1

ĐỊNH LÝ MANNHEIM VÀ ỨNG DỤNG

Trần Minh Ngọc

Sinh viên K38, khoa Toán-Tin, ĐHSP-TPHCM

Tóm tắt

Xung quanh điểm Miquel có rất nhiều tính chất đẹp. Định lý Mannheim là một trong số đó. Trong bài

viết này, tôi sẽ giới thiệu về định lý Mannheim và ứng dụng của nó trong giải toán.

I. Phát biểu và chứng minh

Định lý Mannheim được đặt theo tên của nhà toán học người Pháp Amedee Mannheim (17/06/1831 -

11/12/1906) [1] có phát biểu như sau:

Cho tam giác ABC . Gọi , ,D E F lần lượt là các điểm nằm trên , ,BC CA AB không trùng với , ,A B C ;

M là điểm Miquel của , ,D E F ứng với tam giác ABC ; , ,P Q R lần lượt là các điểm nằm trên

, ,AEF BFD CDE không trùng với M . Khi đó:

a. , , ,M P Q R thẳng hàng , ,AP BQ CR đôi một song song.

b. , , ,M P Q R đồng viên , ,AP BQ CR đồng quy.

Chứng minh

a.

( ) Giả sử , , ,M P Q R thẳng hàng.

Do tứ giác ,AFMP BMFQ nội tiếp nên FAP FMQ FBQ . Suy ra / /AP BQ . Chứng minh

tương tự: / /AP CR .

Do đó , ,AP BQ CR đôi một song song .

( ) Giả sử , ,AP BQ CR đôi một song song.

Khi đó: FAP FBQ .

Do tứ giác ,AFMP BMFQ nội tiếp nên 180 180FMP FMQ FAP FBQ .

R

QM

A

B C

F

E

D

P

2

Suy ra , ,M P Q thẳng hàng . Chứng minh tương tự: , ,M P R thẳng hàng.

Do đó , , ,M P Q R thẳng hàng.

b.

( ) Giả sử , , ,M P Q R đồng viên .

Gọi N là giao điểm của , .AP BQ

Do tứ giác ,AFMP BMFQ nội tiếp nên APM BFM MQN . Suy ra tứ giác MPNQ nội tiếp.

Mà tứ giác MPQRnội tiếp. Nên ,AP BQ cắt nhau tại N nằm trên MPQR . Chứng minh tương tự:

,AP CRcắt nhau tại một điểm nằm trên MPQR . Do đó , ,AP BQ CR đồng quy tại một điểm nằm

trên .MPQR

( ) Giả sử , ,AP BQ CR đồng quy tại N .

Chứng minh tương tự như trên ta được: tứ giác MPNQ , MPNR nội tiếp. Do đó , , , ,M P Q R N đồng

viên.

Định lý Mannheim cho ta một cách chứng minh các điểm thẳng hàng và các điểm đồng viên. Để thấy rõ

điều đó, ta đến với phần kế tiếp.

II. Ứng dụng

Bài toán 1 (Đường tròn Miquel [2]): Cho tam giác ABC và đường thẳng d không qua , ,A B C . Giả

sử d lần lượt cắt , ,BC CA AB tại 1 1 1, ,A B C . Chứng minh rằng: tâm của

1 1 1 1 1 1, , , ,ABC ABC BC A CA B đồng viên.

N

R

M

A

B C

F

E

D

P

Q

3

Giải

Gọi , , ,A B CO O O O lần lượt là tâm của 1 1 1 1 1 1, , , , .ABC ABC BC A CA B

Theo định lý Miquel: 1 1 1 1 1 1, , , ,ABC ABC BC A CA B đồng quy tại .M

Gọi 2A là giao điểm khác A của 1 1,OA AB C . Định nghĩa tương tự: 2 2,B C .

Theo định lý Mannheim: 2 2 2,O, , ,M A B C đồng viên.

Do 2 2 22 2 180 180

AMO A MAA MAO MOA MOA nên

2, , ,

AM O A O đồng

viên. Chứng minh tương tự: 2 2,O, ,O ; ,O, ,B CM B M C O là các bộ điểm đồng viên. Do đó

2 2 2,O, , , , , ,A B CM A B C O O O đồng viên.

Bài toán 2 (Đường tròn Dergiades [3]): Cho tam giác ABC và điểm M không nằm trên ABC và

, ,BC CA AB . Gọi 2 2 2, ,A B C lần lượt là điểm chính giữa cung , ,BC CA AB chứa M của

, ,MBC MCA MAB . Chứng minh rằng: 1 1 1, , ,M A B C đồng viên.

