Page � of �1 43dinamika 24

mozemo da modelujemo konstrukciju svaku kao, analiza vibriranja jedan mod at a time, konceptualno shvatanje matematike, modalna analizasuma kontribucije svakok svojstvenog moda

finite system moze da se primeni na kontinualni

modal expansion theorem

sve vektore pozicije x predstavimo kao superpoziciju svake kontribucije moda sa time dependant behavior g(t) , to su svojstvene kordinate, natural kooordinates, amplituda koliko u tom modu donosi iksu

n dof, n natural modessistem vibriria predpostavka

u je mod shape vektor, broj za koji modx su generalizovane kordinate,

Page � of �2 43

mode shape vektors su konstante, brojevi

mode shapes imaju jedan pun sin wave, sin n p x/l, za kanap, lastis, l duzina kanapa n broj moda

ako pogodimo pocetne uslove za 2 vibrirace samo u 2

i u nasu genralnu jednacinu kretanja,ubacimo ovo gorei mnozimo sa transponovanom matricom u, pre multiply

Page � of �3 43sta se sad matematicki dogadja

to mnozenje sa transponovanom nam matematicki daje dijagonalnu matricu Mi

za dampinogavanje to vazi samo za idealno dampingovanje, inace i krutost tako kad opicimo dobijamo dijagonalnu matricu Ki

matrica je singularna ako je determinata jednaka nuli, kvadratne matrice, i ona se ne moze invertovatiadjungovanu delimo sa determinantom, adjungovanje je transponovanje kofaktor matricea kofaktor kad clan zamenimo njegovim minorom, determinantom od ne precrtanih vrsta i kolona

svaka sad kombinacija pocetnih uslova ce moci biti opisana modalnom superpozicijom

mod sejpovi su ortogonalni jedan na drugi, pa dobijamo diajgonalne

n independant sdof systems, resavamo jedan po jedani matematicki to je jednacina kao za sdof system oscilator

ako samo udarimo sipku, na nju vise ne deluje external force, pa je odgovor na inicijelne uslove

svodimo na sdof

imas first bending mode, vertikalna konzola levo desnofirst torzional mode…

stao na 30 minutavratio se na 20

Page � of �4 43mode shapes are ortogonal to each other

ako pomnoziomo dve sinusne funkcije razlicitih perioda, i onda integralimo tu funkcju, dobijamo nulu

free vibration je odgovor na inicijalne uslove

mozemo n dof sisteme da modelujemo sa jedan ili 2 sdof sistem oscilators

kada merimo od static ekvilibrijum ne zezamo se sa gravitacijom

c dolzi id trenja mase o sipku pa smo tako zasebno diskretizovali dampere

Page � of �5 43

kod linearnih sistema matrice krutosti simetricne

Page � of �6 43

resenje ovog gore za determinatu jednaku nuli, dobili smo svojstvene frekvencije pa se vracamo na mod shape vektore

mod 1 u1, prva masa se pomeri 1, druga 2.2667 puta tolikko, odnos…

ovo nam je modalna analiza

ovi m1 kroz k1 mora da bude wn1, onda je dobro

Page � of �7 43

ovo su sad dve jednacine za modalnu analizu, zasebne

trebaju nam inicijalni uslovi, kako dobiti inicijalni uslovi za pocetne uslove

za modalnu analizuproblem samo kada su opcetni uslovi bas jednaki ovom mod paternu sta gde kolko ide, onda je nula desna strana

Page � of �8 43

znamo da za sdof je ovo resenje

ubacimo sve to za mod 1 vrednosti

fali sin wd1t kod 2 jednacine kao u prvoj

kriva je v0 ordinata je x0to je odgovor na inicijalne uslove, aproximatley x0 ta inicijalna vrednost na ordinati, v0 inicajlna slope, ali se malo siftuje zbog zeta wn x0, mada mozemo uzeti samo v0

fali jos aproksimacija za 0, ovo dijagonaljenej ne moze uvek za damping

za malo dampingovane moze, nije ortogonalno ovo uveka za malo dampingovane mozemo da ignorisemo to sto nije nulapa ona modalna jednacina preko toga ce malo zavisiti i nece biti nezavisna

