ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

−=

Uvođenjem entropije u gornjem izrazu nije još definirana njena veličina. Jedino je očito da će do promjene entropije s doći kada dođe do izmjene topline, trenja ili neravnoteže. Ako se dogovori da za slučaj dovođenja topline pri stalnom volumenu kao u primjeru 3 (gdje rastu unutarnja energija i temperatura plina) entropija s raste, tada se veličina promjene entropije s definira iz relacije

vs

uT ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

=

S obzirom da je apsolutna temperatura T pozitivna veličina, svako povećanje unutarnje energije (dovođenje topline) pri konstantnom volumenu ima za posljedicu povećanje entropije, a odvođenje topline smanjenje entropije. Ako se unutarnja energija prikaže kao funkcija entropije i volumena, tada vrijedi

d dv s

T p

u uu ss v

−

∂ ∂⎛ ⎞ ⎛ ⎞= +⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠dv , odnosno

ili vpsTu ddd −= VpSTU ddd −=

usporedbom gornjeg izraza (Gibbsova relacija) s izrazom za prvi zakon termodinamike slijedi vpqu ddd −=

ili sTq dd = STQ dd =

MEHANIKA FLUIDA K 7

Treba naglasiti da je gornji izraz izveden pod pretpostavkom neprekidne toplinske i mehaničke ravnoteže termodinamičkog sustava što znači da je valjan samo za ravnotežne procese. Drugi zakon termodinamike (a) Ako se stanje termodinamičkog sustava mijenja od stanja 1 do stanja 2 ravnotežnim

procesom, promjena entropije definirana je integralom

∫=−2

112

dTqss ili ∫=−

2

112

dTQSS

(b) Svaki spontani proces (koji je po definiciji neravnotežan) u izoliranom zatvorenom termodinamičkom sustavu vodi povećanju entropije S. Sustav dolazi u ravnotežno stanje kada entropija S postigne svoj maksimum. Prema tome, kod neravnotežnih procesa dolazi do povećanja entropije termodinamičkog sustava i kad nema izmjene topline, te se prethodni izraz može poopćiti tako da vrijedi za bilo koji proces, tj. za promjenu entropije termodinamičkog sustava vrijedi

∫≥−2

112

dTqss ili ∫≥−

2

112

dTQSS

gdje se znak jednakosti odnosi na ravnotežne procese, a znak veće na neravnotežne, a samim tim na ireverzibilne procese. Temeljem prethodnog izraza može se definirati i produkcija entropije

0dqd2

1

≥⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −= ∫ T

sσ ili 0dd2

1

≥∑ ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −= ∫ T

QS

gdje se ponovo znak jednakosti odnosi na ravnotežne procese. U izoliranom termodinamičkom sustavu produkcija entropije jednaka je promjeni entropije. Ako u izoliranom termodinamičkom sustavu nema promjene entropije proces je reverzibilan, a ako postoji porast entropije proces je ireverzibilan. Treba naglasiti da u termodinamičkom sustavu koji izmjenjuje toplinu s okolinom entropija može rasti (ako mu se toplina dovodi ) ili padati (kada mu se toplina odvodi). S druge strane produkcija entropije, koja je mjera nepovratnosti termodinamičkog procesa, mora biti jednaka nuli (za ravnotežne procese) ili pozitivna veličina (za ireverzibilne procese). Termodinamički koncept i strujanje fluida Postavlja se pitanje kako gore izloženi koncept iz termodinamike koji je definiran i primjenjiv na ravnotežna stanja termodinamičkog sustava, primijeniti u strujanju fluida u kojem se tipično pojavljuju gradijenti brzine, tlaka i temperature, koje je dakle neravnotežno. Odgovor leži u principu lokalne ravnoteže u kojem se svaka čestica fluida (iz koncepta kontinuuma) smatra termodinamičkim sustavom. Budući da čestica fluida mase dm zauzima infinitezimalni volumen dV (pri čemu je dm=ρdV), sve ekstenzivne veličine stanja unutar čestice fluida će također biti infinitezimalne: dU=ρudV, dS=ρsdV, a intenzivne i specifične veličine stanja će unutar čestice fluida biti konstantne, što prema izloženom konceptu odgovara ravnotežnim uvjetima, pa sve prije spomenute relacije vrijede i za svaku česticu fluida. Prema hipotezi kontinuuma, svaka čestica fluida zauzima samo jednu točku prostora, pa se u svakoj točki prostora definiraju veličine stanja one čestice fluida koja se u promatranom trenutku upravo nalazi u promatranoj točki prostora. Na taj će način intenzivne i specifične veličine stanja čestica fluida biti opisane poljima fizikalnih veličina koja su funkcija prostornih i vremenske koordinate. S obzirom da svaka

MEHANIKA FLUIDA K 8

čestica fluida ostaje cijelo vrijeme u ravnotežnom stanju, znači da toplinska jednadžba stanja vrijedi u svakoj točki prostora u svakom vremenskom trenutku. Također vrijedi i Gibbsova relacija , gdje se diferencijali specifične unutarnje energije, specifične entropije i volumena odnose na česticu fluida, koja je elementarni termodinamički sustav. Dijeljenjem gornjeg izraza s diferencijalom vremena dt dobiju se vremenske promjene specifične unutarnje energije, specifične entropije i specifičnog volumena čestice fluida, koje se izražavaju materijalnom derivacijom, te Gibbsova relacija glasi:

vpsTu ddd −=

2

D D D D DD D

u s v s pT p Tt Dt t Dt Dt

ρρ

= − = +

Slično bi se i dijeljenjem diferencijalnog oblika prvog zakona termodinamike danog izrazom (u kojem se uzima u obzir i kinetička energija fluida, a promjena potencijalne energije uzima kroz mehanički rad) s diferencijalom vremena dobilo

( )

tw

tq

tue

dd

dd

DD

+=+

što bi se moglo iskazati riječima da je brzina promjene kinetičke i unutarnje energije čestice fluida jednaka brzini dovođenja topline (dq/dt) i mehaničkog rada (dw/dt) (odnosno snazi vanjskih sila na česticu fluida). Čestica fluida je u materijalnom volumenu okružena česticama koje su različitih temperatura od promatrane čestice, te dolazi do prijelaza topline od ili prema promatranoj čestici. S druge strane čestice se dodiruju, što ima za posljedicu pojavu površinskih sila, putem kojih promatrana čestice prima ili vrši rad. U mehanici fluida će se zakon očuvanja energije primjenjivati i na materijalni volumen, koji se sastoji od velikog broja čestica fluida. Zakon očuvanja energije za materijalni volumen dobije se zbrajanjem jednadžbi očuvanja energije svih čestice fluida koje čine taj materijalni volumen. Budući da su kinetička i unutarnja energija ekstenzivne veličine brzina promjene tih energija materijalnog volumena bit će jednaka zbroju brzina promjena tih energija svih čestica fluida unutar materijalnog volumena. Zbroj brzina izmjene topline svih čestica fluida unutar materijalnog volumena, bit će jednak brzini izmjene topline materijalnog volumena s okolinom, jer će se izmjena topline među česticama unutar materijalnog volumena međusobno poništiti. Isto vrijedi i za snagu površinskih sila. Ako dvije čestice u unutrašnjosti materijalnog volumena izmjenjuju energiju putem snage površinskih sila, onda je zbroj tih snaga jednak nuli, a u materijalnom volumenu ostaje samo snaga površinskih sila koja se izmjenjuje s okolinom na granici materijalnog volumena. Snaga masenih sila koje djeluju na materijalni volumen, jednaka je zbroju snaga koje djeluju na čestice fluida. Dakle, iskazano riječima, zakon održanja energije za materijalni volumen glasi: Brzina promjena kinetičke i unutarnje energije materijalnog volumena jednaka je snazi vanjskih masenih i površinskih sila koje djeluju na materijalni volumen i brzini izmjene topline materijalnog volumena s okolinom.

