Sadržaj

Uvod..................................................................................................................................2Moment sile.......................................................................................................................3Moment sprega sila...........................................................................................................4Osnovna jednačina dinamike obrtnog kretanja.................................................................5Inercija kod rotacionog kretanja........................................................................................6Rad snaga i kinetička energija kod rotacionog kretanja………………………………..10Moment količine kretanja................................................................................................13Kotrljanje.........................................................................................................................17Zadaci..............................................................................................................................21Zaključak ........................................................................................................................23Literatura.........................................................................................................................24

1

Uvod

Dinamikom se naziva dio mehanihe u kome se proučavaju zakoni kretanja tjela pod dejtvom sila. Dinamika se zasniva na III Njutnova zakona a to su: I Njutnov zakon (zakon inercije), II Njutnov zakon (zakon koji utvrđuje zavisnost promjene brzine tjela kada na tjelo djeluje neka sila), III Njutnov zakon (zakon akcije i reakcije).Dinamika obrtnog kretanja primjenjuje ove zakone za svoja izučavanje tjela pri obrtanju. Razlikuju se dvije vrste obrtnog kretanja: obrtno kretanje oko stalne ose to jest tjelo ne vrši nikakvo translatorno pomjeranje i drugi slučaj kada tjelo vrši i obrtno kretanje i translatorno kretanje (kotrljanje). U ovom radu bit će opisane veličine i zakoni koji karakterišu dinamiku obrtnog kretanja.

2

Moment sile

Ako je kruto tjelo pričvršćeno na nekoj osovini koja prolazi kroz tačku O, a na njega djeluje neka spoljna sila

u tači A, onda će ova sila težiti da okrene tjelo oko ose O (sl. 1).Proizvod vektora položaja , koji prolazi od tačke O koja se zove pol ili moment tačka do napadne tačke A sile i vektora sile naziva se moment sile.

= r x sl. 1

Ako je sila djeluje u ravni koja je uspravna na

ose obrtanja

M = · = F · r sin ( , )

Odavde proizilazi da pri obrtanju mjera za dejstvo sile nije sama sila već moment sile. Moment sile je vektorska veličina čiji pravac pada u pravac ose obrtanja, a smjer mu se određuje pravilom desnog zavrtnja. Sa obzirom na to što je vezan za

sl. 2 određenu tačku, ovakav vektor se zove vezani vektor.Moment sile koja obrće tjelo u pravcu kazaljke na satu ima negativan smjer, i obrnuto, moment sile koja obrće tjelo u pravcu suprotnog kretanja kazaljke na satu, ima pozitivan smjer. Moment rezultante dvije ili više sila u ravni, u odnosu na proizvoljnu tačku u ravni sistema jednak je zbiru momenata tih sila u odnosu na istu tačku.Jedinica za moment je Nm.

3

Moment sprega sila

Sistem dvije paralelne sile jednakih inteziteta a suprotnih smjerova zove se spreg sila (sl 3). Ukupni moment sprega jednak je vektorskom zbiru pojedinačnih momenata sila.

M = M1 + M2

Moment M1 ima negativan smjer a moment M2

pozitivan, iz tog slijedi

M = M2 + M1 M = F2r2 – F1r1

Pošto su sile F2 i F1 istog inetziteta slijediM = F1 (r2 - r1) = F1 dGdje d predstavlja krak sile.Moment sprega ne zavisi od izbora momentne tačke te je zbog toga moment sprega slobodan vektor koji je uspravan na ravan dejstva sile. Ukoliko spreg obrće tjelo u pravcu kazaljke na satu ima negativan smjer, obrnuto ima pozitivan smjer. Jedinica za moment sprega je Nm.

4

Osnovna jednačina dinamike obrtnog kretanja

Osnaovna jednačina dinamike obrtnog kretanja se izvodi ako se posmatra tjelo bilo kakvog oblika koje rotira oko ose.

Uočimo mali djelić Δmi (elementarna masa) na koji djeluje tangencijalna sila Fti i on ima tangencijalno ubrzanje ati. Sada trba primjenuti II Njutnov zakon za ovaj djelić

Fti = Δmi ati

Pri čemu je poznato da je tangencijalno ubrzanje jednako proizvodu rastojanja na kome se nalzai djelić mase od ose obrtanja i ugaonog ubrzanja

ati = ri α

Ako se ovaj izraz uvrsti u početnu jednačinu dobije se

Fti = Δmi ri α / ri

Fti ri = Δmi ri² α Mi = Δmi ri

2 α

Vektorski izraz za moment sile djelića glasit će

Mi = Δmi ri2 α

Izraz monta sile za čitavo tjelo dobit će se ako sa saberu svi momenti sila za svaki djelić

Σ Mi = Σ Δmi ri2 α

Σ Misp + ΣMiun = Σ Δmi ri2 α

Pošto je zbir momenata svih unutrašnjih sila koje djeluju na djeliće jednak 0, Σ Δmi ri2

predstavlja moment inercije tjela u odnosu na osu obrtanja, pa onda krajenji izraz glasi

