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Di r ecci ó n:Di r ecci ó n: Biblioteca Central Dr. Luis F. Leloir, Facultad de Ciencias Exactas y Naturales, Universidad de Buenos Aires. Intendente Güiraldes 2160 - C1428EGA - Tel. (++54 +11) 4789-9293
Co nta cto :Co nta cto : [email protected]
Tesis de Posgrado
Dinámica de la red cristalinaDinámica de la red cristalinahexagonal compactahexagonal compacta
Gómez, Inés
1990
Tesis presentada para obtener el grado de Doctor en CienciasQuímicas de la Universidad de Buenos Aires
Este documento forma parte de la colección de tesis doctorales y de maestría de la BibliotecaCentral Dr. Luis Federico Leloir, disponible en digital.bl.fcen.uba.ar. Su utilización debe seracompañada por la cita bibliográfica con reconocimiento de la fuente.
This document is part of the doctoral theses collection of the Central Library Dr. Luis FedericoLeloir, available in digital.bl.fcen.uba.ar. It should be used accompanied by the correspondingcitation acknowledging the source.
Cita tipo APA:Gómez, Inés. (1990). Dinámica de la red cristalina hexagonal compacta. Facultad de CienciasExactas y Naturales. Universidad de Buenos Aires.http://digital.bl.fcen.uba.ar/Download/Tesis/Tesis_2307_Gomez.pdf
Cita tipo Chicago:Gómez, Inés. "Dinámica de la red cristalina hexagonal compacta". Tesis de Doctor. Facultad deCiencias Exactas y Naturales. Universidad de Buenos Aires. 1990.http://digital.bl.fcen.uba.ar/Download/Tesis/Tesis_2307_Gomez.pdf
d dE Ciencias Exacta. y Naturales
5'}?-..la red cristalina hexagonal comp
(:1'.—..'.1:13.27;
l 'i I"l.'-l|'lf"'i.'-Il'l.= Tnó: [li/1mm?
AGRHDELIHIENÏÜS
A mis padres, sin cuyo invalorahls apoyo no hubiera podidoterminar esta tesis
h la Doctora Alicia Batana, por su paciencia y aliento
Al Ül. T.H.K. Barron, por sus oportunas sigsrsnciasA las autoridades del B_ entro ds Tecnologia y Ciencia deSistemas, donde se realizaron los cálculos que se incluyen enesta tssisfi las autoridades de 1a Universidad ds Buenos Aires, que medirron el apoyo economiconecssario para concluir el trabajo
Uapikulo
Japifulo
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.
s . I
FJF-JI’--J¡"-J J:I'_.
Hrtfituln
[NDIFE
1
Introduccion
'73
IntroduccionFormalismo termodinámicaTeoria cuasiarmónicaIntroduccionLa aproximación armónicTeoria cuasi-armónica y parámetros de BrüneisenAproximación armónica y coeficientes de expansion térmicaContribución elmctroninn al parámetro de BruneisenDinámicade redes crisfnlinasIntroducciónNotación básicaExpansión de la energia potencialLa matriz dinámicaLa red recíproca
de 1a red
Propiedades fiaicns. Efecto do 1a mimatriaDepondoncia de loa modo? normales con la deformaciónAlgunos modelomIntroduccionFuerzafi centralesConstantes elástica; y fuerzasMétodo del pseudo potencialModelo de campofi de funrza deModelo Keating
c322 intrraccion
centralegvalencia
deDetarminaciün Expmrimwntal de expansión térmica
IntroducgionDescripc JH fiel model“Üoometria de la rodEnergia potencial de J? redBonatantes eláaticas dmsegundo y tercer ordenMétodo de cálculo" Modannormales y sus derivadasPaFÉMHtF'Hdm firünrifiunq integración en el espa:io recíproco
térmiradm
1 prosaiónparámetro de Andermnnnürünaisenlimite de 1? a baiv; temperaturas
ExpanfiiónDerivadaspecto aElEl
la; consiantna 91á5.icas con res"
"JJ:lle!¡La!EDCDHP‘HC*
4649
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i' .I'J'..‘J‘.
55. mI._' :—I J .' Il n ..
5.5 b.II
(h[J¿4tarl.iïz
Desarrniln de las expresiunesLimita de C" a altas temperaturasIrrtdeLuuziÚn
(nuuwnwtns (da la distribucíún de frecuenwLas
Descripción dal prngramaDescripción da las suhrutinasprograma principalE1 programa
llamadas par el
5
IntrnducciónVariación de la anisnLrupia dal modeloVariación de la relación entre las constantesde fueraaVariación e 1a rnlar*nn axialdVariación del valar ds m+nVariación de los modus normalws y sus contribuuicnns en diferentes direccinnn:Aplicación del modela aMagnesioZincDadmioOtros metá
, _
alas¿anclus unes
Hq,Ud y In
'aqrafia
Pla I'.—-!IL-wl GCE
1.1
.3(\F*I'TlJlÁJ l
Introduccion
La forma mas simple de estudiar las oscilaciones
atómicas es expandiendo la energia potencial en potencias
de las amplitudes de esas oscilaciones y despreciando los
términos de tercer orden y superiores. Esta es la
"aproximación armónica". para la cual 1a teoria de la
dinamica de redes cristalinas fue formulada rigurosamente
per‘ Born en la decada de] Es útil para describir
propiedades como 1a capacidad calorifica a bajas
temperaturas. Además. el rapido avance en el campo de la
dispersión de neutrones proveyo gran cantidad deinformación acerca de las frecuencias de las vibraciones
de la red distlibucion. para una variedad de
sólidos. Los avances en la tecnologia de la computacion
hicieron posible el fiteo de esos datos con modelosarmónicos teoricos de creciente sofisticación. De esa
forma se obtuvo mucha informa ion acerca de la naturaleza
y rango de las interacciones interatomicas, en la medida
que afecten las "constantes de fuerza" armónicas.
La expansion termica es. quizas, la consecuencia
mas obvia de la anarmonicidad (me las vibraciones de la
red y, como tal, nos puede brindar información acerca de
1a dependencia de las fuerzas :n el solido con respecto a
la deformación del mismo" La expansion termica es también
importante desde el punto de vista teorico ya que estal
relacionada termodinámicamente con otras magnitudes que
involucran derivadas con respecto a tensiones y
deformaciones cuyas medidas experimentales que
involucran medidas a‘ altas presiones, han idoincrementándose con el avance de los años.
Una caracteristica de los metales uniaxiales, noencontrada en cristales cúbicos es la combinacion de las
propiedades direccionales para dar efectos poco
frecuentes, como valores apreciablemente negativos de
expansion termica en una de las direcciones principales.
‘,esde el punto de vista termodinámica, la
enpansion térmica depende de dos propiedades simples: la
elasticidad y la dependencia de la entropía con la
deformación. Son simples en el sentido que se obtienen
por diferenciación parcial de la energia de Helmholtz,
una funcion primaria (dada por' la ¡necanica estadistica.
Teóricamente. las propiedades elásticas pueden
describirse, en primera aproximación, por 1a derivada
del potencial estático de la red con respecto a la
deformación. La dependencia de la entropía con la
deformación se describe convenientemente por lasfunciones adimensionales de Grüneisen, que necesitan
consideración de la anarmonicidad en la energia
potencial. En la teoria "cuasi-armónica" se estudia la
dependencia de las frecuencias de los "modos normales" de
vibración independientes con la deformación debida a la
perturbación de las constantes de fuerza armónicas .Esto
es útil como bna primera aproximación del efecto de la
anarmonicidad y permite calcular la expansión termica demodelos teóricos.
El tratamiento cuasi-armónico dio nueva luz sobre
1a "regla de Brdneisen" que establece que 1a expansión
volumétrica debia ser directamente proporcional a la
capacidad calorifica, C7 consecuentemente, ladependencia de 1a entropia con el volumen, descripta con
una xinica función de Brüneisen, 1C , era constante. Si
bien esto era cierto en un amplio rango de temperaturas
para muchossólidos. tanto los resultados experimentales,
como 1a teoria cuasinarmónica mostraron que IP , en
general es una propiedad que depende de la temperatura.
Los estudios teóricos y Hperimentales
subsiguientes de la evpansión volumétrica de sólidos
cúbicos llevaron aparejado tm mayor conocimiento de la
dependencia de 1a función de Grüneisen con la
temperatura. El ranoo de validez de 1a regla de Grüneisen
fue investigado para modelos simples de fueraas centrales
para cristales cúbicos centrados ¿m1las caras del tipo
del argón [1] y en cristales iónicos ([2],[3]). Esos
modelos reproducian la :ajda experimental en 1P a bajas
temperaturas e indicaban que la dependencia de las
frecuencias de los modos normales con la deformación
podia variar ampliamente" Blackman[4] mostró que para
modelos simples de estructuras del tipo ZnS podia
esperarse una expansion térmica negativa, lo que seI
comprobó experimentalmente con posterioridad para algunos
sólidosES].
Childs[b] señalo 1a necesidad de una extension de
esos estudios de expansión termica a solidos no cúbicos,
cuya forma y volumen varian ampliamente con la
temperatura.Desde entonces se han estudiado
experimentalmente muchos cristales, en particular los
cristales axiales para los cuales hay dos coeficientes de
expansion termica independientes dJ_3/ ¿¡¡, que describenla expansion perpendicular y paralela al eje unico
respectivamente.
Bin embargo, pesa de que las curvas de
dispersión de fonones y las capacidades calorificas
fueron calculadas para muchas redes altamente
anisotropicas, el calculo de las funciones de Grüneisen,
y consecuentemente la ixnansion termica, para modelos
teóricos anisotropicos esta recien en sus primerosniveles.
Srinivasan y R. Ramji Rao [7] estudiaron la red
hexagonal compacta con fuerzas centrales entre primeros
vecinos. Encontraron que los modos normales tenian una
dependencia con la deformación fuertemente anisotropica,
pero encontraron anisotropia en las funciones
termodinámicas de Brüneisen que se comportaron, debido a
las aproximaciones en los calculosEl de manera idéntica a
la correspondiente red cuhica centrada en las caras [1] .
UI
Estos mismos autores hicieron un estudio completo deI
Zinc, Magnesio y Berilio con un modelo mas sofisticado,
el de Keating, que incluye fuerzas no centrales y hasta
terceros vecinos. Con este modelo encontraron anisotropia
en las funciones de Brüneisen, pero los resultados no se
correspondian con los experimentales.Posteriormente Menon
y Ramji Rao estudiaron el CadmioEB] pero fitearon los
parametros del modelo con las derivadas de las constantes
elásticas con respecto a 1a presión. De esa manera el
modelo tampoco logra reprodiuzir la "forma de las curvas
experimentales de las funciones de Erüneisen. T.G.Gibbons
[9] estudió la red romhohedrica con un modelo de fuerzas
centrales, con el objeto de realizar una investigacióndetallada del rol de las fuerzas centrales en 1a
expansión termica.Con modelo logra reproducir el
comportamiento de la expansión termica hasta (3“35 Gap.
Por debajo de esa temperatura, con ese modelo no se
pueden reproduc' lcs valores experimentales.En esta tesis presentamos el calculo para un
modelo que pueda euhibir expansión termica fuertemente
anisotrópica. Estudiaremos la contribución vibracional a
la expansión termica, que es la de mayor importancia a la
mayoria de las temperaturas, si bien a muy bajas
temperaturas es apreciable la contribución electrónica.
Tomaremosun modelo de interacción semejante al usado por
vT.G.Bibbons [n] para aplicarlo a la red hexagonal
compacta y analizaremos los resultados de su aplicación a
Magnesio, Zinc y Cadmio que son los unicos metales para
los cuales existen datos experimentales a bajas
En el capitulo dns describiremos la termodinámica
Leneral, mecánica estadistica y dinamica de redes
necesaria para llevar a cabo los calculos.
En el capitulo tres describiremos los calculos
para el modelo hexagonal compacto. Tomamos diferentes
potenciales para vecinne en el mismo 'y fuera del mismo
plano perpendicular al eje hexagonal. De esta manera el
modelo puede asumir dos formas diferentes de anisotropia:
una estructura "de capas" y una estructura de "cadenas".
En el mencionado capitulo se presentan las
fórmulas especificas necesarias para llevar' a cabo los
calculos de modos normales su dependencia con la
deformación, los limites ce los parametros de Grüneisen a
bajas y a altas temperaturas, las derivadas de las
constantes elásticas con respecto a 1a presion y el
parámetro de Anderson-Bruneisen.
En el capitulo cuatro presentamos el programa - y
explicaciÉW) de las partes que lo componen-desarrollado
para llevar a cabo los calculos computacionales
necesarios en el estudio de expansion termica.
En el quinto y último capitulo hacemosun analisis
del modelo teóricn;de los resultados (Dbtenidos con el
mismo en el caso especifico de magnesio, zinc y cadmio,
qu” son los unicos metales henagonales para los cuales se
tienen, hasta el presente,I
comparandn _este modelo an el
medidas de expansión térmica,
modela de Keating antes
mencionado. Tambien comparamos en este capitulo nuestras
conclusiones con las de Bibbons, en 10 que a 1a
importancia de las fuerzas centrales en 1a expansióntérmica se refiere.
CAPITULÜ 2
2.1 lntroduccion
En este capitulo se presentaran las ecuaciones
termodinámicas usadas con mayor frecuencia en el estudio
teorico y experimental de la expansion termica. Estas
ecuaciones permiten analizar las medidas experimentales
de la expansion termica en terminos de dos propiedades de
un solido: la elasticidad y la dependencia de la entropía
con la deformación" Ambas pueden obtenerse por difem
renciacion parcial de la energia libre de Helmholtz, una
funcion dada por 1a termodinámica estadistica. Este ana
lisis permite calcular la expansion termica a partir demodelos cristalinesw
La dependencia de la entropia con 1a deformación
esta expresada haio 1a forma de las funciones
adimensionales de Hrflneisen, parametros que son utiles
para comparar resultados experimentales con modelosteóricos.
É,Ï Formalismo termodinámico
Un cambio en el estado macroscopico del estado de
deformicion (ké un mhlidm involucra generalmente cambios
en su forma como as! tambien en su volumen. Estos cambios
pueden desc'ibirsq utilizando coordenadas macroscopicas
de deformacion adecuadas,?t¿(i,j=1,...1).Los seis paramewtros finitos de Ladranoe de deformación definidos por
Erugger' , y Thurston ( Uta. [ifl,, üE ) son apropiados ydee ' F..ben deformación homogénea arbitraria de un
solido a. partir de Lu1estado particular‘ de deformación
tomadocomoconfiguración de referencia.
E1 ¿atado termodinámica de un solido es invariante
a rotaciones del cuerpo rigido, por esto las coordenadas
de deformación :7 ¿J deben ser rotacionalmentevariantes. Ee;o ee cierto para las coordenadas lagran"
dianas finitas de deformación que estan relacionadasdirectamente con los cambios en los cuadrados de las
dietancfafi en el solido, 'a total se toma comoun
ïUHtiHUD
r r“ 227..1 ral r“_, (2.2.1)donde el eupraindice adicional denota el valor en la
configuracion de referencia para la cuali? = 0 por defi":Ies el que una dce puntoe en el solido.
ü; coordenadae de defmumncion describen deformacionea
|'.||.|.|"'-'_.’:'-¡_. ya e.de J.oe. mou/im ¡.rnntota de cuerpo rigido
:amhios en las diutanciae entre puntos.
Las teneionoa tij, conjuqadas de yij se definen apartir del trabajo hecho rn el solido en una deformacióninfinitesimal
(JH vn1.:.“a?“con i,jwi,....1
Por el principio d- ación de 1a energia:
dU TdS + U°t1¿ d7., (2.2.3)
l-'-"-=-|J---IE") ca -+- 'J"’t,t_,l7-. .1 2.2.4)
dF= -SdT + vnt._,¡.1'7“
que: «sm 'J-"'7..J«.H;z...
De la derivadatienen la tension.
t.“- _1_.3U ) - _ _1_CF (2.2.7)- VD a 1.:; I - V" a ¿J lq) 7,5 ¡y 9,1
Ia deformación {711: J B1:)a .1..1 t ’,1,
y la entropía 8: “(aF) — -_&i (2.2.9)é.
De las derivadas segunda:
nrimera de estas funciones se ob"
se obtienen:
las constantes elásticas de ritide:|
Z
(37;..1”... - 3+.- . - ¿(a F' 2.2.10)a ru“ (vt)T - ¡VN-J3 J k. a tur. ¡7/1
lee constantes de eï.e1-s|.._iv:..i..l.:1¿u:11.
Srpmflm __ BG l (2.2.11). -a t. 1' ’ V” tin-Mm tn“la capacidad calnrifice n deformación constante
'L._'t-Es ---'1 F (2.2.12)
7- (237%la capacidad celoríficu e tension constante
1
;:¿_ 35) wtf} (5) (2.2.13)-'a.1.nT¿ N“ t,
Como los eJemenLH= de deformación y tensión son
eimétricne (vbkmi7hj y t,keth) solo hay seis parámetrosindependientes de cada unnjunto y se usa comúnmente 1a
notación de VoithlE]
i.i L1 1* “1
7h_r.
11
En adelante usaremos las dns nmtacinnes indistintamente,I
¡'|con le que. per ejemplo la ecuación (É.¿_10) se escribe:m
13M_- (Ep...) — a F ) (2.2.10')n - ' - l_}t.') I ÍWIT ’ al?) 7’1De las derivadas cruïadas de U y F se definen las
funciünes de Brineisen'L
“CC- .1- — F )7 (22.32.14)° ‘ r: 3. | ’ ¡:3 aifiaT'7 f7°7fi 7 1’a (2.2.15)
-- aio T) — -1...(..3_U_)} ‘7.’ f7, - 1 r7,Finalmente los ceeficientes de expansión termica
se ehtienen a partir de las derivadas cruzadas de B:
al.“ ' - Alli-3-) (7.2.2.15)' ‘ 6T t ‘ vw ati 31' t:ivLa? der- adas parciales se pueden relacionar entre si:
_.: r. ( 14-1182) (2.2.17)t::Ï.._,s-.:;Ï_,., 51... (2.2.18)
ol¡ Í.‘ QT“ TfR/vn (7.3.2.19)
c1?“ avg/[:7 (7.2.2333)La ecuacion (2.3.ÉÜ) permite calcular las funcio"
de Brüneisen (recerdemos que expresa la dependencia
la entropia con la defnrma ión) a partir (ha medidas
evperimentales de expansión teumica, constantes elásticas
capacidad calerifica. La ecuneiún (2.2.17) se usa para
eenvertir' la cantidad Ü+ (medihle directamente) en C7 _Básicamente, el manipnleb de derivadas parciales permite
relaeiunar las derivadas de la energia de Gibbs (medibles
experimentalmente) cen las der vadas de la energia de
Helmhnlt: (accesibles teóricamente).
FJ
Bajo condiciones en las cuales se retienen losI
elementos de simetría del “istal se reduce el número de
coordenadas de defnrmaïión y las ecuaciones
termddinamicas resultan mas eimples.En esta tesis
trabajaremos con retención de toda la simetría delcristal.
Para cristales lulbicos en estas condiciones, elvolumen es suficiente para determinar el estado de
4'\deformación y la ecua" (¿.E.19) se reduce aT
(b Í'CV'X, /'J'=' (2.2.21) T
donde P el cm-rficiente de empansion termica, W es la
H
compresibilidad ismtermica y'p es 1a única funcion de
Bruneisen que describe la dependencia con el volumen de
la entropía.
Para criïtales no cúbicos uniaxiales, sólo dosdeformaciones macroscópicas preservan la simetría: 1)una
ewtensidn del area en plano perpendicular al eje
único, descripto por ceordenada 32' y 2) unadeformación lineal a Jd largo del eje de simetría,
descripto por ?c. Loa euhíndices "a" y "c" se refieren alos parametros de la red perpendicular y paralelo a1 eje
único respectivamente.
Es necesario relacionar 7a y 7: con los parametrosfinitos de Lagranqe de deformación lo cual se hace mas
sencillo si se identifican a f2» y 7C con los parametrosde Lagranqe:
:0? (7: (2.2.22)
-- -—' --\ r'-\ :1".
74 (7” .. 7,1 __. ,_, \ .5.. .1. ¿-.'-)
Empresaudm wn Lúrmínmü de parámwtrmfi d? la Fed1 '- ‘L
.«31?'.....),_ f7 _ ¿7. _ (¿2 _ . 24)c {.._ i .
Hümmel camhin enfzav prmdUüH igual cambio en/7l y 2,
mientras qua el cambia en 7m prnduce cambios sólo en}%g,FG obtiene
3;: L + -P. : _87m'3'71. a7; aya ' 37:.
Eïtü conduce a
A-laï.“a 73 1-11.n tu (7* ".26)
>r'hm
I. ' ‘- 1‘ r; T ".\ ".I ".\M J" (o1g. 15‘; 1? (
dai": A .l. 74d 0‘ ¡:-_- (
.I’wJh.)B)r»;
hJ .E.29)
Para cristales nuialufi usaremas la notación fra“
Q.
2.2.31)
14
formulada en terminos ¿ha las contribuciones microscopiI
cas. Nuestro principal objetivo son las vibraciones de la
red que pweveen la [wineipal COHtFibUCiÜWa la entropia
en un espectro muyamplie de temperaturas.
La mecanica estadistica de las vibraciones de la
red se describe primero en la apr Himacion estrictamente
armónica. La influencia de la anarmonicidad en 1a depen
dencia de la entropía vibracional con la deformación se
obtiene estudiando la dependencia de las frecuencias delas vibraciones de la red con la deformación.
En este capituln se definen varios tipos de pam
rámetros da Grüneisen due se usaran en los calculos de
capitulos posteriores y se discutirá su relacion con lasfunciones termodinámicas de Grüneisen definidas en las
ecuaciones (2.2.14) y (2,2.15).
EWÉLa LpreHÏ :ion armonia
Para pequefles desplaeamientos de los átomos de
sus posiciones de equilibrio, 1a energia potencial Eide
¿ristal puede expandirse en series de Taylor en esos
desplazamientos. En la Himacion armónica se suprimen
tedos los terminos de I'ercer y orden superior (los term
minos "anarmonices") en "stes desplazamientos . La solu
ción de las ecuaciones de movimiento a deformación
constante de. las vibracienes armónicas de los modos
normales independiente, el cuanto de las cuales se llama"fenon".
En el deelo armónico las vibraciones consisten enuna superposición de vibrajiones armónicas independientes
(modos normales) cuya simetría indica que no puede haber
expansión termica. Las frecuencias de los modos normales
rm: son alteradas por fuerzas externas constantes y son
independientes del volumen.
La expansión termica vibracional solo ocurre en
modelos anarmónicos. En estos casos los coeficientes de
segundo orden dependen del volumen y en primera aproxi
mación (para vibraciones debilmente anarmónicas) 1a ex
pansión termica se puede estudiar por 1a ampliamente ee“
tudiada teoria cuasi-armónicaLlS].
En la aproximaciáw¡ armónica, la entropía vibra
cional S es la suma de contribuciones independientes de
cada uno de los modos normales:bN-G
Z sr (2.3.1)rgL
donde s e contribución del r-esimo modc»de frecuenciar
angular LUV
s_= “k.1nL1»er("fiU%/RT)1 + Elbfikáklj______ (2.3.2)[exp( u%/kT)-1]
Similarmente pahm 1a capacidad calorifica a
deformación constante:aÑ-G
C m c (2.a.3)
y las contribuciones individuales estan dadas por:
ló
' 1r; - k:(Ï)wr/k'.1') .e;<p(T¡03r/II¿T) (2.3.4)
r - [et-(p(f'lmr/kT-"JJI 2
La distribucion de frecuencias, esto es, el número
de modos con frecuencias entre (O y 63+JUJ, esta cam
racterizada por una temperatura caracteristica de Debye
BD=F(ÜD/k,siendolDD la frecuencia de corte y las distin_
tas propiedades termodinámicas determinadas por 1a distribucion de frecuencf ee dan como funciones universa"
les de ÜD/T.