MEHANIKA FLUIDA K 9

OSNOVNE JEDNADŽBE DINAMIKE FLUIDA

Zakon očuvanja mase (jednadžba kontinuiteta) Zakon očuvanja mase, za materijalni volumen, glasi: Brzina promjene mase materijalnog volumena jednaka je nuli. Matematički zapis ovog zakona je

0dDD

)(M

=∫tV

Vt

ρ

Diferencijal vremenski promjenjivog materijalnog volumena , koji odgovara volumenu čestice fluida, je također vremenski promjenjiv, pri čemu vrijedi

dV M ( )V t

( )D d1d D

j

j

vVV t x

∂=∂

pa je

( )M M M( ) ( ) ( )

d

D dD D Dd d dD D D D

j jjj

j

jV t V t V tv vV t xx

vVV V

t t t t xρ ρ

ρ ρρ ρ ρ

∂ ∂∂ +∂ ∂∂

⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ∂⎜ ⎟ 0V= + = +⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎝ ⎠⎝ ⎠

∫ ∫ ∫ =

U graničnom prijelazu kada se materijalni volumen smanji na česticu fluida (materijalnu

točku), gornji izraz prelazi o oblik MD dD

j

j

vV

t xρ ρ

⎛ ⎞∂0+ =⎜ ⎟⎜ ⎟∂⎝ ⎠

, iz čega je jasno da vrijedi

D 0D

j jj

j j

v vv

t x t x xρ ρ ρρ ρ

∂ ∂∂ ∂+ = + +

∂ ∂ ∂ ∂ j

= .

Gornji izraz se može zapisati i u obliku ( )

0=∂

∂+

∂∂

j

j

xv

tρρ

koji se naziva konzervativnim oblikom zakona očuvanja mase (jednadžbe kontinuiteta). Za nestlačivo strujanje (stacionarno ili nestacionarno) jednadžba kontinuiteta glasi:

0=∂

∂

j

j

xv

a izražava činjenicu da nema promjene volumena čestice fluida.

Dva pomoćna pravila u izvodu osnovnih zakona dinamike fluida Bilo koje fizikalno svojstvo fluida (masa, količina gibanja, energija, …) moguće je izraziti volumenskom gustoćom Φ ili masenom gustoćom ϕ (fizikalna veličina izražena po jedinici mase je specifična vrijednost fizikalne veličine). Tako je npr. volumenska gustoća mase jednaka , specifična masa m =d / dm VΦ = ρ =d / d 1m mϕ = . Za kinetičku energiju

je volumenska gustoća , a specifična kinetička energija je . Veza između volumenske gustoće i specifične fizikalne veličine je

2 / 2mv 2= /vΦ ρ 2 2= / 2vϕ

ϕρΦ = U svim zakonima dinamike fluida pojavljuje se pojam brzine promjene sadržaja fizikalnog svojstva unutar materijalnog volumena. Brzina promjene izražava se materijalnom

MEHANIKA FLUIDA K 10

derivacijom, a sadržaj fizikalne veličine integralom po materijalnom volumenu. Taj se sadržaj može izraziti ili s pomoću volumenske gustoće Φ ili s pomoću masene gustoće ϕ fizikalnog svojstva, u obliku , pa za brzinu promjene sadržaja vrijedi

M M( ) ( )

dV t V t

Φ V ρϕ=∫ ∫ dV

M M M( ) ( ) ( )d

D D D D Dd d d dD D D D DV t V t m m V tm

Φ V V m mt t t t

dVt

ϕ ϕϕ ρ ϕ ρ= = = =∫ ∫ ∫ ∫ ∫

U gornjim je izrazima iskorištena činjenica da je masa materijalnog volumena konstantna (kao i masa čestice fluida), pa se u tom slučaju pri uvođenju operatora materijalne derivacije, operator primjenjuje samo na podintegralnu funkciju. Dakle valja zapamtiti pravilo (nazovimo ga pravilom A)

mdm

M M( ) ( )

D Dd dD DV t V t

V Vt t

ϕρϕ ρ=∫ ∫ pravilo A

Podintegralna funkcija u gornjem izrazu nakon razvoja operatora materijalne derivacije je

DD j

j

vt t xϕ ϕ ϕρ ρ

⎛ ⎞∂ ∂= +⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠

Ako se desnoj strani gornjeg izraza doda jednadžba kontinuiteta pomnožena s ϕ slijedi

( )

0 prema jednadžbi kontinuiteta

DD

jj

j j

vv

t t x t xρϕ ϕ ϕ ρρ ρ ρ ϕ

=

⎛ ⎞⎜ ⎟∂∂ ∂ ∂⎜ ⎟= + + +

∂ ∂ ∂ ∂⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

dobije se:

( ) ( )D

Dj

jj j

vv

t t x t xρ ϕρϕϕ ϕ ϕρ ρ ρ

∂∂∂ ∂= + = +

∂ ∂ ∂ ∂ pravilo B

Valja zapamtiti ovo jednostavno pravilo koje će poslužiti za definiranje konzervativnih oblika osnovnih zakona (treći oblik u pravilu B).

Zakon očuvanja količine gibanja (jednadžba gibanja fluida) Zakon količine gibanja za materijalni volumen glasi: Brzina promjene količine gibanja materijalnog volumena jednaka je sumi vanjskih masenih i površinskih sila koje djeluju na materijalni volumen. Matematički zapis, riječima iskazanog zakona količine gibanja je (pogledati i sažetak 8. predavanja iz MFI):

M M M M M( ) ( ) ( ) ( ) ( )

D d d dD

j ji

i i i i jV t V t S t V t S tn

v V f V dS f V n dSt

σ

ρ ρ σ ρ σ= + = +∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ji

Primjenom pravila A na lijevu stranu gornjeg izraza i prikazom površinskih sila preko volumenskog integrala, slijedi:

M M M( ) ( ) ( )

D d dD

jiii

jV t V t V t

v V f Vt x

dVσ

ρ ρ∂

= +∂∫ ∫ ∫

Iz gornjeg izraza slijedi nekonzervativni diferencijalni zapis zakona količine gibanja koji glasi:

DD

jiii

j

v ft x

σρ ρ

∂= +

∂


Množenjem gornjeg izraza s volumenom čestice fluida, dobije se poznati oblik drugog Newtonovog zakona za gibanje čestice fluida, u kojem je lijeva strana jednadžbe jednaka umnošku mase čestice fluida i njena ubrzanja (materijalna derivacija brzine), a desna strana je jednaka zbroju sila koje djeluju na česticu fluida, ovdje su to masena i površinska sila. Volumenska gustoća ukupne površinske sile na česticu fluida je matematički

definirana divergencijom tenzora naprezanja ji

jxσ∂∂

, što naravno označuje vektor.