C2

B2

A2

M

O

OC

OB

OA

A1

A

BC

C1

B1

4

Giải

Gọi Ad là đường thẳng qua A và vuông góc với MA , định nghĩa tương tự: , .B Cd d

2A là giao điểm của ,B Cd d , định nghĩa tương tự: 2 2, .B C

Khi đó: 2 2 2, ,A B C lần lượt nằm trên , , .MBC MCA MAB

Do 1A là điểm chính giữa cung BC chứa M của MBC nên 2 1A A là đường phân giác trong của tam

giác 2 2 2A B C .Chứng minh tương tự: 2 1 2 1,B B C C là các đường phân giác trong của tam giác 2 2 2A B C .

Do đó 2 1 2 1 2 1, ,A A B B C C đồng quy . Theo định lý Mannheim: 1 1 1, , ,M A B C đồng viên.

Nhận xét:

1 Gọi 2 2 2, ,A B C lần lượt là điểm chính giữa cung , ,BC CA AB không chứa M của

, ,MBC MCA MAB . Ta cũng có: 1 2 2 2 1 2 2 2 1, , , , , , , , , , ,M A B C M A B C M A B C là các bộ

điểm đồng viên.

2. Đây là mở rộng của đường tròn Fuhrmann [3],[4]. Thật vậy:

Gọi 3A là điểm chính giữa cung BC không chứa A của ABC , định nghĩa tương tự 3 3, .B C

4A là điểm đối xứng của 3A qua BC , định nghĩa tương tự: 4 4, .B C

H là trực tâm tam giác .ABC

Do HBC đối xứng với ABC qua BC nên 4A là điểm chính giữa cung BC chứa H của ( )HBC .

Chứng minh tương tự: 4 4,B C là điểm chính giữa cung ,CA AB chứa H của ,HCA HAB .

Theo bài toán 2: 4 4 4, , ,H A B C đồng viên.

C1

B1

A1

C

B2

A2

C2A

B

M

5

Bài toán 3 (Đường tròn Hagge [4], [5], [6]): Cho tam giác ABC có trực tâm H và điểm M không

nằm trên ABC và , ,BC CA AB . Gọi 1A là giao điểm khác A của ,AM ABC ; 2A là điểm đối

xứng của 1A qua BC , định nghĩa tương tự: 1 2 1 2, , ,B B C C . Chứng minh rằng: 2 2 2, , ,H A B C đồng viên.

Giải

Gọi Ad là đường thẳng qua A và vuông góc với HA , định nghĩa tương tự: , .B Cd d

3A là giao điểm của ,B Cd d , định nghĩa tương tự: 3 3,B C .

Khi đó: 3 3 3, ,A B C lần lượt nằm trên , , .HBC HCA HAB

H

B2

C2

A2

B1

C1

A1

CB

A

H

A3

B3C3

B2

C2

A2

B1

C1

A1

C

A

B

M

6

Do HBC đối xứng với ABC qua BC nên 2A nằm trên .HBC

Chứng minh tương tự:2 2,B C lần lượt nằm trên , .HCA HAB

Ta có:

3 2 3 3 3 2 3 2 1 1

3 2 3 3 3 2 3 2 1 1

sin , sin , sin , sin , sin ,.

sin , sin , sin , sin , sin ,

A A A C A A A B CA CB CB CA AB AA

A A A B A A A C BA BC BC BA AC AA

Chứng minh tương tự:

3 2 3 3 1 3 2 3 3 1

3 2 3 3 1 3 2 3 3 1

sin , sin , sin , sin ,; .

sin , sin , sin , sin ,

B B B A BC BB C C C B CA CC

B B B C BA BB C C C B CB CC

Do đó

3 2 3 3 3 2 3 3 3 2 3 3 1 1

3 2 3 3 3 2 3 3 3 2 3 3 1

sin , sin , sin , sin , sin ,. . .

sin , sin , sin , sin , sin ,

A A A C B B B A C C C B AB AA CA CC

A A A B B B B C C C C B AC AA CB

1

1 1

sin ,. .sin ,

BC BB

CC BA BB

Mà theo định lý Ceva dạng lượng giác:

1 1 1

1 1 1

sin , sin , sin ,. . 1.

sin , sin , sin ,

AB AA CA CC BC BB

AC AA CB CC BA BB

Nên

3 2 3 3 3 2 3 3 3 2 3 3

3 2 3 3 3 2 3 3 3 2 3 3

sin , sin , sin ,. . 1.

sin , sin , sin ,

A A A C B B B A C C C B

A A A B B B B C C C C B

Theo định lý Ceva dạng lượng giác: 3 2 3 2 3 2, ,A A B B C C đồng quy.

Theo định lý Mannheim: 2 2 2, , ,H A B C đồng viên.

Nhận xét:

1. Các bạn có thể tham khảo một cách chứng minh khác 3 2 3 2 3 2, ,A A B B C C đồng quy trong [4].

2. Khi M trùng với tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC , ta được đường tròn Furhmann.

3. Gọi 4A là điểm đối xứng của 1A qua BC , định nghĩa tương tự: 4 4,B C . Ta cũng có: 4 4 4, , ,H A B C

đồng viên. Xung quanh 2 2 2 4 4 4,A B C A B C có nhiều tính chất thú vị. Các bạn có thể tham khảo trong

[4], [5], [6].