ΣMisp = I α

5

Inercija kod rotacionog kretanja

Inercija je opšta osobina svih tjela i ona se javlja kod svake vrste kretanja (translacije, rotacije ili kombinovanog kretanja). Kod translacije tjela inercija se jednostavno izražava obrascem F = m · a prema II Newton-ovom zakonu. U slučaju translacije ovaj obrazac ima opšte značenje i važi pod svim okolnostima. Kod translatornog kretanjua određena masa pod dejstvom iste sile dobiva uvjek isto ubrzanje. Kod rotacionog kretanja relacije su znatno složenije, naročito uslijed činjenice da pri rotaciji sve tačke nemaju istu brzinu niti dobivaju isto ubrzanje. Uslijed toga su kod rotacije uvedeni pojmovi ugaone brzine i ugaonog ubrzanja koji imaju istu vrijednost za sve tačke tijela koje rotira. Pri dejstvu sile koja prouzrokuje rotaciju može se zaključiti da određeno tijelo ne dobiva isto ugaono ubrzanje već da to zavisi od udaljenosti mase i napadne tačke od ose rotacije. Ako sila djeluje u osi rotacije neće izazvati nikakvo ugaono ubrazanje. Ukoliko je napadna tačka sile dalja od ose rotacije utoliko je ugaono ubrzanje veće. Uslijed toga se pri tretiranju inercije rotirajućeg tijela pomoću ugaonog ubrzanja dobivaju drugačije relacije nego što je to bio slučaj kod translacije. Ove okolnosti nalježu uvođenje pojma moment inercije, kako bi se inercija i kod rotacionog kretanja mogla tretirati opštim obrascima analogno onim kod translacije.

Neka je na vertikalnoj osi OO´ učvršćen horizontalni lak štap na koji se može staviti tjelo maloh dimenzija čija je masa m. Na osi je pričvrčćen cilindar poluprečnika ro oko koga je namotan konac. Na drugom kraju konca obješen je teg težine G pošto je konac prebačen preko kotura. Pod uticajem težine tega javlja se moment sprega Mo = roG koji teži da okrene sistem zajedno sa masom m. Neka su mase horizontalnog štapa i ostalih obrtnih djelova tako male u odnosu na masu m da ih možemo zanemarit. Pod dejstvom sprega Mo nastaće kretanje mase m po horizontalnom krugu poluprečnika r oko ose OO´. Ubrzanje a mase m se rarlaže u tom slučaju na radijalnu komponentu ar i tangencijalnu komponentu at. Radijalna sila se poništava otporom štapa, te će se posmatrati samo dejstvo tangencijalne sile Ft. Tangencijalno ubrzanje at se izrazi ugaonim ubrzanjem α koje dobiva masa m. Poznato je da a t = rα onda će biti

Ft = mrα sl. 5

6

Na masu m djeluje tangencijalna sila mrα koja masi daje tangencijalno ubrzanje. Sila F t

obrazuje statički moment M = r Ft koji je jednak momentu Mo te se može napisat

M = mr²α = Mo

Odakle je

α = Mo/ mr²

Iz predhodne relacije se vidi da ako na tijelo djeluje stalni spreg Mo i za istu masu m na različitim rastojanjima r zavisi ugaono ubrzanje. Dvije mase m1 i m2 na štapu bit će ekvivalentne u odnosu na moment Mo ako njihove tangencijalne sile Ft1 i Ft2 obrazuju jednake statičke momente tj. ako je

r1 Ft1 = r2 Ft2

zamjenom vrijednosti za Ft = mrα dobiva se

m1r1² = m2r2²

Dvije mase na rastojanjima r1 r2 koje zadovoljavaju gornju jednačinu imaju ekvivalentno dejstvo.Proizvod mr² igra bitnu ulogu kod obrtnog kretanja. Ovaj izraz se zove moment inercije male mase m u odnosu na osu obrtanja. Pojam momenta inercije koji je ovdje prikazan odnosi se na tjelo čije su dimenzije zanemarljivo male u odnosu na njegovo rastojanje od ose obrtanja. Zato se može reći da je da se radi o momentu inercije materijalne tačke koji se označava sa Im. Prema tome je

M = Im α

Odavde se vidi analogija ovog izraza sa izrazom F = ma. Moment inercije pri rotaciji odgovara po analogiji masi tjela kod translacije. Prema istoj analogiji moment M pri rotaciji odgovara sili F kod translatornog kretanja.Pojam momenta inercije nema veliku svrhu ako se primjenjuje za kretanje materijalne tačke po krugu jer se kretanje materijalne tačke može prikazati kao translacija. Moment inercije igra mnogo važniju ulogu pri tretiranju rotacije tjela većih dimenzija koja se ne mogu zanemarit u odnosu na rastojanje od ose obrtanja. Ako se tjelo bilo kakvog oblika (sl.6) rotira oko ose koja prolazi kroz tačku O ne ulazeći u razmatranje spoljašnjeg momenta koji izaziva rotaciju ali se konstatuje da pri ubrzanoj rotaciji na male elemente mase Δm1, Δm2, Δm3,..., Δmi,... djeluju odgovarajuće tangencijalne sile ΔF1, ΔF2, ΔF3,..., ΔFi,... slično onome što je opisano na maloj masi sl.1. ugaono ubrzanje α tjela je jednako za sve elemente tjela. Svaka tangencijalan sila će obrazovat maoment ΔM. Ukupni moment bit će jednak zbiru elementarnih momenata ΔM za sve elemente tjela.