Komponente toga vektora dobiju se razvojem izraza za 1i = , 2 i 3, npr. komponenta površinske sile u smjeru osi 1x (za 1i = ) je

1 11 21 31

1 2

j

j 3x x x xσ σ σ σ∂ ∂ ∂ ∂

= + +∂ ∂ ∂ ∂

Fizikalna interpretacija gornja tri člana slijedi iz analize površinskih sila na česticu fluida oblika elementarnog paralelopipeda sa stranicama d 1x , d 2x i d 3x , kao što prikazuje slika.

Na prikazanu česticu fluida ucrtane su samo sile u smjeru osi 1x , a na svim površinama su pretpostavljene pozitivne komponente tenzora naprezanja. Težišta površina u kojima djeluju površinske sile su označena brojevima 1 do 3 i 1' do 3'. Površine 1 do 3 imaju normale u negativnim smjerovima osi, pa na njima pozitivna naprezanja gledaju u negativnom smjeru osi 1x (vidjeti dogovor o predznacima naprezanja u sažetku 2. predavanja iz MF I).

x3

11σ

Normale površina 1' do 3' su u pozitivnim smjerovima osi, pa pozitivna naprezanja na tim površinama gledaju u pozitivnom smjeru osi 1x . Komponente naprezanja su u općem slučaju funkcije prostornih koordinata. Ako na površini 1 (u težištu 1) vlada naprezanje

, onda će u bliskoj točki 1', koja je od točke 1 pomaknuta u smjeru osi 11σ 1x , doći do

prirasta naprezanja 111

1

dxxσ∂∂

tako da je u težištu 1' naprezanje 1111 1

1

dxxσ

σ∂

+∂

. Slično vrijedi

i za priraste naprezanja i σ . Elementarna sila u smjeru osi 21σ 31 1x na površini 1 je

11 2 3d dx xσ− , a na površini 1' 1111 1 2 3

1

d d dx x xxσ

σ⎛ ⎞∂ ⎟⎜⎜⎜⎜

. Doprinos površinskoj sili u smjeru osi ⎟+ ⎟⎟∂⎝ ⎠

1x na površini 2 je 21 1 3d dx xσ− , a na površini 2' 2121 2 1 3

2

d d dx x xxσ

σ⎛ ⎞∂ ⎟⎜⎜⎜⎜

. Analogno vrijedi i

za površine 3 i 3'. Ukupna površinska sila na česticu fluida jednaka je zbroju sila na šest površina i iznosi

⎟+ ⎟⎟∂⎝ ⎠

111 21 311 2 3

1 2 3

d d d dj

j

x x x Vx x x x

σσ σ σ⎛ ⎞ ∂∂ ∂ ∂ ⎟⎜ ⎟+ + =⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠, pa je jasno da je 1j

jxσ∂∂

volumenska

gustoća površinske sile na česticu fluida u smjeru osi 1x .

x1

x2

2121 2

2

dxxσ

σ∂

+∂

31σ 0

1 2

3

21σ

3131 3

3

dxxσ

σ∂

+∂

2' 1'

3'

1111 1

1

dxσ

σ∂

+∂

x


Primjenom pravila B na lijevu stranu gore dane jednadžbe količine gibanja DD

jiii

j

v ft x

σρ ρ

∂= +

∂ slijedi konzervativni diferencijalni zapis zakona količine gibanja,

koji glasi:

( ) ( )j i jii

ij j

v vvf

t xρ

xσρ

ρ∂ ∂∂

+ = +∂ ∂ ∂

, a prema pravilu B jasno je da vrijedi i

jii ij i

j j

v vv ft x x

σρ ρ ρ

∂∂ ∂+ = +

∂ ∂ ∂,

što je nekonzervativni oblik jednadžbe količine gibanja.

Zakon očuvanja momenta količine gibanja Zakon momenta količine gibanja za materijalni volumen glasi: Brzina promjene momenta količine gibanja materijalnog volumena, u odnosu na odabrani pol, jednaka je sumi momenata vanjskih masenih i površinskih sila koje djeluju na materijalni volumen, u odnosu na taj isti odabrani pol. Ako se pretpostavi da u fluidu nema momenata (spregova sila) raspodijeljenih po površini materijalnog volumena ili unutar samog volumena, tada se zakon očuvanja momenta količine gibanja svodi na činjenicu simetričnosti tenzora naprezanja jk kjσ σ= (vidjeti sažetak 12. predavanja iz MFI). Ako se unaprijed pretpostavi simetričnost tenzora naprezanja, to znači da je jednadžba momenta količine gibanja već zadovoljena (može se tvrditi da je već iskorištena pri definiranju tenzora naprezanja), pa se tu jednadžbu više ne treba uključivati u skup osnovnih jednadžbi dinamike fluida.

Zakon očuvanja energije Zakon očuvanja energije za materijalni volumen glasi: Brzina promjene zbroja kinetičke i unutarnje energije materijalnog volumena jednaka je snazi vanjskih masenih i površinskih sila koje djeluju na materijalni volumen, te brzini izmjene topline materijalnog volumena s okolinom.

Ako se sa u označi specifična unutarnja energija čestice fluida, tada je zbroj kinetičke i unutarnje energije unutar čestice fluida mase d dm Vρ= jednak

2 2

d d2 2v vV Vu uρ ρ ρ

⎛ ⎞+ = +⎜ ⎟

⎝ ⎠

x1

di Sσ

SM

O

x3

x2

VM

jn

if

dS

dif Vρ

dm=ρdV

jq

iv dV .

Energija materijalnog volumena jednaka je zbroju (integralu) energija svih čestica unutar materijalnog volumena, a brzina promjene te energije označuje se materijalnom derivacijom toga integrala, tj. vrijedi


Brzina promjene energije = MVM M M

2

( ) ( ) ( )

D Dd dD 2 D DV t V t V t

e

v eu V e V Vt t

ρ ρ⎛ ⎞

+ = =⎜ ⎟⎝ ⎠

∫ ∫ ∫D d

tρ ,

Gdje je za zbroj specifične kinetičke i unutarnje energije uvedena oznaka , i primijenjeno pravilo A, za materijalnu derivaciju integrala po vremenski promjenjivom materijalnom volumenu.