3. Bài toán đảo của bài toán 3 cũng đúng. Thật vậy xét đường tròn đi qua H . Gọi

, ,A B C lần lượt là đường tròn đối xứng với qua , ,BC CA AB . Khi đó:

C4

B4

A4

C1

B1

A1

HM

A

B C

7

, ,A B C lần lượt đi qua giao điểm khác , ,A B C của , ,AH BH CH với ABC . Gọi

5 5 5, ,A B C lần lượt là giao điểm khác chúng của , ,A B C với ABC . Giả sử 5 5,AA BB cắt

nhau tại N ; '

5C là giao điểm khác C của ,CN ABC ; '

6 6 6 6, , ,A B C C lần lượt là điểm đối xứng của

'

5 5 5 5, , ,A B C C qua , ,BC CA AB . Khi đó: 6 6 6, ,A B C nằm trên . Theo bài toán 3: '

6 6 6, , ,H A B C

đồng viên, tức là '

6C nằm trên . Suy ra '

5C nằm trên C . Do đó '

5 5C C . Suy ra 5 5 5, ,AA BB CC

đồng quy tại .N

Điểm N được gọi là điểm Anti-Hagge của đường tròn .

Bài toán đảo của bài toán trong nhận xét 2 cũng đúng. Nó được phát biểu và chứng minh tương tự.

Bài toán 4 (Trần Minh Ngọc): Cho tam giác ABC nội tiếp O và điểm M không nằm trên O . Gọi

AO là tâm của MBC , 1A là giao điểm khác M của ,AMO O MBC , định nghĩa tương tự:

1 1, , ,CB CO B O . Chứng minh rằng: 1 1 1, , ,M A B C đồng viên.

Giải

Ta phát biểu và chứng minh bổ đề sau:

Bổ đề 1 : Trong mặt phẳng bổ sung các phần tử vô tận, cho tam giác ABC nội tiếp O . Gọi AO là

một đường tròn đi qua ,B C ; 1 1,B C lần lượt là giao điểm khác ,B C của AO với ,AC AB ; D là giao

điểm khác A của ,AO O ; 'A là giao điểm khác D của , ( )AOO D O . Gọi 1A là giao điểm của

1 1,B C BC . Khi đó: 1',AA AA là hai đường đẳng giác của tam giác .ABC

Chứng minh

A6

B6

C6

N

B5

A5

C5

H

A

B C

8

Gọi 2A là giao điểm của 1 1,BB CC ; 3A là giao điểm của 1 2, .AA OA

Do 1AA là đường đối cực của 2A đối với AO nên 1 2AAA O A tại 3A và

2 3 2 2 2 1 2 2 1. . .A A A O A B A B A C A C . Suy ra 3 1 3 1,A ABO A B CO A C nội tiếp. Do đó

3 3 3 2 1 1 1 1

1180 180

2A A A A ABA C BA O CA A BB O CC O BO B CO C BAC

Suy ra 3A nằm trên O . Điều này chứng tỏ rằng 3, ,O D A thẳng hàng. Suy ra

0 0

3 3

1 1' ' 180 ' 180 '

2 2AA A O A AO AOA A OA . Từ đó tam giác 3 'A OA cân tại AO ,

tức là 3 'A AO A O A . Mà 3 'OA OA . Nên 3 'AOO A A . Mặt khác AOO BC . Vì thế 3 '/ /A A BC

hay 3'BA A C là hình thang cân. Suy ra 3'A B A C hay 3'BAA CAA . Do đó 2',AA AA là hai

đường đẳng giác của tam giác .ABC

Bổ đề 2: Trong mặt phẳng bổ sung các phần tử vô tận, cho tam giác ABC và điểm M không nằm trên

( )ABC . Gọi 1 1 1, ,A B C lần lượt là hình chiếu của M lên , ,BC CA AB ; 2 2 2, ,A B C lần lượt là giao điểm

khác 1 1 1, ,A B C của 1 1 1A B C với , ,BC CA AB ; 3A là giao điểm của 1 1 2 2,B C B C , định nghĩa tượng tự

3 3,B C . Chứng minh rằng: 3 3 3, ,AA BB CC đôi một song song (đồng quy tại điểm vô tận).

O

A3

A2

A'

A1

B1

C1

D

A

BC

OA

9

Chứng minh

Gọi O là tâm của 1 1 1 .A B C

4A là giao điểm khác 1A của 1,MA O , định nghĩa tương tự 4 4,B C . Khi đó:

2 4 2 4 2 4, , , , , , , ,A A O B B O C C O là các bộ điểm thẳng hàng.