M = ΔM1 + ΔM2 +... + ΔMi = Δm1r1²α + Δm2r2²α + ... + Δmiri²α + ...

7

sl. 6

Pošto ugaono ubrzanje α ima istu vrijednost za sve tačke bit će

M = α ΣΔmiri²

Suma ΣΔmiri² predstavlja zbir momenata inercije svih elemenata mase Δm, pa se naziva moment inercije tjela u odnosu na osu koja prolazi kroz taču O. Moment inercije označava se sa I, tj.

I = ΣΔmiri²Sada se može napisati

M = I α

Moment inercije nije vektorska veličina jer se on ne mjenja pri promjeni smjera obrtanja. Moment inercije tjela se mjenja sa položajem i pravcem ose rotacije. Prema tome moment inercije nije ni skalarna veličina već je to tenzorska veličina.Jedinica momenta inercije je kgm²

Moment inercije nekih homogenih tjela u odnosu na tešišnu osu Tanak prsten I = mR²Tanak disk I = mR²/2Homogen valjak I = mR²/2Tanak štap I = mL²/2Kugla I = 2/5 mR²

Moment inercije u odnosu na paralelnu osu (Steiner-ova teorema)

Neka je poznat moment inercije nekog tjela u odnosu na osu koja prolazi kroz težište tog tjela. Taj moment inercije ćemo označit sa Ic. Sada treba naći moment inercije tog tjela u odnosu na osu koja je paralelna sa osom kroz težište a nalazi se na rastojanju d (sl. 7). Moment inercije tjela u odnosu na ovu osu ima oznaku Id. Prema Steiner-ovoj teoremi o paralenim osama važi

8

Id = Ic + md²

Moment inercije tjela u odnosu na neku osu koja je paralelna sa težišnom osom jednak je zbiru momenata inercije tjela za težišnu osu i proizvoda iz ukupne mase tjela i kvadrata rastojanja između osa.Ova teorema se može dokazat na sljedećinačin. Neka na sl. 8 predstavljeno tjelo čije je težište tačka C. Kroz težište prolazi težišna osa. Paralelno sa njom na rastojanju d je tačka A, kroz koju prolazi osa u odnosu na koju se traži moment inercije Id. Razložimo tjelo na elemente mase Δm i neka je Δm i bilo koji od njih. Rastojanje ovog elementa mase od težišne ose neka je Ri, a od paralelne ose ri. Neka je neka je dalje pi rastojanje ovog elementa mase odravni koja prolazi kroz težišnu osu uspravno na pravcu CA. Tada je Id = ΣΔmiri²

Ili pošto je ri² = Ri² + d² - 2Rdcosθ, biće

Id = ΣΔmi (Ri² + d² - 2Rdcosθ) =

= ΣΔmiRi² + ΣΔmid² - 2dΣΔmi pi

Pošto je d stalno, biće ΣΔmid² = d²ΣΔmi = d²m, gdje je m cjelokupna masa tjela. Izraz Δmipi = 0. Sa obzirom da je ΣΔmi Ri² = Ic biće

Id = Ic + md²

9

Rad snaga i kinetička energija kod rotacionog kretanja

Neka se tjelo rotira oko ose u taki O pod dejstvom tangencijalne sile F u tači A. Ako je sila F konstantna a njen pravac uvjek uspravan na poluprečnik r, onda je rad koji vrši ova sila na putu od A do A´

A = Fs = Frθ

i kako je Fr moment M sile F u odnosu na osu rotacije biće

A = Mθ

Kod rotacionog kretanja rad je jednak proizvodu iz momenta sile i ugaonog pomjeranja, pod uslovom da je moment konstantan. Inače, za promjenjljivi moment može se napisati opšti obrazac u

diferencijalnom oblikudA = Mdθ

Ako se predhodna jednačina podjeli sa intervalom vremena dt dobije se sljedeći izraz

dA/dt = M dθ/dt

Kako je dA/dt = P i dθ/dt = ω bit će

P = M ω

Snaga kod rotacionog kretanja je jednaka proizvodu momenta sile i ugaone brzine.

Kinetička energija tjela koje rotira može se naći na osnovu izraza za kinetičku energiju tjela kod translatornog kretanja, odnosno iz izraza Ek = ½ mv². Ali pri rotaciji svaka tačka ima drugu brzinu v. Na slici 10 predstavljeno tjelo koje rotira oko ose OO´. Treba uočiti mali djelić mase Δmi koji se nalazi na rastojanju ri od ose obrtanja, a ovaj djelić mase ima perifernu brzinu v i. Kinetička enrgija ovog djelića biće

ΔEki = ½ Δmivi²

Onda će ukupna kinetička enrgija Ek tjela biti jednaka zbiru kinetičkih energija ΔEki svih elemenata odnosno

Eki = ½ Σ Δmivi²10

Ako brzinu vi predstavimo ugaonom brzinom ω, koja je zajednička za sve elemente tjela biće

Eki = ½ Σ Δmi ω² ri² = ½ ω² Σ Δmi ri²Ili Ek = ½ Iω²

Kinetička energija tjela koje rotira jednaka je polovini proizvoda momenta inercije oko obrtne ose i kvadrata ugaone brzine. Odavde se vidi da uvođenjem momenta inercije dobiva za kinetičku energiju rotacije analogan obrazac sa kinetičkom energijom pri translaciji.Ako tjelo vrši istovremeno i translaciju i rotaciju, onda je njegova ukupna kinetička energija jednaka zbiru kinetičke energije translacije i kinetičke energije rotacije.