e

Snaga masenih sila na česticu fluida izražava se skalarnim produktom masene sile na česticu fluida fi ρ dV i njene brzine vi, a ukupna snaga masenih sila u materijalnom volumenu jednaka je zbroju, odnosno integralu tih elementarnih snaga unutar materijalnog volumena, tj. vrijedi Snaga masenih sila u materijalnom volumenu = Vvf

tVii d

)(M

∫ ρ

Vanjske površinske sile djeluju po materijalnoj površini SM(t), a definirane su vektorom naprezanja iσ , koji je jednak skalarnom umnošku jediničnog vektora normale jn na materijalnu površinu i tenzora naprezanja jiσ u točki materijalne površine i jn jiσ σ= . Na svaki elementarni dio materijalne površine djeluje elementarna površinska sila dS di Sσ , a snaga te elementarne sile se dobije njenim skalarnim množenjem s vektorom brzine pomicanja materijalne površine (koja je jednaka brzini strujanja fluida). Ukupna snaga površinskih sila koje djeluju na materijalni volumen dobije se zbrajanjem, odnosno integriranjem tih elementarnih snaga po čitavoj materijalnoj površini, tj. vrijedi:

iv

Snaga površinskih sila na = MV( )

M M M( ) ( ) ( )

dji ii i j ji i

jS t S t V t

vv dS n v dS V

xσ

σ σ∂

= =∂∫ ∫ ∫ ,

gdje je iskorištena Gaussove formula da se ukupna snaga površinskih sila na materijalni

volumen, prikaže volumenskim integralom. Tako bi član ( )ji i

j

vxσ∂

∂ imao fizikalno značenje

volumenske gustoće snage površinskih sila na česticu fluida. Treći uzrok promjeni energije materijalnog volumena je izmjena topline kroz materijalnu površinu. Ako se sa označi vektor površinske gustoće toplinskog toka (jedinica u SI sustavu mjera je ), onda je toplinski tok (izmijenjena toplina u jedinici vremena) kroz elementarni dio materijalne površine razmjeran normalnoj komponenti tog vektora (vektor skalarno pomnožen s jediničnim vektorom vanjske normale na materijalnu površinu) i elementarnoj površini d . Ukupna snaga toplinskog toka jednaka je integralu tih elementarnih tokova kroz cijelu materijalnu površinu:

iq2W/m

iq inS

Toplinski toka kroz materijalnu površinu = M M( ) ( )

dii i

iS t V t

qq n dS Vx∂

− = −∂∫ ∫

Toplinski tok se uzima s negativnim predznakom jer pozitivna normalna komponenta vektora površinske gustoće toplinskog toka označuje odvođenje topline iz materijalnog volumena što znači smanjenje ukupne energije materijalnog volumena. Jasno je da se površinski integral može primjenom Gaussove formule prevesti na volumenski

integral, u kojem divergencija vektora površinske gustoće toplinskog toka

i iq n

i

i

qx∂∂

označuje

volumensku gustoću brzine izmjene topline čestice fluida s okolinom. Matematički zapis riječima iskazanog zakona očuvanja energije je dakle


( )

M M M M( ) ( ) ( ) ( )

D d d dD

ji i ii i

j iV t V t V t V t

ve qV f v V Vt x

σρ ρ

∂ ∂= + −

∂ ∂∫ ∫ ∫ ∫ dVx

Sažimanjem materijalnog volumena na česticu fluida i dijeljenjem gornjeg izraza s volumenom čestice fluida dobije se diferencijalni oblik zakon očuvanja energije

( )D

Dji i i

i ij i

ve qf vt x

σρ ρ

∂

x∂

= + −∂ ∂

Primjenom pravila B na lijevu stranu gornjeg izraza dobije se

( )ji i i

j i ij j i

ve ev f vt x x

σρ ρ ρ

∂∂ ∂+ = + −

∂ ∂ ∂qx∂∂

i

( ) ( ) ( )j ji i

i ii

j j i

v e ve qf vt x x

ρ σρρ

∂ ∂∂x∂

+ = + −∂ ∂ ∂ ∂

gdje je ovaj posljednji oblik konzervativni zapis zakona očuvanja energije. U gornjoj jednadžbi drugi član desne strane označuje volumensku gustoću snage površinskih sila, a može se deriviranjem produkta razložiti na dva dijela:

( )

naprezanje tenzorna površini brzinerezultirajućačestice deformacijepovršinska

silasnaga

ubrzava česticufluida mijenjakinetičku energiju

ji ji

ji i ji jiii ji i ji ji

j j j j

D V

v vv vx x x xσ σ σ

σ σ

+

⇒

∂ ∂ ∂∂= + = +

∂ ∂ ∂ ∂D

površinskih silakoja se troši na deformaciju česticefluida mijenjaunutarnju energiju

⇒

Iz diferencijalnog oblika jednadžbe količine gibanja je poznato da divergencija tenzorskog polja naprezanja /ji jxσ∂ ∂ označuje rezultantnu površinsku silu na česticu fluida izraženo po jedinici volumena, te će umnožak tog člana s brzinom čestice fluida označavati volumensku gustoću snage površinske sile kojom se mijenja kinetičku energiju čestice fluida, sukladno zakonu kinetičke energije u mehanici. U drugom članu gornje jednadžbe se pojavljuje tenzor gradijenta brzine /iv x j∂ ∂ , koji se, kao što je poznato iz kinematike, može prikazati zbrojem tenzora brzine deformacije i tenzora vrtložnosti. Tenzor vrtložnosti je antisimetričan tenzor, te je njegov dvostruki skalarni produkt sa simetričnim tenzorom naprezanja jednak nuli, tako da je drugi član produkt tenzora naprezanja (površinske sile) i tenzora brzine deformacije, iz čega se zaključuje da on označuje dio snage površinskih sila kojom se deformira čestica fluida, a snaga te deformacije se pretvara u unutarnju energiju, kao što je poznato iz termodinamike.

Drugi zakon termodinamike Drugi zakon termodinamike spada u skup osnovnih zakona, a ukazuje na jednosmjernost odvijanja realnih termodinamičkih procesa. Ovaj je zakon izražen činjenicom da entropija izoliranog sustava mora rasti ili u najboljem slučaju ostati ista, odnosno da produkcija entropije u otvorenom termodinamičkom sustavu mora biti pozitivna ili jednaka nuli. Glavna primjena ovog zakona u dinamici fluida je za ocjenu valjanosti (fizikalnosti) dobivenih rješenja strujanja fluida. Ukoliko postoji više rješenja nekog problema strujanja,


uzima se ono koje je u skladu s drugim zakonom termodinamike. Brzina promjene entropije čestice fluida definirana je Gibbsovom jednadžbom danom u prethodnom predavanju, a koja glasi

t

pDt

sTtu

DD1D

DD ρ

ρρρ +=

Primjenom jednadžbe kontinuiteta 1 DD

j

j

vt xρ

ρ∂

= −∂

na zadnji član desne strane gornjeg

izraza, slijedi:

j

j

xv

ptu

DtsT

∂

∂+=

DDD ρρ

S obzirom da se entropija ne pojavljuje u ostalim osnovnim zakonima dinamike fluida, gornja se jednadžba može rješavati nezavisno od ostalih jednadžbi, pa se ona naziva i “pasivnom” jednadžbom, što znači da se drugi zakon termodinamike primjenjuje neovisno od prethodnih zakona. U tom smislu ga se neće uzimati u skup osnovnih jednadžbi, nego će ga se primjenjivati po potrebi (ukoliko postoji potreba za ispitivanjem fizikalnosti rješenja).