5A là giao điểm của 1 2 1 2, .BC C B

Áp dụng định lý Pascal cho lục giác 1 2 4 1 2 4BC C C B B , ta được: 5 , ,A O M thẳng hàng. Mà 3 6AA OA

do 5A là cực của 3AA đối với O . Nên 3AA OM . Chứng minh tương tự: 3 3,BB OM CC OM .

Do đó: 3 3 3, ,AA BB CC đôi một song song.

B4 C4

A5

C3

B3

A2

A3C2B2

OC1

B1

A1

A

B C

M

10

Trở lại bài toán:

Ta bổ sung vào mặt phẳng các phần tử vô tận

Gọi Ad là đường thẳng qua A và vuông góc với MA , định nghĩa tương tự: ,B Cd d

2A là giao điểm của ,B Cd d , định nghĩa tương tự: 2 2,B C

Khi đó: 2 2 2, ,A B C lần lượt nằm trên , ,MBC MCA MAB

3 3 3, ,A B C lần lượt là giao điểm khác , ,A B C của O với 2 2 2 2 2 2, ,B C C A A B

4A là giao điểm của 3 3,BC B C , định nghĩa tương tự 4 4,B C

Theo bổ đề 1: 2 1 2 4 2 1 2 4 2 1 2 4, , , , ,A A A A B B B B C C C C là các cặp đường đẳng giác của tam giác

ABC . Theo bổ đề 2: 2 4 2 4 2 4, ,A A B B C C đôi một song song . Suy ra 2 1 2 1 2 1, ,A A B B C C đồng quy. Theo

định lý Mannheim: 1 1 1, , ,M A B C đồng viên

Nhận xét: Bài toán 4 là bài toán nghịch đảo của đường thẳng Turner [7]. Thật vậy:

Xét phép nghịch đảo f cực M phương tích bất kì, với quy ước điểm f T cũng được kí hiệu là T , ta

được:

O là điểm nghịch đảo của M đối với .ABC

AO là điểm đối xứng với M qua BC , 1A là giao điểm của ,AO O BC , định nghĩa tương tự:

1 1, , ,CB CO B O . Khi đó: 1 1 1, ,A B C thẳng hàng.

C4

B4

A4

B3

C3

A3

C2

B2

A2

B1

C1

A1

O

OC

OB

OA

A

B C

M

11

Bài toán 5 (Trần Minh Ngọc): Trong mặt phẳng bổ sung phần tử vô tận, cho tam giác ABC và điểm

M không nằm trên ABC . Gọi 1 2 1 2 1 2, , , , ,A A B B C C lần lượt là cặp điểm nằm trên

, ,MBC MCA MAB sao cho 1 1 1, , ,M A B C đồng viên hoặc thẳng hàng. Chứng minh rằng:

2 2 2, , ,M A B C đồng viên hoặc thẳng hàng 1 2 1 2 1 2, ,A A BC B B CA C C AB thẳng hàng.

Giải

Ta phát biểu và chứng minh bổ đề sau:

Bồ đề 3: Trong mặt phẳng bổ sung phần tử vô tận, cho tam giác ABC và điểm M không nằm trên

ABC . Gọi , ,D E F lần lượt là hình chiếu của M lên , ,BC CA AB ; 1 2 1 2 1 2, , , , ,A A B B C C lần

lượt là cặp điểm nằm trên , ,AEF BFD CDE sao cho 1 1 1, ,AA BB CC đồng quy. Khi đó:

2 2 2, ,AA BB CC đồng quy 1 2 1 2 1 2, ,A A EF B B FD C C DE thẳng hàng.

Chứng minh

Gọi 3A là giao điểm 1 2 ,A A EF , định nghĩa tương tự 3 3,B C .

C1

B1

A1

OB

OC

OA

O

A

B C

M

A3

C3B3

C2

B2

C1

D

E

F

A

B

C

MA1

A2

B1

12

Khi đó:

3 1 3 1 1 3 11 1 1 2

13 1 3 1 1 1 3 1 1

sin( , ) sin( , )sin( , ) sin( , ) sin( ,. . .sin( , ) sin( , ) sin( , ) sin( , )

A E A A A E A A A EA E AA AE AA AC AA AC

A FA F A A A F AA AF A A A F AA AB

2

).

sin( , )AA AB

Chứng minh tương tự: 3 31 2 1 2

3 31 2 1 2

sin( , ) sin( , ) sin( , ) sin( , ). ; . .

sin( , ) sin( , ) sin( , ) sin( , )

B F C DBB BA BB BA CC CB CC CB

B D C EBB BC BB BC CC CA CC CA

Do đó

3 3 3 1 1 1 2 2

3 3 3 1 1 1 2

sin( , ) sin( , ) sin( , ) sin( , ) sin( ,. . . . . .

sin( , ) sin( , ) sin( , ) sin( , )

