Dinamika Mit

Page of 1 43dinamika 24

mozemo da modelujemo konstrukciju svaku kao, analiza vibriranja jedan mod at a time, konceptualno shvatanje matematike, modalna analizasuma kontribucije svakok svojstvenog moda

finite system moze da se primeni na kontinualni

modal expansion theorem

sve vektore pozicije x predstavimo kao superpoziciju svake kontribucije moda sa time dependant behavior g(t) , to su svojstvene kordinate, natural kooordinates, amplituda koliko u tom modu donosi iksu

n dof, n natural modessistem vibriria predpostavka

u je mod shape vektor, broj za koji modx su generalizovane kordinate,

Page of 2 43

mode shape vektors su konstante, brojevi

mode shapes imaju jedan pun sin wave, sin n p x/l, za kanap, lastis, l duzina kanapa n broj moda

ako pogodimo pocetne uslove za 2 vibrirace samo u 2

i u nasu genralnu jednacinu kretanja,ubacimo ovo gorei mnozimo sa transponovanom matricom u, pre multiply

Page of 3 43sta se sad matematicki dogadja

to mnozenje sa transponovanom nam matematicki daje dijagonalnu matricu Mi

za dampinogavanje to vazi samo za idealno dampingovanje, inace i krutost tako kad opicimo dobijamo dijagonalnu matricu Ki

matrica je singularna ako je determinata jednaka nuli, kvadratne matrice, i ona se ne moze invertovatiadjungovanu delimo sa determinantom, adjungovanje je transponovanje kofaktor matricea kofaktor kad clan zamenimo njegovim minorom, determinantom od ne precrtanih vrsta i kolona

svaka sad kombinacija pocetnih uslova ce moci biti opisana modalnom superpozicijom

mod sejpovi su ortogonalni jedan na drugi, pa dobijamo diajgonalne

n independant sdof systems, resavamo jedan po jedani matematicki to je jednacina kao za sdof system oscilator

ako samo udarimo sipku, na nju vise ne deluje external force, pa je odgovor na inicijelne uslove

svodimo na sdof

imas first bending mode, vertikalna konzola levo desnofirst torzional mode

stao na 30 minutavratio se na 20

Page of 4 43mode shapes are ortogonal to each other

ako pomnoziomo dve sinusne funkcije razlicitih perioda, i onda integralimo tu funkcju, dobijamo nulu

free vibration je odgovor na inicijalne uslove

mozemo n dof sisteme da modelujemo sa jedan ili 2 sdof sistem oscilators

kada merimo od static ekvilibrijum ne zezamo se sa gravitacijom

c dolzi id trenja mase o sipku pa smo tako zasebno diskretizovali dampere

Page of 5 43

kod linearnih sistema matrice krutosti simetricne

Page of 6 43

resenje ovog gore za determinatu jednaku nuli, dobili smo svojstvene frekvencije pa se vracamo na mod shape vektore

mod 1 u1, prva masa se pomeri 1, druga 2.2667 puta tolikko, odnos

ovo nam je modalna analiza

ovi m1 kroz k1 mora da bude wn1, onda je dobro

Page of 7 43

ovo su sad dve jednacine za modalnu analizu, zasebne

trebaju nam inicijalni uslovi, kako dobiti inicijalni uslovi za pocetne uslove

za modalnu analizuproblem samo kada su opcetni uslovi bas jednaki ovom mod paternu sta gde kolko ide, onda je nula desna strana

Page of 8 43

znamo da za sdof je ovo resenje

ubacimo sve to za mod 1 vrednosti

fali sin wd1t kod 2 jednacine kao u prvoj

kriva je v0 ordinata je x0to je odgovor na inicijalne uslove, aproximatley x0 ta inicijalna vrednost na ordinati, v0 inicajlna slope, ali se malo siftuje zbog zeta wn x0, mada mozemo uzeti samo v0

fali jos aproksimacija za 0, ovo dijagonaljenej ne moze uvek za damping

za malo dampingovane moze, nije ortogonalno ovo uveka za malo dampingovane mozemo da ignorisemo to sto nije nulapa ona modalna jednacina preko toga ce malo zavisiti i nece biti nezavisna

Page of 9 43

rajlijevo dampingovanje

alfa i beta parametrinjima manipulisemo dva free parametranjima manipulisemda dobijemo izmereno dampingovanje

targetujemo a i beta da izucemo ortogdampinga

sad sa ovom predpostavkom po beta bicemo uslovljeni za damping u 2 tonukad stavimo alfa i beta, mozicemo da aproksimiramo dobar damping za oba tona njihovom manipulacijom, ako 3dof onda sa a i b zakucavamo neku uslovljenu damping za 3 ton

sa rajlijem i deo dampinga za modalnu analizu postaje ortogonalan

Page of 10 43

mode shapes for mode n, za ndof

ratio for amplitudes

a ovako je ok da ga normalizujemo

ako se 1 pomeri za 12 ce se pomeriti za polovinu u suprotnom p

ako se generalizovana kordinatapomeri za 1, generalizovana 2 ce se pomeriti za 1/2u supr pravcu

ratio je cons u modu

odnos generalizovanih koordinata je const, shape je const

dao 11 vezbu, za pendulum, imali smo tu sinus i ne mozemo da ga izbacimo kao vamo g, pa jednacine nisu linearne, ali smo ih linearizovali i predpostavili male uglove, mala pomeranja

linearne matrice krutosti su uvek simetricne

Page of 11 43

svojstvena frekvencija je svojstvena vrednost sistemne matrice

odnosno wi na kvadrat je lamda i

kvadrat svojsvene frekvencije je svojstvena vrednost matrice sistema

svojstveni vektori su xi, to su svojstveni modovi

karakteristicna jednacina je kada je determinanta matrice sistema jednaka nulinjjom nsdjrmo svojstverne frekvencije, odnosno eigen values, pa njima nadjemo eigen vectorsdole dodatak na ovo