En cristales reales, la distribucion de frecuen"
cias es una funcion compleja de u) -si bien hay modelos
sencillos que asumen formas funcionales simples propor
cionales a una-que no puede ser especificada por una sola
temperatura caracteristica. Sin embargo, a bajas temw
peraturas, toda distribi Ion de frecuencias se aproxima a
la forma funcional de continuo elástico y es útil
obtener la BD para esa parte del espectro, como asi tam
bien otras propiedades del solido como la capacidad ca"
lorlfica [ió]. Pa‘a el análisis de muchas propiedades que
dependen del espectro de frecuencias, es útil conocer los
momentosde la distribucion de frecuencias [17]¿N-Q
(wo) z (0),)” (2.3.5)rzí
"ï ’TA'u l '_' I ".
aproximación
anarmonicidad
17
ï Teoria cuasi-armónica y parametros de GrüneisenI
terminos anarmónicos en el potencial de laSi los
red original son distintos de cero, el concepto de modos
normales derivados de la aproximación armónica, lleva a
que estas frecuencias dependan funcionalmente de ladeformación.
El tratamiento cuasiarmónico sirve como una
orden para el estudio de lade primer
sobre las vibraciones de 1a red y da idea
del efecto de la deformación sobre la entropia
vibracional, de la cual la función de Grüneisen K? es una
medida apropiada. De la definición 2.2.14) de FÏÏ seobtiene ahora
ÁÑ'Q ¿9-6
Í9;: Z EN) c... >rxr (2.3.6)7:4 E.
dondeí}(r) son los parámetros de Brüneisen que describenla dependencia con la deformación de los modos normales
individuales [19] :
(2.3.7)Y... (rn) .---31.r‘wr/}°7;),,7,
De la ecuación (9.3.6) se ve que a} es un promedio
ponderado de los K3(r), siendo los factores de peso lascontribuciones de cada modo normal a la capacidad
calorifica. Es en general función de la temperatura asi
comode 1a deformación. Mbajas temperaturas reflejará la
dependencia con la deformación de los modos de baja
18
frecuencia ya que son los únicos excitados en grado
apreciable. Si se aumenta 1a temperatura 31 cambia ya queI
se van haciendo importantes las contribuciones de losmodos de nmyor frecuenr hasta que, en el limite de
altas temperaturas todos los modos estan igualmente
excitados y ja es simplemente 1a media aritmética de
E(r). Este limite a altae temperaturas es un caso para elcual se ehedece 1a regla de Grüneisen (mencionada en el
capituhn 1 de esta tesie). La regla tambiafl se obedece
cuando el espectro de distribución de frecuencias se
especifica con una única temperatura caracteristica en;en ese caeo
ln 31n9n/ïm)@' (EJÑWComeuna temperatura caracteristica puede fitearse
en la Kuna de bajas frecuencias del espectro, x? tenderá
si;mpre a un valor limite a bajas temperaturas, dado por
una eCL.I.a.t:'.i/.3nde la forma. (2.3.8) con ap reemplazado por
a temperaturacaracteristica efectiva.La dependencia de los momentos con la deformación
es accesible experimentalmente y da información sobre 1a
dependencia con 1a deformación de las distintas regiones
del espectro de frecuencias:3M-Q
mln] e '--1./n('alrl'iiw‘ïr/SWL)?’_ (wtf-4Ïka‘T--_—— . (2.3.9)2. our)“r:l
19
Para newl y n=-É los E1 [n] reflejan el É}(r) de
los modos de baja frecuencia y Y} D3] es simplemente el
promedio que describe el limite a altas temperaturas de
5*.ï?[n] con altos valores de rl describe 1a dependenciacon la deformación de las sucesivas regiones de
frecuencias crecientes del espectro.Asimismo,si bien en esta tesis solo se estudiarán
las contribuciones vibracionales a K1 ,es importanterecalcar que veces son apreciables las contribuciones
de otros niveles de energia dependientes de 1a
deformación. por ejemplo los niveles electrónicos de
metales a bajas temperaturas.
T: es un promedio de las contribuciones, ponderado
por sus capacidades caloríficas:
X‘ ._ {viga Env1.“ + "rn: CAD). (2_3_1Ú)L
- C7
T.H.K. Barrón y R. MunnElB] hicieron un analisis
detallado de la expansión termica del Zinc. En ese
estudio hicieron una separación semi-empírica de &:en la
contribución de las yibraciones de 1a red y lacontribución electrónica. notandose 1a contribución
electrónica solamente a! temperaturas inferiores a 15 K.
Es, hasta el presente, el unico metal heHagonal para el
que se ha hecho ese tipo de estudio. Estrictamente, para
comparar los resultados experimentales a muy bajas
temperaturas, hay que tener en cuenta dicha separación.
.1 __,.c.o.4 Aproximación armónica y coeficientes de expansióntermica
La ecuación 2.2.19) muestra que la expansión
termica involucra la interrelación entre la elasticidad yla dependencia de la entropia con la deformación(ïl).
a aDe 1a ecuación (¿.¿.14) y utilizando las relaciones de Maxwell se obtiene:
‘Q: i 2-v° 3t- 2.3.11)¿,7 90% 7:1, ¿«ny-(3T 7
Por eso, Ïfl es también una medida del cambio en tensiónti desarrollado cuando se baja 1a temperatura a
deformación constante. A nivel microscópico esta tensión
termica se desarrolla debido al incremento de amplitud delas vibraciones cuando se excita el sistema. La
contribución a 31% /3T) hecha por un modo Vibracional
particular esta determinada por 1a dependencia de la fre
cuencia con la deformación, dada por 1Q(r) y el grado de
excitación esta dado por su contribución a 1a capacidad
calorifica qt. Dealli surge la ecuación (2.3.6) paraïq .Si se mantiene el sólido a tensión constante, la
tensión termica :ausa cambio en la dimensión del
mismo, la cual esta determinada por las constantes de
elasticidad. Se llega entonces a la ecuación (2.2.19).
'r.J n
21
5 Contribución electronica a1 parametro de Grüneiseni
En metal. losun electrones de conduccion con“
tribuyen directamente al coeficiente de expansion termicatraves de laa dependencia de su entropia con la
deformación, que, para TiiCF/k está dada por:
s = Vlk'.z'l'N(Cn)=Pr (2.3.12)
donde N(€p) es 1a densidad total de estados por spin, por
unidad de rango de energia, evaluado en 1a superficie de
Fermi. (Hay tambien terminos en T3, T=,etc, en la
expansion a bajas temperaturas para [L7 y S.7 [19] peroson despreciables comparados con terminos similares en 1a
expansion para la entropia vibracional). Se obtiene
entonces la relacion de Brüneisen para el termino
electronico para metales
I" = i/C‘ (323fan?) . (2.3.13)¿,d "¡,4 A e "LTdonde C = P"r es 1a contribución electronica a 1a ca
"zoo.pacidad calorifica y,
[EO]"¿ad =a1nr'/30)¿ ¡vlr=)1nN/'b‘7)¿
Para electrones libres N(CF);V='-’3 y del =2/3.Pero para metales reales la función densidad de estados
H (Ep) incluye esas complicaciones comoefecto de estruc_
tur;1 de bandas yr de contribuciones por solapamiento de
bandas, y de apartamiento de 1a aproximación adiabatica,
a través de interacciones electron_fonon [El] ; puede
tomar un rango amplio de magnitudes y puede ser positivo
¿dativo.
¡"i¿.4 Dinamicade redes cristalinas
É. .1 Introduccion- IEn las SECCLDHES í'sJ !’=J y 2.3 vimos como un analisis
termodinámico estadístico de medidas de expansion termica
brinda información acerca de la dependencia de 1a
frecuencia con la deformacion.
Para obtener información detallada acerca de las
interacciones en un solido se necesita 1a comparación delos resultados de este analisis con los resultados obte
nidos de calculos con modelos cristalinos teóricos, en
los cuales se puede estudiar el efecto de introducir di
ferentes tipos de interacciones interatomicas.
Una vez que se establece el modelo de interacción,
e] calculo de las funciones termodinámicas de Grüneisen
involucra tres etapas plincipales: 1)ca1cu1o de los modos
normales É su distribuciü1 y 3) su dependencia con ladeformación.
En esta seccion se expondrán los elementos basicos
de la dinamica de redes cristalinas necesarios para
llevar a cabo estos cálculos. Detalles pormenorizados de
la misma se pueden encontrar en el trabajo de Maradudin,
Hontroll y NeissEEE].
?.4.2 Notacion basica
Un ¿ristal se construye con la repetición de
"eldas unitarias a traves de todo el volumen ocupado. La
. . . . Aelda unitaria’se describe por tres vectores basicos, ai,n
‘ .‘ . . .=,ag. Lada punto puede identificar por una terna de{DL
numeros enteros 15 (1;.12,13) que describen el vector
posicion desde un punto de la red tomado como origen.a} A A A1.131.+ 1282 + 13.33 2.4.1)
Si hay n átomos en cada celda, estos pueden serAlocalizados por vectores r(k), con k=0,1,...(n-1) y se
puede ubicar cada atomo en un sitio sin pérdida de gene.L
ralidad: r(k)=0 para k=Üu
E1 vector posicion del átomo k en 1a celda l-esima
está dado por:A e A A l A= llal + 12a:+ 11:83+ r(l"'-)
Los átomos con el mismo indice k para tf O forman unag Q
submred" El vector desde el átomo (l) al atomo (E) seescribe como:
ïfi- = " Í) (2.4.3.
Pero como la distancia depende sólo de los indices
relativos de las celdas 1'—1, se puede usar la notaciónalternativa
l Y42_¿__‘L¿r bg : r b g 2.4.4)
a0 si se localiza el origen ep el átomo ,a , esta magnitud
A ‘ C
se puede escribir comor (h bI
:rm ::(:>———sm
24
La componente cártesiana de este vector se escribe como
2,’ .— . -' C eq ("- u) (4=‘-‘-.‘.._...;:.,..:-)y llamaremos u b) a1 vector
desplazamiento del átomo de la configuracion dereferencia"
Empansion de la energia potencial de la red
Utilizando la notación del item anterior se puede
expresar la energia potencial total :5 de un cristal como
'Le de Taylor en potencias de los desplazamientos
atómicos:
33€ l. e +E I K; ..°¡(L)-. i
gm '4'1 (s.Ï 'l u I
(9"ïá'?ï)ïïi;;“z{3¡""‘) "4(5) (5C)
41/o 2-memmuu.mgïggmnummv 0L¿(É)Lk(áv u (áí)+.'n_d .3, Mi) ¿"MJ m5,} 4 3'¿i‘v’ (2.4.6)
_'2
:¿lx/l
LS.
s
JL es el potencial ostáïimo de la red. El coeficiente depri orden da simplemmuto la componente i de 1a fuerza
en nada átomo en el estado de referencia .
Ef'l. (1':C'Mea'l’:i..I.‘.:. . 5-?”[to dr ‘ se;c-9q=...tl'lc.1t.:)o I"cien , que esc ri bi remos E (9
, ¿P thla componente F’de le fuerza sobre el átomo (É) cuando
(í) desp} sado a lo largo de 1a direccionfi, y puede su tomado co una constante de
coefiüienkes de terüer orden superior son
"annrmonicos ya que
FJ UI
I€ emuestran que las .constantes de fuerza h| son
ifunciones de los desplazamientos atómicos.
Para los fines de esta tesis, no es necesario
estudiar las condiciones de superficie no uniforme de un
cristal y asumiremos periodicidad a traves de todo el
espacio. Este modelo se denomina de "red infinita". Como
consecuencia de esta supoeición, las constantes de fuerza
dependen solamente de los indices de celda relativos (1'
l) y ee puede usar una notación análoga a las ecuaciones
. l z oI ' a E
°€ __ 3a fi... ____________fln_ (2.4.7)hit. t; ¡a " a“ lo) >11 LIdp 4 b P L
Una consecuencia de usar el modelo de red infinita
es que la condicion de equilibrio previamente mencionada
para los coeficientes de primer orden, esto es:oai
BLI. :O{a 4 k 2.4.5)
no nesariamente implica que la configuracion de refe
rencia corresponda a tension nula [23].
Otra conclusion que surge de la invarianza traslacional
del potencial de una red infinita es que
—- l
) EE (¿ha ; r3 (2.4.9)rn ¿Fl,ko, lo que es lo mismo
I (50:) 7:5; (ft) (1'#0 y k'%k) 2.4.10)a?
e’ eTambien Egg (tk) = Ïkq h'k) (2.4.11)
2.4.4 La matriz dinamica
Considerando el movimiento de los núcleos en 1a
aproximación armónica y usando la condicion de equilibrio
(2.4.8), la ecuacion de Newton de movimiento para cada
átomo toma la formal |
Si; ): _e%u1;9m') “(ba-9) “kual(su) (“'12’
l.donde Mk es la masa del kmesimo atomo y ü (h) es 1a
componente i de la aceleracion del átomo (í). Debido a 1apropiedad basica de periodicidad de la red, esta ecuacion
se satisface por soluciones de onda plana de la forma:
u _ e a eani(q.r(1) mt)] (¿.4.1u)¿[k Vïn_ *
u)es la frecuencia angular y á es un vector de onda a lo
largo de la direccion de propagación con magnitud
|E‘| .—..21'72 (2.4.14)
donde a es 1a lonqitud de onda. ed(k) da la fase y amplitud del huesimo átomo y es funcion del vector de onda y
es en general compleja. Sustituyendo las soluciones
(2.4.13) en la ecuacion (2.4.12), el número infinito de
ecuaciones que se tenian inicialmente se reduce a unamatriz de autovalores de EnHEn.
1 5L0 e (k) = ¿í D ') e (k') (2.4.15)°( ¿Ph-h- P
‘¿P
dfi.
donde 1; (hE)SD.I-Ilos elementos de 1a _m_atriz dinamicadefinidoslsomo
... 1 1/: e:<p[i(a‘.7}(l’)]M
(2.4.16)M I
A h a,
I) (tu) seta compuesta por una suma de constantesde fuerza ponderadas por un "factor de fase" de forma
enponencial. Cada factor de fase da la diferencia de fase
entre el atomo de tipo k en 1a celda l y el
:orrespondiente atommen la celda cero; dicha diferencia
está determinada por la proyeccion del vector de la celda_\ .Jríl) sobre el vector de onda q.
Como consecuenc' de la ecuacion (2.4.11), la
matriz dinámica es hermitica y tiene por lo tanto EnA _‘autovalores reales para un dado vector de onda q. Lada
autovalor' es el cuadrado de una frecuencia angular deAvibración. U) (q.s)(5=1,...3n). Los autovectores se
A:riben 61‘ (k l q,e) y dan las polarizaciones
atómicas y fases asociadas con el s-ésimo autovalor yA
vector de onda q.
La variachm) de la frecuencia-con el vector de
onda a lo largo de una direccion de propagación en par“
tisular da lugar a la "curva de dispersión" con En ramas.
De asas 'amas, 3 -1as acústicas-tienden a frecuencia
cero a longitudes de ondas altas y las otras ramas "las
ópticas— tiLÑÜEH valores finitos. Las frecuencias
finitas de las ramas Ópticas en ese limite se deben a
I’xJ m
movimientos rigidos de una sub-red con respecto de 1aI
otra.
3.4.5 La red reciproca
En 2.4.4. describimos comocalcular las frecuenciasu n Ade VibraCion para un dado vector de onda q. En esta
seccion mostraremos como se obtienen los EN-ó modos nor
males de vibración independientes para un cristal finito,
reteniendo el conceptC) de red infinita. Esto se logra
imponiendole a1 sistema condiciones limites. Las mas
comúnmenteusedas son las condiciones limite ciclicas de
Born, que dicen que le red infinita se repite con
periodicidad L1 en 11_L: en 12 y L3 en 13_La periodicidad
macroscópicex se manifiesta también en las fases de los
átomos:. .54 __ A aexplL(q.r(li,12,13))]=exp[i(q.r(1¿+n1L¿,12+nsz,13+n3L3))]
(2.4.17)
donde n¿,n= y n: son enteros. Usaremos ahora el concepto
de red recíproca, cuyos tres vectores basicos están de
finidos por:.1 A áa_.b. = ¿' i,j = ,É,3 (2.4.18)
I. a 5_bBualquier vector de onda q puede representarse
—b
como un vector k en ¿1 espaCio recíproco, usando un
triplete adimensional de numeros reales h:(h1,hz,h3) tal
J J Aq= ÉUK= Éflïh1b¿ + h2b2 + habs) (2.4.19)
El factor de fammde la ecuacion 2.4.17) puede. . .. . .escribirse comoerLi(q.r(l))J=erL2fli(h111+h212+h313)J
;|4(1,h) (2.4.20)_ A.) ..El producto "scalar q.r(1) define, para cada sub
red un conjunto de planos equidistantes perpendiculares a
In direccion de propagación y por 1o tanto todos los
átomos en el mismoplano tienen igual factor de fase._ AUuando k es un vector de 1a red recíproca, h¿,h2 y ha son
enteros y como 1;,12 y 1: son siempre enteros, por
‘2.4.20) la diferencia de fase es cero para todo 1. Todos
átomos en la misma subwred se mueven en fase y los h
corresponden a los indices de Miller de los planos—Iperpendiculares a q [23’ . Se deduce de (2.4.20) que
A nagregando un vector de la red recíproca a k se describeidéntica vibración. Por eso todas las vibraciones únicas
vectores de onda que pueden ser representados en
una celda unidad de la red recíproca. Es común usar 1a
celda de WignerwSeitz[24J , ya que exhibe 1a simetría
completa de la red. Esta region se llama comúnmente la
primera zona de Brillouin.
2.4.6 Propiedades fisicas. Efecto de 1a simetría
Una propiedad fisica puede asociarse con
¿entidades medibles fisicamente. Cada cantidad fisica
medihle puede asociarse tensor de grado y tipo
apropiado [25] .Por ejemplo, la elasticidad (CLJKI) tiene
asociado un tensor de rango 4.
{.71 4.
Esta asociacion es thtil, particularmente, en lavestigacion de como influye la simetría del medio
cristalino en la propiedad fisica estudiada.El efecto de la simetria de un cristal sobre sus
propiedades fisicas puede ser estudiado aceptando el
principio de Neumann Los elementos de simetria de una
propiedad fisica ¿era de un cristal deben incluir
simetría del grupo puntual del
cristal". Esto implica que una dada propiedad fisica debe
poseer una simetría mayor o igual que 1a poseida por el
criscaln Como consecuencia de ello se encontraran
relaciones entre los componentes del tensor, debido al
grupo puntual al que pertenece el cristal. E1 número de
elementos independientes del tensor puede disminuir
también debido a 1a simetria intrínseca de 1a propiedades tud iada .
7 Dependencia de los modos normales con la deformación
La dependencia de los modos normales con 1a
‘5‘:
Reemplazamos ahora el
deformación se calculo bajo la forma de los (r)
definidos en la ecuacion 3.7).n(AL.
subindice r del modo normal por una notación más
especifica: Ïn(h,s). La tecnica comunmenteempleada [Eb]Iv
para evaluarlos es 1a teoria de perturbaciones de primer
ordm1 en la que todos los terminos de orden cero de la
ecuacion (2.4.15) expanden en potencias de la
deformac ion :
- ¿l . o
La“): (t.¡_.5).+.‘7¡(PU (h,s)+.".] [ed‘) (klh,s,) +
(lilh,s) +.1 -=
w fi ’ w) l;
[04ng- ep(fu)+-----}Lep(u +
Igualando los terminos de primer orden y usando 1a
definición 2.3.7) se obtiene:
- H(I- Anj! L) I e ) ‘klh,s)2K} (me; )-—-- _éÏÏL_(5J11¿llp t '
2 w""(h_.s)(2.4.22)
Las contribuciones a la capacidad calorifica
C(h,s) para cada modo normal se calculan a partir de los
w “¡(h,s) usando 1a ecuacion 2.3.4) y finalmente se obtienen las funciones termodinámica de Brüneisen usando 1a
ecuacion 2.3.6) haciendo un promedio ponderado en la
primera zona de Brillouin. Se darán mayores detalles del
metodo en el proximo capitulo.
I'2,5 Algunos modelos de interacción
2.5.1 Introduccion
Para usar la teoria descripta en la seccion 2.4 es
necesario elegir un modelo especifico de interacción. En
la primera parte de esta sección describire el modelo mas
32
. . I .Simple de interacc1ón entre dos cuerpos: el de dos cuerpos
o fuerzas centrales, en que la energia de interacción
entre dos átomos cualesquiera es función solamente de la
distancia separa.Las fuerzas centrales contribuyen
IE
otras redes también es importante porque
que los
siempre en forma importante a en redes iónicas y de
van-der Waals. En
otras contribuciones, como los efectos de polarización no
son importantes debido a la alta simetria del sistema. Encristales covalentes la cohesión se debe fundamentalmente
a interacciones de corto alcance, para las cuales es una
buena aproximación el modelo de interacción de campo de
E aproximación usa constantes de
fuur quc rulau adaa con modos de deform¿
flexión y vibraciones de
flvfn mar de de valencia.8e ’presentaran
5 mudulmú u \Huu lambimn con frecuencia.
[LV (“iLVfiiúWñ
nl dv entre los átomos Lu y (bA I
In a qua los separa r (Qe. tEee'
:trihe ó r(¡y)..l “Herniapotencial tota] de(inv1u¡“ndn mnlamnntn fueraas centrales) esta
rial, [363!" la emma nullr r9 ,.-'.Híz.-'€.:sJ ¡54.2%contribuc:ionesl Iu
E ) 4- 2’¿ (2.5.1)Z r ¡L b.’ ‘
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JG |
fi (¿55] + u°
v) ° .
(ai/agtwá ¿Hit12M
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ágllgu q 'h) Ph (1,L)1L(2',h')
o u.’l hh'
lll HH)!
° (ati) ¿(15:31 «[2925r2(¿try Mi)
Wu flv Mmm
Zqum Jun mifimms na tien?“
'Í" |.'.‘..-..'I'" [JD . El factor V2
(te) yha:_Lidóntwm en r
¿Uhh' )J puede HHpaHdirfie en
a poaiuiúu de equilibrio.
lL l
(u’ w(“' | (“9’n. y 11.L, "(ds 1L EL
(2.5.Ï)
l p. aqundu orden
dm 1am vnntribucimneg dm
H HÍ’A ru)tern;iell ¡natal
o ¿L' _hL' (Jin-1.4)
)]—451,26;5)]
donde á es el de Krdneker. El coeficiente de segundo
orden pere 1*] kïk' “o obtiene de la relacion de in
(Én4.9). De la mcuecion (É.5.4) se deduce que la
condicion (2.4.8) que indica que el coeficiente de primer
orden es cero no necesariamente implica que 1a primera
derivada de las contribuciones sea cero. La ecuación
debe la ecuacion (2.4.16 ) para
construir la matriz dinámica con este modelo.(i)
Le evaluacion de los g (L u ) necesarios paracalcular los ÏÍE (hps) implica el cálculo de lasderivadas de la expresion (2.5.5) con respecto a las
deformaciones independientee.
¿"5.2.1 Constantes elásticas y fuerzas centralesEl tensor de teneiún y las constantes elásticas ya
fueron definidos en lee ecuaciones (En?.7) y (2.2.10).
Le densidad de energia de deformación para una red
seteti:a de Bravais con interacción de fuerzas centrales
puede obtenerse de le ecuacion (2.5.1) para dar
K
1-1. Ic‘¡5. v
l'-J( .5.ó)
donde el Volumen de le celda unitaria en la confi“
{J'ull'éÉF' i É‘Íl c143 r"c2'í EE!”EBTWÍZ5.a.l —- 1 O
ï-.¿; L)o r.‘:__; .1: (2.5.7).5.‘1"'" a ” ar?«ey
Expandidndo cada potencial ¿b (re) en serie deTaylor cemo en (2"5.2) usando (2n2.1) se obtiene la
expresión para las constante; elásticasIl ' 0 °2_
.'::«- ;_ 4’ "n ¿“(L2mb) (2.5.8)¡B - EVE) L r-cw L i z
2.Este procedimiento es el de 1a deformación homo
genea detallado por Born y Huang[23] . El mismo involucra
el calculo de la energia de deformación por unidad de
volumen en una red uniformemente deformada y su com
pare4ión con la expansión en eerie de Taylor de la energía
interna de 1a red en potencias de la deformación.