A E C F B D AA AC BB BA CC CB AA AC BB BA

A F C D B E AA AB BB BC CC CA AA AB

2

2 2

) sin( , ). .

sin( , ) sin( , )

CC CB

BB BC CC CA

Mà theo định lý Ceva dạng lượng giác: 1 1 1

1 1 1

sin( , ) sin( , ) sin( , ). . 1.

sin( , ) sin( , ) sin( , )

AA AC BB BA CC CB

AA AB BB BC CC CA

Nên 3 3 3 2 2 2

3 3 3 2 2 2

sin( , ) sin( , ) sin( , ). . . . .

sin( , ) sin( , ) sin( , )

A E C F B D AA AC BB BA CC CB

A F C D B E AA AB BB BC CC CA

Theo định lý Ceva dạng lượng giác và định lý Menelaus, đẳng thức này chứng tỏ:

2 2 2, ,AA BB CC đồng quy hoặc song song 3 3 3, ,A B C thẳng hàng.

Trở lại bài toán:

Gọi Ad là đường thẳng qua A và vuông góc với HA , định nghĩa tương tự: , .B Cd d

3A là giao điểm của ,B Cd d , định nghĩa tương tự: 3 3,B C . Khi đó: 3 3 3, ,A B C lần lượt nằm trên

, , .MBC MCA MAB

B3

A3

C3

C2

C1

A

B C

MA2

A1

B1

B2

13

Theo định lý Mannheim:3 1 3 1 3 1, ,A A B B C C đồng quy.

Theo định lý Mannheim và bồ đề 3:

2 2 2, , ,M A B C đồng viên hoặc thẳng hàng 3 2 3 2 3 2, ,A A B B C C đồng quy hoặc đôi một song

1 2 1 2 1 2, ,A A BC B B CA C C AB thẳng hàng.

Nhận xét: Khi 1 1 1, ,A B C trùng M thì bài toán được phát biểu lại:

Trong mặt phẳng bổ sung phần tử vô tận, cho tam giác ABC và điểm M không nằm trên ABC . Gọi

1 1 1, ,A B C là các điểm nằm trên , ,MBC MCA MAB . Khi đó: 1 1 1, , ,M A B C đồng viên hoặc thẳng

hàng 1 1 1, ,MA BC MB CA MC AB thẳng hàng.

Bài toán 6 (Trần Minh Ngọc): Cho tam giác ABC nội tiếp O và điểm M không nằm trên O . Gọi

1A là giao điểm khác A của ,AM O , 2A là giao điểm khác M của 1 ,MOA MBC . Định nghĩa

tương tự 1 2 1 2, , ,B B C C . Chứng minh rằng: 2 2 2, , ,M A B C đồng viên.

Giải

Ta phát biểu và chứng minh bổ đề sau:

Bổ đề 4: Trong mặt phẳng bổ sung các phần tử vô tận, cho tam giác ABC . Gọi 1 2 1 2 1 2, , , , ,A A B B C C là

các điểm nằm trên ABC sao cho 1 1 1, ,AA BB CC đồng quy. Khi đó: 2 2 2, ,AA BB CC đồng quy

1 2 1 2 1 2, ,A A BC B B CA C C AB thẳng hàng.

Chứng minh

Gọi 3A là giao điểm 1 2 ,A A BC , định nghĩa tương tự: 3 3,B C .

Khi đó: 3 1 3 11 1 1 2 1

13 1 3 1 1 1 2 1

sin( , ) sin( , ) sin( , ). . .sin( , ) sin( , ) sin( , )

A B A A A BA B AA AB A A A B

ACA C A A AC AA AC A A A B

B2

B1

C2

A1

A3

A

B

C

C3

B3

A2

C1

14

Chứng minh tương tự: 3 31 2 1 2

3 31 2 1 2

sin( , ) sin( , ) sin( , ) sin( , ). ; . .

sin( , ) sin( , ) sin( , ) sin( , )

B C C ABB BA BB BA CC CB CC CB

B A C BBB BC BB BC CC CA CC CA

Do đó

3 3 3 1 1 1 2 2

3 3 3 1 1 1 2

sin( , ) sin( , ) sin( , ) sin( , ) sin( ,. . . . . .

sin( , ) sin( , ) sin( , ) sin( , )

A E C F B D AA AC BB BA CC CB AA AC BB BA

A F C D B E AA AB BB BC CC CA AA AB

2

2 2

) sin( , ). .

sin( , ) sin( , )

CC CB

BB BC CC CA

Mà theo định lý Ceva dạng lượng giác: 1 1 1

1 1 1

sin( , ) sin( , ) sin( , ). . 1.

sin( , ) sin( , ) sin( , )

AA AC BB BA CC CB

AA AB BB BC CC CA

Nên 3 3 3 2 2 2

3 3 3 2 2 2

sin( , ) sin( , ) sin( , ). . . . .

sin( , ) sin( , ) sin( , )

A E C F B D AA AC BB BA CC CB

A F C D B E AA AB BB BC CC CA

Theo định lý Ceva dạng lượng giác và định lý Menelaus, đẳng thức này chứng tỏ:

2 2 2, ,AA BB CC đồng quy 3 3 3, ,A B C thẳng hàng.