Ek = ½ mv² ½ Iω²

Obrasci za rad snagu i energiju mogu se dobiti i na sljedeći način. Neka je na slici 11 predstavljen jedan presjek krutog tjela.

Ako se postavi koordinatni sistem x-y čiji početak leži na osi obrtanja koja stoji na uspravno ravni crteža. Neka je tjelo podjeljeno na elemente mase dm i neka je dm i masa bilo kojeg elementa, a ri predstavlja rastojanje elementa dmi od koordinatnog početka, a θi označava ugao koji zaklapaju ri i x-osa. Na element mase dmi djeluje sila Fi , a koordinate elementa mase su xi i yi . Ako element mase izvrši pomjeraj dsi , onda će važiti relacija dsi² = dxi² + dyi². Izvršeni rad pri pomjeranju dsi biće

dAi = - Fix dxi + Fiy dyi

Kad se uzme u obzir relacija xi = ricosθi i yi = risinθi , biće dxi = - risinθidθi i dyi = ricosθidθi. Zamjenom ovih vrijednosti iz predhodne relacije dobije se

11

dAi = (Fix yi + Fiyx i)dθi

Izraz u zagradi predstavlja moment Mi sile Fi , te se može napisati

dAi = Mi dθi

Element rada dA za cjelo kruto tjelo dobiće se ako se saberu radovi djelića mase. Pošto svi djelići mase imaju isti ugaoni pomjeraj dθ i onda se može označit sa dθ. Ako zbir svih momenata se označi sa M dobije se sljedeći izraz

dA = Mdθ

što predstavlja opšti izraz za rad kod rotacionog kretanja.Iz predhodnog obrasca može se dobiti izraz za snagu P

P = dA/dt

P = M dθ/dt = Mω

Da bi se dobio izraz za kinetičku energiju tjela pri rotaciji, treba poći od osnovnog stava da je kinetička energija tjela koje rotira ugaonom brzinom ω jednaka radu koji to tjelo izvrši dok se zaustavi.

A = ∫ Mdθ

Kako je dθ = ωdt i M = Iα = I dω/dt , biće

A = ∫ I dω/dt ωdt = ∫ I ωdω

Tjelo koje rotira ugaonom brzinom ω do svog zaustavljanja, kada je ω = 0 izvrši rad

Ek = A = ∫ I ωdω = ½ Iω²

Ako se moment inercije tjela izrazi pomoću teoreme o paralelnim osama sa Id = Ic + mrc²

gdje je rc udaljenost težišta tjela od ose obrtanja. Tada izraz za kinetičku energiju glasiti ovako

Ek = ½ Ic ω² + ½ m rc² ω²

Kako je rc ω = vc linearna brzina težišta, biće

Ek = ½ Ic ω² + ½ m vc²

Kinetička energija u opšte se sastoji iz dva djela: kinetičke energije rotacije tjela oko centra mase i kinetičke energije translacije tjela.

12

Moment količine kretanja

Neka se tjelo zanemarljivo malih dimenzija i mase m kreće po kružnoj putanji poluprečnika r (sl. 12). Proizvod poluprečnika r i količine kretanja mv tjela zove se moment količine kretanja mase m u odnosu na tačku O. Ova veličina se obilježava sa L tj.

L = r m v

Moment količine kretanja se može uopštit na bilo kakvo kretanje materijalne tačke m. Količina kretanja je vektorska veličina, a položaj tačke m u odnosu na tačku O može se odrediti vektorom položaja r. Moment količine kretanja je takođe vektorska veličina. Na sličana načina kao i kod momenta sile može se i moment količine kretanja izrazit vektorskim proizvodom vektora r i vektora mv,

L = r x mv Intezitet ovog vektora je

L = r m v sin(r,mv)

Moment količine kretanja materijalne tačke je vektorski proizvod vektora položaja i vektora količine kretanja. Vektor L ima pravac koji je normalan na ravni u kojoj leži vektori r i mv, a njegov smjer se određuje pravcem desnog zavrtnja. Sad se vidi da je izraz L = r mv specijalan slučaj izraza L = r x mv, kada r i mv zaklapaju pravi ugao.

Moment količine kretanja krutog tjela koje rotira oko neke ose određuje se na sljedeći načina (sl. 14): neka se tjelo obrće oko ose O koja stoji normalno na ravni crteža. Tjelo se može razložiti u izvjestan broj elemenata mase Δm. Neka je Δm i jedan od tih elemenata, ri je njegovo rastojanje od ose obrtanja i vi njegova tangencijalna brzina. Pri rotaciji tjela tangencijalna brzina v stoji uvjek normalno na poluprečnik r, te za moment količine kretanja Li može se upotrjebit sljedeći izraz

Li = ri Δmivi

Moment količine kretanja L cjelog tjela biće jednak zbiru momenata količine kretanja svih elemenata mase

L = Σ ri Δmivi

Pri ritaciji krutog tjela svi elementi mase imaju istu ugaonu brzinu, pa se tangencijalna brzina izraz preko

13

ugaone brzine vi = riω L = Σ ri Δmi riω = ω Σ Δmi ri²

Suma Σ Δmi ri² je moment inercije I tjela u odnosu na osu rotacije, pa se maže napisatL = ωI