Skup jednadžbi osnovnih zakona dinamike fluida U skup osnovnih zakona dinamike fluida spadaju opisani zakoni: očuvanja mase, količine gibanja, momenta količine gibanja, očuvanja energije i drugi zakon termodinamike. Dani matematički zapisi navedenih zakona vrijede uz pretpostavku hipoteze kontinuuma, homogenog, jednofaznog i kemijski inertnog fluida u kojem nema površinskih i masenih momenata. Kao što je rečeno, za taj se slučaj zakon momenta količine gibanja svodi na činjenicu simetričnosti tenzora naprezanja, te, ako se ta simetričnost unaprijed pretpostavi, jednadžbu momenta količine gibanja se ispušta iz skupa osnovnih diferencijalnih jednadžbi, jer ne nosi nikakvu novu informaciju u odnosu na jednadžbu količine gibanja. Drugi zakon termodinamike, je kao što je rečeno pasivna jednadžba, te se ni ona ne mora uključiti u osnovni skup jednadžbi, te od skupa osnovnih zakona koji opisuju strujanje fluida ostaju: -zakon očuvanja mase (jednadžba kontinuiteta)

( )j

j

vt x

ρρ ∂∂= −

∂ ∂

-zakon količine gibanja (jednadžba količine gibanja)

( ) ( )j i jiii

j j

v vvf

t xρ

xσρ

ρ∂ ∂∂

= − + +∂ ∂ ∂

-zakon očuvanja energije (energijska jednadžba)

( ) ( ) ( )j ji i ii i

j j i

v e ve qf vt x x

ρ σρρ

∂ ∂∂x∂

= − + + −∂ ∂ ∂ ∂

Jednadžba količine gibanja je vektorska jednadžba (koja se može razložiti na tri skalarne jednadžbe), a jednadžba kontinuiteta i energijska jednadžba su skalarne jednadžbe, tako da sustav jednadžbi označuju sustav pet skalarnih jednadžbi. U tim jednadžbama poznata je gustoća masenih sila if , a nepoznata polja su: polje gustoće ρ , tri komponente vektorskog


polja brzine , šest komponenti simetričnog tenzora naprezanja iv jiσ , energije i tri komponente vektora površinske gustoće snage toplinskog toka , što čini 14 nepoznatih polja. Očit je nesklad u broju jednadžbi i broju nepoznatih polja, te navedeni sustav ne može jednoznačno opisati strujanje fluida. Univerzalni zakoni fizike koji vrijede za sve fluide bez obzira na njihovu vrstu i stanje nisu u stanju jednoznačno opisati strujanje fluida, te je u cilju usklađivanja broja jednadžbi i broja nepoznatih polja nužno uvesti dopunske pretpostavke o reološkim i termodinamičkim svojstvima fluida. Te dopunske relacije nemaju univerzalni karakter, te će tako zatvoreni sustav jednadžbi biti valjan samo za određenu kategoriju fluida.

e

iq


KONSTITUTIVNE (DOPUNSKE) JEDNADŽBE Odnosi za savršeni plin Za toplinsko i kalorički savršeni plin vrijedi toplinska jednadžba stanja:

RTp=

ρ

i kalorička jednadžba stanja: vu c T=pri čemu su specifični toplinski kapaciteti pri konstantnom tlaku i konstantnom volumenu konstantni, pa je i njihov odnos konstantan ( =konst., =konst., pc vc /pc cvκ = =konst.). Fourierov zakon toplinske vodljivosti Fourierov zakon toplinske vodljivosti uspostavlja linearnu vezu između vektora površinske gustoće toplinskog toka i gradijenta temperature, koja uz pretpostavku izotropnosti fluida, poprima oblik:

i

i xTq

∂∂

−= λ

U gornjem izrazu je λ toplinska provodnost fluida ([ ] ( )SIW/ m Kλ = ⋅ ), pozitivna je

veličina i funkcija je lokalnog termodinamičkog stanja. Predznak minus na desnoj stani izraza označuje da će toplina spontano prelaziti uvijek s mjesta više temperature prema mjestu s nižom temperaturom, dakle u smjeru suprotnom gradijentu temperature, dakle vektori toplinskog toka i gradijenta temperature su suprotno usmjereni kolinearni vektori. Newtonov zakon viskoznosti Newtonov zakon viskoznosti uspostavlja linearnu vezu između simetričnog tenzora naprezanja i tenzora brzine deformacije (simetričnog dijela gradijenta brzine). Polazeći od činjenice da u mirujućem plinu vlada termodinamički tlak p, a da su tangencijalna naprezanja jednaka nuli, tenzor naprezanja se može prikazati u obliku:

ji ji jip Σσ δ= − +

gdje je δji jedinični tenzor, a Σji simetrični tenzor viskoznih naprezanja, koji se uz pretpostavku izotropnosti fluida, modelira izrazom:

2 2δ 2 δ3 3

j i kji V ji ji V kk ji

i j k

v v v D Dx x x

Σ μ μ μ μ μ μ⎛ ⎞∂ ∂ ∂⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + + − = + −⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠

U gornjem izrazu je μ dinamička viskoznost, Vμ volumenska viskoznost, a Dji tenzor brzine deformacije. Kontrakcijom indeksa u gornjem izrazu i njegovim dijeljenjem s tri, slijedi:


V

1 D(d )d D

13

kjj

k

VV t

vpx

σ μ ∂= − +

∂

Lijeva strana gornjeg izraza je srednje mehaničko naprezanje, čija se negativna vrijednost naziva i mehaničkim tlakom, a koji se razlikuje od termodinamičkog tlaka za član koji je razmjeran volumenskoj viskoznosti i relativnoj brzini promjene volumena čestice fluida. Utjecaj volumenske viskoznosti je značajan u strujanjima sa značajnim gradijentima gustoće fluida, kao što su eksplozije i udarni valovi. Volumenska viskoznost jednoatomnih plinova jednaka je nuli, a u strujanjima gdje je brzina promjene volumena čestica fluida (odnosno gustoće fluida) mala koeficijent volumenske viskoznosti se može zanemariti. U tom slučaju izraz za tenzor viskoznih naprezanja prelazi u:

jikkjijik

k

j

i

i

jji DD

xv

xv

xv

δ322δ

32 μμμμΣ −=

∂∂

−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

∂∂

+∂

∂=

U nestlačivom strujanju je divergencija polja brzine je identički jednak nuli te su viskozna naprezanja opisana sljedećim izrazom:

2j iji ji

i j

v v Dx x

Σ μ μ⎛ ⎞∂ ∂

= + =⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠

Viskoznosti μ i Vμ su pozitivne veličine, a funkcije su lokalnog termodinamičkog stanja fluida.