Trở lại bài toán:

Gọi 3A là giao điểm khác 1A của 1 ,MOA O ; định nghĩa tương tự: 3 3, .B C

Do 3 1 3 3

1

2MOA AA A AOA nên OM là đường phân giác trong của tam giác 3AOA . Mà tam

giác 3AOA cân tại O . Nên OM là đường cao của tam giác 3AOA . Do đó 3OM AA . Chứng minh

tương tự: 3 3,OM BB OM CC . Từ đó: 3 3 3, ,AA BB CC đôi một song song. Theo bồ đề 4:

1 3 1 3 1 3, ,A A BC B B CA C C AB thẳng hàng. Mặt khác 1 3 2, ,A A MA BC đồng quy do

1 3 2, ,A A MA BC lần lượt là dây chung 1 1, , , , ,MOA O MOA MBC MBC O ; chứng

minh tương tự: 1 3 2 1 3 2, , , , ,B B MB CA C C MC AB là các bộ đường thẳng đồng quy. Nên

C3

C2

C1

B3

A3

B2

B1

B

A2A1

O

C

A

M

15

2 2 2, ,MA BC MB BC MC CA thằng hàng. Theo nhận xét của bài toán 5: 2 2 2, , ,M A B C đồng

viên.

Bài toán 7 (Định lý Fontene thứ hai [8], [9]): Cho tam giác ABC và điểm X bất kì. Gọi 1 1 1, ,A B C lần

lượt là trung điểm của , ,BC CA AB và H là trực tâm tam giác 1 1 1A B C . Chứng minh rằng: đường tròn

Pedal của X (đường thẳng Simson của X trong trường hợp X nằm trên ABC ) ứng với tam giác

ABC đi qua điểm Anti-Steiner của HX ứng với tam giác 1 1 1.A B C

Giải

Gọi , ,D E F lần lượt là hình chiếu của X lên , , .BC CA AB

2 2 2, ,A B C lần lượt là chân đường cao kẻ từ , ,A B C của tam giác .ABC

, ,A B CH H H lần lượt là trực tâm của tam giác , , .AEF BFD CDE

AX là hình chiếu của X lên 2AA . Khi đó: , , , ,AX X A E F đồng viên.

Do BDXFH là hình bình hành nên BH F DX

. Chứng minh tương tự: CH E DX

. Mà

2 AA X DX

do 2ADXX A là hình chữ nhật . Nên 2B C AH F H E A X DX

. Mặt khác

, , ,AE F X X đồng viên. Nên 2, , ,B CH H A D đồng viên . Chứng minh tương tự:

2 2, , , , , , ,C A A BH H B E H H C F đồng viên.

Bây giờ ta chứng minh 2 2 2, , , ,B C C A A BDH H EH H FH H DEF A B C đồng quy.

Gọi Y là giao điểm khác CH của ,B C C ADH H EH H .

Do , ,A B CH H H lần lượt đối xứng X qua trung điểm , ,DE EF DE nên

YC

YB

H

X'

B'

C'

A'

HA

XA

X'A

YA

B1

C2

Y

B2

A2

C1

A1

HC

HB

F

E

D

A

B C

X

16

360 2(180 ) 2 .A B A C B C A C B C A BH YH H YH H YH H EH H DH DEF EDF EFD H FH

Suy ra A BFH H qua .Y

Gọi Ad là đường thẳng qua AH và vuông góc với AYH , định nghĩa tương tự: , .B Cd d

'A là giao điểm của ,B Cd d , định nghĩa tương tự: ', '.B C

Khi đó: ', ', 'A B C lần lượt nằm trên , , .B C C A A BYH H YH H YH H

Do D là điểm chính giữa cung B CH H nên 'A D là đường phân giác trong của tam giác ' ' 'A B C .

Chứng minh tương tự: ' , 'B E C F là các đường phân giác trong của tam giác ' ' 'A B C . Do đó

' , ' , 'A D B E C F đồng quy. Theo định lý Mannheim: DEF qua Y .