Page � of �9 43

rajlijevo dampingovanje

alfa i beta parametrinjima manipulisemo dva free parametranjima manipulisemda dobijemo izmereno dampingovanje

targetujemo a i beta da izucemo ortogdampinga

sad sa ovom predpostavkom po beta bicemo uslovljeni za damping u 2 tonukad stavimo alfa i beta, mozicemo da aproksimiramo dobar damping za oba tona njihovom manipulacijom, ako 3dof onda sa a i b zakucavamo neku uslovljenu damping za 3 ton

sa rajlijem i deo dampinga za modalnu analizu postaje ortogonalan

Page � of �10 43

mode shapes for mode n, za ndof

ratio for amplitudes

a ovako je ok da ga normalizujemo

ako se 1 pomeri za 12 ce se pomeriti za polovinu u suprotnom p

ako se generalizovana kordinatapomeri za 1, generalizovana 2 ce se pomeriti za 1/2u supr pravcu

ratio je cons u modu

odnos generalizovanih koordinata je const, shape je const

dao 11 vezbu, za pendulum, imali smo tu sinus i ne mozemo da ga izbacimo kao vamo g, pa jednacine nisu linearne, ali smo ih linearizovali i predpostavili male uglove, mala pomeranja

linearne matrice krutosti su uvek simetricne

Page � of �11 43

svojstvena frekvencija je svojstvena vrednost sistemne matrice

odnosno wi na kvadrat je lamda i

kvadrat svojsvene frekvencije je svojstvena vrednost matrice sistema

svojstveni vektori su xi, to su svojstveni modovi

karakteristicna jednacina je kada je determinanta matrice sistema jednaka nulinjjom nsdjrmo svojstverne frekvencije, odnosno eigen values, pa njima nadjemo eigen vectorsdole dodatak na ovo

Page � of �12 43

pa se vratis na ovo kad si nasao lamda, i sa lamda zamenis m-1k, i resis sistemodnosno vratis se u matricu sistema sa w1 za u1, pa w2 za u2, dobijas ratio form preko matrice sistemato je sa ove gornje sile jednacina, to je predpostavljeno resenje

ovo lrvo jr ptrdpostavljeno resenje

pokazao na 11 sniuimuku, biting, kad jedna radi pa stane pa opet radi, kao superpozicija dva tona, kada su blizu dve frekvencije

Page � of �13 43

In linear algebra, an eigenvector or characteristic vector of a square matrix is a vector that does not change its direction under the associated linear transformation. In other words—if v is a vector that is not zero, then it is an eigenvector of a square matrix A if Av is a scalar multiple of v. This condition could be written as the equation�

ako matrica strecuje vektor, vektor je svojstveni vektor, a taj strecin faktor je skalar i svojstvena vrednost

kada ubacimo lamda u a i determinanta toga kad je nula

ZNACI KADA U MATRICU SISTEMA UBACIMO LAMDA… KADA JE DETERMINANTA TOGA JEDNAKA NULI TO JE KARAKTERISTICNA JEDNACINAi onda ubacimo karakteristicni vektor, predpostavimo resenje i resavamoznaci ne ubacujes lamda x, nego prepostavis x, i u to resenje ubacis lamdai radis resenje za kar vektor

ppa za w1 nadjes u1 u2pa za w2 nadjes u1 u2

modal expansion theoremodredimo sejp vektore

i teorema kaze da mode sejpovi formiraju complete independant set of vectors that are ortogonal to each other, suma moze da predstavlja evry posible motion of system

u zavisnosti od pocetnih uslova i mod sejpa krece oscilovanje

dobije pocetne uslove za tacno srazmerno za 1 sejp

transfer samo kod linearnih

stedy state dynamic, w output jednake w input, za linearne sistemeako nije g u funkciji kordinata onda ga zanemarujemo

ako samo smanjimo frekpreko mase, pasce ampl

ako povecamo kmoze i da pada i da raste

a samo sa porastom mase uticaj ce se smanjiti

ako se frekvencija priblizava spoljasnjoj amplituda raste, ako se udaljava, amplituda opada, i onda se gleda uticaj preko krutosti, kada wn raste i ida dalje amplituda opada ali krutst raste pa uticaj rastei tu sa masom ustvari zavisi gde je wn, ako ce ga pribliziti w onda amplituda raste

Page � of �14 4325 lekcija

modalna analiza gleda sisteme sa n stepeni slobode i resava jedan po jedansvaki mod resava kao sdof

sad da bi to znali za neku harmonisku silu, moramo da znamo damping

dijagonalna je modalna masa

Page � of �15 43

ako je damping jedan, posle jedne oscilacije se zakuca, kritican damping

ovo desno puta sin ovog u zagradi

odgovor na inicijalne uslove

sad smo uveli damping matricu pa mozemo da uvedemo force vibration

tesko se fizicki pozicionirati u modalne kordinate

auto ide vertikalno gore dole i klati seovo je prvi modtranslacija na gore i desni kraj se dizena dole isto