[Emma* es sólo función del estado del cuerpo especificado por las componentes de deformación el orden dediferenciación es indistinto:
EN 3.. 2.5.9)y) ¿o
Como consecuencia de (2.5.8) se tendran sólo 91
coeficientes independientes (causado por 1a simetría in
trinseca de la propiedad estudiada. En el capitulo si
guiente ee vera cómoinfluye la simetria hexagonal en el
número de conïtantes elásticas de segundo orden Cn in
dependientee .
Para un cristal ‘ue no es de Bravais, comoen el
.so de la estructura hexagonal compacta, hay que proceder
mayor cuidado, ya que hay que obtener el despla
zamiento de una subwred con respecto de la otra [27] . En
eeae condiciones se somete a las coordenadas de todas las
Particujn; de’ la red una transformacion lineal
l H.Huu._'u;.|eí>rm¿'a z
u H.(J)+ W. 2-5-10)b
w,(I)6
b
H3 (I): H.(I) + E univ 4..
. ó l
(J): :-:_(JJ) + Z l
.5 ó
donde I se refiere a lo? vecinos en 1a misma sub-red y J a
los vecinoe de la segunda submred; ur son los parametrosa
deformación y W. es la componente del desplazamientol
interna de la segunda submred con respecto a 1a primera.
e: más sencillo evaluar 1a energiaMatematicamente
potencial de interacción entre dos particulas en función
cuadrade de eu separación:
u ÏÉHÉÏ“ (r')(;¿ll"z(1) +420 ¡3’(LU).,.
auf “¡(ÏÏF’ÏLHÜI I"'z(-J))L) ..+
del
2
'" 7. d a ' 7.
m k9? (r') (HA r' ([9 ¿EN (J) (2.5.11)I 1 d n a5u I '
(p;'QMÏm_ L9 — L9 L9 : (9zw
Laorange de deformación,
I
estan|...t._.\r.—..=par'aínetr'rm .rltz-é
definidoe en funüjún de [me parámetro; de deformación como
(2.5.12
.,_\... ol" .r_.r .
A _
-.7-"(u.. + u-. '2-Ll Li_)‘¿ Z ‘¡ gn 4L ti b.¿
ueendo (2.5r10) (Enfiniï) ee obtiene hasta el tercer
orden en la deformaciún !
1 ' —— 9-2 —-—
A r (K) e 2 ÏZ.H.(K)H.(H) + EZ-H.(K)w. + w. — N w- u_ (J o J L o . o ¿.0 ¡ qt' L L fiA (2.5.1.3)
donde N. e w. + un N- (2.5.14)v v ‘a a
para K=I, WEG.En estos terminos la energia es invariante
a rotaciones rígidas del cristal.
E1 desplazamiento interno Ñ¿ puede obtenerse en
terminos de(7¿¿ minimizando 1a energia de deformación conrespecto a. W¿. Para obtener 1a energia de deformación
hasta el tercer termino es suficiente obtener N¿ hasta el
primer orden en e&.[EBJ :3
L
HJ
Evaluando (2.5.15) y (2.5.10) se obtiene
(7 ) (2.5.16)xx (713
“3: ((Za'+(2¿x) (12.5.17)
Be sustituyen las expresiones de los ld¿ en (2.5.1CU yluego en la expresion de la densidad de energia (2.5.11)
se la compara con 1a enpresiún de 1a teoria de
elasticidad (2.5.18) y fin igualan terminos de igual orden
enlyU
3B
¡Ei-:- á Z ‘30"?'74 + 1/6Z Calaf2 96"off, 4,6119 (2.5.18)
(Ver 1a expresión de la densidad de energia, especificada
para la red hexagonal compacta en el apéndice I).
2.5.3 Método del pseudo potencial
Los primeros cálculos utilizando la teoria del
pseudopotencial fueron hechos por Harrison [29], Toya[30]
y Cochran [31] . Heine, Abarenkov y Animalu (desde ahora
HAA) hicieron aportes importantes al desarrollo de la
teoria,utilizando el método de defecto cuántico
([32],[33],[34]) .La simplicidad en el estudio de los metales se de
riva, en última instancia, del caracter de electrones libres de las bandas de energia electronica, hecho que fue
descubierto en el curso de los estudios experimentales de
la superficie de Fermi.Es posible entonces tratar el
efecto del potencial de la red como una perturbación,
sumar las energias de los electrones y trabajar con
arreglos generales de los iones.
E1 potencial de la red no es pequeño; lo que si
es pequeño es su efecto sobre las bandas energéticas. Este
efecto se puede representar por elementos de matriz de un
pseudopotencial.La ecuación de Schródinger se transforma
en una ecuacion pseudopotencial sin aproximación, y provee
39
una forma que facilita el tratamiento aproximado.El pseudopotencial es no-localizado, esto es, es
un operador integra1.En ese momento se reemplaza este
potencial no-localizado por un simple potencial
localizado, y ajustando este, se pueden reproducir re
sultados experimentales a veces con mejores valores que
con un calculo completo a priori, por ejemplo, estructura
de bandas, estructura del cristal, constantes elásticas,espectro de fonones, propiedades de transporte,
comportamiento armonicc etc. E1 metodo se ha ido
perfeccionando, incluyendo la expansion termica de meta
les, con la ideal dc la descripcion pseudopotencial com“
pleta de un solido: es :ir, cuantas de sus propiedades
pueden ser calculadas usando un solo pseudopotencial, en
que medida esta modificado ol pseudopotencial por el mo“
ionico, cuáles son las limitaciones del supuesto
que el pseudopotencial es localizado. De la forma en que
ha desarrollado el modelo, no puede aplicarse a metales
de transición. Hasogawc y colaboradores [35] aplicaron
metodo a los metales Ed y Zn (hcp),eligiendo
psoodopotencioles que reprodo?.an las relaciones axiales
oxporimontolosuF" ese trabajo fijan los parametros de un
modelo de Einstein anisotropico para las vibraciones de 1a
Si bion o] comportamiento a bajas temperaturas os
nrfiesihlo a la apronf do Einstein. se obtiene
40
. . . - nbuena concordanc1a con los coefiCLentes de expansion
térmica a mayores temperaturas.
El modelo aún no ha dado buenos resultados con
propiedades elásticas y térmicas a bajas temperaturas.Este
ido mejorado por ShawEEó] .El modelo demmodelo ha
potencial óptimo difiere del original, en unos pocos
“spectos:i)tl radio del core iúnico en el modelo de HAA
Esté dado por un solo parámetro, mientras que Shaw permite
diferentes radios, dependiendo del momento angular l; 2)
parametros del modelo se computan en el nivel
energético de Fermi de conduccion de los electrones en el
odelo de HAM, mientras que en el modelo de Shaw, en
contraste, se tomanen ctanta la dependencia energetica de
los parametros; 3 )Shawoptimixa su modelo de potencial,
eligiendo para el "adio del core iónico fiz(E)=Ï/%}€)/siemjcza un |;)¿-.1.r‘==.mra‘-_'rodel modelo. Esta eleccion es
consistente con el comportamiento suave de la función de
onda el punhn Iwüï Esta elección evita las¿iones de largo alcance el espacio de momentos
que son caracteristicas del modelo de potencial de HAA.
'1at y colaboradnrfis [373 utilizando un "modelo
de potencial óptimo", ¿alculan las relaciones de
dispersión para Be, Zn y Hg.Lns resultados que obtienen
este sofisticado metndo no son buenos, ya que por
ejemplo, para Zn anqo de vectores de onda el
modelo predice frecuencias imaginarias para algunos modos
acústicos. Esto implica que las constantes elásticas
41
predichas por el modelo son irreales. Para el Hg no se
encuentra un buen fiteo para los modos longitudina"
les,donde los valores calculados son un 30Xsuperiores a
laa frecuencias observadas. Los resultados para Be son, en
general, pobres.
I‘ï. r:\."uu4 Modelo de campo de fueraas de valencia
En los modelos de campos de fuerzas de valencia,
que se usan con mayor asiduidad para moleculas que para
"istales[39], la energia potencial se expresa en terminos
de largos de union y los ángulos entre uniones, ya que se
consideran interacciones entre tres cuerpos.
¡"y r.‘ L.... 1 2..) . u Modelo de Keating
Heating([39],[40])propone escribir 1a energiapotencial del cristal en terminos de potencias de los
cambios en los productos esoalares de vectores interatómi
La aproximación de Keating es esencialmente la misma
que la de parametros de acoplamiento, pero tiene la
ventaja que la ampa de la energia potencial es
invariante automaticamente a una rotacion rígida o una
traslacion de la red.En la aproximación del parametro de
acoplamiento, estas condiciones se deben aplicar por
separado. SrinivasanE41] demuestra que, en una red simple
como la del Germanio con parametros de acoplamiento de
rnS.
segundo y tercer orden, extendidos hasta segundos veci_
la: condiciones de invarianza rotacional y
traslacional conducen quince relaciones entre los
parametros de segundo y tercer orden.
En una red hexagonal, este tratamiento conduciria
a un número grande de parametros y muchas relaciones que
los interconectan. E] metodo de Heating de escribir' el
potencial simplifica este problema.1nc1uye interacciones
de dos y tres cuerpos.
Determinación experimental de expansion termica
Lamentablemente, solamente existen medidas de
expansion térmica a bajas temperaturas para unos pocosmetales.
El coeficiente de expansion termica se mide como
un promedio QT: 4 (Ag) a partir del cambio en longitudÏ AJ"“ausa de un cambio finito en la temperatura ¿1 T.
Los datos de expansion termica para Zinc y
Magnesio fueron medidos por McCammony White[42] usando
el metodo del capacitor de tres terminales. Este metodo
es de gran precisión. A muy bajas temperaturas, pueden
detectarse ¡tamhios en longitud de una parte en 10 en
direcciones perpendiculares al eje de simetría y de dos
partes en 10 en 1a direccion del eje. Esto corresponde a
una incerteza en 1L. de por lo menos LU120% por debajo de
BH. Como°fil tiene valores superiores a 1;_ y aumentasuavemente con la temperatura, su incerteza es menor que
p (Il
51, aun a 4K! A temperaturas mayores son otros los
factores que limitan la precision que es de 1Kpara ij
mejor aun para<XH .Hemos visto, como a partir de medidas de expansion
termica y constantes elásticas se pueden obtener losvalores de ÏA(ecuación 2.2.20).
La imprecisión en los valores calculados de K4son
dificiles de estimar. Excepto a muybajas temperaturas,
donde la expansión térmica es menosexacta, la incerteza
en las mediciones proviene, fundamentalmente de las
medidasde las constantes elásticas.[2l]
Las mediciones de constantes elásticas[43] se
realizan, en general, por medio de la tecnica del pulsoeco de determinar la velocidad de ondas ultrasónicas en
diferentes direcciones de cristales. El mismoinvolucra la
aplicacion de una serie de pulsos RF de entre 15 a 25 MHz
al transductor unido al cristal. El tiempo de repetición
del pulso se ajusta de tal manera que los ecos del pulso
se sobreponen a la señal. La frecuencia de la repetición
del pulso (de entre 100 a 500 KHz) es directamente
proporcional al cuadrado de la velocidad de la onda y
puede ser medida con una precision de 1 en 105.
Para Zinc, por ejemplo, hay dos conjuntos de
medidas de constantes elásticas igualmente confiables que
se superponen y que pueden ser comparadas para dar idea de
las incertezas:
44
Constantes(101° N/m )fiar1and y Alers y
Dalvent44] NeighboursE45]
Tm77.ó K T=77 K
EL; 1.7392 1.7677
U3: 0.6736 0.676
C44 0.4466 0.4479
¿"han Cl. 6,992 —
312 0.3401 0.3680
C¿3 0.5116 0.5520
T.H.K. Barron y R. Munn [18] estimaron que para
Zinc el error en U1 Ïd puede ser del 15% y del 5%.L. //
respectivamente.
Sin embargo, comolas constantes elásticas solo
cambian lentamente con la temperatura, el principal efectode estos errores es solo de un corrimiento de las curvas
de \“ versus temperatura hacia arriba o hacia abajo,
permaneciendo la forma de dichas curvas, practicamenteconstante.
Para otros metales de estructura hexagonal
compacta, solo hay conjunto completo de constantes
elásticas para cada uno y los errores no pueden ser
estimados de esta manera.
Afortunadamente, para el tema que nos ocupa en
esta tesis, el conocimienio de la forma de las curvas de19 e" suficiente“
45
Hasta eÏ presente solo se encuentran mediciones de
constantes elásticas y/ expansion térmica para Magnesio,
Cadmio y Zinc.
3.1
46
CAPITULO 3
Introduccion
En este capitulo se presentaran los calculos
detallados para un modelo simple de fuerzas centrales,
con interacción entre primeros vecinos. Varios son los
motivos que nos condujeron a la elección de este modelo.
Comoya hemos dicho en el capitulo uno, nuestro principal
interes radica en el estudio de propiedades anarmónicas y
deseamosestudiar la importancia de las fuerzas centralesen las mismas.
Barron [46], BibbonsC9], ambos en conjunto
([47],[48], [49]) han publicado una serie de articulos
sobre las propiedades anarmonicas de la red trigonal -que
es una red de Bravais- utilizando igual modelo que el que
Con esteutilizaremos en esta tesie . modelo han podido
reproducir las curvas de los parametros de Grüneisen en
funcion de la temperatLu'"a hasta 0,05 en. F‘or debajo de
esa temperatura el modelo falla,en particular para el
limite de a bajas temperaturaï.
Para poder obtener diferentes grados de anisotropia en el
d bh")respectivamente entre vecinos que yacen en el mismo planomodelo toman potenciales diferentes fi¿(r) y
o en planos adyacentes perpendiculares al eje único desimetria.
Nosotros utilizaremos un potencial análogo al
usado por T.H.K. Barron y T.G. Gibbons para estudiar la
47
red hexagonal Eompacta y compararemos nuestros resultados
los de ellos y con los Hperimentales, teniendo en
cuenta que estos valores son la suma de la contribución
de la red y la contribución electrónica y con otrosmodelos teóricos.
El problema fundamental de la comparación con
resultados experimentales de K/' a bajas temperaturas
radica en que en esa región de temperatura es importante.
la contribución electrónica a 1(1y si recordamos que connuestros modelo sólo estudiamos la contribución de las
vibraciones de la rod que por encima de 0,05 EL es 1a
unica importante" es necesario hacer una separacióncontribución electrónica contribución de 1a red a los
Jarametros de Gruneisen eHJerimentales a los efectos deÍ
realizar dicha compara. El unico caso en que, hasta
el presente, se ha hecho la separación de contribuciones
es para el Zn[iB].
Hay antecedentes del estudio teórico y
experimental de plopiedades armónicos de sólidos de
estructura hexagonal compacta:
E pr' mr lunar el estudio ya mencionado de
3arron Munn[181 que estudian los datos
experimentales de expansf termica de Zinc, analizando
contribución vibracional y electrónica a 1a misma.
Mediante ¿studio semimempirico analizan la
contribucion electrónica a Ep y construyen la curva de
la contribución de la red a los parámetros de Brüneisen.
4B
"o
En un estudio posterior, Munn[21] analiza laexpansion termica experimental de Zinc, Cadmio y
Magnesio. Concluye que el comportamiento de Cadmio es
similar al de Zinc, a pesar de que el minimo para K“
tiene una forma distinta que para Zn. Para Magnesio las
son similares men cuanto a la forma- que para el
y K1 invertidos y siendoZinc, pero con los ¡"oler-3de X" JI.l
la divergencia entre los valores de ambos muchomenor.
H.Srinivasan y R. Ramji Rao ([50],[Slj) estudian Zn,Be y
Hg utilinando el modelo de Keating(seccion E.5.3)que,
ya ee ha dicho iHCJUyHfuerzas no centrales. En esos
trabajo; fjtean las de dispe'sión y obtienen los
mejores parámetros del modelo;1uego calculan la CLJ,CLJK,
BCLJ/ap y las curvas‘KïïJpLos resultados obtenidos para
Ï?(f)no en“ óptimos, ni siquiera a temperaturas superioresa GaD donde "ibucion electronica no es
importa Los resultados desaulJ/bp son mejores que losobtenidoe con el modelode fuerzas centrales utilizado
por R. Hamji Rao[52], que toma c/a=c/a¿d--¡ y k¿=kh:
l... Ema] r—m
En un trabajo posterior, Henon y Ramji RaoEB]
estudian al Ed con el modelo de Meeting, pero en este
caso fitean los parametros del modelo para obtener los
resultadue de ÍBEH- .TBp, y no se consiguen buenos
asultados de las curvae ch: a?
T.H.K. Barron en uno de los trabajos antes
mencionado, [46] como asimismo Gibbons [9] estudiaron el
49
.. u . . iZinc, pero con empaquetamiento 1deal:c/a= 2 2/; El(c:
longitud de la red a 1o largo del eje unico de simetría y
distancia entre primeros vecinos en el mismoplano,
perpendicular al eje hexagonal), no logrando reproducir
las curvas de la contribución de 1a red a los parametros
de Gruneisen por debajo de 0,05 E5” que formularon Barron
Hunn [18], fundamentalmente el cruce que observaron a
0,0128 DJ‘Jotz-¡otrosharemos igual analisis que en este
estudio pero con c/a= 1,857 que es el valor experimental
y trataremos de reproducir las mencionadas curvas
experimentales"
Con el metodo del pseudopotencia1(seccion
T.5.u) no se han calculado hasta el presente propiedades
anarmonicas de solidos de estructura hexagonal compacta.
E la seccion siguiente discutiremos en
detalle el modelo utilizado" En el capitulo cinco
compararemos nuestros asultados con los previos
experimentales y teoricoo antes mencionados.
Descripcion del modelo
v1. Geometría de la red
La red hexagonal compacta tiene dos atomos por
celda unitaria y sus dimensiones estan dadas por dos
parametros a y c(Ver figura 3.1) Referidos a un sistemaA—Lcartesiano de ejes hay tres vectores básicos a¿,a2 y a: .
vectores los siguientes(ver fig.3.1)fi,a/2 ,0 ) ;
Esos sond A _a1. - az=( U )u
r.¡m
F“ ha rwplitadn en
".:'-.\.|:n:;\_.j¿”mmm con mimi-t LIGHT...
de ulium está dad“ por lus
pnï'
-h - Arc)”: ¿Lla-' «3a; )‘| gr r1".
1 ,. P“ :3 m i
y
sección
posición de caJa
siguientes vectores
.n . . . . .Jmnde lee r1 con'1=1,n.ó corresponden a prlmeros vec1nds. ..._ . A .el mlsmn plano (UUUL) y los r; con 1=ó,...12
corresponden a primeros vecinos en planos
edyacente5(ÜÜOL).
MDefiniremoe una relación axialr'=g.Cuanddf=Q
la red es ideal y tados les vecinos estan separados por
una misma dietancLa a. Cuendulkeg E, los primeros vecinosplanos adyacentes estarán separados por una distancia
1. lllaewfiu :m3 4 . fl .
(-_I u ..'_ n -_'
La red FECÍDFDLÉ también una red hexagonal. A . . .won vectores háSLCDfib; , dellnldne come en la ecuac1ón
_¡ÉN4.18 ) dande(ver figura 3.1A ._L Ala "(g _o,o) bz= ¿(:¿,1,0> b==L<Us0sl)
L 3 A JÏ c
x
Enevgia pmtencial de le red
F] mmdeluutiliaa due pe#encia1ee independientes ¡fi1(r)
para). pr"irne;r“us=‘ vea ¿31 misma.) plane (0001) y
findr) para primeros vecinos en planos (0001) adyacentes,ambos de la forma
fi (r)=-a/r"" + b/r'" (3.2.5)
Estos potenciales se pueden expandir enseries de potencias alrededor de las distancias medias de
manera análoga a lo que se hizo en 1a ecuación (2.5.2)O
%¿(a +5r")=#¿uü + a tLár + lla;Srz + 1 A; k4 €r3+u2} 3! a‘ 3.2.5)
u
% b(am+8r)= %b(aun) 'F' am tng!" + SI”: +1 Abk.b_5r3+...‘ (3.2.7)
El simbpua t se uso para denotar 1a tension
4'(r°)/r° de una union v k para denominar a 1a constante
de fuerzaté"(rp). A1 y A” dan idea de 1a anarmonicidad delas uniones.
El modelo tiene entonces seis parámetros
independientes. En asta tesis solo se considerarán redes
no tensionadas (t¿=thm0), pero se hara consideración
explicita de t; y tb ya que tienen derivadas distintas decero con respecto de la deformación. Consideraremos
Ainfiu=05 al igual que THH.Bibbons [9] con su modelo.
5.2.3 Constantes elásticas de segundo y tercer orden
En 1a seccion 2.5.2. se ha explicado cómo se
obtienen las constantes elásticas para modelosde fuerzas
centrales. Asi obtuve las expresiones de las constantes
elásti_as para nuestro modelo:
¿1.1. :1 a4 [9 D" i + Ü" bilV ' .
[31:2= y .0" 1 + u"v
El: = ía F10" bv
[3m = _a_4 P.“ 0" hV 7.
C44 = a4 Ü" hV ¡L
CM. =a_4 U"6 m lu l. H uu
C1L1= fi_ _¿7 Ü L 1 D b F ¿ D bV 2 ‘31 9
_\ u _'__ ¡u luL122:»: ÉÏ Ü n + JJ Ü s + 2 Ü b
|l|C333:
.u au ‘
(¿112- Ec: ‘DH ¡3+ 9 Ü 1 + 2 Ü 4V 3a T: T?\.\ x nnL1L3= ¿fra Ü" 1+ Ü (3.2.22)
V ' Tai É
I‘ — —
Lzaa- C133 — b tk“ Ü bI
2--\ 'L ¡HLLEG = a“ 'Ülb+ Ü h
V I-r 'lo -.v¿a -J
P — P — ah ï11mJ144— ¿Las ” _;_ m h3V ¡L
donde Dr, = BEdS/Bfirz; u‘“_,=3=*525,/3=‘r= j=i,b
ÍL==C/a (ver sección 3.2.1)
Las expresiones finalea dn las constantes elásticas
obtenidas para esta müdelmson:z
[3.11 = ._(__¡’:Ï-_A.'Ï'_t.1-..) ( Ïï. "' 9-)
1C12 = a (k¿:t4k í 3 + A“)
12vl Z
[33.3 -:’ [.244 :1 a. (Eiï:t1.))b
C33
Cab
C111
C222
C3153
C112
0144
donde
fi .
siendo
primeros vecinos en el
2.4 Métodmde cálculo.
q
H
V el volumen
LSa A- “(E¿:L¿l
BV
(C1L_C.l.2)
ÚHWH[—g¿(p+ó) + 2.A.(3 —
H[—22(p+ó) + 2.A.(3 —
H.A.B.(—1).2,25 laa
3L
H.rv - A.BJ
H.a.r4(«3) B
I'_.-.|[El
L_¿=J
¿U ¡SH-b)¡L
5:44
HIAÍ(—FZ)I( 3 +' B )
A-B- (- 2)CLSS
A: (tbflkb)/(t1—kilaB: (m+n+ó)/g
p=m+n, los exponentes del potencial
= c/a
= 1/3 + r2/4z
= - (t¿--l::.1).a Mit-w)
de la celda y a la distancia entre
mismo plano (0001).
Modusnormales y sus derivadas
l'1 U:
Para cualquier vector de onda especificado porel triplete h de númermfienteros, se pueden obtener las
_ _ . .AfrecuenciasCÜ(h,s) y 10mvectores de polarlzaCLÓn e(h,s)
resolviendm la ecuación secular (2.4.15).