OSNOVNE JEDNADŽBE DINAMIKE NEWTONSKOG SAVRŠENOG PLINA

Treba naglasiti da osnovni zakoni klasične fizike vrijede za sve fluide, a pojedini matematički modeli strujanja fluida razlikuju se jedino po dopunskim ili konstitutivnim relacijama, koje opisuju specifično ponašanje pojedinih fluida. Uvrštavanjem konstitutivnih relacija u jednadžbe osnovnih zakona dobiva se matematički model u kojem je broj nepoznatih polja usklađen s brojem jednadžbi, a koji vrijedi samo za fluide koji se ponašaju sukladno uvedenim konstitutivnim relacijama. Tako su osnovne jednadžbe dinamike newtonskog savršenog plina:

- jednadžba kontinuiteta

( )j

j

vt x

ρρ ∂∂= −

∂ ∂

- jednadžba količine gibanja ( ) ( )j i jii

ij i

v v Σv pft x x

ρρρ

∂ ∂∂ ∂= − + − +

∂ ∂ ∂ jx∂, gdje je

2 2δ 2 δ3 3

j i kji V ji ji V kk ji

i j k

v v v D Dx x x

Σ μ μ μ μ μ μ⎛ ⎞∂ ∂ ∂⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + + − = + −⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠


- energijska jednadžba ( ) ( )2 2

2 2ji ii

j i ij i j

Σ vpvv vu v u f vt x x x x

ρ ρ ρ∂⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ∂ ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞∂ ∂ ∂

+ = − + + − + +⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦ ⎣ ⎦ i i

Tx

λ ∂∂

- toplinska jednadžba stanja RTp ρ=

- kalorička jednadžba stanja Tcu V= Navedeni sustav jednadžbi je sustav sedam jednadžbi u kojima se pojavljuje sedam nepoznatih polja ( , , , i jv p u Tρ ). Uz zadane početne i rubne uvjete, ovaj sustav jednoznačno opisuje problem strujanja newtonskog savršenog plina. Naravno, zbog nelinearnosti (npr. konvekcijski član u jednadžbi količine gibanja - prvi član desne strane) uglavnom se neće moći naći analitičko rješenje postavljenog sustava, nego će za njegovo rješavanje trebati primijeniti numeričke metode. Pojavom računala, došlo je do razvoja računalne dinamike fluida (Computational Fluid Dynamics- CFD), grane unutar mehanike fluida, koja obuhvaća metode numeričkog rješavanja gornjeg sustava jednadžbi.

MATEMATIČKI MODEL NESTLAČIVOG STRUJANJA Posebnu klasu strujanja čine nestlačiva strujanja, u kojima gustoća fluida tijekom strujanja ostaje konstantna. To se uglavnom odnosi na strujanje kapljevina, iako u strujanjima s velikim gradijentima tlaka (npr. podvodna eksplozija) može doći do razlike u gustoći kapljevina (jer su i kapljevine stlačive) tako da bi strujanje trebali promatrati kao stlačivo. S druge strane i strujanje plinova (koji su izričito stlačivi) pri malim brzinama strujanja u odnosu na brzinu zvuka, možemo smatrati nestlačivim. Tako npr. strujanje zraka u ventilacijskom kanalu brzinom do desetak metara u sekundi, uzrokuje vrlo mali pad tlaka (svega nekoliko paskala) po jedinici duljine kanala. Ako se uzme da je tlak zraka reda veličine atmosferskog tlaka (dakle reda veličine 100000 Pa), a strujanje približno izotermičko, onda je iz jednadžbe stanja jasno da zbog pada tlaka neće doći do značajne promjene gustoće zraka, pa se takvo strujanje također opisuje modelom nestlačivog strujanja. U nestlačivom strujanju se dakle toplinska jednadžba stanja RTp ρ= zamjenjuje s konst.ρ = , čime se gubi zavisnost gustoće od temperature (odnosno unutarnje energije) fluida. Ako se može zanemariti promjena viskoznosti fluida o temperaturi, tada jednadžba kontinuiteta i jednadžba količine gibanja postaju posve nezavisne od temperature. U tom se slučaju rješavanjem tih dviju jednadžbi dolazi do polja tlaka i brzine, a nakon toga se rješava energijska jednadžba (koja, osim kalorijske jednadžbe stanja ostaje jedina jednadžba u kojoj se pojavljuje temperatura) čime se dolazi do polja temperature (odnosno specifične unutarnje energije). Ako nas polje temperature ne zanima energijsku jednadžbu ne moramo niti rješavati. Jednadžbe koje opisuju nestlačivo strujanje uz μ =konst. su:

- jednadžba kontinuiteta

0j

j

vx∂

=∂

ili 1 2 3

1 2 3

0v v vx x x∂ ∂ ∂

+ + =∂ ∂ ∂


- jednadžba količine gibanja ( ) ( ) 2

j ii ii

j i

v vv

j j

p vft x x x

ρρρ μ

∂∂ ∂ ∂= − + − +

∂ ∂ ∂ ∂ x∂

3 3

Energijsku jednadžbu za slučaj nestlačivog strujanja ćemo kasnije definirati. Početni i rubni uvjeti Dani sustav jednadžbi opisuje nestlačivo strujanje bilo kojeg newtonskog fluida, u bilo kakvom geometrijskom području. Kad bi znali analitički integrirati ove jednadžbe, dobili bismo njihovo opće analitičko rješenje u kojem bi se pojavile određene funkcije integracije, koje bi činile opće rješenje neodređenim, sve dok se ne zada područje u kojem se neko strujanje analizira, uvjeti koji vladaju u tom području u početnom trenutku integracije (početni uvjeti), kao i uvjeti koji vladaju na rubu tog područja tijekom vremena integracije (rubni uvjeti). Ako nas zanima samo stacionarno rješenje (rješenje koje se dobije kad iščeznu sve vremenske promjene), početne uvjete nije potrebno zadavati. Tipični rubni uvjeti za brzinu

1) Rubni uvjet na nepropusnoj stijenci. Viskozni fluid se lijepi na stijenku, tako da je brzina fluida na stijenci jednaka brzini stijenke (nema relativne brzine između fluida i stijenke, kao što je to bio slučaj u potencijalnom strujanju). Jasno je da je na mirujućoj stijenci brzina fluida jednaka nuli. 2) Rubni uvjet na granici dvaju fluida. Ako se dva fluida (različitih gustoća i viskoznosti) koja se ne miješaju, gibaju laminarno svaki u svom sloju, pri čemu se slojevi dodiruju, tada se dodirna površina ponaša kao nepropusna stijenka, na kojoj nema relativne brzine između dva sloja. Po principu akcije i reakcije slojevi djeluju jedan na drugoga istom silom po veličini suprotnom po predznaku, što znači da su površinske sile na dodirnoj granici neprekidne. 3) Rubni uvjet na slobodnoj površini. Slobodna površina je u principu razdjelna površina dvaju fluida, od kojih jedan ima puno manju gustoću i viskoznost od drugoga (primjer strujanje vode u kanalu – gustoća i viskoznost zraka su za tri reda veličine manji od gustoće i viskoznosti vode). U tom se slučaju viskozne sile u fluidu s malom viskoznošću (u spomenutom primjeru u zraku) mogu zanemariti, pa rubni uvjet na slobodnoj površini prelazi u uvjet nultog smičnog naprezanja. U takvoj se situaciji promatra strujanje samo u fluidu veće gustoće ( u spomenutom primjeru u vodi).