Do , , , , ,A B CAX AH BX BH CX CH là các cặp đường đẳng giác của tam giác ABC nên

, ,A B CAH BH CH đồng quy. Suy ra tam giác ABC thấu xạ với tam giác A B CH H H . Theo định lý

Desargues: , ,B C C A A BBC H H CA H H AB H H thẳng hàng hay

2 2 2, ,B C C A A BDA H H EB H H FC H H thẳng hàng. Theo bài toán 5: 2 2 2A B C qua .Y

Ta tiếp tục chứng minh Y là điểm Anti-Steiner của HX ứng với tam giác 1 1 1.A B C

Gọi , ,A B CY Y Y lần lượt là điểm đối xứng của Y qua 1 1 1 1 1 1, , .BC C A A B

Gọi '', AX X lần lượt là giao điểm khác 2,D A của 2,DX AA với .B CDH H

Do Y nằm trên 2 2 2 1 1 1A B C A BC nên theo định lý về đường thẳng Steiner: , , ,A B CY Y Y H thẳng hàng

và , ,A B CY Y Y lần lượt nằm trên 1 1 1 1 1 1, ,ABC BC A CA B đồng quy tại H . Theo định lý Mannheim:

, ,A B CAY BY CY đôi một song song.

Do A đối xứng với 2A qua 1 1B C và '

2 A AA X X A

nên '

AX đối xứng với AX qua 1 1B C . Suy ra 'X đối

xứng với X qua 1 1B C . Do đó AEF đối xứng với B CDH H qua 1 1B C . Suy ra AY nằm trên AEF .

Chứng minh tương tự: ,B CY Y lần lượt nằm trên ,BFD CDE . Theo định lý Mannheim:

, , ,A B CY Y Y X thẳng hàng. Suy ra Y là điểm Anti-Steiner của HX đối với tam giác 1 1 1.A B C

Bài toán được chứng minh.

Nhận xét:

1. Ta có thể chứng minh DEF qua Y đơn giản hơn bằng biến đổi góc. Tuy nhiên trong phần này, tác

giả muốn làm nổi bật ứng dụng của định lý Mannheim.

2. H chính là tâm của ( )ABC . Vì vậy khi X di động trên đường thẳng cố định qua tâm đường tròn

( )ABC thì đường tròn pedal của X đối với tam giác ABC luôn đi qua điểm cố định.

3. Định lý Fontené thứ hai là mở rộng của định lý Feuerbach. Các bạn có thể tham khảo cách giải thích

trong [8],[9].

Bài toán 8: Cho tam giác ABC và điểm X không nằm trên , ,BC CA AB . Chứng minh rằng: đường

tròn Pedal, đường tròn Cevian của X và đường tròn Euler ứng với tam giác ABC đồng quy.

Giải

Ta phát biểu và chứng minh bổ đề sau:

Bổ đề 5 (Nguyễn Văn Linh, Mathley vòng 5-2012 [10]): Cho tam giác ABC và điểm M không nằm

trên ABC và , ,BC CA AB . Gọi ', ', 'A B C lần lượt là điểm đối xứng của M qua , ,BC CA AB ; 1A là

17

giao điểm khác A của ' ' ,AB C AM , 2A là giao điểm khác M của ',MA AM . định nghĩa tương

tự: 1 2 1 2, , ,B B C C . Khi đó: 1 1 1 2 2 2' ' , ' ' , ' ' , , ,AB C BC A CA B ABC A BC A B C đồng quy.

Chứng minh:

Trước hết ta chứng minh 1 1 1' ' , ' ' , ' ' , ,AB C BC A CA B ABC A BC đồng quy.

Gọi N là giao điểm khác 'C của ' ' , ' ' .AB C BC A

Do

' ' ' ' ' ' 360 ( ' ' ' ') 360 2( ) 2 ' 'A NB A NC C NB A BC C AB ABC BAC ACB A CB

nên N nằm trên ' ' .A B C

Gọi Ad là đường thẳng qua

'A và vuông góc với 'NA , định nghĩa tương tự: , .A Cd d

3A là giao điểm ,B Cd d , định nghĩa tương tự: 3 3, .B C

Do A là điểm chính giữa cung ' 'B C của ' 'AB C nên 3A A là đường phân giác trong của tam giác

3 3 3A B C . Chứng minh tương tự: 3 3,B B C C là các đường phân giác trong của tam giác 3 3 3A B C . Do đó

3 3 3, ,A A B B C C đồng quy .Theo định lý Mannheim: ABC qua .N

Do đường tròn AM tiếp xúc trong với ,A AM nên nếu gọi At là tiếp tuyến chung của chúng thì

1AA là trục đẳng phương của ' ' ,AB C AM ; At là trục đẳng phương của , ,AM A AM và

' 'B C là trục đẳng phương của , , ' 'A AM AB C . Suy ra 1, , ' 'AAA t B C đồng quy tại *A và

B3

A3

C3

C1

B1

A1

N

B'

A'

C'

A

B C

M

18

2

2

* '

* '

A B MB

MCA C . Chứng minh tương tự:

1, , ' 'BBB t C A đồng quy tại *B và

2

2

* '

* '

B C MC

MAB A

1, , ' 'CCC t A B đồng quy tại *C và

2

2

* '

* '

C A MA

MBC B

Do đó * ' * ' * '

1* ' * ' * '

A B B C C A

A C B A C B . Theo định lý Menelaus: *, *, *A B C thẳng hàng. Theo bài toán 5:

1 1 1A B C qua .N

Ta tiếp tục chứng minh 2 2 2A B C qua .N

Gọi 4A là giao điểm 2 2,BB CC , định nghĩa tương tự: 4 4,B C .