Teniendo en auenta las ecuaciones (2.4.16) y
(2"5.5), 105 elementns de la matriz dinámica hermitica
que ebtuve para el presente modelo son los siguientes:
H
Dun ti.+tln)+ ¿59.1+ &[CDSNh; + C05M M
+ cos(2f(hl-h=)] Eelícos Efiïh¿-h2) + CDSEWhA4
DW = ¿gi-+th ¿»91+ 2-382-- t¡ cos carrh1+ cos 2m: +M M
+c05 Efi(h¿mhzïlm 91 4:05 Eíh2+cos th¿ +CDSEW(h1-hz)1¿A
Dz: = é¿t1+tb) +5fl-6’2 —2 EL cos 2Kh1 + cos 27h: +H M
+ cos Ef(h¿"h2iII _DH: = = Í.)
al
DHY = [CL-JE?) h2'—|'|_¡_)—CDS¡L
Dun = “‘"Ï 1..EZTJJ'IJ.+ e2fl’1h2) +M
-+-82 ESETJ.P11 1 ¡4 .L"¡Pgó
¡LDV), = "21‘.AA (1 ¡.. emitir-¡1. 4. efzfihz) + r-.J
C +
l
1):: :.-.- AA ¿.ÍP e? ( _1_+ ¡az-11'11 + e2fl'1h2 )]H É
DHY (_1__ ETfJJ-vi‘)
¡7. ,1')”: = i e ( 71__ 1.::eflffihl + 9217.1912
“#6372 JÑZ
Dv: _-. i 92/; BB (1 _ e::*".1.n2)donde:
M: la masa del átomo
91:“ (t¿“k1)4fi.1)92:“ (tb-kzb)/(M.g7_)
AA: cosfl'hg e-É’n‘"‘i"”h=-”’='F
BB: sen1rh3 e‘l""*"‘1'“‘=”3
Í”: C/a1
g: 1/3. + fl/q
Para obtener la contribución de cada modo
normal a los parámetros de Grüneisen generalizados, hay
que seguir el procedimiento desarrollado en la seccion
2!’.?, para lo cual es necesario tener los elementos dei) ;’
las matrices 3Q? /371 y 3Q; /372.Los elementos que obtuvepara el presente modelo son los siguientes:
Hll
2D55_..91 (EE +4)(cos Eflïhzwhl) + cos thq - Ecos ¿Tha 9L
—¿,.—zzp] +92 [4-(p+ó)]TELE!
3Dïx -‘ÜL ï_ éosEíh1+cos Efl(h2-h¿ñ_3p —ó+(2p+ó)cos 2íh2
+924_¡l
Egg; _ _ÉÜ¿[cos Efihi + cos Éfhz + cos Éflïhz-hl) - É] +1
+202 1m )N<p:@)4a
H \
3 I.)>(y _ Ü_L(L:H-4-) [uth j.J-‘Tl'(h-_----|I.L) 1:05 E‘Hl'u]O)
ln.
30m 1-392[3 e“*“"- (“3 (men + (1 -+e="*“2)[‘7‘+ (22)]7|. - ug lr-.J¡I
)(1 + ezf¿h2)]cq .a'.a
n. 1°
gba: i (D475) .._ 1)( 1 ..¡_¿Er-¿rama.4. ezr1h2) Q. 4g
o)o) E: ( i l‘. c9 M
.|_’,_\
zú HAp ,1 + 9*I
Y"|l
3
)Dl,¡y_ (QT-¡ió ¿3) ( l <_Eau-¿(1.912)
Il) ( l “2 EZTÉLHZ+ e2fl'1h1.)
3
'30,” _ 31:) 82 ju ( [316. )...Í.Ï]
H 1. 1.
3D” - 1.::62 + ¡up-um335:? ’ 4g
2. 1.
39:“- 8;, Íí'J/u [(.1.+ez'1“;‘)("21. -+ p+b )-+-(--1 + 9+6 ) ez‘I-M].'.'.m ÏÏ-g
1
3D.“ 9.-?“j” á (me) ) ( 1 --I- + emm-ú)7Q
3m“? _ 8.2, r; (¡q-+6) f ( ¡y ¡.33;"Y'rrl.h.';-:)- 4 VI};
1.¡7.
31),“. ._ "0;, I.) ( .1. + (a? Ï:ïta’:’"1"‘*) (p+ó) -—la:1'7d. ‘L
3.1.)” __ Ü.“ D/‘" (ts!':""'-*-""" .x (¡g-¡»mt —a .3 - fuí.C]
f'_'Í)[lIÏÏ|í}¿ J.-_-.: k. ti ) ¡6.1
9:..- """ ' r L5.m.. tai/(W-gl)rn: ¡..\__ ¡3- 22171.1¡11.4412 ) ¡:5n. ._. 4.! .v.. n ..
DH i.sen17hz.e"“íi‘“l+“2’/31.
1/3 -I- (Ma/¿IMmmasa del átomu
“"5 Parámetrmfi de Bruneigen. Integración en el espacio
remiprocm
Las parámetro; termodinámica; se obtienen con
las contribucionee 191(h55) y c(h,s) mediante el promedio
ponderada (2.3.6), integrandm en el espacio recíproco.
La simetría de la red recíproca (un prisma
hnwagunai) permite djvíüirla duce regiones
equivalentes (zona enmbreada de la figura 3.3:p1an0 muy
de la zona de integracit
7.-.' . .vectores que definen el mesh de puntos coinc1dentes con
los de la red reciproca.A —.L ._¡ —lDado el vector q _ ETT n; bl -nz bz + n: b:
“mesh
hay que hacer ciertas restricciones sobre n¿,n2 y n: para
delimitar la region de integracion a la zona sombreada
(angulo de EQ“). Si lo compara con la ecuación
(2.4.19) himnl, h2=mn2y hanna.
La primera condicion es que Oi n: í mesh/2.
Sobre n; y n: las condiciones son:
nl t 0
Para que los puntos pertenezcan a la primera
nena de Brillouin, la condicion es que:
nz/É + nl i mesh/E
El número total de puntos del mesh en la red
recíproca es mesh“, Homola region de integracion es 1/24
de la Komade BrillouinF el peso de los puntos interiores
L".u dicha región sera 24, ya que hay 24 puntos similares
las otras regiones. Los puntos en los bordes tendran
menor peso, a saber:
1) valores de H3: “3:0 o ng: mesh/2, el peso
¡U LI" .... ')J 3U. ¡1' ID
¿ valores de nl y nz:
Si nlmü o nl=ngz el peso es la mitad (excepto
para los puntos Ü y C de la figura 3.4)
Si n2+2n1= mesh, el peso es la mitad (excepto
para el punto C).
¿tvQ
divide me 12“
m1 pega fiü
divide par fin
/ (giwada
pec+n
Figura EHE;
/ML
ha emuluidm m1 urigenfi ya
U. l") [Il U. ¡"1 (Z)
CII ii? l'"' {ZZ}-,¡
[1.)U. H C) ’55
HI mwgh, precisa ggráÜHfiHtÜ
tfimperaturáem iii-FH 1:; .59. lzï) j ¿5 2'
rca dal centro de lafinm a
“&(VEF figurü 3
ól
-wFigura ¿.5
Eh) PSTa Koma interinr , que ocupa el octaV'
central del valummntmtal de la regiün de integración, y
qug equivale a.]¿a mitad (ha la 10ngitud,5e ha usada un
meah más fina" Las nuntmü interiores, a su vez, tienen
[f8 del pesa de 11MBmriqinaleg. {ña eliminó también la
cmntribución a gata rnqimn más densa de las puntDS
límitEfi entre ésta y la región menos densa, adjudicando
ima mifimmaa la región exterimr.
Para la. integwaciún sus utilizó ¡al método de
Hombergde los trapaciug tridimensional en la computadora
IBM 3031 del Centwm de Tncnolmgia y Ciencia de Sistemas
de la Univwrfiidad HE Buenmfi Airefi.
Enfiufi Expansiún térmica
[4x5 cneficient.g CMEexpansión térmica ueden
usandm las funciones de Bruneisen, las
cunatantaa elásticag,la capauidad calorifica y el vulumen
usandm la ecuación (En2.19). inplicitamente,y teniendo en
cuanta que se tienen defnrmacimnes que preservan la
simetria axial,l esa ecuacion se escribe comoI
2=rI3 2‘ TÏ‘ -—cn..." r.) 'r‘ ._T'- Taa (OA/fic... _|_ 67,} [M 42.- 0-:}
(3.2. FJ 4.)
' .\ T. 7' ..\ .Ï. T_ 2.1,
of‘ :(cp /V)[r_,n_ K), / É..-“ (3.:: (3...:1
donde an _.al, , B: y ¡1/ estan definidas en las ecuaciones(2.2.30) y (2.2.31) y las constantes de elasticidad
isotermicas se reemplazaron por las constantes elásticasisotermicas utilixando la ecuación 2.2.18).
Las ecuaciones anteriores se pueden escribir
2.
oli: (Ey/V)[CMTll —‘¿iz'rsz/ «Juvenncun-EmmT(3.2.26)7.
q = C ’V C T+C T ¡A MÉC ¿Tai C337 C +C T -2 C 3TIl (7/)(1.1. 1.2)” 1. J. (1:. 1.2) (1)(3.2.27)
dSe calcularon los u y q¿_ utilizando las
constantes elasticas y los parametros de Grüneisen 33_ y
a", .
Los Ïq¿(i= ÚS-L )son funciones anarmónicas de
primer orden. Al calcular ofiv y qu_ omitimos lascontribuciones anarmonicas a C y DijT. En particular,
\9¡.4reemplazamos las CijT por .as constantes de la red
estática y para obtener la expansion termica del cristal
no tensionado tomamoslas dimensiones de equilibrio de la
red estatic_. las constantes elasticas estan dadas porlas ecuaciones (5.2.23) con ti=tb=Ú.
La condición de estabilidad mecanica es que
tanto k1 como kb sean positivos, conduciendo a
denominadores positivos en las ecuaciones (3.7.24)y
(3.2.25). Por lo tanto el signo de o“! y ql estadeterminado por sus respectivos numeradores. De acuerdocon las relaciones entre las constantes elásticas con
modelos de fuerzas centrales, á es negativa cuando [7;] 2??" aly 0 es negativo cuando ¿Ga v mi?
II L L 204(_\H’Q¡J
3.2.7 Derivadas de las constantes elásticas con respecto a la
presión
Hurnaghan [53]pub1icó un tratamiento exacto de
las deformaciones finitas en sólidos elásticos, con
aplicación especifica a medios isotrópicos. Una
deformación finita se compone, en la practica de dos
terminos: una deformación hidrostatica finita superpuestocon una deformación infinitesimal. La deformación
lúdrostatica afecta la respuesta del medio a la
deformación adicional infinitesimal, dando lugar a un
efecto de la presión sobre las constantes elásticas.
En este caso hay que encontrar las relaciones
tensión-deformación y descomponerlos en la parte de
presión hidrostatica y deformación generalrelacionada con la deformación infinitesimal.
64
Nosotros hemos extendido el tratamiento pararedes anisotropicas uniaxiales, siguiendo el
prDCedimiento utilizado por Birch[54] y Barron y Klein
[55] para cristales cúbicos. En primer lugar la
compresion hidrostatica acortara las longitudes en el
cristal en un factor (1- °Í¿)en el plano basal
perpendicular al eje único y (1“0Íz) en el eje de
simetria, donde ‘* i es intrínsecamente positiva con
valores entre ü y 1; hay que adicionar posteriormente una
deformación homogénea expresada en terminos de seis
coeficientes {5..- que se pueden tratar como infinitasimales.
Por la deformación hidrostatica, un punto
inicialmente en (a1,a2,ae) se lleva a (x°1,x°2,x°=).
H=1=(1—4l)a1 x°2=(1—¿l)a2 x===<1u43)a3
(3.2.28)
Los desplazamientos adicionales resultantes dela deformación infinitesimal seran
l-ll1=(’1..L)"-c.1'7!12Ha2 +(5 i334”:
uffmxnl «faena +-¡523;.:=':r. (3.2.29)
¡_I.'z=(5_-5¿;<='¿+F32><°2 +F33H"
con(5r-=F.r. Las coordenadas finales seran KF=KF°+Ulrl
xl=(1+p11)(1-¿1)al +/6;2(1«41)a= +/513(1—43)a=u2=62l<1-¿l)a1 + (1+f22)(1«41>a2 + =(1-4=)a:
mi: 3l(1-¿i)a1 +(3az(1_aá)a2 + (1+fez)(1—4=)az(3.2.30)
De estas ecuaciones se encuentran las
derivadas parciales:I
92.:.../'3c35=(1'-0{1) ((3,.5 + 5...5) r'=1_..2_..3_:s=1,2
Qui/3a., = (1---¿3)(f,.3+á.—5) r"=1,2,3.'(3.2.31)
Llamando (DE) a 1a densidad del sólido no
deformado y! P a 1a densidad en el estado deformado, conV” y V para sus correspondientes volúmenes especificos,
se tienen las identidades matematicas:
Dal/3x gel/8):: gen/3K:
f /€ °=Vm/V: Í)a:/3H_ Baz/BH: '3a273K3'3a3f9H. aazfiaxz aaa/3K;
(3.2.32)
Usando las relaciones (3.2.31) y despreciando
potencias de orden dos y superiores de los f3 r-, seobtiene:
VD/V=(1“f¿1_P22"fz=)/(1—¿i)1(1‘43)(3.2.33)
Utilizando la notación de Murnaghan, las
componentes de Lagranoe de 1a deformación son:
7 ,_._=2-(F./3a,>(324¡,/3a.) — ¡ll(3.2.34)
La relacion tel'ïsiÓn-de'formación g..- dada por"
Murnaghanpara sólidos bajo deformación finita es:
’ 3 .Dx' r'uspp-q=152!3grs_ M . .(3.2.35)
óó
presión hidrmstática uniforme no altera 1a
aimetria del cristal. Por eso, la relación entre laatensiones adicionalea las deformación infinitesimales
patín dada; por una empresión de 1a misma forma que en
aquella de presión inicial cera, pero las "constantes
elásticas efectivas" depnndmránahora de 1a presión.
Sustituyendm mn (3.2.35) se encuentra:
¿mr-'- ____1_.......__ (1-"(311."‘(522' (345.3)(84/6911)
z“ .31 <1. .1.L) (615¡8733)
a4> (¿mw¡5911)+9m(e?mk}--‘--%iÉ,-;-*:i-%(3’55? P" ’99“) *F==-E-:%ï¡ïï-1°*Ü?
Teniendn en cuenta las igualdades:
Z .1.1. “13+ E I .x..1. "'F' (3 " 1.1.F11 ‘l‘ C ' 12(522 "‘C I 13,63:
La n n a l} F e
¡Ju 'I Ü aa N ¡H 1:1 fJ1'_.-] [3‘
Extendiendn la notación de Birch[54]
introduce pon! su: conveniencia para 1a expansion en
’ies" De aqui en más, haremes los cálculos hasta el
prime-3|”orden end 1 o enyl
De la expresion de i? ¿1, de la ecuacion
.3.É.36), de las definiciones (3.2.37) y la de la
expresión de la densidad de energia en potencias de la
deformación (ver apéndice I), se obtienen P,C’¿¿,C'¿2 y
de ii 35 se obtiene C'13,P y C'zgg dei? ¿2 se ob"
tiene [2'66 y de’Z 2:5, 0'44.
Las expresiones obtenidas son las siguientes:
J: [3.1.1. 'I'9.1.(:5[:.I..1."'|::1.2hl'[3.L.1.J.'l[-3112)+73(—[3.‘L.‘L+'C.'L3+C113)
{-3,12’: [31.2 {'71(Eiza“[31¿"Qui.I.::""C_1.J.J."'C=:22)+73(C1.23_Ciz_c.ts)
¡313--- Cu. -+7mm” Mi“: "'Í31.i"'—312)+ Stein)
Clanes: [3.3.3 4' ¡71(ECJJI- "Li-32:45+22C133) +r7=(4C53+C:-33)
".314: Í3114+7.103.“: +E14-4 "¿3155+ CLZ + DLL) + 73( 25+—_Z'— 2.4a1" :54a.)
Z
L;l (36:: ¡:¿»d14 7 .1.(2LÏe.e.'*'C1.1' “1.2" [-2222‘ C112 J+ (ya ( _C66+C13+
(-2113"_ C1233)...._._.L
"'F'=(CJ.J.+C.L2)71 +[31::?3 = [Él-3.1.1271.+Caz7z(3.2.37)
donde las C'¿J son las constantes elásticas efectivas, de
las cuales se obtiene su dependencia cen la presión:I
(¿€4.13 I31:1..‘l.+[;;1.2'.'c.l.1..‘L+C.L12)A1.+ ("'C11+Ci:s+u.11..3)A.3dF‘
I
(L:J.;?'_'CJ.1+:¿CJL1.2¡{3.1.1.1.';:;::2;2)A1+ (B123"'CJ.2-C13)A:ru'»
1
7" ([-.:.123'+C1.1.:3""C.1¡."' +( (¿1:35:21d!"
¡"-J
68
|
QQ_:._.-:¿—(2C1.:5"'ÉD::5"*‘2Ü.133mi (4C33+szz)dzdP
v
91-2-11- (C.Lr_'.+ci44+cime+ C12+ C11)AJ. + ( C13 +dF' 'L
+ CSJÏC44+CJ44)AB
91854.—'(Écae. "'[Ï11+'312+ 2222*" C¿¡z)üi+(—caó+ciz+ CL13_dF' 2 ¡
C123)A3Z
(3.2.38)
Zdonde A1: (CLS-“CZTJ)/(E11CISG+CL2C33_ECLS ) P
1Y Aa=(13[3.1:s—cii""[3i2)/(Ü33(Cii+ciz)_2cia ) F'
8 El parámetro de Andersnnmürüneisen
El parámetro de Anderson-Grúneisen ¿Sfue
introducido por BrüneisenE57] pero fue posteriormente
AndersonEEB] que 1o relacionó con un parámetro empírico
que aparece en la ecuación rue describe 1a dependencia
con la temperatura del hulk modulus de un solido.Para un
¿rietal isotrópico:
ás 0’ ‘ 1 }_lJJ_E_S_ N :;'__1.._.__ __a 1 nB,_ o; a T F .- q aT. P
(Ï.2.19)
donde 0€ es el coeficiente de expansion térmica, fis y Brson 105 bulk modulus adiahático e isotérmico.
El bulk modulus es la mejor conexion entre la
69
termodinámica ¡y 1a teoria de elasticidad, que se
desarrolla desde punto de vista microscópico.En
termodinámica, las variables son comúnmente la presión,
1a temperatura y el volumen. El bulk modulus isotermico
se define como
E4 -v 4-5:)a v ,- 1.
B (T) v 13 -55 chT (3.2.40).s o .J
C) o
La ecuación (3.2.39)que gobierna 1a variación
con 1a temperatura del bulk moddlus fue propuesta por
AndersonLSB]. a, es el valor de B a '= OK. La aplicación
del parámetro de Anderson Brüneisen que surge
directamente de la ecuación (3.2.40) es 1a predicción de
la variación con la temperatura del bulk modulus, en
rangos de temperatura en los cuales no hay datos
experimentales.
Ehang[59] demuestra por consideraciones
puramente termodinámicas que:
SS 3' _ 4 3.2.41)
Estrictamente esta aproximación vale a. altas
tempera tu.ras .
La derivada del bulk modulus con respecto a
la presión puede enpresarse en términos de las derivadas
respecto 3 1a presión de las constantes
elásticasEÓÜ]
dE“ EL (ÜL1+ÜLÉ’ÉQJ& +ÜEE(QQLL+ÉEAa)“4C13ÉQ¿1 “B Él" X dP dP dP dP dF
donde B = Z/X ; X=C¿¿+C¿2+2C33-4C13 ;1
z=(Cii+Ci2)sz ’2C13 (3.2.42)
Utilizando (3.2.42) y las expresiones
f3.2.38)de las dC¿J/dp, se obtiene 1a expresion final del
parametro de Anderson Brüneisen.5(L:....+«3.z)gggg._+ [-Ï::(C|C¡.i + dc.=)—4c.=dc.; —B aL
x dF‘ dF' ur» dF' dF'
(3.2. 3)
con X, B y Z, como en Fa ecuacion (3.2.42). La ecuacion
(3.2.43) permite evalua 46 a partir de datos
experimentales de CiJ Y de dCLJ/dP_
Limite de 1?. a bajas temperaturas
A LJ) K. mwvndo los modos de vibración de un
fiúlidü tienen Jengitudes mucho mayores que el
espaciamiente interatúmicm, el sólido puede tratarse como
eentinuo elástico [hu], con una sola temperatura
caracteristica de Debyeen cundapor
es '= (rn/k)?" (1'132/"4-uV) ( 3.2.44)
dende V es el volumen atómico y vm es la
velecidad media dada por: ar
SEE/vn,"-=Z1./4r.íQ./v.3) cm. (3.2.45)g oLas v; son laa velocidades de propagación de
las ondas elástica“ el continuo [bl]. Thurston y
Brugger [11] dan_ siguiente ecuación para 1a
71
propagación de ondas elásticas en un cristal bajo una
deformación homogenea:\" ,u' L- ú \. . N N L (3.2.46
P V la Lksh’pm p 'm lá, )
donde (9 o es la densidad del cristal en elestado no deformado. v es la velocidad de 1a onda en una
dirección que tiene coeeno director N en el estado noP
defermade
“¿ppm É: CPS/mb. +112;(CPLWJD’lA + cpmfs' sgh. V2“n
(3.3.47).ygï (Lira?IME gbmg (¿Pá’m‘s €bgdonde son le; eenetantee elásticas adiabaticas de[393 ,MÜL
segundo orden en el eehede no deformado y E son“pompalee constantes elastin;s de tercer orden.
Si X1 son lae coordenadas de una partícula en
eetedo nn defermedo y H1 las coordenadas de la
miemz partícula luego de le deformación homogénea
gral/am 5“ 16“ ( 3.2.48)
Los parámetro: de L..agrangede deformacionlbiJdefinidos Íuneiún de los parametros de
defermaeiún según la eeuauiún (2“5.12):
9.1.1 É: 72, (64.:! |"6-J1 4'; ¿ki €kJ JComo queremos los A_ solo hasta primer3%?”
arden en la deformación, se puede reemplazar 5> 14 en
_-::r:;3‘...4'7)par-f“ .
Las velocidades se pueden obtenerreeolviendo la ecuacion :
“7,, v2 á... mk‘ = o (3.2.49)donde DJ...si“ N N (3.2.50)
km oh?“ P finLa deformación impuesta es i) deformacionlpl
uniforme del area en (M1plano perpendicular al eje de
simetria (desde ahora eje z);ii)/72 deformación uniformelongitudinal a lo largo del unico eje:
¿Lu=¿;y* W)J/Z ¿;.=’72 €11= Ü para i # j
(3.2.51)
!_a ecuacion (3.2.49) puede expandirse y! se
obtiene una ecuación cubica:
X3 - AX2 + HX — C = 0 (3.2.52)
X: f.j vï (3.2.53)donde A: DH“ + Dyy + Dzz (3.2.54)
l.)NH DH, Dyy Dyz Dzz Dz, (3.2.55)B: .4. +
DW I)yy Dv, Dzz D¡_ 1h;
C = DKy Dyy Dyz (3.2.56)
DH: Dy: D22
Las direcciones de una onda pueden ser
referidas a coordenadas polares tomando al eje de
simetria comoeje z:
N =senU cosQ; N}: sen? sen"? N3= cos?Debido a la simetría hexagonal, los C¿J y las
ondas elásticas son invariantes con respecto a una
rotacion en torno al eje hexagonal y el determinante
Facular cúbico (312.52) se puede facturizar en un término
unadrático y en un término 1ineal (¿al
(DHH+DYY)T—0 X + (DHuDzz -Duz2)ï—o = Ü
(3.2.58)
ya que las velacidades de las andas acústicas en el
matado no tJnsionado dependen Sólo de'U y'no de P.
Diferenciandm (3.2.52) con respecto a (L y (2
recurdandu que[27]€=Jz —3logÚJ/ij blog XJ/b7;
find: WQIQgÜJ/sz '_"'"' 31‘39 xJ/ayz
(3.2.60)se thiene
' —1(fi2(aA/D7¿)o «¿tam-o) no + (aC/apnob (aL-"-—aim + É) (3-2-59)
Try_ —(¿zoaaryga LOE/3'72», + (att/672;)5 EL "‘ 3:52,. + 'B) 3.2.60)
Las barras sobrns A, B y C deican que sus
valores se toman en el estado no deformadn. Las derivadas
de A, B y U con respecto a? ¿ y? 2 se pueden obtener de" 2.53) y (3u2.56).