Moment količine kretanja krutog tjela rotira jednak je proizvodu ugaone brzine i momenta inercije tjela za osu rotacije.Neka tjelo rotira nekom početnom ugaonom brzinom ω0 i dejstvom momenta M u nekom intervalu vremena Δt, neka poveća svoju ugaonu brzinu na ω. Ako se sa Msr

označi srednja vrijednost momenta M u intervalu Δt može se napisat

Msr = I (ω - ω0)/ Δtili Msr Δt = Iω - I ω0 = L – Lo = ΔL

Ova relacija za rotaciju tjela odgovara po analogiji izrazu za impuls sile kod translatornog kretanja. Uslijed toga proizvod Msr Δt zove se obrtni impuls. Promjena momenta količine kretanja tjela jednaka je obrtnom impulsu sprega koji djeluje na to tjelo. Ako je početna ugaona brzina ω0 = 0 , tj kad tjelo počinje da rotira iz mira slijedi

Msr Δt = Iω = L

pa se veličina L u tom slučaju naziva obrtni impuls.

Msr = Δ(Iω)/Δt

Što po analogiji odgovara obrascu za II Newton-ov zakon. Kad se u prethodni obrazac stavi da Δt → 0 slijedi

M = d (Iω) / dt

Ako je I = const slijedi M = I dω/dt = IαZa slučaj kada je M = 0 dobiva se

Iω = const

Kada na tjelo djeluje spreg moment količine kretanja ostaje stalan. Ovo po analogiji odgovara slučaju mv = const kod translatornog kretanja.Pri dejstvu momenta M na tjelo čiji se moment inercije I mjenja može se i obrtni impuls dobiti integralom

∫ Mdt = (Iω)2 - (Iω)1 = L2 – L1

Zakon održanja momenta količine kretanja pokazuje da moment količine kretanja tjela ostaje stalan ako na to tjelo ne djeluje nikakav spreg sila. Znači da tjelo zadržava stalan moment količine kretanja, ako je moment spoljnih sila jednak nuli. Izraz Iω = const

14

predstavlja ovaj zakon za jedno izolovano tjelo jer ovaj izraz važi onda kad na tjelo ne djeluje nikakav moment (M=0)

Neka se tjelo mase m nalazi na horizontalnom štapu koji se može okretati oko vertikalne ose (sl. 15). Tjelo je vezano koncem koji je prebačen preko malog kotura i stoji dalje u pravcu ose obrtanja. Kada se konac vuče naviše, tjelo m se može pri okretanju pomjerati ka centru štapa. Centipetalna sila, koja djeluje na tjelo m pri okretanju, drži konac zategnutim i pri njegovom popuštanju tjelo se pomjera ka kraju štapa.Ako je masa štapa mala u odnosu na masu m, može se zanamariti. Zanemariti takođe trenje u ležištima i spreg upredanja konca.Ako se konac vuče naviše radi pomjeranja tjela m duž štapa, ne javlja se nikakav spreg, osim sprega uslijed upredanja konca, koji je zanemarljivo mali. Tjelo m prema tome može se smatrati izolovanim tjelom. Ako se sada sistem sa tjelom m

dovede u rotaciju i pusti da se dalje okreće po inerciji, može se lako na njemu posmatrati zakon o održanju momenta količine kretanja. Tjelo će pri kretanju imati neku tangencijalnu brzinu v, odnosno odgovarajuću ugaonu brzinu ω. Prema zakonu inercije, tjelo teži da zadrži stalnu tangencijalnu brzinu tj. v = ωr = consr. Onda je jasno da ako se tjelo pomjera ka osi obrtanja, ono će pravit veći broj obrtaja, a pri udaljavanju od ose obrtanja broj obrtaja će se smanjivati. Pri tome će važiti zakon o održanju momenta količine kretanja, koji za dati slučaj se može napisat u obliku

L = rmv = rmrω = mr²ω = Iω = const.

Ako tjelo ima stalnu tangencijalnu brzinu v, onda će količina kretanja biti stalna, odnos mv = const što predstavlja zakon o održanju količine kretanja. Lako je vidjet da ako važi izraz mv = const mora da važi i izraz L = Iω = const. Iz izraza se vidi takođe da će ugaona brzina tjela m biti obrnuto proporcionalna kvadratu rastojanja r od ose obrtanja. Ako se pri rotaciji mjenja moment inercije izolovanog tjela onda se mjenja i ugaona brzina tako da njihov proizvod ostaje konstantan.Na primjeru (sl. 15) prikazan je zakon o održanju momenta količine kretanja za tjelo malih dimenzija, odnosno za materijalnu tačku. Međutim, svako tjelo se može smatrat sastavljenim iz više elemenata mase, odnosno više materijalnih tačka, te je jasno da će zakon o održanju količine kretanja važit i za tjelo koje rotira oko jedne ose. Pritom će uvjek za takvo tjelo važit

Iω = const.