Page of 12 43

pa se vratis na ovo kad si nasao lamda, i sa lamda zamenis m-1k, i resis sistemodnosno vratis se u matricu sistema sa w1 za u1, pa w2 za u2, dobijas ratio form preko matrice sistemato je sa ove gornje sile jednacina, to je predpostavljeno resenje

ovo lrvo jr ptrdpostavljeno resenje

pokazao na 11 sniuimuku, biting, kad jedna radi pa stane pa opet radi, kao superpozicija dva tona, kada su blizu dve frekvencije

Page of 13 43In linear algebra, an eigenvector or characteristic vector of a square matrix is a vector that does not change its direction under the associated linear transformation. In other wordsif v is a vector that is not zero, then it is an eigenvector of a square matrix A if Av is a scalar multiple of v. This condition could be written as the equationako matrica strecuje vektor, vektor je svojstveni vektor, a taj strecin faktor je skalar i svojstvena vrednost

kada ubacimo lamda u a i determinanta toga kad je nula

ZNACI KADA U MATRICU SISTEMA UBACIMO LAMDA KADA JE DETERMINANTA TOGA JEDNAKA NULI TO JE KARAKTERISTICNA JEDNACINAi onda ubacimo karakteristicni vektor, predpostavimo resenje i resavamoznaci ne ubacujes lamda x, nego prepostavis x, i u to resenje ubacis lamdai radis resenje za kar vektor

ppa za w1 nadjes u1 u2pa za w2 nadjes u1 u2

modal expansion theoremodredimo sejp vektore

i teorema kaze da mode sejpovi formiraju complete independant set of vectors that are ortogonal to each other, suma moze da predstavlja evry posible motion of system

u zavisnosti od pocetnih uslova i mod sejpa krece oscilovanje

dobije pocetne uslove za tacno srazmerno za 1 sejp

transfer samo kod linearnih

stedy state dynamic, w output jednake w input, za linearne sistemeako nije g u funkciji kordinata onda ga zanemarujemo

ako samo smanjimo frekpreko mase, pasce ampl

ako povecamo kmoze i da pada i da raste

a samo sa porastom mase uticaj ce se smanjiti

ako se frekvencija priblizava spoljasnjoj amplituda raste, ako se udaljava, amplituda opada, i onda se gleda uticaj preko krutosti, kada wn raste i ida dalje amplituda opada ali krutst raste pa uticaj rastei tu sa masom ustvari zavisi gde je wn, ako ce ga pribliziti w onda amplituda raste

Page of 14 4325 lekcija

modalna analiza gleda sisteme sa n stepeni slobode i resava jedan po jedansvaki mod resava kao sdof

sad da bi to znali za neku harmonisku silu, moramo da znamo damping

dijagonalna je modalna masa

Page of 15 43

ako je damping jedan, posle jedne oscilacije se zakuca, kritican damping

ovo desno puta sin ovog u zagradi

odgovor na inicijalne uslove

sad smo uveli damping matricu pa mozemo da uvedemo force vibration

tesko se fizicki pozicionirati u modalne kordinate

auto ide vertikalno gore dole i klati seovo je prvi modtranslacija na gore i desni kraj se dizena dole isto

Page of 16 43produzis linije i gde je presek tu je modalna kordinata za mod 1

za mod dva

ovaj primer, ali generalno ne mozemo, tesko

imamo damping krecemo na silu

q je modalna sila

h je transfer function, greska nije q2 nego q1

transfer funkcija kao kod sdof

desno je transfer funkcija

u rezonanciji levo dole nula, desni izraz 2 x damping, izraz jednak q/2k damping

Page of 17 43

Page of 18 43

ali mod 2 nece rezonovati

stao na 53 minuta

e sad kako ubaciti u x

transfer funkcija, razlicite kolicine dampinga razliciti peak daju

u rezonanciji na 1, isprekidana linijamod 1 u rezonancijisa modom dva levo, 0.3 w/w2za mod 2 u stifnes control regionponasa se kao oprugatu levo da static response za mod 2

Page of 19 43faze angle diagram za ovo, u rezonanciji predje na p/2

kako da dodjemo do x1 x2

ako stavimo excitation w kao 1 1 mod ce da dominira, ako stavimo na w2 drugi mod ce da dominira

ako je ovde mod 1 1 hz, 2 je 2, 3 je 4.

sve sa modalne za 2 sto smo naucili mozemo da primenimo na ndof

Page of 20 43

kontualni sistemi imaju neke nepomerljive tacke u modovima, ako na nepomerljivu tacku u 2 modu delujemo sa w2 necemo imati mod 2

zategnemo kao trugao na sredini, tu je objasnio neku vezu sa furijeovim redovima kako da opisemo trougao sinusnom funkcijomali pustimo taj trougao primarno ce os