Page � of �16 43produzis linije i gde je presek tu je modalna kordinata za mod 1

za mod dva

ovaj primer, ali generalno ne mozemo, tesko

imamo damping krecemo na silu

q je modalna sila

h je transfer function, greska nije q2 nego q1

transfer funkcija kao kod sdof

desno je transfer funkcija

u rezonanciji levo dole nula, desni izraz 2 x damping, izraz jednak q/2k damping

Page � of �17 43

Page � of �18 43

ali mod 2 nece rezonovati

stao na 53 minuta

e sad kako ubaciti u x

transfer funkcija, razlicite kolicine dampinga razliciti peak daju

u rezonanciji na 1, isprekidana linijamod 1 u rezonancijisa modom dva levo, 0.3 w/w2za mod 2 u stifnes control regionponasa se kao oprugatu levo da static response za mod 2

Page � of �19 43faze angle diagram za ovo, u rezonanciji predje na p/2

kako da dodjemo do x1 x2

ako stavimo excitation w kao 1 1 mod ce da dominira, ako stavimo na w2 drugi mod ce da dominira

ako je ovde mod 1 1 hz, 2 je 2, 3 je 4….

sve sa modalne za 2 sto smo naucili mozemo da primenimo na ndof

Page � of �20 43

kontualni sistemi imaju neke nepomerljive tacke u modovima, ako na nepomerljivu tacku u 2 modu delujemo sa w2 necemo imati mod 2

zategnemo kao trugao na sredini, tu je objasnio neku vezu sa furijeovim redovima kako da opisemo trougao sinusnom funkcijom…ali pustimo taj trougao primarno ce oscilovati u 1 tonu, ali ce biti malo uticaja i drugih, ako je damping za sve isti visi tonovi visa frekvencija oni ce pre napraviti cikluse do gasenja i ostacemo samo na 1 tonu

matrica krutosti3 dof sistem

samo povezano, k11 sila koja treba da deluje da se ne bi pomerilo to za 1, krutosti vezane za masu 1 generalisu sile usled pomeranja ova sila im se suprotstavljatako i za ostale k21, na mestu 2 sila, usled pomeranja 1, gledas sve povezane opruge kako napadaju telo 2 kada se 1 pomeri za x1, imas samo ako su povezani

Page � of �21 43

lekcija 26 2dof, na pitanje za doktorat dodato f2 i c matrica

impedanca matrica

Page � of �22 43

ako uzimamo koordinatni sistem od statickog polozaja matrica impendance je simetricna

neka maxvelova teorija to pokazuje

H11 koliko odgovora dobijes na masu 1 usled jedinicne sile u 1… analogija

Page � of �23 43

2 pika, dve frekvencije

za danasnji problem

uzecemo i damping da bude nula

Page � of �24 43

fali jos Z12=-k2

sa silom i dampingom impedanca matrica, kada je njena deerminanta jednaka nulidobijamo svojstvenu frekvencijuto je karakteristicna jednacina za ovaj sistem, a ta det je nula kada w jednako wn

zasto je to tako, da je determinanta koja je jednaka nuli dovodi do svojstvenegledas transfer funkcijukada je je donji izraz jednak nuli, odnosno determinanta jednaka nuli amplituda tezi beskonacnosti

resenje transf for function, i resenje doktorskog pitanja

nije ovo svojstvena druga frekvencija da se ne zajebes

Page � of �25 43

ovo je slikau ovoj tacki je k2/m2=w

NA SVOJSTVENOJ X1 IDE BESKONACNOSTI

IZUZETNA POSTAVKA ZA SPRECAVANJE POMERANJA USLED VIBRACIJA NA ZGRADAMA NA MESTIMA GDE PUCA STAKLO KONTAS U STA SU TE NAVELI, KAKO SU NAMAZANI

uf za nas problem je trebalo h11, odnosno x1 da namestimo da bude nula

kada uvedemo dampingsmanjice pik ali ce dici ovu nulu

znaci teoriski stavimo masu posto krutost ne mozemo menjati da smanjimo neku amplitudu

ako nam pravi problem

Page � of �26 43

w=0 staticki polozaj, apcisa w/wnk1H11 je isto sto x1/xspik 1 w1, kazemo neko sigma n u toj nuli i pik 2 w2

h11 prva masa se ne pomera, masa 2 se pomera i kroz oprugu ga drzi tu x1

i sad gledamo sta se tad dogadja sa x2 to je plot h21zato sto je f2=0

gledamo x2

plot x2/x1sza h21

Page � of �27 43

to je dynamic absorerdizajnirali smo dynamic absorber

ljubicasto plot dva, ovo radi samo na 1 frekvenciji

koriste se motori za dynamic absorbere,ovo radi za 1 wali mogu da se naprave za neki rang frekvencija