U svakodnevnom iskusvu imamo mnogo primjera gdje se može lako uočiti zakon o održanju momenta količine kretanja. Ako je tjelo vezano koncem čiji se drugi kraj drži u ruci okrećući ga pusti se da se namotava oko prsta, njegova ugaona brzina će naglo da raste a poluprečnik odnosno dužina konca smanjuje. Pri skoku u vodu skakači koriste ovaj zakon da bi se pri skoku više puta okrenuli u vazduhu. U momentu skakanja skakač ima opruženo tjelo, a skok izvodi tako da da sebi neku ugaonu brzinu. U letu kroz vazduh skakač zgrči tijelo, pri čemu se smanjuje moment inercije a ugaona brzina

15

povećava, te za kratko vrijeme padanja napravi nekoliko obrta. Pred pad u vodu skakač ponovo opruža tjelo, tako da dobije neznatnu ugaonu brzinu koja ne ometa pravilan pad u vodu. Klizači na ledu da bi postigli brzo obrtanje tjela postupaju na sličan način. Oni sa opruženom nogom i rukama u horizontalnom pravcu daju svom tjelu izvjesnu ugaonu brzinu. Ispravljanjem tjela u vertikalni pravac smanjuje se znatno moment inercije tjela, te ono dobija znatno veću ugaonu brzinu. Postanak planeta i satelita može se objasnit zakonom o održanju momenta količine kretanja. Ako nebesko tjelo koje se obrće izvjesnom ugaonom brzinom smanjuje svoju zapreminu uslijed hlađenja, onda se njegova ugaona brzina povećava. Sa povećanjem ugaone brzine raste tangencijalne sila, koja na taj načina može da postane veća od gravitacione sile, te u takvom slučaju djelovi tog nebeskog tjela odlijeću u nebeski prostor. Odvojeni djelovi zadržavaju svoj moment količine kretanja kružeći oko nebeskog tjela od koga su se odvojili na rstojanju na kome će sile biti uravnotežene.Zakon o održanju momenta količine kretanja važi ne samo za jedno tjelo već i za čitav sistem tjela ako je isti izolovan od spoljašnjeg dejstva sila ili ako je ukupni moment spoljašnjih sila jednak nuli. Kod takvog sistema od više tjela ukupni moment količine kretanja ne može se promjenuti unutrašnjim silama, već samo spoljašnjim dejstvom drugih tjela.Moment količine kretanja izolovanog tjela ili izolovanog sistema tjela zadržava stalnu vrijednost.Odavde se može izvest i zaključak da je moment količine kretanja svemira stalan.

16

Kotrljanje

Neka se cilindar poluprečnika R kotrlja bez klizanja po ravni (sl. 16). Za jedan obrtaj tačka na periferiji pređe put s = 2πR, a ugao θ = 2π. Onda je kod kotrljanja

s = R θ

Ako se cilindar kotrlja konstantnom brzinom v tako da za vrjeme T izvrši jedan obrt, biće

θ = ωT = 2π, s = vT = 2πRa odavde v = Rω

U slučaju da cilindar krene iz mirovanja konstantnom ugaonom brzinom ω, a njegova osa se kreće konstantnom linearnom brzinom v tako da se za vrijeme T izvrši jedan obrt, biće

θ = ½ αT² = 2π, s = ½ αT² = 2πRili a = RαDobile su se iste relacije kao i kod obrtanja oko stalne ose.

Potražiti linearno ubrzanje težišta jednog cilindra na koji djeluje stalna horizontalna sila F u centru i koji se kotrlja bez klizanja po jednoj horizontalnoj ravni (sl. 17).Na ovaj cilindar u horizontalnom prvcu djeluje silaF u centru i Ftr tangencijalno u dodirnoj tački cilindra i ravni sa suprotnim smjerom od F. U vertikalnom pravcu djeluje sila mg (G težina) i suprotno njoj normalana sila N, koja drži ravnotežu sili mg. Jasno je da bi cilindar samo klizalo kad ne bi bilo trenja. Ovde predpostavljamo da nema klizanja.Spoljašnje horizontalne sile F i Ftr daju ubrzanje u smjeru sile F. Ako se ubrzanje težišta označi sa a, pa će za komponentu a1

paralelnu sa ravni važiti

F - Ftr = ma1

Vertikalne sile ne daju nikakvo ubrzanje, pa je komponenta ubrzanja u tom pravcu a2=0. što se tiče momenata oko težišta, jedna sila koja ne prolazi kroz težište, odnosno koja ima moment u odnosu na težište, jeste sila trenja, pa je

Ftr R = I0αIli sa I0 = ½ m R² i prema

17

Ftr R = ½ m R² αFtr R = ½ m a1

Zamjenom u jednačinu F - Ftr = ma1 daje

F = m a1 + ½ m a1 = 2/3 F/m

Odnos F/m predstavlja ubrzanje koje bi postojalo u slučaju odsustva trenja, pa se vidi da pri kotrljanju ubrzanje težišta iznosi samo 2/3 tog ubrzanja. Odmah se može vidjet koliko iznosi sila trenja.