De estas “apremimnes se pueden Dbtener las
74
funciones de Brüneisen para el limite FaüK [7]I
CON
integral
obtener
deformado y luego usando la ecuacion (¿.u.
Éét ÉJÚ“: er/v_,=--7 Ida/VJ:
V .1
¡9"-EN";o — _ n
L Jan/VJ:' ll° (3.2.e1)
las velocidades de las ondas acústicas y 1a
se hace sobre todas las direcciones del espacio.I
Un calculo independiente de'v a ye
H
¡L se puede
cristal
m..
calculando para un ligeramenteHT
4.2.9.1 Desarrollo de las expresiones
Para calcular los valores limites de ¡4' yïflu
a bajas temperaturas utilizandC) las fórmulas (3.2.61),
hay que desarrollar las empresiones de los Ï“, y del“;
(ecuaciones (3.2.59) y (3.2.60)), comoasi también de las
vL(ecuaciones (3.2.460. Para ello es necesariodesarrollar las expresiones de los A- en función de
Oil/pmconstantes elásticas de seoundo y tercer orden. Laslas
expresiones
hexagonal
(—\ Z¡{xx
Aqui Z
(-i¡tu :'
“n-u:
AM .u I
An" z
que obtuve, teniendo ¿a1 cuenta 1a simetría
(ver apéndice I) son las siguientes:
El; + (cill+zcll+c1l2 +012)71+(Clls+cisi72
Cas ""(C1.ba‘*‘C2.-_.a"'ÉÍ.Ï¿.ma+r-:.12+CJ.J.)/7.L +(Üiz-+Czae)7z
(-344 "'(13t3144""17-ÏC1.:"’[34.4)71 "L (C344 + (333)):
' -+([3.¡.22 +B.l.2 '*'[Ï3222+3[322)71 "" (C22:"'C2=)72-\
L .1. .1.
¡344 +(2CJ.TS+CJ.55 '“Ïeam ""ÏÍÁÏ44)7J. + (ETS-3+Cz=e)72
“Itza
Au!" —Ü44 + (911+C12+EJ.44 +C244)I71 + (2‘244 +20344)%
(Lulu = C44 ..+. (g¿5=+ [3.2.55--I (312 +sz)71+(2C44+C23+C===)72
“¿231 = [33.3 '+' (C1.33'*‘U:et'szs'ÏFÍZÏmscs)1 +C33=""3C33) 92
933,33 = C1: + (C1:+C.1::::+Í32:275)71 + (C213+C223)92
“¡ujz = C44 +(C155 443255 ""CÏ44)?.1 +(Czsa +C44) 72
A“)! = [31:5 + (C1..1.:"'C.123'*'C175’71 + (¡3-133 4431.3)72
ARM _ CIM + (CLM-mz.” «43M N7; +(C44 +C:44)7z(3.2.62)
3.2.10 Limite de Ï‘ a altas temperaturas3.2.10.1. Introducción
A temperaturae suficientemente altas, todos
105 modos normales (acústicos y Ópticos) están vibrando
en fase y contribuyen por igual a los parámetros de
Brúneisen:\—
f' _ 1‘3- a ‘6‘"__._ xx H (3.2.63)una; N ) N — T—b=°
T.H.K. Barron [1] define un conjunto de
parámetros-3 :BN
Z..c I f"UA(F)°ÚF _ m1 3109 momn:w-c'_ - _' —'—
27 .1W
WTI
/ h¡""(n)- al?" (mwr - -1 6109 momm (3.2.64)-——_152’__——- _"“—---
' mzw? n 372
¡“:4
donde momn es el nuesimn momentmde la distribución de
frecuenciaau
PL m1 105 Ïq(n) reflejan la
_.' I ¡2. n
76
contribución al parámetro de Brüneisen de los modos deI
aja frecuenciagx‘h1)tUM1 valores altos de n describen 1a
dependenci con la deformación de regiones del espectro
de frecuencias mayores
Comparando (3.2.63) con (3.2.64) se ve que-los
limites de los parámetros de Grüneisen a altas
temperaturas están dados por:v
Ñ ¡"(0) y -—-Ï‘"(CJ)Tam TQ”
(3.2.65)
3fi¿ y {EWpueden encontrarse por el metodosuzerido por T.H.K. Barron [1]: se obtienen los
parámetros K‘ (2), Ü\(4) y Í1(6), hallando previamente
momz, mom“y momóy las derivadas respectivas. Por un
metodo independiente (ver seccion 3.2.9) se hallan
K ' ("“Ï' 2'1' 5Al "rank: Y K " (-5 ) = f "Ton
Con los valores de E«(n) se halla por
interpolacion 11(0)
10.1 Los momentosde la distribucion de frecuencias
¿Los momentos están definidos por :um M
momn miw"? m UÚJ f3“ (3.2.66)Q:I
donde N es el número de átomos.
Para obtener los momentos, Haradudin, Montroll
HeissEÉÉ] citan dos metodos, que se utilizarán en esta
tgsis:l)tre:a de la metodode "muestreo de
77
1) Metodode'la trata de la matriz
1eniendo en cuenta que 1a traza de una matriz
permanece invariante ante una trasformación de
eimilaridad, comolas realizadas en este caso a partir de
la matriz dinamica para obtener los autovalores, 1a sumacoincide con la suma sohre todos los elementos de 1a
diagonal de la matriz dinámica“N\
Para obtener k4) con n pares sucesivos, es
necesario realizar multiplicaciones sucesivas de 1a
matriz dinamica!l y sumar los elementos de 1a diagonal de
la matrix obtenida, ya que
o)“ =-=::e lD|rz.l‘=--=II.-.-.[Dleb (3.2.67)
lefiíel I por ser le} autovector de unoperader hermitico"
Entonces u)“ (el D.D'e}
Aplicando el misme metodo se obtiene(fl“= {e ID.D.D e}
Para obtener 'Ümom2/6’? ,t se hacen sumas
similares sobre 1a matriz de las derivadas con respecto a
las defi.)r'm¿:\.r:iúrls(y 1. (7 3:2. a mom4/ 39,. se obtienemultiplizando la matrix dinamita por la matriz derivada y
Sumando los elementos la diagonal de 1a matrïï
Lyïu|.t¿uwtr3, ‘ya. qtie:
"ó "manu/“3714,) EÏWÏMI/071.)
B mom.«_../3’75 obtiene ¡nui'tipl icando la
derivada nor el nlnducto matricial D.D, siendo D
7B
"Ila matriz dinámica, ya que
' 1.
¿"llamó/9?;=Death/D71=Para obtener las expresiones de los momentos
hay que tener en cuenta que([¿3],[ó4]1:Ch: cos («a/N) Sk: sen (ta/N)
k Cu Su
EN+1 2N+1
impar _1
N+1 N
4 -3N/4 3N/4
ó 1+5N/B SN/B
8 1435N/b4 ZEN/64
Las expresiones de los momentos y
derivadas obtenidos en funcion de los parámetros del
anencial elegido (t¿,tm,k¿,kh,p(pmm+@,los exponentes del|.u:3f:.c-enu.::ja1lelegido) son las siguientes-definiendo el, e 2
g como en 1a sección €14m:1
nmm2= ¿1_{_'|’__'¿i_t_n)_+ 40’). +9243; +/"’ )H E
1 1 1 t 'tmomqn EQ(t¿+th) + ZEÜl + ¿Q 9} +wá(t¿ + tb)+t m z
. 7 M
.J.._á(4:..1.++.-r..)(381+9 + 169192 + Eng: +_nBt 92 +H 3M
1 1 _ t a? a a¡«va «¿45:52 + 2 (¿tí-¿mr 2 + ju ¿La
l 1.mama: ¿gn=,+3220 a + 7,59“ tu + Zïtitb +
r4 M M3 M3
l1.
+ ritbazmw + mar )+ aó4t¿tbm + 480 81 +H" M" M
1. 1- L 1
+ j; <62(420 + + 480 ¿,1 61 + 561 391+M M M
1o
+ ¿75 the; + ha: (76+óO +63F‘) -2;Ltb9¿ +M N M"
1.1 'L
+ 3:0 ¿helez -+-192 f7l 9;. +8¿92 (452+ 1er) +N7. q
29:2 Üfi" + 921“ (59.572-+-4/" + br + 21;”)1.
3m01n2/3?1.== 9,1("-p—.1.) +3 2 112119) (¿L 4' ___)9 121.
Mmm/¡71: JL7+. +ót m;('-óp--ó)+(é>j_¿¿tz_’gn)92[un-(932“ L4'2) r¿.1 M M g 2
‘L 1.
+5 .1. (""4BrJ--.I.IÏ)E3)+013;- [24+18f-12p"4(p+_áflr
1. 1' 1 :1
+3: [::«::u-'9/* (rw-ó.) (1.4%.+ Í“ + ZJÜJ‘B‘r_'| “7 4
7- 1.‘ 1.
'3 Int:!In¿,./37.1.=:(ó (¿iÏht-t) +6131 ¿H “13302) + ¿(EL )+9 Ü 1+M M
+ J.:¿‘.‘Ü...j;1 9.1.(-»-r1_..'.;-‘.---¿pm -+‘B—_.(B—-¿Eth +M 13.9
1. ‘L
nurO 1p ti, -+-33'. + lam _t_1
M |"| _ 1
(1.23 + 1.130,1.+ 40 2) (bt-.1.+90.Lj+Ü; "M H M
L"-1591 '—(J_.’.}3(__t,___-tt,)1-122914-4‘02)(125+24‘01)+2401;; +
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(¿É v Iiïf‘zñ' L-I-a; 13671--»-'Ü-¿(‘z-r-f1%)_)]+‘L1 ‘L
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g ¡"an I H.'.|.mr:-.-H"'i.:) (JE-1! ‘f’I' Q!1'.|...U"IICI .i. e; ¡"t-351;) 1 V .1'_r—.'-_\nd(:3 1 a. ecuac ión
secular (2.4.15) con un gran numero de puntos uniformementedistribuidios (a1 1a primera. zona del Brillouin. La precision
aumenta, incrementando el numero de frecuencias computadas. El
defecto obvio de este metodo de muestreo de frecuencias es que
no se pueden reproducir las singularidades del espectro ya que
solamente se trabaja con un númerofinito de ellas,
LÏHF'I'I ULÜ ¿l
Joscripcion del programa
E1 programa fue desarrollado para calcular propie
dades armónicas y anarmonicas de solidos de estructura
hexagonal compacta“ ¿on el s; pueden calcular, entre otras
propiedades que menoionaremos a continuacion, los modos
normales, las constantes elásticas,su variación con 1a
presion, las funciones do BruneiSEny los coeficientes de
oupansion térmica a diferentes temperaturas.
A continuacion desoribire las diferentes partes
que 1o componeny las propiadades ue calcula.
Esta escrito on lenguaje FÜRTHANy desarrollado de
tal modode darle la mayor flexibilidad posible en cuanto
número de modelos,l y, para cada modelo, 1a opcion de
diferentes valores de los parametros del mismo.
Los datos a entrar, con sus correspondientes
formatos son los siguientes:
DÜT,BL: parametros alfanumericos, de formato Al
mada utilizan para recuadrar la salida de datos,
siendo DDT=*y BL: (blanco).
CRISF,C,D,MH(con formato EOA1,3(F10.5): siendo
EHLSTel nombre del cristal estudiado; C: longitud del eje
do simetria( en Amstrongs); D=distancia entre vecinos del
B4
mismo plane (ÜÜÓl) (en ñmntrunqs).lanto C como D sen las
perámetros firistalográficnfi" MHmmasa molar(en gramos/mol)
NHH,HJH,MESH,KT,KWHH(cen formato 6(12,ÉK)) siendo
HHH el número de relacinnes diferentes kb/k¿ con kb:
derivada segunda del putencial con respecta a la
dmfmrmación para ¿temes en planos (0001) adyacentes y k1
valer de la derivada segunda del potencial para átomes
el mismo plano (ÜOÜl).; MJKel número de diferentes
Valores de la tercera derivada del potencial para los
cuales se va a correr el programa; MESHes tal que MESH**3
igual la densidad de puntos en la red recíproca
tomados para realizar la integral numérica; HT es el
de valeres de temperatura para los cuales se van a
calcular las valores que dependen de e11a;K es tal que si
hr” se escriben diferentes valores de autevectores y
autüualeres; si K=O;HNNel número de modelos para 10s
sueles se wena obtener lee resultados.
LKL (con fermato IE) selecciona el modelo a ser
corrida. Si LKLíÜ: se cerre un modelo de potencial
'iable de 1-3. ferma fi): “¿.I/r'“ +b/r" ; si LKL=O=un
petenc' enpunencial; si LHLJ se corre un tercer
medelo.
igual valnr par; átnmoe en el mismo plano (0001) que para
átmmmsen planea (0001) adyacentes.
T(MJJ) (con formato SFLÜ.4) los valores de
temperatura para los cuales se van a calcular los
parámetros que dependen de la misma, de a Cinca valores
pmr renglón, y MJJ varia de l a HT. Los valores de T(HJJ)
:9 expreean en funciún dw'rfiqb siendo ¿E la temperaturaEehye.
fill 1 Deemripción de lee wvhrukinae llamadae por el pregrama
naincipal
fiiguientes subrutinasEj. pr'2'.\:._]l"'¿9.rnapr"..i..nr.'.i[:\al 115:. lil
:ncialmmnte ELHSI. THEJ HHMDH,DEIJDP, DEBYET, GH,
“LENTE.
HLHEiÍHH,L,DJLEL,ÜU!)
Hut? euhrn+ 'aluula los valores de laa
eláetn de arqundo arden para los diferentes
mudelos elegidoe.
den; 5 HVHHMEHLÜFde llamado a ELAST son datos
leíumfi el prugrama principal, ya detalladas en la
'j.r:\r'.L..1I:-1v¿?. assin'r.'.i.'-'5n|.r_1.dns-1 [IUFWIDN , a saber
EFCÜMHÜN/VHHPÜF/FlhfH,KI,KB,P donde todas esta;
pa 'respmnflen Pl putancial variable. TI=TB=Úsun
der Hadas pri del potencial respecto de la
dfiímrmarión para áhwmn? mifimmwlano (0001) y en
(ÜÜUI)adyacenkea rüapectivamente.
86
IEste EÜMHÜN sun la fialida de la subrutina y
los valores de lasJHDDHÚÜH respectivamente
Hunstantee elásticas C1¿,B,É,L13,E33,C44,Cbó.
ii)3ubrutina TÜEC(MH,C,D,LKL,DÜY)
Esta aubrutina calcula los valores de las
tenstantes elásticas de tercer orden para los diferentesmodelos elegidos.
Todns los argumentms del llamado a TÜECson leidos
el programa principal. Lleva también dos CDMMÜNa
a)CUHMÜN/UAHPÜT/TI,TE,KI,KB,Pya comentado en laHaber:
'uhina ELAST
b)CÜMMDN/TD/E111,CEÉE,C333,0112,8113,C344,0133,
3,E144,C155. Este CDHHÜNlleva al programa principal la
valida de esta subrutï siendo sus valores,reapectivammnte las constantes elásticas de tercer Drden
—. \ u -. -\ --\ \[412225 [43213.0 [-I'J.1.2,! [mi ("1344,- («1.33,- C123, C1445
iiijfiuhrutina HÜNOK(HAHMÜL.ÜANHMÉ,DDP)
Esta eubrutina calcule laa limites a bajas tempem
aturae de ¿me düfi parámetrmfi de Bruneisen independientes
GHQÚHlas fórmulas (3.2.61).
Pe a realizar10,e5 nmcesarimcalcular las integra“
de! numeradmr y el dmnnminadmrde las fórmulas antes
¿iünadaeu La integra¿wu realiaa utilizando 1a
¿gina [IJK‘II'FuLaELLhrLtizi-naHA'Í'Hnecesita que, la función
B7
a integrar eee ¿enlarada teme proposición EXTERNAL.
Lmr alerefi caluuiadms se llevan al programa
prinuipal mediante 105 argumentos BAMMALy GAMMAEque
reepectivamente valen -Éth< y ÏCQOK. DÜTes una lecturadel prngrama principal ya comentada.
La eubrutina utiliaa asimismo dos CDMMÜN:
a)UÜMMÜN/TÜ/E111,C222, C333, C112, 0113, C344,
u133, C113, U144, C155, ya comentada en 1a subrutina TÜEC.
b) CÜMMÜN /EL/C11,C12,C13,‘33,C44,Cóó. Ya
aumentado en ELAST.
. \iw; Suhrutina HATH(XL,XU,EPE,NDIH,FCT,Y,IER,AUX) [63]
utiliza para realizar la integración mencionada
el item iii). Se realiza la integral der FCT(K,evaluandu desde XL hasta KU.
“Aintenrtm se realiza aplicandü la regla del
trapecin en conexión con el principio de Romberg . La
funciún a integrar debe su: llamada coma EXTERNAL.
Lua argumentüe de la llamada 50H:
XL limite iníerior del intervalo a integrar (enuuemtrn caen Ü)
Kunlimite superinr del intervalü a integrar (ennuestro caen 1)
HIGHerrnr ahemlutn máximo (el valor propuesto por
l'lÍ.)'.-T-3(Í."Ï.'I"CJ'.-3es (L3,.lZflÏ‘J.)
BB
hÍELCCiDHESdel ïntervalo (XL,XU). En nuestro caso NDIM=15
FEÏE nombre del subprngrama FUNCTIUN
u;adn,declarade came EXPERHÑL"
Y: el valor calculadn de la integral.
IERm un parametro de salida que indica error. Si
IEHwU hubo errnr_ Se alta el resultado con la
Drac EiÓH requerida.81 Ififiml se indica que fue imposible
al resultadu debido a errores de redonden.Si IER=E
impüfiible lograr la pre deseada porque NDIHes
que 5 o porque .a precisión requerida no pudo ser
alcanïada de HDIHml pasas. NDIH debe ser
Y:r"'t.-:-:-n\e|1 '|:. .-':‘.=.la. ..
üUïW "mula auxiliar de almacenamiento de
NíJnEH‘eixbn IflILIP
íïmtt‘rlllzj.rls. IFCI-ïIJF'(I)lJI')
aubrutina calmula Jn: derivadafi de las constantes
elástica; aspecto a; 1a presión: 3C¿¿/6P, bfilz/BP,
F-'_.B F‘, B [SMP/BF",3 [Lam/6'F' (für-mulas (3.2.38) y
¡_zï.‘.m|.i):ï..z.‘-.\nn]. par"c’3nnz=.‘tI"'t:3de Anderson“Bruneisen 2. 43-) .
El argumenta de llamado a esta subrutina es una
lectura do} pregrama prLteipal que ya fue comentad0.La
embrutina pegue CÜHHUNa saber:
CUMHÜN/DCIJ/ DClLDP, DElEDF,DClEDP, DCbóDF,
*, T44DP, fiHD . Lluxa al programa principal los
vaimres de ealida de 1a wuhrutina, que sun respectivamente
la; derivadas cen rms.ecto a la preeión
dtll/dP, dCiz/dr? dCiE/dP, naaa/dr,dt
<fi.)E3 g Lil.1
h)
comentado
c)CÜMMÜN/TU/B111,
:de, C123, 0144! El
Tanto los
datos Hece
.mo, el
1
CDMHÜN
El"! ELABT
saria para
55"
C'Ï(‘leflHJI'l
lee
parametro de
ÍFlJL
Ya f: (23"
h)
calculos
P H m ,..¡__-..:‘...2. g- g
B9
7'7‘1 u." -_Ï' /dP, dC44/dP y ‘S
Anderson Brüneisen).
;il,C12,ClE,C33,C44,Cóó. vc
usas, C112, c113, c344,
yentado en TÜEC.
como c) son la entrada de
en esta subrutina.
i)3uhrutina DEBYET(ÑHÜHV,011HC12,C13,CSE,C44,EUTDFF)
Es
de
I l'Ï.’
F r ETICIgent: .'.¡.¿.4
o.)
'l" r:3.
Debye que
rmalea de
de corte
w(en2)1/e
subrut ina
luego
esta
{1?
c:eal.c:!ill
i" [17! '
dada
sz/V)i/3
a la frecuencia de corte del
a utilizada para calcular losla subrutina GM. La
por:¡1¡L .4.1)
siendo vm la velocidad media de propagación de las ondas
Y
elásticas
dadas por
orden
causa
el
alrededor
cuadratico.2
en
de
esticas
a a” 3¿Iv Efiliü do)
“" o -T' Qw(2.4.2)
v3 son las velecidadades de propagación de ondas
¡73H el
L"las tres
Í-E‘
E‘ la sime
l
¿ontinuo
raice:ir)\/c)l!ic:r'
tria‘55 C) I")
del
[éld
¿‘r n EE‘H
nmagonal,
inï.) I'"
eje hexagonal
J. Estas velocidades estanel determinante secular de
general una ecuación cúbica.las velocidades de las
iantes con respecto a una
y el determinante
puede factorizar en un termino lineal y unoEstos factnree
-\ 4 v1 \ l --vr La“ 4 QJLHJ “la -2.C44)mu (2.4.e)
L 11 . 1- ."f ‘v‘ 'I"Í.._-¿111) ‘l ("latin _:::""L‘44 ,' m n r'l
L t = o 2.4.4)([::,1,;-:""Í.:44)Ín.l'l “r” .L:.-_-.:-::I'|+C44m
u::.Ir_')ru.1ee esa la densidad, m=='senb y n= cose y 9 es el ¿un-
gulo entre la direccion de propagación y el eje hexagonal.
Complas velocidades dependen solo de e, 1a integral
( '._-:‘.. 4 ..Ï.Ï.-‘.) ran sfor'ma en :ll/
_’
u z ¿eggs¡m made)"5 (2.4.5)o 8-. l
Ademas1a integral sobre v; puede resolverse exac
tamente. dando:' Wï
"5 senvdü m (f/li-MJT"2 qúl 2-4-5)odonde u = (C¿1”C¿2)/(E.E44)
Para resolver 1a integral correspondiente a v2 y
se recurre metodo numérico, utilizando 1a sub
QHTHpara ese fin,ya mencionada anteriormente.
Les argumentos del llamado de esta subrutina son:
RHÜ: densidad =2.m/v ya que hay dos átomos por
celda unitaria, con m 1a masa de un átomo y V el volumen
de 1a celda unitaria
V el volumen de 1a celda unitaria
C11,E12,C13,C53,C44 son respectivamente las
constantes elásticas C¿¿,C12,013,C3=,C44
CUTDFF=es 1a frecuencia de corte, salida de la
Huhrutina.
vii) Subrutina GH(Ql, QE, dz, nn, c, D, ALFA, BETAl, KT,K,
9L
D01, EUTUFF, HÜHÉ, ÑDMüg HHth DHUHQI, DMDTEÉ, DMOM41,
UHUHGE, DNÜth,.DHÜHbÉ, WTTUl, BETÑÉ, WT, T, LKL). [64]
E esta eubrutina me calculan los modos normales
de vibración con sus correspondientes autovectores, las
contribuciones de cada une de ellos a los parametros de
generalizados Kai . Tambiencalculan los parame
de Brüneisen y los coeficientes de expansion termica,
para tedae las temperaturae a las que se desee. La
tm-emperatur-ame especifica como funcion T/ep, siendo en la
temperatura taractarietica de Debye. En esta subrutinaLambien se calculan los momentos de la distribucion de
frecuencias de orden n (n32,4,b).
PGFL realiaar el calculo de los parametros depen
dientes de la temperatura,6",€",q',q", es necesario realizar una integracion en el eepacio recíproco. Cuanto
¿a la densidad de puntos, mayor eera la precisión
del reemltade. ñ temperaturas muybajas es necesario tener
alta densidad de puntoe, sobre todo cerca del centrode 1a zona de Brillouin. Nosotros hemos dividido 1a zona
de integración en doe, una exterior y otra interior,
_¿niendo la interior,1inealmente, una densidad doble con
'eepecto a la exterior(ver seccion 3.2.5) .La subrutina BMcontiene a su vez ó subrutinas:
SETUAL, AUVAL,HHHE9U,BNPHD, BHTHIZ, y HIGHTE .
Lee argumentea de eeta subrutina son:
{i M
lLos cuales se calcularán las frecuencias de vibración.
MH,C,Dmlectura de datos del programa principal,
ya comentados.