Page � of �28 43

ideja vetrenjaca koja pokrece dynamic absorbera

knjigamit 1930, dobar deo sa dynamic absorberima den hartog mechanical vibration, najbolja knjiga

i jedno i druga w su jednake izrazu u ovom slucajuovo desno isto mi, odnos masakada je mi 0, m1/m2=0 pa je to sdof, i jednako je omega nsto se odnos masa povecava, razdvajaju se w1 w2

sto je veci odnos

26 predavanje sat i 7 primer

dva nacina mdofmodalna analiza, ili sa transfer funkcijama odjednom i svaka transfer funkcija ima sve u sebi sadrzano4dof transfer ce imati 4 pika

winupu=wouputznaci stedy stajt bice na toj unetoj frekvenciji oscilovanje

Page � of �29 43kada pocne odma nece, kao da je dobilo inicijalne uslove dok se nije izdampingovalo do te frekvencije, do tada radioce na svojim kombinacijama svojstvenih

henkok bildingjako su blizu bili

i vetar je excitirao oba

dva puta po 300tdinamic absorberana glatkom filmui sa oprugama i kompjuterom aktivira se na 40milja/h vetru

TRASNFER FUNKCIJE SE ZOVU

Електрична импеданса, или једноставно импеданса јесте мера отпора синусоидалној електричној струји.OZNACAVA SE ISTO SA Z KAO OVDE…

Page � of �30 43

recitation

Page � of �31 43

27 lekcija

kad udaris zicu, nesto ide napred nazad, talas putuje

pazi udar izvod ubrzanja

pitanje veza wn i brzine prostiranja talasa

pocetak lekcije flow induced vibrationoffshore oil industry

zamorice se od vibracija amterijal\

razmisljaj o udarui o flow induce vibration u odnosu na vetar

1 dimenzional wave equation

svetlo, zvuk, logitudalno vibriranje greda, rodsa, torzionalno vibriranje gredase ponasa kao ovo gore

Page � of �32 43

sad sistem moze, da vibrira sa stojecim talasima i mod sejpovima i da ima putujuce talase

stojeci talas, const amplitude, fixne tacke, bic, kanap, putujuci talaskada uvedemo udarnu silu

vreme za koje putujuci talas napravi punu oscilacijuc brzina prostiranja talasa, brzina kojom se neka amplituda pomera,

e sad imas formulu povezivanja wn i ovogat=putujuceg talasa 1/fn, 1 talas 1 frekvencija

Page � of �33 43

direktna konekcijawn prvog moda, f je obrnuto proporcionalna koliko putujucem talasu treba da ode tamo i nazad, za kanap na 2 kraja pricvrscen

bacio stap koji je udario o podvreme udara, znaci donji deo udario ali se gornji jos uvek krecedok nedodje talas do njegato vreme donji kraj se ne pomerato putovanje je polovina periodaako je period talasa putujuceg jednak 1/fnonda je ovo 1/2fn

mod je prvi aksijalni modznaci aksijalna krutost/masa

kada pevas u kupatilu zasto pogodis ton, pogodis frekvenciju vibracije molekula, u malom tom prostoru, zbog pritiska tusiranja putujupa udjes u rezonanciju sa tim

frula kad otvoris talasna duzina ide 2l longitudalno, pritisak je na nuli na otvoru, na L sinusoida prelazi nulu, a kad zatvoris pritisak je max na zidu pa je ta duzina onda 1/4 L a u predhodnom otverenom slucaju jedna polovina, pa je period duplo veci a frekvencija duplo manja

vibracija grede, beam, rod je stap

Page � of �34 43k poluprecnik inerciejbeta zavisi od pocetnih uslova, granicni uslovi na kraju, pomeranje, obrtanje krivina, moment…

free vibration, no damping, izgleda ovako

ro gutina masea povrsina ppw ugib, prvi izvod po t brzina, drugi ubrzanje puta masa =sila ovo na 4, ei puta kapa moment, to kroz x sila, znaci da bi dobio silu promena krivine puta EI