ALTERNATIVNI OBLICI ENERGIJSKE JEDNADŽBE Potencijalna energija Kao što je poznato iz mehanike, rad (snagu) potencijalne masene sile se može prikazati promjenom (brzinom promjene) potencijalne energije. Ako se sa eP označi masena gustoća potencijala specifične masene sile (npr. potencijalna energija za silu težine (gravitacije) je

, a specifični potencijal je PE mgz mgx= = P P /e E m gz gx= = = ), pri čemu taj potencijal nije vremenski promjenjiv, tada se specifična masena sila može prikazati gradijentom tog potencijala:


Pi

i

efx

∂= −

∂ na primjer za silu gravitacije: ( ) ( )3

3 0,0,i ii

gxf g g

xδ

∂= − = − =

∂−

Uzimajući u obzir gornju definiciju, član koji označuje snagu masenih sila u energijskoj jednadžbi, može se pisati u obliku:

( ) ( )PP P

prema JK

ii i i i

i i i

t

vef v v v e ex x x

ρ

ρρ ρ ρ

∂=−

∂

∂∂ ∂= − = − +

∂ ∂ ∂

Ako se u zadnjem članu gornje jednadžbe primijeni jednadžba kontinuiteta kao što je naznačeno, te uzme u obzir da nije funkcija vremena, slijedi: Pe

( ) ( )P P PD

Di

i ii

e v e ef vt xρ ρ

ρ ρ⎡ ⎤∂ ∂

= − + = −⎢ ⎥∂ ∂⎣ ⎦ t

U gornjem izrazu je iskorišteno pravilo B (vidjeti prethodna predavanja) za prijelaz s konzervativnog na nekonzervativni zapis. Riječima iskazan, gornji izraz glasi: Snaga vanjske potencijalne masene sile koja djeluje na česticu fluida jednaka je negativnoj brzini promjene potencijalne energije čestice fluida. Dakle pozitivna snaga masene sile tj. gibanje čestice fluid u smjeru masene sile (npr. gibanje čestice prema dolje u polju gravitacije) označuje smanjenje potencijalne energije, i obrnuto kada je skalarni umnožak i if v

negativan, to označuje povećanje potencijalne energije čestice fluida. Uvrštavanjem gornjeg izraza za snagu masenih sila u energijsku jednadžbu, ona prelazi u oblik:

( ) ( )⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

∂∂

+∂

∂+

∂∂

−⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++

∂∂

−=⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++

∂∂

iij

iji

i

ij

j xT

xxvΣ

xpv

euvvx

euvt

λρρ P

2

P

2

22

u kojem se pojavljuje zbroj kinetičke, unutarnje i potencijalne energije. Jednadžba kinetičke i unutarnje energije U prethodnom obliku energijske jednadžbe smo vidjeli da pri strujanju fluida u polju potencijalne sile pod ukupnom energijom možemo promatrati zbroj triju oblika energije, što je zgodno u integralnom pristupu rješavanja problema. U diferencijalnom pristupu ćemo uvijek težiti najjednostavnijem obliku energijske jednadžbe. Kao što smo vidjeli iz modela nestlačivog strujanja, polje brzine i tlaka su određeni jednadžbom kontinuiteta i jednadžbom količine gibanja, a kada je poznato polje brzine uvijek možemo odrediti kinetičku energiju fluida, stoga se samo od sebe nameće kao ideja da iz energijske jednadžbe eliminira kinetičku energiju fluida. To se može učiniti na način da se od energijske jednadžbe oduzme jednadžba kinetičke energije. Kao što je poznato iz mehanike jednadžba kinetičke energije se dobije skalarnim množenjem jednadžbe količine gibanja s brzinom. Primijenjeno na nekonzervativni oblik jednadžbu količine gibanja u diferencijalnom obliku dobije se

2DD 2

DD

jiii i i i i

i j

vt

Σv pv f v v vt x

ρ ρ

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

x∂∂

= − +∂ ∂


Podsjetimo se fizikalnog značenja članova s površinskim silama. Član / ip x∂ ∂ označuje rezultantnu silu tlaka na česticu fluida, a njen skalarni umnožak s vektorom brzine označuje snagu tlačnih sila kojom se mijenja kinetička energija fluida. Ako je polje tlaka konstantno, onda je i rezultantna sila tlaka na česticu fluida jednaka nuli (sjetimo se statike fluida u MFI – sila konstantnog tlaka na zatvorenu površinu jednaka je nuli) pa je doprinos toga člana kinetičkoj energiji fluida jednak nuli. Zadnji član gornje jednadžbe je skalarni umnožak rezultantne viskozne sile na česticu fluida s brzinom čestice, tj. označuje doprinos viskoznih sila promjeni kinetičke energije čestice fluida. Ako se u nekonzervativnom zapisu energijske jednadžbe deriviraju članovi koji označuju površinske sile dobije se

2

2DD

i iji

i j i

jii

ij

v v Tvxx x

Σi i ii

u pΣv pf v v

xt x xλ+ + +⎛ ⎞

ρ ρ⎛ ⎞

+ = − −⎜ ⎟⎝ ⎠

∂ ∂ ∂ ∂⎜ ⎟∂ ∂∂

∂∂ ∂ ∂⎝ ⎠

∂

pri čemu su plavom bojom označeni članovi koji se pojavljuju u jednadžbi kinetičke energije. Oduzimanjem jednadžbe kinetičke energije od jednadžbe ukupne energije (energijske jednadžbe) dobije se jednadžba unutarnje energije (članovi označeni crvenom bojom u gornjoj jednadžbi), koja glasi

i iji

i j i

Du v v Tp ΣDt x x x x

ρ λ⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂

= − + + ⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠i

,

koja u konzervativnom obliku (dobije se primjenom pravila B iz prethodnih predavanja) glasi:

( ) ( )

( ) vD d 0d D

j i iji

j i j i

VpV t

v uu v vp Σt x x x x

Φ

ρρλ

≥

∂∂ ⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂= − − + + ⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ⎝ ⎠i

Tx∂

Iz termodinamike je poznato da je izraz za mehanički rad u ravnotežnom procesu jednak

dp V− , te bi snaga bila d / dp V− t , a volumenska gustoća te snage dd

p VV t

− . U mehanici

fluida se sukladno principu lokalne ravnoteže za termodinamički sustav uzima čestica fluida ( ), a vremensku promjenu koja se odnosi na česticu fluida (materijalnu derivaciju) se označuje s , pa je jasno da član

dV → ViD / Dt /ip v x− ∂ ∂ u jednadžbi unutarnje

energije označuje volumensku gustoću snage sile tlaka koja doprinosi promjeni unutarnje energije. Pri ekspanziji se volumen čestice fluida povećava ( ), a njena se unutarnja energija smanjuje, što znači da čestica vrši rad prema svojoj okolini. Pri kompresiji je