ALFHHarreglo de dimensión KT. Cada elemento es:
ALFñm E HT A? e“ (eau 1.)2a-“ .. ..con r: FHEL.UUIÜFF/1
BETAÏL“ ÏHT. ÍjfilMflfll {"1"2le“ (en - 1)’e
0+9
HT,H,DÜT lectura de datos del programa
pr:i.ru.':j.1:.\a1,.ya comentados
EUTUFF= frecue de corte calculada en 1a
muhrutina DEBYET,necesaria para realizar los calculos
MDM2,HDM4,HUM6m los momentos de 1a
distribución de frecuencias de orden 2, de orden 4 y de
ó respectivamente multiplicados por su peso relativoHT.
DMÜI’IEJ._.DMDM41,DPIClMól:son las derivadas de los
momentos de la distribucion de frecuencias de orden
dos,cuatro y seis respectivamemte respecto de la
deformación en el plano basal, multiplicados por su pesorelativo HT.
DNUM22,DMÜM4E, DMÜHóR=son las derivadas de los
momentos de la distribucion de frecuencias de orden dos,
cuatro y seis respectivamente respecto a, la deformación a
largo del eje de simetría, multiplicadas por su pesormlat vo NT.
WTTUT: parámetro auxiliar igual a 1a suma
sobre todas las fracuencias de sus pesos relativos WT.y.
I-.Ir'm|'-= Z “’Tm)3;mamar- ZNT (¿mmm A?- e“ (eA —1)=
3,5
NT: peso que posme el vector de onda q, según el
lugar en que eaté En 1a región a integrar. Ver en el
capitulo 3, sección 3,E.5 ). Dicho parametro se calcula
:n el programa principal.
Tïvalor de temperatura para el cual se realizanJHS Calculua.
LHLWparámetru leida en el programa principal, ya
aumentado.
Esta subrutina pasee también una proposición
ÜÜHHUH/VÑHPÜÏ/TI,TH,KI,HB,F ya comentada en ELAST Y TÜEC.
94
la matriz dinámica.
MH,H,D= datos de entrada leidos en el programa
principal, ya mencionados.
VH,VI= 1a salida fiel programa y son arreglos de
dimensión VR(N,N) y VI(N,N), siendo N el orden de la
matriz dinámica, en este caso ó. QRcontiene 1a parte real
de los elementos de la matriz dinámica y AI 1a parte
imaginaria de los mismos.Es una matriz hermitica.
N: dato de entrada y es el orden de 1a matriz.
Lliïl.mdato leido en el programa principal, ya
comentado.
La subrutina lleva también una proposición
CÜHMDN/VAHPÜT/TI,TB,KI,HB,P, que ya fue comentada en
ELAST.
'Li) Subrutina HUVQL(FHEC,N,ZR,ZI,VR,VI)[65]
Esta subrutina calcula todos los autovectores y
autovalores de una matriz hermitica compleja por reducción
a 1a forma tridiagonal real simétrica. La matriz compleja
armítica se reduce primero a una matriz tridiagonal real
por Nufi transformaciones unitarias y una subsecuente
transformacion diagonal. Los autovectores y autovalores se
derivh posteriormente. Dentro de la subrutina AUVAL,los
pasos sucesivos se hacen dentro de las subrutinas FÜEAXF,
FUEBEF y FUEGYF.
Los argumentos de ñUUñLson:
dimension FREC(H), siendo N el orden de 1a matriz=ó en
este caso.Cada uno de loe elementos de FRECíN)sera uno de
los autovalores de la ecuacien equivalentes a OJ;7gy1siendo 03 la frecuencia de vibración y M la masa
moler.
N,VH,VI= datos de entrada ya comentados en SETVAL
ZR,ZIe salida del programa. Son arreglos
hidimensionales ZR(N,M)y Zl(N,M), donde M=N=ó. La
frecuencia FREE(N) ¿orresponde al autovector
ZH(N,N),ZI(N,N) Ton He1,É...h.Loe elementos de ZR son la
parte real y ZI la parte imaginaria del autovector.FOlECF reduce le matriz hermitica a la forma tri
diegonal, cuyos autovectores y autovalores se encuentranusando le eubrutina FÜEAYF.Esta transformacion no da una
tridiegonal real, ya que los elementos no per“
tenecientes a la diagonal son eomplejos.La transformacioneubeecuente se realiza en le subrutina FÜÉAXF.
Los argumentos de FÜEñXF(AR, IAR, AI, IAI, N, NH,
UH, IVH, VI, IVI, NHL, “Mi. NES, IFAIL) son:
HHH arregle reel de dimension (IAR,P) donde PFKN.
Es un date de entrada y debe mantener la parte real de la
hermltice. Solo ee debe suministrar el trianguloillfen"ior' HE?le.tnat1ï
lüR: entero" Dato de entrada que especifica la
primera dimension del arreglo AH. IARF=N
Alu Arreglo real de dimension (IAI,G), donde Q?=N.
Dato de entrada que contiene la parte imaginaria
96
de 1a matrj hármiéica. Sólo se debe.proveer el triángulüinferior.
InIm entero. Data de entrada que especifica la
primera dimensión del arreglo AI. IAIP=N
N: entera. Dato de entrada que especifica el ordende la matrix.
HR: Arreglo real. Dato de salida que contfi.ene losautuvalnres en arden ascendente.
VR“ arreglo real de dimensión (IVR,R)d0nde R}=N.
Equivale a ZR de AUVAL
U1 equivale a ZI do AUVHL.
IVR= Enteru. Data de entrada que especifica 1a
primqra dimensión del arreglo VR.
IVI= Entern. Dato de entrada que especifica 1a
primera dimensión del arregla VI.
HH1,HH2,HH3=arreglos de orden N,auxiliares de
Frabajo.
IFAIL= Entern. Como entrada IFAIL=0. Si 1a
diagonalización fue corrmcta camu salida IFAIL=Ú.Si
IFAIL=1 ¿iqnifica que más de 30 iteraciones
pala uhtennr las autovalnlwa
'u) Huhrutinu H16HFE(MUHÉ, HHH”, MÜHé,. WTTÜT, DHÜMEl,
üHUHPÉ,DHUM41u DNÜM4É, DHÜHól, DMDHQQH DÜT, GAMMAl, BAMMAE)
Eüta subrutina calfiula los valores limites de losÜÜE parámetrms de Grünnjü@ua altas temperaturas utili"
tando el método de nombren de raices (ver sección
97
se utiliza el formalismo de T.H.K. Barron
[ljpara obtener Ïïo) es necesario hacer una interpolacion,
6A(-—3),(‘(2),K‘(4) yY'te) se obtieneb/Í (0 ). Lateniendo
subrutina HIGHTEllama a su vez a 1a subrutina ALI que
raliza la interpelación.
Todos sus argumentos ya fueron comentados en GM.No
posee argumentos de salida, ya que dentro de ella se
talculan y escriben los valores limites.
Subrutina ALI(X,ARB,VAL,V.HDIH,EPS,IER)[64]
Esta subrutina es .lammda para efectuar 1a interm
palacio”. La misma se hace con el esquema de Aitkens de 1a
interpolación de Lagrange"
parámetros sen los siguientes:
El del argumento especificado como
entrada.
AHHs El vector de entrada de dimension (NDIM)de
los valores de los argumentos de la tabla,NHL“ Vector de entrada de los valores de 1a
función de los argumentos de la tabla
Vs el valor resuliante de la interpolación.
NDle valor de entrada que especifica el número de
puntos en la tabla (fiRB,VñL).
É una constante de entrada que se usa como
Jimite superior para el error absoluto.
IER'=parametro de error resultante.
9B
ei IERÉflfee posible llegar al valor interpolado
con la debioa precision. Si IEñrl, no fue posible llegar abuen rgeultado JDF de redondeo. Si IER=2 Fue
imposible obtener buen resultado porque NDIMes menor que
o porque no ee pudo obtener la precision requerida. Debe
incrementarse NDIH.Si JEP=3 el procedimiento encuentra
dos valores de argumentos en el vector ARG que son
idénticos"
Mi) Subrotine BMPHD(A,H,R,H.H,L) [e41
llama para cálculos Loxiliarns internos, ya que
multiplica matrices de [mxnjx[rxp].8e utiliza paraFfllEUlaF las contribuciones de los modos normales
. . ¡4 4 .independientes ( ) (o.s) J "ECUáClÓH2.4.22 - a los
parámetros de Brüneieen goneralizados.
parámetros eonr
nm nombre de la primera matriz de entrada.
Br nombre de le segunda matriz de entrada.
522::nombre de 1nel:.r'.i.zresultante.
Hr número de files en A
H: nL’mlerode columnee en A y files en B.
LH número de columnas en B
mii) Subrotine BMFHIZ(HH,F, D, Hi, UE, 93,8R1, BIl, 8:2,
LHL) contiene elementos de las matrices
dorivadee con respecto a les deformaciones independientes.
¿ada elemento de ellas contiene la derivada del elemento
99
1.de la matriz dinámica respectivo.
¿es parámetros. son:
MNBE,D,01,QE,QE,LKLH ya mencionados en GM.Datos de
.Nltrada.
Bül, BIl Arreglos de dimension (6,6). Dato de¡b
salida. que contienen los elementos de la matriz "¿Jam/¿esÜHl contiene la parte real y BIl la parte imaginaria de 1aJ
a, siendo é una deformación en el plano basal.
BHE,BIÉ. Arreglos de dimension (6,6). Datos de
la Á)salida que contienen los elementos de 1a matriz Iblqb sBH: contiene la parte real y BIE 1a parte imaginaria de 1a
siendo S deformación a lo largo del eje desimetría.
uiii)8ubrut'na HNHESU(WH,VH,VI,N,ZZ,DÜT):Escribe los
esultadoe. En un archivo se escriben: 1) el cristal; E)
el modelo elegido; 3) los parámetros del modelo que deben
darse comodatos de entrada; 4)1as constantes elásticas de
segundo y tercer orden; 5) las derivadas de las constantes
elásticas con respecto a. 1a presion; ó) el parámetro de
Andersonmfirüneisen; 7) los momentosde la distribucion de
frecuencias; B) las derivadas de los mismos; 9)los limites
de K4 a temperatura tendiendo a 0 K; 10) los limites de
altas temperaturas; 1]) una tabla de valores donde se
explicitan las temperaturme elegidas(como T/ (9 D) y los
respgctivos coeficientes de enpansion termica d" yqí'y losparámetros de Brüneisen‘independientes respectivosÏ? y 61.
lI 4
v1I 1'...
En otro, archivo escribe las frecuencias devibración y- sus autovectores respectivos para undeterminado numero de modos normales.
Este archivo se crea solamente si se da 1a opcion
para ello.
Sus parámetros todos datosson de entrada,I ya
cuplicados en subrutinas anteriores(GM,AUVAL).ZZ es un
parámetro interno de trabajo.
A continuación expongo una copia del programa
antes descripto.En la página 134 hay una copia de una
entrada de datos y de 1a página 135 a la 137 transcribo 1a
salida de datos corrEspondiente a la misma.
No muestro una salida del archivo correspondiente
las frecuencias de vibración y sus contribuciones
respectivas a los parámetros de Brüneisen por ser este muy
expenso(más de 50 hojas).
El programa
1 C)C)
MULÜUOIOMULUOOZU
DPHQLN| Nulr‘ï CALFHLAT’Q nï2A41LA| xan anunr4umlc PARAflhTtRS FGF MUL00030A” “Lxxw"ï*L LIVKl-Panru LATIICF. 101 MULOOOáO
IT rHHHI TPS FFF FIIFFFFhF Ur)FlF 7HfSFN: TFF SthND ANC ÍHIRD MULOOUEOHP”LI I‘erïc (HNSINHTS: IH! AWHL"(“Y—5RUÏNLÏSFÜ PAPANEIEH; THE MULOOOóUWL"IV«IIV!3 ur 1IE Flüñllt (“hHIKrIR MIT“ Ptbnluï IU PRFSSURE: IHEMUL00070IP“ SH” “|‘“ [FWFLDAIUÜE LI*H‘FQ(JI HIV THY thEPFhCENÏ GRUENEISEN MULnOUBO“A”\|7TIV': TF! HHH!'T\ r Tur ¡HF"J*JKY “lSïnIHUTIHN; ÏHh NÜQNALMULOOU°0"rnr< “I ”|”“ATIÍh «Mr 1%» lluFHVtrïnvi rrL A FFUHIAP WFSF IN THE MULOUIUO'Írfl*“W ti! | ‘1TI(E- MULÁMJIIU
MHLCOlzowAïa IJ“H| MULUUIBOII THr ww n= ur FRYGTNIR MULOOIQULPIST IK 14* (“YCINI H\4¡ HULODISÜ1 Hlfll\”‘| Wrïuklr NiIüH”lL“S IH 1l“ SA”! C|AH¡(A) MULOOIeOr: SY‘ïiï'Y AXIS Lnlñïfllfi) MULUOI7OIA: Muü'“ ur “Crllj T” \| "HL MULOOIBO
Lvl 2"IL'IS [HE HFW'l TI rr “'N; l' LKL<r2 VAPI\ÜIE PUTFNTIAL MULOOIQO‘WWHï H W“'"PU-JPJI< WY”?): l! lKL-"z IYDHhtJllAL PUTENÏIAL: IF MULOOZOO¡V|>n: \w!¡nru vrny| MULUUZIU
í»: 1M» VARIAPL‘ PIrLHTlAL Hr“-I: MUL00220Hnw rus 11H v nr Lïtlvvvw1 HLLFIIWWS KH/Kl MULCOZáOVI? SEF'HH wlvlvfïv FF IHt PIIFHÏIrI hIÏF F[S”ÍCT IU THE MULOUZQOHISTAHF' r” ATHHH IM TH. ¡AVI “Lflhí PFRPFhUlLULAR Tn THE SYMMEIFYMULOOZSU“VIZ; Y? SILUND GE’IVAIL FI IH} rr!LN11\l WITH “ESPFCT 10 THE MULCDZóUnIQIaWr; :¡u Aïnvfi 11 “IIY¡VLKT PIAELS MULOOZTOWJV “l‘r=“l"l VAIUkK HL 1 MULOOZBU
MULUUXQUKT: “I'lïyfwl VMUq FI lHi PLlAïlf’ T/HtFïr TFHDEF01UREFCR NULOU3UOVHlUH TT' ñWJHFlSlN “\”A1L|rHS Ahí LALCHLAILU:T:VALUt UF THE -MULOO310VVLNT'UP 1P!“r“\1UP“/WFWYE IFP"FPIIWPF MULOU320WISH IR 1”!” THAï WYÑH**3 IS !WUA| IU INF EFNSITY CF PCINTS IN ThEMUL00330'PCI””“(NI I\IIICL TAKFMIL IIF JU‘OFICAL INÏE"?AL MUL00340v ¡a 5u¡u 1HA1 II K ru. 1 THL “ICILVRIHFS IAB tlnEthCTHRS ARE MULOOBSO“rI11L“: ¡I “LT, K: fl MULOOBóO
MUL00310MUL00380MUL00390MUL004UO
'11*fiïll* KLTAllIUU).ÑA4(«,100),fkl&l(?n),1(IOU).ALFA(100), MJLOUélU‘TVYP(?.|1”).“U”K(1).Rfïfl?(104).AUX’(?C).Nl>4(20)yAUX6(20) HUL00420¡x1r”wfll 'FT.íCIl.iCT7 MUL00430Fru 1‘H’hk“,“HW.M'W,=HV Muumqao(rv1vw /v'rvd|/ 1I.Tv.«|.ur.r MUL0045Orál=l:!J /LI l "1 I.(.1 9.! 1 ‘o‘ 3'!.L'«ï.('ó*- MlJL(Jut+ó:)CHWJIM/1'/f|]!.(z?“.(4ïï,uïl¿y(117.(}úú,C]¿J.([(ByL144.L155 NULOO4ÏOrl‘W1v"I /1"ï l/ :HZII'H‘,“f[2Il”.|ÍL13I?f.HCrflJH‘.[f'llRP. DCúfl'M’.APH) MUL(XJ480
MIL00490NULÜOSOJMULOOSIUMULOUSZO
FMH‘H"! "‘I,i'-| NULUOSZÚrrnwxï(‘l.*l) MULOUSéUFFA!‘ (7,“')|I "(ILHQ‘É‘ÉQI
III]
77777
A,
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LH‘ITL(’,I')( 'W'IJ l ,I=|.|:n n"lul.( an,IW ,I=l.lG).Cfr,Df1.ULT, MULOUGLOinfll MULOOOZOu: wn¡n'= ‘r [ur LP|T\P7 LLII(Ar"I"!hG); KrrthHSITY(GR/Aün3) MULOOGECV?‘J”“Í'.)/“. ürNNl. MJL00640'"¡u .-- 7, 'I'I MULCOÓSCnraw(ï.°>);“w.41u,"T”.hl.V.ï’ H”L0066“¡rP'\T("!!‘.‘X)) NULOOóïonr ¿a? 'h:l.:u MULGUÓHUPlan(ü,"11|q[ NUL00690IF(l“|)l!'1."“2. MULOOTUO(U?Il“““ HULUOTIG1rnrl 11; V‘DÏAIL' V"r'”1lfll NUL00720ELIIV(',‘H))HI,L,D.EÍF,WVT,HPI,WV1.W“I,UHI.UVI NULCDÏBUFP"“1T('].!‘Y.'E = '.Lb.fi,1x,‘\'."V.'E = ',F6.fi.lx,'A'.12X.A1,/,A1MUL00740‘gl"Xq"'""=Ïl\"LL"Í ¡[WT-"H"::'.I"l"l7"«l’/'Al'lÉÏX'Al'‘/,\l,l“(.'"H|(") = -A/“í51 4 P/“ñ*fi'.23K.Al) MULOOTÓOt]: n, MULOOTIO1p: u, PULOOTBOTI:I¡n“l w PIVArt fF 1HI PLIFhTIAI “IIF PLSDfCI IU ÏHE ÚISTANCE MUL00790rnv Arr'ñ 11 rw; <A4F Punt» "!VPLRV|CUIAP IU IFE SYMWFTRYAXIS: MJL008001r:¡1""1 “¿VlVATF HF THI PKIFHIIAI JIIW DrSPELT TU THE DISÍANCE NULOOSIOrn" xl “fl IW hÚJfirkkï "V‘F!“CI(UIÍV Plbïtfl rr ÏHF SYMMEIRYAXIS. MULOUHZGTI=IH- . "A”5 THF V“Hl|¡h“|Uï PUFïÏlHN MULOOBBUur QJI JV;],wñn NULOOBQOktrn. MULOUGSOVP=U. MULOOBóO"FHHH''-')F|'K|!!P11f(/,!I)WHI,K1,KH,WHI,HIl,!HT,FFT.U[T,FIT,HÍI.UCïyDnT MULOOÜBO
Cr WI 77"? MUL00890MULOOOUC
rwuïvwnt NUL00910'rymmuw I 4| "HH?! l l'xl '|I"H| NULOO920Tur HAPHW'IFHS n¡ IHK 1I|Ll WLPHII fHUf[ MULOUQZOnn 1H 7*!‘7 FULOOQGJ
lvUL00950rnHIIWH! HUL00960IFL 1HIw4 mvlgquml “PPI MULOO°7OTHF 9AW\itfPRS HI TH? W“)+1 ;IPH|¡ WI AHHH HUL009HO
CHHTIHHV HUL00990RU”FPUIÍ'” ¡LhST "‘1DR ‘W! IHL“"‘IIK4L ELNSÏIL LUNSÏAMTS FOR ÏHE NULOIUUOWFWII "”“‘" MULOIOIO"—). NULOIUZOrnq| ¡Ist!(11,t.l.lul.1'ï) MUL01030|r(|vL,:?,)) sr ¡r :"1 MULClOéOun vw] «¡Iw¡,wJK MULOIUSU” IS A °\"ï”rr%‘ "I Tbá llN4ñïü Jfktk “Híhhllfil(”+N) MULOlOóCvrn)(:.>v-)v MULOIUTOun]]V(l"TI)W“T'P,FH1.HJI,“!I NULOLDQU(í\r" l D!II;_rAI. r-Ir ('¡.r.v,|«¡,w.|)
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HULOIZSOMUL01260MUL01270MULOIZBOMUL01290MUL01300MUL01310NUL01320MUL0133OMUL01340MULOIBSOMUL01360MUL0137OMUL01380MUL01390MULOLQUUMUL01410MUL01426MUL01430.MUL01440MUL01450MUL01460MUL01470MUL0148OMUL01490MULOISOOHULOISIOMUL01520MULOISEUMUL01540MULOISSCMULOISÓONULOISTOMULOlSSOMULOISQONULOIóOOMULClólCMULUlóZUNULOlóiUMULUlóáUNULOleO
¡r (WL”.I”.H.)CH TH IW” MULOIÓÓOCï=”“‘/”‘Ï”l MULC167C”°TÜ“ï/“Y°”l 104 MULOlóHO“2: -"“J/(”YSPI) NULOIÓQOIF(Q3.ÉI.W.“) ¡C T( l”? MULOIÏOUIF((HP"?+7.*MRR1).CÏ.HESIl)CÜ TF [(7 MULOlTlOIF(NNPI.ÜI.(Ú.?5*“FSUI)DGD 1V IO? NUL01720LAIL n”(C1.02¡C3o"”,f,flyfll|A.FFTfiloÜANoKToKyCU].CUTUFF,MUMZ.MÜM4.MMUL01730
:pHL’uwvH)|,WHu422,HWn”a1,H“L44?'H”L451y)MÜPÓ7vkÏTCÏIBEÏA21HT'T' MJLOI74O’DlKL) MULOITSO
CPMTINHI MUL01760LENTIW'L NUL01770HC ??? h”1= ].h” MUL01780W“ TR) “‘Í= lyNW] NUL01790HF CHE W”'= lyNW MULOIBOONo1= Hïl-I MULOIRIO“"2: “19 -l MUL01820NQ]: Hr‘ - 1 MUL01830hFIGHÏÉ MUL01840WI: ?6. HULOIBSO¡[(HW‘.FU.J.”R.NF3.YÜ.(WFSF/?))Hl= JT/Z. MULOIBÓCIFIN“?.I”.W.)hÏ= kT/7. MULOIBTUII'H'WÍ‘7 * ?.*N”l).F0.WFSH) MI: NÏ/5. MULOIBBOIFlN”1.E".HP¿) W]: HT/7. MUL01890ÏF(NF1.“”.“.ÑhD.NQ2.FO.Ü) h]: HT/É. MUL01900ÏF((N"“ + P.*NQ1).FQ.WFSH.AUU.WR1.LÚ.NQ2)M|= (hT*2.)/3. MUL01910“I: ““1 MUL01920VP: HF? MUL01930P?= “P1 MUL0194C“1: p1/1"“?! MUL0195002=-P?/ZWFSP HUL0196003: Q‘//”ISH MUL01970IF((H”?+9.*NN1).GÍ.MPSH)G( 1V 77? MULUl980.IF(”I.LE.(Q.?3#ZMFQH)) GP 10 ?2? MUL01990IF(03.CI.J.5)GC ÏF 227 MULOZOOC[F(Dl.”1.fl.“) Gn TU 227 MULOZOIOl.;"(?lyn?1030”“,(,0,ALIA’ l'ÜAMyKT,
mfiM5,HHP“)ï.“4C”27.JWPVGI.ENFV4?,UNFV61yDMCh6?.HTTUÏ.BETA2.HTyTy MUL02030aLKL) MUL02040
CFATIRHI MULOZOEOCALL HIUH1L(4HM2,HU14,1Hüé,wïINT.F”UH21.D”CNZ¿,UMUNfil.DMCN42y MULOZOÓO
HDMWMKI.H““4f?,CHT.Cfi“WAl.GG”1A7) MUL02070w"!ÏF(AvRW%)HCT.DL1,HíT.WI1 MULOZOEC“FITA=(V1I I C12) ü C33 - ?.* Flá**? MUL02090rrnu«r(A¡.Iñx,'PPLFLr1[rü 1FWFFHNÏ!F UIPFAUtNT',12X,Al. MULGZICO
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fl/9A1,91X,'l“ K*”/KI ENIÏW'12l>y“l/s MUL02310nAlyÜVv'(V ¡É ÏFF DVL17MAWN(HPÉTARI, H ïfit HdSS)'.EX,Aly/. HULOZ320“197Y.'1"”“./“FWYF TF“P.'.QX¡'Pïnrï”n.'v2x.'”&PALELl TU THEZ-AXISMUL0233O3'13X.41) HUL02340“PIT“(/y’¿“)( EIÏ'PL .I=],?Ü) MUL02350FUPMAT(?U(\1oA1)) MUL02360(ÜNTIHUF HUL02370CCNTlHHt HUL023BOQTHP MUL02390FNÜ NUL02400
MUL02410SUHUÍHJTINrGH(C1.Q?,Ü3.*W.L'U,ALF”1”FTÓI¡GÍV1KT'Ky[CT'CUTÜFFyMÜHZyMUL024ZU
*MÑM4.104”.HHHN2].ÜHHM2?.‘Mfi“úl.anN37,)WU“€I,OMUM62.HTTOT. NUL024303%F1A2obïyTyLKt) MUL02440
PFAL “"12.HU44,MUM6,“W,KIyKH MUL02450CGHWUN/VAFPÜ]/TI.TB,KI.KH,P NUL02460WIVENSIÜNWH1(6.6)'EPR1(391)yh(6).Cïl(h.]lyPR2(ó.6).EPR2(6,1). MUL02470
#CÜFF(A)'AI(Üc1).”11l6y6)yGAW(2y1qC).HIE(6y6)¡Gl2(éy1)yGRR1(1ylly MUL02480>*-H?1(ó.1),FIl(bv1).\/P(5,n),Vl(c.b).l”E(L(ó),EETA2(lOC).GRRZ(1.l)y MUL02400#[IÏ1(F.1).LÜIST(FC),ZP(b.6),¿IIC,h).E¡12(fiyll’fR2(6yl)yFll(6vl)y MULOZSOO*CUFFT(L.IÜW),I(l“0).ALFA(100).”[Ïfilí100),VH2(6,5).V12(6,6), MULOZSIO92°?(6.Í)./I?(h.ó),FPFC2(bloVIf(0,0).VRI(6.¿)'VRR(6¡6).VII(6,6). MUL025203VRPR(67*).VII1(6y6).VIIP(6,“).VIRIlñ,fi).VP4(óy6)¡V14(6o6), MUL02530?Z°4(F,A).!Iú(6.ñ),LREC4(0),GANWA1(6)yFl2(E,1),GAMMA2(6),EL2(6,1), MULOZSQO“GIII(1.]).flïl2(1.1),AR(byl)'r!(1,().CP(1,0! MULOZSSO
INÏFHFP 77 MUL02560.“:6 MULOZSTCCAll S!IVfiI(01,0?.C2,“1.(,t.vl.VI,P,IKL) MUL02580Chll P1191/(WW,C.H.HI'32.H7.WF1,HIIVRPEynlápLKL) MUL0259OIF(F.LP.WI un TU lfiñ] MULOZóOOIF(Ü9.“”.".) CU 1h 3001 MULOZólOIF(A”S(“7).NT.“.?S.AHU.A”S(02).LF.(.30.ÜR.tHS(0¿).EQ.O.G)GUTU 3081HUL02620GH T0 IHHI MUL02630CÜNTIHHl NUL02640ll(Cl.'”.4.HP.Gl.IÜ.0.q) CU Il 30(1 NULOZóSOIF(01.ET.J.?É.ANH.C1.|H.J.TfliCF It ‘00! MULOZóéCn“ IP 1601 NULOZóÏULCHTIMIL NULOZÓBCIFlWï.‘“.W. DP.0’.M”. 1.“) Gt IF GFI MULOZÓQC¡"(QK.TT.”.9fi.A1F.“1.Lt.).!C)RH II 401 NULOZTUOEn TW 1)”! MULC2710rfimrl“ul HULOZTZOW"!ï"(7y”"3)WH1.Pl.‘?,‘“.HÍ1 NULOZÏBO.'[>"'1‘.Ï( 'I‘Ï ol'Ï)‘Í v‘hÍ-VF
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lntroducciún
E este capi+ulo se analizará el modelo
detallado en capitulos anteriores, calculandose los
parámetros de Brüneisen en íoncion de 1a temperatura, las
derivadas de las constantow elásticas con respecto a 1a
presion, el parametro de mudorsonmfirüneisen, el limite de
los parametros de Brüneisen para T.___30K, el limite delos parametros de (Bruneisen a altas temperaturas, los
modosnormales de vibración en algunas direcciones y sus
t'ones respect vas 41 parametro de Brüneisen .