TESKO ZAMISLJIVO OVA FREKVENCIJA KRUZNA

ZAMENIMO SA POLUPRECNIKOM INERCIJE

KOREN E/RO JE BRZINA ZVUKA U CVRSTOM MATERIJALU

DUPLO POVECAS KRUTOST, ZA KOREN IZ 2 SE POVECA FREKVENCIJA

OVO U ZAGRADI KOD PREPUSTA, JE BROJ ZA 1 MOD, 2, 3…

Page � of �35 43

SADA KADA UHVATIS NA 1/4 SLOBODNO CE VIBRIRATI, AKO UVATIS U NEPOMICNIM TACKAMA PRIGUSICES, TOG ZA PRENOS ELEMENATA

DA LI MOZE GREDA DA PRIMI PUTUJUCE TALASE

PUTUJUCI TRANSVERZALNI TALAS

ZAVISI OD KRUTOSTI I FREKVENCIJEVISOKA FREKVENCIJA, PUTUJUCI TALASI BRZIBEAM WAVES DISPERSION, OBEY WAVE EQUTAION GDE JE C CONSTKOD WAVE JEDNACINE, DA LI SE BRZINA C MENJA SA FREKVENCIJOM NEC JE KOREN IZ T/M, UVEK ISTOM BRZINOM

KOD GREDE PUTUJUCI TALASI DISPERSIVE

Page � of �36 43

SAD AERODINAMIKA

FL LIFT FORCEFD DRAG FORCE, KOLIKO VUCERAZMAK IZMEDJU VORTEXA PERIOD JEDAN

ST dimenzionless parametar struhol broj, priblizno 0.2 za stacionarne objekte

flow induced vibration

ako je cilindar fleksibilan, pocece da vibrirai manipulise ovim vortexima

za wave equation

za oprugu bez fleksione krutosti vazi wave equationgreda sa fleksionom krutoscu disperzuje brzinu putujucih talasa

T tension, m mass per unit lenghtau bato

Page � of �37 43

pocetak jednacine talasa, za kanap, iz force balance

bravo matori

Page � of �38 43

JUJUJUJUJUJUJUJJUJUJUJUJUJUJUJUJJU

na amplitudama se skupi pesakprospemo, vibriramo i kad pogodimo wn za taj oblik se skupi pesak na tacki mirovanja, sa amplitude ga zbaci

Page � of �39 43

Page � of �40 43

Page � of �41 43

ideja magneti na amplitudama da proizvode strujukonstrukcije da osciluju tako od vetra

vibriranje solarne ploce, pesak, sunce energgija

Spectral theorem From Wikipedia, the free encyclopedia

Page � of �42 43

Jump to: navigation, searchIn mathematics, particularly linear algebra and functional analysis, the spectral theorem is any of a number of results about linear operators or matrices. In broad terms, the spectral theorem provides conditions under which an operator or a matrix can be diagonalized (that is, represented as a diagonal matrix in some basis). Intuitively, diagonal matrices are computationally quite manageable, so it is of interest to see whether an arbitrary matrix can be diagonalized. The concept of diagonalization is relatively straightforward for operators on finite-dimensional vector spaces but requires some modification for operators on infinite-dimensional spaces. In general, the spectral theorem identifies a class of linear operators that can be modeled by multiplication operators, which are as simple as one can hope to find. In more abstract language, the spectral theorem is a statement about commutative C*-algebras. See also spectral theory for a historical perspective.Examples of operators to which the spectral theorem applies are self-adjoint operators or more generally normal operators on Hilbert spaces.The spectral theorem also provides a canonical decomposition, called the spectral decomposition, eigenvalue decomposition, or eigendecomposition, of the underlying vector space on which the operator acts.Augustin Louis Cauchy proved the spectral theorem for self-adjoint matrices, i.e., that every real, symmetric matrix is diagonalizable. In addition, Cauchy was the first to be systematic about determinants.[1][2] The spectral theorem as generalized by John von Neumann is today perhaps the most important result of operator theory.This article mainly focuses on the simplest kind of spectral theorem, that for a self-adjoint operator on a Hilbert space. However, as noted above, the spectral theorem also holds for normal operators on a Hilbert space.

Page � of �43 43