Ftr = F/3

Izračunati ubrzanje težišta punog cilindra koji se kotrlja niz strmu ravan pod uticajem gravitacije (sl. 18). Sila mg cosθ (G cosθ) i N se poništavaju i ne daju nikakvo ubrzanje. U prvcu sile F je ubrzanje a. Onda je

F - Ftr = ma1

mg sinθ - Ftr = ma

Moment sile Ftr iznosi Ftr R = I0α

I ovde važi relacija a = R α, pa je Ftr R = ½ m R² α

Ftr = ½ m R α = ½ maZamjenom u relaciji mg sinθ - Ftr = ma dobiva se

2/3 ma = mg sinθ ilia = 2/3 g sinθ

Kako je g sinθ poznato ubrzanje jedne čestice ili tjela koje se kreće niz glatku strmu ravan bez trenja (kada tjelo klizi), vidi se da je pri kotrljanju to ubrzanje svega 2/3

ubrzanja bez kotrljanja.Zamjenom Ftr = ½ m R α = ½ ma i a = 2/3 g sinθ dobiva se

Ftr = F/3

Kako je Ftr =mg cosθμ gdje je μ koeficijent statičkog trenja, vidi se da je

μmg cosθ = mg sinθ/3 ili μ = 1/8 tgθ

najmanja vrjednost koeficijenta statičkog trenja ako bi se htjelo sprječit klizanje.Statičko trenje se razlikuje od dinamičkog trenja time što sila statičkog trenja ne vrši rad jer djeluje na tačku tjela koje momentalno miruje, dok sila dinamičkok trenja

18

djeluje na pokretne tačke tjela pa vrši negativan rad, koji predstavlja pretvaranje mehaničke energije u toplotu. Kako sila trenja makar bila i velika, pri kotrljanju djeluje na tačku koja momentalno miruje, ona ne vrši rad, pa se mehanička energija pri kotrljanju održava. Ovde se radi o idealnom slučaju kotrljanja bez klizanja.Prema tome može se primjenit zakon održanja energije i na posmatrani slučaj. Kada se cilindar nalazi na strmoj ravni na visini h bez kinetičke energije a sa potencijalnom energijom mgh, jasno je da će na dnu ravni imati kinetičku energiju koja je jednaka toj potencijalnoj energiji.Kinetička energija cilindra na dnu ravni biće zbir kinetičke energije translacije i kinetičke energije rotacije posmatranog cilindra, pa je

mgh = ½ mv² + ½ I ω²

gdje je I moment inercije cilindra u odnosu na njegovu osu i iznosi I = ½ mR². Brzina težišta cilindra na dnu strme ravni iznosi

½ mv² + ¼ mv² = mgh, ¾ v² = ghv² = 4/3 gh

ova se brzina može izračunat i iz izraza a = 2/3 g sinθ

v = 2al = 2 2/3 g sinθ l = 4/3 gh

gdje je l pređeni put, odnosno dužina strme ravni. Predpostavlja se da je tjelo na početku dužine l mirovalo.

Trenutna osa pri kotrljanju cilindra

Ako se posmatra ma koja tačka cilindra koji se kotrlja, vidi se da normala povučena na tangencijalnim brzinama uvjek prolaze kroz dodirnu tačku cilindra i ravani po kojoj se taj cilindar kotrlja bez klizanja (sl. 19). Rezultantna brzina ma koje tačke cilindra sastavljena je iz tangencijalne brzine vt koja je normalna na odgovarajućem poluprečniku (rastojanje od centra), i brzine v0 težišta. Normala na toj rezultantnoj brzini uvjek prolazi kroz dodirnu tačku A koja mjenja svoj položaj. Tako se kotrljanje, koje je sastavljeno i od rotacije i od translacije, može smatrati kao rotacija oko trenutne ose kroz tačku A. Ta trenutna osa u raznim trenucima prolazi kroz razne tačke omotača cilindra, a paralelna je sa osom samog cilindra. tako se pri proučavanju

kotrljanja mogu zanemarit relacije među silama jednom jedinim izrazom za moment

19

Mt = It α

gdje indeks t označava trenutnu osu. I kinetička energija cilindra koji se kotrlja može se smatrati kao kinetička energija čisto rotacionog kretanja oko trnutne ose. Tako se kinetička energija može izrazit relacijiom

Ek = ½ Itω²

Ispravnost ovakvog postupka se pokazuje na sljedeći način na primjeru kotrljanja cilindra niz strmu ravan. Prema jednačini Mt = It α treba napisat moment sila koje djeluju u odnosu na trenutnu osu. Jedina sila sa momentom oko te ose je sila m g sinθ (G sinθ), pa je

mgR sinθ = It α

Moment inercije It oko ose koja prolazi kroz tačku A dobiva se prema teoremi o paralelnim osama

It = I0 + mR²

gdje je I0 moment inercije cilindra u odnosu na osu koja prolazi kroz težište i koji iznosiI = ½ mR², biće

It = 3/2 mR²Zamjenom u mgR sinθ = It α daje

3/2 mR² α = mgR sinθ iliα = 2/3 g sinθ/R

Ubrzanje tešišta može se sada posmatrati kao tangencijalno ubrzanje u odnosu na trenutnu osu, pa je a = R α ili

a/R = 2/3 g sinθ/R odnosnoa = 2/3 g sinθ

Čime je potvrđen ranije dobiven rezultat.Brzina cilindra će se dobiti primjenom opredhodnih obrazaca

mgh = ½ Itω² = ½ 3/2 mR² ω²sa obzirom da je v = R ω slijedi

v² = 4/3 ghdobiveni rezultat potvrđuje praktičnost ovog postupka sa trenutnom osom.