Primeramente eïLudiaremos el modelo en si
analizando la ¿:1on de 1a anisotropia del
mismo a través de sus constantes de fuerza k1 y
¿“(derivada segunda del potencial con respecto a la
separacion entre átomos para vecinos en el mismo plano
túüül) y en planos (0001) adyacentes respectivamente), a
traves de 1a geometria, usto es, 1a variación de 1a
relacion c/a respecto de la ideal (donde c es 1a longitud
eje z y a es entre primeros vecinos enla separaLion
el mismo plano (0001) J, o n traves de 1a variación de 1a
derivada tercera del polnucial, que, para el modelo
propuesto f5 (r): "nafrm -F b/r" es funcion de
m+n(tomaremos m+n idéntica para ambos tipos de
vecinos,ver seccion 3.2.2).La anisotropia del modelo se
estudiará principalmente traves de los parametros deBrüneisen.
¡_.J ¡—\¡.I'...
Seguidamente se calcularan estas propiedades,asi también las derivadas de las constantes
elásticas con respecto a la presión y el parametro de
Andrrsonmfirüneisen para los cas s concretos del Zinc,
Magnesio y Cadmio.
Asimismo se compararan los resultados
ohtwnidos con este modelo con los valores experimentales
y con resultados obtenidos con otros modelos teóricos.
Variación de 1a anisotropia del modelo
deadfl
(seccion 3.2.5) que
Para el estudio se ha hecho notar en el
capitulo a muybajas temperaturas
es necesario incrementar el numerode puntos a integrar,todo en las cercanias del centro de 1a zona - donde
A _ _ _ _.¡q tiende a U, siendo q el vector de onda- ya que esos
los modos normales que más contribuyen a la capacidad
a esas temperaturas,
Como ya se ha explicado en 1a seccion 3.2. .,
hemos dividido 1a zona de integración en dos partes: una
exterior y otra interior. A esta ultima le hemosdado una
densidad mayor de puntos que a la primera. Asimismo hemos
ensayado una subdivisión similar de la zona interior y
los calculos, no se observan diferencias“o”
realizado pero
en los valores de obtenidos respecto de 1a primerasubdivisión.
{07) hastaSL efectuaron los calculos de
temrnzaraturas de 0,04 9,, (por ejemplo, para Zn 8D =
140
320K, por lo que el calculo, en este caso llega
aproximadamente hasta 13 kfl.Para realizar los cálculos
para temperaturas inferiores a esta, se requiere declarar
las variables en el prourama con doble precision, que
hace que ocupen el doble de memoria y los calculos son
mucho mas lentos.
Se realiaú un calculo independiente del valor
limite de 6‘ a T——#OF . segun el metodo leicado en
1a sección u.2.9 cue no presenta los problemas de
integracion antee mencionados, chequeandose con estos
. 10 , q ‘ .«alores de ¿0‘ 3 4)OK 1o- valores extrapolados de
KÏT).
5.2.1 Variación de la relación entre las constantes de fuerza
En esta seccion cnnsideraremos el efecto de 1a variación
de 1a relacion entre las constantes de fuerza kb/k¿ (ver
seccion 3.2.2), reteniendn 1a estructura ideal c/a=
¿53: En las figuras 5.1 y 5.2 se muestran las curvas de
i‘vs lrl'TEB en los casos: kH/k1=0.25 y 0.5 (figura 5.1) y
km/k1=37Zfigura 5.9), uwandn el potencial de LennardJones ¿"12 (se nuestro modelo m+n=1B). En linea
punteada se tiene la curva kb=k¿, a los efectos de la
comparación.
i) kbé ki (estructura de planos) Cuando kb/k¿-———aO,
los planos perpendiculares al eje de simetría estan
progresivamente menos unidos unos a otros hasta que, enel limite, estan desunidus y 1a estructura es inestable.
Figura5.1 Cristalideal
(1')kb/ki=O.26
(2p?kb/ki=0.5mi:(2')kb/k¡=o¡5m+—nzA?(1)í,),kb/k¡=o,25;61
'y
(swfkb/ki=1m(3')kb/ki=1
)-LI
Figura5.2Cristalideal
1790:4'i
IOgT/e“3
(Num/ws,-(1')Sum/M43.m+n=18 (2)nl’kb/ki=2;(2')«¿kb/kia.m+n=18 (8)¿9,”kb/ki=1;(3')Kim/km.m+n=18
. ,7.. ‘.¡'.
143
Se observa en el grafico 5.1. due las funciones de
Brüneisen son 'Í’L.I.ertemer'fl:eanisotropicas siendo "DA/l
por‘ debajo de 0,8 'T/ E3 D y ambas tienden a valores
limites considerablemente diferentes cuando T_———;0K.
Cuando la temperatura aumenta, comienzan a estar
excitados los modos normales de alta frecuencia, e
influyen de tal manera en el promedio ponderado (2.3.6)
que originan un cruce de curvas, de tal manera que a
altas temperaturas FÉL {a Este cruce ocurre atemperaturas tanto mayores cuanto menor sea 1a relacion
kb/ki.
La ewpansion termica para kb/k¿= 0.25 como
funcion de ln TÑBse muestra en la figura 5.3. A medida
que la temperatura aumenta, el incremento en 31_ implica
una expansion considerable en el plano basal) que superala tendencia mecanica a contraerse debido a la expansión
axial. Sin embargo, como Ï3_I1unca es mucho mayor que
Ud (ver figura 5.1)4 es mucho mayor que CÉL.l/ "Íii) tutti (estructura de cadena) En 1a figura 5.2 semuestra la "chion th? las funciones c
a.e Brüneisen con
respecto a ln T/en para kb/k¿ y kh/k¿=2. Se observa un
comportamiento practicamente inverso al de kb/k¿=0,5. Las
curvas de expansion 'harmica (kb/himï) mostradas en la
figura SL/l también exhibe 1a anisotropia inversa a la
estructura de capas. Sin embargo tanto d" como dJ_ tienen
valores mucho mc comparados con los de 1a figura
5.a— porque 1a red es meno: compresible cuando kb aumenta
160
Figura 5.3Cristal ideal
14o —
120 h
1oo —
80 —
60 —
4o
20 —
(1)
(1’)
-2o‘ T/e0,0
log T/aJ>
A
145
Figura 5.4Cristal ideal
6 _ (1)
(1’)
T/er
Iog T/Q.)
146
con respecto a k1 que en el caso inverso.
2 Variación de la relacion axial
Estudiaremos el efecto de variar la relación
c/a manteniendo kb=kl. E las figuras 5.5 y 5.6
presentamos los resultados para c/a= 1,03 y! c/a= 2,16
(c/a id--1=1,633). Ambos son ejemplos de geometrias
extremadamenteanisotropicas, ya que en cristales reales
solo se encuentran pequeñas desviaciones\con respecto al
empaquetamiento ideal. Como se puede observar de los
graficos 5.5 y 5.6, el comportamiento de r» y {1 , paraestas variaciones de geometria es anisotrópica pero no en
forma acentuada, “sobre todo para c/a mayor que el ideal
por lo cual podemosconcluir que para relaciones axiales
:ercanas a la ideal (tal comoocurre en cristales reales)
la anisotropia en í‘i estara determinada por la eleccionde las constantes de fue vc
Los graficos correspondientes a la expansión térmica se
observan en las figuras 5.7 y 5.8 (c/a=1,03 y c/a=2,ibK‘l.
q i es afectada fuertemente por cambios
respectivamente). Ho ocurre aqui lo mismo que con
La anisotropia de
en la relacion axial, fundamentalmente por cambios en las
propiedades elásticas. Homopara desviaciones pequeñas de
la relación :xial la anisotropia en Ü“l es pequeña,w N X‘ ‘ -’ '1stondremos fl == J_ . Usando las ecuaCiones (o.2.¿b) y
‘3.2.E7) se obtiene para tb=k¿:
Figura5.5Cristal¡deal
7/9)0.11
(1)5‘4-;(1‘)“¡n/ambosparac/a=1,03(2)X2,;(2’)x;_.ambosparac/a=V8/8 entodosloscasosm+n=18lEn:Lb
Figura5.6Cristalideal
0.1
¡ogT/Q3
(1)37}(1‘)Ï‘J_.ambosparac/a=2.16 (2)b’h(2‘)‘°1.ambosparac/a=V8/8 entodosloscasoski=kbym+n=18
'l vil.Fl
Figura 5.7Cristal ¡deal
°fl.l‘0nnUU
.f"
T79 - al 4
bgT/QD
q en unidadea da k /a“k¿, dmnde kBultzmann
(1) of“ 1. , 02:32;lab/l-¿JL g m+n====18
(1')ÓL C/amluüïg kmfkiml ; m+n318
(2) 1L m/¿flvg7gwc/a lumm1;km/k1m1; m+n318
(2’)áfl c/axVfi7Emc/a 1mmm1;kh/k¿ml; m+n=18
Figura 5.8d ¿o Qistal ideal
T/e' o.\IogT/s_D
0‘ en unidadeg de kBultzmann
/n*k1, dmnde h em la cmnstante de
(l) dl c/a=2,l&; kb/k¿ml ; m+nmlfl
(1 )d¡IC/a:2,l&; km/kiml ; m+nm18
(E) O‘J_C/amB/EmC/a ¿“wmlgkh/kiülg m+n=lB
(2')oth/afi BK3=C/aiwamlgkb/kizl; m+n=18
14€;
es la constante dé”
150
H I.
OÉL C55” QuE, _5,¿)” 'Íb7 Cu +clL—7‘G>—¿To'27;
Er'itom:_f-5tendremos a(” Lirafipara /" < fiin--1 Y 41.230,”para
f“ Zfl‘ ¿d--¡.(Hecordemns que/‘= c/a y /“¿u-.¡= V573)Esto es efectivamente 1o que se observa en las figuras
(5.1)
5.7 y 5.8. Por supueelxy que la ecuacion 5.1 no da 1a
relación correcta / ‘a rue "0A ero redice1a tendencia del comportamiento.
.l.3 Variación del valor de m4n
El cambio en el valor' de m+n (ver seccion
3.2.2) solamente afecte el valor numérico de Ïn, no asi
1a forma de la curva, cnmo se puede apreciar en 1a figura
5.9.
Por lo tanto, el mejor valor de m+n a
utilizara- a lo: efectos de comparar con sustancias
reales sera el que surja del mejor ajuste con los
resultados expelimentalee.
5.2.4 Variación de los modemnormales y sus contribuciones
diferentes direccfi
En esta seccion mostraremos 1a variación de la
frecuencia de los ¡muhnunnrmelee y‘ sus contribuciones
respectivas É;(h,e) Él (h,s) FMItres diferentesdirecciones:
Figura5.9Cristalideal
1.
(1)/'
(2/ _______¿:1 .................................................
1'(3)”(30/r
llI
logT/esb
.ambosconm+n=18
m‘)¡q.ambosconm+n=12entodosloscasoskb-ki
01.ambosconm+n=9
J.\..'.L
l
las dos ultimas perpendicular-s al eje de simetría.
Hemos Ja seccÏ 5.2.2. que 1a
variación de la relación axial c/a conduce a pequeños
cambios en la anisotropia de Yf‘ . En cambio pequeños
cambios en la relación de kufki de las constantes de
fuerzas si tiene un efecto importante en las mismas.Para
estudiar la variación de los modosnormales y de sus
contribuciones 67/ (h,s) 3' El 01,5) tomaremos geometriaideal c/a;=V@Éy variaremos la relación de las constantes
de fuerza en los siguientes valores:kb/k1=3, 2,1,0.5 yÜ "‘ "3.I¡.'_\_n
i) dirección del eje de simetría: Domoel plano 0001 es¿A
perpendicular a la dirección de propagación, q.r(1) =Ú
para las uniones el plano. Por lo tanto la
polarización de las fre ¿ias depende solamente de las
uniones con los átomos en diferente plano UUUi. Estos
poseen en este caso igual factor de polarización y la
dirección de polarización esta fija. Comoconsecuencia de
ello í; (h,s) es constante ( 2 = /Z¡ 1- )Con la
variación de |Ély con la variación de la relación kb/ki.La forma de las curvas de dispersión es cuasi—sinusoidal,
ya que en este caso el factor de polarización es real y
vale, en los casos en que es diferente de cero cos Trtb(Ver figuras 5110a,b,c,d.e,f,g)
ii)direcciones perpendiculares al eje de
H
O 0.1 0.2 043 0. 4 0.6
l ACO en unidadms dw ki/m ; q: (0,6 f'
a) km/k1205É5 b)kb/kimü!5 c)kb/kixl
a),b),c) c/am 8/3 ;m+nm18
5'10 d) " 5.10 e)8
Mmmmu‘m 26 _.
5.10 f) 5.10 g)CD
°-‘ 0-2 0.a 0.4 0.5 n n .o o" 0'? 0-9 04 0.o
L ‘ A. .
¿o El"! L.I.I“\r.,.1;;.a.r.::lI.-:-3ss-3tir-2:9 1214/") g: q::v: ( ("y Hu El á )
'51) "-1m/ P1131? ser)Imlai Ir1' (mas) riJ) ‘67,“ ma)fl\'51) u É?) 9 f ) V (SJ) '33:/' €59.13“VB," Gm‘rn’ï“ .1.513?.z: 'f’ .3 tïfl) [mr a1. 1:ch ÍÍZ) Lim! le“;
g
155
direcciones, llevando esta caracteristica como
consecuencia que las curvas de dispersión tengan una
forma menos armoniosa.(Ver figuras 5.11 y 5.12a,b,c,d ye).
La contribución (6:7 del modo normalacústico de menor frecuencia es negativa(grafico de
frecuencias: figuras 5.11 y 5.12, linea m--; grafico de
contribuciones fito : figuras 5.15 y 5.16)siendo este valor constante con lqu tanto mas negativoCLanto mayor sea 1a relación kb/kl. La contribución de
ese mismo modo a 31- elevada en todos los casos ( convalor entre 4 y 5 en todos los casos de la figuras 5.13 y
2.14).
Se observa que, para todas las curvas de
,que relación kb/k¿ afecta el valor absoluto de la
contribución de cada modoal un total, pero la variación
de su valor en una dirección dada de É‘es la misma para
todas las relaciones kh/k1.(Figuras 5.13, 5.14,5.15 y5.16 a,b,c,d,e)
Aplicación del modelo a No, Cd y Zn
En esta se utilizaremos el modelo para
ver los resultados de su aplicación en Zn, Cd y Mg (los
únicos para los cuales hay datos a bajas temperaturas).
Veremosasi la importancia de las fuerzas centrales en
ww 1.
0.3L 5-11 c) (DL 5.11 d)
z . . Y u a
Lp em un1dadga dm kiim gqm t Í ,U,U)
a)kh/k¿:0,25; b)km/k1ü0,5; Ü) km/P4*1; d) km/kimï. e) km/kimï
en tudo; 105 uafimfi c/aw Vflfï mwuwlBL,l
157
L 5.12 a) ¿dv- 5.12 b)
. M o ' 0.05 0.1 0.15 0.2 0‘25o ‘Ï 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 á,
(¿31‘ 5.12 C) :3
L . A
OQ en urudatzl (2:1.r-.-:-.\Ii;J. ,1m ¡qm (í Él¿.3í, 0)
a’“b/“L“Ü«É5a b)kmrk1mo,5; a) kh/uiwlw a)
en tcmiczms 1‘32; (zzaeacm (:1/’ 1.23.27: y ari-¡1*"ï51133
qr___(¿50,0)
a)kh/k1HÚ,É5; h)kmfikimü,5; cf
en tmdma 105 casua c/am 8/3
02 On 0.4 05
kh/klwl; d) kmfkiïlg e) kb/k1=3
V m+umlB/
0.6
1'59
v'v:::-::-:
a)kh!k¿mü,35; h)kb/kiwüflfig c) Lhfikifll; d) hhfkimfig e) kb/kiïï
PH tudofi las fiafiflfi y mfhmlb
{}(á:5) 5J5’8) 64 pá
-2
o g 0.1 0.2 0.a a4 0.5
‘ ..x \ ‘ N e L“—.1 M. má
5 — ‘ x x ----n ‘ s sx ........ A_ - Ñ ‘ _
x \ ----------‘_ N‘ " x .áÑ‘mm—--—%‘ L xx 4h NNs _\ .3 h N\ \ \ - - ‘ s
‘ - ‘ xx 2 ..... - \ - .......... -2 x"
F _ . . _ . _ . . . _ . _ _ _ _ _ _ _ __ _ _ _ . _ . . _ _ . . _ _ . . . _ . _ _ . _ _ . _ _ _ __1 l l I —2**———1» l l l
I‘ ï ¿l(I) 5U )
a ) tz)1' k .1.:ÉÜ gl u .
en tüdüfi lufi cammfi fi/fl“ uH/E y mínfilH
r” (0:15)5.16 a)
xx _s N‘ s
x ..\\
s'- x \
x sxy \ s\
_ IA ni“ _ «W.
l l lI
0.15
“0/las)
"07/(¿A
161
5.16 b)
x x sx .m,\ x.
\ N -v w._._ -...... \ \m..._,x ....... wx. _._«—..\s ------‘Nk - .. """""-...‘ N - _¡
-»........-.‘...._. a ’--- - - - -:':-\-._. .s-_
s\-
U
e _7_-_.m..
4í"‘1 |::' ...¡:'.. a.) 3|
a
¡a ) b /" :L 12::(l) 5 III) l’Ï. r5) ¡l le“-,1. 1:: u
en hmduü 10m cammm m/am
Lm/kmmli
m -+—n 1:71.1. 55:3?
c.._\
las propiedades anarmonicas de los núsmos. Calcularemos
también el valor del parametro de Anderson-Bruneisen, a
los efectos de tener un valor mas para testear el modelo.
En el caso de las derivadas de las constantes
elásticas con respecto a la presion, utilizaremos las
formulas desarrolladas pol nosotros (formulas 3.2.38),
que vinculan las mismas con las constantes elásticas de
segundo y tercer orden. En primer lugar chequearemos la
validez de las ¡misma utiliaandC) en las fórmulas las
constantes elastjcat de segundo y tercer orden
experimentales.
3.1 Magnesio
Tiene una relacion axial c/axl,623, ligeramente menor que
nl empaquetamiento ideal. La figurs. 5.17 muestra las
curvas en; Ïív 33' [HWlueHiEHtmde los resultadosexperimentales [El]. Si bin la anisotropia. no es Inuy
alta, es apreciable, especialmente a bajas temperaturas.
fi temperaturas superiores kïlki lee valores de 31.ydifieren de lZ. E' la figura 5.18 se
n" (b obtenidas con nuestromuestran las curvae de J_modelo para kb/ki l,| y pfi“. Se observa
comportamiento cualitativamvnte análogo a los resultadosbajas. Incluso losú
Y q
I'I»:-_\.s|.'..'1. 'l..em|:)uu a Miras
o"lexperimentales,
Valores limites paln l-—>ÜL de obtenidos con el
modelo(1.32 yf 1.20 comparables con los valores
experimentales (1.4 y 1.1 ).9e observa tambien un cruce
Figura 5.17Magnesio -datos exper'mentales 163
,..._._ . á. I: ._:Ll:.0
E .164|
f |Ax
DVy.¡D"rCDO "' N
.H
.m" o
‘.