(volumen čestice fluida se smanjuje) pa se unutarnja energija čestice fluida povećava, što znači da se čestici dovodi rad iz njene okoline. Iz rečenog je jasno da se putem tlačnih sila mehanička energija može pretvarati u unutarnju i obrnuto.

dV > 0

0

j

dV <

Član u jednadžbi unutarnje energije označuje volumensku gustoću snage viskoznih sila koja doprinosi promjeni unutarnje energije. Ako se gradijent brzine prikaže zbrojem simetričnog tenzora brzine deformacije i antisimetričnog tenzora vrtložnosti

vΦ/iv x∂ ∂

jiD

jiV , uzimajući u obzir da je dvostruki skalarni produkt simetričnog i antisimetričnog tenzora jednak nuli, može se pisati:

v ( )iji ji ji ji ji ji

j

vΣ Σ D V Σ Dx

Φ ∂= = + =

∂


Ako se u gornji izraz uvrsti za viskozna naprezanja uvrsti Newtonov zakon viskoznosti, gornji izraz za volumensku gustoću snage viskoznih sila, nakon razvoja po nijemim indeksima, prelazi u oblik:

( ) ( ) ( )2 2v 11 22 22 33 33

23ji jiΣ D D D D D D DΦ μ ⎡ ⎤= = − + − + −⎣ ⎦

211 +

( ) ( )2332211

223

213

2124 DDDDDD V ++++++ μμ

S obzirom da su koeficijenti viskoznosti pozitivne veličine, iz gornjeg je izraza jasno da je snaga viskoznih sila uvijek pozitivna veličina, što fizikalno znači da će se unutarnja energija čestice fluida zbog djelovanja viskoznih sila uvijek povećavati. Ako se gleda ukupna energija izoliranog sustava, onda je jasno da to povećanje može ići jedino na račun mehaničke energije. Viskozna pretvorba mehaničke u unutarnju energiju traje sve dok postoji gradijent brzine. U nestlačivom strujanju je divergencija brzine jednaka nuli, odnosno nema promjene volumena čestice fluida, te nema promjene unutarnje energije čestice fluida putem sile tlaka, pa jednadžba unutarnje energije prelazi u oblik

( ) ( )v

j

j i

v uu Tt x x

ρρΦ λ

∂∂ ⎛ ⎞∂ ∂= − + + ⎜∂ ∂ ∂ ⎝ ⎠ix ⎟∂

D

, gdje je

v 2ji ji ji jiΣ D DΦ μ= = Za slučaj nestlačivog strujanja jedini mehanizam izmjene unutarnje i mehaničke energije je putem viskoznih sila, a ta je izmjena kako je rečeno uvijek jednosmjerna, tj. uslijed viskoznih sila mehanička se energija pretvara u unutarnju, a nikad obrnuto. Takav proces je dakle nepovratan, te će prema drugom zakonu termodinamike izazivati porast entropije. S obzirom da se u nestlačivom strujanju unutarnja energija ne može pretvoriti u mehaničku, ona nema značenja sa stajališta strujanja. Stoga se u analizi nestlačivog strujanja razmatra samo mehanička energija, a brzina pretvorbe mehaničke energije u unutarnju se naziva gubicima mehaničke energije (vidjeti hidraulički proračun cjevovoda u MFI). Primjenom kaloričke jednadžbe stanja jednadžba unutarnje energije se može prevesti u temperaturnu jednadžbu, koja je za savršeni plin oblika:

v

V jiDD

i i

i j i

T v vc p Σt x x x

Φ

ρ λ⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂

= − + + ⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠i

Tx

Za nestlačivo strujanje temperaturna jednadžbe prelazi u oblik

( ) ( )

V vDD

j VV

j i

v c Tc TT Tct t x x

ρρρ Φ

∂∂ ⎛ ⎞∂ ∂= + = + ⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ⎝ ⎠ix

λ∂

U krutim tijelima , gdje nema deformacije čestica zbog 0iv ≡ , temperaturna jednadžba se svodi na poznatu jednadžbu provođenja topline, koja glasi:

1 1 2 2 3 3i i

T T T T Tct x x x x x x x x

ρ λ λ λ λ⎛ ⎞ ⎛⎛ ⎞ ⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

= = + +⎜ ⎟ ⎜⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝

⎞⎟⎠


Naravno, u izvodu prethodne jednadžbe nije uzeta u obzir mogućnost postojanja toplinskih izvora raspodijeljenih po volumenu fluida. Za slučaj konstantne toplinske provodnosti, jednadžba se može pisati u obliku

2

i ia

T Tt c x

λρ

∂ ∂=

∂ ∂ x∂

gdje je temperaturna provodnost. Ta slučaj stacionarnog provođenja topline dobije se polje temperature koje je opisano Laplaceovom jednadžbom.

a

2

0i i

Tx x∂

=∂ ∂

Dakle stacionarno provođenje topline i potencijalno strujanje su analogne pojave, pri čemu temperatura odgovara potencijalu brzine, a vektor toplinskog toka podijeljen s toplinskom provodnošću odgovara vektoru brzine. Drugi zakon termodinamike i produkcija entropije Promjena entropije čestice fluida, kao elementarnog termodinamičkog sustava, definirana je izrazom

D DD D

j

j

vs uT pt t

ρ ρ∂

= +∂x

Ako se u gornji izraz uvrsti jednadžba unutarnje energije on prelazi u oblik:

vD 1D

i

i i

q

s Tt T T x x

Φρ λ

−

⎛ ⎞⎜ ⎟∂ ∂⎜ ⎟= +

∂ ∂⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

Jednadžba ukazuje da do promjene entropije čestice fluida dolazi zbog djelovanja viskoznih sila (prvi član desne strane jednadžbe) na česticu fluida, te zbog izmjene topline (drugi član desne strane) čestice fluida s okolinom. Kao što je pokazano je uvijek pozitivan, što znači da će uvijek izazvati porast entropije, što se za jedan spontani proces i očekuje. Izmjena topline čestice fluida također mijenja njenu entropiju, pri hlađenju čestice, entropija joj opada, a pri grijanju raste.

vΦ

Za ocjenu ima li u promatranom sustavu uzroka nepovratnosti procesa poslužit će produkcija entropije (vidjeti koncept iz termodinamike u 3. predavanjima), a za brzinu produkcije entropije vrijedi

0DD

≥⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

+=Tq

xts i

iρσ

Uvrštavanjem izraza za promjenu entropije čestice fluida u gornji izraz, slijedi:

2

v2

i

TT T xΦ λσ

⎛ ⎞∂= + ⎜ ⎟∂⎝ ⎠

Iz gornjeg izraza je očito da će brzina produkcije entropije uvijek biti pozitivna veličina, a jednaka je nuli samo za neviskozno ( 0vμ μ= = ) i adijabatsko (λ=0) strujanje. Pod tim uvjetima strujanje će biti izentropsko i povratno.

Documents

DINAMIKA FLUIDA Osnovni zakoni dinamike fluida · PDF fileMEHANIKA FLUIDA K 1 DINAMIKA FLUIDA Osnovni zakoni dinamike fluida ... Ako je izmijenjena toplina između dva stanja, izmijenjeni