Zadaci

20

1. Preko punog cilindričnog valjka čija je masa m = 1,8 kg i poluprečnika R, prebačen je lak konac na čijim krajevima su obješena dva tega sa masama m1 = 2 kg i m2 = 3 kg. Naći ubrzanje a tegova.predpostavlja se da je konac potpuno savitljiv i bez težine i da ne postoji klizanje konca oko valjka. Neka su sile zatezanja konca F1 i F2. Spreg M koji okreće valjak jednak je proizvodu momenta inercije I i ugaonog ubrzanja α,

M = (F1 - F2) R = I αIzmeđu ugaonog ubrzanja α valjka i linearnog ubrzanja a tegova važi relacija α = a / R, a moment valjka je I = ½ mR² pa će biti

F1 - F2 = I α/ R = ½ m R²a / R² = ½ ma

Za teg m1 će važitF1 = m1g + m1a

Za teg m2 će važitF2 = m2g – m2a

Oduzimanjem gornje jednačine od donje dobiva se

F2 - F1 = g(m2 - m1) – a(m2 - m1)Ljeva strana jednačine F2 - F1 = ½ ma slijedi

a = g(m2 - m1) / m2 - m1+ ½ m = = 9,81m/s² (3 kg – 2 kg)/3 kg – 2 kg + ½ 1,8 kg =

=1,66 m/s²

2. Cilindrični puni disk i točak sa vjencom imaju istu masu m = 200 kg i isti spoljni poluprečnik r = 60 cm. Točak ima svoje 4/5 svoje mase u vjencu čija je debljina 6 cm. Disk i točak se obrću oko ose OO´ istom ugaonom brzinom 500 obr/min. Kolike su njihove kinetičke energije?

Moment inercije diska Id = ½ mr² = ½ 200 kg · 0,6² m² = = 36 kgm²Uagaona brzina diska ω = 2π 500/60 = = 52,4 rad/s , kinetička energija diska jeEd = ½ I ω² = ½ 36 kgm² · 52,4 1/s = = 49 500 JMoment inecije točka jednak je zbiru momenata inercije vjenca Iv srednjeg cilindričnog diska. Vjenac ima srazmjerno malu debljinu, te se može smatrati da je cjelokupna masa koncentisana na srednjem poluprečniku

21

rv = 60 cm – 3 cm = 57 cm. Masa vjenca mv = 4/5 200 kg = 160 kg. Srednji dio obima diska ima poluprečnik r1 = 60 cm – 6 cm = 54 cm a njgova masa m = 1/5 200 kg = 40 kg. Tada je ukupni moment inercije točka

It = Iv – Is = mrv² + ½ m1r1²It = 160 kg · 0,57² m² + ½ 40 kg 0,54² m² = 57,8 kgm²

Ek = ½ It ω² = ½ 57,8 kgm² · 52,4² 1/s² = 79500 J

3. Greda dužine L = 1,5 m i mase M = 10 kg može rotirati oko nepokretne ose koja prolazi kroz jedan kraj. Metak mase m = 10 g koji se kretao u horizontalnom prvcu brzinom v = 500 m/s udari u sredinu grede i zadrži se u njoj. Za koji ugao φ se otkloni greda poslije udara metka ?

L = r x m vLsis = Isis ωIsis = Ig + Im = ML²/3 + m(L/2)²Isis = (4M + 3m) L² / 12

L1sis = L2sis

L1sis = L2sis

L1sis = rp sin90°=Lmv/2L2sis = Isis ω

Lmv/2 = Isis ω ω = mvL / 2 Isis

Ea = Isis ω² / 2 Eb = (M + m)ghh = ½ L – x

x = ½ L cosφh = ½ L (1 – cosφ)

Eb = (M + m)g ½ L (1 – cosφ)Ea = Eb

Isis ω² / 2 = (M + m)g ½ L (1 – cosφ)½ Isis (mvL / 2 Isis)² = (M + m)g ½ L (1 – cosφ)Isis m²v²L² / 4 Isis² = (M + m)g ½ L (1 – cosφ)

m²v²L / 4 Isis = (M + m)g (1 – cosφ)m²v²L / (4M + 3m) L² / 12 = (M + m)g (1 – cosφ)

3 m²v² / (4M + 3m) L = (M + m)g (1 – cosφ)1 - cosφ = 3 m²v² / (4M + 3m) L (M + m)g

1–cosφ=3(10·10-3kg)2(500 m/s)2/(4·10 kg + 3·10·10-3kg)1,5m(10 kg+10·10-3kg)9,81 m/s²

cosφ = 0,99875 φ = 2,87°

22

Zaključak

Poređenjem relacija dinamike translatornog kretanja i rotacionog kretanja može se uvidjeti velika sličnost tih relacija tj. analogija veličina kod translatornog kretanja i rotacionog (npr. impuls tijela i moment količine kretanja). Važno je primjetiti da su kod rotacionog kretanja uvedeni novi pojmovi koji su jednaki za svki djelić tjela (npr. ugaona brzina). To je urađeno zbog uproštavanja jednačina koje karakterišu obrtno kretanje.

23

Literatura

1. Fizika I – Inž. Vlastimir M. Vučić, Dr inž. Dragiša M. Ivanović 2. Zbirka zadataka iz fizike – Dr Refik Fazlić, Dr Hrustem Smailhodžić, Mr zalkida Hadžibegović3. Teorijska mehanika – S. M. Targ

24