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l|
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LDfl OD
l I lll) I- U') 0
. OI" 0.. o
F'arátnr-rln'us de ['3I"'¡."‘.I¡(RÁHE'PH(-‘Hfl'lfi', -F‘lll..7\.l"-.?Ï-3para ¡"limzzlnn-mth)
Figura5.18
Magnesio-modelodefuerzascentrales1.0"
y I . | l
Il
0.0l
T/‘Ü'D
limitedeDíaaltastemperaturas:1.64 limitedeb;aaltastemperaturas:1.55
O.44
logT/tvD
kb/ki=1,1;m+n='9
temperaturas,y en el limite 17’¡Fom
a altas ‘61,TanEn 1a figura 1? a) se muestran las curvas de
K», obtenidas cen e! modelo de Keating [51]. Estosautor.s fitearon los puremetros de segundo orden del
modelo con las curvas de dispersión, y los de tercer
orden con las derivadas de las constantes elásticas con
respeete e le presion, pe los resultados para estas
propiedades anarmoniras no son satisfactorios,prediciendo
el mismo que 1; ÏL ¿mwtodo el rango de temperaturas,hecho que no se verifica a muybajas temperaturas.
En la seccion 3.2.? hemos aclarado que hicimos
un calcule independiente de] valor limite de “A para
T___9 ÜK. Recordamos que ese valor limite se obtiene
utilizando los datos de eonstantes elásticas de segundo y
tercer orden, Para el Magnesio se tienen los valores de
'ler-ï- cnrn='¡|:.:antes (3,“, ale ':'.í”.’!'..'l|..|.ndf3orden a T_s OKI y también su
temperature ambiente. En cambio, para las
constantes de tercer orden solamente se tienen los
valores a temperatura ambiente. Haciendo el calculo
independiente de U1 con C,,(T'-——5 0K) y C¿Jka (au)
Ï' y¿(09
(lmTamb), los valores de 31)0K y “,0K obtenidos sonrespectivamente 1,44 y 1,1É.Si se realiza el mismo
cálculo con C¿J(T ambiente) y Ci,“ (T ambiente) los
valores obtenidos son, res ectivamente 1,67 y I,Hb.Je
observa que los valores obtenidos difieren en 15%,
según see la temperatur le cual se tienen los datos.
nuestro modelo, como ya hemos dicho antes se obtienen
LUZ
Figura5.19
cdModelodeKeating
Ozo4o60ao¡oo¡20140Isoleo
(1)!
[.4‘ _.7L1T)und74T)vs.7‘Kcadmium.
iKT)and71(T)vs.Tmagnesium.
(Tati)
7a(T)
_(Told)nm
O¡10213311425106237ÏJ810910 ¡OOlKHZOn‘
a)Mgb)Znc)Cd
T‘
‘.7M)and73(7)vs.T'n'nc.
167
1,32 y 1,20. Con el modelo de Heating se obtienen 1,44 y
1554. Se puede observar que con este modelo se obtiene
1C b Ki , que es lo contrario de lo observado"(0.4) .1.(ou)
experimentalmente, porque, si bien los valores son
caleuladoe con CLJK T ambiente, no pareciera
evidenciarse que se inviertan los valores absolutos
relativosde Tilo“yEn las figurae 5.20 y 5.21 se observan las
curvas de p< experimentales [42] y la obtenida con
nuestro modelo reépectivamente. Los valores absolutos de
3/4” experimentales no difieren muchoentre si, lo que no
ee puede corroborar con el modelo.
En lo que empecta a las derivadas de
constantes elásticae con respecto a 1a presion, y
parámetro de Anderson Brflneieen, los resultados son los
siguientes:
"jÍ_:1_J./CJF’ d[.:_¡,.-_g/I'I[‘EÏ“..::__.:::I'C|[.JdÍ344/dp S
(1) bull 3,39 3.56 lnSH 1.36 3.03
( 1 6.59 2.96 É.óE 1.54 1.8? 3.06
'l 7n34 8 4/ 1.78 1.70 4.14
(4) 7.35 4.El Ïó 8.49 1.36 1.47 4.00
a¡(10"°K")
Á0<x
30
lóB
Figura 5.20¡Magia -datosexpgmmtales
20 "nH
o
¡,4IO g/
o l 4.0¿9 1 L lIO 20 50 IOO 200
T PK)
Figura 5.21Magnesio -mode|o de fuerzas centrales
WAIU
T79
169
los de tercer orden las derivadas de las constantes
elásticas con respecto a la presión; (4) valores
obtenidos con nuestro mnflelo kb/k1= 1,1 y p=9.
De la tabla anterior se puede apreciar que los
resultados de 1a fila (E) coincide con un bajo porcentaje
de error con los de la fila (1), si bien, en muchos
casos, 10s valores de las constantes elásticas han sido
obtenidos altn error parcentual.Los valores
obtenidos cen nuestro medelo se aproximan a los valores
experimentales bajos errores porcentuales,
considerandp la :ille: del modelo. Los resultadosobtenidas para el Hagne: p con este modelo son mejores
que los obtenidps con el modelo de Heating (recordemos
que los autores fitearpn les parametros de segundo orden
del modelo para obtener las curvas de dispersión
experimentales), bien este último modelo se
mejoran los resultados ubtenidps ppr Srinivasan y Rao
[52] con un modelo de fuerzas centrales con ki=kb y c/a=
C/a 1d-n1
Tiene a relación axial c/a=1,Bb mayor que el
empaquetamiento ideal, por le que las fuerzas entre
átomos dentro del mismnplane perpendicular al eje de
simetría sen más fuertes que aquellas entre átomos en
diferente plano (0001).
170
temperatura y las curvas de las contribucionesvibracionales obtenidas del analisis de datos
experimentales con una aproximación semiempirica de 1a
1a mismaElB] En
Ïï akb/k2¿=0,4 y
contribución electronica 1a figura5'111.¿¿ se muestran las curvas de y con el modelo en
estudio, con las relaciones m+n=12.Hasta
temperatura de aproximadamente 0,06%,, las curvas deSGH similares a las obtenidas por Barron y Munn[18]. Por
debajo de esa temperatura, el modelo no puede reproducir
el comportamiento vibracional desarrollado por estos
autores partir de las curvas experimentales, que
encuentran un crute de curvas a 25 K, siendo en el limite
“L “1
bajas temperaturas obtenidos por nosotros( ¡L
bajas temperaturas .En cambio, los limites a
=O,94 y
Won)
(OK)2,76 ) tienen igual valor absolutos relativos que los
experimentales, es decir, WII-(OK)¿ 6'" (0k)
En 1a figura 5.19. b) se muestran las curvas
de 84(T) obtenidas con el modelo de KeatingESl],
habiendo los autores fiteado los parametros de segundo
orden para reproducir lae curvas de dispersión, y los de
tercer orden para fitear las constantes elásticas detercer orden. Con este modelo no se logran reproducir 1a
forma de las curvas de .UÏT) aun en rangos mas altos de
temperaturas, donde un modelo sencillo, comoel estudiado
nosotros puede reproducir el comportamiento de dichaspor
funciones.
Figua 5.22 _Z'nc -datos experinentales
o'°'0'°‘o\ 0
3L 7lll\ o l
o\ C{oo\ ‘0
2 - o .4'. 00’./ 0‘. Y4 i l ,0 o
‘0201:
| _.
o J I l l ll J5 IO 20 50 IOO 200
T(°K)
Figura 5.23Z'nc -contnbucion vibracional a parti'
de datos experimentales
zogmï(°K)'
172-3
T;
Figura5.24
Zinc-modelodefuerzascentrales
O.5
(1)¡ (2)
kb/K¡=O,4;m+n=12(1)C,(2)
í’ J.
'6‘140/
174
Para el Zinc,al iqual que el Magnesio existen
literatura los valnrms HH U1J a T——#JK[45] , pero 105
de EiJM enlamente wmisten á temperatura ambientefcun C1J(T_9UK) y C¿Jk(Tambiente)
valores
[59] . Las valores de inn limites de a bajas
temperaturas obtenidns1.91. Si se realiza el misma
É/(m)a
son Ïhaó== 0.25Calcula cun El; y Cijh temperatura ambiente se obtienen“6‘
//(ou)' 'al 20K
0.30 y con L0 que se tiene una diferenciaFHM) =euperinr entre un valer y otra. Algunos valores de
constanues de tercer orden poseen un error experimental
tal el de L)10*° N/ma. SiÜmaa"(“1
limiïw de 1p
cflntienr1un m¿4 OK)
elevado,
;_¡el valor máximn
84 :1.91.ÚRM)
minimo
¿calculamns e unn
de HL44 SP 0.14 y 01(Cmaafiü),
deelrulcular 105 Válfirhï HD” VRIÜF
..- 11U144(D¿44 “h lülü H/m?) me nhkimne U, y 1,?1 para
üLnnte uuu pasee errur1€on y 63/ ( OK)experimental importante e; Ktm“ (Cingmfib i 5) 10*” N/mP.
Realizando Jue cálculos lú'” meïse Obtiene
1.91.81, un namhiu filunwxo 10*“ N/mfl,f =0_EfiïÜ.14 Ygba“
‘btmñ 21.?!"
'arl'lt.1'.c.1ad de datan: (’IF? ('31,... I'I) nc)
Halures de lo; mie VHIÍ“H en forma
fiambiC) de te Si bien.— m pe, ra tun a l,_",5Ü 1 .
entensiún de este ru mnamiwntnpara
es prübable que 105 errurem experimentales de
temperatura ambiente en
muperioree a1 cambio del valor de
variación de temperatura.obtenemmsnuestra modelo
K'fl
Con
=Ü O 1/ r: '¿5‘ Í: '* _
.¡5 , .77; ..un elvalora; 42. Unaobtienen 105 ?,1ó
mejores valnres mmdeln
centrales“ EL bien le
obtenidas con el modelo de heating Lie
|12151ti‘fl3 j_ ma]. al a1x|wrriuuan| Al, (ns ¡Juegi
[0% miüm.a difiere-|r'Lle:rI (le? "l aq;t|.l t!lcl ¿las
¿leal en.perimen Lai
I3EPI'T'CJII y; li .ld..|ItII1¡| l‘ ¡Si l ¿a
nemlempíricm de LW "ihuciún
‘6‘ "-Z.‘:r'.[Jr-2r j men La l. uh |.'. '
2.3 ” f1 m1.4. HaLircaykoq’
que:
'-'¡ '. .'. |L.“'Ï‘| l‘íl‘l'l
Para.=afjrmar #utn =Uunmaicifluu
¡JD la adixliijJad ¡ln lzrw t»=H!v'ihLu:Ï
uI «.‘.:
IMJ
cristales h
algunas casosla
modelo
vez
ESL-ent: .1'.1 1 CJ
p.:3
paltir
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ubserva
apreciable cones
en
del 100%
S
los valores
mas se
de
valores
¡en valor
r“ í/Il l OQ}.
EZLDÍ'lfiñiíIer'al') 1emen l;
de au
electrónic
de.‘.ÏPH
FEI'I
lu; autures
nnbrúpicas,
que
rigurosa
mismas con
de Keating
analisia
la
175
los
el
la
agonales
las CLJk a
sean
1a
SE
obtienen
fuerzas
limitesabsoluto
film, _. .I.e
red
primera medida
real ¿Q q 1°l¡(
f3 . e,yB” )Áparten
vale
176
y también chi la afliLividnd de las contribuciones a 1a
¿apacided calmrífiun"+d-l raá ¿Q
tz: (5.4)C3, [L7 7
auLDr_s, can Buckingham yu Shafroth [71]Algunos
pusieron en duda la separación sugerida en la ecuación
(5.4) debimn a la interacción electrón-fonón. Hasta el
presente no se ha medidmcuántitativamente este efecto.
Can estas supusiciunes llegan a la ecuación
«Creel: “¡3 C7 'Cy “A
2 C Cd \7' 7En esta ecuación el único valor descnnocido en el término
de la (Jel'"r:er:haes; F en este punto donde los
autores afirman qua, para hacer la evaluación de ‘13 por
método de ¡Hueba 3! errmr que ‘< no depende de la
temperatura. El hecho de no tener en cuenta la
contribución red“ electanh la suposición de que.
es constante con la temperatura y el metodo de suavizadm
utilizado, pudo Pmber llevadm , nuestro entender, a
T.H.H. Barlmn y H.H. Munna valures distorsionadns de
vcd hand . _ .Ïq y J_ en el limite a bajes temperaturas.//Los valnrms mbLnnidms para las derivadas de
parámetru de Anderson"las constantes elásticLfi; el
Ürüneisen snn las siguientes:
177
dE¿1/dp dE¿2/dp dülsfidp GEES/op d844/dp dCQÓ/dFJS
(1) 7.52 4.56 7.32 4.02 1.48
(2) 7.53 4.51 5.5a .2 3.98 1.51 5.74
(3) 8.66 4.48 5.oh 7.37 3.88 2.09 5.81
(4)10.1B 3.2" 10.25 1.35 2.47 5.15
donde (1)son los valores experimentales [69] ; (2) son
los valores obtenidos con datos experimentales de C¿, y
Q1Jk( [68] ; [45]) ; (3) son los valores obtenidos con el
modelo de heating [50] ; (alson los valores obtenidos con
el modelo estudiado con kbft1HU.4 y minmlï .
Eat la tabla anterior se observa una notable
similitud en los valores experimentales con aquellos
obtenidos con los valores de C1] y Cijh experimentales, y
los valores obtenidos el modelo de Keating son
mejores que los obtenidos con nuestro modelo en estudio.
Aqui cabe acotar que el Zinc tiene un
comportamiento mMCFM)más amnisotropico que el Magnesio,
Liendo bastante dif eren'lïe , en todo el rango de
temperaturas los valores absolutos de 1} Y J_ i ademasïabe recordar ¿ue la teoria cuasiarmonica tiene validez
hasta I_I.nvalor de I._Í.-'ï-EÍI||’.H-?.r"»_".t!..|.|'éfïde 0,13- ÜD.I'-"or' lo antedicho
es posible que para el Haqnmsio, el rango de validez de
la teoria uuasiarmúnica sea mayor que para el Zinc, de.
alli que los valoren de dCLerp para el Magnesio (medidos
a temperatura ambiente) puedan reproducir con el
modelo estudiado, no asi Los del Zinc.
178
Lamentablemente no emisten en 1a literatura
más datos experimentales de constantes elásticas de
segundo y tercer orden para chequear la validez de lasformulas de les derivadas de las constantes elásticas con
respecto a la presión en funcion'de las constantes de
segundo y tercer orden(eeccion 3.2.7)desarrolladas pornosotros . Los valores obtenidos para Zinc y Magnesio
(ver fila (É) de lee tablas de dC¿J/dP respectivas)afirman la valideï de lee formulas (3.2.38).
Eadmio
Tiene una ruleción “vial c/a:1,BB7, mayor due
la ideal eimiler la de ZincnPoseen ambos(Zn y Cd)
funciones vibra ioneles de Brüneisen similares y
nuevamente de las mismas a muy bajas
temeera incompa4ible con el presente modelo.E1
mejor fiteo requiere a anarmonicidad ligeramente mayor
que en Zinc(m--||'I=== 13) e igual relacion kb/kl. Se muestra
en la figura la curva obtenida por Munn[21] de
datos empe|imentelee [42] En ella se observa que,
excepto a temperaturas, las curvas son
similares a lee de e peear de que, el minimo en
tiene formeuna algo diferente e la de Zn. La diferencia
más importante ee que los valores absolutos de Í; ypara Eadmio son generalmente mayores que los de Zn,
Esto ee quizas le que se esperaba
probablemente debido a la diferente relación c/a.En la
v:
179
figura 5.26 mueeLIa la curva obtenida con nuestro
3-.modela. Enn e reprmduum la Tarma de 1a curva
para T/ 9 ¡1)entre 0,5 ( [uu-'54.el [Dadmiegee deD
200K), Pur encima de 0,5 GB”se observa que Ñ (3‘, hecho0 ¿que con el modelo 5010 me verifica en el limite a altas
temperaturas.
En la figura 5.19 c) se muestra la curva obtenida
cun el modelo de Enating [H1 . Entus autores fitearon los
parámetros del mndelo cun ima valnres experimentales de
las derivadas de 195 cmnehantes el¿nticas cen respecta a
la presión . Enmn pnhde apreciar partir de 1a
compare de ln: Él mndelu de Meeting ne
se pueden reproducfi la fnrma de las curvas de ni la
ubicación relativa de la? :en tndu el range de
temperatura“ me UL KL, este unmpmrtamientm ee verifica'sulo a temperaturaw mnynrna quo LU“ h, siendo, per debajo
de ese temperatura Kb'>ïl. .. v N .buper" antalmane se verJíJua ¿om=2,¿ y
«zu-5'
experfi “fllüfi ldJl). HH nn 1a literatura, hafita
,2 (va nprmHimEdum partir de datos
el premnnte daüufl "rpv EmMuLaJHHde cunatantefi elásticas
de Lercwr mudeln mhtenemue, para los
valoree límitmfi dv F y f 1,ÜB y aspectivamente.DDn11 "(o<Ovs
el modela de EeaLjnq ee nhhfienen ¿,ófl y H,&O.
Las; asalt‘u'v-"L r':<¡:>+::er.i.men[mima de derivadas de
atente? e15akjcas reepeutn la presión y los
mbtenidmm cm“ mi mndnlm, unn las Higuientefi:
1 BD
Figura 5.25Cadmio -datos experimentales
4 — 0'50‘0-0.0 7'"0 oo
o/ ‘ooo
3 — ¡0/
0’0/0 °°‘2-e<a ... _o\ K‘ 2— . ¿»00/0 o\ . a
5 IO 20 50 '¡oo 200
T (°K )
Figura5.26
Cadmio-modelodefuerzascentrales
kb/ki=0,4;m+n=13v)F),(¿MTL
182
dCLL/dp dClz/dp dülg/dp dCEE/dp dC44/dp dCób/dp
(1) 9.29 4.10 '.2¿ 2.38 2.59
(2) 10.81 5u44 llnlfl 1.43 2.69
donde (1) son los valores experimentales [72] y (2) son
los valores obtenidos con nuestro modelo
(kb/k¿=0,4;m+n=13)n No se pueden reproducir todos los
valores de d61J/dp (medidos a temperatura ambiente) con
bajos errores porcentuales. Pueden atribuirse igualescausas que para Zn. Hasta el presente no se han medido
los valores experimentales de las constantes elásticas de
tercer rden, por lo que no se pueden aplicar las
formulas (3.2nïfi) para obtener las dCig/dp.
.3.4 Ütros metales
No se han realizado, hasta el presente,
medidas de expansion termica en un rango apreciable de
temperaturas de otros metales hexagonales compactos.
Hubiera sido interesante poseer medidas de algún metal
con c/a menor que el ideal, por ejemplo el
Berilio(c/a=1,59), para poder comprobar si surgen los
mismos problemas que para el Zinc y Cadmio.
5.4 Conclusiones
Barron y Domb [73] encontraron que,
utilizando constantes de fuerza similares en modelos para
redes hemagonales y cúbicas compactas, se obtenían
similares propiedades termodinámicas.
18.
Por otra parte, Gibbone [9] hizo un estudio de
propiedadne armónica :as de la red trigonal.
Domo una entaneion do trabajo, estudio el Zn con ese
modelo de red, que haciendo c/a=E,7B en una red
trigonal se obtiene una red hexagonal compacta ideal.
Hemoe vistc (figuras y 5.6 ) que valores de c/a
diferentes del ideal no cambian demasiado la anisotropia
del modelo, por lo que er posible estudiar de esta manera
metale" hexagonalea, aunque en forma menos rigurosa quela nuestra. En ol mencionado trabajo se encuentran con
igualee problemas que {oe nuestros: se pueden reproducir
las curvas de K4(T) correspondientes a las vibraciones de
la red hasta THÜ.1€30, pero por debajo de esa temperatura
no es posible hacerlo. Nuestros resultados, conjuntamente
con los de T.G.Gibbone[9] corroboran lo demostrado por
Barron y DombE7EÏ. nuestroe resultados, como asi
tampoco con loe de T.H" Gibbons, es posible reproducir
las curvas producto del analisis de T.H.H. Barron y R.W.
Munnantes mentionado[LH].
E le apllüiwm del modelo a diferentes
metales ee puede obeervar que un modelo simple de fuerzas
centrales da rieultadoe comparativamente mejores que el
modelo de Keating para ¿ae curvas deeaïlfi.
A baja; temperaturas fallan ambos modelos,
lo que a le reproduüzion de lee curvas experimentales
de E? (r) ¡efiere: fuerzas centrales y el de
Meeting, que incluye no centrales y mayor numero de
184
Para poder reproducir las funciones de
Brüneisen a toda temperatura "se requiere entonces un
modelo de interacción mas sofisticado, preferentemente
que tenga en cuenta la estructura electrónica- nosolamente incluir contribución electrónica sino
también una contribución red- e1ectrón-, ya que se han
estudiado propiedades armónicas (curvas de dispersión)
con modelos que_ incluyen interacciones de hasta seis
vecinos [74] , no pudiéndoselas reproducir en todo el
rango.
En lo que se refiere a las derivadas de las
constantes elásticas con respecto a la presión se puede
confirmar la validez de las fórmulas generalesdesarrolladas.
185
APENDlCE I
La energia potencial en funcion de los parámetros
de deformación se escribe comoESó]
i‘ïïümc ,7“ +¿ Cue.“ "76;,(7+47m“,.. 3' .'ó'u- ' ng,
MauDebido a la simetría hexagona1(usando 1a notación
de Voigt[13])([75],[7é])
= EL; p E5==C44 CLE=C23
para todo i, j 0-. = E.
("dnÍnáS E1.“FTC;.-_\=[:5L¿:C24=Cz=\'KL.)26:[:34=C3==C35=C4==C45=C55=CJ
Debido a efikas igualdades, el termino de segundo orden se
vierte en:
iluïülhe (7,“ .34__;((71;; +7:2)+ 2CL27LL722 +ró
hd
"':"Ï‘.-3.I..'.?.7.1.1722" ¿1.2: 73:! (744 + 7‘22) +
(l)En lo que reepecta a los terminos de tercer orden,
debido a la eimetria hexagonal solamente se tendrán diez
+"thflñdd.“HHH.”¡TA.HmubL:Aid.A5! dNa aWu
Iflflflv.m...+NNAsddAm....+.¿Amt«.442H{INC¡15¿fJÉÚU/V
un"CmNULÜfi>CÜUmmCÜÜLC
LmULmymuNOCHEwamuamLmafimzfi»CaammLaxmMJ
MonefiuannauV
mxfinuduanquvsacan
NH.d.1|rNNNI!¿Hfi1EOÉNJ rrll.r
“nadan-mnÜHUHÚVNÏ:
iHHNUÜHüüúa
"mmumuflmjmfimmucmfijmfimmmHcmcmwumm
000dHüüïúHüúnïü
HBÜDUHDDQUHÜQÜU"OGGHCQQUHOHHUHÜDHUHQDHU
"ÚÚNU"ÜÜNUHÚÜNUHÍHNUHÜNNW"DNHUHÉNHUHÜÜdUÜÜÉdU"fiÉdU.I
"ÜÜHJHOÜÁU“ÍndUHÜNdJnfldüuvflúiOHAUHnddUthdUHO rIl
"mDCHELü#mmacijUHmmGHEmfijcmmm
ap__44A. fig.uu.¿un.¿wuuJu.uu.¡qunJ..u
"mmnmuñmzmq
mmucmfijmfimmmHcmcmfiv.mmmmsmuc.mmgcmfiucmamucamücfiegwg
omq
187
1, ll .L '
+3 (?22— 7.1.1.)( 712+ r)? 2.1.)] +3 CLLG (73: l( 7.:; + 722+
'L 1 . 3 7. 7'
{7 .Lz "' (721) +C 222 72-2“ "371.1722 4' 3 (912+
1. 1. z.
(7 2.1.)(3711_ 722] + (561.2373.3 (711.722_( 712+721) +1. 1 1- l
'I'3;C1337 32:171L+722) + 3C14a 7x1 (7 23+? 32) + 7 22(l7 ¿3+
Z
+7121)" 12(‘7.12+72.1.)(72:"'732)(? 13+931.) +
1. 1- 1. 1_
" (31.5: 711(71.3"'731)+722(723 "r? 32 ) +12(7 12 +
721)(73L'+7L3)(r723
Z 1. 'L Í
¿[37.244 1.:: +731. y 23"¡‘732 )
La expresión final dm la energia potencial en
H
\_:'_—l
.L Ü (1| (4 ¡.47:90
H +
famciún de deformación será. 1-3.suma de las
erqaresiones (1.) y (23). —
188
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