Khi đó: , ,A B C lần lượt là trung điểm 4 4 4 4 4 4, ,B C C A A B và 2 2 2A B C là đường tròn pedal của M ứng

với tam giác 4 4 4.A B C

Gọi AN là điểm đối xứng của N qua BC , định nghĩa tương tự: , .B CN N

H là trực tâm tam giác .ABC

Theo định lý về đường thẳng Steiner: , , ,A B CH N N N thẳng hàng.

Do ' ' 180B CAMN AMN AB N AC N nên , ,B CM N N thẳng hàng, Chứng minh tương

tự: , ,C AM N N thẳng hàng. Do đó , , ,A B CM N N N thẳng hàng . Suy ra N là điểm Anti-Steiner của

HM ứng với tam giác ABC .Theo định lý Fontene thứ hai: 2 2 2A B C đi qua điểm N .

Bổ đề được chứng minh.

Trở lại bài toán:

NA

NC

C2B2

NB

H

B4

A4

C4A2 NB'

A'

C'

M

CB

A

19

Gọi , ,D E F lần lượt là hình chiếu của X lên , , .BC CA AB

, ,G H I lần lượt là trung điểm , , .BC CA AB

, ,J K L lần lượt là giao điểm của , , , , , .AX BC BX CA CX AB

, ,A B CX X X lần lượt là trung điểm , , .XA XB XC

Do các tam giác ,B CX DX X DX lần lượt cân tại ,B CX X và B CX XX G là hình bình hành

nên B C B C B C B C B CX DX X DX X DX X XD X XD X XX X GX . Suy ra

, , ,B CX X D G đồng viên. Chứng minh tương tự: , , , , , , ,C A A BX X E H X X F I là những bộ điểm

đồng viên.

Xét phép nghịch đảo f cực X , phương tích k bất kì, với quy ước điểm f T cũng được kí hiệu là T ,

ta được:

, ,A B CX X X lần lượt là điểm đối xứng của X qua , , .EF FD DE

, ,G H I lần lượt là giao điểm khác , ,D E F của , , , , , .B C C A A BDX X DX EX X EX FX X FX

, ,J K L lần lượt là giao điểm khác X của , , , , , .A B CXX DX XX EX XX FX

Theo bổ đề 5: , , , , ,B C C A A BDX X EX X FX X DEF GHI JKL đồng quy

do đó , , , , ,B C C A A BDX X EX X FX X DEF GHI JKL trong cấu hình cũ cũng đồng quy tại

.Y

XA

XCXB

Y

L

K

J

IH

G

F

E

D

A

BC

X

20

Tài liệu tham khảo

[1] http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/Biographies/Mannheim.html

[2] Jean-Louis Ayme , Les cercles de Morley, Euler, Mannheim et Miquel

http://jl.ayme.pagesperso-orange.fr/vol2.html

[3] Jean - Louis Ayme, Le P-Cercle de Fuhrmann - Une preuve purement synthétique

http://jl.ayme.pagesperso-orange.fr/vol5.html

[4] Jean - Louis Ayme, Le P-Cercle de Hagge - Une preuve purement synthétique

http://jl.ayme.pagesperso-orange.fr/vol3.html

[5] Nguyễn Văn Linh, Two similar geometry problems

https://nguyenvanlinh.wordpress.com/2010/04/04/two-similar-geometry-problems/

[6] Nguyễn Văn Linh, Hagge circles revisited

https://nguyenvanlinh.wordpress.com/2011/12/31/hagge-circles-revisited/

[7] Jean - Louis Ayme, La droite de Seimiya - Ayme - Turner - Une preuve purement synthétique

http://jl.ayme.pagesperso-orange.fr/Docs/La%20droite%20de%20Turner.pdf

[8] Nguyễn Văn Linh, Fontene theorems and some corollaries

https://nguyenvanlinh.wordpress.com/2010/11/27/fontenes-theorem-and-some-corollaries/

[9] Darij Grinberg, Generalization of the Feuerbach point

http://web.mit.edu/~darij/www/geometry2.html

[10] Mathley All Problems and Solutions

http://www.hexagon.edu.vn/mathley/tong-tap-mathley-17.html

[11] Các tài liệu khác về đường tròn Miquel, Dergiades, Fuhrmann, Hagge; về đường thẳng Simson,

Steiner, Turner; về điểm Miquel, Anti-Steiner; về định lý Fontené, Mannheim

[12] Artofproblemsolving Forum

http://www.artofproblemsolving.com/